北京市朝阳区2018届高考二模数学试题(文)-有答案

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北京市朝阳区2018届高考二模数学试题(文)含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1B x x =≥，则AB =（）A ．(2]-∞，B ．(1)+∞，C ．(12)，D ．[1)+∞， 2.计算2(1)i -=（）A ．2iB ．2i -C ．2i -D ．2i +3.已知x ，y 满足不等式220101x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩，，≤≥≤则3z y x =-的最小值是（）A ．1B ．3-C ．1-D ． 72-4.在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（）AB 62- C.625.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=（）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+ C.cos()αβ- D ．cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)+∞，上单调递减，且0a b +>，0b c +>，，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值（）A ．恒为正B ．恒为负 C.恒为0 D ．无法确定8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）A ．4B ．5 C.6 D ．7第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = .10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是；渐近线方程是 .11.已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 . 12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是．14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且AB =1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为；()S x 的最小正周期为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(1)2π，，a ∈R .（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若当[0]2x π∈，时，求函数()f x 的最小值.16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17.（1）根据表中数据写出这10年内银杏数列的中位数，并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =（1）求证：AB ∥平面PDC ；（2）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（3）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明.19. 已知椭圆W ：22221x y a b+=（0a b >>A 在圆O ：224x y +=上（O 为坐标原点）.（1）求椭圆W 的方程；（2）过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ，P 为椭圆W 上一点，且OP AQ ∥，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20. 已知函数()x f x xe =，()1g x ax =+，a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值；（2）若方程()()0f x g x -=在(22)-，上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（3）若对任意1[22]x ∈-，，总存在唯一的2(2)x ∈-∞，，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.。

2018北京朝阳高三二模文科数学试题(含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2018．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2320A x x x =-+<，{}1B x x =≥，则=ABA ．(],2-∞B ．()1+∞，C ．()12，D ．[)1+∞， 2.计算()21i -=A.2iB. 2i -C. 2i -D. 2+i3.已知,x y 满足不等式组220101,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，，则3z y x =-的最小值是A.1B.3-C.1-D.72-4.在ABC △中，ππ1,,64a A B =∠=∠=，则c =A.5.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=A. sin()αβ-B. sin()αβ+C. cos()αβ-D. cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且0a b +>，0b c +>，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值A ．恒为正B ．恒为负C ．恒为0D ．无法确定8.某校中国象棋社团组织比赛.采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次却比其他人都少.则本次比赛的参赛人数至少为 A. 5 B. 6 C. 7 D.8第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = ．10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是___________．11. 已知0,0x y >>，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_________.13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方.则点P 的轨迹所围成的图形的面积是 .14. 如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且四面体ABCD 始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小正周期为；()S x 的最小值为．俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2π，a ∈R ．（Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最小值．16．(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和2(,,*)n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24a S ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．某市的一个义务植树点，统计了近10年栽种侧柏和银杏的数据（单位：株），制表如下：平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.18．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中，△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，ABDC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===.（Ⅰ）求证：AB //平面PDC ；（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明．．.已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，其左顶点A 在圆22:4O x y +=上（O 为坐标原点）．（I ）求椭圆W 的方程；(II) 过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R .P 为椭圆W 上一点,且//OP AQ ，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20． (本小题满分13分)已知函数()e xf x x =，()1g x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值；（Ⅱ）若方程()()0f x g x -=在(2,2)-上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围; （Ⅲ）若对任意1[2,2]x ∈-，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2018．5二、填空题（本题满分30分）三、解答题（本题满分80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得2sin(sin cos )1222a πππ+-=，即2(10)1a +-=，解得1a =． ()2s i n (s i n c o sf x x x x =+- 22sin 2sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x =-)4x π=-．由222242k x k πππ-+π≤-≤+π（k ∈Z ），得322244k x k ππ-+π≤≤+π，所以388k x k ππ-+π≤≤+π，所以函数()f x 的单调递增区间是3[,88k k k ππ-+π+π](∈)Z ．……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4f x x π=-．当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，所以sin(2)124x π-≤-≤．所以1()f x -≤≤ 所以当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-．……………13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得3,16424.p q p q +=⎧⎨+=⎩即3,4 6.p q p q +=⎧⎨+=⎩. 解得1,2.p q =⎧⎨=⎩ 所以22n S n n =+. 当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=+．因为13211a ==⨯+也适合上式，所以21(*)n a n n =+∈N . ……………7分（Ⅱ）因为23121242n n n n b b +++==，且131228a b ===，所以数列{}n b 是以8为首项，4为公比的等比数列，所以8(14)8(41)143n nn T -==--．……………… 13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况.所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 18. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为ABDC ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面，所以//AB 平面PDC ． ……3分（Ⅱ）取BC 中点F ，连接PF .又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC平面ABCD =BC ，所以PF ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，因为ABDC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =1=(35)4162ABCD S +⨯=梯形.又因为3PB =，BF ,所以2PF =.所以1132162333P ABCD ABCD V S PF -=⋅=⋅⋅=梯形.……………… 9分（Ⅲ）,A P 点为所求的点. 证明如下：连接,AF AC . 在直角梯形ABCD 中，因为AB DC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，所以5AC =.因为5AB =，点F 为BC 中点，所以AF BC ⊥. 又因为BC PF ⊥,AFPF F =，所以BC PAF ⊥平面.又因为PA PAF ⊂平面，所以PA BC ⊥.…………14分 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:4O x y +=上，令0y =，得2x =±，所以2a =．，所以c e a ==，所以c =所以2221b a c =-=，所以W 的方程为2214x y +=．…………5分 (II)证明：设00(,)P x y ，易知00x ≠，有222200001,444x y x y 即+=+=，设(,)Q Q Q x y ，直线AQ 方程为00(2)y y x x =+，联立22001,4(2).x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即 22222200000(4)161640x y x y x y x +++-=，即2222000440x y x y x ++-=，所以2024Q x y -+=-，即2024Q x y =-，所以，2200224244Q x y y +=-+=-. 故有：2022002(44)22=2Q x AQ AR AQ AR y OPOPx x x OP+⋅-⨯⋅=⋅==. …………14分. 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知()(1)x f x x e '=+，(0)1f '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，所以1a =-.……………… 3分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，(2,2)x ∈-.则()(1)e ,()(2)e 0x x h x x a h x x '''=+-=+>所以，()h x '在区间(2,2)-上单调递增.依题意，(2)0(2)0h h '-<⎧⎨'>⎩ ，解得221(,3e )e a ∈-.所以0(2,2)x ∃∈-，使得0()0h x '=，即00(1)e 0x x a +-=, 于是()h x 的最小值为0000()e 1x h x x ax =--.依题意，0(2)0(2)0()0h h h x ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，，，因为000020000000()e 1e (1)e 1e 10x x x x h x x ax x x x x =--=-+-=--<,所以，解得22111(,e )e 22a ∈+-.……………… 8分（Ⅲ） ()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '=，得1x =-.当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当(12)x ∈-，时，()0f x '>，函数()f x 为增函数. 所以函数()f x 的最小值1(1)ef -=-. 又2(2)2e f =.显然当0x <时，()0f x <.令2()e ,1x t x x x =<-.则2()(2)e .x t x x x '=+令()0t x '=，得2x =-或0.所以()t x 在()2-∞-，内为增函数，在()21--，内为减函数. 所以max 24()(2)1et x t =-=<.所以2e 1x x <. 又1x <-，所以1e x x x>. 而当1x <-时，()11,0x ∈-，所以当(],1x ∈-∞-时，1(),0e f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当(1,0)x ∈-时，1(),0e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1) 当0a =时，()1g x =，符合题意； (2) 当0a >时，易得()[21,21]g x a a ∈-++.依题意2210212e a a -+≥⎧⎨+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以此时102a <≤.(3) 当0a <，则()[2121]g x a a ∈+-+，，依题意2210212e a a +≥⎧⎨-+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩所以102a -≤<. 综上11[,]22a ∈-. ……………13分。

2018朝阳高三二模数学理含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2018．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{log 1}A x x =>，{}1B x x =≥，则A B =A ．(1,2]B ．(1+)∞，C ．(1)2，D ．[1+)∞，2．在ABC △中，π=1,==6AB AC C ∠，则B ∠= A ．4π B ．4π或2π C ．43π D ．4π或43π 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为A ．10B ．13C ．40D ．1214．在极坐标系中，直线:cos sin 2l ρθρθ+=与圆:2cos C ρθ=的位置关系为A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离5．如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=A ．)sin(βα-B ．)sin(βα+C ．)cos(βα-D ．)cos(βα+6．已知函数22,,(),,x x a f x x x a ⎧≥=⎨<⎩则“0a ≤”是“函数()f x 在[0,)+∞上单调递增”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校象棋社团组织中国象棋比赛．采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为A ．4B ．5C ．6D ．78．若三个非零且互不相等的实数123,,x x x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称123,,x x x 成一个“β等差数列”.已知集合{}100,M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为A ．25B ．50C ．51D ．100 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．计算21=(1i)+______． 10．双曲线22(0)x y λλ-=≠的离心率是_____；该双曲线的两条渐近线的夹角是______．11．若31()n x x -展开式的二项式系数之和为8，则n =____，其展开式中的含31x项的系数为______．（用数字作答）12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥底面和三个侧面中，直角三角形个数是___． 13．已知不等式组0,2,1(1)y x y y k x ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩在平面直角坐标系xOy 中所表示的平面区域为D ，D 的面积为S ，则下面结论：①当0k >时，D 为三角形； ②当0k <时，D 为四边形； ③当13k =时，4S =； ④当103k <≤时，S 为定值．其中正确的序号是______．14．如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x正视图侧视图俯视图弧度，且始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为；()S x 的最小正周期为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15． (本小题满分13分)已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2π，a ∈R .（Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[0,]2x π∈时，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．16．(本小题满分13分)某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和．根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（Ⅰ）若从交通得分前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果）17．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ．△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==；在梯形ABCD 中，AB DC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===．（Ⅰ）求证：//AB 面PDC ；（Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值；（Ⅲ）在线段AP 上是否存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ？请说明理由．18．(本小题满分13分)已知函数2()e 2x f x x ax ax =++()a ∈R ．。

