例说立体几何中的变式教学

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例谈初中数学教学中变式题的应用技巧

例谈初中数学教学中变式题的应用技巧初中数学教学中，变式题是非常重要的一部分。

变式题能够帮助学生理解数学知识，并且提高他们的解决问题的能力。

本文将介绍一些关于初中数学教学中变式题的应用技巧，希望能够对教师和学生有所帮助。

一、培养学生的逻辑思维能力在教学过程中，教师应该注重培养学生的逻辑思维能力。

变式题往往需要学生进行逻辑推理，找出其中的规律。

教师可以通过分析变式题的解题思路，向学生展示逻辑推理的过程，引导学生学会从已知条件中推断出结果。

在课堂上，教师还可以设计一些有趣的逻辑推理游戏，帮助学生提高逻辑思维能力，从而更好地理解变式题的求解方法。

二、注重培养学生的解决问题能力变式题的求解过程往往需要学生进行灵活的思维和分析，教师在教学中应该注重培养学生的解决问题能力。

可以通过设计一些实际生活中的问题，让学生运用所学的知识去解决，帮助学生理解抽象的数学知识，并且提高他们的解决问题能力。

在课堂上，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生通过交流和讨论，学会倾听他人的观点，发现问题的不同解决方法。

三、设计丰富多样的练习题目为了帮助学生更好地掌握变式题的求解方法，教师应该设计丰富多样的练习题目。

变式题的种类很多，包括代数式的变式、几何图形的变式等等，教师可以根据学生的实际情况，设计不同类型的练习题目。

教师还可以根据教材内容，设计一些拓展性的练习题目，帮助学生更加深入地理解变式题的求解方法。

四、注意引导学生发现问题的变化规律在变式题的教学中，教师应该注重引导学生发现问题的变化规律。

变式题的求解过程往往涉及到问题的变化规律，教师在引导学生解题的过程中，应该注重启发学生思维，帮助学生通过观察和分析，找出其中的规律。

在课堂上，教师可以通过举一反三的方式，设计一些相关的问题，让学生通过比较和分析，发现问题的变化规律。

五、关注学生的学习习惯和方法在变式题的教学过程中，教师还应该关注学生的学习习惯和方法。

变式题的学习需要学生有很好的思维习惯和解题方法，教师可以通过课堂讲解、作业布置等方式，引导学生建立正确的学习习惯和解题方法。

例谈初中数学教学中变式题的应用技巧

例谈初中数学教学中变式题的应用技巧初中数学教学中，变式题是一种经常出现的题型，它通过改变题目中的条件、数据或要求，从而考察学生对数学知识的掌握和应用能力。

在教学中灵活运用变式题是提高学生数学思维能力和解题能力的有效方式。

下面我将从三个方面介绍变式题的应用技巧。

在教学中，我们可以通过变化数字、条件或要求，设计变式题来培养学生的抽象和推广能力。

在教学乘法算术平方根时，我们可以设计以下题目：一个正数的算术平方根是一个正数，那么一个负数的算术平方根是什么样的数？通过这样的设计，可以引导学生思考负数的概念，培养学生对数学概念的理解和运用能力。

在教学中，我们可以通过变换数据、条件或要求，设计变式题来拓展学生的解题思路和解题方法。

在教学一元一次方程时，我们可以设计以下题目：已知方程2x + 5 = 3x - 1，求解方程x - 6 = 4x + 2。

通过这样的设计，可以引导学生探究方程等式的性质和解题的方法，拓展学生解决问题的思路和方法。

在教学中，我们可以通过改变题目的形式、内容或要求，设计变式题来培养学生的创新思维和问题解决能力。

在教学因式分解时，我们可以设计以下题目：将4x^2 - 9y^2完全因式分解。

通过这样的设计，可以引导学生思考如何将完全平方差公式应用到因式分解中去，培养学生创新思维和问题解决能力。

同样，在教学中，我们可以通过改变题目的内容和要求，设计变式题来引导学生解决实际生活中的问题，培养学生的应用能力。

在教学面积和周长时，我们可以设计以下题目：根据条件求解一个矩形的最大面积。

通过这样的设计，可以引导学生将数学知识应用到实际问题中，培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。

