八上特殊三角形难题

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超难题系列:八年级上册数学《三角形》21道超难题

超难题系列:八年级上册数学《三角形》21道超难题

超难题系列八年级上册数学《三角形》21道超难题一.选择题(共1小题)1.(2020春•南岗区校级月考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,过D作DF⊥BC交BA的延长线于F,连接AD、CF,若∠CFE=32°,∠ADB=45°,则∠B的大小是()A.32°B.64°C.77°D.87°二.解答题(共21小题)2.(2021春•江都区期中)【概念认识】如图①,在∠ABC中,若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD,BE叫做∠ABC的“三分线”.其中,BD是“邻AB三分线”,BE是“邻BC三分线”.【问题解决】(1)如图②,在△ABC中,∠A=80°,∠B=45°,若∠B的三分线BD交AC于点D,求∠BDC的度数;(2)如图③,在△ABC中,BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线,且∠BPC=140°,求∠A的度数;【延伸推广】线所在的直线交于点P.若∠A=m°(m>54),∠B=54°,直接写出∠BPC的度数.(用含m的代数式表示)3.(2021•香洲区校级模拟)“转化”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题.(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图(1)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数;(2)若对图(1)中星形截去一个角,如图(2),请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数;(3)若再对图(2)中的角进一步截去,你能由题(2)中所得的方法或规律,猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗?只要写出结论,不需要写出解题过程)4.(2019秋•揭阳期末)探究与发现:如图①,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在BC边上,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED,连接DE.(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;(2)当点D在BC(点B、C除外)边上运动时,试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系,并说明理由.(3)深入探究:如图②,若∠B=∠C,但∠C≠45°,其他条件不变,试探究∠BAD与∠CDE的数量关系.5.(2019秋•长葛市期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交BC的延长线于点E.(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度数.(2)当点P在线段AD上运动时,设∠B=α,∠ACB=β(β>α),求∠E的大小.(用含α、β的代数式表示)6.(2019秋•辽阳期末)已知如图①,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α.(1)当α=40°时,∠BPC= °,∠BQC= °;(2)当α= °时,BM∥CN;(3)如图②,当α=120°时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数;(4)在α>60°的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系:.7.(2019春•高邑县期末)如图,点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动(不与点O重合).射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部,延长EC与DF交于点F.(1)若∠AOB=90°,CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线,猜想:∠F的度数是否随C,D的运动发生变化?请说明理由.(2)若∠AOB=α°(0<α<180),∠ECD=1 /n ∠ACD,∠CDF=1/n ∠CDO,则∠F= °.(用含α、n的代数式表示)8.(2019春•芙蓉区校级期中)在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC.(1)如图,点D在线段BC上.①若∠B=70°,∠C=30°,则∠DAE= ;②若∠B=α,∠C=β,则∠DAE= .(用含α、β的代数式表示)(2)如图2,若点D在边CB的延长线上时,若∠ABC=α,∠C=β,写出∠DAE与α、β满足的数量关系式,并说明理9.(2018春•南安市期末)阅读理解:请你参与下面探究过程,完成所提出的问题.(Ⅰ)问题引入:如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=70°,则∠BOC= 度;若∠A=α,则∠BOC= (用含α的代数式表示);(Ⅱ)类比探究:如图②,在△ABC中,∠CBO=1/3 ∠ABC,∠BCO=1/3 ∠ACB,∠A=α.试探究:∠BOC与∠A的数量关系(用含α的代数式表示),并说明理由.如图③,BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=1/n ∠DBC,∠BCO=1/n∠ECB,∠A=α,求∠BOC的度数(用含α、n的代数式表示).10.(2018春•镇平县期末)已知a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,设三角形的周长是x.(1)直接写出c及x的取值范围;(2)若x是小于18的偶数①求c的长;②判断△ABC的形状.11.(2017秋•开江县期末)如图1,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,若∠A=82°,则∠BEC= ;若∠A=a°,则∠BEC= .【探究】(1)如图2,在△ABC中,BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,若∠A=a°,(2)如图3,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC和∠A有怎样的关系?请说明理由;(3)如图4,O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?请说明理由.12.(2021春•镇江期末)直线AB、CD为平面内两条直线,点M、点N分别在直线AB、CD上,点P(P不在直线AB、CD上)为平面内一动点.(1)如图1,若AB、CD相交于点O,∠MON=40°;①当点P在△OMN内部时,求证:∠MPN-∠OMP-∠ONP=40°;②小芳发现,当点P在∠MON内部运动时,∠MPN、∠OMP、∠ONP还存在其它数量关系,这种数量关系是;③探究,当点P在∠MON外部时,∠MPN、∠OMP、∠ONP之间的数量关系共有种;(2)如图2,若AB∥CD,请直接写出∠MPN与∠AMP、∠CNP之间存在的所有数量关系是.13.(2021春•永嘉县校级期中)如图1我们称之为“8字形”,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系:;(3)如图2,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 度(4)如图3所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,猜想∠B,∠P,∠D之间的数量关系,并证明.14.(2021春•安丘市期末)如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=40°,∠C=70°.(1)求∠DAE的度数;(2)如图②,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC”,其它条件不变,求∠DFE的度数.15.(2020秋•椒江区校级月考)在一个钝角三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.如,三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“智慧三角形”.如图,∠MON=60°,在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交射线OB于点C.(1)∠ABO的度数为°,△AOB (填“是”或“不是”)“智慧三角形”;(2)若∠OAC=20°,求证:△AOC为“智慧三角形”;(3)当△ABC为“智慧三角形”时,求∠OAC的度数.(直接写出答案)模型:角平分线模型16.(2020秋•阜平县期中)如图,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,它们相17.(2019春•庐江县期末)已知:三角形ABC和同一平面内的点D.(1)如图1,点D在BC边上,DE∥BA交AC于E,DF∥CA交AB于F.若∠EDF=85°,则∠A的度数为°.(2)如图2,点D在BC的延长线上,DF∥CA,∠EDF=∠A,证明:DE∥BA.(3)如图3,点D是三角形ABC外部的一个动点,过D作DE∥BA交直线AC于E,DF∥CA交直线AB于F,直接写出∠EDF与∠A的数量关系(不需证明).18.(2019春•新华区校级期末)直线MN与直线PQ垂直相交于点O,点A在射线OP上运动(点A不与点O重合),(1)如图1,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线,①当∠ABO=60°时,求∠AEB的度数;②点A、B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况:若不发生变化,试求出∠AEB的大小;(2)如图2,延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F,在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,请直接写出∠ABO的度数.19.(2018秋•崇左期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起.(1)如图(1)若∠BOD=35°,求∠AOC的度数,若∠AOC=135°,求∠BOD的度数.(2)如图(2)若∠AOC=150°,求∠BOD的度数.(3)猜想∠AOC与∠BOD的数量关系,并结合图(1)说明理由.(4)三角尺AOB不动,将三角尺COD的OD边与OA边重合,然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度,当∠AOD(0°<∠AOD<90°)等于多少度时,这两块三角尺各有一条边互相垂直,直接写出∠AOD角度所有可能的值,不用说明理由.20.(2019春•永年区期末)如图是一个多边形,你能否用一直线去截这个多边形,使得到的新多边形分别满足下列条件:(画出图形,把截去的部分打上阴影)①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°.②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°.(3)将多边形只截去一个角,截后形成的多边形的内角和为2520°,求原多边形的边数.21.(2019春•潍坊期末)△ABC中,∠C=80°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点,令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.(1)若点P在边AB上,且∠α=50°,如图1,则∠1+∠2= ;(2)若点P在边AB上运动,如图2所示,则∠α、∠1、∠2之间的关系为.(3)若点P运动到边AB的延长线上,如图3,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由22.(2019春•城厢区校级期末)直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在射线OP 上运动,点B在射线OM上运动.(1)如图1,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,点A、B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,试求出其值;(2)如图2,延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F,则∠EAF= °;在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,试求∠ABO的度数.。

人教版八年级数学上册全等三角形典型6类难题题型归类

人教版八年级数学上册全等三角形典型6类难题题型归类

人教版八年级数学上册 全等三角形 典型6类难题题型归类一、角平分线型角平分线是轴对称图形,所以我们要充分的利用它的轴对称性,常作的辅助线是:一利用截取一条线段构造全等三角形,二是经过平分线上一点作两边的垂线 。

(1)构造全等三角形1. 如图,在Δ ABC 中, D 是边 BC 上一点, AD 平分∠ BAC ,在 AB 上截取 AE=AC ,连结 DE ,已知 DE=2cm , BD=3cm ,求线段 BC 的长。

2. 已知:如图所示, BD 为∠ ABC 的平分线, AB=BC ,点 P 在 BD 上, PM ⊥ AD 于 M , •PN ⊥ CD 于 N ,判断 PM 与 PN 的关系.PD A C M N思路:截取构造全等三角形思路:构造全等三角形3. 已知:如图 E 在△ ABC 的边 AC 上,且∠ AEB= ∠ ABC 。

(1) 求证:∠ ABE= ∠ C ;(2) 若∠ BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F , FD ∥ BC 交 AC 于 D ,设 AB=5 , AC=8 ,求 DC 的长。

4、 如图所示,已知∠ 1= ∠ 2 , EF ⊥ AD 于 P ,交 BC 延长线于 M ,求证: 2 ∠ M= (∠ ACB- ∠ B )5、 如图,在△ ABC 中,∠ ABC=60 °, AD 、 CE 分别平分∠ BAC 、∠ ACB , 求证: AC=AE+CD .思路: 外角的性质+代数思想 思路:(1)三角形内角和+等量代换 (2)构造全等三角形6、如下图,已知在四边形ABCD 中,BC >AB,AD=CD,BD 平分∠ABC.求证:∠A +∠C=180°.(可转化为证明一个角是另一个角的邻补角)7、如下图,已知在△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC ,BE 平分∠ABC ,CE ⊥BE.求证:CE=1/2BD.思路:1. 构造全等(角平分线添加辅助线)2. 内角平分线形成的∠A0C=思路:构造全等(角平分线添加辅助线)(1)向两边作垂线(2)翻折(截取)构造全等 思路:构造全等(角平分线添加辅助线)(3)“角平分线+垂直”构造等腰三角形二、中点型由中点应产生以下联想:1、利用中心对称图形构造 8 字型全等三角形2 、想到中线,倍长中线1、如图 , 已知 : AD 是 BC 上的中线 , 且 DF=DE .求证 :BE ∥ CF .思路:构造 8 字型全等三角形2 、如图,△ ABC 中, D 是 BC 的中点, DE ⊥ DF ,试判断 BE+CF 与 EF 的大小关系,并证明你的结论。

特殊三角形(压轴必刷30题)—2024学年八年级数学上册同步讲义(浙教版)(解析版)

特殊三角形(压轴必刷30题)—2024学年八年级数学上册同步讲义(浙教版)(解析版)