2018北京各城区高三二模数学(文)分类汇编--概率统计解答题

2018北京各城区高三二模数学（文）分类汇编--概率统计解答题【西城二模】17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III ）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率． 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5⨯=人．……………… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=， 10.100.200.300.40b =---=．………………4分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=人，未患病者60(0.100.05)9⨯+=人，共37人．……………… 6分此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为378500031450100⨯=人． ……………… 8分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中，有40(0.100.20)12⨯+=名患病者被误判为未患病，………………10分有60(0.100.05)9⨯+=名未患病者被误判为患病者， ………………12分因此判断错误的概率为21100． ………………13分【海淀二模】（18）（本小题13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率；（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论） 18. （本小题13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.…………………4分（Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件，而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件，所以31()155P A ==. ………………9分（Ⅲ）12=x x2212s s > ………………13分【东城二模】（17）（本小题13分）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A 组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B 组．A 组：128，100，151，125，120．B 组：100，102，96，101， a ．已知B 组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A ，B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．（17）（共13分）解：（Ⅰ）因为B 组数据的中位数为100，所以100a ≤．因为从B 组中随机抽取一个数不小于100的概率是45，所以100a ≥．所以100a =. …………5分（Ⅱ）从A 组中取到128,151,125,120时，B 组中符合题意的取法为100,96,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,96,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，而所有不同的取法共有5525⨯=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P=. …………10分（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………13分【朝阳二模】17.（本小题满分14分）某市的一个义务植树点,统计了近10年栽种侧和银杏的数据（单位:株）,制表如下:（Ⅰ）根据表中数据写出这10年内栽种银杏数量的中位数,并计算这10年栽种银杏数量的平均数;（Ⅱ）从统计的数据中,在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中,任意抽取2年,恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.【解析】解:（Ⅰ）这10年栽种银杏数量从小到大排列为:3300,3400,3600,3600,3700,3700,4200,4200,4200,4400中位数为3700平均数为3830（Ⅱ）栽种侧柏与银杏数量之差绝对值不小于300株的年份有:2009,2010,2011,2013,2014共5年任意抽取2年的基本事件如下:（2009,2010）,（2009,2011）,（2009,2013）,（2009,2014）（2010,2011）,（2010,2013）,（2010,2014）（2011,2013）,（2011,2014）（2013,2014）共10种情况恰有1年栽种侧柏数量比银杏数量多的情况为（2009,2010）,（2009,2013）,（2009,2014）（2010,2011）,（2011,2013）,（2011,2014）共6种情况所以63105P == 【丰台二模】（18）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取8位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取8位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图：注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．（Ⅰ）分别求出A 组客户与B 组客户“实际平均续航里程数”的平均值；（Ⅱ）在A ，B 两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于335的客户中各随机抽取1位客户，求A 组客户的“实际平均续航里程数”不小于B 组客户的“实际平均续航里程数”的概率；（Ⅲ）试比较A ，B 两组客户数据方差的大小．（结论不要求证明）（18）（本小题共13分）解：（Ⅰ）A 组平均值为：2808340338332330230225225220=+++++++；………1分B 组平均值为：2002202303323383403603803008+++++++=．……2分（Ⅱ）将A 组客户中实际平均续航里程数为338, 340的客户分别记为1a ，2a ；将B 组客户中实际平均续航里程数为338, 340, 360, 380的客户分别记为1b ，2b ，3b ，4b ．从A ，B 两组实际平均续航里程数大于335km 的客户中各随机抽取1位客户的事件包括：11b a ，21b a ，31b a ，41b a ，12b a ，22b a ，32b a ，42b a ，共8种，……………5分其中A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的事件包括：11b a ，12b a ，22b a ，共3种． …………………7分设“A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数”为事件M ， …………………8分则3()8P M =． …………………10分所以A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的概率为38．（III ）A 组数据的方差小于B 组数据的方差． …………………13分【昌平二模】 17.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（I (II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率. 17.（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .150图1 A 地空气质量指数（AQI ）0.0050.0030.0020.008图2 B 地空气质量指数（AQI ）--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ，空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ，设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ，则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为()P C =【顺义二模】17. （本小题满分13分）2018年2越25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕,中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种）,按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人,具体的调查结果如下表:（Ⅰ）若该班女生人数比男生多4人,求该班男生人数和女生人数;（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率;（Ⅲ）若从该班调查对象的女生中随机选取2人进行追踪调查,记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ,求1ξ=时对应事件的概率..【房山二模】（17）（本小题13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。