变式题在初中数学教学中具有重要的作用。

通过灵活运用变式题，我们可以培养学生的抽象和推广能力，拓展学生的解题思路和方法，培养学生的创新思维和问题解决能力，提高学生的数学思维能力和解题能力。

在教学中我们应该注重变式题的应用，通过设计有针对性的变式题，引导学生探索和思考，培养学生的数学思维和解题能力。

立体几何概念教学中变式与对比的运用

作者：李长辉
作者机构：丹东师范学校
出版物刊名：丹东师专学报
页码： 87-88页
主题词：几何概念;变式教学;直线与平面垂直;掌握概念;本质属性;对比手法;教学中;垂直关系;正三棱锥;多面体
摘要：立体几何概念教学中变式与对比的运用李长辉（丹东师范学校丹东１１８００５）数学充满着严密的逻辑。

通过学习数学可以发展人的思维能力，思维的基本形式是概念、判断和推理。

学生掌握概念是在教师的指导下，有组织的学习过程。

并不是由教师把现成的概念简单地、原封不动...。

谈一谈数学教学方法中的变式教学

谈一谈数学教学方法中的变式教学
数学教学方法中的变式教学是一种可以有效提高学生学习兴趣和提高学习效果的方法。

它通过在教学中引入各种不同形式的数学问题，让学生通过解决这些问题来提高他们的思
维能力和解决问题的能力。

下面我将从变式教学的定义、特点和实施方法三个方面来谈一
谈数学教学方法中的变式教学。

变式教学是指在传统的数学教学中引入各种不同形式和不同难度的数学问题，以激发
学生的兴趣和提高他们的思维能力。

这些问题可以是多样的，包括数学推理、应用题、数
学建模等，通过给学生不同难度的问题，可以让他们在解决问题的过程中不断提高自己的
能力。

变式教学有以下特点：变式教学注重培养学生的自主学习能力。

通过给学生各种不同
形式的数学问题，让他们在解决问题中自主思考和探索，提高自己的解决问题能力。

变式
教学注重培养学生的综合运用能力。

通过给学生各种不同难度和形式的数学问题，让他们
在解决问题中综合运用已学知识，形成系统的解决问题的思维方式。

变式教学注重培养学
生的创新精神。

通过给学生开放性的问题，让他们在解决问题中寻求新的解决方法和思路，培养他们的创新思维。

立体几何中利用图形变式解题

也说立体几何中利用图形变式解题在解答立体几何问题时，许多学生常因空间想象能力差、空间概念模糊，导致计算、论证等方面出现障碍。

但若能注意到几何图形的变式及应用，则可以化难为易。

下面就常见的几种利用图形变式解题的方法予以归纳，以飨读者。

一空间图形平面化在立体几何解题时，为了解题目的需要，常把空间图形变式为平面图形。

利用平面化后的图形与空间的关系，对比、寻觅图中“变”与“不变”的位置关系与元素，常可以巧妙地解决一些问题。

常见的平面化的方法有：（1）展开直观图在解决一些几何体表面上的最短问题时，常采用“以直代曲”，展开直观图形，使空间问题平面化的方法。

例：长方体1AC 中，AB 15,4, 3.BC CC ===现有一只小虫从A 点出发沿长方体表面爬行到达1C 点，求小虫爬行的最短路程，并指出与最短路线相对的路线的条数。

解析：如图为长方体侧面展开图，在矩形11ABC D 中，1AC 在矩形11AA C C 中，1AC 依题意，小虫爬行的最短路程为由图知与最短路线对应的路线有两条。