特殊三角形(压轴必刷30题7种题型专项训练)一.全等三角形的判定与性质(共1小题)1.(2022秋•南昌期中)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图1,当点D在线段BC上时,如果∠BAC=90°,则∠BCE=°.(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.①如图2,当点D在线段BC上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由.②当点D在直线BC上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?请你在备用图上画出图形,并直接写出你的结论.【分析】(1)先用等式的性质得出∠CAE=∠BAD,进而得出△ABD≌△ACE,有∠B=∠ACE,最后用等式的性质即可得出结论;(2)①由(1)的结论即可得出α+β=180°;②同(1)的方法即可得出结论.【解答】解:(1)∵∠DAE=∠BAC,∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC;∴∠CAE=∠BAD;在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SAS);∴∠B=∠ACE;∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°﹣∠BAC=90°;故答案为90°;(2)①由(1)中可知β=180°﹣α,∴α、β存在的数量关系为α+β=180°;②当点D在射线BC上时,如图1,同(1)的方法即可得出,△ABD≌△ACE(SAS);∴∠ABD=∠ACE,∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°﹣∠BAC=180°﹣α,∴α+β=180°;当点D在射线BC的反向延长线上时,如图2,同(1)的方法即可得出,△ABD≌△ACE(SAS);∴∠ABD=∠ACE,∴β=∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=∠ABD﹣∠ACB=∠BAC=α,∴α=β.【点评】此题是作图﹣﹣﹣复杂作图,主要考查了等式的性质,全等三角形的判定,解本题的关键是得出△ABD≌△ACE.二.等腰三角形的性质(共7小题)2.(2022秋•拱墅区期末)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE平分∠ADC,交AC与点E,EF⊥AB于点F,且交AD于点G,若AG=2,BC=12,则AF=.【分析】过点B作BH⊥AC于H,过点D作DK⊥AC于K,过点E作EM⊥CD于M,EN⊥AD于N,连接BE,先证得△DEG≌△DEC(AAS),运用勾股定理可得AB=10,利用面积法可求得:DK=,BH=,EM=EN=,AE=,EF=,再运用勾股定理即可求得答案.【解答】解:如图,过点B作BH⊥AC于H,过点D作DK⊥AC于K,过点E作EM⊥CD于M,EN⊥AD于N,连接BE,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=BC=×12=6,∠BAD+∠ABC=90°,∠ABC=∠C,∵EF⊥AB,∴∠BAD+∠AGF=90°,∴∠ABC=∠AGF=∠C,∵∠AGF=∠DGE,∴∠DGE=∠C,∵DE平分∠ADC,EM⊥CD,EN⊥AD,∴EM=EN,∠EDG=∠EDC,在△DEG和△DEC中,,∴△DEG≌△DEC(AAS),∴DG=CD=6,∵AG=2,∴AD=AG+DG=2+6=8,在Rt△ABD中,AB===10,∴AC=AB=10,∵AC•DK=AD•CD,∴10DK=8×6,∴DK=,∵AC•BH=BC•AD,∴10BH=12×8,∴BH=,∵S△ADE+S△CDE=S△ACD,∴AD•EN+CD•EM=AD•CD,∴4EN+3EM=24,∵EN=EM,∴7EN=24,∴EN=,∴EM=EN=,∵DK•AE=AD•EN,∴AE=8×,∴AE=,∵AB•EF=AE•BH,∴10EF=×,∴EF=,在Rt△AEF中,AF===.故答案为:.【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,等边对等角,直角三角形性质,勾股定理,三角形面积,全等三角形的判定和性质等,综合性强,有一定难度,添加辅助线作三角形的高,运用面积法是解题关键.3.(2022秋•金华期中)已知:如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=30°;试求∠B和∠C的度数.【分析】由题意,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=30°,根据等腰三角形的性质可以求出底角,再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C.【解答】解:在△ABC中,AB=AD=DC,∵AB=AD,在三角形ABD中,∠B=∠ADB=(180°﹣30°)=75°,又∵AD=DC,在三角形ADC中,∴∠C=∠ADB=37.5°.∴∠B=75°,∠C=37.5°.【点评】本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等,还考查了三角形的内角和定理及内4.(2022秋•余杭区校级期中)已知:如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA.(1)AD与CE相等吗?为什么;(2)若∠BCD=75°,求∠ACE的度数;(3)若∠BCE=α,∠ACE=β,则α,β之间满足一定的数量关系,请直接写出这个结论.【分析】(1)由SAS证明△ABD≌△EBC,根据全等三角形的性质即可得出AD=CE;(2)根据等腰三角形的性质可得∠BCD=∠BDC=75°,由三角形的内角和以及角平分线的定义得出∠DBC=∠ABD=30°,再根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解;(3)根据等腰三角形的性质可得∠BCD=∠BDC,由角平分线的定义得∠DBC=∠ABD,再根据全等三角形的性质和三角形的内角和得∠ACE=∠ABD=∠DBC=β,由∠BCE=∠BCD+∠ACE=α和三角形的内角和即可得出结论.【解答】解:(1)AD=CE,理由:∵BD为△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBE,在△ABD和△EBC中,,∴△ABD≌△EBC(SAS),∴AD=CE;(2)∵BD=BC,∠BCD=75°∴∠BCD=∠BDC=75°,∴∠DBC=∠ABD=30°,∴∠ABC=60°,由(1)知△ABD≌△EBC,∴∠BAD=∠BEC,∵∠ADB=∠EDC,∴∠ACE=∠ABD=30°;(3)∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC,∵BD为△ABC的角平分线,∴∠DBC=∠ABD,由(1)知△ABD≌△EBC,∴∠BAD=∠BEC,∵∠ADB=∠EDC,∴∠ACE=∠ABD=∠DBC=β,∵∠BCE=∠BCD+∠ACE=α,∴∠BCD=∠BDC=α﹣β,∵∠DBC+∠BDC+∠BCD=180°,∴β+(α﹣β)+(α﹣β)=180°,∴2α﹣β=180°.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解决问题的关键.5.(2022秋•隆回县期中)探究与发现:如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在底边BC 上,AE=AD,连接DE.(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;(2)当点D在BC(点B、C除外)上运动时,试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系;(3)深入探究:若∠BAC≠90°,试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.【分析】(1)CAD=∠BAD=60°,由于AD=AE,于是得到∠ADE=60°,根据三角形的内角和即可得到∠CDE=75°﹣45°=30°;(2)设∠BAD=x,于是得到∠CAD=90°﹣x,根据等腰三角形的性质得到∠AED=45°+,于是得到结论;(3)设∠CDE=x,∠C=y,由等腰三角形的性质和外角的性质可求解.【解答】解:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°,∵∠BAD=60°,∴∠DAE=30°,∵AD=AE,∴∠AED=75°,∴∠CDE=∠AED=∠C=30°;(2)设∠BAD=x,∴∠CAD=90°﹣x,∵AE=AD,∴∠AED=45°+,∴∠CDE=x,∴∠BAD=2∠CDE;(3)设∠CDE=x,∠C=y,∵AB=AC,∠C=y,∴∠B=∠C=y,∵∠CDE=x,∴∠AED=y+x,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=y+x,∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∴y+∠BAD=y+x+x,∴∠BAD=2∠CDE.【点评】本题考查等腰三角形的性质,三角形外角的性质,熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.6.(2022秋•岳阳县校级期中)在△ABC中,AB=AC.(1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=(2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=(3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:(4)如图3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由.【分析】(1)等腰三角形三线合一,所以∠DAE=30°,又因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=75°,所以∠DEC=15°.(2)同理,易证∠ADE=70°,所以∠DEC=20°.(3)通过(1)(2)题的结论可知,∠BAD=2∠EDC(或∠EDC=∠BAD).(4)由于AD=AE,所以∠ADE=∠AED,根据已知,易证∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C,而B=∠C,所以∠BAD=2∠EDC.【解答】解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高,∴∠BAD=∠CAD,∵∠BAD=30°,∴∠BAD=∠CAD=30°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=75°,∴∠EDC=15°.(2)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高,∴∠BAD=∠CAD,∵∠BAD=40°,∴∠BAD=∠CAD=40°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=70°,∴∠EDC=20°.(3)∠BAD=2∠EDC(或∠EDC=∠BAD)(4)仍成立,理由如下∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C又∵AB=AC,∴∠B=∠C∴∠BAD=2∠EDC.故分别填15°,20°,∠EDC=∠BAD【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质,即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一.得到角之间的关系是正确解答本题的关键.7.(2022秋•余姚市校级期中)若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+(b﹣4)2=0(1)试求a、b的值,并求第三边c的取值范围.(2)若△ABC是等腰三角形,试求此三角形的周长.(3)若另一等腰△DEF,其中一内角为x°,另一个内角为(2x﹣20)°试求此三角形各内角度数.【分析】(1)利用非负数的性质可求得a、b的值,根据三角形三边关系可求得c的范围;(2)分腰长为3或4两种情况进行计算;(3)分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况,结合三角形内角和定理可求得x,可得出三个角的度数.【解答】解:(1)∵|a﹣3|+(b﹣4)2=0,∴a=3 b=4,∵b﹣a<c<b+a,∴1<c<7;(2)当腰长为3时,此时三角形的三边为3、3、4,满足三角形三边关系,周长为10;当腰长为4时,此时三角形的三边长为4、4、3,满足三角形三边关系,周长为11;综上可知等腰三角形的周长为10或11;(3)当底角为x°、顶角为(2x﹣20)°时,则根据三角形内角和为180°可得:x+x+2x﹣20=180,解得x=50,此时三个内角分别为50°、50°、80°;当顶角为x°、底角为(2x﹣20)°时,则根据三角形内角和为180°可得:x+2x﹣20+2x﹣20=180,解得x=44,此时三个内角分别为44°、68°、68°;当底角为x°、(2x﹣20)°时,则等腰三角形性质可得:x=2x﹣20,解得x=20,此时三个内角分别为20°、20°、140°;综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度.【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键.8.(2022秋•金华期末)如图,在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,BD为△ABC的角平分线;(1)若AB=BD,则∠A的度数为°(直接写出结果);(2)如图1,若E为线段BC上一点,∠DEC=∠A;求证:AB=EC.(3)如图2,若E为线段BD上一点,∠DEC=∠A,求证:AB=EC.【分析】(1)如图1中,设∠C=x.则可证∠A=∠ADB=2x,利用三角形内角和定理,构建方程求出x 即可解决问题;(2)证明△ABD≌△ECD(AAS),可得结论;(3)如图2中,延长BD到T,使得CD=CT.证明△ABD≌△ECT(AAS),可得结论.【解答】(1)解:如图1中,设∠C=x.∵∠ABC=2∠C,∴∠ABC=2x,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=x,∵AB=BD,∴∠A=∠ADB=∠DBC+∠C=2x,∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴2x+2x+x=180°,∴x=36°,∴∠A=2x=72°,故答案为:72.(2)证明:如图1中,∵∠ABD=∠DBC=∠C,∴BD=CD,在△ABD和△ECD中,,∴△ABD≌△ECD(AAS),∴AB=EC.(3)证明:如图2中,延长BD到T,使得CD=CT.∵CD=CT,∴∠T=∠CDT=∠ADB,∵BD=CD,∴BD=CT,在△ABD和△ECT中,,∴△ABD≌△ECT(AAS),∴AB=EC.【点评】本题属于三角形综合题,考查了等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题.三.等腰三角形的判定(共3小题)9.(2022秋•泗洪县期中)如图,已知直线OM垂直于直线ON,点A在直线OM上,且∠OAB=30°,点B在直线ON上,在直线OM或直线ON上找一点C(与A、B不重合),使△ABC成为一个等腰三角形,这样的点C能找到个.【分析】分两种情况讨论,当AB是底边时,当AB是腰时,即可求解.【解答】解:(1)当AB是底边时,作AB的垂直平分线,分别与AO,线段BO的延长线相交,共两个交点,都符合题意;(2)当AB是腰时①以A圆心AB长为半径画圆交直线OM于两点,交线段BO延长线于一点(该点与前面的点重合)②以B圆心AB长为半径画圆交直线ON于两点(有一个点与前面的点重合),交线段AO延长线于一点,有两个交点符合题意,因此这样的点C能找到6个,使△ABC成为等腰三角形.故答案为:6.【点评】本题考查等腰三角形,关键是分两种情况讨论,并注意有重合的点.10.(2022秋•涟源市期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.(1)BP=(用t的代数式表示)(2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后,△PQB是等腰三角形?(3)当点Q在边CA上运动时,出发秒后,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形?【分析】(1)根据题意即可用t可分别表示出BP;(2)结合(1),根据题意再表示出BQ,然后根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ,可得到关于t的方程,可求得t;(3)用t分别表示出BQ和CQ,利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ三种情况,分别得到关于t的方程,可求得t的值.【解答】解:(1)由题意可知AP=t,BQ=2t,∵AB=16cm,∴BP=AB﹣AP=(16﹣t)cm,故答案为:(16﹣t)cm;(2)当点Q在边BC上运动,△PQB为等腰三角形时,则有BP=BQ,即16﹣t=2t,解得t=,∴出发秒后,△PQB能形成等腰三角形;(3)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时:CQ=BQ,如图1所示,则∠C=∠CBQ,∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°.∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ,∴BQ=AQ,∴CQ=AQ=10(cm),∴BC+CQ=22(cm),∴t=22÷2=11;②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时:CQ=BC,如图2所示,则BC+CQ=24(cm),∴t=24÷2=12,综上所述:当t为11或12时,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形.故答案为:11秒或12.【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间t表示出相应线段的长,化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路,注意方程思想的应用.11.(2022秋•江干区校级期中)如图,点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=CE.(1)求证:AB=AC;(2)若∠BAC=108°,∠DAE=36°,直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形.【分析】(1)首先过点A作AF⊥BC于点F,由AD=AE,根据三线合一的性质,可得DF=EF,又由BD=CE,可得BF=CF,然后由线段垂直平分线的性质,可证得AB=AC.(2)根据等腰三角形的判定解答即可.【解答】证明:(1)过点A作AF⊥BC于点F,∵AD=AE,∴DF=EF,∵BD=CE,∴BF=CF,∴AB=AC.(2)∵∠B=∠BAD,∠C=∠EAC,∠BAE=∠BEA,∠ADC=∠DAC,∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为:△ABD、△AEC、△ABE、△ADC,【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.四.等腰三角形的判定与性质(共2小题)12.(2022秋•拱墅区校级期中)(1)如图1,△ABC中,作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O,过点O 作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.①求证:OE=BE;②若△ABC的周长是25,BC=9,试求出△AEF的周长;(2)如图2,若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P,连接AP,试探求∠BAC与∠P AC的数量关系式.【分析】(1)①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论;②根据三角形的周长公式即可得到结论;(2)根据角平分线的性质即可得出答案.【解答】解:(1)①∵BO平分∠ABC,∴∠EBO=∠OBC,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∴∠EOB=∠EBO,∴OE=BE;②△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25﹣9=16;(2)解:延长BA,做PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,∵CP平分∠ACD,∴∠ACP=∠PCD,PM=PN,∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠PBC,PF=PN,∴PF=PM,∴∠F AP=∠P AC,∴∠F AC=2∠P AC,∵∠F AC+∠BAC=180°,∴2∠P AC+∠BAC=180°.【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定,平行线的性质,熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键.13.(2022秋•房县期中)如图,A、C分别在∠GBE的边BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE 的平分线与AD交于点D,连接CD.(1)求证:①AB=AD;②CD平分∠ACE.(2)猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系?并对你的猜想加以证明.【分析】(1)①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC,由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC,等量代换得到∠ABD=∠ADB,根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD;②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE,由①知AB=AD,等量代换得到AC=AD,根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC,求得∠ACD=∠DCE,即可得到结论;(2)根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE,由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE,由∠BAC+∠ABC=∠ACE,于是得到∠DC+∠ABC=∠ABC+∠BAC,即可得到结论.【解答】解:(1)①∵AD∥BE,∴∠ADB=∠DBC,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD;②∵AD∥BE,∴∠ADC=∠DCE,由①知AB=AD,又∵AB=AC,∴AC=AD,∴∠ACD=∠ADC,∴∠ACD=∠DCE,∴CD平分∠ACE;(2)∠BDC=∠BAC,∵BD、CD分别平分∠ABE,∠ACE,∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE,∵∠BDC+∠DBC=∠DCE,∴∠BDC+∠ABC=∠ACE,∵∠BAC+∠ABC=∠ACE,∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC,∴∠BDC=∠BAC.【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质,角平分线的定义,平行线的性质,熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键.五.勾股定理(共8小题)14.(2022秋•镇海区校级期中)如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC 边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.(1)出发2秒后,求PQ的长;(2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒钟后,△PQB能形成等腰三角形?(3)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.【分析】(1)根据点P、Q的运动速度求出AP,再求出BP和BQ,用勾股定理求得PQ即可;(2)设出发t秒钟后,△PQB能形成等腰三角形,则BP=BQ,由BQ=2t,BP=8﹣t,列式求得t即可;(3)当点Q在边CA上运动时,能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况:①当CQ=BQ时,则∠C=∠CBQ,可证明∠A=∠ABQ,则BQ=AQ,则CQ=AQ,从而求得t;②当CQ=BC时,则BC+CQ=12,易求得t;③当BC=BQ时,过B点作BE⊥AC于点E,则求出BE,CE,即可得出t.【解答】解:(1)∵BQ=2×24(cm),BP=AB﹣AP=16﹣2×1=14(cm),∠B=90°,∴PQ===(cm);(2)BQ=2t,BP=16﹣t,根据题意得:2t=16﹣t,解得:t=,即出发秒钟后,△PQB能形成等腰三角形;(3)①当CQ=BQ时,如图1所示,则∠C=∠CBQ,∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°.∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ,∴BQ=AQ,∴CQ=AQ=10,∴BC+CQ=22,∴t=22÷2=11秒.②当CQ=BC时,如图2所示,则BC+CQ=24,∴t=24÷2=12秒.③当BC=BQ时,如图3所示,过B点作BE⊥AC于点E,则BE==,∴CE=,∴CQ=2CE=14.4,∴BC+CQ=26.4,∴t=26.4÷2=13.2秒.综上所述:当t为11秒或1213.2秒时,△BCQ为等腰三角形.【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质,注意分类讨论思想的应用.15.(2022秋•嵊州市期中)如图,△ABC中,BA=BC,CO⊥AB于点O,AO=4,BO=6.(1)求BC,AC的长;(2)若点D是射线OB上的一个动点,作DE⊥AC于点E,连结OE.①当点D在线段OB上时,若△AOE是以AO为腰的等腰三角形,请求出所有符合条件的OD的长.②设DE交直线BC于点F,连结OF,若S△OBF:S△OCF=1:4,则BD的长为(直接写出所有结果).【分析】(1)由勾股定理即可计算;(2)①分两种情况:AO=OE或AO=AE,由等腰三角形的性质和判定,余角的性质,全等三角形的判定和性质,即可求解;②分两种情况:点D在线段OB上时或点D在线段OB延长线上时,由余角的性质,等腰三角形的性质和判定,三角形面积公式,即可求解.【解答】解:(1)∵AB=AO+BO=4+6=10,∴BC=AB=10,∵CO⊥AB,∴CO===8,∴AC===4;(2)①当AO=OE时,∴∠A=∠AEO,∵∠OED+∠AEO=∠ODE+∠A=90°,∴∠ODE=∠OED,∴OD=OE=AO=4;当AO=AE时,∵∠A=∠A,∠AOC=∠AED=90°,∴△AED≌△AOC(ASA),∴AD=AC=4,∴OD=AD﹣AO=4﹣4,②当点D在线段OB上时,∵S△OBF:S△OCF=1:4,∴BF:CF=1:4,∴BF:BC=1:3,∵BC=10,∴BF=,∵BC=BA,∴∠A=∠BCA,∵∠EDA+∠A=90°,∠BDF=∠EDA,∴∠BDF+∠A=90°,∵∠BFD+∠BCA=90°,∴∠BDF=∠BFD,∴BD=BF=,当点D在线段OB的延长线上时,∵S△OBF:S△OCF=1:4,∴BF:CF=1:4,∴BF:BC=1:5,∵BC=10,∴BF=2,同理可证:∠D=∠DFB,∴BD=BF=2.故答案为:或2.【点评】本题考查勾股定理,三角形全等判定和性质,等腰三角形的判定和性质,余角的性质,关键是熟练掌握以上知识点,并注意解题时分情况讨论.16.(2022秋•天宁区校级期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B 出发沿射线BC以2cm/s的速度移动,设运动的时间为t秒.(1)求BC边的长;(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值;(3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.【分析】(1)直接根据勾股定理求出BC的长度;(2)当△ABP为直角三角形时,分两种情况:①当∠APB为直角时,②当∠BAP为直角时,分别求出此时的t值即可;(3)当△ABP为等腰三角形时,分三种情况:①当AB=BP时;②当AB=AP时;③当BP=AP时,分别求出BP值.【解答】解:(1)在Rt△ABC中,BC2=AB2﹣AC2=102﹣62=64,∴BC=8(cm);(2)由题意知BP=2tcm,①当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=8cm,即t=4;②当∠BAP为直角时,BP=2tcm,CP=(2t﹣8)cm,AC=6cm,在Rt△ACP中,AP2=62+(2t﹣8)2,在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,即:102+[62+(2t﹣8)2]=(2t)2,解得:t=,故当△ABP为直角三角形时,t=4或t=;(3)①当AB=BP时,t=5;②当AB=AP时,BP=2BC=16cm,t=8;③当BP=AP时,AP=BP=2tcm,CP=|2t﹣8|cm,AC=6cm,在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,所以(2t)2=62+(2t﹣8)2,解得:t=,综上所述:当△ABP为等腰三角形时,t=5或t=8或t=.【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识,解答本题的关键是掌握勾股定理的应用,以及分情况讨论,注意不要漏解.17.(2022秋•闵行区期中)阅读材料:在直角三角形中,斜边和两条直角边满足定理:两条直角边的平方和,等于斜边的平方.因此如果已知两条边的长,根据定理就能求出第三边的长.例如:在Rt△ABC中,已知∠C=90°,AC=3,BC=4,由定理得AC2+BC2=AB2,代入数据计算求得AB=5.请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题:已知:如图,∠C=90°,AB∥CD,AB=5,CD=11,AC=8,点E是BD的中点,那么AE的长为.【分析】作EG⊥AC,垂足为G.根据△ABF∽△CDF,求出AF=AC=×8=,FC=,然后利用勾股定理求出BF,DF,然后求出EB,EF.根据△ABF∽△GEF,求出EG、FG,然后利用勾股定理求出AE的长.【解答】解:作EG⊥AC,垂足为G.∵AB∥CD∴△ABF∽△CDF,∴=,∵AB=5,DC=11,∴=,∴AF=AC=×8=;∴FC=8﹣2.5=,∴BF==,DF==,∴EB=×(+)=4,∴EF=4﹣=.易得,△ABF∽△GEF,∴,,∴,,∴EG=3,FG=,∴AG=+=4,在Rt△AEG中,AE==5.故答案为:5.【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形,作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.18.(2022秋•莲都区期中)如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.(1)当t=2秒时,求PQ的长;(2)求出发时间为几秒时,△PQB是等腰三角形?(3)若Q沿B→C→A方向运动,则当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.【分析】(1)根据点P、Q的运动速度求出AP,再求出BP和BQ,用勾股定理求得PQ即可;(2)由题意得出BQ=BP,即2t=8﹣t,解方程即可;(3)当点Q在边CA上运动时,能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况:①当CQ=BQ时(图1),则∠C=∠CBQ,可证明∠A=∠ABQ,则BQ=AQ,则CQ=AQ,从而求得t;②当CQ=BC时(图2),则BC+CQ=12(cm),易求得t;③当BC=BQ时(图3),过B点作BE⊥AC于点E,则求出BE,CE,即可得出t.【解答】(1)解:(1)BQ=2×2=4cm,BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm,∵∠B=90°,PQ===2(cm);(2)解:根据题意得:BQ=BP,即2t=8﹣t,解得:t=;即出发时间为秒时,△PQB是等腰三角形;(3)解:分三种情况:①当CQ=BQ时,如图1所示:则∠C=∠CBQ,∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ∴BQ=AQ,∵∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,∴AC==10(cm),∴CQ=AQ=AC=5(cm),∴BC+CQ=11(cm),∴t=11÷2=5.5秒.②当CQ=BC时,如图2则BC+CQ=12(cm),∴t=12÷2=6秒.③当BC=BQ时,如图3所示:过B点作BE⊥AC于点E,则BE===4.8(cm)∴CE==3.6cm,∴CQ=2CE=7.2cm,∴BC+CQ=13.2cm,∴t=13.2÷2=6.6秒.由上可知,当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,△BCQ为等腰三角形.【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质;本题有一定难度,注意分类讨论思想的应用.19.(2022秋•江干区校级期中)如图,△ABC中,BA=BC,CO⊥AB于点O,AO=6,BO=9.(1)求BC,AC的长;(2)若点D是射线OB上的一个动点,作DE⊥AC于点E,连结OE.①当点D在线段OB是以AO为腰的等腰三角形,请求出所有符合条件的OD的长.②设直线DE交直线BC于点F连结OF,CD,若S△OBF:S△OCF=1:4,则CD的长为(直接写出结果).【分析】(1)根据BA=BC可得BC的长,分别根据勾股定理可得OC和AC的长;(2)①分两种情况:AO=OE和AO=AE时,分别画图,根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题;②分两种情况:i)当D在线段OB上时,如图3,过B作BG⊥EF于G,根据同高三角形面积的比等于对应底边的比,得=,可得BF=5,证明△BDF是等腰三角形,得BD=BF=5,最后利用勾股定理可得结论;ii)当D在线段OB的延长线上时,过B作BG⊥DE于G,同i)计算可得结论.【解答】解:(1)∵AO=6,BO=9,∴AB=15,∵BA=BC,∴BC=15,∵CO⊥AB,∴∠AOC=∠BOC=90°,由勾股定理得:CO===12,AC===6;(2)①分两种情况:i)当AO=OE=4时,过O作ON⊥AC于N,如图1所示:∴AN=EN,∵DE⊥AC,∴ON∥DE,∴ON是△ADE的中位线,∴OD=AO=6;ii)当AO=AE=4时,如图2所示:在△CAO和△DAE中,,∴△CAO≌△DAE(ASA),∴AD=AC=6,∴OD=AD﹣AO=6﹣6;综上所述,OD的长为6或6﹣6;②分两种情况:i)当D在线段OB上时,过B作BG⊥EF于G,如图3所示:∵S△OBF:S△OCF=1:4,∴=,∴=,∵CB=15,∴BF=5,∵EF⊥AC,∴BG∥AC,∴∠GBF=∠ACB,∵AE∥BG,∴∠A=∠DBG,∵AB=BC,∴∠A=∠ACB,∴∠DBG=∠GBF,∵BG⊥DF,∴△BDF是等腰三角形,∴BD=BF=5,∴OD=OB﹣BD=9﹣5=4,∴CD===4;ii)当D在线段OB的延长线上时,过B作BG⊥DE于G,如图4所示:同理得:=,∵BC=15,∴BF=3,同理得:△BDF是等腰三角形,∴BD=BF=3,∴OD=BO+BD=9+3=12,Rt△COD中,CD===12;综上所述,CD的长为4或12,故答案为:4或12.【点评】本题是三角形的综合题,考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识;证明△BDF是等腰三角形是解题的关键.20.(2022秋•上城区校级期中)如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD,(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求AC的长.【分析】(1)要证明△BCE≌△DCF,已知一对直角相等和一对边相等,只需再创造一个条件,所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等;(2)结合(1)中的结论进行分析,发现:AB=AE+BE=AF+BE=AD+DE+BE=AD+2BE,求出BE的长,再根据勾股定理求得CE的长,再运用勾股定理进行求解即可.【解答】(1)证明:∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,∴∠CFD=90°,∠CEB=90°(垂线的意义)CE=CF(角平分线的性质)∵BC=CD(已知)∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)(2)解:由(1)得,Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF=EB,设DF=EB=x,∵∠CFD=90°,∠CEB=90°,CE=CF,AC=AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL)∴AF=AE即:AD+DF=AB﹣BE∵AB=21,AD=9,DF=EB=x∴9+x=21﹣x解得,x=6在Rt△DCF中,∵DF=6,CD=10∴CF=8∴Rt△AFC中,AC2=CF2+AF2=82+(9+6)2=289∴AC=17答:AC的长为17.【点评】(1)掌握全等三角形的判定方法,能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等;(2)注意线段的等量代换,熟练运用勾股定理.21.(2022秋•江阴市期中)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A、C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M、N,连接MN,与AC、BC分别交于点D、E,连接AE.(1)按要求作出草图,并求∠ADE=;(直接写出结果)(2)当AB=3,AC=5时,求△ABE的周长.【分析】(1)根据题意作出图形;根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线,由此可得出结论;(2)先根据勾股定理求出BC的长,再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论.【解答】解:(1)如图所示.∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线,∴∠ADE=90°.故答案为:90°;(2)∵MN是线段AC的中垂线,∴EA=EC,在Rt△ABC中,BC=,∴C△ABE=AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7.【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,勾股定理,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.六.作图-轴对称变换(共5小题)22.(2022秋•滨江区校级期中)直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,如图,将纸片沿某条直线折叠,使点A落在直角边BC上,记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、F.(1)如果∠AFE=65°,求∠CDF的度数;(2)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形,那么纸片中∠B的度数是多少?写出你的计算过程,并画出符合条件的折叠后的图形.【分析】(1)在△CDF中,求出∠CFD即可解决问题;(2)先确定△CDF是等腰三角形,得出∠CFD=∠CDF=45°,因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形,故需讨论,①DE=DB,②BD=BE,③DE=BE,然后分别利用角的关系得出答案即可.【解答】解:(1)根据翻折不变性可知:∠AFE=∠DFE=65°,∴∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°,∵∠C=90°,∴∠CDF=90°﹣50°=40°.(2)∵△CDF中,∠C=90°,且△CDF是等腰三角形,∴CF=CD,∴∠CFD=∠CDF=45°,设∠DAE=x°,由对称性可知,AF=FD,AE=DE,∴∠FDA=∠CFD=22.5°,∠DEB=2x°,分类如下:①当DE=DB时,∠B=∠DEB=2x°,由∠CDE=∠DEB+∠B,得45°+22.5°+x=4x,解得:x=22.5°.此时∠B=2x=45°;见图形(1),说明:图中AD应平分∠CAB.②当BD=BE时,则∠B=(180°﹣4x)°,由∠CDE=∠DEB+∠B得:45°+22.5°+x=2x+180°﹣4x,解得x=37.5°,此时∠B=(180﹣4x)°=30°.图形(2)说明:∠CAB=60°,∠CAD=22.5°.③DE=BE时,则∠B=()°,由∠CDE=∠DEB+∠B得,45°+22.5°+x=2x+,此方程无解.∴DE=BE不成立.综上所述∠B=45°或30°.【点评】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识,有一定的综合性,在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论,不要漏解,另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用.23.(2022秋•西湖区校级期中)如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上.(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′;(2)在直线l上找一点P,使PB+PC的长最短.【分析】(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案;(2)直接利用轴对称求最短路线求法得出P点位置.【解答】解:(1)如图所示:△A′B′C′,即为所求;(2)如图所示:点P即为所求.【点评】此题主要考查了轴对称变换以及最短路径求法,正确得出对应点位置是解题关键.24.(2022秋•城阳区期中)(1)在下面的平面直角坐标系中画△ABC,使△ABC各顶点坐标分别为A(2,﹣1),B(﹣2,0),C(0,﹣2);(2)使ABC各点的横坐标保持不变,纵坐标分别乘﹣1,得△A1B1C1,画出△A1B1C1并说明△A1B1C1与△ABC有怎样的位置关系?【分析】(1)直接利用A,B,C各点的坐标画出三角形即可;(2)利用坐标之间的关系得出△A1B1C1各顶点位置,进而得出答案.【解答】解:(1)如图所示:△ABC即为所求;(2)如图所示:△A1B1C1即为所求,△A1B1C1与△ABC关于x轴对称.【点评】此题主要考查了轴对称变换,正确得出各对应点位置是解题关键.25.(2022秋•泸县校级期中)如图,在平面直角坐标系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1.(2)写出点A1,B1,C1的坐标.(3)求出△ABC的面积.。