2018届北京市朝阳区高三数学二模试卷(文科)Word版含解析

2018届北京市朝阳区高三数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，则复数z=（1+i）i对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知x＞y，则下列不等式一定成立的是（）A．B．log2（x﹣y）＞0 C．x3＜y3D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．15 B．29 C．31 D．634．“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．将函数f（x）=cos2x图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间上单调递增，则实数a的最大值为（）A．B．C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）A．B．C．3 D．7．已知过定点P（2，0）的直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为（）A．150°B．135°C．120°D．30°8．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c （a＞b＞c且a，b，c∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是（）A．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合A={x|2x﹣1＞1}，B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B= ．10．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（1，2），C（3，﹣1），点P（x，y）为△ABC边界及内部的任意一点，则x+y的最大值为．11．平面向量、满足，且||=2，||=4，则与的夹角等于．12．设函数则f（1）= ；若f（x）在其定义域内为单调递增函数，则实数a的取值范围是．13．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F．设这两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点P的横坐标是；该双曲线的渐近线方程为．14．设P为曲线C1上动点，Q为曲线C2上动点，则称|PQ|的最小值为曲线C1，C2之间的距离，记作d（C1，C2）．若C1：x2+y2=2，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=2，则d（C1，C2）= ；若C3：e x﹣2y=0，C4：lnx+ln2=y，则d（C3，C4）= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b＞c， c﹣2bsinC=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，c=1，求a和△ABC的面积．16．已知数列{a n}是首项，公比的等比数列．设（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{b n}为等差数列；（Ⅱ）设c n=a n+b2n，求数列{c n}的前n项和T n．17．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a的值及样本中男生身高在（单位：cm）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥平面BCD；（Ⅱ）求三棱锥B﹣C1CD的体积；（Ⅲ）在线段BD上是否存在点Q，使得CQ⊥BC1？请说明理由．19．已知椭圆W：（b＞0）的一个焦点坐标为．（Ⅰ）求椭圆W的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆W与y轴交于A，B两点（A点在B点的上方），M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点，直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=+x﹣a（a∈R）．（Ⅰ）若直线x=m（m＞0）与曲线y=f（x）和y=g（x）分别交于M，N两点．设曲线y=f（x）在点M处的切线为l1，y=g（x）在点N处的切线为l2．（ⅰ）当m=e时，若l1⊥l2，求a的值；（ⅱ）若l1∥l2，求a的最大值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内恰有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．若λ＞0，且λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1恒成立，求λ的取值范围．2018届北京市朝阳区高三数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，则复数z=（1+i）i对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】先将复数化简，整理出实部和虚部，写出复数对应的点的坐标，判断出所在的象限．【解答】解：由题意知z=i•（1+i）=﹣1+i，∴复数Z对应的点的坐标是（﹣1，1），在第二象限，故选：B．2．已知x＞y，则下列不等式一定成立的是（）A．B．log2（x﹣y）＞0 C．x3＜y3D．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】根据特殊值代入判断A、B、C，根据指数函数的性质判断D．【解答】解：对于A，令x=1，y=﹣1，显然不成立，对于B，由x＞y，得x﹣y＞0，log2（x﹣y）有意义，当x﹣y＜1时，不成立；对于C，令x=2，y=1，显然不成立，对于D，由＜，得2﹣x＜2﹣y，即﹣x＜﹣y，即x＞y，故D成立，故选：D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．15 B．29 C．31 D．63【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=31时不满足条件S＜20，退出循环，输出S的值为31．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=0满足条件S＜20，执行循环体，S=1，k=1满足条件S＜20，执行循环体，S=1+2=3，k=2满足条件S＜20，执行循环体，S=3+4=7，k=3满足条件S＜20，执行循环体，S=7+8=15，k=4满足条件S＜20，执行循环体，S=15+16=31，k=5不满足条件S＜20，退出循环，输出S的值为31．故选：C．4．“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．【解答】解：“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．5．将函数f（x）=cos2x图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间上单调递增，则实数a的最大值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=cos2（x﹣）=sin2x 的图象，令2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故当k=0时，g（x）在区间上单调递增，由于g（x）在区间上单调递增，可得：a≤，即实数a的最大值为．故选：B．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）A．B．C．3 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O点，连接OB，OC，则四边形ABOC为平行四边形．OA⊥OB．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O点，连接OB，OC，则四边形ABOC为平行四边形．OA⊥OB．则最长棱为PC==3．故选：C．7．已知过定点P（2，0）的直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l的倾斜角为（）A．150°B．135°C．120°D．30°【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】曲线y=为圆x2+y2=2的上半圆，由题意和三角形的面积公式可得当∠AOB=90°时，△AOB的面积取到最大值，O到直线l的距离OD=1，在直角三角形中由三角函数定义和倾斜角的定义可得．【解答】解：曲线y=为圆x2+y2=2的上半圆，由题意可得△AOB的面积S=•OA•OB•sin∠AOB=•••sin∠AOB=sin∠AOB，当sin∠AOB=1即∠AOB=90°时，△AOB的面积取到最大值，此时在RT△AOB中易得O到直线l的距离OD=1，在RT△POD中，易得sin∠OPD==，可得∠OPD=30°，∴直线l的倾斜角为150°故选：A8．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c （a＞b＞c且a，b，c∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是（）A．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，得5（a+b+c）=22+9+9⇒a+b+c=8，即每个项目三个名次总分是8分．每个项目的三个名次的分值情况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分；在各种情况下，对甲乙丙的得分合理性一一判定即可．【解答】解：∵甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，∴5（a+b+c）=22+9+9⇒a+b+c=8即每个项目三个名次总分是8分．每个项目的三个名次的分值情况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分；对于情况①5分、2分、1分：乙的马术比赛获得了第一名，5分，余下四个项目共得4分，只能是四个第三名；余下四个第一名，若甲得三个第一名，15分，还有两个项目得7分不可能，故甲必须得四个第一名，一个第二名，余下一个第三名，四个第二名刚好符合丙得分，由此可得乙和丙都有可能得第三名．对于情况②4分、3分、1分；同上分析故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合A={x|2x﹣1＞1}，B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B= {x|1＜x＜2}．．【考点】1E：交集及其运算．【分析】解指数不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：由2x﹣1＞1=20，解得x＞1，即A={x|x＞1}，B={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故答案为：{x|1＜x＜2}．10．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（1，2），C（3，﹣1），点P（x，y）为△ABC边界及内部的任意一点，则x+y的最大值为 3 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由三角形三个顶点的坐标作出平面区域，令z=x+y，化为y=﹣x+z，数形结合顶点最优解，把最优解的坐标代入得答案．【解答】解：△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（1，2），C（3，﹣1），如图，令z=x+y，化为y=﹣x+z，可知当直线y=﹣x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故答案为：3．11．平面向量、满足，且||=2，||=4，则与的夹角等于．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；9R：平面向量数量积的运算．【分析】求两向量的夹角需要求出两向量的内积与两向量的模的乘积，由题意两向量的模已知，故所给的条件求出两个向量的模的乘积即可．【解答】解：由题设得8﹣16+=﹣4，故=4所以，两向量夹角的余弦为可求得两向量夹角大小是故答案为12．设函数则f（1）= 2 ；若f（x）在其定义域内为单调递增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】根据函数的解析式求f（1）的值，再利用函数的单调性的性质，求得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数，则f（1）=1+1=2；若f（x）在其定义域内为单调递增函数，则a≤1，即实数a的取值范围是（﹣∞，1]，故答案为：2；（﹣∞，1]．13．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F．设这两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点P的横坐标是 3 ；该双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，结合条件可得P的横坐标，进而得到P的坐标，代入双曲线的方程和a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），即有双曲线的右焦点为（2，0），即c=2，a2+b2=4，①又抛物线的准线方程为x=﹣2，由抛物线的定义可得|PF|=x P+2=5，可得x P=3，则P（3，），代入双曲线的方程可得﹣=1，②由①②解得a=1，b=，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：3，y=±x．14．设P为曲线C1上动点，Q为曲线C2上动点，则称|PQ|的最小值为曲线C1，C2之间的距离，记作d（C1，C2）．若C1：x2+y2=2，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=2，则d（C1，C2）= ；若C3：e x﹣2y=0，C4：lnx+ln2=y，则d（C3，C4）= （1﹣ln2）．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】考虑到C1：x2+y2=2，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=2，利用圆心距减去半径，可得结论；考虑到两曲线C3：e x﹣2y=0，C4：lnx+ln2=y关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小值．【解答】解：C1（0，0），r1=，C2（3，3），r2=，d（C1，C2）=3=；∵C3：e x﹣2y=0，C4：lnx+ln2=y互为反函数，先求出曲线e x﹣2y=0上的点到直线y=x的最小距离．设与直线y=x平行且与曲线e x﹣2y=0相切的切点P（x0，y0）．y′=e x，∴=1，解得x0=ln2∴y0=1．得到切点P（ln2，1），到直线y=x的距离d=，丨PQ丨的最小值为2d=（1﹣ln2），故答案为，（1﹣ln2）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b＞c， c﹣2bsinC=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，c=1，求a和△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由余弦定理可得a，利用三角形的面积公式，求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）将c﹣2bsinC=0，利用正弦定理化简得： sinC=2sinBsinC，∵sinC≠0，∴sinB=，∵0＜B＜π，a＞b＞c，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理可得3=a2+1﹣a，即a2﹣a﹣2=0，∴a=2，∴△ABC的面积==．16．已知数列{a n}是首项，公比的等比数列．设（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{b n}为等差数列；（Ⅱ）设c n=a n+b2n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求出等比数列的通项公式，代入可得数列{b n}的通项公式，由等差数列的定义证明数列{b n}为等差数列；（Ⅱ）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入c n=a n+b2n，分组后再由等差数列与等比数列的前n项和求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（Ⅰ）证明：∵数列{a n}是首项，公比的等比数列，∴，则=．∴b n+1﹣b n=﹣（2n﹣1）=2．则数列{b n}是以2为公差的等差数列；（Ⅱ）解：c n=a n+b2n=．∴数列{c n}的前n项和T n=c1+c2+…+c n=[]+4（1+2+…+n）﹣n===．17．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a的值及样本中男生身高在（单位：cm）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由题意，a=0.1﹣0.04﹣0.025﹣0.02﹣0.005=0.01，可得身高在的频率为0.1，人数为4；（Ⅱ）同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，即可通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）求出基本事件的个数，即可求出概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a=0.1﹣0.04﹣0.025﹣0.02﹣0.005=0.01，身高在的频率为0.1，人数为4；（Ⅱ）估计该校全体男生的平均身高150×0.05+160×0.2+170×0.4+180×0.25+190×0.1=161.5；（Ⅲ）在样本中，身高在（单位：cm）内的男生分别有2人，4人，从身高在（单位：cm）内的男生中任选两人，有=15种，这两人的身高都不低于185cm，有=6种，所以所求概率为=0.4．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥平面BCD；（Ⅱ）求三棱锥B﹣C1CD的体积；（Ⅲ）在线段BD上是否存在点Q，使得CQ⊥BC1？请说明理由．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1为棱柱，可得B1C1∥BC，再由线面平行的判定可得B1C1∥平面BCD；（Ⅱ）由D为棱AA1的中点求出三角形CC1D，再证明BC⊥平面CDC1，即可求得三棱锥B﹣C1CD的体积；（Ⅲ）以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出所用点的坐标，假设在线段BD上存在点Q，使得CQ⊥BC1，求出Q的坐标，由数量积为0得答案．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，则B1C1∥BC，∵B1C1⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，则B1C1∥平面BCD；（Ⅱ）解：∵D为棱AA1的中点，∴，∵AA1⊥底面ABC，∴BC⊥AA1，又BC⊥AC，且AC∩AA1=A，∴BC⊥平面CDC1，∴=；（Ⅲ）解：线段BD上存在点Q（），使得CQ⊥BC1 ．事实上，以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，则C（0，0，0），B（0，1，0），C1（0，0，2），D（1，0，1），假设在线段BD上存在点Q，使得CQ⊥BC1，设Q（x，y，z），再设，则（x，y﹣1，z）=λ（1，﹣1，1），得x=λ，y=1﹣λ，z=λ，则Q（λ，1﹣λ，λ），∴=（λ，1﹣λ，λ），，由，得．∴线段BD上存在点Q（），使得CQ⊥BC1 ．19．已知椭圆W：（b＞0）的一个焦点坐标为．（Ⅰ）求椭圆W的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆W与y轴交于A，B两点（A点在B点的上方），M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点，直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆W：（b＞0）的一个焦点坐标为，求出a，b，由此能求出椭圆W的方程和离心率．（Ⅱ）设M（x0，y0），x0≠0，则N（0，y0），E（，y0），从而直线AE的方程为y﹣1=，令y=﹣1，则C（，﹣1），从而G（，﹣1），由点M在椭圆P上，得到⊥，由此能求出∠OEG．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆W：（b＞0）的一个焦点坐标为，∴a=2，c=，∴b==1，∴椭圆W的方程为+y2=1．离心率e=．（Ⅱ）设M（x0，y0），x0≠0，则N（0，y0），E（，y0），又A（0，1），∴直线AE的方程为y﹣1=，令y=﹣1，则C（，﹣1），又B（0，﹣1），G为BC的中点，∴G（，﹣1），∴=（），=（，y0+1），=（﹣）+y0（y0+1）=﹣++y0，∵点M在椭圆P上，则+y02=1，∴=4﹣4y02，==1﹣y0﹣1+y0=0，⊥，∴∠OEG=90°．20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=+x﹣a（a∈R）．（Ⅰ）若直线x=m（m＞0）与曲线y=f（x）和y=g（x）分别交于M，N两点．设曲线y=f（x）在点M处的切线为l1，y=g（x）在点N处的切线为l2．（ⅰ）当m=e时，若l1⊥l2，求a的值；（ⅱ）若l1∥l2，求a的最大值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内恰有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2．若λ＞0，且λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1恒成立，求λ的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）（i）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，g′（x）=ax+1，当m=e时，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，由l1⊥l2，利用导数的几何意义得f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，由此能求出a．（ii）f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，由l1∥l2，得lnm=am在（0，+∞）上有解，从而a=，令F（x）=（x＞0），由=0，得x=e，利用导数性质求出F（x）=F（e）=，由此能求出a的最大值．max（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，从而x1，x2是方程lnx﹣ax=0的两个根，进而a=，推导出＞，从而ln＜，令t=，则t∈（0，1），从而lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令φ（t）=lnt﹣，则φ′（t ）==，由此根据λ2≥1和λ2＜1分类讨论，利用导数性质能求出λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）（i ）∵函数f （x ）=xlnx ，∴f （x ）的定义域为{x|x ＞0}，f′（x ）=1+lnx ，∵g （x ）=+x ﹣a （a ∈R ），∴g′（x ）=ax+1，当m=e 时，f′（e ）=1+lne=2，g′（e ）=ae+1， ∵l 1⊥l 2，∴f′（e ）g′（e ）=2（ae+1）=﹣1，解得a=﹣．（ii ）∵函数f （x ）=xlnx ，∴f （x ）的定义域为{x|x ＞0}，f′（x ）=1+lnx ，∵g （x ）=+x ﹣a （a ∈R ），∴g′（x ）=ax+1，∴f′（m ）=1+lnm ，g′（m ）=am+1，∵l 1∥l 2，∴f′（m ）=g′（m ）在（0，+∞）上有解， ∴lnm=am 在（0，+∞）上有解，∵m ＞0，∴a=，令F （x ）=（x ＞0），则=0，解得x=e ，当x ∈（0，e ）时，F′（x ）＞0，F （x ）为增函数，当x ∈（e ，+∞）时，F′（x ）＜0，F （x ）为减函数，∴F （x ）max =F （e ）=，∴a 的最大值为．（Ⅱ）h （x ）=xlnx ﹣﹣x+a ，（x ＞0），h′（x ）=lnx ﹣ax ，∵x 1，x 2为h （x ）在其定义域内的两个不同的极值点， ∴x 1，x 2是方程lnx ﹣ax=0的两个根，即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，两式作差，并整理，得：a=，∵λ＞0，0＜x 1＜x 2，由λlnx 2﹣λ＞1﹣lnx 1，得1+λ＜lnx 1+λlnx 2，则1+λ＜a（x1+λx2），∴a＞，∴＞，∴ln＜，令t=，则t∈（0，1），由题意知：lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令φ（t）=lnt﹣，则φ′（t）==，①当λ2≥1时，即λ≥1时，∀t∈（0，1），φ′（t）＞0，∴φ（t）在（0，1）上单调递增，又φ（1）=0，则φ（t）＜0在（0，1）上恒成立．②当λ2＜1，即0＜λ＜1时，t∈（0，λ2）时，φ′（t）＞0，φ（t）在（0，λ2）上是增函数；当t∈（λ2，1）时，φ′（t）＜0，φ（t）在（λ2，1）上是减函数．又φ（1）=0，∴φ（t）不恒小于0，不合题意．综上，λ的取值范围是[1，+∞）．。