（2）利用射影法平面化将立体图形中的元素位置影射到某平面中，使之转化为平面图形中的线线、点线关系，常可以达到化简之目的。

例：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1,BB CD 的中点，设12,AA =求11.F A ED V -解析：由于直观图中空间元素之间相互遮掩、交错， 1A 1D 1C 不易寻找问题的突破口。

现利用影射法作图变式，即 1B 向面11ABB A 作垂直射影，则问题转化为在正方形11ABB A中，E 为1BB 中点，G 为AB 中点，○1求证：1,AE AG ⊥ D C A○2求E 到1A G 距离即EH 的长。

从而迅速找到了解题思路，A B 优化了解题过程。

（3）利用“隔离”法平面化为了排除直观图中的空间元素之间的干扰因素，可以应用隔离法把要研究的对象从直观图抽出来，在平面内单独研究，可以花繁为简。

中学数学教案发现立体几何的变换

中学数学教案发现立体几何的变换中学数学教案：发现立体几何的变换一、引言立体几何是数学中一个重要的分支，它涉及到空间中的各种几何图形及其性质。

而在教学中，如何引导学生发现立体几何的变换规律，并加以应用，是一项关键的任务。

本教案旨在通过一系列活动，激发学生对立体几何的兴趣，帮助他们理解和应用变换的概念。

二、目标本教案的目标是使学生能够：1. 理解三维变换的基本概念和特征；2. 掌握几种常见的立体几何变换方法；3. 运用变换方法解决实际问题。

三、教学过程1. 引入老师可以通过展示几个立体几何图形的变换示意图，引发学生对变换的思考，例如通过平移、旋转和缩放等变换来展示一个正方体的不同状态。

2. 概念讲解讲解立体几何的三维变换概念，即在空间中对图形进行平移、旋转或缩放等操作，保持其形状和大小不变。

3. 活动一：平移变换选择一个简单的立体几何图形，如长方体或正方体，并以实际模型或图片的形式呈现给学生。

引导学生通过手动平移模型或图片来感受平移变换，并观察图形的变化规律。

然后，学生自己动手进行平移变换，并总结平移变换的特点和规律。

4. 活动二：旋转变换选择一个与前面活动中的图形相同的模型或图片，并以不同的角度呈现给学生。

引导学生通过手动旋转模型或图片来感受旋转变换，并观察图形的变化规律。

然后，学生自己动手进行旋转变换，并总结旋转变换的特点和规律。

5. 活动三：缩放变换选择一个立体几何图形，并通过不同大小的模型或图片呈现给学生。

引导学生通过手动缩放模型或图片来感受缩放变换，并观察图形的变化规律。

然后，学生自己动手进行缩放变换，并总结缩放变换的特点和规律。

6. 活动四：实际问题应用提供一系列实际问题，要求学生运用所学的变换方法解决问题。

例如，计算一个长方体平移后的体积变化或一个球体旋转后的表面积变化等。

7. 总结与拓展对所学的内容进行总结，并引导学生思考其他可能的立体几何变换方法，鼓励他们进行进一步的研究和探索。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在活动中的参与度和表现，包括对变换概念的理解和应用能力。