人教版八年级上册数学《全等三角形》特殊题型

人教版八年级上册数学《全等三角形》特殊题型

D
A
FB
在 △BEF 和 △BED 中, ∠FBE =∠DBE, ∠EFB =∠D BE = BE, ∴△BEF≌ △BED(AAS). ∴BF =BD. ∵AB=AF+BF, ∴AB=AC +BD.
截长补短法: 如图,已知 AC∥BD,AE、BE分别平分∠CAB,∠DBA,且CD经过点E,求 证:AB=AC+BD
B
Q
A
P
E
CF
L
解:设点P的运动时间为t秒.因为△PEC与 △CFQ全等,所 以CP=CQ.分三种情况: ①当0 <t≤4时,点P在AC上,点Q在BC上,因为CP=CQ,所以 6-t=8-2t,解得t=2; ②当4 <t≤6时,点P,Q 都在AC上,因为CP=CQ,所以 6-t=2t-8,解得t=14/3 ③当6 <t≤7时,点P在BC上,点Q在AC上,因为CP =CQ, 所以t-6=2t-8,解得t=2,不符合题意,舍去. ∴t=2或t=14/3.
截长补短法
如图,已知 AC∥BD,AE、BE分别平分∠CAB,∠DBA,且CD经过点E,求
证:AB=AC+BD
C
E
证明:在AB上截取AF=AC,连接 EF ∵AE平分∠CAB, ∴∠CAE=∠FAE. 在△AEC和△AEF中,
AC=AF
∠CAE = ∠FAE,
AE =AE, ∴△CAE≌△FAE(SAS). ∴∠C=∠AFE ∵AC // BD, ∴∠C +∠D=180°. ∵∠EFB +∠AFE =180°, ∴∠EFB =∠D. ∵BE平分∠DBA, ∴∠FBE =∠DBE
F
C
E
D
A B
在 △CEF 和 △BED 中,

最新八年级上册数学特殊三角形经典习题(含答案)

最新八年级上册数学特殊三角形经典习题(含答案)

八年级上特殊三角形复习一、等腰三角形1、如图,∠AOB=30̊,OC平分∠AOB,P为OC上一点,PD∥OA交OB于D,PE垂直OA于E,若OD=4cm,求PE的长.2、如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE;(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:EF=CF.3.如图,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的长.4.如图,△ABC 为等边三角形,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,DE ∥BC 交AB 于点E . (1)求证:△ADE 是等边三角形.(2)求证:AE =21AB .5.如图所示,D 、E 分别是 △ABC 的边 BC 、AC 上的点,且 AB =AC ,AD =AE . (1)若 ∠BAD =20̊,则∠EDC = ; (2)若 ∠EDC =20̊,则∠BAD = ;(3)设∠BAD =ɑ ,∠EDC =β,你能由(1)(2)中的结果找到 ɑ、β 所满足的关系吗?请说明理由.6.如图,CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线,点A关于CN的对称点为D,连接AD,BD,CD,其中AD,BD分别交射线CN于点E,P.(1)依题意补全图形;(2)若∠ACN=α,求∠BDC的大小(用含的式子表示);(3)用等式表示线段PB,PC与PE之间的数量关系,并证明.7.如图,点A、B、C在同一直线上,△ABD,△BCE都是等边三角形。

(1)求证:AE=CD;(2)若M,N分别是AE,CD的中点,试判断△BMN的形状,并证明你的结论。

8.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.(1)求证:AD=CE;(2)求∠DFC的度数.9.如图,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.(1)求证:△COD是等边三角形;(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?二、直角三角形1.如图1,在△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴,画出△ABD、△ACD 的轴对称图形,D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点,得到四边形AEGF是正方形.设AD=x,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,即可求出x的值.参考小萍的思路,探究并解答新问题:如图2,在△ABC中,∠BAC=30°,AD⊥BC于D,AD=4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF,求△BGC的周长.(画图所用字母与图1中的字母对应)2.已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=18cm.动点P从点A出发,沿AB向点B 运动,动点Q从点B出发,沿BC向点C运动,如果动点P以2cm/s,Q以1cm/s的速度同时出发,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)t为时,△PBQ是等边三角形?(2)P,Q在运动过程中,△PBQ的形状不断发生变化,当t为何值时,△PBQ是直角三角形?说明理由.3.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,图中AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=900,B,C,E在同一条直线上,连结DC.(1)图2中的全等三角形是_______________ ,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)指出线段DC和线段BE的关系,并说明理由.4.已知:如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC上一动点,连接AD,过点A作AE⊥AD,并且始终保持AE=AD,连接CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)若AF平分∠DAE交BC于F,探究线段BD,DF,FC之间的数量关系,并证明;(3)在(2)的条件下,若BD=3,CF=4,求AD的长.6.如图,折叠长方形纸片ABCD,使点D落在边BC上的点F处,折痕为AE.已知该纸片宽AB=3cm,长BC=5cm.求EC的长.7.已知,如图,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别是AC、BD的中点,AC=10,BD=6.(1)求证:EF⊥BD;(2)求EF的长.8.在△ABC 中,AB =15,BC =14,AC =13,求△ABC 的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.9.如图,在△ABC 中,∠C =90°,点P 在AC 上运动,点D 在AB 上,PD 始终保持与PA 相等,BD 的垂直平分线交BC 于点E ,交BD 于点F ,连接DE . (1)判断DE 与DP 的位置关系,并说明理由; (2)若AC =6,BC =8,PA =2,求线段DE 的长.10.如图, C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB BD ,ED BD ,连结AC 、EC ,已知线段AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x (1)用含x 的代数式表示AC +CE 的长;(2)请问点C 满足什么条件时,AC +CE 最小?最小为多少?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.11.(1)问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,当△DCE旋转至点A,D,E在同一直线上,连接BE,易证△BCE≌△ACD.则①∠BEC=______°;②线段AD、BE之间的数量关系是______.(2)拓展研究:如图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,若AE=15,DE=7,求AB的长度.(3)探究发现:如图3,P为等边△ABC内一点,且∠APC=150°,且∠APD=30°,AP=5,CP=4,DP=8,求BD 的长.一、等腰三角形1.过点P 作PH ⊥BO 于点H ,则PE =PH =21PD =2 2.证明:(1)∵AB =AC ,D 是B C 的中点,∴∠BAE =∠EAC , ∴△ABE ≌△ACE (S A S ),∴BE =CE ; (2)∵∠BAC =45°,BF ⊥AF ,∴△ABF 为等腰直角三角形,∴AF =BF , ∵AB =AC ,点D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC ,∴∠EAF +∠C =90°, ∵BF ⊥AC ,∴∠CBF +∠C =90°,∴∠EAF =∠CBF ,∴△AEF ≌△BCF (A S A ).∴EF =CF 3.延长AD 、BC ,两条延长线交于点E ∵∠B =90°,∠A =30°∴∠E =60° ∵∠ADC =120°∴∠CDE =60°∴△CDE 是等边三角形,则CD =CE =DE 设CD =x ,则CE =DE =x ,AE =x +4,BE =x +1∵ 在Rt △ABE 中,∠A =30°,∴ x +4=2(x +1),解得:x =2,∴CD =2 4.(1)∵△ABC 为等边三角形∴∠A =∠ABC =∠C =60° ∵DE ∥BC ,∴∠AED =∠ABC =60º,∠ADE =∠C =60º∴∠AED =∠ADE =∠A =60º,∴△ADE 是等边三角形 (2)∵△ABC 为等边三角形,∴AB =BC =AC ∵AB =BC ,BD 平分∠ABC ,∴AD =21AC ∵△ADE 是等边三角形,∴AE =AD ,∴AE =21AB 5.(1) 10° (2)40°(3) α=2β.理由如下:(4)因为 AB =AC ,AD =AE ,所以 ∠B =∠C ,∠ADE =∠AED . 又∠ADC =∠B +∠BAD ,得∠AED +∠EDC =∠B +∠BAD .所以∠EDC +∠C +∠EDC =∠B +∠BAD ,所以2∠EDC =∠BAD ,即α=2β .6.(1)(2)解:∵点A 与点D 关于CN 对称, ∴CN 是AD 的垂直平分线, ∴CA =CD . ∵∠AC N=α, ∴∠ACD =2α.∵等边△ABC ,∴CA =CB =CD ,∠ACB =60°. ∴∠BCD =∠ACB +∠ACD =60°+2α. ∴∠BDC =∠DBC =21(180°∠BCD )=60°-α. (3)结论:PB =PC +2PE . 本题证法不唯一,如:证明:在PB 上截取PF 使PF =PC ,连接CF . ∵CA =CD ,∠ACD =2 ∴∠CDA =∠CAD =90°-α.∵∠BDC =60°-α, ∴∠PDE =∠CDA ∠BDC =30°. ∴PD =2PE . ∵∠CPF =∠DPE =90°∠PDE =60° ∴△CPF 是等边三角形. ∴∠CPF =∠CFP =60°∴∠BFC =∠DPC =120°∴△BFC ≌△DPC . ∴BF =PD =2PE ∴PB = PF +BF =PC +2PE .7.因为,△ABD ,△BCE 都是等边三角形,AB =BD ,BE =BC ∠ABD +∠DBE =∠EBC +∠DBE ,所以∠ABE =∠DBC 所以△ABE 全等△DBC ,所以AE =CD (2)等边三角形8.证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC =∠B =60°,AB =AC 又∵AE =BD ,∴△AEC ≌△BDA ,∴ AD =CE(2)解由(1)△AEC ≌△BDA ,得∠ACE =∠BAD ∴∠DFC =∠FAC +∠ACE =60° 9.(1)证明:∵CO =CD ,∠OCD =60°,∴△COD 是等边三角形;(2)解:当α=150°时,△AOD 是直角三角形.(5分)理由如下:由题意可得△BOC ≌△ADC ,∴∠ADC =∠BOC =150°.又∵△COD 为等边三角形,∴∠ODC =60°,∴∠ADO =90°.即△AOD 是直角三角形;(3)解:①要使AO =AD ,需∠AOD =∠ADO .∵∠AOD =190°-α,∠ADO =α-60°,∴190°-α=α-60°,∴α=125°.②要使OA =OD ,需∠OAD =∠ADO .∵∠OAD =180°-(∠AOD +∠ADO )=180°-(190°-α+α-60°)=50°,∴α-60°=50°.∴α=110°;③要使OD =AD ,需∠OAD =∠AOD ,∴190°-α=50°,∴α=140°.综上所述,当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD 是等腰三角形.二、直角三角形1.参考小萍的做法得到四边形AEGF ,∠EA F =60°, ∠EGF =120°,∠AEG =∠AFG = 90°,AE =AF =AD =4. 连结EF ,可得 △AEF 为等边三角形.∴ EF =4. ∴ ∠FEG =∠EFG = 30°.∴ EG =FG .在△EFG 中,可求,EG =334. ∴△EFG 的周长=BG +CG +BC =BG +CG +EB +FC =2EG =338.2.(1)要使,△PBQ 是等边三角形,即可得:PB =BQ , ∵在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,BC =18cm .∴AB =36cm , 可得:PB =36﹣2t ,BQ =t ,即36﹣2t=t ,解得:t=12,故答案为;12(2)当t 为9或572时,△PBQ 是直角三角形,理由如下: ∵∠C =90°,∠A =30°,BC =18cm ∴AB =2BC =18×2=36(cm )∵动点P 以2cm/s ,Q 以1cm/s 的速度出发∴BP =AB ﹣AP =36﹣2t ,BQ =t∴∠4=∠B =45°,BD =CE ∴∠ECF =∠3+∠4=90°, ∴CE 2+CF 2=EF 2,∴BD 2+FC 2=EF 2,∵AF 平分∠DAE ,∴∠DAF =∠EAF ,∴△DAF ≌△EAF ∴DF =EF ∴BD 2+FC 2=DF 2.(3)解:过点A 作AG ⊥BC 于G ,由(2)知DF 2=BD 2+FC 2=32+42=25∴DF =5, ∴BC =BD +DF +FC =3+5+4=12,∵AB =AC ,AG ⊥BC ,∴BG =AG =21BC =6,∴DG =BG ﹣BD =6﹣3=3, ∴在Rt △ADG 中,AD =53.6.由折叠可知AD=AF=5cm ,DE=EF∵∠B =90°∴ AB 2+BF 2= AF 2,∵AB=3cm ,AF=5cm∴BF=4cm ,∵BC=5cm ,∴FC=1cm ∵∠C =90°,∴ EC 2+FC 2= EF 2 设EC =x ,则DE=EF=3-x ∴(3-x )2=12+x 2∴ x =347.证明:(1)连接BE ,DE∵∠ABC =∠ADC =90°,点E 是AC 的中点,∴BE =21AC ,DE =21AC ∴BE =DE ∵点F 是BD 的中点,BE =DE ∴EF ⊥BD(2)∵BE =21AC ∴BE =5 ∵点F 是BD 的中点∴BF =DF =3在Rt △BEF 中,EF ==48.作AD ⊥BC 于D ,如图所示:设BD = x ,则CD =x -14. ∴2222)14(1315x x --=-, 解之得:9=x . ∴. ∴84=S9.(1)DE ⊥DP ,理由如下:连接OD ,∵PD =PA ,∴∠A =∠PDA ,∵EF 是BD 的垂直平分线,∴EB =ED ,∴∠B =∠EDB ,∵∠C =90°,∴∠A +∠B =90°,∴∠PDA +∠EDB =90°,∴∠ODE =180°﹣90°=90°,∴DE ⊥DP (2)连接PE ,设DE =x ,则EB =ED =x ,CE =8﹣x ,∵∠C =∠PDE =90°,∴PC 2+CE 2=PE 2=PD 2+DE 2,∴42+(8﹣x )2=22+x 2,解得:x =4.75,则DE =4.75. (10分)10.(1)125)8(22+++-x x(2)解:当点C 为AE 和BD 的交点时,根据两点之间线段最短,所以AC +CE 的值最小(3)解:如图(1),C 为线段BD 上一动点,分别过点B ,D 作AB BD ,ED BD ,连接AC ,ED 。

八年级数学特殊三角形(习题及答案)

八年级数学特殊三角形(习题及答案)

特殊三角形(习题)例题示范例1:已知:如图,在四边形ABCD 中,∠B =∠D =60°,AB =BC ,AD =CD ,点E 在边BC 上,点F 在边CD 上,且∠EAF =60°. 求证:△AEF 是等边三角形. 【思路分析】 ①读题标注:②梳理思路:要证△AEF 是等边三角形,已知∠EAF =60°,只需证△AEF 是等腰三角形即可,考虑证AE =AF ,可以把这两条线段放在两个三角形中证全等. 观察图形,连接AC ,可以把线段AE 和AF 分别放在△ABE 和△ACF 中.结合题中条件∠B =∠D =60°,AB =BC ,AD =CD ,可知△ABC 和△ACD 均为等边三角形,所以∠B =∠ACF =60°,∠BAC =∠EAF =60°,因此∠BAE =∠CAF ,进而得证△ABE ≌△ACF ,证明成立. 【过程书写】证明:如图,连接AC .∵∠B =∠D =60°,AB =BC ,AD =CD ∴△ABC 和△DAC 是等边三角形 ∴AB =AC ,∠BAC =60°,∠ACF =60° ∴∠1+∠3=60°,∠B =∠ACF ∵∠EAF =60° ∴∠2+∠3=60° ∴∠1=∠2∴△ABE ≌△ACF (ASA ) ∴AE =AF∴△AEF 是等边三角形巩固练习1. 如图,以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边三角形ABE ,连接DE ,则∠BED 的度数为________.60°60°60°FE DCBAFEDBA 32160°60°60°FEDCBA2.如图,在△ABC的外部,分别以AB,AC为直角边,点A为直角顶点,作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,CD与BE交于点P,则∠BPC 的度数为________.3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,DE是线段AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E,若DE=2,则AC的长是________.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D在BC上,E为AB的中点,AD,CE相交于F,且AD=DB.若∠B=20°,则∠DFE的度数为________.5.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,过C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.求证:AB=2CD.6. 已知:如图,在△ABC 中,∠BAC >90°,BD ,CE 分别为AC ,AB 边上的高,F 为BC 的中点,连接DE ,DF ,EF . 求证:∠FED =∠FDE .7. 已知:如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,E 为AC的中点,BE 交CD 于点G ,EF ⊥BE 交AB 于点F .求证:EF =EG .F EDA G F ED C B A思考小结1.在做几何题目的时候,看到“直角+30°”,考虑30°角所对的直角边是___________________;看到“直角+中点”,考虑直角三角形_____________________________;看到“等腰+一线”,考虑等腰三角形___________.2.根据上面的思考方式研究等腰直角三角形的性质:如图,在等腰直角三角形ABC中,CD⊥AB于点D,如果从等腰的角度出发,看到“等腰+高线”,考虑等腰三角形_________,所以得到AD=______;如果从直角的角度出发,看到“直角+中点”,考虑_____________________________,可以得到CD=______.综上可得,对于图中的等腰直角三角形ABC我们可以得到:CD=______=_______.【参考答案】1.45°2.90°3. 64.60°5.证明:如图∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵∠B=15°∴∠ACB=15°∵∠DAC是△ABC的一个外角,∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30° ∵CD ⊥AB ∴∠D =90°在Rt △ADC 中,∠D =90°,∠DAC =30° ∴CD∴CD即AB =2CD6. 证明:如图∵BD ,CE 分别为AC ,AB 边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90° ∵F是BC 的中点 ∴DF =BC ,EF ∴DF =EF ∴∠FED =∠FDE 7. 证明:如图,连接DE .∵AC=BC ,∠ACB=90° ∴∠A =45° ∵CD ⊥AB ∴∠ADC =90°,AD∴CD ∴AD =CD ∵E 为AC 中点 ∴DE ,DE ⊥AC ,∠1=45°∴∠AED =90°,∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE ∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中321GFE DCBA∴△AEF≌△DEG(ASA)∴EG=EF思考小结:1. 斜边的一半,斜边上的中线等于斜边的一半,三线合一2. 三线合一,BD,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,,AD,BD。