2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之数列含答案

2018市各城区二模数学（文科）分类汇编之数列含答案【西城二模】15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意，得21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩………………2分解得2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去）………………4分所以21n a n =-，13n n b -=．………………6分（Ⅱ）因为1213n n n a b n -+=-+，………………7分所以21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++………………9分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分 2312n n -=+．………………13分【海淀二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1223n n a a n +-=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.15．（本小题13分）解：（Ⅰ）方法1：因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=. 因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+. 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-. 所以21(1,2,3,).n a n n =-=………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3221+=-+n a a n n ，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-=………………6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. ………………13分【东城二模】（15）（本小题13分）已知{}n a 是公差为2等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，且1(1)n n n a b nb ++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ．（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1(1)n n n a b nb ++=，所以121(1)1a b b +=⨯．因为11b =，212b =，所以11a =．因为等差数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，*n ∈N ．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =-．因为1(1)n n n a b nb ++=，所以11(21)12n n b n b n +==-+．所以数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列．所以数列{}n b 的前n 项和n S 11()122[1()]1212nn -==--，*n ∈N ．……………13分【XX 二模】16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】解:（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn =+∴当1n =时,11a S p q ==+当2n ≥时,21(1)(1)n S p n q n -=-+-∴221()[(1)(1)]2nn n a S S pn qn p n q n pn q p -=-=---+-=+-检验1a p q =+符合2n a pn q p =+-∴数列{}n a 的通项公式为2n a pn q p =+-∵12(1)(2)2,()n na a p n q p pn q p p p +-=++--+-=∈R∴{}n a 是等差数列,设公差为d ∵143,24a S ==∴414342S a d ⨯=+解得2d = ∴数列{}n a 的通项公式为*3(1)221()n a n n n =+-⨯=+∈N（Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =+∴2122n a n nb +==设数列{}n b 的前n 项和为n T , 则12124242424n n nT -=⨯+⨯++⨯+⨯1212(4444)n n -=++++4(14)214n -=⨯- 8(41)3n -=所以数列{}n b 的前n 项和为8(41).3n n T -=【丰台二模】（16）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=3n S n ，等比数列{}n b 满足11=3a b ，242b b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21{}n b -的前n 项和n T ．（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为23n S n =，所以113a S ==．…………………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=-2233(1)n n =--63n =-．…………………3分因为当1n =时，16133a ⨯-==，…………………4分所以数列{}n a 的通项公式是63n a n =-．…………………5分（Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为113a b =，所以11b =．…………………6分因为242b b a ⋅=，所以239b =．…………………8分因为2310b b q =>，所以33b =，且23q =．…………………10分因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列．…………………11分所以212(1())131(31)1132n n nn b q T q --===---．即1(31)2nn T =-．…………………13分【昌平二模】 16.（本小题13分）已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n a 前n 项的和n S . 16.（共13分）解：（Ⅰ）因为11n n n nb a a na +++=，所以1221b a a a += . 又因为1212a a =1，=, 所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=，得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--.--------------------13分【顺义二模】15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且151, 3.a a =-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和.【房山二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：5b 与数列{}n a 的第几项相等？解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =．所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =．…………6分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =．所以5154264b -=⨯=．由6422n =+得31n =．所以5b 与数列{}n a 的第31项相等．…………13分。

朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试(一)

朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学学科测试（理工类）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{3,4},{2,3,5}A B ==，那么集合()U A Bð等于（）A.{1,2,3,4,5}B.{3,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，复数tan 45z =-o sin 60i ×o ，则2z 等于（）A.74-B.14-C.74D.14+ 3. 若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（） A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列4. 设a 为常数，函数2()43f x x x =-+. 若()f x a +为偶函数，则a 等于（）A.-2B. 2C. -1D.1 5. 已知直线a 和平面a ，那么//a a 的一个充分条件是（）A.存在一条直线b ，//,a b b a ÌB.存在一条直线b ，,a b b a ^^C.存在一个平面,,//a ββαβ⊂ D.存在一个平面,,a ββαβ⊥⊥6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。

若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V ，n 的值是（） A ．2,32==n VB ．3,364==n V C ．6,332==n V D ．V=16，n=47．设 ,a b ÎR ，且(1)<0b a b ++，(1)<0b a b +-，则 ( )A.1a >B.1a <-C. 11a -<<D. ||1a > 8. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意12,x x D Î，当12x x <时，都有12()()f x f x £，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：○1(0)0f =； ○21()()32xf f x =； ○3(1)1()f x f x -=-. 则1()2010f 等于（） A.1128 B.1256 C. 1512 D.164第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的人数为 _______.10．如图，AB 为O 的直径，且8AB = ，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 .A B11．给定下列四个命题：①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；②若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真； ③若a b <，则22am bm <； ④若集合A B A = ，则A B ⊆.其中为真命题的是（填上所有正确命题的序号）.12．在二项式25()ax x -的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 .13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是 .14．在平面直角坐标系中，点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|4,0,,340}B x y x y x y =≤≥-≥，则（1）点集1111{(,)3,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；（2）点集12121122{(,),,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C π=，sin 5A =. （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）若5c a -=，求ABC ∆的面积.(16) （本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13，12.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．(17) （本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ；（Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.(18)（本小题满分13分）已知函数322()(1)3mx f x ax b x =++-，, , m a b ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的导函数()f x '；（Ⅱ）当1m =时，若函数()f x 是R 上的增函数，求z a b =+的最小值；（Ⅲ）当1a =，b =()f x 在(2, )+∞上存在单调递增区间，求m 的取值范围．(19)（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点3(1, )2-，过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的方程以及点M 的坐标；（Ⅲ）是否存在过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足2PA PB PM ⋅= ？若存在，求直线1l 的方程；若不存在，请说明理由．（20）(本小题共13分)已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1111n n n S a a +=-．（Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若4a =，令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，请说明理由．（考生务必将第Ⅱ卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学测试（理工类）答案一、选择题:二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④12．1 13．12(,)3514．π；18π+.三、解答题:(15)解：（Ⅰ）因为34Cπ=，sin A=，所以cos A==由已知得4B Aπ=-.所以sin sin()sin cos cos sin444B A A Aπππ=-=-==.…………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知34Cπ=，所以sin C=且sin B=由正弦定理得sin Asin5ac C==.又因为5c a-=所以5c=，a=所以15sin522ABCS ac B∆===. …………………………13分(16) （Ⅰ）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A .由题意，得122()339P A =⨯=．答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29． …………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则212125(0)323239P ξ==⨯+⨯⨯=，211121(1)323333P ξ==⨯⨯+⨯=，1122(2)33327P ξ==⨯⨯=，1111(3)33327P ξ==⨯⨯=．所以，x 的分布列为：x 的数学期望012393272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………… 13分(17) 解法一：证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接OD .因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点, 所以 OD ∥1BB 且112OD BB =.又E 是1CC所以 EC ∥1BB 且112EC BB =,所以 EC ∥OD 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分 (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以CD ⊥平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥CD ，所以EO ⊥平面11A ABB . 所以EO ⊥1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O = ，EO ⊂平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ,所以1AB ⊥平面1A BE . ………………………………………10分（Ⅲ）解: 取11AC 中点F ，连接1, B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面111A B C .因为底面111A B C 是正三角形，且F 是11AC 中点，所以111B F AC ⊥，所以1B F ⊥侧面11ACC A .所以EF 是1B E 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是1B E 与平面11AAC C 所成角.111sin B F BE F B E ∠==…………………………………………14分解法二：如图所示，建立空间直角坐标系. 设边长为2，可求得(0,0,0)A ，(0,2,0)C 1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，,0)B ，1B (0,2,1)E ，1,0)2D ，1,1)2O . （Ⅰ）易得，3,0)2CD =- ， 3(,,0)22EO =- . 所以CD EO = ，所以EO ∥CD .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分（Ⅱ）易得，1,2)AB =，1,2)A B =- ，1(0,2,1)A E =-所以11110, 0AB A B AB A E ⋅=⋅= .所以1111, .AB A B AB A E ⊥⊥又因为111A B A E =A ，111,A B A E A BE ⊂平面，所以1AB ⊥平面1A BE . …………………………………………… 10分（Ⅲ）设侧面11AAC C 的法向量为(,,)x y z =n ,因为(0,0,0)A , (0,2,0)C ,1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，所以1(0,2,0), (0,2,2)AC AC ==，1(,1)B E =-.由 10,0,AC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.y y z =⎧⎨+=⎩解得0,0.y z ì=ïïíï=ïî 不妨令(1,0,0)=n ，设直线1B E 与平面11AAC C 所成角为α．所以111sin cos ,B E B E B Eα⋅=<>===⋅ n n n . 所以直线1B E 与平面11AAC C． ………………………14分 (18)（Ⅰ）解：22()2(1)f x mx ax b '=++-． …………………………………3分（Ⅱ）因为函数()f x 是R 上的增函数，所以()0f x '≥在R 上恒成立.则有2244(1)0a b ∆=--≤，即221a b +≤．设cos ,sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，01r ≤≤），则(cos sin )sin()4z a b r πθθθ=+=+=+.当sin()14πθ+=-，且1r =时，z a b =+取得最小值（可用圆面的几何意义解得z a b =+的最小值 ………………………8分（Ⅲ）①当0m >时，2()21f x mx x '=+-是开口向上的抛物线，显然()f x '在(2, )+∞上存在子区间使得()0f x '>，所以m 的取值范围是(0, )+∞．②当0m =时，显然成立．③当0m <时，2()21f x mx x '=+-是开口向下的抛物线，要使()f x '在(2, )+∞上存在子区间使()0f x '>，应满足 0, 12, 1()0,m m f m≥<-'-> 或0,12,(2)0. m m f <⎧⎪⎪-<⎨⎪'>⎪⎩解得102m -<≤，或3142m -<<-，所以m 的取值范围是3(, 0)4-．则m 的取值范围是3(, )4-+∞． …………………………………………13分(19)解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191,41,2.a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………4分（Ⅱ）因为过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．由221,43(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ① 因为直线l 与椭圆相切，所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+--=. 整理，得32(63)0k +=. 解得12k =-．所以直线l 方程为11(2)1222y x x =--+=-+．将12k =-代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为3(1, )2．……9分（Ⅲ）若存在直线1l 满足条件，设直线1l 的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，所以222111111[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>．所以112k >-．又1112218(21)34k k x x k -+=+，21112211616834k k x x k --=+，因为2PA PB PM ⋅= ，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=，所以221215(2)(2)(1)||4x x k PM --+==．即 2121215[2()4](1)4x x x x k -+++=，所以222111111222111161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-++==+++，解得112k =±．因为,A B 为不同的两点，所以112k =. 于是存在直线1l 满足条件，其方程为12y x =． …………………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）当2n ≥时，11+111111n n n n n n nS a a S S S S +-=-=---，化简得211(2)n n n S S S n -+=≥，又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠， ∴数列{}n S 是等比数列． ---------------- 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ，∴1n n S a -=．当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-，又111a S ==，∴21,(1),(1),(2).n n n a a a n -=⎧=⎨-≥⎩----------8分（Ⅲ）当4,2a n =≥时，234n n a -=⨯，此时 22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+ 221213411(41)(41)4141n n n n n -----⨯==-++++，又111293(3)(3)8a b a a ==++， ∴213,(1)811,(2)4141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩++ 1138T b ==，当2n ≥时，1222212131111()()841414141n n n n T b b b ----=+++=+-++-++++ 171841n -=-+．若1n =，则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意．若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，15541n λ-=-+ λ 是整数，∴141n -+是5的因数．∴当且仅当2n =时，1541n -+是整数， ∴4λ=综上所述，当且仅当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立。

