第9节：函数的奇偶性

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奇偶性(原版)

1.3.2 奇偶性教学设计一、教材分析1.教材的地位与作用①内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节。

②奇偶性是函数的一个重要性质。

有了函数的奇偶性，对于某些函数来说，我们只需要研究它的一部分即可；另外，它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入研究起着铺垫的作用。

③奇偶性的教学无论是在知识还是水平方面对学生的教育起着非常重要的作用，所以本节课充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中表达。

2.学情分析①已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的理解。

即使他们尚不知函数奇偶性，但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性理解。

②在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体，然后再由具体到一般的科学处理方法，具备一定数学研究方法的感性理解。

③高一学生具备一定的观察水平，但观察的深刻性还有待于提升。

④高一学生的心理具备一定的稳定性，有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。

二、教学目标1.知识与技能①理解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法。

②能用定义来判断函数的奇偶性。

③掌握奇偶函数的图像性质。

2.过程与方法①从数和形两个角度理解函数的奇偶性。

②培养学生数形结合的思想，感悟由形象到具体，再从具体到一般地研究方法。

3.情感态度与价值观①体会具有奇偶性函数的图像对称的性质，感受数学的对称美，体验数学研究的严谨性。

②通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的水平，同时渗透数形思想，从特殊到一般的数学思想。

三、重点与难点1.重点：函数奇偶性的概念与判断2.难点：函数奇偶性的判断四、教法1.多媒体与板书相结合2.以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅五、教学过程1 新课导入师：同学们，上节课我们研究了函数很重要的一个性质——单调性，那么这节课我们就要来研究一下函数的另一个重要性质——奇偶性。

人教A版必修一《1.3.2奇偶性》李静教学点评

人教A版必修一《1.3.2奇偶性》教学点评兰州二十七中李静“函数的奇偶性”是学生学习了函数的单调性后要学习的又一个重要性质，这节课的教学重点是从函数图像的对称特征中抽象建构出奇偶函数的概念。

本节课授课教师能够以新课程理念为指导，关注数学本质，较好地体现了数学的逻辑性、整体性和严密性，关注了对学生数学抽象核心素养的培养，较好完成了课堂教学目标。

本节授课教师在设计和授课中有以下优点：1.新课引入部分，教师通过生活情境——剪纸切入，配合教师自制的剪纸道具，引出对称问题，再从数学外部问题过渡到内部问题，自然激发学生的学习兴趣。

2.在帮助学生建构偶函数概念的过程中，教师采用了从特殊到一般的方式，从学生熟悉的二次函数入手。

先让学生对图像进行观察，描述函数图像特征，再结合图表，用自然语言描述图像特征，最后用符号语言定义函数性质。

在建构概念时，授课教师不是简单呈现结论，对概念进行解释，而是重视建构、探究的过程，引导学生完成图形语言到自然语言和符号语言的过渡。

从授课时间来看，概念建构部分约为本节课的二分之一，授课教师没有急于呈现结论，大量例题讲解，而是舍得在此处给学生想的时间、交流合作的机会，注重学生的思维活动和自主探究，使学生课堂上获得基本活动经验。

3.授课教师例题设计层次鲜明，在教材例题的基础上进行了补充和变式。

例1判断函数奇偶性，在教材例题的基础上补充了非奇非偶函数和既奇又偶函数，通过学生解决问题，掌握用图像和定义判断函数奇偶性的方法，重视基础知识的达成训练。

例2增加了根据函数奇偶性画函数图像，丰富了函数奇偶性的简单应用, 加深了对概念的理解，引导学生体会函数奇偶性在解决函数问题时能起到“事半功倍”的效果。

题目用时不多, 课堂效果良好。

4.授课教师关注教学整体性和联系性。

要上好这节课，必须明确“明暗”两条主线，明线是知识生成的主线，暗线则是函数性质研究的一般方法。

教师在授课中，这两条主线贯穿始终。

例题部分例2引导学生将函数单调性与奇偶性共同研究，课堂小结部分注重章节知识的梳理，帮助学生形成思维框架。

函数的奇偶性及周期性

第六节函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性都有做f (y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln?－x ?2＋1＝lnx 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C∴∴4得|5a ＝10.则f (－a )＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－91.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．一、函数奇偶性的判断⎧1，x∈Q，xh(x)＝f(RQ，∴f(－g(－x)g(－x)＝f(g(1)＝ee＋1，×e－1＋1＝1＋e，不是偶函数．[答案] A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．[注意]判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．以题试法1(1)(2)(3)(4)∴f(又即∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)∵由⎩⎨⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2?x ＋3?－3＝4－x 2x ，∴f ((4)2＋2)＝－f (x 当当[1)＝(2)的解集为A C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)[自主解答] (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. (2)∵f (x )为偶函数，∴f ?x ?＋f ?－x ?x ＝2f ?x ?x >0. ∴xf (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f ?x ?>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f ?x ?<0.又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故[f (n ＋1)f (1∴f (∴f ((1)利用奇偶性构造关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．以题试法2．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.(2)已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)>f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)当x <0时，则－x >0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ，而f (－x )＝－f (x )(2)函数f ([x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32[＝12＋1＝32.[32 由题悟法1．周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f ?x ?，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝－1f ?x ?，则T ＝2a .2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．以题试法3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)(2)∴f (∴f ((2)∴4∴f 即课堂练习1．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝sin x C ．y ＝xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x答案：A2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析：选A 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.3A B C D ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －x 2－f (x )－1,1)上单调递减．4h (x )的A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数解析：选D f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )，故f (x )为奇函数．画出h (x )的图象可观察到它关于原点对称或当x >0时，－x <0，则h (－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－h (x )，当x <0时－x >0，则h (－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－h (x )．x ＝0时，h (0)＝0，故h (x )为奇函数．5．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 6．若函数f (x )＝x?2x ＋1??x －a ?为奇函数，则a ＝( )x 2－x .式f (x )>x 的解集为________．解析：依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象，如图所示，注意到y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，结合图象可知，f (x )>x 的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 011)＝________.解析：f (2 011)＝f (3×670＋1)＝f (1)＝－f (－1)10(1)(2)f (当0；f (即(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x .任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2.故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，故11(1)(2)又(2)结合f (x )的图象知⎩⎨⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故即(2)x∈f(x故x∈f(x函数f(x)＝－－x－4.课后练习1．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0，或x>3}B．{x|x<－3，或0<x<3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析：选D 由x ·f (x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f ?x ?>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f ?x ?<0，而f (－3)＝0，f (3)＝0，即2f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1bx ＋2x ＋1，． f (－1)＝f (1)由答案：－103．已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )，(1)求f (1)；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0.(2)f (－x )＋f (3－x )≥－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0＝f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－x 2≥f (1)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x 2·3－x 2≥f (1)，则1x ，则f (1)，g ，g (x )f (x )－g ＝2，＝－2，于是＝－34，1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)2．关于y ＝f (x )，给出下列五个命题：①若f (－1＋x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )是周期函数；②若f (1－x )＝－f (1＋x )，则y ＝f (x )为奇函数；③若函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则y ＝f (x )为偶函数；④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称；⑤若f (1－x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．填写所有正确命题的序号________．解析：由f (－1＋x )＝f (1＋x )可知，函数周期为2，①正确；由f (1－x )＝－f (1＋x )可知，y ＝f (x )的对称中心为(1,0)，②错；y ＝f (x －1)向左平移1个单位得y ＝f (x )，故y ＝f (x )y ①③.3－2)在x ∈⎣⎢⎡12，由f (ax 即。