初二数学特殊三角形重难点题

初二数学特殊三角形重难点题

初二数学特殊三角形重难点题哎,大家好,今天咱们聊聊初二数学中的特殊三角形,没错,就是那种有点“特殊”的三角形,像是等边三角形、直角三角形和等腰三角形。

这些三角形就像是数学界的小明星,虽然形状简单,但却有着不一般的魅力,真是让人又爱又恨。

说到这些三角形,咱们就得提提它们的性质了,光靠图画可没用,得懂它们的“脾气”才能驾驭这些几何小家伙。

等边三角形,它们可真是个“团结一致”的大家庭。

三条边长度都一样,听起来是不是特别和谐?而且每个内角都是60度,简直就是数学中的“和谐音符”。

想象一下,咱们把三角形想象成三位好兄弟,大家都一样高,彼此照顾,打打闹闹,其乐融融。

学会这个三角形的性质,就像是找到了几何世界的“真理钥匙”,因为它能帮助你解决不少难题。

不过,别小看它,虽然外表简单,但如果在考试中让你算它的周长、面积,嘿嘿,可就得认真思考了,毕竟可不能小觑这些小家伙的数学威力。

再说说直角三角形,哇,直角三角形简直就是数学中的“百变小霸王”。

一个90度的角,让它的外表看上去有点呆萌,但内在可是藏着许多“玄机”。

勾股定理就是它的“拿手好戏”,这下你可以算出斜边的长度,简直就是三角形中的“神秘力量”。

想象一下,你在爬山,正好遇到一座直角三角形的山坡,哇,你只需要知道底边和高,就能轻松算出这座山坡的斜边有多陡,真是方便极了。

特别是在考试时,遇到直角三角形的题目,你可是要趁机秀一把,展现一下你的数学才能。

再说到等腰三角形,这可是个情感丰富的小家伙。

两边长得一样,心里总是藏着一些小秘密,通常会有一个小小的“情感倾斜”。

它的底角是相等的,这就像是两个好朋友,相互支撑,彼此理解。

遇到这样的三角形,咱们的心情总是轻松愉快,因为它的性质相对简单,但考题可不简单,常常会考你如何利用这些对称性,嘿,别被它的外表迷了眼哦。

说到特殊三角形的应用,咱们得好好聊聊。

比如说,你要建个花园,打算用等边三角形的布局,这样每个角度都是60度,既美观又实用,花花草草都能齐齐整整地种起来。

八上 三角形 较难(含解析)

八上  三角形  较难(含解析)

八上三角形较难一、选择题1.如果,正方形ABCD的边长为2cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q,若PQ=AE,则PD等于()A.cm或cm B.cmC.cm或cm D.cm或cm2.如图,正方形ABCD中,AB=3,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论:①点G是BC的中点;②FG=FC;③AG∥CF;④S△FGC=.其中正确结论是()A.①②B.②④C.①②③D.①③④3.如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO,若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB垂直平分OC;②△EOB≌△CMB;③DE=EF;④︰=2︰3.其中正确结论的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个4.已知△ABC的三边长分别为a、b、c,判断式子b2-a2+2ac-c2的结果是()A.负数B.正数C.非正数D.非负数5.如图,在正方形袖ABCD中,AC为对相线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G、F,H为CG的中点,连接DE、EH、DH、FH.下列结论:①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3=13,其中结论正确的是( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.如图,ABCD为正方形,O为AC、BD的交点,△DCE为Rt△,∠CED=90°,∠DCE=30°,若OE=,则正方形的面积为()A.5 B.4 C.3 D.27.如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(-2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是()A.(,3)、(-,4)B.(,3)、(-,4)C.(,)、(-,4)D.(,)、(-,4)8.如图,正方形ABCD中,点E是AD边中点,BD、CE交于点H,BE、AH交于点G,则下列结论:①AG⊥BE;②BG=4GE;③S△BHE=S△CHD;④∠AHB=∠EHD.其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.49.如图所示,点A为∠MON的角平分线上一点,过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C,P 为BC的中点,过P作BC的垂线交OA于点D.∠MON=50°,则∠BDC=()A.120°B.130°C.140°D.150°10.如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为( )A .B .C .D .11.如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值()A.2 B.4 C.2D.4二、解答题12.如图边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于G,连AG.(1)求证△ABG≌△AFG;(2)求BG的长。

初二数学上三角形 初二三角形难题

初二数学上三角形 初二三角形难题

初二数学上三角形初二三角形难题1.3 如图,△ABC中,的角平分线与的外角的平分线交于A1 。

E为BA延长线上一动点,连EC,与的角平分线交于Q,当E滑动时有下面两个结论:①的值为定值;②-的值为定值,其中有且只有一…特殊三角形复习【内容综述】等腰三角形和直角三角形是两种非常特殊的三角形,本讲中通过一系列有关等腰三角形或直角三角形的问题的解决,既是复习有关三角形全等的知识,同时也是培养同学们分析、解决问题的能力。

同学们通过学习下面问题的分析、解答过程,特别要注…三角形的证明 1.在△ABC中,AC垂直于BC,点P是∠A,∠B和∠C的角平分线,从点P分别向AC,BC和AB作垂线,分别交AC,BC和AB于点D,E,F。

已知AC=8,BC=6,AB=10。

求PD=____ 2.如图,EA⊥AB,BC ⊥AB,EA=…1.3 如图,△ABC中,的角平分线与的外角的平分线交于A1 。

E为BA延长线上一动点,连EC,与的角平分线交于Q,当E滑动时有下面两个结论:①的值为定值;②-的值为定值,其中有且只有一个是正确的,请写出正确的结论,并求出其值。

1.4 如图1,在平面直角坐标系中,A(0,a) ,C(b,0),且。

(40.4)2(1)求的值。

(2)若点P的坐标是(m,4),且,求m的取值范围。

(3)如图2,D为线段OA上一个动点(不与O,A重合),直线BD交AC于E点,的平分线交于F点,过O点作的平分线与的平分线交于G点,在(1)的条件下,下列结论:(1)的值不变。

(2)的值不变,其中有且只有一个是正确的,请选出正确的结论,并给出证明xx在平面直角坐标系中,直线L与x轴、y轴分别交于A,B两点,且直线上所有点的坐标(x,y)都是二元一次方程的解。

(1)如图1,求A,B两点的坐标。

1.5 (2)若C为x轴上一动点,过C作CN//AB交y轴于M,AP,MP分别平分和。

当C在x轴正半轴上运动时,求的度数。

(3)若C在OA上运动,连结BC延长至F,若的角平分线相交于同一点G,过G作于H点,有以下两个结论:的值不变。

数学八年级上册第一章难题

数学八年级上册第一章难题

数学八年级上册第一章难题一、三角形三边关系难题1. 题目:已知三角形的两边长分别为3和5,第三边的长为整数,则第三边的长可能是多少?解析:根据三角形三边关系,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

设第三边为x,则5 3<x<5+3,即2<x<8。

因为x为整数,所以x可能是3、4、5、6、7。

2. 题目:一个三角形的三条边长分别为x、2x 1、5x 3,求x的取值范围。

解析:同样根据三边关系可得:(2x 1)+x>5x 3,3x 1>5x 3,2>2x,x < 1;(2x 1)+(5x 3)>x,7x 4>x,6x>4,x>2/3;x+(5x 3)>2x 1,6x 3>2x 1,4x>2,x>1/2。

综合可得1/2 < x < 1。

二、三角形内角和与外角难题1. 题目:在△ABC中,∠A=∠B +∠C,求∠A的度数。

解析:因为三角形内角和为180°,即∠A+∠B+∠C = 180°,又因为∠A = ∠B+∠C,所以2∠A=180°,∠A = 90°。

2. 题目:如图,在△ABC中,∠ACD是△ABC的外角,∠ACD = 120°,∠A=70°,求∠B的度数。

解析:因为∠ACD是外角,根据三角形外角性质,∠ACD = ∠A+∠B。

已知∠ACD = 120°,∠A = 70°,则∠B=∠ACD ∠A = 120° 70° = 50°。

3. 题目:在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,∠A = 50°,求∠D的度数。

解析:设∠ACB的外角为∠ACE。

根据三角形外角性质,∠ACE=∠A + ∠ABC。

因为BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,所以∠DCE = 1/2∠ACE,∠DBC = 1/2∠ABC。

浙教版八上第2章特殊三角形专题2.6 勾股定理及其逆定理【九大题型】(含解析)

浙教版八上第2章特殊三角形专题2.6 勾股定理及其逆定理【九大题型】(含解析)