浅谈初中数学教材几何习题的变式教学

浅谈初中数学教材几何习题的变式教学摘要：初中数学具有较强的抽象性和逻辑性，必须让学生深入理解知识的本质，才能够提高学生学习效果，实现知识的迁移运用。

习题变式教学有助于学生深入理解知识本质，落实一题多解、多题一法。

为强化初中几何教学效果，本文通过文献法和经验法对几何习题变式教学进行了研究，从变式教学的意义和策略两方面展开详细研究，以供参考。

关键词：初中数学；几何习题；变式研究引言：随着教育教学改革的深入，提升学生的核心素养变得愈发重要。

在这样的教育背景下，教师应该注重教学模式的优化，提高学生学习自主性，让学生在学习知识、训练技能的过程中，核心素养能够得到提升。

几何习题变式教学在核心素养培养上具有积极作用，赋予了学生更多的思考空间，在一定程度上加强了学生对几何基础知识的理解，能够促使学生深度学习，进行几何习题的探索。

基于此，教师应当注重初中数学教材几何习题的变式教学，以提高学生学习效果。

一、初中数学教材几何习题变式教学的意义在初中数学几何教学中，教师进行习题变式教学对学生核心素养的提升具有积极意义。

在传统的几何教学中，关于结合概念等知识学生习惯死记硬背，这样的学习模式下，学生的思维十分固定，只能解决标准化习题。

当题目出现一定的变形时，很多学生就会不知所措，主要原因在于不能理解知识的本质。

教师通过几何习题变式教学，可以让学生通过不同的习题深入感知几何概念，提高学生举一反三的能力。

除此之外，几何习题变式教学强调以学生为中心，引导学生主动进行知识的探索和分析，有助于学生学习兴趣的提升，强化学习效果。

二、初中数学教材几何习题变式教学的策略（一）注重习题典型资源的收集与分析从近几年中考数学几何习题上分析，很多题目源于教材中的习题，对教材中的习题进行了变式，难度并不大。

但是从学生们做题的实际情况上看，教材中涉及的几何题目，大部分学生都能够进行正确解答，但是对于中考的变式题目，很多学生在做题中出现了问题。

基于此，教师在进行教材中几何习题教学的过程中，不应该局限在教材题目中，应该适当进行习题变式，让学生以递进的形式进行习题练习，以此来促使学生深入理解知识的本质，对几何变形题有深刻的认识。

探索立体形的变换(大班数学教案)

探索立体形的变换（大班数学教案）【探索立体形的变换（大班数学教案）】【教学目标】1. 帮助学生理解立体形的基本概念，如长方体、球体和圆柱体等；2. 引导学生通过体验和探索，认知立体形的变换方式，如平移、旋转和翻转等；3. 培养学生观察、推理和解决问题的能力；4. 通过小组合作的方式，促进学生的互动与交流。

【教学准备】1. 教学素材：长方体模型、球体模型、圆柱体模型、图片资料；2. 教具：白板、彩色粉笔、发令牌；3. 学生工具：纸张、铅笔、彩色笔。

【教学步骤】一、引入（5分钟）1. 师生互动：老师展示一个长方体模型，让学生观察并回答：这是什么形状？2. 学生回答：长方体。

3. 学生互动：老师请几位同学前来触摸这个长方体，并形容它的特点。

二、探索立体形的变换（15分钟）1. 平移变换：a. 老师示范：将长方体模型沿着桌面向前推，观察变换前后的形状有何不同。

b. 学生实践：每个小组分发一个长方体模型，让小组成员轮流进行平移变换，并观察变换前后的形状有何变化。

2. 旋转变换：a. 老师示范：将长方体模型围绕中心轴旋转一周，观察变换前后的形状有何不同。

b. 学生实践：每个小组分发一个长方体模型和一个圆柱体模型，让小组成员轮流进行旋转变换，并观察变换前后的形状有何变化。

3. 翻转变换：a. 老师示范：将长方体模型翻转，观察变换前后的形状有何不同。

b. 学生实践：每个小组分发一个长方体模型和一个球体模型，让小组成员轮流进行翻转变换，并观察变换前后的形状有何变化。

三、总结立体形的变换规律（10分钟）1. 老师引导学生思考并总结：平移、旋转和翻转变换分别对应立体形的哪些变化？2. 学生回答：平移变换是形状整体移动，旋转变换是形状围绕中心轴旋转，翻转变换是形状上下颠倒。