函数的奇偶性教学设计.doc

函数的奇偶性教学设计孟凡勋内蒙古乌兰浩特一小X-3 -2 -10 1 2 3 fM = x 2 （1）这两个函数图象有什么共同特征？X ・3 •2 0 1 2 3 /（无）=W辅助教学。

6教学策略分析从一线教学來看，两数的奇偶性教学要比单调性的教学较为容易一些，也正因如此一些一线教师对奇偶性的教学重视不够，基本上是以广而告之式的教学方式进行教学，然后抛出大量的习题让学生去做。

事实上，高一的学生还没有完全适应高中数学的特点，这种教学方式不仅会让一部分学生不能适应，而U 还会造成学生不重视概念课的教学，不能体会到概念的形成过程、不能对概念的本质进行深入的挖掘、不能形成对概念的深刻认识。

学生会错误的认为高中数学就是解题。

长此以往对学生的学习极为不利。

为此在教学中学生要领悟概念的生成过程，体会数学的基本思想和方法，本节课的核心思想是数形结合思想。

高一的学生在领悟思想方法的过程中需要过程和载体，本节内容就是一节体会思想方法的重要载体的课。

在教学中，给学生较多的时间去作图，思考、举例、沟通是非常重要的。

也是符合新课程理念的。

因此在教学中采用自主合作，问题导学等教学方法。

教学以“数学知识发生发展的过程和理解数学知识的心理过程为基本线索”让知识自然的流入学生的头脑之中。

在得到函数的的奇偶性定义时尽可能多的让学生多举出奇函数或偶函数的例子，如果调动学生的能力不够或启发不当，会造成学生的学习不自然，教师的教学强加于人，同时概念教学培养学生思维能力的作用会大打折扣。

本节课的教学流程如下：7教学过程（1）教学引言一直击课题引言在函数的单调性学习中，我们先是从几个特殊的函数图象开始，通过对函数图象的观察，也即对“形”的认识，从数学直观上体验到函数图彖的上升或下降，乂进一步从“数” 的角度给出函数的单调性定义。

本节课我们用同样的方法来研究函数的奇偶性。

设计意图所谓好的开始是成功的一半，老师的儿句引言对本节课的学习起到提纲挈领的作用。

奇偶性与单调性及典型例题

奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考察内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场(★★★★)设a>0(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.案例探究［例1］函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)(y)(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：此题对思维能力要求较高，如果"赋值"不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)(y)(),令0,得f(0)=0,令－x,得f(x)(－x)()(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,那么f(x2)－f(x1)(x2)－f(－x1)()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a21)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数()的单调递减区间.★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：此题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过此题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x1<x2,那么－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)(x2)(－x1)(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.由f(2a21)<f(3a2－2a+1)得：2a21>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函数()的单调减区间是［，+∞］结合0<a<3,得函数()的单调递减区间为［，3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性假设为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.假设为抽象函数，在依托定义的根底上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的"磁场"及"训练"认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握根本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决根本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)以下函数中的奇函数是( )(x)=(x－1) (x)=(x)= (x)=2.(★★★★★)函数f(x)=的图象( )二、填空题3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，那么(1|)的一个单调递减区间是.4.(★★★★★)假设函数f(x)32满足f(0)(x1)(x2)=0 (0<x1<x2),且在［x2∞上单调递增，那么b的取值范围是.三、解答题5.(★★★★)函数f(x) (a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；()存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.(★★★★★)函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f()(m)(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)(－x),即.整理，得(a －)(－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴1(2)证法一：设0＜x1＜x2,那么f(x1)－f(x2)=由x1>02>02>x1,∴>0,1－e＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0∞)上是增函数证法二：由f(x)－x，得f′(x)－e－－x·(e2x－1).当x ∈(0∞)时，e－x>02x－1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(－x)=－f(x)(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令1|,那么t在(－∞,－1上递减，又(x)在R 上单调递增，∴(1|)在(－∞,－1上递减.答案：(－∞,－14.解析：∵f(0)(x1)(x2)=0,∴f(0)0(x)(x－x1)(x－x2)3－a(x12)x21x2x，∴－a(x12),又f(x)在［x2∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x12>0,∴－a(x12)＜0.答案：(－∞,0〕三、5.证明：(1〕设－1＜x1＜x2＜+∞,那么x2－x1>0, >1且>0,∴>0,又x1+1>02+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1) >0∴f(x)在(－1，+∞〕上为递增函数.(2〕证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,那么且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,假设－1＜x0＜0,那么＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，假设x0＜－1,那么>0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x≠0,∴f(x)=,设1＜x1＜x2＜+∞,那么.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞〕上是减函数.(此题也可用求导方法解决〕7.证明：(1〕不妨令1－x2,那么f(－x)(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2〕要证f(4a)(x),可先计算f()(2a).∵f()［x－(－a)］=.∴f(4a)［(2a)+2a］(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1〕证明：设x1＜x2,那么x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)［(x2－x1)1］－f(x1)(x2－x1)(x1)－1－f(x1)(x2－x1)－1(x2－x1)(－)－1［(x2－x1)－］>0, ∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=21.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握根本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［2(x2+54)］≥0.●案例探究［例1］奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)(x2－3)<0,设不等式解集为A，∪{1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：此题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的"f"号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去"f"号，转化为不等式，利用数形结合进展集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即{2<x<},∴∪{1≤x≤}={1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)(1)=－4.［例2］奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(2θ－3)(4m－2θ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？假设存在，求出符合条件的所有实数m的范围，假设不存在，说明理由.命题意图：此题属于探索性问题，主要考察考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(2θ－3)>f(2θ－4m),即2θ－3>2θ－4m,即2θ－θ+2m－2>0.设θ,那么问题等价地转化为函数g(t)2－2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2,∴4－2<m≤2.当>1,即m>2时，g(1)－1>0m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为根本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞∞)上的奇函数，f(2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x),那么f(7.5)等于( )A.0.52.(★★★★)定义域为(－1，1)的奇函数(x)又是减函数，且f(a－3)(9－a2)<0,那么a的取值范围是( )A.(2，3)B.(3，)C.(2，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)假设f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,那么(x)<0的解集为.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(2)=－f(x),试比拟f()()(1)的大小关系.三、解答题5.(★★★★★)f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈,解不等式f－1(x)>.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－)≤f(－2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)函数(x)= (∈>0>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［2(x2+54)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0〕上为减函数且f(－2)(2)=0∴不等式可化为2(x2+54)≥2①或2(x2+54)≤－2②由①得x2+54≥4∴x≤－5或x≥0③由②得0＜x2+54≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、 1.解析：f(7.5)(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)(3.5)(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f(a－3)(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0〕∪(0，3〕4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f()=－f(－)()=－f(－)(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0〕上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)(x1)(－x2)(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1〕1.(2)f(x)= (x∈R)f－-1(x)2 (－1＜x＜1.(3)由2>22(1－x)＜2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴0,∵a>0>0>0,∴f(x)=≥2，当且仅当时等号成立，于是2=2,∴2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－52＜0,解得＜b＜2，又b ∈N,∴1,∴1,∴f(x).(2)设存在一点(x00)在(x)的图象上，并且关于(1，0〕的对称点(2－x0,－y0)也在(x)图象上，那么消去y0得x02－2x0－1=00=1±.∴(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握根本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［2(x2+54)］≥0.●案例探究［例1］奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)(x2－3)<0,设不等式解集为A，∪{1≤x≤ },求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：此题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f〞号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f〞号，转化为不等式，利用数形结合进展集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x< ,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x< ,即{2<x< },∴∪{1≤x≤ }={1≤x< },又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－ )2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)(1)=－4.［例2］奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(2θ－3)(4m－2θ)>f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？假设存在，求出符合条件的所有实数m的范围，假设不存在，说明理由.命题意图：此题属于探索性问题，主要考察考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(2θ－3)>f(2θ－4m),即2θ－3>2θ－4m,即2θ－θ+2m－2>0.设θ,那么问题等价地转化为函数g(t)2－2m－2=(t－ )2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当 <0,即m<0时，g(0)=2m－2>0 m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－ +2m－2>04－2 <m<4+2 ,∴4－2 <m≤2.当 >1,即m>2时，g(1)－1>0 m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 .●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为根本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞∞)上的奇函数，f(2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x),那么f(7.5)等于( )A.0.5B.－0.52.(★★★★)定义域为(－1，1)的奇函数(x)又是减函数，且f(a－3)(9－a2)<0,那么a的取值范围是( )A.(2 ，3)B.(3， )C.(2 ，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)假设f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,那么(x)<0的解集为.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(2)=－f(x),试比拟f( )( )(1)的大小关系.三、解答题5.(★★★★★)f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈,解不等式f－1(x)> .7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－)≤f( － 2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)函数(x)= (∈>0>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)< .(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［2(x2+54)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0〕上为减函数且f(－2)(2)=0∴不等式可化为2(x2+54)≥2①或2(x2+54)≤－2 ②由①得x2+54≥4∴x≤－5或x≥0③由②得0＜x2+54≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、 1.解析：f(7.5)(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)(3.5)(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f(a－3)(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2 ,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0〕∪(0，3〕4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f( )=－f(－ )( )=－f(－ )(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－ >－ >－1.∴f(－ )>f(－ )>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).答案：f( )＜f( )＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0〕上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)(x1)(－x2)(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1〕1.(2)f(x)= (x∈R) f－-1(x)2 (－1＜x＜1 .(3)由2 >2 2(1－x)＜2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{－1＜x＜1 .7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［ ,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴0,∵a>0>0>0,∴f(x)= ≥2 ，当且仅当时等号成立，于是2 =2,∴2,由f(1)＜得＜即＜ ,∴2b2－52＜0,解得＜b＜2，又b ∈N,∴1,∴1,∴f(x) .(2)设存在一点(x00)在(x)的图象上，并且关于(1，0〕的对称点(2－x0,－y0)也在(x)图象上，那么消去y0得x02－2x0－1=00=1± .∴(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1－ ,－2 )关于(1，0)对称.。