勾股定理及其逆定理【九大题型】边长分别是a,b,斜边长为c,那么+=.【题型1 勾股定理的运用】【例1】(2022•和平区三模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=1.5,BD=2.5,则AC的长为( )A.5B.4C.3D.2【变式1-1】(2022春•上杭县期中)如图在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,AC=10,AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点,则BD的长为( )A.B.C.2D.【变式1-2】(2022春•汉阳区期中)如图,在△ABC中AB=AC=10,BC=16,若∠BAD=3∠DAC,则CD= .【变式1-3】(2021秋•朝阳区校级期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=30,D是AC上一点,AD:CD=25:7,且DB=DA,过AB上一点P,作PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF长是 .【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】(2022春•长沙月考)已知△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高为12.则△ABC的面积为( )A.24或84B.84C.48或84D.48【变式2-1】(2022春•宁津县期中)△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )A.42B.32C.42或32D.42或37【变式2-2】(2022春•香河县期中)已知直角三角形两边的长为5和12,则此三角形的周长为( )A.30B.17C.17或30D.36【变式2-3】(2022春•海淀区校级期中)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,AB=5.点P在直线AC上,且BP=6,则线段AP的长为 .【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】(2021秋•南关区期末)如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24,则正方形C的面积为( )A.4B.6C.8D.12【变式3-1】(2021秋•高新区校级期末)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S1+S4=135,S3=49,则S2=( )A.184B.86C.119D.81【变式3-2】(2022春•泗水县期中)有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如图,如果继续“生长”下去,他将变得“枝繁叶茂”,请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为( )A.2020B.2021C.2022D.2023【变式3-3】(2022春•张湾区期中)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC:BC=4:3,这个直角三角形三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形,图③是2次操作后的图形.如果图①中的直角三角形的周长为12,那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为( )A.225B.250C.275D.300【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】(2021秋•开福区校级期末)如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=25cm,AC=7cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为ts,当△APB为等腰三角形时,t 的值为( )A.或B.或24或12C.或24或12D.或或24【变式4-1】(2021秋•宛城区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=40cm,AC=30cm,动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动.则当运动时间t= s时,△BPC为直角三角形.【变式4-2】(2022春•蚌山区校级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,点P 从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动.设点P的运动时间为t秒(t>0).(1)BC的长是 .(2)当点P刚好在∠BAC的角平分线上时,t的值为 .【变式4-3】(2022春•河东区期中)如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q 从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,同时停止.(1)P、Q出发4秒后,求PQ的长;(2)当点Q在边CA上运动时,出发几秒钟后,△CQB能形成直角三角形?【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC b2ab.又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB c2a(b﹣a)∴b2ab c2a(b﹣a)∴a2+b2=c2请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.【变式5-1】(2022春•巢湖市校级期中)学习勾股定理之后,同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法:如图1点B是正方形ACDE边CD上一点,连接AB,得到直角三角形ACB,三边分别为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF位置,如图2所示,该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.【变式5-2】(2021秋•朝阳区期末)【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理,如图①,用四个直角三角形拼成正方形,通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为a、b,斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4ab,即(a+b)2=c2+4ab,所以a2+b2=c2.【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示,用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE,其中△BCA≌△ADE,∠C=∠D=90°,根据拼图证明勾股定理.【定理应用】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.求证:a2c2+a2b2=c4﹣b4.【变式5-3】(2022春•寿光市期中)如图①,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形.(1)弦图中包含了一大,一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,斜边长为c,结合图①,试验证勾股定理.(2)如图②,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(粗线)的周长为24,OC=3,求该飞镖状图案的面积.(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=40,则S2= .满足+=,那么这个三角形就是直角三角形.【题型6 直角三角形的判定】【例6】(2022春•绥宁县期中)若△ABC的三边长分别为a、b、c,下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有( )①∠A=∠B﹣∠C,②∠A:∠B:∠C=3:4:5,③∠A=90°﹣∠B,④∠A=∠B∠C,⑤a2=(b+c)(b﹣c),⑥a:b:c=5:12:13.A.3个B.4个C.5个D.6个【变式6-1】(2022春•赣州月考)下列满足条件的三角形中,不是直角三角形的是( )A.在△ABC中,若a c,b c.则△ABC为直角三角形B.三边长的平方之比为1:2:3C.三内角之比为3:4:5D.三边长分别为a,b,c,c=1+n2,a=n2﹣1,b=2n(n>1)【变式6-2】(2022春•汉滨区期中)若△ABC的三边长a,b,c满足(a﹣c)2=b2﹣2ac,则( )A.∠A为直角B.∠B为直角C.∠C为直角D.△ABC不是直角三角形【变式6-3】(2022春•开州区期中)下列是直角三角形的有( )个①△ABC中a2=c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3:4:7③△ABC的三边平方之比为1:2:3④三角形三边之比为3:4:5A.1B.2C.3D.4【题型7 勾股数问题】【例7】(2022春•滑县月考)在学习“勾股数”的知识时,小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中.a68101214…b815243548…c1017263750…则当a=24时,b+c的值为( )A.162B.200C.242D.288【变式7-1】(2022•湖北)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三,股修四,经隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点是:勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 (结果用含m的式子表示).【变式7-2】(2022春•白云区期末)(1)3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;(2)如果a,b,c是一组勾股数,那么ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由.【变式7-3】(2022•石家庄三模)已知:整式A=n2+1,B=2n,C=n2﹣1,整式C>0.(1)当n=1999时,写出整式A+B的值 (用科学记数法表示结果);(2)求整式A2﹣B2;(3)嘉淇发现:当n取正整数时,整式A、B、C满足一组勾股数,你认为嘉淇的发现正确吗?请说明理由.【题型8 格点图中求角的度数】【例8】(2021秋•伊川县期末)如图,正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的,点E,F 均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上,连接AE,AF,则∠EAF的度数是 .【变式8-1】(2022•惠山区一模)如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格,点A,B,P是网格线的交点,则∠PAB+∠PBA= °.【变式8-2】(2022春•武侯区校级期末)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D,P都在格点上,连接AP,CP,CD,则∠PAB﹣∠PCD= .【变式8-3】(2022春•孝南区期中)如图所示的网格是正方形网格,△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点,那么∠BCA+∠DCE= .【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】【例9】(2021秋•蓝田县校级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D是CA的延长线上一点,连接BD.(1)若AC=8,AD=17,BD=15,判断AB与BD的位置关系,并说明理由;(2)若∠D=28°,∠DBC=121°,求∠DAB的度数.【变式9-1】(2022春•陵城区期中)如图,在△ABC中,AD、BE分别为边BC、AC的中线,分别交BC、AC于点D、E.(1)若CD=4,CE=3,AB=10,求证:∠C=90°;(2)若∠C=90°,AD=6,BE=8,求AB的长.【变式9-2】(2021春•当涂县期末)如图,在△ABC中.D是AB边的中点,DE⊥AB于点D,交AC 于点E,且AE2﹣CE2=BC2,(1)试说明:∠C=90°;(2)若DE=6,BD=8,求CE的长.【变式9-3】(2022春•汉阳区校级月考)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,CD=10,AD=10.(1)求四边形ABCD的面积.(2)求对角线BD的长.勾股定理及其逆定理【九大题型】边长分别是a,b,斜边长为c,那么+=.【题型1 勾股定理的运用】【例1】(2022•和平区三模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=1.5,BD=2.5,则AC的长为( )A.5B.4C.3D.2【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE,再利用勾股定理列式求出BE,然后设AC=AE=x,根据勾股定理列式计算即可得解.【解答】解:如图,过D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=1.5,∴DE=CD=1.5,在Rt△DEB中,由勾股定理得:BE2,∵AD=AD,CD=DE,∠C=∠AED,∴Rt△ACD≌Rt△AED,∴AC=AE,设AC=AE=x,则AB=x+2,由勾股定理得:AB2=AC2+CB2,即(x+2)2=x2+42,解得x=3,∴AC=3.故选:C.【变式1-1】(2022春•上杭县期中)如图在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,AC=10,AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点,则BD的长为( )A.B.C.2D.【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD,故AB=BD+AD=BD+CD,设CD=x,则BD =8﹣x,在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答.【解答】解:∵∠B=90°,AB=8,AC=10,∴BC=6,∵DE是AC的垂直平分线,∴CD=AD,∴AB=BD+AD=BD+CD=8,设CD=x,则BD=8﹣x,在Rt△BCD中,CD2=BC2+BD2,即x2=62+(8﹣x)2,解得x=6.25.∴BD=8﹣6.25=1.75.故选:B.【变式1-2】(2022春•汉阳区期中)如图,在△ABC中AB=AC=10,BC=16,若∠BAD=3∠DAC,则CD= .【分析】先作AE⊥BC于点E,作DF⊥AC于点F,然后根据等腰三角形的性质和勾股定理,可以得到AE的值,AD平分∠EAC,从而可以得到DE=DF,再根据等面积法即可求得CD的长.【解答】解:作AE⊥BC于点E,作DF⊥AC于点F,如图所示,∵AB=AC=10,BC=16,∴CE=8,∴AD6,设∠CAD=x,则∠CAD=3x,∵AE⊥BC,AB=AC,∴∠BAE=∠CAE=2x,∴∠EAD=∠DAC,∴DE=DF,设CD=a,则DE=8﹣a,∵,∴,解得a=5,即CD=5,故答案为:5.【变式1-3】(2021秋•朝阳区校级期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=30,D是AC上一点,AD:CD=25:7,且DB=DA,过AB上一点P,作PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF长是 .【分析】如图作AH⊥BD交BD的延长线于H,设AD=BD=25k,CD=7k,在Rt△DCB中,BC 24k,在Rt△ACB中,由AC2+BC2=AB2,可得(32k)2+(24k)2=302,推出k ,BC=18,由△ADH≌△BDC,推出AH=BC=18,由S△ABD•BD•AH•AD•PF•BD •PF,推出PE+PF=AH=18,【解答】解:如图作AH⊥BD交BD的延长线于H,设AD=BD=25k,CD=7k,在Rt△DCB中,BC24k,在Rt△ACB中,∵AC2+BC2=AB2,∴(32k)2+(24k)2=302,∴k,∴BC=18,在△ADH和△BDC中,,∴△ADH≌△BDC,∴AH=BC=18,∵S△ABD•BD•AH•AD•PF•BD•PF,∴PE+PF=AH=18,故答案为18.【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】(2022春•长沙月考)已知△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高为12.则△ABC的面积为( )A.24或84B.84C.48或84D.48【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中分别进行计算,求出BD和CD,再根据三角形的面积公式即可求解.【解答】解:∵AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,在Rt△ABD中,BD5,在Rt△ACD中,DC9,∴BC=BD+DC=14,BC=DC﹣BD=4,∴△ABC的面积14×12=84,或;故选:A.【变式2-1】(2022春•宁津县期中)△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )A.42B.32C.42或32D.42或37【分析】本题应分两种情况进行讨论:(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相加即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出;(2)当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相减即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出.【解答】解:此题应分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,BD9,在Rt△ACD中,CD5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为:15+13+14=42;(2)当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD中,BD=9,在Rt△ACD中,CD=5,∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为:15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.综上所述,△ABC的周长是42或32.故选:C.【变式2-2】(2022春•香河县期中)已知直角三角形两边的长为5和12,则此三角形的周长为( )A.30B.17C.17或30D.36【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x,由于12是直角边还是斜边不能确定,故应分12是斜边或x为斜边两种情况讨论.【解答】解:设Rt△ABC的第三边长为x,①当12为直角三角形的直角边时,x为斜边,由勾股定理得,x13,此时这个三角形的周长=5+12+13=30;②当12为直角三角形的斜边时,x为直角边,由勾股定理得,x,此时这个三角形的周长=5+1217,综上所述,该三角形的周长为30或17.故选:C.【变式2-3】(2022春•海淀区校级期中)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,AB=5.点P在直线AC上,且BP=6,则线段AP的长为 .【分析】当点P在CA延长线上时,当点P在AC延长线上时,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,AB=5,∴BC3,当点P在CA延长线上时,∵BP=6,BC=6,∴CP3,∴AP=CP﹣AC=34;当点P在AC延长线上时,∵BP′=6,BC=3,∴CP′=3,∴AC+CP′=4+3,综上所述,线段AP的长为34或34;故答案为:34或34.【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】(2021秋•南关区期末)如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24,则正方形C的面积为( )A.4B.6C.8D.12【分析】根据勾股定理的几何意义:S正方形A+S正方形B=S正方形E,S正方形D﹣S正方形C=S正方形E 解得即可.【解答】解:由题意:S正方形A+S正方形B=S正方形E,S正方形D﹣S正方形C=S正方形E,∴S正方形A+S正方形B=S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24,∴24﹣S正方形C=6+10,∴S正方形C=8.故选:C.【变式3-1】(2021秋•高新区校级期末)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S1+S4=135,S3=49,则S2=( )A.184B.86C.119D.81【分析】利用勾股定理的几何意义解答.【解答】解:由题意可知:S1=AB2,S2=BC2,S3=CD2,S4=AD2,连接BD,在直角△ABD和△BCD中,BD2=AD2+AB2=CD2+BC2,即S1+S4=S3+S2,因此S2=135﹣49=86,故选:B.【变式3-2】(2022春•泗水县期中)有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如图,如果继续“生长”下去,他将变得“枝繁叶茂”,请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为( )A.2020B.2021C.2022D.2023【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和,结合图形总结规律,根据规律解答即可.【解答】解:由题意得,正方形A的面积为1,由勾股定理得,正方形B的面积+正方形C的面积=1,∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,……∴“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023.故选:D.【变式3-3】(2022春•张湾区期中)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC:BC=4:3,这个直角三角形三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形,图③是2次操作后的图形.如果图①中的直角三角形的周长为12,那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为( )A.225B.250C.275D.300【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC=4,BC=3,AB=5,根据勾股定理计算得出规律,根据规律解答即可.【解答】解:设AC=4x,则BC=3x,由勾股定理得:AB5x,∵△ABC的周长为12,∴3x+4x+5x=12,解得:x=1,∴AC=4,BC=3,AB=5,第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为:32+42+32+42+52=25+50,第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为:32+42+32+42+32+42+52=25×2+50,第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为:32+42+32+42+32+42+32+42+52=25×3+50,……第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为:25×10+50=300,故选:D.【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】(2021秋•开福区校级期末)如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=25cm,AC=7cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为ts,当△APB为等腰三角形时,t 的值为( )A.或B.或24或12C.或24或12D.或或24【分析】当△ABP为等腰三角形时,分三种情况:①当AB=BP时;②当AB=AP时;③当BP =AP时,分别求出BP的长度,继而可求得t值.【解答】解:∵∠C=90°,AB=25cm,AC=7cm,∴BC=24cm.①当BP=BA=25时,∴t.②当AB=AP时,BP=2BC=48cm,∴t=24.③当PB=PA时,PB=PA=2t cm,CP=(24﹣2t)cm,AC=7cm,在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,∴(2t)2=72+(24﹣2t)2,解得t.综上,当△ABP为等腰三角形时,t或24或,故选:D.【变式4-1】(2021秋•宛城区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=40cm,AC=30cm,动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动.则当运动时间t= s时,△BPC为直角三角形.【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度,利用三角形的面积求出斜边上的高CD,再分两种情况进行讨论:①当∠BCP为直角时,②当∠BPC为直角时,分别求出此时的t值即可.【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=40cm,AC=30cm,∴AB50(cm).如图,作AB边上的高CD.∵S△ABC AB•CD AC•BC,∴CD24(cm).①当∠BCP为直角时,点P与点A重合,BP=BA=50cm,∴t=50÷2=25(秒).②当∠BPC为直角时,P与D重合,BP=2tcm,CP=24cm,BC=40cm,在Rt△BCP中,∵BP2+CP2=BC2,∴(2t)2+242=402,解得t=16.综上,当t=25或16秒时,△BPC为直角三角形.故答案为:25或16.【变式4-2】(2022春•蚌山区校级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,点P 从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动.设点P的运动时间为t秒(t>0).(1)BC的长是 .(2)当点P刚好在∠BAC的角平分线上时,t的值为 .【分析】(1)由勾股定理可直接求解;(2)过点P作PD⊥AB,结合题意,由角平分线的性质可推得BP,PD,BD的长,再根据勾股定理即可求解.【解答】解:(1)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,,故答案为:6;(2)当点P在∠BAC的角平分线上时,过点P作PD⊥AB,如图.∵AP平分∠BAC,BC⊥AC,PD⊥AB,点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动.∴PD=PC=16﹣2t,BP=2t﹣10,∴AD=AC=8,∴BD=2.在Rt△BDP中,由勾股定理得22+(16﹣2t)2=(2t﹣10)2,解得,故答案为:.【变式4-3】(2022春•河东区期中)如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q 从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,同时停止.(1)P、Q出发4秒后,求PQ的长;(2)当点Q在边CA上运动时,出发几秒钟后,△CQB能形成直角三角形?【分析】(1)根据题意可以先求出BQ和BP的长,然后根据勾股定理即可求得PQ的长;(2)根据题意可知存在两种情况,然后分别计算出相应的时间即可.【解答】解:(1)由题意可得,BQ=2×4=8(cm),BP=AB﹣AP=16﹣1×4=12(cm),∵∠B=90°,∴PQ4(cm),即PQ的长为4cm;(2)当BQ⊥AC时,∠BQC=90°,∵∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,∴AC20(cm),∵,∴,解得BQ cm,∴CQ(cm),∴当△CQB是直角三角形时,经过的时间为:(12)÷2=9.6(秒);当∠CBQ=90°时,点Q运动到点A,此时运动的时间为:(12+20)÷2=16(秒);由上可得,当点Q在边CA上运动时,出发9.6秒或16秒后,△CQB能形成直角三角形.【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC b2ab.又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB c2a(b﹣a)∴b2ab c2a(b﹣a)∴a2+b2=c2请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.【分析】首先连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b﹣a,表示出S五边形ACBED,两者相等,整理即可得证.【解答】证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b﹣a,∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE ab b2ab,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE ab c2a(b﹣a),∴ab b2ab ab c2a(b﹣a),∴a2+b2=c2.【变式5-1】(2022春•巢湖市校级期中)学习勾股定理之后,同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法:如图1点B是正方形ACDE边CD上一点,连接AB,得到直角三角形ACB,三边分别为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF位置,如图2所示,该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.【分析】连接BF,由图1可得正方形ACDE的面积为b2,由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF与三角形BDF面积之和,再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明.【解答】证明:如图,连接BF,∵AC=b,∴正方形ACDE的面积为b2,∵CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a,∴BD=CD﹣BC=b﹣a,DF=DE+EF=a+b,∵∠CAE=90°,∴∠BAC+∠BAE=90°,∵∠BAC=∠EAF,∴∠EAF+∠BAE=90°,∴△BAE为等腰直角三角形,∴四边形ABDF的面积为:c2(b﹣a)(a+b)c2(b2﹣a2),∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等,∴b2c2(b2﹣a2),∴b2c2b2a2,∴a2b2c2,∴a2+b2=c2.【变式5-2】(2021秋•朝阳区期末)【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理,如图①,用四个直角三角形拼成正方形,通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为a、b,斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4ab,即(a+b)2=c2+4ab,所以a2+b2=c2.【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示,用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE,其中△BCA≌△ADE,∠C=∠D=90°,根据拼图证明勾股定理.【定理应用】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.求证:a2c2+a2b2=c4﹣b4.【分析】【尝试探究】根据阅读内容,图中梯形的面积分别可以表示为ab(a2+b2)=ab c2,即可证得a2+b2=c2;【定理应用】分解因式,根据勾股定理即可得到结论.【解答】证明:【尝试探究】梯形的面积为S(a+b)(b+a)=ab(a2+b2),利用分割法,梯形的面积为S=△ABC+S△ABE+S ADE ab c2ab=ab c2,∴ab(a2+b2)=ab c2,∴a2+b2=c2;【定理应用】∵a2c2+a2b2=a2(c2+b2),c4﹣b4=(c2+b2)(c2﹣b2)=(c2+b2)a2,∴a2c2+a2b2=c4﹣b4.【变式5-3】(2022春•寿光市期中)如图①,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形.(1)弦图中包含了一大,一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,斜边长为c,结合图①,试验证勾股定理.(2)如图②,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(粗线)的周长为24,OC=3,求该飞镖状图案的面积.(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=40,则S2= .【分析】(1)通过图中小正方形面积证明勾股定理;(2)可设AC=x,根据勾股定理列出方程可求x,再根据直角三角形面积公式计算即可求解;(3)根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,从而用x,y表示出S1,S2,S3,得出答案即可.【解答】解:(1)S小正方形=(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,另一方面S小正方形=c2﹣4ab=c2﹣2ab,即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab,则a2+b2=c2.(2)24÷4=6,设AC=x,依题意有(x+3)2+32=(6﹣x)2,解得x=1,(3+1)×3×44×3×4=24.故该飞镖状图案的面积是24.(3)将四边形MTKN的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,∵正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,S1+S2+S3=40,∴得出S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,∴S1+S2+S3=3x+12y=40,∴x+4y,∴S2=x+4y.故答案为:.满足+=,那么这个三角形就是直角三角形.【题型6 直角三角形的判定】【例6】(2022春•绥宁县期中)若△ABC的三边长分别为a、b、c,下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有( )①∠A=∠B﹣∠C,②∠A:∠B:∠C=3:4:5,③∠A=90°﹣∠B,④∠A=∠B∠C,⑤a2=(b+c)(b﹣c),⑥a:b:c=5:12:13.A.3个B.4个C.5个D.6个【分析】根据直角三角形的定义,勾股定理的逆定理一一判断即可.【解答】解:①∵∠A=∠B﹣∠C,∴∠A+∠C=∠B,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°,∴是直角三角形;②∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=75°,不是直角三角形;③∵∠A=90°﹣∠B,∴∠A+∠B=90°,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,∴是直角三角形;④∵∠A=∠B∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,是直角三角形;⑤∵a2=(b+c)(b﹣c),∴a2=b2﹣c2,a2+c2=b2,是直角三角形;⑥∵a:b:c=5:12:13,∴52+122=132,∴a2+b2=c2,是直角三角形;故选:C.【变式6-1】(2022春•赣州月考)下列满足条件的三角形中,不是直角三角形的是( )A.在△ABC中,若a c,b c.则△ABC为直角三角形B.三边长的平方之比为1:2:3C.三内角之比为3:4:5D.三边长分别为a,b,c,c=1+n2,a=n2﹣1,b=2n(n>1)【分析】先求出两小边的平方和,再求出最长边的平方,看看是否相等,即可判断选项A、选项B 和选项D;根据三角形内角和定理求出最大角的度数,即可判断选项C.【解答】解:A.∵a c,b c,∴a2+b2c2c2=c2,∴△ABC是直角三角形,故本选项不符合题意;B.∵三边长的平方之比为1:2:3(1+2=3),∴此三角形的两小边的平方和等于最长边的平方,∴此三角形是直角三角形,故本选项不符合题意;C.∵三角形的三内角之比为3:4:5,三角形的内角和等于180°,∴最大角的度数是180°=75°<90°,∴此三角形不是直角三角形,故本选项符合题意;D.∵c=1+n2,a=n2﹣1,b=2n,∴a2+b2=(n2﹣1)2+(2n)2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1,c2=(1+n2)2=1+2n2+n4,∴c2=a2+b2,∴△ABC是直角三角形,故本选项不符合题意;故选:C.【变式6-2】(2022春•汉滨区期中)若△ABC的三边长a,b,c满足(a﹣c)2=b2﹣2ac,则( )A.∠A为直角B.∠B为直角C.∠C为直角D.△ABC不是直角三角形【分析】根据已知条件可得a2+c2=b2,即可判定△ABC的形状.【解答】解:∵(a﹣c)2=b2﹣2ac,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形,且∠B是直角,故选:B.【变式6-3】(2022春•开州区期中)下列是直角三角形的有( )个①△ABC中a2=c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3:4:7③△ABC的三边平方之比为1:2:3④三角形三边之比为3:4:5A.1B.2C.3D.4【分析】根据勾股定理的逆定理,三角形的内角和定理进行计算,逐一判断即可解答.【解答】解:①∵a2=c2﹣b2,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形;②∵△ABC的三内角之比为3:4:7,∴△ABC中最大角的度数为:180°90°,∴△ABC是直角三角形;③∵△ABC的三边平方之比为1:2:3,∴设三边的平方分别为k,2k,3k,∵k+2k=3k,∴△ABC是直角三角形;④∵三角形三边之比为3:4:5,∴设三边分别为3a,4a,5a,∵(3a)2+(4a)2=(5a)2,∴△ABC是直角三角形,所以,上列是直角三角形的有4个,故选:D.【题型7 勾股数问题】【例7】(2022春•滑县月考)在学习“勾股数”的知识时,小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中.a68101214…b815243548…c1017263750…则当a=24时,b+c的值为( )A.162B.200C.242D.288【分析】先根据表中的数据得出规律,根据规律求出b、c的值,再求出答案即可.【解答】解:从表中可知:a依次为6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,…,即24=2×(10+2),b依次为8,15,24,35,48,…,即当a=24时,b=122﹣1=143,c依次为10,17,26,37,50,…,即当a=24时,c=122+1=145,所以当a=24时,b+c=143+145=288.故选:D.【变式7-1】(2022•湖北)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三,股修四,经隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点是:勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 (结果用含m的式子表示).【分析】根据题意得2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理列方程即可得到结论.【解答】解:∵m为正整数,∴2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理得,(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2+1,综上所述,其弦是m2+1,故答案为:m2+1.【变式7-2】(2022春•白云区期末)(1)3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;(2)如果a,b,c是一组勾股数,那么ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由.【分析】(1)根据勾股数的定义:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数,即可判断3k,4k,5k(k是正整数)是不是一组勾股数;(2)根据勾股数的定义:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数,即可判断ak,bk,ck(k是正整数)是不是一组勾股数.【解答】证明:(1)3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数,理由如下:∵k是正整数,∴3k,4k,5k都是正整数,∵(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数;(2)ak,bk,ck(k是正整数)是一组勾股数,理由如下:∵a,b,c是一组勾股数,且k是正整数,∴ak,bk,ck是三个正整数,∵a2+b2=c2,∴(ak)2+(bk)2=a2k2+b2k2=(a2+b2)k2=c2k2=(ck)2,∴ak,bk,ck(k是正整数)是一组勾股数.【变式7-3】(2022•石家庄三模)已知:整式A=n2+1,B=2n,C=n2﹣1,整式C>0.(1)当n=1999时,写出整式A+B的值 (用科学记数法表示结果);(2)求整式A2﹣B2;(3)嘉淇发现:当n取正整数时,整式A、B、C满足一组勾股数,你认为嘉淇的发现正确吗?请说明理由.【分析】(1)根据题意可得,A+B=(n2+1+2n)=(n+1)2,把n=1999代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案;(2)把A=n2+1,B=2n,代入A2﹣B2中,可得(n2+1)2﹣(2n)2,应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案;(3)先计算B2+C2=(2n)2+(n2﹣1)2,计算可得(n2+1)2,应用勾股定理的逆定理即可得出答案.。

浙教版八上第2章特殊三角形专题2.8 最短路径问题专项训练(30道)(含解析)

浙教版八上第2章特殊三角形专题2.8 最短路径问题专项训练(30道)(含解析)