2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之立体几何含答案

2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之立体几何含答案D（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时,求四棱锥P ABCD -的体积; （Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC 垂直,并给出证明．．. 解析:（Ⅰ）因为//AB CD ,CD ⊂平面PDC ,AB ⊄平面PDC 所以//AB 平面PDC（Ⅱ）在梯形ABCD 中,过点C 作CF AB ⊥于F ,取CD 中点E ,连接PE , 因为PC PB = 所以在PCB 中,PE BC ⊥,因为面PBC ⊥面ABCD ,面PBC 面=ABCD BC 所以PE ⊥面ABCD因为//CD AB ，AD CD ⊥,CF AB ⊥,5,4,3AB AD DC === 所以4,2CF BF ==在CFB 中,2225BC CF BF =+=222PE PE CE =-=因为()162ABCD AB DC S +==梯形所以13233P ABCD ABCD V S PE -==梯形取BC 的中点E ,连接PEEBFCAB 1C 1A 1因为PB PC =,所以PB BC ⊥,则2352PE =-= 因为平面PBC ⊥平面ABCD ,平面PBC 平面ABCD BC =,PB BC ⊥所以PB ⊥平面ABCD则四棱锥P ABCD -的体积为:1(35)4322323S +⨯=⨯⨯=（Ⅲ）点P 和点A ,连接AC 和AE则22345AC AB =+==,AE 平分BC ,所以AE BC ⊥ 又PE BC ⊥,PE ⊂平面PAE ,AE ⊂平面PAE ,AE PE E =所以BC ⊥平面PAE ,PA ⊂平面PAE ,所以BC PA ⊥ 即证点P 和点A 所在的直线PA 与直线BC 垂直.【东城二模】（18）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．EDCBAP（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由．（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ．所以1CCAC⊥．因为AC BC ⊥，1CCBC C=，所以AC ⊥平面11BCC B ．因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F⊥．………5分HEBFCAB 1C 1A 1G EBFC1C 1A 1（Ⅱ）取11A C 中点H ，连结EH ，FH ．则EH∥11B C ，且1112EH B C =，又因为BF ∥11B C ，且1112BF B C =，所以EH ∥BF ，且EH BF =．所以四边形BEHF 为平行四边形．所以BE ∥FH ．又BE ⊄平面11AC F ，FH ⊂平面11AC F ，所以BE∥平面11AC F． ………10分（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．连接1,EG GB ．在正方形11BB C C 中，因为F 为BC 中点，所以△11B C G≌△1C CF．所以11190C CF B GC∠+∠=︒．所以11B GC F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，因为AC //11A C ，所以11A C ⊥平面11BB C C ．因为1B G ⊂平面11BB C C ，所以111ACB G⊥．因为1111ACC F C =，所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F． (14)分【西城二模】（18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，////⊥，G为AB的中AB CD EF，AB AD点．2AB=．====，4CD DA AF FE（Ⅰ）求证：//DF平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCF⊥平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD的体积．18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//=，CD EF，且CD EF所以四边形CDFE为平行四边形，所以//DF CE．……2分因为DF⊄平面BCE，……3分所以//DF平面BCE．……4分（Ⅱ）连接FG．因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEF AB=，AD AB⊥，所以AD⊥平面ABEF，所以BF AD⊥．………………6分因为G为AB的中点，所以//=，EF BG，且EF BG=；//AG CD，且AG CD所以四边形AGCD和四边形BEFG均为平行四边形．所以//AD CG，所以⊥．………………7分BF CG因为EF EB=，所以四边形BEFG为菱形，所以BF EG⊥．………………8分所以BF⊥平面GCE．………………9分所以平面BCF⊥平面GCE．………………10分（Ⅲ）设BF GE O=．由（Ⅰ）得//DF平面GCE，DF CE，所以//由（Ⅱ）得//AD平面GCE，AD CG，所以//所以平面//AD F平面GCE，所以几何体AD F GCE-是三棱柱．………………11分由（Ⅱ）得BF ⊥平面GCE ．所以多面体AFEBCD的体积ADF GCE B GCEV V V --=+………………12分13GCE GCE S FO S BO∆∆=⋅+⋅4833GCE S FO ∆=⋅=．………………14分【海淀二模】（17）（本小题14分）如图，已知菱形AECD的对角线,AC DE交于点F，点E为的AB中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示.（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；CFM平面PEN？若（Ⅲ）在线段,M N，使得平面//PD BC上是否分别存在点,存在，请指出点,M N的位置，并证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC DE⊥；所以折叠后，,⊥⊥, DE PF DE CF又,,=⊂平面PCF，PF CF F PF CF所以DE⊥平面PCF…………………4分（Ⅱ）因为四边形AECD为菱形，所以//,DC AE DC AE=.又点E为AB的中点，所以//,DC EB DC EB=.所以四边形DEBC为平行四边形.所以//CB DE. 又由（Ⅰ）得，DE⊥平面PCF,所以CB⊥平面PCF. 因为CB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面. …PCF………………9分（Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC的中点.如图，分别取PD 和BC 的中点,M N . 连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形，所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形. 所以//FC EN .在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点，所以//MF PE .又,EN PE ⊂平面,PEN PE EN E=,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN. …………………14分【昌平二模】 18.（本小题14分）如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF，//,AF BE ,2,1AB BE AB BE AF ⊥===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求证： //AC 平面DEF ；（III ）求三棱锥D -FEB 的体积. 18.（共14分）证明：（I ）因为正方形ABCD ,所以AC BD ⊥. 又因为平面ABEF ⊥平面ABCD , 平面ABEF 平面ABCD=AB ,,AB BE ⊥BE ⊂平面ABEF ,所以BE ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD. 故BE ⊥AC. 又因为BE BD B=，所以AC ⊥平面BDE.--------------------5分（II ）取DE 的中点G ，连结OG ,FG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点．则OG //BE ，且12OG BE =．FEBOADCGFEBOADC由已知AF //BE ，且12AF BE=，则//AF OG 且AF OG =，所以四边形AOGF 为平行四边形，所以AO //FG ，即AC //FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ，所以AC //平面DEF ． --------------------10分（III ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF 平面ABCD=AB ,所以//,AD BC AD AB ⊥.由（I ）知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以BE AD ⊥ 所以AD ⊥平面BEF .所以11143323D BEF BEF V S AD BE AB AD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.--------------------14分【顺义二模】18. （本小题满分13分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为1,1,2AB AC BC ===,D 是BC 的中点.. （Ⅰ）求证:AD ⊥平面11B BCC ;（Ⅱ）求证:1//A B 平面1ADC ;（Ⅲ）求三棱锥11B ADC -的体积.【房山二模】（18）（本小题14分）如图1，正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为中心，G 为AB 的中点.现将四边形DEFC 沿CF 折起到四边形11D E FC 的位置，使得平面ABCF ⊥平面11D E FC ，如图2.（Ⅰ）证明：1D F ⊥平面1E OG ；（Ⅱ）求几何体1E -OFAG 的体积；（Ⅲ）在直线AB 上是否存在点H ，使得1//D H 平面1E OG？如果存在，求出AH 的长；如果不存在，请说明理由.（18）（Ⅰ）证明:图（1）中OG CF ⊥∴图（2）中，OG CF ⊥又面11CD E F ABCF ⊥面，11CD E FABCF=CF面面11OG CD E F ∴⊥面111D F CD E F ⊂面1OG D F∴⊥O又为CF 的中点11OF//D E =∴，又111E D EF =∴四边形11E D OF 为菱形ADEF.O图1 图21EC1DA FOG11D F OE ∴⊥1OG OE =O11D F E OG∴⊥面…………5分（Ⅱ）图二中，过1E 作1E M FO ⊥，垂足为M111111OG CD E F E M CD E F E M OG⊥⊂∴⊥面，面OG FO O=11E M AGOF E M∴⊥∴面为1E -OFAG的高，12sin603E M=︒133322OFAG S =(1+2)=四1332V Sh ∴==…………10分（Ⅲ）过C 作,CH AB ⊥交AB 的延长线于点H//CH OG ∴= 又111//,OE CD CDCH C=11D CH//E OG∴面面1111D H D CH D H//E OG⊂∴面面四边形OGHC为矩形23GH=CO=AH=∴∴ …………14分1EBC1DAFOGMH。