函数的奇偶性

函数的奇偶性邵一中杜海光一、教学背景分析1、教材分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第一章第三节第二课《1.3.2奇偶性》。

奇偶性是函数的重要性质之一:一方面,奇偶性是初中学习的图象对称性内容的延伸, 另一方面,学习性质也为进一步研究基本初等函数等内容做好准备。

而奇偶性是在学生学习了函数的有关概念和单调性的基础上，对函数知识进一步深入和拓广。

2、学情分析：我所教学的学生是我校高一的学生，学生还处在适应期，大部分学生的抽象思维能力和演绎推理能力较弱，所以在授课时注重从具体的例子出发，即先给出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的感性认识,然后在这个基础上形成概念.教学过程中注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

二、教学目标1、知识与技能：（1）建立奇偶性的概念通过观察一些函数图象的对称性，形成奇偶性的直观认识。

然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。

（2）掌握函数奇偶性的判别方法。

通过对典型例子的探讨，加深对奇偶性实质的理解，进一步形成判断的方法步骤，从而能应用到例题中去。

（3）函数奇偶性的研究经历了从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解奇函数、偶函数概念的本质特征。

在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。

2、过程与方法：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，利用几何画板、实物投影仪等辅助教学，激发学生积极主动地参与教学活动。

使学生学会数学思考，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

本节课,通过动手实践,观察图象创设问题情境引导学生概括出图象特点并抽象出奇偶性的概念；通过典型例子，学生探索质疑，加深对奇偶性概念实质的理解；接着就奇偶性概念的特点，概括出判断的方法步骤，最后通过例子练习加深巩固。