最短路径问题专项训练(30道)考卷信息:本套训练卷共30题,题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型!一.选择题(共12小题)1.(2022春•五华区期末)如图,正方体的棱长为2cm,点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行,从点A爬到点B的最短路程是( )A.cm B.4cm C.cm D.5cm2.(2022春•碑林区校级期末)如图,圆柱的底面周长为12cm,AB是底面圆的直径,在圆柱表面的高BC上有一点D,且BC=10cm,DC=2cm.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是( )cm.A.14B.12C.10D.83.(2022春•洛阳期中)如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm.在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm.A.15B.C.12D.184.(2022秋•高州市期末)国庆节期间,茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子.为了美观,每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点,如图所示,若每根柱子的底面周长均为2米,高均为3米,则每根柱子所用彩灯带的最短长度为( )A.米B.米C.米D.5米5.(2022秋•沈阳期末)如图,长方体的长为3,宽为2,高为4,点B离点C的距离为1,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是( )A.B.5C.D.6.(2022春•郾城区期末)如图,台阶阶梯每一层高20cm,宽30cm,长50cm,一只蚂蚁从A点爬到B点,最短路程是( )cm.A.10B.50C.120D.1307.(2022秋•揭阳校级月考)如图,一个棱长为3的正方体,把它分成3×3×3个小正方体,小正方体的棱长都是1.如果一只蚂蚁从点A爬到点B,那么估计A,B间的最短路程d的值为( )A.4B.5C.6D.78.(2022秋•牡丹区月考)如图是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆,其边缘AB=CD=20m.小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短,则他滑行的最短距离约为( )(π取3)m.A.30B.28C.25D.229.(2022春•靖西市期中)如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=7cm,BC=4cm,BF=6cm,点M在棱AB上,且AM=1cm,点N是FG的中点,一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为( )A.10cm B.C.D.10.(2022秋•芝罘区期中)某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图).在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为9cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少为( )A.8cm B.10cm C.12cm D.15cm11.(2022秋•青岛期末)棱长分别为8cm,6cm的两个正方体如图放置,点A,B,E在同一直线上,顶点G在棱BC上,点P是棱E1F1的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P,它爬行的最短距离是( )A.B.C.D.12.(2022•广饶县一模)如图,长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米,高为5厘米.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为( )厘米.A.8B.10C.12D.13二.填空题(共8小题)13.(2022春•德城区期末)如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是 cm.14.(2022•潍城区一模)云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的,如图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图,该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成,它的横截面图中半圆的半径为m,其边缘AB=CD=24m,点E在CD上,CE=4m,一名滑雪爱好者从点A滑到点E,他滑行的最短路线长为 m.15.(2022春•仁怀市月考)如图,要在河边l上修建一个水泵站,分别向A村和B村送水,已知A 村、B村到河边的距离分别为2km和7km,且AB两村庄相距13km,则铺设水管的最短长度是 km.16.(2022秋•锦江区校级期末)在一个长6+2米,宽为4米的长方形草地上,如图堆放着一根三棱柱的木块,它的侧棱长平行且大于场地宽AD,木块的主视图的高是米的等腰直角三角形,一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米.17.(2022秋•高新区校级期末)如图,教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直,点P在墙面上.若PA =AB=5米,点P到AD的距离是3米,有一只蚂蚁要从点P爬到点B,它的最短行程是 米.18.(2022春•德州期中)如图,点A是正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 .19.(2022秋•中原区校级期末)如图,一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm,4cm,5cm,盒子高为9cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B,蚂蚁要爬行的最短路程是 cm.20.(2022秋•凤城市期中)如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑,G在水面线EF上,且EG=60cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑.则蚂蚁爬行的最短路线为 cm.三.解答题(共10小题)21.(2022春•宜城市期末)如图,某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离长为125m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN的长为60m,BM的长为75m.(1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长;(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.22.(2022秋•原阳县期末)如图,一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板,甲蚂蚁从点A出发,沿a,b,d三个面走最短路径到点B;同时,乙蚂蚁以相同的速度从点B出发,沿d,c两个面走最短路径到点A.请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地?23.(2022秋•江北区期末)在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁,在另一顶点E处有一粒糖,你能为这只蚂蚁设计一条最短路线,使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行,最快捷吃到糖吗?以下提供三个方案:①A→B→C→E;②A→C→E;③A→D→E.(1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ;最长的方案是 .(2)请根据数学知识说明理由.24.(2022秋•二道区期末)如图,已知线段BC是圆柱底面的直径,圆柱底面的周长为10,圆柱的高AB=12,在圆柱的侧面上,过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝.(1)现将圆柱侧面沿AB剪开,所得的圆柱侧面展开图是 ;(2)求该金属丝的长.25.(2022秋•随县期末)如图1所示,长方形是由两个正方形拼成的,正方形的边长为a,对角线为b,长方形对角线为c.一只蚂蚁从A点爬行到C点.(1)求蚂蚁爬行的最短路线长(只能按箭头所示的三条路线走),并说明理由;(2)如果把右边的正方形EFBC沿EF翻转90°得到如图2所示的正方体相邻的两个面(实线表示),则蚂蚁从A点到C点的最短路线长是多少?请在图2中画出路线图,若与图中的线段有交点,则要标明并说明交点的准确位置.(可测量猜想判断)26.(2022秋•罗湖区期中)(1)如图1,长方体的长为4cm,宽为3cm,高为12cm.求该长方体中能放入木棒的最大长度;(2)如图2,长方体的长为4cm,宽为3cm,高为12cm.现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处,求它爬行的最短路程.(3)若将题中的长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处.求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少?27.(2022秋•元宝区校级期中)一根长90cm的灯管上,缠满了彩色丝带,已知可近似地将灯管看作圆柱体,且底面周长为4cm,彩色丝带均匀地缠绕了30圈,问:丝带共有多长?28.(2022秋•东明县期中)东明县是鲁西南的化工基地,有东明石化集团,洪业化工集团,玉皇化工集团等企业,化学工业越来越成为东明县经济的命脉,化工厂里我们会经常看到如图储存罐,根据需要,在圆柱形罐的外围要安装小梯子,如果油罐的底面半径为6米,高24米,梯子绕罐体半圆到达罐顶,则梯子至少要多长?29.(2022秋•福田区期末)如图,是一个圆柱形的饼干盒,在盒子外侧下底面的点A处有甲、乙两只蚂蚁,它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物:甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线爬行,乙蚂蚁沿圆柱的侧面爬行:若∠AOB=∠A′O′B′=90°(AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′平行),圆柱的底面半径是12cm,高为1cm,则:(1)A′B′= cm,甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l1= cm;(2)乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l2= cm(π取3);(3)若两只蚂蚁同时出发,且爬行速度相同,在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下,哪只蚂蚁先到达食物处?请你通过计算或合理的估算说明理由.(参考数据:π取3, 1.4)30.(2022秋•安岳县期末)勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理.这个定理的证明的方法很多,也能解决许多数学问题.请按要求作答:(1)选择图1或图2中任一个图形来验证勾股定理;(2)利用勾股定理来解决下列问题:如图3,圆柱形玻璃杯高为12cm,底面周长为16cm,在杯外离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处,点A离杯口3cm.则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少?最短路径问题专项训练(30道)考卷信息:本套训练卷共30题,题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型!一.选择题(共12小题)1.(2022春•五华区期末)如图,正方体的棱长为2cm,点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行,从点A爬到点B的最短路程是( )A.cm B.4cm C.cm D.5cm【分析】正方体侧面展开为长方形,确定蚂蚁爬行的起点和终点,根据两点之间线段最短,根据勾股定理可求出最短路径长,【解答】解:如图,它运动的最短路程AB(cm).故选:C.2.(2022春•碑林区校级期末)如图,圆柱的底面周长为12cm,AB是底面圆的直径,在圆柱表面的高BC上有一点D,且BC=10cm,DC=2cm.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是( )cm.A.14B.12C.10D.8【分析】首先画出圆柱的侧面展开图,根据底面周长为12cm,求出AB的值;再在Rt△ABD中,根据勾股定理求出AD的长,AD即为所求.【解答】解:圆柱侧面展开图如图所示,∵圆柱的底面周长为12cm,∴AB=6cm.∵BD=8cm,在Rt△ABD中,AD2=AB2+BD2,∴AD10(cm),即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm.故选:C.3.(2022春•洛阳期中)如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm.在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm.A.15B.C.12D.18【分析】将圆柱沿过A的母线剪开,由题意可知,需在杯口所在的直线上找一点F,使AF+CF最小,则先作出A关于杯口所在直线的对称点A',连接A'C与杯口的交点即为F,此时AF+CF=A'F+CF=A'C,再利用勾股定理求A'C的长即可.【解答】解:如图所示,将圆柱沿过A的母线剪开,由题意可知,需在杯口所在的直线上找一点F,使AF+CF最小,故先作出A关于杯口所在直线的对称点A',连接A'C与杯口的交点即为F,此时AF+CF=A'F+CF =A'C,根据两点之间线段最短,即可得到此时AF+CF最小,并且最小值为A'C的长度,如图所示,延长过C的母线,过A'作A'D垂直于此母线于D,由题意可知,A'D=18÷2=9(cm),CD=12﹣4+4=12(cm),由勾股定理得:A'C15(cm),故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm,故选:A.4.(2022秋•高州市期末)国庆节期间,茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子.为了美观,每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点,如图所示,若每根柱子的底面周长均为2米,高均为3米,则每根柱子所用彩灯带的最短长度为( )A.米B.米C.米D.5米【分析】要求彩带的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理.【解答】解:将圆柱表面切开展开呈长方形,则彩灯带长为2个长方形的对角线长,∵圆柱高3米,底面周长2米,∴AC2=22+1.52=6.25,∴AC=2.5,∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m.故选:D.5.(2022秋•沈阳期末)如图,长方体的长为3,宽为2,高为4,点B离点C的距离为1,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是( )A.B.5C.D.【分析】要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体侧面展开,然后利用两点之间线段最短解答.【解答】解:只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图1:∵长方体的宽为2,高为4,点B离点C的距离是1,∴AB5;只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图2:∵长方体的宽为2,高为4,点B离点C的距离是1,∴AB;只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图3:∵长方体的宽为2,高为4,点B离点C的距离是1,∴AB;∵5,∴蚂蚁爬行的最短距离是5.故选:B.6.(2022春•郾城区期末)如图,台阶阶梯每一层高20cm,宽30cm,长50cm,一只蚂蚁从A点爬到B点,最短路程是( )cm.A.10B.50C.120D.130【分析】先将图形平面展开,再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.【解答】解:如图所示,∵它的每一级的长宽高为20cm,宽30cm,长50cm,∴AB50(cm).答:蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm,故选:B.7.(2022秋•揭阳校级月考)如图,一个棱长为3的正方体,把它分成3×3×3个小正方体,小正方体的棱长都是1.如果一只蚂蚁从点A爬到点B,那么估计A,B间的最短路程d的值为( )A.4B.5C.6D.7【分析】过B作BD⊥AC于D,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解:过B作BD⊥AC于D,则AD=4,BD=3,∴A,B间的最短路程d5,故选:B.8.(2022秋•牡丹区月考)如图是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆,其边缘AB=CD=20m.小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短,则他滑行的最短距离约为( )(π取3)m.A.30B.28C.25D.22【分析】要求滑行的最短距离,需将该U型池的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.【解答】解:其侧面展开图如图:作点C关于AB的对称点F,连接DF,∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆,∴BC=πR=2.5π≈7.5m,AB=CD=20m,∴CF=15m,在Rt△CDF中,DF25(m),故他滑行的最短距离约为25m.故选:C.9.(2022春•靖西市期中)如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=7cm,BC=4cm,BF=6cm,点M在棱AB上,且AM=1cm,点N是FG的中点,一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为( )A.10cm B.C.D.【分析】利用平面展开图有2种情况,画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.【解答】解:如图1中,MN10(cm),如图2中,MN10(cm),∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为10cm,故选:A.10.(2022秋•芝罘区期中)某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图).在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为9cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少为( )A.8cm B.10cm C.12cm D.15cm【分析】画出三棱柱的侧面展开图,利用勾股定理求解即可.【解答】解:将三棱柱沿AA′展开,其展开图如图,则AA′15(cm).故选:D.11.(2022秋•青岛期末)棱长分别为8cm,6cm的两个正方体如图放置,点A,B,E在同一直线上,顶点G在棱BC上,点P是棱E1F1的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P,它爬行的最短距离是( )A.B.C.D.【分析】求出两种展开图PA的值,比较即可判断.【解答】解:如图,有两种展开方法:方法一:PA cm,方法二:PA cm.故需要爬行的最短距离是cm.故选:C.12.(2022•广饶县一模)如图,长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米,高为5厘米.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为( )厘米.A.8B.10C.12D.13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答.【解答】解:如图所示:∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.∴PA=4+2+4+2=12(cm),QA=5cm,∴PQ13cm.故选:D.二.填空题(共8小题)13.(2022春•德城区期末)如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是 25 cm.【分析】画出长方体的侧面展开图,根据勾股定理求出AB的长即可.【解答】解:只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如第1个图:∵长方体的宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,∴BD=CD+BC=10+5=15(cm),AD=20cm,在直角三角形ABD中,根据勾股定理得:∴AB25(cm);只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如第2个图:∵长方体的宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,∴BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=10cm,在直角三角形ABD中,根据勾股定理得:∴AB5(cm);只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如第3个图:∵长方体的宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,∴AC=CD+AD=20+10=30(cm),在直角三角形ABC中,根据勾股定理得:∴AB5(cm);∵25<55∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm.故答案为:25.14.(2022•潍城区一模)云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的,如图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图,该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成,它的横截面图中半圆的半径为m,其边缘AB=CD=24m,点E在CD上,CE=4m,一名滑雪爱好者从点A滑到点E,他滑行的最短路线长为 4 m.【分析】根据题意可得,AD=12,DE=CD﹣CE=24﹣4=20,线段AE即为滑行的最短路线长.在Rt△ADE中,根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长.【解答】解:将半圆面展开可得:AD=12m,DE=DC﹣CE=20m,在Rt△ADE中,AE4(m),即滑行的最短路线长为4m,故答案为:4.15.(2022春•仁怀市月考)如图,要在河边l上修建一个水泵站,分别向A村和B村送水,已知A 村、B村到河边的距离分别为2km和7km,且AB两村庄相距13km,则铺设水管的最短长度是 15 km.【分析】作点A关于河边所在直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,则点P为水泵站的位置;利用了轴对称的性质可得AP=A′P,在Rt△AEB中利用勾股定理可以算出AE的长,再在Rt△A ′CB中利用勾股定理算出A′B的长,根据两点之间线段最短的性质即可求解.【解答】解:作点A关于河边所在直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,则点P为水泵站的位置,此时,(PA+PB)的值最小,即所铺设水管最短;过B点作l的垂线,过A′作l的平行线,设这两线交于点C,过A作AE⊥BC于E,则四边形AA′CE和四边形AMNE是矩形,∴EN=AM=2,EC=AA′=2+2=4,A′C=AE,在Rt△ABE中,依题意得:BE=BN﹣EN=7﹣2=5,AB=13,根据勾股定理可得:AE12,在Rt△B A′C中,BC=BE+EC=5+4=9,A′C=12,根据勾股定理可得:A′B15,∵PA=PA′,∴PA+PB=A′B=15(km),故答案为:15.16.(2022秋•锦江区校级期末)在一个长6+2米,宽为4米的长方形草地上,如图堆放着一根三棱柱的木块,它的侧棱长平行且大于场地宽AD,木块的主视图的高是米的等腰直角三角形,一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 2 米.【分析】解答此题要将木块展开,然后根据两点之间线段最短解答.【解答】解:由题意可知,将木块展开,相当于是AB+等腰直角三角形的两腰,∴长为6+22+2﹣210(米);宽为4米.于是最短路径为2(米),故答案为:2.17.(2022秋•高新区校级期末)如图,教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直,点P在墙面上.若PA=AB=5米,点P到AD的距离是3米,有一只蚂蚁要从点P爬到点B,它的最短行程是 4 米.【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开,连接P、B,根据两点之间线段最短,利用勾股定理求解即可.【解答】解:如图,过P作PG⊥BF于G,连接PB,∵AG=3米,AP=AB=5米,∴PG=4米,∴BG=8米,∴PB4(米).故这只蚂蚁的最短行程应该是4米.故答案为:4.18.(2022春•德州期中)如图,点A是正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 .【分析】根据题意画出图形,过A作EA⊥CD于E,连接AB,则AB长为最短距离,求出OD=OC,∠DAC=90°,根据直角三角形斜边上中线性质求出AE=DE=EC=1,根据勾股定理求出即可.【解答】解:如图展开:过A作EA⊥CD于E,连接AB,则AB长为最短距离,∵四边形DFGC是正方形,DC=BC=2,∴OD=OC,∠DAC=90°,∴∠ADE=∠ECA=45°,∵AE⊥DC,∴DE=EC,∵∠DAC=90°,∴AE=DE=EC DC=1,在△AEB中,∠AEB=90°,BE=1+2=3,EA=1,由勾股定理得:AB,故答案为:.19.(2022秋•中原区校级期末)如图,一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm,4cm,5cm,盒子高为9cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B,蚂蚁要爬行的最短路程是 15 cm.【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形,求出矩形对角线的长度即可.【解答】解:如图,右侧为三棱柱的侧面展开图,AA′=3+4+5=12cm,A′B=9cm,∠AA′B=90°,∴AB15cm,故答案为:15.20.(2022秋•凤城市期中)如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑,G在水面线EF上,且EG=60cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑.则蚂蚁爬行的最短路线为 100 cm.【分析】作出A关于BC的对称点A′,连接A′G,与BC交于点Q,此时AQ+QG最短;A′G 为直角△A′EG的斜边,根据勾股定理求解即可.【解答】解:如图所示作点A关于BC的对称点A′,连接A′G交BC与点Q,小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短.在直角△A′EG中,A′E=80cm,EG=60cm,∴AQ+QG=A′Q+QG=A′G100cm.∴最短路线长为100cm.故答案为:100.三.解答题(共10小题)21.(2022春•宜城市期末)如图,某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离长为125m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN的长为60m,BM 的长为75m.(1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长;(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.【分析】(1)根据勾股定理解答即可;(2)根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可.【解答】解:(1)在Rt△MNB中,BN45(m),∴AN=AB﹣BN=125﹣45=80(m),在Rt△AMN中,AM100(m),∴供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长=100+75=175(m);(2)∵AB=125m,AM=100m,BM=75m,∴AB2=BM2+AM2,∴△ABM是直角三角形,∴BM⊥AC,∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM=75m.22.(2022秋•原阳县期末)如图,一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板,甲蚂蚁从点A出发,沿a,b,d三个面走最短路径到点B;同时,乙蚂蚁以相同的速度从点B出发,沿d,c两个面走最短路径到点A.请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地?【分析】将正方体展开,根据两点之间线段最短,构造出直角三角形,进而求出最短路径的长.【解答】解析展开a,b,c与d在同一平面内,如图所示.由题意可知,甲蚂蚁走的路径为A1B,(cm).乙蚂蚁走的路径为A2B,(cm).因为,所以A1B>A2B,故乙蚂蚁先到达目的地.23.(2022秋•江北区期末)在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁,在另一顶点E处有一粒糖,你能为这只蚂蚁设计一条最短路线,使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行,最快捷吃到糖吗?以下提供三个方案:①A→B→C→E;②A→C→E;③A→D→E.(1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ③ ;最长的方案是 ① .(2)请根据数学知识说明理由.【分析】(1)根据“化曲面为平面”,且利用“两点之间线段最短”可知,爬行路线最短的方案是③;最长的方案是①;(2)分别求出三种方案蚂蚁爬行的路程,比较即可求解.【解答】解:(1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是③;最长的方案是①.故答案为:③;①;(2)爬行路线最短的方案是③;最长的方案是①.理由如下:‘’设立方体纸盒的棱长为a,则a>0.方案:①A→B→C→E蚂蚁爬行的路程为:AB+BC+CE=a+a+a=3a;方案;②A→C→E蚂蚁爬行的路程为:AC+CE a=(1)a;方案;③A→D→E蚂蚁爬行的路程为:a.∵a<(1)a<3a,∴爬行路线最短的方案是③;最长的方案是①.24.(2022秋•二道区期末)如图,已知线段BC是圆柱底面的直径,圆柱底面的周长为10,圆柱的高AB=12,在圆柱的侧面上,过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝.(1)现将圆柱侧面沿AB剪开,所得的圆柱侧面展开图是 C ;(2)求该金属丝的长.【分析】(1)由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题;(2)要求丝线的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,根据勾股定理计算即可.【解答】解:(1)因为圆柱的侧面展开面为长方形,AC展开应该是两线段,且有公共点C.故答案为:C;(2)如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.∵圆柱底面的周长为10,圆柱的高AB=12,∴该长度最短的金属丝的长为2AC=226.25.(2022秋•随县期末)如图1所示,长方形是由两个正方形拼成的,正方形的边长为a,对角线为b,长方形对角线为c.一只蚂蚁从A点爬行到C点.。