3. 老师可借助图片等资料，让学生观察并找出更多立体形的变换例子。

四、应用练习（20分钟）1. 老师出示一些立体形的图片，要求学生根据给定的变换方式，绘制变换后的形状，并标注变换方式。

变式教学在几何教

B
O
X C
若E在CA延长线上，∠ACB、∠AED的平分线交于Q，下面两个结论①∠P+∠Q值不变② ∠P-∠Q值不变，只有一个是正确的，请判断，并证明。
E
y
A
D
P
Q
B
O
X C
（3）若E在AC延长线上，第二问结论是否仍然成立？
y A
P
D
Q
B
C
x

E
（四）运动变换
图形中的点、线运动或隐藏会引起结论的变化，这也是变式问题中重要的一类。要教给学生运用运动、变换的思想思考问题。
y
B C
O
x A
变式2：在直角坐标系中，△ABC的三个顶点是A（0，a）,B(b,0),C(c,0),D是线段AB 上任一点，直线OD交直线AC于E， ∠ADO和∠ABO的平分线交于P,
(1)若a-2b-c +（a+2b)2+(b+1)2n=0 求A、B、 C的坐标，并求S△ABC
y E
A
D
P
Q
如图3-3，BD、CD分别平分△ABC的两个外角，求证：∠D=90°-0.5∠A
A
D
E
F
B
C
图3-1
A E
B
图3-2
CD
A
B
C
图3-3
D
变式1：已知在平面直角坐标系中，A、B为 OX、OY上两动点，∠A的平分线与∠B的外角平分线交于C，试问：∠C的度数是否会随A、B的运动而产生变化？若变化，说明理由；若不变，求∠C的度数。
• 变式1：如图，AD为△ABC的角平分线，∠C>∠B， E在AD上，FE⊥BC，试探索∠DEF与∠B、∠C的等量关系。（如图5-2）