“函数的奇偶性”教学设计

一、教学内容解析“奇偶性”是人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》（以下统称“教材”）第一册第三章“函数的概念与性质”中“函数的基本性质”第二节的内容.从单元整体来看，函数的奇偶性是继单调性后的又一重要性质，是函数概念与表示的进一步拓展与深化，是研究函数单调性的思想方法（代数运算、图象直观）的又一次实践应用，为研究函数的另一个整体性质——周期性提供活动经验，也是后续研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的基础.教材在处理函数的奇偶性时，沿用处理函数单调性的方法，概括起来就是：具体函数—图象特征（对称性）—数量刻画—符号语言—抽象定义—奇偶性判定.在函数性质的教学中，用什么方式引导学生的数学思维活动，使学生在掌握知识的过程中学习数学思考方法，从学会思考走向学会学习，是教学的主要任务.教学中既要注意体现函数数学性质的一般思路，又要注意函数性质的特殊性——变化中的规律性和不变性；在方法上，要加强通过代数运算和图象直观揭示函数性质的引导和明示；要构建从具体到抽象、从特殊到一般的过程，归纳概括出用严格的数学语言精确刻画函数奇偶性的方法，从而提升学生的数学运算、直观想象等素养，锻炼学生的抽象思维.基于以上分析，本节课的教学重点为：函数奇偶性的概念及简单函数的奇偶性判断.二、教学目标设置本节课教学目标设置如下.（1）通过具体函数，使学生经历用数量关系刻画函数图象对称性的过程，同时了解函数奇偶性的概念和几何意义.（2）让学生根据图象特征和奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决一些简单问题.（3）让学生经历从特殊到一般的数学活动，会用数学符号语言描述奇函数和偶函数，经历从图形语言到符号语言的过渡，感悟常用逻辑用语中量词与数学严谨性的关系，提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理素养.三、学生学情分析从学生的认知基础来看，学习本节课之前，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形的相关“函数的奇偶性”教学设计王志红摘要：本节课按照“具体函数—图象特征—数量刻画—符号语言—抽象定义—概念辨析”的函数性质研究思路展开，基于单元整体教学的问题情境，问题启动、自主探究帮助学生养成严密的逻辑表达习惯；直观演示、类比迁移帮助学生完成函数奇偶性概念的建构；任务驱动、合作交流帮助学生理解函数奇偶性的本质.关键词：整体设计；问题引导；直观想象；数学抽象；类比建构收稿日期：2020-12-24作者简介：王志红（1985—），男，中学一级教师，主要从事中学数学教育教学研究.知识，对一次函数、二次函数、反比例函数的图象比较熟悉，有一定的函数储备.因此，学生很容易从函数图象来判断函数的对称性，即获得对函数的奇偶性的“图形表征”.加上前面学生已经了解了全称量词、充分条件和必要条件，并经历了研究函数单调性的方法的学习过程，会用符号语言表达函数的单调性，这些为学生学习本节课内容奠定了认知基础和方法基础.从能力发展分析，学生从函数的图形表征提炼数字特征，再抽象出符号语言有些困难，对用数学符号语言表达函数的性质的方法尚不熟练，概念形成的经验不足，自主探究和合作交流能力有待提高.因此，教学中必须从单元整体出发，引导学生从“数”与“形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识.本节课教学难点：如何从函数的图象特征中抽象出函数奇偶性的符号表达.四、教学策略分析通过前面函数单调性与最值概念的学习，学生已经初步学会了研究函数性质的“具体函数—图象特征—数量刻画—符号语言—抽象定义—概念辨析”方法，本节课将继续采用这种方法研究函数的奇偶性.在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，教师通过设置各种问题情境，引导学生在自主探究的数学活动中获得数学概念.整节课将以“图形特征—数量表征—符号抽象”为研究主线，先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得对函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化的特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域内的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇函数和偶函数的概念.在学法上，精心设置了层次清晰的问题串，采用“设问—探究—归纳—定论”层层递进的方式来突出重点和突破难点，由浅入深、循序渐进.培养学生的探究精神，着眼于知识的形成和发展过程，注重学生的学习过程体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现的舞台.在教学手段上，为了加强学生对定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中对“任意”的理解可能遇到的障碍，教师利用几何画板软件动态研究，使学生能够更好地利用图形直观与数形结合的方法，感悟函数的奇偶性，顺利完成数学概念的建构.五、教学过程设计引导语：在上一节课中，我们用符号语言精确描述了函数的图象在定义域的某个区间“上升”（或“下降”）的性质，是函数的单调性，既有“形”的直观认识，又有“数”的定量分析.今天我们继续用同样的方法研究函数的其他性质.【设计意图】好的开始是成功的一半，教师的几句引言对本节课的学习起到提纲挈领的作用，也为学生的学习指明方向.1.画图操作，直观感知师：请同学们完成下列表格，并作出函数f()x=x2和函数f()x=2-||x的图象.xf()x=x2f()x=2-||x………-3-2-10123………学生作出函数f()x=x2和函数f()x=2-||x的图象，如图1和图2所示.|【设计意图】本环节让学生动手操作，经历列表、描点、连线画出函数图象的过程，“由数得形”唤醒函数的三种表示方法，从“形”的角度获得对函数图象的局部与整体的直观认识.问题1：观察函数f()x=x2和f()x=2-||x的图象，你能得出哪些结论？【设计意图】复习函数概念的三要素、图象、单调性和最值，有利于学生对本单元知识的整体建构和研究函数性质的基本方法的迁移.