浙教版八年级上册数学第2章 特殊三角形含答案

浙教版八年级上册数学第2章 特殊三角形含答案

浙教版八年级上册数学第2章特殊三角形含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,则∠C的大小为()A.15°B.25°C.30°D.60°2、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC扩充为等腰三角形ABD,且扩充部分是以4为直角边的直角三角形,则CD的长为()A. , 2或3B.3或C.2或D.2或33、某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为()A.9cmB.12cmC.15cmD.12cm或15cm4、下列说法正确的是()①经过三个点一定可以作圆;②若等腰三角形的两边长分别为3和7,则第三边长是3或7;③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍;④随意翻到一本书的某页,页码是偶数是随机事件;⑤关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0有两个不相等的实数根.A.①②③B.①④⑤C.②③④D.③④⑤5、如图,与是一对全等的等边三角形,且,下列四个结论:①;②;③;④四边形是轴对称图形.其中正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6、等腰三角形腰长10cm,底边16cm,则面积()A.96cm 2B.48cm 2C.24cm 2D.32cm 27、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点B在CD上,且BD=BA=2AC,则tan∠DAC的值为()A.2+B.2C.3+D.38、在中,,,则BC边上的高为()A.12B.10C.9D.89、如图,坐标平面内一点A(2,-1),O为原点,P是x轴上的一个动点,如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为()A.2B.3C.4D.510、下列命题中,不正确的是()A.对角线相等且垂直的四边形是正方形B.有一个角是直角的菱形是正方形C.顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形D.有一个角是的等腰三角形是等边三角形11、等腰三角形的一边长为6,另一边长为4,则其周长为()A. B. C. 或 D.以上都不是12、若一个等腰三角形的两边长分别为 4,5,则这个等腰三角形的周长为()A.13B.14C.13 或 14D.8或 1013、如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E,则DE等于()A. B. C. D.14、如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠ACB=90°,AD=BD,∠BAD=30°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA,若点M在DE上,且DC=DM.则下列结论中:①∠ADB=120°;②△ADC≌△BDC;③线段DC所在的直线垂直平分线AB;④ME=BD;正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个15、在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8). 以点A为圆心,以AB长为半径画弧交x轴于点C,则点C的坐标为().A.(6,0)B.(4,0)C.(6,0)或(-16,0)D.(4,0)或(-16,0)二、填空题(共10题,共计30分)16、如图,射线OP过Rt△ABC的边AC、AB的中点M、N,AC=4cm,BC=4cm,OM=3cm.射线OP上有一动点Q从点O出发,沿射线OP以每秒1cm的速度向右移动,以Q为圆心,QM为半径的圆,经过t秒与BC、AB中的一边所在的直线相切,请写出t的所有可能值________(单位:秒)17、已知,如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=70°,则∠A=________°.18、如图,在平面直角坐标系中,有一个等腰直角三角形,,直角边在轴上,且将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形,且,再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形,且……依此规律,得到等腰直角三角形,则点的坐标为________.19、如图,有一个与地面成30°角的斜坡,现要在斜坡上竖一电线杆,当电线杆与地面垂直时,它与斜坡所成的角α=________20、如图.在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分△ABC的周长,则DE的长是________.21、观察以下几组勾股数,并寻找规律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41,…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:________22、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线交AB于E,交BC 于F.BC=6,则BF=________.23、如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长都为1,则△ABC是:________三角形.24、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边长比斜边长短1cm,则该直角三角形的斜边长为 ________.25、如图,在四边形ABCD中,对角线AC垂直平分BD,∠BAD=120°,AB=4,点E是AB的中点,点F是AC上一动点,则EF+BF的最小值是________.三、解答题(共5题,共计25分)26、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tanB= ,点D在BC上,且BD=AD,求AC的长和cos∠ADC的值.27、已知:如图,在△ABC中,∠1=∠2,DE∥AC,求证:△ADE是等腰三角形.28、有一块直角三角形的绿地,量得两直角边BC、AC分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的面积.(图2,图3备用)29、如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点,DE⊥AC于E,AE=2,求CE的长.30、如图,将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠,使点D落在BC上的点F处,已知AB=6,△ABF的面积是24,求DE的长.参考答案一、单选题(共15题,共计45分)1、C2、A3、C4、D5、D7、A8、A9、C10、A11、C12、C13、C14、D15、D二、填空题(共10题,共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题,共计25分)26、27、。

数学八年级上册难题

数学八年级上册难题

数学八年级上册难题一、三角形全等证明难题题目1:已知:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,M是BC的中点,过M作ME∥AD 交BA延长线于E,交AC于F。

求证:BE = CF。

解析:1. 延长FM至N,使MN = FM,连接BN。

因为M是BC中点,所以BM = CM。

在△BMN和△CMF中,BM = CM,∠BMN = ∠CMF(对顶角相等),MN = MF。

根据SAS(边角边)定理,可得△BMN≌△CMF。

所以∠N = ∠CFM,BN = CF。

2. 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD = ∠CAD。

又因为ME∥AD,所以∠BAD = ∠AEF,∠CAD = ∠AFE。

从而∠AEF = ∠AFE,所以AE = AF。

3. 因为∠CFM = ∠AFE,∠AEF = ∠N,所以∠N = ∠AEF。

所以BE = BN。

又因为BN = CF,所以BE = CF。

二、等腰三角形性质与判定难题等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,求其底边上的高。

解析:1. 分两种情况讨论:当等腰三角形为锐角三角形时:因为一腰上的高与另一腰的夹角为30°,所以顶角为60°。

此等腰三角形为等边三角形,底边上的高公式。

当等腰三角形为钝角三角形时:一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的外角为30°,顶角为150°。