例谈初中数学教学中变式题的应用技巧

例谈初中数学教学中变式题的应用技巧初中数学教学中，变式题是非常重要的部分。

变式题不仅能够检验学生对知识点的掌握程度，还可以培养学生的逻辑思维、分析能力和解决问题的能力。

在教学中，很多老师和学生对变式题的应用技巧并不是很清楚，导致教学效果不理想。

本文将探讨初中数学教学中变式题的应用技巧，并且通过一些例子来详细介绍变式题的解题方法，希望对教师和学生有所帮助。

一、变式题的基本概念变式题是指在某种情况下，按照一定规律进行变化，向学生提出新的问题。

变式题主要包括一元一次方程的问题、比例问题、百分数问题等。

在解决变式题的过程中，我们首先要分析问题，搞清楚题目的要求，然后根据题目给出的条件，灵活运用所学知识进行推理和计算，最终得出答案。

二、变式题的应用技巧1. 确定未知数：在解决变式题的过程中，首先要明确未知数是什么，只有明确了未知数才能组建方程来解决问题。

要注意在组建方程的过程中，未知数的个数一定要与条件个数一致，不要出现多个未知数或者少个未知数的情况。

2. 建立方程：在变式题中，建立方程是解决问题的关键。

建立方程要根据题目的条件进行合理推断，根据题目的要求进行巧妙组合。

在建立方程时要注意方程的完整性和逻辑性，确保方程包含所有的条件，不漏也不多。

3. 解方程：建立方程之后，就需要解方程了。

解方程的方法有很多种，包括代入法、消元法、等价转化法等。

在变式题中，根据具体情况选择合适的解方程的方法，灵活运用，确保准确无误地得到未知数的值。

4. 核对答案：在得到未知数的值之后，一定要在题目中进行核对，看一看这个答案是不是符合题目的要求。

只有确认了答案是正确的，才算是解决了问题。

三、例谈初中数学教学中变式题的应用技巧为了更好地帮助教师和学生理解初中数学教学中变式题的应用技巧，下面将通过一些具体的例子来进行讲解。

例1：小明的体重是小红的体重的3/5，小红的体重比小刚的体重重12千克，求小明的体重。

解析：我们要明确未知数是谁？显然，题目中提到了小明、小红和小刚的体重，所以我们可以分别用m、h、g代表他们的体重。

高中数学变式理论教案

高中数学变式理论教案主题：变式理论目标：学生能够理解什么是变式，学会求解简单的变式问题并运用变式在实际情境中解决问题。

一、引入（5分钟）教师可以简单介绍变式的定义和基本概念，例如何为变式，变式的特点等。

同时引导学生思考一些简单的变式问题，如“如果一个苹果的价格是x元，那么n个苹果的总价是多少？”二、讲解与训练（20分钟）1. 教师针对基本形式的变式进行讲解，如ax+b、a(x+b)、a(b-x)等，让学生能够灵活运用这些基本形式来解决问题。

2. 教师可以给学生一些练习题，引导他们通过代入数值的方式来求解简单的变式问题。

3. 讲解变式的应用，例如在代数方程的解法中如何运用变式、在几何问题中如何利用变式计算面积等。

三、拓展与实践（15分钟）1. 学生自主进行实际的求解练习，并尝试将变式应用到不同的问题中。

2. 学生分组进行任务练习，比如让一组学生设计一个实际情境问题，另一组学生则利用变式来解决这个问题。

3. 教师提供更复杂的变式问题，并鼓励学生运用变式解决这些问题。

四、总结与评价（10分钟）1. 教师与学生一起回顾本节课的内容，并总结学生在变式理论上的学习收获。

2. 学生可以分享自己在实践中遇到的问题和解决方法，互相学习和交流。

3. 教师可以布置作业或者继续实践任务，让学生巩固和深化对变式理论的理解。

五、课后延伸（自主学习）1. 学生可以自行查阅相关的数学教材或者资料，进一步学习变式理论。

2. 学生可以选择性完成更多的变式练习题，提升自己的解决问题的能力。

3. 学生可以应用变式理论来解决更多的实际问题，拓展自己的思维和应用能力。

本节课的教学目标是让学生掌握变式的基本概念和方法，并能够在实际情境中运用变式解决问题。

希望学生在学习过程中能够主动思考、积极合作，提升自己的数学素养和解决问题的能力。

变式教学的教学案例

实例1：课题学习中点四边形（此教学设计被收录于越秀区教研室主编的《数学学习与探究课题学习---八年级》一书）顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形简称为中点四边形。

例1．证明：中点四边形一定是平行四边形。

变式1：如上图，当原四边形ABCD 是什么形状时，中点四边形EFGH 会变成：（1）一个矩形？画图并证明你的结论。

（2）一个菱形？画图并证明你的结论。

（3）一个正方形？画图并证明你的结论。

变式2：原四边形与中点四边形两者的面积有什么关系？你可能记得一个三角形的面积恰为其中点三角形（连结三角形中点的线段组成的三角形）面积的四倍，那么这里是否也有同样的关系呢？证明你的想法。

变式3：求证：顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形的周长等于原四边形两条对角线的和。

课堂练习：1．已知四边形ABCD 四边上中点分别为E 、F 、G 、H（1）若S 四边形ABCD ＝16，则S 四边形EFGH ＝。

（2）若AC=8，BD=7,则四边形EFGH 的周长为。

2．已知：△ABC 的周长为C ，面积为S（1）以三角形ABC 三边的中点连线为边构成的第2个三角形的周长是，面积是。

（2）以第2个三角形三边的中点连线为边构成的第3个三角形的周长是，面积是。

（3）以第n 个三角形三边的中点连线为边构成的第n ＋1个三角形的周长是，面积是。

3．已知：四边形ABCD 的周长为C ，对角线之和为m ，面积为S（1）以四边形四边的中点连线为边构成的第2个四边形的周长是，面A D G C B E F H积是。