观察发现函数图象的共同特征，明确本节课的研究内容，为“以数解形”做准备.2.探究关系，刻画对称问题2：尝试改变函数f ()x =x 2和f ()x =2-||x 的定义域，仔细观察，函数图象的对称性有什么变化？预设：学生可能的探究情况如图3~图6所示，图象关于y 轴对称的有图3和图5，图4和图6的图象不具有对称性.图6追问1：原来的图象关于y 轴对称，现在发生什么变化而引起图象不关于y 轴对称呢？追问2：图象关于y 轴对称的函数的定义域有什么特征？追问3：定义域关于原点对称是图象关于y 轴对称的什么条件？总结：对于一般的函数y =f ()x ，定义域关于原点对称是函数图象关于y 轴对称的必要条件.【设计意图】从“形”的角度认识函数的对称性，通过观察和分析图形的特征，抓住变化中的不变性和规律性.学生自主探究，通过小组活动改变函数的定义域得到新函数，通过对比对称性的变化，发现：对于一般的函数y =f ()x ，定义域关于原点对称是函数图象关于y 轴对称的必要条件.同时，引导学生用数学符号描述定义域关于原点对称，即“∀x ∈I ，都有-x ∈I ”，第一次突破对“任意”的理解障碍，分解本节课偶函数概念建构的难点.3.归纳类比，构建概念体系问题3：以函数f ()x =x 2为例，能用数学符号语言描述“函数图象关于y 轴对称”这一特征吗？函数f ()x =2-||x 有类似的符号表达吗？问题4：你能给偶函数下个定义吗？问题5：你能再举出几个偶函数的例子吗？并说明理由.【设计意图】通过具体的例子引导学生计算，观察取值规律，从实例中归纳两者的“共性”特征.当自变量取一对相反数时，函数值相等，经历将图象的对称性转化为点的对称性，再将点的对称问题转化为点的坐标的数量关系，指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识到数学符号表示.教师在几何画板软件上演示在x 轴上任取一点Q ，当点Q 移动时，点Q 关于原点的对称点Q ′也在x 轴上移动.学生通过观察，将自变量由具体数值推广到定义域内“对任意的x 都有f ()-x =f ()x ”，突破对“任意”的认知障碍，得出偶函数的定义.通过启发式提问，实现学生从图形语言到文字语言再到符号语言认识函数的奇偶性，实现由“形”到“数”的转换，学生通过举例加深对偶函数概念的理解.问题6：类比偶函数概念的建构过程，思考并讨论以下问题.（1）函数f ()x =x 和函数f ()x =1x的图象有什么共同特征？（2）如何用数学符号语言表示函数图象的这个特征的呢？问题7：你能给奇函数下个定义吗？问题8：你能再举出几个奇函数的例子吗？并说明理由.【设计意图】类比偶函数概念的建构过程，放手让学生经历直观感知、抽象概括的过程，学生合作交流、自主建构奇函数的概念，让学生再一次领会在数形结合思想指导下研究函数性质的方法，加深对概念本质的理解，积累数学概念建构的基本活动经验.4.概念应用，深化理解例1判断下列函数的奇偶性.（1）f ()x =x 4；（2）f ()x =x 5；（3）f ()x =x +1x；（4）f ()x =1x2.【设计意图】师生共同分析f ()x =x 4的奇偶性.教师板书判断函数奇偶性的过程，学生自主完成剩下三个函数奇偶性的判断，并总结用定义法判断函数奇偶性的一般步骤.此过程教师示范引领，规范推理演绎，当堂检测形成教学反馈与评价.例2（1）判断函数f()x=x3+x的奇偶性.（2）图7是函数f()x=x3+x的图象的一部分，你能根据函数f()x的奇偶性，画出它在y轴左侧的图象吗？图7（3）一般地，如果知道函数y=f()x的奇偶性，那么我们怎样简化对它的研究？【设计意图】这是奇偶性的应用：巩固函数奇偶性的概念，再次熟练判断函数奇偶性的步骤；利用函数的奇偶性画函数的图象，学生的思维由“数”到“形”体现研究函数奇偶性的意义；研究函数奇偶性的目的是如果一个函数具有奇偶性，那么在研究这个函数时，只要研究x≥0()x≤0的情况就可以了，然后运用对称性把整个定义域内完整函数的性质研究清楚.5.回顾总结，提升能力（1）回顾本节课的研究过程，我们是怎样展开对函数奇偶性的研究的？（2）偶函数与奇函数有什么相同点和不同点？有什么方法可以判断函数的奇偶性？（3）根据函数的奇偶性，你如何简化分析它的单调性、最值呢？【设计意图】回顾研究过程，总结研究方法，感悟研究函数性质的一般方法，提升学生的思维品质和数学素养.对比、分析奇函数和偶函数的异同，比较过程中，需要从“数”和“形”两个方面对概念进行整体思考，即从定义域、定义、图象三个方面对比，能够反映学生对奇偶性概念的理解情况.促使学生深入思考函数奇偶性与函数单调性的关系，建立关于函数的整体认识，形成章节知识结构，使学生体会到在研究函数时利用函数的奇偶性能收到事半功倍的效果，进一步明确研究函数奇偶性的必要性.6.分层要求，达标检测必做题：（1）教材第85页练习第1题.【设计意图】让学生借助函数的奇偶性画函数的图象.（2）判断下列函数的奇偶性.①f()x=2x4+3x2；②f()x=x3-2x；③f()x=x2+x；④f()x=x3-x2x-1；⑤f()x=x2-1+1-x2.【设计意图】让学生熟练运用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，同时让学生认识到并不是所有的函数都具有奇偶性.（3）填空.①偶函数f()x=||x，x∈()-5，a，则a的值为.②函数f()x=x+b为奇函数，则b的值为.③二次函数f()x=ax2+bx+c为偶函数，则b的值为.【设计意图】加深学生对函数奇偶性概念的理解.选做题：已知函数f()x为定义在()-2，2上的奇函数.（1）求f()0的值；（2）若f()x在定义域上单调递增，且有f()2+a+ f()1-2a>0，求实数a的取值范围.【设计意图】分层布置作业，意在必做题保证本节课知识和方法的落实，选做题安排了函数的单调性和奇偶性相结合的题目，注重函数性质的综合应用，加深学生对函数性质的整体认知，让学有余力的学生得到更好的发展.参考文献：［1］宋秀云.恰当孕育合理生长提升素养：《函数的奇偶性》教学思考［J］.数学通报，2018，57（11）：43-46.［2］王洁.在深度学习中发展自主探究能力：以“函数的奇偶性”教学为例［J］.中国数学教育（高中版），2020（6）：7-11.［3］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.。