2018年高三最新北京市朝阳区2018年高考二模试卷文科数学(附答案) 精品

北京市朝阳区2018-2018学年综合练习（二）高三数学综合练习(文科) 2018.4第Ⅰ卷 (选择题共40分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式S ＝4πR 2 ，球的体积公式 V = 43πR 3，其中R 表示球的半径.一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的 4个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 满足条件{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M 的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (2) 设条件p ：|x |= x ；条件q ：x 2+x ≥0，那么p 是q 的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充分且必要条件（D ）非充分非必要条件(3) 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱C 1C 与BC 的中点，则直线EF 与直线D 1C 所成角的大小是（）（A ）45° （B ）60° （C ）75° （D ）90°(4) 要得到函数y =2sin(2x -3π)的图像，只需将函数y =2sin2x 的图像（）（A ）向左平移3π个单位（B ）向右平移3π个单位（C ）向左平移6π个单位（D ）向右平移6π个单位(5) 将直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转︒30，所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是（）（A ）直线与圆相切（B ）直线与圆相交但不过圆心A B C D A 1B 1C 1D 1EF（C）直线与圆相离（D）直线过圆心(6)已知等差数列｛a n｝的公差为2，若a1、a3、a4成等比数列，则｛a n｝的前n项和S n 等于（）（A）n2-9n+1 （B）n2+9n+1 （C）n2-9n（D）n2+9n(7) 某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有（）（A）12种（B）30种（C）36种（D）42种(8) 椭圆M：2222x ya b+=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且⋅的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中22bac-=.则椭圆M的离心率e 的取值范围是（）（A）]2,33[２（B）)1,22[（C）)1,33[（D）)21,31[第II卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上.(9) lg8+3lg5的值为.(10) 一个球内切于一个正方体，已知正方体的体积为8，则正方体的棱长等于，球的体积等于.(11)不等式52x+≥2的解集是____ ____.(12)已知函数)(xfy=的反函数)21(log)(211-=-xxf，则方程1)(=xf的解是 .(13) 已知9()2a xx-的展开式中3x的系数为2116，则3x的二项式系数为，常数a 的值为.(14)定义运算()(),.a a ba bb a b≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩则函数()12xf x=*的值域为．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本小题满分13分）已知向量 m = (cos3x3x )，n = (sin 3x ，cos 3x)，函数f (x ) = m·n . （Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）求f (x )的单调递增区间及其图象的对称中心.(16)（本小题满分13分）四棱锥P-ABCD 中，侧面APD ⊥底面ABCD ，∠APD=∠BAD=90°，∠ADC=60°，E 为AD上一点，AE=2，AP=6，AD=CD=8，（Ⅰ）求证AB ⊥PE ；（Ⅱ）求证：CD ∥平面PBE ；（Ⅲ）求二面角A-PD-C 的大小.(17)（本小题满分13分）某大学的研究生入学考试有50人参加，其中英语与政治成绩采用5分制，设政治成绩为x ，英语成绩为y ，结果如下表：（Ⅰ）求a +b 的值；（Ⅱ）求政治成绩为4分且英语成绩为3分的概率；（Ⅲ）若“考生的政治成绩为4分” 与“英语成绩为2分”是相互独立事件，求a 、b 的值.ABCDPE(18)（本小题满分13分）如图，已知圆C ：222(1)(1)x y r r -+=>，设M 为圆C 与x半轴的交点，过M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y （Ⅰ）当r=2时，求满足条件的P 点的坐标；（Ⅱ）当r ∈(1，+∞)时，求点N 的轨迹G 的方程；（Ⅲ）过点P （0，2）的直线l 与（Ⅱ）中轨迹G 相交于两个不同的点E 、F ，若0CE CF ⋅>，求直线l 的斜率的取值范围.(19)（本小题满分14分）设对于任意实数x 、y ，函数()f x 、()g x 满足),(31)1(x f x f =+ 且(0)3f =， ()()2,(5)13g x y g x y g +=+=，*N n ∈．（Ι）求数列}{()f n 、}{()g n 的通项公式；（ΙΙ）设[()]2n nc g f n =，求数列{}n c 的前n 项和S n ．(20)（本小题满分14分）已知函数323()2f x x mx n =-+，12m <<．（Ⅰ）若()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为1，最小值为2-，求m 、n 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点(2, 1)P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程．2018-2018高三数学综合练习（二）参考答案及评分标准(文科)2018.4一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） D （2） A （3） B （4） D （5） A （6） C （7） D （8） A二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） 3 （10） 2，43π （11）｛x |-2<x ≤12｝（12） x =1 （13）84， 1 （14） (0,1] 三.解答题（本大题共6小题，共80分） 15. 解：（Ⅰ）3cos 33sin 3cos)(2x x x x f +==2332cos 2332sin 21++x x =23)332sin(++πx . …………………………6分（Ⅱ）由22ππ-k ≤332π+x ≤22ππ+k ，得453ππ-k ≤x ≤43ππ+k .∴)(x f 的单调增区间为[453ππ-k ，43ππ+k ]（Z k ∈）. …………11分令332π+x =πk ，则π213-=k x .（Z k ∈）. ∴对称中心是（23,213π-k ）（Z k ∈）. …………………………13分 16. 方法1：（Ⅰ）证明：∵∠BAD=90°，即AB ⊥AD ，∵侧面APD ⊥底面ABCD ， ∴AB ⊥面APD .∵PE ⊂面APD ， ∴AB ⊥PE . …………4分（Ⅱ）证明：∵∠BAD=90°，AE=2，∴∠AEB=60°.∵∠ADC=60°，CD 、BE 共面，∴CD ∥BE .又CD ⊄面PBE ，BE ⊂面PBE ，∴ CD ∥面PBE . …………………8分（Ⅲ）解：在面ABCD 内作CF ⊥AD ，垂足为F ， ∵侧面APD ⊥底面ABCD ， ∴CF ⊥面APD .在面APD 内作FG ⊥PD ，垂足为G ，连结CG ，则CG ⊥PD ，∴∠CGF 是二面角A-PD-C 的平面角. ………………………………11分 ∴ FC=8sin 60°FD=8cos60°= 4. ∵ AP ⊥PD ， ∴AP= 2FG=6，于是FG= 3. ∴ tan ∠CGF=FC FG=. ∴∠CGF=为所求. …………………………13分方法2：如图建立空间直角坐标系. 所以各点的坐标是A(0，-92，0)， AB C DPEFG-92，0)，-12，0)，D(0，72，0)，E(0，-52，0)，P(0，0)(Ⅰ)证明：容易求出AB 0，0)，PE = (0，-52，，∵·PE 0，0)·(0，-52，-2)=0，∴AB ⊥PE . 即AB ⊥PE . …………………………………………4分（Ⅱ）证明：容易求出=(-4，0)，平面PBE 的一个法向量为n 3= (-215，∵CD ·n 3=(-4，0)·(-5，-215--5)+4(-215)=0，∴CD ⊥n 3.又CD ⊄平面PBE ， ∴CD ∥平面PBE . ……………………………………8分（Ⅲ）解：设所求二面角的大小为θ，∵n 2·n 33(1，0，0) = |n 2||n 3|=∴cos θ19∴θ=arccos 19.∴所求二面角的大小为（等于）…………………………13分 17. 解：（Ⅰ）考生总人数是50，因此表中标出的总人数也应是50人，所以a +b =50-47=3；…………………………4分（Ⅱ）从表中可以看出，“政治成绩为4分且英语成绩为3分”的考生人数为6人，所以其概率为650=0.12 . ……………………………………8分（Ⅲ）因为若“考生的政治成绩为4分” 与“英语成绩为2分”是相互独立事件，所以P(x =4，y =2)= P(x =4)·P(y =2)，即b a b 7b 4505050+++=⨯，解得： b =1，a =2. ………………………………………13分18. （Ⅰ）解法一：由已知得，r=2时，可求得M 点的坐标为M (-1，0)设P(0，b),则由1CP MP k k =-（或用勾股定理）得：12=b ∴1±=b 即点P 坐标为(0，1±) ………………………………4分解法二：同上可得M (-1，0) ，设N （x ，y ），则22(1)410x y x ⎧-+=⎨-=⎩解得N （1，2±）∴MN 的中点P 坐标为（0，1±） ………………………………4分（Ⅱ）解一：设N (x ,y )，由已知得，在圆方程中令y =0，求得M 点的坐标为（r -1,0）设P （0，b ）,则由1CP MP k k =-（或用勾股定理）得：21r b =+ ∵点P 为线段MN 的中点，∴21x r b =-=,2y b =，又r>1∴点N 的轨迹方程为)0(42≠=x x y ………………………９分解法二：设N (x ,y )，同上可得M （r -1,0），则222(1)10x y r x r ⎧-+=⎨+-=⎩，消去r ，又r>1 ∴点N 的轨迹方程为24(0)y x x =≠． ……………………………………９分（Ⅲ）由题意知直线l 的斜率存在且不等于0．设直线l 的方程为y =kx +2，E(x 1,y 1), F(x 2,y 2)由224y kx y x=+⎧⎨=⎩，得k 2x 2+(4k -4)x +4=0，由△=-32k +16>0，得k <12且0k ≠. ∵0CE CF ⋅>， ∴(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2>0.∴(k 2+1)x 1x 2+(2k -1)(x 1+x 2)+5>0. 得k 2+12k >0. ∴k >0或k <-12.∴0<k <12或k <-12. ………………………………………13分 19. 解：（Ι）取 x n =，则)(31)1(n f n f =+．取0x =，得1)0(31)1(==f f ．故{}()f n 是首项为1，公比为31的等比数列，∴)(n f =131-⎪⎭⎫⎝⎛n ． ………………3分取x n =，1y =，得)1(+n g =)(n g +2 （*N n ∈），即)1(+n g ()2g n -=．∴)(n g 公差为2的等差数列．又(5)13,g =因此()132(5)23,g n n n =+-=+即()2 3.g n n =+ …………………………………7分（ΙΙ）n c =)](2[n f n g =3)31(])31(2[11+=--n n n n g ． ……………………………8分 ∴12n n S c c c =+++=2)31(3)31(21++3211114()(1)()()3333n n n n n --+++-++，+=3131n S 23111112()3()(1)()()3333n n n n n -+++-++，两式相减得， 322111()33n S =+++111()()233n n n n -+-+n n n n n n n n2)31(])31(1[232)31(311)31(1+--=+---=， ∴n n S nn n 3)31(23])31(1[49+--= 11193119231()()33()44323443n n n n n n n ---+=--+=+-⋅．…………………………14分 20. 解：（Ⅰ）解法一：∵ 2()333()f x x mx x x m '=-=-，………………………1分 ∴ 由()0f x '=，得10x =，2x m =．又12m <<，[1, 1]x ∈-，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减．∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f n =，∴1n =．………………………4分又33(1)11222f m m =-+=-，33(1)1122f m m -=--+=-，∴ (1)(1)f f -<．由题意得(1)2f -=-，即322m -=-，得43m =．故43m =，1n =为所求． ……………………………………7分解法二：∵ 2()333()f x x mx x x m '=-=-，∴ 由()0f x '=，得10x =，2x m =．又12m <<，[1, 1]x ∈-，∴ 只需比较(1)f -、(0)f 、(1)f 的值即可得出最值．∵ 3(1)12f m n =-+，(0)f n =，3(1)12f m n -=--+．显然(1)(1)f f -<．由12m <<可知 312122m -<-<-，∴ (1)(0)f f <．∴ 依题意得 (0)1f =，(1)2f -=-，即1n =，322m -=-，故43m =，1n =为所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()21f x x x =-+，易知点(2, 1)P 在曲线()f x 上．又2()34f x x x '=-，∴ 当切点为(2, 1)P 时，切线l 的斜率2()|4x k f x ='==，…………………………9分 ∴ l 的方程为14(2)y x -=-，即470x y --=．………………………………11分当切点P 不是切点时，设切点为00(, )Q x y 0(2)x ≠，切线l 的斜率0200()|34x x k f x x x ='==-， ∴ l 的方程为 20000(34)()y y x x x x -=--．又点(2, 1)P 在l 上，∴ 200001(34)(2)y x x x -=--，∴ 322000001(21)(34)(2)x x x x x --+=--， ∴ 2200000(2)(34)(2)x x x x x -=--， ∴ 2200034x x x =-，即002(2)0x x -=，∴00x =．∴ 切线l 的方程为1y =． …………………………………13分故所求切线l 的方程为470x y --=或1y =．…………………………………14分（或者：由（1）知点A （0，1）为极大值点，所以曲线()f x 的点A 处的切线为1y =，恰好经过点(2, 1)P ，符合题意．）注：2个空的填空题，做对第一个给2分，做对第二个给3分，如有其它解法请阅卷教师酌情给分.。