（2）以第2个四边形四边的中点连线为边构成的第3个四边形的周长是，面积是。

（3）以第n－1个四边形四边的中点连线为边构成的第n个四边形的周长是，面积是。

利用变式教学能够展示知识的发生过程，从特殊到一般，促动知识的迁移，引导学生发现知识的内在联系。

教师在教学过程中，结合学生的实际，利用变式教学在学生学习过程中搭建支架，从而促动知识网络的形成。

浅谈初中数学“几何例题”的变式教学

浅谈初中数学“几何例题”的变式教学作者：***来源：《广东教学报·教育综合》2022年第31期【摘要】初中数学几何题，对于教师和学生来说都有一定的抽象性。

特别是在农村初中，学生对几何知识的掌握程度不够，想象力有一定限制，对难度大、证明步骤复杂的例题，学生难以理解，面对简单的几何例题，学生的思考深度又不够，从而导致学生对学习数学的兴趣不高，甚至对几何的一些题目都恐惧。

因此，教师如何在课堂中实施几何例题变式教学变得尤为重要，文章以初中“图形平移与旋转”一例题设计为例，探讨变式教学在例题教学中的重要性。

【关键词】初中数学;几何例题;变式教学数学作为一门基础性学科，是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

教师在教学过程中，要考虑数学自身的特点，遵循学生学习心理规律，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用。

因此，把课堂中的变式教学运用到例题中，可以有效实现学生亲身经历知识的变化，培养学生的推理能力和逻辑思维能力，使学生更好地掌握知识和解题方法。

初中几何例题教学是课本知识的一个范围，但教师要学生掌握的是把学到的技能融会贯通，能解决同一知识不同的问题。

应用数学几何例题变式教学的方法会无形中提高教学效率。

一、精选几何例题，提高课堂教学的有效性初中数学课本的例题都是经过各专家研究精选出来的，具有一定的代表性，包含着新知识的运用，难度适中，符合大部分学生的学习能力，但教师在例题教学中，要根据例题的内容和教学的知识进行适当的变式，从变式中检验学生对知识点的掌握。

几何例题的变式多样化，思维发散也比较广，因此教师在选择例题的时候，要根据学生特点，从教学目标出发，围绕教学重点教学，精选出符合新授课知识的例题进行变式训练，提高学生的思维能力。

例如，人教版九年级上册《图形平移与旋转》一课中，学习了旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等;2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;3.旋转前后的图形全等。