【参考教案】《函数的奇偶性》(人教)

《函数的奇偶性》本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的。

教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图像，让学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念。

因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然。

【知识与能力目标】1、使学生从形与数两个方面理解函数奇偶性的概念、图像和性质；2、判断一些简单函数的奇偶性。

【过程与方法目标】1、设置问题情境培养学生判断、观察、归纳、推理的能力。

在概念形成的过程中，渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法；2、通过对函数单调性定义的探究，培养学生的抽象思维的能力。

【情感态度价值观目标】经过探究过程，培养学生严谨论证的良好思维习惯；使学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的理性认知过程。

【教学重点】函数奇偶性的概念及其判断。

【教学难点】函数奇偶性的掌握和灵活运用。

通过本节导学案的使用，引导学生对函数奇偶性有个初步的认识，带着问题学习。

(一)创设情景，揭示课题1、实践操作：（也可借助计算机演示）取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图像的图形，然后按如下操作并回答相应问题：○1以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图像，若能请说出该图像具有什么特殊的性质？函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图像，并且它的图像关于y轴对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图像上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图像上，即函数图像上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等。

○2以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图像，若能请说出该图像具有什么特殊的性质？函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图像，并且它的图像关于原点对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图像上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图像上，即函数图像上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数。

函数的奇偶性,指数的运算

本次课内容：函数的奇偶性、指数的运算第一节函数的奇偶性[导入新知]偶函数奇函数一般地，如果对于函数 f (x )的定义域内一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个 x ，都有 f (－x )＝f (x )，那么函任意一个 x ，都有 f (－x )＝－f (x )，那么定义数 f (x )就叫做偶函数函数 f (x )就叫做奇函数关于原点对称定义域图象特征判断函数的奇偶性[例 1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x 3＋3x ，x ∈[－4,4)； (3)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|；⎧⎨ ⎩21x 2＋1，x >0，(4)f (x )＝ 1－2x 2－1，x <0.判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的充要条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．[活学活用]判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；x2＋x＋4，x>0，⎧ ⎨ ⎩ x(2)f(x)＝x2－x＋4，x<0.－x利用函数奇偶性的定义求参数[例2] (1)若函数f(x)＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，＝________；2(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.[类题通法]由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．⎧－x2＋x，x>0，已知函数f(x)＝⎨⎪⎪⎩ax2＋x，x<0 是奇函数，则a＝________.利用函数的奇偶性求解析式[例3] f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．[类题通法]利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．[活学活用]已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．3.函数的单调性与奇偶性的综合问题[典例] (12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．设函数 f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求的取值范围．第二节指数与指数幂的运算之根式根式[导入新知]根式及相关概念(1)a 的n 次方根定义：如果 x n ＝a ，那么 x 叫做a 的n 次方根，其中 n >1，且 n ∈N *.(2)a 的n 次方根的表示：a 的n 次方根的 n 的奇偶性 a 的取值范围表示符号n 为奇数 n 为偶数n aR ±n a[0，＋∞)(3)根式：式子n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．[化解疑难](n a )n 与n a n 的区别(1)当 n 为奇数，且 a ∈R 时，有n a n ＝(n a )n ＝a ； (2)当n 为偶数，且a ≥0时，有n a n ＝(n a )n ＝a .根式的概念[例 1] (1)下列说法：①16的 4次方根是 2；②4 16的运算结果是±2；③当 n 为大于 1的奇数时，n a 对任意 a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意义．其中说法正确的序号为 ________．31(2)若a －3有意义，则实数a 的取值范围是________．[类题通法]判断关于 n 次方根的结论应关注两点(1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着 n 次方根的符号．[活学活用] 已知 m 10＝2，则m 等于( )A.102 B ．－10 D ．±102C. 2102利用根式的性质化简求值[例2]化简： (1)n (x －π)n (x <π，n ∈N *)；⎛ 1⎫ . ⎭2(2) 4a 2－4a ＋1 a ≤ ⎝[活学活用] 求下列各式的值： (1)8 (x －2)8；(2) 3－2 2＋(3 1－2)3.条件根式的化简[例 3] (1)若 xy ≠0，则使 4x 22y ＝－2xy 成立的条件可能是()A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0D ．x <0，y <0C ．x ≥0，y ≥0(2)设－3<x <3，求 x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．[活学活用] 若n <m <0，则m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( )A ．2mB ．2nC ．－2mD ．－2n第三节指数幂及运算有理指数幂的运算性质[导入新知]有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r ·b r (a >0，b >0，r ∈Q )．[化解疑难]有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．根式与分数指数幂的互化[例 1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )1213A ．－x ＝(－x ) (x >0)B.6 y 2＝y (y <0)3 44 1 31x＝－3 x (x ≠0)- － C ．x＝( )3(x >0) D ．x(2)用分数指数幂的形式表示下列各式． ①a 2· a (a >0)； ② a a (a >0)；⎛ ⎝⎫ ⎭ 3 2 34 - 2 ⎪ ③ ④(b >0)；b － y 2xx 3 3 y 6y 3(x >0，y >0)． x[类题通法]根式与分数指数幂的互化技巧mn(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子： a ＝n a m 和m n1 - a＝ 1＝，其中字母 a 要使式子有意义． ma nn a m(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．[活学活用]将下列根式化为分数指数幂的形式： 1 a1a (a >0)；(1)1 (2)(x >0)；3x ·(5 x 2)2指数幂的运算[例 2] 计算下列各式：⎛ 1⎫ - 1 ⎛ 3⎫ (1) 2 ⎝ ⎭0＋2－2×⎝ ⎭ 2 －0.010.5； 2 5 4 - 13- 4 3⎛ 7 8 ⎫ －－0＋[(－2)3]＋16－0.75 (2)0.064 ；⎝ ⎭4.含附加条件的幂的求值问题[典例] (12分)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且 x <y ，求：12 12 (1)x ＋y ；；12 12 (2)x －y (3)x －y .。

《函数奇偶性》优秀的教学设计模板(精选5篇)

Everyone has inertia and negative emotions. Successful people know how to manage their own emotions and overcome their inertia, and illuminate and inspire those around them like the sun.悉心整理助您一臂（页眉可删）《函数奇偶性》优秀的教学设计模板（精选5篇）《函数奇偶性》优秀的教学设计1课题：1、3、2函数的奇偶性一、三维目标：知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性。

过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力。

情感态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操、通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。

二、学习重、难点：重点：函数的奇偶性的概念。

难点：函数奇偶性的判断。

三、学法指导：学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解。

对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固。

四、知识1、复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义：2、分别画出函数f(x)=x3与g(x)=x2的图象,并说出图象的对称性。

五、学习过程：函数的奇偶性：(1)对于函数，其定义域关于原点对称：如果______________________________________，那么函数为奇函数;如果______________________________________，那么函数为偶函数。