2018届北京市朝阳区高三二模理数试题Word版含解析

2018届北京市朝阳区高三二模理数试题（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．+对应的点位于1．已知i为虚数单位，则复数z=i(12i)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】试题分析：因为，所以对应的点的坐标是，故选B．考点：1．复数的运算；2．复数在复平面内所对应的点．2．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是A．23 B．31 C．32 D．63【答案】B【解析】第一次循环: ; 第二次循环:第三次循环:第四次循环:第五次循环:第六次循环:结束循环,输出选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 3．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当时，由均值不等式成立。

但时，只需要,不能推出。

所以是充分而不必要条件。

选A.4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增【答案】C 【解析】,所以不是奇函数, 图象不关于原点对称;时不是最值, 图象不关于直线对称; 所有点向右平移个单位长度后得为奇函数, 图象关于原点对称;因为,所以函数在区间上有增有减,综上选C.5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 【答案】D【解析】甲、乙分得的电影票连号有种情况,其余三人有分法,所以共有，选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】三视图还原图形三棱锥，如下图：,所以最长边为，选C.7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞UD ．(0,1)(1,4)U 【答案】D 【解析】由题意得与有且仅有一个交点，当时，有且仅有一个交点；当时，需满足，因此的取值范围是，选D.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名【答案】C【解析】若每场比赛第一名得分为4，则甲最后得分最高为，不合题意；三人总分为，每场总分数为分，所以，因此甲比赛名次为5个第一，一个第三；而乙比赛名次有1个第一，所以丙没有一场比赛获得第一名，因此选C.即乙比赛名次为1个第一，4个第三，1个第二. 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是，离心率是．【答案】 (1). (2).【解析】渐近线方程是 ,离心率为10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是．【答案】【解析】由题意得11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ， 9S = ．【答案】 (1).(2). 2【解析】12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为．【答案】【解析】由题意得圆，直线，所以交点为，弦长为13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为．【答案】【解析】由图知直线过A 点时取最大值8，由得，所以点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A Î，存在,i j a a B Î()i j ≠，使得 12i j x a a λλ=+（12,{1,0,1}λλ?），则称B 为A 的一个基集．若 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是．【答案】4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A ．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．【答案】（1）（2）16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180 cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率及所有小长方形面积之和为1得,解得．（2）根据平均数等于组中值与对应概率乘积的和得平均值,(3)先确定随机变量的取法:．再利用组合数求对应概率,列表可得分布列.最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（Ⅰ）根据题意得：．解得．（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则．所以估计该市中学全体男生的平均身高为．（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为．由已知得，随机变量的可能取值为．所以；；；．随机变量的分布列为因为~，所以．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1AQ 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134A Q AB =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．【答案】（1）见解析（2）在线段上存在中点，使平面．且（3）图1图2BA 1FCED QG ABCDEFG【解析】试题分析：（1）先根据等腰三角形性质得．再由折叠中不变的垂直关系得，根据线面垂直判定定理得平面，即得．最后再根据线面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空间向量研究线面平行关系，即通过平面法向量与直线方向向量垂直进行研究，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据平面法向量与直线方向向量数量积为零列式求解参数.（3）利用空间向量求线面角，仍是先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系列式求线面角大小.试题解析：解：（Ⅰ）因为，所以△为等边三角形．又因为点为线段的中点，所以．由题可知，所以平面．因为平面，所以．又，所以平面．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，．设平面的一个法向量为，,，所以即令，所以，所以假设在线段上存在点，使平面．设，.又，所以．所以.则. 所以.解得，.则在线段上存在中点，使平面．且（Ⅲ）因为，又，所以．所以．又因为，所以．因为设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角为.18．（本小题满分13分）已知椭圆W：22221x ya b+=(0)a b>>的上下顶点分别为,A B，且点B(0,1)-．12,F F分别为椭圆W的左、右焦点，且12120F BF∠=．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN y⊥轴于N，E为线段MN 的中点．直线AE与直线1y=-交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求OEG∠的大小．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由顶点坐标得再在中利用椭圆几何条件得．（2）利用向量数量积研究的大小．先设，则得．求出直线与直线交点，得．再根据向量数量积得，根据代入化简得，即得．试题解析：解：(Ⅰ)依题意，得．又，在中，，所以．所以椭圆的标准方程为．(Ⅱ)设，，则，．因为点在椭圆上，所以．即．又，所以直线的方程为．令，得．又，为线段的中点，所以．所以，．因为，所以．．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b ÎR ．（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先明确函数定义域，再求函数导数，根据导函数符号确定单调区间，（2）由导数几何意义得切线斜率为，则得，.即得（3）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：先利用导数研究函数最值：当时，在上单调递增. 仅当时满足条件，此时；当时，先减后增，，再变量分离转化为，最后利用导数研究函数最值，可得的最大值．试题解析：解：（Ⅰ），则. 令得，所以在上单调递增. 令得，所以在上单调递减.（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.依题意，，.于是与抛物线切于点，由得.所以（Ⅲ）设,则恒成立.易得（1）当时，因为，所以此时在上单调递增.①若，则当时满足条件，此时；②若，取且此时，所以不恒成立．不满足条件；（2）当时，令，得由，得；由，得所以在上单调递减，在上单调递增.要使得“恒成立”，必须有“当时，”成立.所以.则令则令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减,所以，当时，从而，当时，的最大值为.综上，的最大值为.20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件： ①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．。