立体几何中常用的变形与变位技巧

立体几何中常用的变形与变位技巧作者：张婷婷来源：《高中生·高考指导》2015年第04期移是指将某图形移到适当位置，使不在同一平面的元素集中到一个平面内，再利用平面几何知识进行研究.利用“平移”可实现立体向平面的迅速转化.例1 如图1所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于小结本题为求异面直线所成角的问题.由图2可以看出，FD1∥OG，于是可知∠GOE即为所求的角.补就是将几何体补出适当的部分，变到比较熟悉或者比较简单的几何体，再去进行求解.“补形”能带来计算上的简便，有时甚至是问题得以解决的唯一途径.例2 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱AA1的中点，直线l过E点与异面直线BC、C1D1分别交于两点，求这两点之间的距离.展是指展开空间图形，是将立体几何问题转换为平面几何问题的常用方法.应用此法可化折为直，化曲为直.该法一般用于求多面体、旋转体的侧面上两点之间的最短距离.例3 如图4所示，圆台的上底半径为1，下底半径为4，母线AB=18，从AB的中点M拉一根绳子绕圆台侧面转到A点.（1）求绳子的最短长度.（2）求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.小结解答本题需将圆台“补成”圆锥再展开进行研究，这种割、补、拼凑的思想，也是立体几何中非常重要的数学思维方法.当给出的几何体较复杂，有关的计算公式无法直接运用或计算繁杂时，我们可以适当分割几何体，化整为零，从而迅速求解.例4 如图5所示，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积.叠就是将平面图形折叠成立体图形.这里要求认清平面图形中各已知条件的相互关系及其本质，并且在把这一平面图形折叠成立体图形以后，要注意哪些发生了变化，哪些未发生变化.这些未变化的已知条件都是分析问题和解决问题的依据.例5 如图6所示，在一个等腰直角三角形硬纸板ABC中，∠ACB=90°，AC=4 cm，CD是斜边上的高.沿CD将ABC折成直二面角A-CD-B，如图7所示.（1）若你手中有一把能度量长度的直尺，应如何确定A、B的位置，才能使得二面角A-CD-B成直二面角？证明你的结论.（2）试在平面ABC上确定一点P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论.（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求小球半径的最大值.解（1）由于AB⊥CD，所以折叠后仍有AD⊥CD，BD⊥CD成立，即∠ADB为二面角A-CD-B的平面角，只要使∠ADB为直角即可.利用勾股定理可得，只要AB=4 cm时，二面角A-CD-B即成直二面角.（2）在三棱锥D-ABC中，△ABC为等边三角形，所以三棱锥D-ABC为正三棱锥.故只要点P为△ABC的中心，那么DP⊥平面ABC成立，从而DP与平面内的任意一条直线都垂直.小结平面图形的折叠主要是研究空间图形与平面图形的相互转化.研究这类问题的方法是：①画出平面图形和折叠后的立体图形（用斜二侧画法）；②注意一些不变的基本元、基本量在解决问题时所起的关键作用.射是指射影.将空间图形中的若干元素利用射影方法集中到某一个平面内，然后利用平面图形的性质进行求解.转是指将某些图形旋转适当的角度，使空间图形转化成平面图形.例7 在二面角α-l-β的两个面α、β上分别有A、B两点，在二面角的棱l上求一点P，使得AP和BP之和最小.解可设法将A、B两点放在同一个平面内，为此将半平面α绕l按逆时针旋转，使其与平面β重合，这时半平面α落在α′的位置，这样在l上求一点P，并使其与A、B两点的距离之和最小，就转化为平面几何问题了.由此，我们得到以下作法：自点A向棱l作垂线AG，G为垂足，过点G在平面α′内作A′G⊥l，并取A′G=AG，连接A′B交l于点P，如图8所示.易证得△AGP≌△A′GP，即AP=A′P，于是可知点P即为所求的点.。

高中数学课堂中变式教学的案例初探

高中数学课堂中变式教学的案例初探
高中数学课堂中的变式教学是一种通过改变问题的条件、要求或变量，从而将问题转
化为与原问题类似但又有所不同的问题的教学方法。

变式教学可以帮助学生提高解决问题
的能力，培养学生掌握知识的灵活运用能力和创新思维能力。

本文将以四边形的面积计算
问题为例，初步探讨高中数学课堂中的变式教学。

教师可以给出一个传统的四边形的面积计算问题，例如：一个矩形的长为3米，宽为
4米，求它的面积。

这个问题是一个基础的面积计算问题，学生可以通过公式S=长×宽来
求解。

教师可以改变问题的变量，例如：一个等腰梯形，底边长为3米，上底长为5米，高
为4米，求它的面积。

这个问题是一个与原问题类似但又有所不同的变式问题。

学生可以
通过公式S=（上底+下底）×高/2，将底边长、上底长、高带入公式，解得面积。

通过以上的变式教学，学生可以从不同的角度和思路来解决问题，培养他们的思维灵
活性和创新能力。

在实际教学中，教师还可以根据学生的实际情况，设计更多的变式问题，扩展学生的思维视野和解题能力。

变式教学不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还可以培养学生的解决问题
的能力和创新思维能力。

在变式教学中，教师要注重引导学生从问题的条件、要求或变量
入手，积极思考问题的本质和规律，培养他们的观察力、分析力和推理能力。

教师还可以
鼓励学生展示自己的解题思路和方法，促进学生之间的交流和合作，提高他们的学习效果
和兴趣。