(2)奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称。

(3)奇函数在对称区间的增减性;偶函数在对称区间的增减性。

中学数学第九节函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用【最新考纲】 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(b>0，b≠1，a≠0)型．(5)对数函数模型：y＝mlog a x＋n(a>0，a≠1，m≠0)型．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)型．2．三种函数之间增长速度的比较(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到() A．200 只B．300 只C．400 只D．500 只解析：依题意100＝alog 3(2＋1)，得a ＝100，∴y ＝100 log 3(8＋1)＝200 (只)．答案：A3．(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：C4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变．产品的总产量应呈直线上升，故选A.答案：A5．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15×（x －3）＋13<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×（x －8）＋1，x>8.当x ＝8时，y ＝19.75<22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6得x ＝9.答案：9一个程序解决实际应用问题的一般步骤(四步八字)1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；3．求模：求解数学模型，得出数学结论：4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：三点注意1．认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．一、选择题1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象是()解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D2．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x)2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1.答案：D3．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n 的函数，则其表达式为( )A ．y ＝(3n ＋5)1.2n ＋2.4B ．y ＝8×1.2n ＋2.4nC ．y ＝(3n ＋8)1.2n ＋2.4D ．y ＝(3n ＋5)1.2n －1＋2.4解析：第一年企业付给工人的工资总额为：1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对4个选择项来说，当n ＝1时，C 、D 相对应的函数值均不为12，故可排除C 、D ，A 、B 相对应的函数值都为12，再考虑第2年企业付给工人的工资总额及A 、B 相对应的函数值，又可排除B.答案：A4．一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f(h)的大致图象可能是图中的( )解析：当h ＝0时，v ＝0可排除A 、C ；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H 2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H 2时，增加越来越慢．答案：B二、填空题6．A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出，A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 km/h，B的速度是16 km/h，经过________小时，AB间的距离最短．解析：设经过x h，A，B相距为y km，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x ≤298)，求得当函数取最小值时x 的值为258. 答案：2587．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.答案：168．要制作一个容积为4 m 3, 高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，所以该容器的最低总造价为160元．答案：160三、解答题10．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解析：(1)∵y 与(x －0.4)成反比例， ∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2. (2)根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去． ∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.B 级能力提升1．(2017·北京海淀区一模)已知A(1，0)，点B 在曲线G ：y ＝lnx 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：设B(t ，ln t)，则AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 2，ln t 2，所以有ln t 2＝21＋t ，ln t ＝41＋t ，因此关联点的个数就为方程ln t ＝41＋t 解的个数，由于函数y ＝ln t ，y ＝41＋t在区间(0，＋∞)上分别单调递增及单调递减，所以只有一个交点．答案：B2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n)＝12n(n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年．解析：设第n(n ∈N *)年的年产量为a n ，则a 1＝12×1×2×3＝3；当n ≥2时，a n ＝f(n)－f(n －1)＝12n(n ＋1)·(2n ＋1)－12n(n －1)(2n －1)＝3n 2. 又a 1＝3也符合a n ＝3n 2，所以a n ＝3n 2(n ∈N *)．令a n ≤150，即3n 2≤150，解得－52≤n ≤52，所以1≤n ≤7，n∈N*，故最长的生产期限为7年.答案：73．(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M 到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为l.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点， y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t)，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2. 故f(t)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22 ＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g(t)＝t2＋4×106t4，则g′(t)＝2t－16×106t5.令g′(t)＝0，解得t＝10 2.当t∈(5，102)时，g′(t)<0，g(t)是减函数；当t∈(102，20)时，g′(t)>0，g(t)是增函数；从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min ＝300，此时f(t)min＝15 3.故当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．基本初等函数与函数的应用指数函数、对数函数是高考考查的热点，题型多以小题的形式出现，中低档难度；二次函数、函数的零点问题是高考考查的重点与热点，题型多以小题或大题的关键一步出现，中高档难度；备考时应理解相关概念，掌握其性质，并切实加强等价转化、数形结合、分类讨论思想的应用意识．强化点1 二次函数（多维探究）三个二次即二次函数、二次方程、二次不等式等知识交汇命题是高考考查的高频考点．常见的命题角度有：(1)二次函数的最值问题；(2)二次函数中恒成立问题；(3)二次函数的零点问题．角度一二次函数的最值问题1．已知a 是实数，记函数f(x)＝x 2－2ax 在区间[0，1]上的最小值为f(x)min ，求f(x)min 的解析式．解：∵f(x)＝x 2－2ax ＝(x －a)2－a 2，对称轴为x ＝a. ①当a<0时，f(x)在[0，1]上是增函数， ∴f(x)min ＝f(0)＝0.②当0≤a ≤1时，f(x)min ＝f(a)＝－a 2. ③当a>1时，f(x)在[0，1]上是减函数， ∴f(x) min ＝f(1)＝1－2a ，综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a<0，－a 2，0≤a ≤1，1－2a ，a>1.角度二二次函数中恒成立问题2．已知a 是实数，函数f(x)＝2ax 2＋2x －3在[－1，1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．解：2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒小于0. 当x ＝0时，适合．当x ≠0时，a<32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a<12.综上，实数a 的取值范围是a<12.角度三二次函数的零点问题3．(2017·郑州二检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x>ax 2＋5x ＋2，x ≤a，函数g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解析：由题意知g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x>ax 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x>a 时有一个解，由x ＝2得a<2. 由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1，2)．答案：D二次函数图象与性质问题解题策略1．对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，应以x 2的系数是否为0为标准分类讨论．2．当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况．3．求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．强化点2指数函数与对数函数【例2】已知0<a<1，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝log a x的图象在同一坐标系中可以是()解析：因为0<a<1，所以1a >1，所以函数f(x)＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象过点(0，1)且单调递增，函数g(x)＝log a x 的图象过点(1，0)且单调递减．答案：D已知含参函数的解析式，判断其图象的关键是：根据函数解析式明确函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数图象特征与性质，则解答此类题目就可事半功倍．【变式训练】已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f(log 47)，b ＝f(log 123)，c ＝f(0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c<a<bB ．c<b<aC ．b<c<aD ．a<b<c 解析：log 123＝－log 23＝－1og 49，b ＝f(log 123)＝f(－log 49)＝f(log 49)，log 47<log 49，0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2－0.6)<f(log 123)<f(log 47)，即c<b<a.答案：B强化点3 函数的应用【例3】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f （x －1），x>0，若方程f(x)＝x ＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．(－∞，1]D ．[0，＋∞) 解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x>0的图象如图所示，当a<1时，函数y ＝f(x)的图象与函数f(x)＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．答案：C解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．【变式训练】 (1)函数f(x)＝3x ＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)解析：因为函数f(x)在定义域上单调递增，又f(－2)＝3－2－1－2＝－269<0，f(－1)＝3－1－12－2＝－136<0，f(0)＝30＋0－2＝－1<0.f(1)＝3＋12－2＝32>0，所以f(0)f(1)<0.所以函数f(x)的零点所在区间是(0，1)．答案：C(2)(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2－3x ，则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}解析：令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x ＝x 2＋3x. 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋7>0(舍去)或x＝－2－7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1，3}．答案：D一、选择题1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2B．0，1 2C．0，－12D．2，－12解析：∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零点为0和－1 2.答案：C2．(2015·山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．b<a<cD ．b<c<a解析：因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c>1.综上，b<a<c.答案：C3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A ．a>0，4a ＋b ＝0B ．a<0，4a ＋b ＝0C ．a>0，2a ＋b ＝0D ．a<0，2a ＋b ＝0解析：由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0，又f(0)>f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a>0.答案：A4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1，或x>12}，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|－1<x<－lg 2}B ．{x|x<－1，或x>－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2}解析：由题意知，f(x)>0的解集为{x|－1<x<12}．由f(10x)>0，∴－1<10x<12，解得x<lg 12，即x<－lg 2.答案：D5．如图是函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g(x)＝ln x ＋f′(x)的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 解析：由f(x)的图象知0<b<1，f(1)＝0，从而－2<a<－1，g(x)＝ln x ＋2x ＋a ，g(x)在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a<0，g(1)＝2＋a>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·g(1)<0.答案：C6．当x ∈[－2，2]时，a x <2(a>0，且a ≠1)，则实数a 的范围是( )A ．(1，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) D ．(0，1)∪(1，2) 解析：x ∈[－2，2]时，a x <2(a>0，且a ≠1)，若a>1，y ＝a x 是一个增函数，则a 2<2，得a< 2. 故有1<a< 2.若0<a<1，y ＝a x是一个减函数，则a －2<2，a>22.故有22<a<1.综上知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)．答案：C二、填空题7．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．解析：∵f(x)＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案：－28．(2015·安徽卷)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－19. 已知函数f(x)＝ax 2＋4x ＋1在区间(－∞，1)有零点，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＝0时，f(x)＝4x ＋1，函数f(x)的零点为x ＝－14，符合题意．当a>0时，只需Δ＝16－4a ≥0，即0<a ≤4. 当a<0时，函数f(x)在(－∞，1)上一定有零点．综上知，a ≤4. 答案：(－∞，4] 三、解答题10．函数f(x)＝m ＋log a x(a>0且a ≠1)的图象过点(8，2)和(1，－1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝2f(x)－f(x －1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （8）＝2，f （1）＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f(x)＝－1＋log 2x. (2)g(x)＝2f(x)－f(x －1)＝2(－1＋log 2x)－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x>1)．∵x 2x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2 （x －1）·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g(x)取得最小值1.。

2025优化设计一轮第9节函数的图象

函数图象的识别方法
根据已知函数的解析式选取特殊的点,判断选项中的图象是
否经过这些点,若不满足,则排除
根据选项中的图象特点,结合函数的奇偶性、单调性等来排
除选项,有时需要借助导数工具求解
应用极限思想来处理,可以使解题过程简洁、准确率高
有关函数y=f(x)与函数y=af(bx+c)+h的图象问题的判断,熟练
规律方法
根据图象判断函数性质的基本方法
(1)从图象的最高点、最低点分析函数的最大值与最小值;
(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性;
(3)从图象的增减特征,分析函数的单调性;
(4)从图象与x 轴的交点情况,分析函数的零点.
[对点训练 1](2024·浙江杭州模拟)用 max{a,b}表示 a,b 两个数中的最大值,设
(3)翻折变换
①y=f(x)
②y=f(x)
y=__________.
logax(x>0)
|f(x)|
y=__________.
y= f(|x|)
.
(4)伸缩变换
①y=f(x)的图象
f(ax)
y=__________
的图象.
②y=f(x)的图象
y=af(x)的图象.
微点拨当图象变换时,横坐标的伸缩变换规律可简记为:若解析式中x前面
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.要得到函数y=f(2x-1)的图象,应将函数y=f(2x)的图象向右平移1个单位长
度.( × )
2.当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)与y=f(x)的图象相同.( √
)
3.函数y=f(x)的图象关于直线x=-2对称的图象是函数y=-4-f(x)的图象.( × )