底角为15°,设底边上的高为公式,腰长为公式。

根据三角函数关系,公式。

而公式。

所以公式。

三、整式乘法与因式分解难题题目3:已知公式、公式、公式是△ABC的三边,且满足公式,求证:△ABC是等边三角形。

1. 对公式进行变形处理。

等式两边同时乘以2,得到公式。

进一步变形为公式。

2. 因为一个数的平方是非负的,要使公式成立。

则公式,公式,公式。

即公式,公式,公式。

所以△ABC是等边三角形。

第10讲 特殊三角形72道压轴题型专项训练(12大题型)(学生版) 24-25学年八年级数学上册

第10讲 特殊三角形72道压轴题型专项训练(12大题型)(学生版) 24-25学年八年级数学上册

第10讲 特殊三角形72道压轴题型专项训练(12大题型)【题型目录】压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题压轴题型四 等腰三角形中的动点问题压轴题型五 等边三角形中的动点问题压轴题型六 直角三角形压轴问题(30度角、斜边中线)压轴题型七 直角三角形中的动点问题压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题压轴题型九 用勾股定理解三角形压轴题型十 勾股定理与折叠问题压轴题型十一 勾股定理的应用压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题【压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题】1.在三角形纸片ABC 中,9022A C Ð=°Ð=°,,点D 为AC 边上靠近点C 处一定点,点E 为BC 边上一动点,沿DE 折叠三角形纸片,点C 落在点C ¢处.有以下四个结论:①如图1,当点C ¢落在BC 边上时,44ADC ¢Ð=°;②如图2,当点C ¢落在△ABC 内部时,44ADC BEC ¢¢Ð+Ð=°;③如图3,当点C ¢落在△ABC 上方时,44BEC ADC ¢¢Ð-Ð=°;④当C E AB ¢∥时,34CDE Ð=°或124CDE Ð=°,其中正确结论的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个2.如图,在ABC V 中,BD 平分ABC Ð交AC 于点D ,点M ,N 分别是线段BD 、BC 上一动点,AB BD >且10ABC S =△,5AB =,则CM MN +的最小值为 .3.综合与实践课上,同学们动手折叠一张正方形纸片ABCD ,如图1,点E 在边AD 上,点F ,G 分别在边AB ,CD 上,分别沿EF ,EG 把A Ð,D Ð向内折叠并压平,点A ,D 分别落在点A ¢和点D ¢处.小明同学的操作如图2,点D ¢在线段EA ¢上;小红同学的操作如图3,点A ¢在EG 上,点D ¢在EF 上.(1)在图1中,若110FEG Ð=°,求A ED ¢¢Ð的度数;(2)直接写出图2和图3中FEG Ð的度数;(3)若折叠后(0)A ED n n ¢¢Ð=°¹, 求FEG Ð的度数(用含n 的代数式表示).4.如图,将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点C 、D 分别落在点C ¢、D ¢的位置,C D ¢¢交BC 于点G ,再将C FG ¢△沿FG 折叠,点C ¢落在C ¢¢的位置(C ¢¢在折痕EF 的左侧).(1)如果65FED =°¢Ð,求EFC Ð的度数;(2)如果40AED ¢Ð=°,则EFC ¢¢Ð=________°;(3)探究EFC Т¢与AED ¢Ð的数量关系,并说明理由.5.东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题,他将长方形纸片按如图1所示折叠,点F 在边BC 上,点E ,G 在其它三边上,FE 和FG 为两条折痕,且折叠后重叠的纸片最多不超过三层.东东在探究的过程中,发现B FC ¢¢Ð随着点E ,G 的位置变化而变化,为了研究方便,把BFE Ð记为a ,CFG Ð记为b .(1)如图1,当30,40a b =°=°时,求B FC ¢¢Ð的度数.(2)如图2,当点F ,B ¢,C ¢在同一直线上(即0B FC ¢¢Ð=°)时,探究a 和b 的数量关系,并说明理由.(3)在EFG Ð和B FC ¢¢Ð中,当其中一个角是另一个角的3倍时,求a b +的度数.6.数学兴趣小组利用直角三角形纸片开展了如下的连续探究活动,请帮助他们完成相关的计算和证明.【探究一】如图1,在Rt ABC △中,90C Ð=°,沿过点B 的直线折叠这个三角形,使点C 落在AB 边上的点E 处,折痕为BD .同学们发现,若3cm CD =,16cm AB BC +=,借助ABC ABD BCD S S S =+△△△,可以计算出ABC V 的面积.请你完成填空:ABC S =V __________2cm ;【探究二】在“图1”的基础上,过点E 作BED Ð的平分线交BD 于点P ,连接AP ,如图2.同学们发现,沿直线AP 折叠这个三角形,BAP Ð与CAP Ð重合,即AP 是CAB Ð的角平分线.请你证明:AP 平分CAB Ð;【探究三】在“图2”的基础上,过点P 作PH AB ^于点H ,如图3.同学们通过测量发现,AH 与BH 的积是AC 与BC 的积的一半.请你证明:12AH BH AC BC ×=×.【压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题】1.如图,在ABC V 中,AB AC =,AD ,BE 是ABC V 的两条中线,5AD =,6BE =,P 是AD 上的一个动点,连接PE ,PC ,则PC PE +的最小值是( )A .5B .6C .7D .82.ABC V 中,若过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为ABC V 的关于点B 的二分割线.例如:如图1,ABC V 中,90A Ð=°,20C Ð=°,若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ,且20DBC Ð=°,则直线BD 是ABC V 的关于点B 的二分割线.如图2,ABC V 中,18C Ð=°,钝角ABC V 同时满足:①C Ð为最小角;②存在关于点B 的二分割线,则BAC Ð的度数为 .3.如图,在ABC V 中,40AD BC B =Ð=°,,D 、E 为边AB 上的两点,且CD CE =,60BCD Ð=°,ADF △是等边三角形.(1)求证:CE BE =;(2)求CAD Ð的度数.4.我们知道:如果两个三角形全等,则它们的面积相等,而两个不全等的三角形,在某些情况下,可通过证明等底等高来说明它们的面积相等.已知ABC V 与DEC V 是等腰直角三角形,90ACB DCE Ð=Ð=°,连接AD 、BE .(1)如图1,当90BCE Ð=°时,求证:ACD BCE S S =V V .(2)如图2,当0°BCE <Ð<90°时,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.(3)如图3,在(2)的基础上,作CF BE ^,延长FC 交AD 于点G ,求证:点G 为AD 的中点.5.如图,AD 是ABC V 的角平分线,DE AC ^,垂足为,E BF AC ∥交ED 的延长线于点F ,若BC 恰好平分ABF Ð.(1)求证:CDE BDF △△≌;(2)若ABC V 的面积是18,3DF =,求AB 长.6.△ABC 和△DBE 都是以点B 为顶点的等腰直角三角形,90ABC DBE Ð=Ð=°.(1)如图1,当ABC V 和DBE V 如图摆放,连接,,CD AD CE ,其中AD 与CE 相交于点F .那么AD 与CE 之间存在着怎样的位置关系,请说明理由;(2)如图2,当ABC V 和DBE V 如图摆放,F 为AC 的中点,连接,,AD CE FD ,并在FD 的延长线上取一点C ,连接CG ,使CG CE =.求证:FDA CGF Ð=Ð.【压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题】1.如图,点A ,B ,C 在同一条直线上,ABD △,BCE V 均为等边三角形,连接AE 和CD ,AE 分别交CD 、BD 于点M ,P ,CD 交BE 于点Q ,连接PQ ,BM ,下面结论:①ABE DBC V V ≌;②60DMA Ð=°;③PBQ V 为等边三角形;④MB 平分AMC Ð;⑤30PEQ Ð=°.其中结论正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2.如图,点C 在线段AB 上(不与点A 、B 重合),在AB 的上方分别作ADC △和BCE V ,且AC DC =,BC EC =,ACD BCE a Ð=Ð=连接AE ,BD 交于点P ,下列结论正确的是(填序号) .AE BD =;②AD BE =;③180a Ð=-o APB ;④PC 平分DCE Ð;3.如图,在等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,点D 在CB 的延长线上,且ED EC =.(1)如图1,当E 为AB 的中点时,则AE ______DB (填“>”“<”或“=”).(2)如图2,当E 为AB 边上任意一点时,(1)中的结论是否仍然成立,请说明理由.(3)如图3,当点E 在AB 的延长线上时,若ABC V 的边长为2,3AE =,求CD 的长.4.如图1,在ABC V 中,,AB AC D =为线段BC 上一动点(不与点B 、C 重合).连接AD ,作DAE BAC Ð=Ð,且AD AE =,连接CE .(1)求证:ABD ACE ≌△△.(2)当CE 平分ACF Ð时,若32BAD Ð=°,求DEC Ð的度数.(3)如图2,设()90180BAC a a Ð=°<<°,在点D 运动过程中,当DE BC ^时,DEC Ð=__________°.(用含a 的式子表示)5.如图,点O 是等边ABC V 内一点,D 是ABC V 外的一点,110AOB Ð=°,BOC a Ð=,BOC ADC V V ≌,60OCD Ð=°,连接OD .(1)求证:OCD V 是等边三角形;(2)当150a =°时,试判断AOD △的形状,并说明理由;(3)当a =_________时,AOD △是等腰三角形.6.如图,在ABC V 中,90ACB Ð=°,30ABC Ð=°,CDE V 是等边三角形,点D 在边AB 上.(1)如图1,当点E 在边BC 上时,求证DE EB =;(2)如图2,当点E 在ABC V 内部时,猜想ED 和EB 数量关系,并加以证明;(3)如图1,当点E 在ABC V 外部时,EH AB ^于点H ,过点E 作GE AB P ,交线段AC 的延长线于点G , 5AG CG =,1BH =.求CG 的长.【压轴题型四 等腰三角形中的动点问题】1.如图是树枝的一部分,一只蚂蚁M 以2cm /s 的速度从树枝的A 点处出发沿树枝AB 方向向上爬行,另一只蚂蚁N 从O 点出发,以1cm /s 的速度沿树枝OC 方向爬行,如果AB OC ,足够长,12cm 60OA BOC Ð==°,,且两只蚂蚁同时出发,用()s t 表示爬行的时间,当两只蚂蚁与点O 恰好构成等腰三角形时,t 的值是( )A .4sB .12sC .4s 或12sD .4s 或12s 或16s2.如图,已知:在ABC V 中,8AC BC ==,120ACB Ð=°,将一块足够大的直角三角尺PMN (90M Ð=°,30MPN Ð=°)按如图放置,顶点P 在线段AB 上滑动,三角尺的直角边PM 始终经过点C ,并且与CB 的夹角PCB a Ð=,斜边PN 交AC 于点D .点P 在滑动时,a = 时,PCD △的形状是等腰三角形.3.如图,在ABC V 中,90ACB Ð=°,已知3,4,5AC BC AB ===,点D 为AB 边上一点,连结CD 且AD CD =,动点P 从A 出发,以每秒1个单位长度的速度沿A C B --运动,到点B 运动停止,当点P 不与ABC V 的顶点重合时,设点P 的运动时间是t 秒.(1)用含有t 的代数式表示CP 的长;(2)求CD 的长;(3)当CDP △是以CD 为腰的等腰三角形时,求t 的值;(4)在点P 的运动过程中,如果点P 到ABC V 的两条边距离相等,直接写出t 的值.4.如图,等边ABC V 的边长为4cm ,点M 从点B 出发沿BC 运动,同时,点N 从点A 出发沿线段CA 的延长线运动,点M ,N 的速度均为1cm /秒,点M 到达点C 时,两点停止运动.作MD AB ^于点D ,连接MN 交AB 于点E .设点M ,N 的运动时间为t 秒.(1)当AEN △为等腰三角形时,求t 的值;(2)线段DE 的长度是否为定值?若是,请求出其长度;若不是,请说明理由.5.已知ABC V 是等腰三角形,且AB AC =,点D 是射线BC 上的一动点,连接AD ,以AD 为腰在AD 右侧作等腰ADE V ,使AD AE =,DAE BAC Ð=Ð.(1)如图1,当点D 在线段BC 上时,求证:BD CE =;(2)如图2,当点D 在射线BC 上运动时,取AC 中点M ,连接ME ,且40DAE BAC Ð=Ð=°.当MEC V 为等腰三角形时,CME Ð的度数为______;(3)如图3,当点D 在线段BC 的延长线上,60ÐаDAE BAC ==时,在线段CA 上截取CF ,使CF CD AF =+,并连接EF .求证:EF AC ^.6.如图,在()ABC BC AB >V 中,5AB AC ==,35B Ð=°,点D 在线段BC 上运动(点D 不与点B ,C 重合),连接AD ,作35ADE Ð=°,DE 交线段AC 于点E .(1)当125BDA Ð=°时,DEC Ð=______°,DAE Ð=______°.(2)当线段DC 的长度为何值时,ABD DCE ≌△△?请说明理由.(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出∠BDA 的度数;若不可以,请说明理由.【压轴题型五 等边三角形中的动点问题】1.在ABC V 中,90ACB Ð=°,30ABC Ð=°,CDE V 是等边三角形.点D 在AB 边上,点E 在ABC V 外部,EH AB ^于点H ,过点E 作GE AB ∥,交线段AC 的延长线于点G ,5AG CG =,3BH =,则CG 的长为( )A .1B .2CD 2.已知正方形ABCD ,点E 是边AD 上的动点,以EC 为边作等边三角形ECF ,连接BF ,交边DC 于点G ,当BF 最小时,CGF Ð= .3.如图,在等边ABC V 中,8cm AB AC BC ===,点,M N 分别从点,A B 同时出发,沿三角形的边运动,当点N 第一次返回到达点B 时,,M N 同时停止运动.已知点M 的速度是1cm/s ,点N 的速度是2cm/s .设点N 的运动时间为s t .(1)当t 为何值时,,M N 两点重合?(2)当t 为何值时,AMN V 为等边三角形?(3)当点,M N 在BC 边上运动时,是否存在时间t ,使得AMN V 是以MN 为底边的等腰三角形,若存在,直接写出t 的值;若不存在,请说明理由.4.如图,ABC V 中,12cm AB BC AC ===,M 、N 分别从点A 、点B 同时出发,按顺时针方向沿三角形的边运动.已知点M 的运动速度为1cm/s ,点N 的运动速度为2cm/s .当点N 第一次到达B 点时,M 、N 同时停止运动.设运动时间为(0)t t >.(1)当M 、N 两点重合时,求t 的值.(2)当AMN V 为等边三角形时,求t 的值.(3)点M 、N 运动过程中,点M 、N 能否与ABC V 中的某一顶点构成等腰三角形,若能直接写出对应的时间t ,若不能请说明理由.5.如图1,以ABC V 的两边AB ,BC 为边向外作等边三角形ABD ,BCE ,连接CD ,AE .(1)求证:AE CD =;(2)如图2,CD 与AE 交于点M ,连接BM ,探究AMB Ð的大小;(3)如图3,若AB c =,AC b =,BC a =,CD d =,射线BM 上是否存在一点P ,使ACP △也是等边三角形,若存在,试探究BP 满足的条件;若不存在,请说明理由.6.【初步感知】(1)如图1,已知ABC D 为等边三角形,点D 为边BC 上一动点(点D 不与点B ,点C 重合).以AD 为边向右侧作等边ADE D ,连接CE .求证:ABD ACE D D ≌;【类比探究】(2)如图2,若点D 在边BC 的延长线上,随着动点D 的运动位置不同,猜想并证明:①AB 与CE 的位置关系为: ;②线段EC 、AC 、CD 之间的数量关系为: ;【拓展应用】(3)如图3,在等边ABC D 中,3AB =,点P 是边AC 上一定点且1AP =,若点D 为射线BC 上动点,以DP 为边向右侧作等边DPE D ,连接CE 、BE .请问:PE BE +是否有最小值?若有,请直接写出其最小值;若没有,请说明理由.【压轴题型六 直角三角形压轴问题(30度角、斜边中线)】1.如图,在ABC V 中,AC BC =,90ACB Ð=°,AE 平分BAC Ð交BC 于点E ,BD AE ^交AE 延长线于点D ,DM AC ^交AC 的延长线于点M ,连接CD .则下列结论:①=45ADC а;②12BD AE =;③BC CE AB +=;④2AC AB AM +=;⑤BD CD =其中不正确的结论有( )A .3B .2C .1D .02.如图,点A 是线段BC 的垂直平分线上任意一点,连接AB ,AC ,作AB 的垂直平分线EF 分别交AB 、BC 于点G 、H ,若16BGH ABC S S =△△,256HC =,则GH 的长为 .3.如图,ABC V 为等边三角形,AE CD =,AD 、BE 相交于点P ,BQ AD ^于Q .(1)求证:ADC BEA V V ≌;(2)若4PQ =,1PE =,求AD 的长.4.在ABC V 中,BO AC ^于点O ,3AO BO ==,1OC =.(1)如图①,过点A 作AH BC ^于点H ,交BO 于点P ,连接OH .①求线段OP 的长度;②求证:45OHP Ð=°;(2)如图②,若D 为AB 的中点,点M 为线段BO 延长线上一动点,连接MD ,过点D 作DN DM ^交线段CA 的延长线于点N ,则BDM ADN S S -△△的值是否发生改变?若改变,求该式子的值的变化范围;若不改变,求该式子的值.5.已知AD 为等边ABC V 的角平分线,动点E 在直线AD 上(不与点A 重合),连接BE .以BE 为一边在BE 的下方作等边BEF △,连接CF .(1)如图1,若点E 在线段AD 上,且DE BD =,则CBF =∠______度.(2)如图2,若点E 在AD 的反向延长线上,且直线AE ,CF 交于点M .①求AMC Ð的度数;②若ABC V 的边长为4,P ,Q 为直线CF 上的两个动点,且5PQ =.连接BP ,BQ ,判断BPQ V 的面积是否为定值,若是,请直接写出这个定值;若不是,请说明理由.6.综合与实践:(1)【问题情境】在综合与实践课上,何老师对各学习小组出示了一个问题:如图1,90ACB Ð=o ,AC BC =,AD CD ^,BE CD ^,垂足分别为点D ,E .请证明:=AD CE .(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发,将题目改编如下:如图2,90CDF Ð=o ,CD FD =,点A 是DF 上一动点,连接AC ,作90ACB Ð=o 且BC AC =,连接BF 交CD 于点G .若1DG =,3CG =,请证明:点A 为DF 的中点.(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题:如图3,90CDF Ð=o ,CD FD =,点A 是射线DF 上一动点,连接AC ,作90ACB Ð=o 且BC AC =,连接BF 交射线CD 于点G .若4FD AF =,请直接写出CG DG 的值.【压轴题型七 直角三角形中的动点问题】1.如图,在Rt ABC △中,90C Ð=°,8cm AB =,30B Ð=°,若点P 从点B 出发以2cm/s 的速度向点A 运动,点Q 从点A 出发以1cm/s 的速度向点C 运动,设P 、Q 分别从点B 、A 同时出发,运动的时间为s 时,APQ △是直角三角形( )A .2或2.3B .3或2.3C .2或3.2D .3或3.22.如图,在ABC V 中,60,6ABC AB Ð=°=,D 是边AB 上的动点,过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ,将ADEV 沿DE 折叠,点A 的对应点为点F ,当BDF V 是直角三角形时,AD 的长为 .3.如图,ABC V 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 方向匀速移动.(1)当点P 的运动速度是1cm /s ,点Q 的运动速度是2cm /s ,当Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t (s ),当2t =时,判断BPQ V 的形状,并说明理由;(2)当它们的速度都是1cm /s ,当点P 到达点B 时,P 、Q 两点停止运动,设点P 的运动时间为t (s ),则当t 为何值时,PBQ V 是直角三角形?4.如图1,点P Q 、分别是边长为4cm 的等边ABC V 边AB BC 、上的动点,点P 从顶点A ,点Q 从顶点B 同时出发,且它们的速度都为1cm/s .(1)连接AQ CP 、交于点M ,则在P Q 、运动的过程中,CMQ Ð变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;(2)试求何时PBQ V 是直角三角形?(3)如图2,若点P Q 、在运动到终点后继续在射线AB BC 、上运动,直线AQ CP 、交点为M ,则CMQ Ð变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.5.如图1,ABC V 是边长为5厘米的等边三角形,点P 、Q 分别从顶点A 、B 同时出发,沿线段AB 、BC 运动,且它们的速度都为1厘米/秒,当点P 到达点B 时,P 、Q 两点停止运动.设点P 的运动时间为(s)t .(1)当运动时间为t 秒时,BQ 的长为______厘米,BP 的长为______厘米;(用含t 的式子表示)(2)当BPQ V 是直角三角形时,求t 的值;(3)如图2,连接AQ 、CP ,相交于点M ,则点P 、Q 在运动的过程中,CMQ Ð会变化吗?若变化,则说明理由;若不变,请求出它的度数.6.如图:等边三角形ABC 中,D 、E 分别是BC 、AC 边上的点,BD CE =,AD 与BE 相交于点P ,6AP =,Q 是射线PE 上的动点.(1)求证:ABD BCE V V ≌;(2)求APE Ð的度数;(3)若APQ △为直角三角形,求PQ 的值.【压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题】1.如图,ABC V 的角平分线,AF BE 相交于点P ,若13,10AB AC BC ===,则AP PF的值为( )A .135B .125C .52D .22.如图,已知:四边形ABCD 中,对角线BD 平分ABC Ð,72ACB Ð=°,50ABC Ð=°,并且180BAD CAD Ð+Ð=°,那么BDC Ð的度数为3.夯实基础:(1)如图1,点P 是ABC Ð的角平分线上BD 的一点,PE AB ^于点E ,PF BC ^与点F ,有以下结论:①PE PF =;②BE BF =;③BPE BPF Ð=Ð,其中正确的是____________.理解应用:(2)图2,点D 是EOF Ð的平分线OC 上一点,点A ,点B 分别在边OE OF 、上,且180AOB ADB Ð+Ð=°,探究AD 与DB 之间有怎样的数量关系?并证明;拓展延伸:(3)如图3,点D 是EOF Ð的平分线OC 上一点,点A ,点B 分别在边OE OF 、上,DA DB =,且120EOF Ð=°,探究OA OB OD ,,之间有怎样的数量关系?并说明理由.4.如图,在ABC V 中,BD 是AC 边上的高线,已知2A CBD Ð=Ð.(1)如图1,证明:AB AC =;(2)点E 是AD 上一点,ABE CBD Ð=Ð.①若1BD DE BD ==,,如图2,求CD 的长;②延长AB 至点F ,使得CF BE =,如图3,证明:3F CBD ÐÐ=.5.如图1,已知ABC V ,90ACB Ð=°,45ABC Ð=°,分别以AB 、BC 为边向外作ABD △与BCE V ,且DA DB =,EB EC =,90ADB BEC Ð=Ð=°,连接DE 交AB 于点F .(1)探究:AF 与BF 的数量关系,请写出你的猜想,并加以证明.(2)如图2,若30ABC Ð=°,60ADB BEC Ð=Ð=°,题目中的其他条件不变,(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明;(3)如图3,若ADB BEC m ABC Ð=Ð=Ð,题目中的其他条件不变,使得(1)中得到的结论仍然成立,请直接写出m 的值.6.如图,在锐角三角形ABC 中,AB AC <,AD 是角平分线,DM DN ,分别是ABD △,ACD V 的高,点E 在DC 上,且DE DB =,动点F 在边AC 上(不包括两端点),连接FE FD ,.【问题感知】(1)填空:DM DN (填“>”,“=”或“<”);【探究发现】(2)若FEB B Ð=Ð,小杰经过探究,得到结论:AFD EFD Ð=Ð.请你帮小杰证明此结论;【类比探究】(3)若180FEB B Ð+Ð=°,请判断上述结论是否成立.若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;【拓展提升】(4)已知5AB =,1BM =,3DM =,若点E 关于DF 的对称点E ¢落在边AC 上,连接DE ¢,请直接写出AE D ¢V 的面积.【压轴题型九 用勾股定理解三角形】1.如图,30AOB Ð=°,点M ,N 分别是射线OA ,OB 上的动点,OP 平分AOB Ð,且6OP =,当PMN V 的周长取最小值时,MN 的长为( )A .6B .18C .18D .122.如图,ABC V 中,4AB =,BC =AC =P 为AC 边上的动点,当ABP V 是等腰三解形时,AP 的长为 .3.在Rt ABC △中,已知90BAC Ð=°,AB AC >,点D 在射线BC 上,连接AD ,2ADB B Ð=Ð.(1)如图1,若AD 的垂直平分线经过点B ,求C Ð的度数;(2)如图2,当点D 在边BC 上时,求证:2BC AD =;(3)若2AC =,5BD CD =,请直接写出CD 的长.4.如图, Rt ABC △中,90ACB Ð=°,D 为AB 中点,点E 在直线BC 上(点E 不与点B ,C 重合),连接DE ,过点D 作^DF DE 交直线AC 于点F ,连接EF .(1)如图1,当点F 与点A 重合时,请直接写出线段EF 与BE 的数量关系;(2)如图2,当点F 不与点A 重合时,请写山线段AF ,EF ,BE 之间的数量关系,并说明理由;(3)若10AC =,6BC =,2EC =,请直接写出线段AF 的长.5.在ABC V 中,90ACB Ð=°,AC BC =,过点C 作AB 的平行线l ,点P 是直线l 上异于点C 的动点,连接AP ,过点P 作AP 的垂线交直线BC 于点D .(1)如图1,当点P 在点C 的右侧时,①求证:PA PD =;②试判定线段CA ,CD ,CP 之间有何数量关系?写出你的结论,并证明;(2)若5AC AP ==,求线段BD 的长.6.综合与实践.数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系.(1)2002年世界数学家大会(2002ICM )在北京召开,这届大会会标(如图1)的中央图案是经过艺术处理的“弦图”(如图2),它由4个全等的直角三角形拼成,请观察“弦图”,直接写出a b c ,,满足的等量关系为______,并利用图形的“等面积思想”加以证明.(2)某数学兴趣小组,采用数形结合思想解决了如下问题.已知线段8AB =,点C 在线段AB 上,AC x BC y ==,思路是,如图3,在线段AB 的同侧构造了两个Rt ACD △和Rt 90BCE CAD CBE Ð=Ð=°V ,,令24AD BE ==,,利用勾股定理,得出CD CE ==“CD CE +最小值”问题,再利用“将军饮马”模型,就完成了解答,请你写出解答过程.(3)如图4,在ABC V 中,30CAB Ð=o ,点D E 、分别为AB BC 、上的动点,且2BD CE AC BC ===,,求AE CD +的最小值.【压轴题型十 勾股定理与折叠问题】1.如图,已知在Rt ABC △中,90ABC Ð=°,30A Ð=°,2BC =,点 M ,N 在 AC 边上,将BCN △沿着BN 折叠,使点C 的对应点C ¢恰好落在AC 边上,将ABM V 沿着BM 折叠,使点A 的对应点A ¢恰好落在BC ¢的延长线上,则 BM A M¢ 的值为 ( )A B C D2.如图,在ABC V 中,AB =12AC =,6BC =,将ABC V 折叠,得到折痕DE ,且顶点B 恰好与点A 重合,点C 落在点F 处,则CE 的长为 .3.在四边形ABCD 中,90,10,8DAB B C D AB CD BC AD Ð=Ð=Ð=Ð=°====.(1)若P 为边BC 上一点,如图①将ABP V 沿直线AP 翻折至AEP △的位置,当点B 落在CD 边上点E 处时,求PB 的长;(2)如图②,点Q 为射线DC 上的一个动点,将ADQ △沿AQ 翻折,点D 恰好落在直线BQ 上的点D ¢处,求DQ 的长.4.在数学实验课上,李同学剪了两张直角三角形纸片,进行了如下的操作:操作一:如图1,将Rt ABC △纸片沿某条直线折叠,使斜边两个端点A 与B 重合,折痕为DE .(1)如果 5.5cm AC =, 6.5cm BC =,可得ACD V 的周长为______;(2)如果:1:2CAD BAD ÐÐ=,可得B Ð的度数为______;操作二:如图2,李同学拿出另一张Rt ABC △纸片,将直角边AC 沿直线CD 折叠,使点A 与点E 重合,若10cm AB =,8cm BC =,请求出BE 的长.5.如图、ABC V 为一块直角三角形纸片,90C =o ∠.【问题初探】:直角三角形纸片的对折问题,可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边,进而通过勾股定理来解决,体现数学中的转化思想.(1)如图1,现将纸片沿直线AD 折叠,使直角边AC 落在斜边AB 上,C 的对应点为E ,若6cm,8cm AC BC ==,求CD 的长.【学以致用】(2)如图2,若将直角C Ð沿MN 折叠,点C 与AB 中点H 重合,点,M N 分别在AC ,BC 上,则,,AM BN MN 之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.6.探究式学习是新课程提倡的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究.(注:长方形的对边平行且相等,四个角都是直角)【初步感知】(1)如图1,在三角形纸片ABC 中,90C Ð=°,18AC =,12BC =,将其沿DE 折叠,使点A 与点B 重合,折痕与AC 交于点E ,求CE 的长;【深入探究】(2)如图2,将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 折叠,使点C 落在C ¢处,BC ¢交AD 于E ,若4AB =,6BC =,求AE 的长;【拓展延伸】(3)如图3,在长方形纸片ABCD 中,10AB =,16BC =,点E 从点A 出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD 运动,把ABE V 沿直线BE 折叠,当点A 的对应点F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时,直接写出运动时间t (秒)的值.【压轴题型十一 勾股定理的应用】1.如图,铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇,30QON Ð=°.公路PQ 上A 处距O 点240米,如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以20米/秒的速度行驶时,A 处受噪音影响的时间为( )A .12秒B .16秒C .20秒D .30秒2.某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向处,这艘渔船以每小时40海里的速度向正东方向航行,1小时后到达B 处,在B 处观测到灯塔M 在北偏东30°方向处.则B 处与灯塔的距离BM 是 海里.3.如图,四边形ABCD 为某街心公园的平面图,经测量100AB BC AD ===米,CD =90B Ð=°.(1)求DAB Ð的度数;(2)若BA 为公园的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计),工作人员想要在点D 处安装一个监控装置来监控道路BA 的车辆通行情况,已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米(包含100米),求被监控到的道路长度为多少?4.《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有池,方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何.大意是:如图,水池底面的宽1AB =丈,芦苇OC 生长在AB 的中点O 处,高出水面的部分1CD =尺.将芦苇向池岸牵引,尖端达到岸边时恰好与水面平齐,即OC OE =, 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺).(1)求水池的深度OD ;(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时,更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为:若已知水池宽2AB a =, 芦苇高出水面的部分()CD n n a =<,则水池的深度OD()OD b =可以通过公式222a n b n-=计算得到.请证明刘徽解法的正确性.5.(1)【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人着迷.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是 ;A .B .C .D .(2)【实践操作】如图1,在数轴上找出表示2的点A ,过点A 作直线l 垂直于OA ,在l 上取点B ,使1AB =,以原点O 为圆心,OB 长为半径作弧,则弧与数轴负半轴的交点C 表示的数是 ;(3)【延伸应用】如图2,有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出2尺,斜放就恰好等于门的对角线(BD ),已知门宽6尺,求竹竿长.6.如图,某区有A ,B ,C ,D 四个景点,景点A ,D ,C 依次在东西方向的一条直线上,现有公路AB AD BD DC ,,,,已知20km AB =,12km AD =,16km BD =,30km CD =.(1)通过计算说明公路BD 是否与AD 垂直;(2)市政府准备在景点B ,C 之间修一条互通大道(即线段BC ),并在大道BC 上的E 处修建一座凉亭方便游客休息,同时D ,E 之间也修建一条互通大道(即线段DE ),且DE BC ^.若修建互通大道BC DE ,的费用均是每千米17万元,请求出修建互通大道BC DE ,的总费用.【压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题】1.如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中9AB =,6BC =,5BF =,点M 在棱AB 上,且3AM =,点N 是FG 的中点,一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N ,它需要爬行的最短路程为( )A .10BCD .92.如图,透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为18cm ,底面周长为12cm ,在容器内壁离容器底部7cm 的A 处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm 的点B 处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm .3.背景介绍:勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.千百年来,人们对它的证明门庭若市,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.小试牛刀:把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为a 、b 、c .显然,90DAB B Ð=Ð=°,AC DE ^.请用a 、b 、c 分别表示出梯形ABCD 、四边形AECD 、EBC V 的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:ABCD S =梯形______,EBC S =△______,AECD S =四边形______,则它们满足的关系式为______,经化简,可得到勾股定理222a b c +=.知识运用:(1)如图2,铁路上A 、B 两点(看作直线上的两点)相距40千米,C 、D 为两个村庄(看作两个点),AD AB ^,BC AB ^,垂足分别为A 、B ,25AD =千米,16BC =千米,则两个村庄的距离为______千米(直接填空);(2)在(1)的背景下,若40AB =千米,24AD =千米,16BC =千米,要在AB 上建造一个供应站P ,使得PC PD =,求出AP 的距离.+的最小值()016x <<.4.[提出问题]如图1,A ,B 是直线l 同侧的两个点,如何在l 上找到一个点C ,使得这个点到点A ,B 的距离的和最短?[分析问题]如图2,若A ,D 两点在直线l 的异侧,则连接AD ,与直线l 交于一点,根据“两点之间线段最短”,可知该点即为点C ,因此,要解决上面提出的问题,只需要将点B (或点A )移到直线l 的另一侧的点D 处,且保证DC BC =(或DC AC =)即可.。

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三角形难题集锦1.如图,在△ABC中,AB=BC,在BC上取点M,在MC上取点N,使MN=NA,若∠BAM=
∠NAC,则∠MAC=度。

2.如图,等腰直角三角形ABC直角边长为1,以它的斜边上的高AD为腰作第一个等
腰直角三角形ADE,再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰第1题
作第二个等腰直角三角形AFG;……以此类推,这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为。

3、如图,在三角形ABC中,AB=5,AC=13,边BC上的中线AD=6,则BC的长为
4、如图,在△ABC中,∠ABC=100o,AM=AN,CN=CP,求∠MNP的度数
5、如图:△ABC中,AD是角平分线,AD=BD,AB=2AC。

求证:△ACB是直角三角形。

6、如图,在三角形ABC中,AB=AC=5,P是BC边上除B、C点外的任意一点,则AP2 +PB·PC=。

7、如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=0.5(AB+AD),则∠ABC+∠ADC的度数是度。

8、如图,AM、BN分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AM=BN=AB,则∠BAC的度数为------------度。

9、如图,AE、AD是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA,若∠DAE=x°,求x的度数
10、如图,已知△ABC是等边三角形,∠BDC=120o,说明AD=BD+CD的理由
11、如图5,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD 于F,点E是AB的中点,连结EF.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
12两个全等的含30度、60度角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,边结BD,取BD的中点M,连结ME、MC,试判断△EMC的形状,并说明理由。

13、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF
14、如图,等边△ABC中,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连CE,DE,求证:CE=DE。

15、在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h.
求证:(1)
(2)a+b<c+h
(3)以a+b、h、c+h为边的三角形,是直角三角形。

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