高中数学新课 三角函数 教案 (32)

课 题：4已知三角函数值求角（1）
教学目的：
1．要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的
正弦值、余弦值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合2．掌握已知三角函数值求角的解题步骤． 教学重点：已知三角函数值求角
教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成
ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k
公式二： 用弧度制可表示如下：
αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+） αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+） ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）
公式三： αα-sin sin(=-）
ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-） 公式四： 用弧度制可表示如下： ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）
公式五： 用弧度制可表示如下：
αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-） ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-） ααtan 360tan(-=-︒） ααπtan 2tan(-=-）
诱导公式6：
sin(90︒ -α) = cos α, cos(90︒ -α) = sin α
tan(90︒ -α) = cot α, cot(90︒ -α) = tan α
sec(90︒ -α) = csc α, csc(90︒ -α) = sec α 诱导公式7：
sin(90︒ +α) = cos α, cos(90︒ +α) = -sin α
tan(90︒ +α) = -cot α, cot(90︒ +α) = -tan α sec(90︒ +α) = -csc α, csc(90︒+α) = sec α 诱导公式8：
sin(270︒ -α) = -cos α, cos(270︒ -α) = -sin α tan(270︒ -α) = cot α, cot(270︒ -α) = tan α sec(270︒ -α) = -csc α, csc(270︒-α) = sec α 诱导公式9：
sin(270︒ +α) = -cos α, cos(270︒ +α) = sin α
tan(270︒ +α) = -cot α, cot(270︒ +α) = -tan α
sec(270︒ +α) = csc α, csc(270︒+α) = -sec α 诱导公式应用广泛，不仅已知任意一个角，(角必须属于这个函数的定义域)，可以求出它的三角函数值，而且反过来，如果已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．这就是本节课的主要内容． 二、讲解新课：
简单理解反正弦，反余弦函数的意义：
由y =
1︒在R 上无反函数
2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y
是一一对应的，且区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比
较简单
∴在⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数，
记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，（奇函数）
在[]π,0上，x y cos =的反函数称作反余弦函数， 记作()11arccos ≤≤-=x x y
已知三角函数求角：
首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值的 三、讲解范例：
例1 (1)已知⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈=
2,222sin ππx x 且，求x 解： 在⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
2,2ππ上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴4
π
=
x （即4
22arcsin
π
==x ） (2)已知[]π2,0,2
2
sin ∈=
x x 且 解：02
2
sin >=
x ，x ∴是第一或第二象限角 4
344,224sin 4sin π
ππππππ=-==∴=
=⎪⎭⎫
⎝
⎛-
x x 或 即（4
322arcsin 422arcsin
π
ππ=-===x x 或） (3)已知R x x ∈-
=且,2
2
sin 解：∴<-
=,02
2
sin x x 是第三或第四象限角 ()()
z k k k x ∈++=++=∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+41242,224sin 4sin ππππππππ
()()z k k k x ∈-+=-+=∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-422422,224sin 4sin ππππππππ
（即()z k k x k x ∈+
=-
=4
24
2π
ππ
π或 或
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+=22arcsin 1k
k x π） 这里用到()x y x x arcsin ,arcsin arcsin =-=- 是奇函数
例2 (1)已知[]π,07660.0cos ∈=x x 且，求x
解：在[]π,0上余弦函数x y cos =是单调递减的，且符合条件的角只有一个 ()7660.0arccos 9
2==
∴x x 即π
(2)已知7660.0cos -=x ，且[]π2,0∈x ，求x 的值 解：07660.0cos <-=x ，∴x 是第二或第三象限角
7660.092cos 92cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ
9
11929792ππππππ=+==-
=∴x x 或 (3)已知R x x ∈-=且,7660.0cos ，求x 的值 解：由上题：(z k k x k x ∈+
=+
=9
112972π
πππ或 介绍：∵(),arccos arccos
x x -π=- ∴上题()()z k k k x ∈±=-±=9
727660.0arccos 2π
ππ 四、课堂练习：
1α是三角形的一个内角，且sin α＝
2
1
，则α等于( ) A ．30° Ｂ．30°或150° Ｃ．60° Ｄ．120°或60° 20＜α＜2π，则满足5sin 2α－4＝0的α有( )
A ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
3sin 2x ＝
2
1
的x 的集合是( ) A ．｛x ｜x ＝ｋπ＋（－1）ｋ
6
π
，ｋ∈Z ｝Ｂ．｛x ｜x ＝2ｋπ±
4
π
，ｋ∈Z ｝
Ｃ．｛x ｜x ＝ｋπ＋4
π
，ｋ∈Z ｝ Ｄ．｛x ｜x ＝
2πk ＋4
π
，ｋ∈Z ｝ 4sin2x ＝－
2
3
，且0＜x ＜2π，则x = 5sin2x ＝
2
3
，则x ＝ 6sin α＝sin
7
π
，α∈R ，则α＝ 7sin x ＋cos x ＝
26，x ∈（0，4
π），求x 8sin 2x ＝sin 2
7
π
，求x
9sin x ＋cos x ＝ｍ在［0，π］内总有两个不同的解，求m 的范围
参考答案：
1 2D 3D 4
6
11 35 65 32ππππ 56π＋k π或3
π＋k π，k ∈Z 6ππ
πk k 27627++或
，k ∈Z 712π 8x ＝7π＋2k π或x ＝ππk 276+或x ＝－7
π＋2k π或x ＝78π
＋2k π，
k ∈Z 91＜ｍ＜2
五、小结 求角的多值性法则：1、先决定角的象限2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ； 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x ，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角六、课后作业：
七、板书设计（略） 八、课后记：。