9运用函数的单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)—学生版.doc

教学内容概要
学生：高中数学备课组教师：年级：高三
日期：上课时间:
主课题：运用函数的单调性与奇偶性解抽象函数不等式
教学目标:
1、函数单调性的定义与逆用；
2、函数奇偶性的定义与性质；
3、抽象函数性质的提取，抽彖函数不等式的转换；
4、会解决转化后的不等式恒成立问题；
教学重点：
1、函数的奇偶性、单调性等性质；
2、利用函数单调性脱掉”号，解不等式；
3、不等式恒成立问题的解法；
教学难点：
1、利用函数单调性脱掉号，解不等式；
2、不等式恒成立问题的解法；
家庭作业
1、复习知识点，归纳整理错题、难题；
2、完成巩固练习；。

高中数学教学课例《函数奇偶性》课程思政核心素养教学设计及总结反思

难点问题
2、教材重、难点
重点：函数奇偶性的定义。
难点：函数奇偶性的证明
知识目标：1、函数奇偶性的定义
2、函数奇偶性的证明
教学目标
能力目标：培养学生全面分析、抽象和概括的能力。
情感目标：培养学生勇于探索的精神和善于合作的
意识
在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并学生学习能
通过小组合作探针对学习流程，设计教与学的方式的变力分析
设计教与学的方式的变革，配置学习资源和数字化工
具，设计高效课堂融合点促进其数学素养不断提高。
4，以学生集体回答的方式检验学生的学习效果。学生在熟悉证明步骤之后，做课后练习 3，并以小
组为单位找部分同学上台板演，其他同学在下面自行完
成，并通过自评、互评检查证明步骤。
4、归纳小结:本节课我们主要学习了函数奇偶性索的精神和善于合作的意识。
5、作业布置；为了让学生学习不同的数学，分层
布置作业的方式：一组习题 1.3A 组 1、2、3，二组习
题 1.3A 组 2、3、B 组 1、2
本节课是在学生已有知识的基础上学习的，在教学
过程中通过自主探究、合作交流，充分调动学生的积极
课例研究综性跟主动性，及时吸收反馈信息，并通过学生的自评、
述
互评，让内部动机和外界刺激协调作用，针对学习流程，
高中数学教学课例《函数奇偶性》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《函数奇偶性》
称
教材分析
1、教材的地位和作用
（1）本节课主要对函数奇偶性的学习；（2）它是
在学习函数概念与单调性的基础上进行学习的，同时又
为基本初等函数的学习奠定了基础，所以他在教材中起教材分析

奇偶性证明——精选推荐

专项四：函数奇偶性的证明函数奇偶性的定义：①函数定义域内任意一个数，都有偶函数。

x ⇔=-)()(x f x f ②函数定义域内任意一个数，都有奇函数。

x ⇔-=-)()(x f x f 奇偶性证明步骤：1、奇偶函数定义域关于原点对称。

2、函数值与之间的关系。

)(x f -)(x f 例1、判断下列函数的奇偶性。

（1）（2）（3） 2)(x x f =3)(x x f =||)(x x f =（4）（5）（6）x x f 1)(=x x f =)(|3|1|3|1)(+--=x x x f 解：（1）的定义域为，关于原点对称2)(x x f =R 22)()(x x x f =-=- ∴ )()(x f x f =- ∴ 是偶函数。

2)(x x f = （2）（3）（4）（5）的定义域为，不关于原点对称x x f =)([)+∞,0 ∴ 即不是奇函数也不是偶函数。

x x f =)( （6）的定义域是，关于原点对称|3|1|3|1)(+--=x x x f {}3|±≠x x |3|1|3|1|)3(|1|)3(|1|3|1|3|1)(--+=--++-=+----=-x x x x x x x f ∴ ∴ 是奇函数。

)()(x f x f -=-|3|1|3|1)(+--=x x x f 变式训练1:判断函数的奇偶性（1）（2）x x x f -+-=11)(|1||1|)(-++=x x x f 例2、若是奇函数，是奇函数，定义域关于原点对称，且，)(x f )(x g )(x h )()()(x g x f x h ∙=证明：是偶函数。

)(x h 证明：是奇函数是奇函数 )(x f )(x g ∴ )()(x f x f -=-)()(x g x g -=- 定义域关于原点对称 )(x h )()()]([)()()()(x g x f x g x f x g x f x h ∙=-∙-=-∙-=-∴ ∴ 是偶函数。

《数的奇偶性》教案

《数的奇偶性》教案《数的奇偶性》教案1教学目标：了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性。

能证明一些简单函数的奇偶性。

弄清函数图象对称性与函数奇偶性的关系。

重点：判断函数的奇偶性难点：函数图象对称性与函数奇偶性的关系。

一、复习引入1、函数的单调性、最值2、函数的奇偶性（1）奇函数（2）偶函数（3）与图象对称性的关系（4）说明（定义域的要求）二、例题分析例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数（1）（2）（3）（4）例2、证明函数在R上是奇函数。

例3、试判断下列函数的奇偶性三、随堂练习1、函数（）是奇函数但不是偶函数是偶函数但不是奇函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数又不是偶函数2、下列4个判断中，正确的是_______.（1）既是奇函数又是偶函数；（2）是奇函数；（3）是偶函数；（4）是非奇非偶函数3、函数的图象是否关于某直线对称？它是否为偶函数？《数的奇偶性》教案2教学内容课本第12～17页上的内容。

教学目标1.通过观察、分析、讨论、归纳、猜想的研究方法，小组合作研究出偶数＋偶数=偶数，奇数＋奇数=偶数，偶数＋奇数= 奇数。

2.经历探索加法中数的奇偶变化过程,在活动重视学生体验探究方法,培养学生分析、解决问题的能力。

3.结合小游戏使学生体会生活中有很多事情中存在数学规律，从而调动学生学习数学的兴趣。

4．通过实践报告，以小组合作的形式探究加法中奇偶性的变化规律，培养学生的小组合作意识。

教学重点从生活中的摆渡问题，发现数的奇偶性规律。

教学难点运用数的奇偶性规律解决生活中的实际问题。

教具准备投影、杯子。

教学过程一、揭示课题自然数包含有奇数和偶数，一个自然数不是奇数就是偶数。

这一节课我们要进一步认识数的奇偶性。

二、组织活动，探索新知活动一：示图（右图）小船最在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。

1、⑴小船摆渡11次后，船在南岸还是北岸？为什么？⑵有人说摆渡100次后，小船在北岸。

他的说法对吗？为什么？2、请任说一个摆渡的次数，学生回答在南岸还是北岸？3、请学生画示意图和列表并观察。