2018北京各城区高三二模数学(文)分类汇编--解析几何解答题

2018 北京各城区高三二模数学（文）分类汇编
【西城二模】 20．（本小题满分 14 分）
-- 解析几何解答题
已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2 1 (a b 0) 的离心率为
6 ，经过点 (0,1) ． 3
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 y x 与椭圆 C交于 A， B两点，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M ， N 两点，与直线 y x 交于点 P （点 P 与点 A， B ， M ， N 不重合）．
t3
t 3 t2 3
所以 | PA|| PB | 2
2
．……………… 10 分
22
22
2
因为 | PM |
( t x1 )2 ( t y1) 2
2
2
2 t x1 ，同理 | PN | 2
t 2 x2 ．
2
t
t
所以 | PM || PN | 2 2
Байду номын сангаас
x1
2
x2
t 2 t 3t 3t 2 3
2
4 22
4
t2 3 .
2k (x1 x2 ) m( x1 x2) 2 2m
4 km
2k 1
2k 2
m( x1
x2 )
2 2m
2 2m 1 2k 2 m(x1 x2)
22
m( 1
2k 2
x1 x2 )
y1( x2 2) y2 ( x1 2)=( kx1 m)( x2 2) ( kx2 m)( x1 2)
2kx1x2 m(x1 x2) 2k( x2 x1)
………………… 14 分
由
y x2

2018年高三最新北京朝阳区2018届高三理科数学二模试

朝阳区高三数学第二次统一练习试卷（理工农医类）2018．5（考试时间120分钟，满分150分）参考公式：三角函数积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βββ-++=a a a)]sin()[sin(21sin cos βββ--+=a a a)]cos()[cos(21cos cos βββ-++=a a a)]cos()[cos(21sin sin βββ--+-=a a a正棱锥、圆锥侧面积公式：cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上将该选项涂黑。

（1）设全集 I={-2，-1，21-，31，21，1，2，3}， A={31，21，1，2，3}， B={-2，2}则集合{-2}等于（）（A ）B A ⋂ （B ）A ∩B (C)B A ⋂ (D)B A ⋃（2）直线0153:1=+-y x l 与直线044:2=--y x l 所成的角的大小是（）（A ）32π （B ）3π（C ）4π （D ）6π（3）11->a是a<-1成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分且必要条件（D ）既不充分不必要条件（4）已知圆锥的体积为π316，中截面面积为π，则圆锥的侧面积为（）（A ）π54 （B ）π52 （C ）π62 （D ）π172（5）函数)3arccos(x y = )310(≤≤x 的反函数是（）（A ）)0(cos 312π≤≤=x x y （B ）)220(cos 312π≤≤=x x y（C ）)0(cos 312π≤≤=x x y (D))220(cos 312π≤≤=x x y (6)若幂函数ax x f =)(满足f(2)=4，那么函数|)1(log |)(+x x g a 的图象为（）（7）如图，正四面体S —ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是（）（A ）33 （B ）32 （C ）63 （D ）62 （8）函数)4cos()4cos(2)(ππ-+=x x x f 周期为（）（A ）π (B)23π （C ）2π （D ）3π（9）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙。

2018年北京朝阳区高三期末数学(文)试题

朝阳区2018年高三年级期末统一考试数学试卷（文史类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}2log 0A x x =≥,集合{}01B x x =<<,则AB =A.}{0x x >B. }{1x x >C. }{011x x x <<>或 D. ∅ 2.为了得到函数22y x =-的图象，可以把函数2y x =的图象上所有的点 A. 向右平行移动2个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C. 向左平行移动2个单位长度 D. 向左平行移动1个单位长度3. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为A. 6B. 24C. 120D.7204.已知函数2,0,()0,x x f x x ⎧≥⎪=<则2a =是()4f a =成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若实数,x y 满足3200x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z y x =-的最小值为A. 0B. 1C. 2D. 3 6. 已知π02α<<，且4cos 5α=，则πtan()4α+等于 A. 7- B. 1- C. 34D. 77. 若双曲线C ：222(0)x y m m -=>与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，且AB =m 的值是A. 116B. 80C. 52D. 208. 函数2()3f x x x =-的图象为曲线1C ，函数2()4g x x =-的图象为曲线2C ，过x 轴上的动点(,0)(03)M a a ≤≤作垂直于x 轴的直线分别交曲线1C ，2C 于,A B 两点，则线段AB 长度的最大值为A ．2B ．4C ． 5D ．418第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知数列{}n a 为等差数列，若1358a a a ++=，24620a a a ++=，则公差d = ． 10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是；表面积是 .11. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数俯视图侧视图正视图为_____．12.直线l ：360x y --=被圆:C ()221(2)5x y -+-=截得的弦AB 的长是 .13.在△ABC 中， ︒=∠120A ，1AB AC ⋅=-，则A B A C = ；||BC 的最小值是 .14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足条件的图形序号）（1）正三角形（2）梯形（3）直角三角形（4）矩形三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本题满分13分）已知函数22()3sin 2sin cos cos 2f x x x x x =++-. （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.16. （本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在相同的测试条件下，两人5次测试（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于90分的概率.17. （本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面DPABC ,PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ，E 分别为PA ，AC 中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAB ;（Ⅲ）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点 D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．18.（本题满分13分）已知函数322()f x x ax a x =--，其中0a ≥.（Ⅰ）若(0)4f '=-，求a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[]0,2上的最小值. 19.（本题满分14分）已知椭圆C两焦点坐标分别为1(F,2F ，一个顶点为(0,1)A -. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为(0)k k ≠的直线l ，使直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，满足AM AN =. 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.20. （本题满分13分）已知数列{}n a 的通项19210nn a n ⎛⎫⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n *∈N .(Ⅰ)求12,a a ；（Ⅱ）判断数列{}n a 的增减性,并说明理由；(Ⅲ) 设1n n n b a a +=-，求数列1n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项和最小项.21．已知函数2()(2cossin )2xf x a x b =++. （１）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（２）当0a <时，若[0,]x π∈，函数()f x 的值域是[3,4]，求实数,a b 的值．22．某校的一次升学摸底考试的试题放在一个袋子内，其中含若干个数学题，3个语文题，2个英语题，从中随机抽取2个题，若全是数学题的概率是29. （1）求袋子内数学题的个数；（2）某生 A 、B 、C 三题做对的概率均为41，D 题做对的概率为21，其它题目均会做且各题做对与否互不影响，求该生刚好做对其中8个题的概率。

北京市朝阳区高三二模数学(文)试卷 Word版含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类） 2017.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知i 为虚数单位，则复数z =(1i)i +对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知x y >，则下列不等式一定成立的是（A ）11x y< （B ）2log ()0x y -> （C ）33x y <（D ） 11()()22x y<（3）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（A ）15 （B ）29 （C ） 31 （D ） 63（4）“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）将函数()cos 2f x x =图象上所有点向右平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则实数a 的最大值为（A ）π8 （B ）π4 （C ）π2 （D ）3π4（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（A（B）（C ）3 （D）（7）已知过定点(20)P ，的直线l与曲线y =相交于Α，Β两点，Ο为坐标原点，当ΑΟΒ∆的面积最大时，直线l 的倾斜角为（A ）150 （B ）135 （C ）120 （D ）30（8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c （a b c >>且,,a b c *∈N ），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是(A)甲（B ）乙（C ）丙（D ）乙和丙都有可能第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）已知集合{}121x A x -=>错误！未找到引用源。

2018年北京市朝阳区高三年级期中考试文科数学 (4)

北京市朝阳区2018年高三年级考数学试卷（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合A B = A.∅B ．1{|1,}2x x x <<∈R C ．{|22,}x x x -<<∈R D ．{|21,}x x x -<<∈R2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 A ．1y x =- B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x=-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为 A ． 1225 B ．2425 C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠，则“1x >”是“1+2x x>”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥B ．若//,,//m n αβαβ⊥，则 m n ⊥C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥，则n β⊥6. 已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC +=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（） A ．154-B ．34-C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则y = .10. 已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，sin A = . cos2A = . 11. 已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 . 12. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=a ，245S S =，则1a 的值为，4S 的值为．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 14（本小题满分13分）已知数列{}n a （n *∈N ）是公差不为0的等差数列，若11a =，且248,,a a a 成4数列.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式; （Ⅱ）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .15. （本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点,03π（）. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围.PEDCBA DCA16 （本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，且=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos 7BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠；（Ⅱ）求AD .17. （本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，DE//PA ．（Ⅰ）求证：BC CE ⊥；（Ⅱ）若直线m ⊂平面PAB ，试判断直线m 与平面CDE 的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若22AB PA DE ===，3AD =，求三棱锥E PCD -的体积．18. （本小题满分13分）已知函数1()e xax f x +=，a ∈R . （Ⅰ）若曲线y f x =（)在点()0,0f （）处切线斜率为2-，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数f x （)在区间()0,1上无极值，求a 的取值范围.19（本小题满分14分）已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . （I ）若2a =-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a ≥，且()1f x >在区间1[,e]e上恒成立，求a 的取值范围；（III ）若1ea >，判断函数()[()1]g x x f x a =++的零点的个数.北京市朝阳区2018年度高三年级数学答案（文）一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解: （Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为248,,a a a 成等比数列，所以2428()a a a =⋅.即2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d = .又11a =，且0d ≠，解得1d = .所以有1(1)n a a n d n =+-=. ……………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：11111(1)1n n n b a a n n n n +===-⋅++ .则11111=1++...+2231n S n n ---+. 即1=111n n S n n -=++. 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=．由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =14DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． ……………………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅∠得，24127DB DB=+-．所以2307DB DB --=．解得DB =DB =（舍）．由已知得DBC ∠是锐角，又sin DBC ∠cos DBC ∠ 所以cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠.=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=214-+=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅∠PEDCBA=16724()2714+-⨯-=，所以AD =． ……………………………13分17 （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥底面ABCD ，//PA DE 所以DE ⊥底面ABCD ．所以DE BC ⊥．又因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥．又因为CDDE D =，所以BC ⊥平面CDE ．所以BC CE ⊥． …………4分（Ⅱ）若直线m ⊂平面PAB ，则直线//m 平面CDE ．证明如下，因为//PA DE ，且PA ⊂平面PAB ，DE ⊄平面PAB ，所以//DE 平面PAB ．在矩形ABCD 中，//CD BA ，且BA ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以//CD 平面PAB ．又因为CDDE D =，所以平面//PAB 平面CDE ．又因为直线m ⊂平面PAB ，所以直线//m 平面CDE ． ………………9分（Ⅲ）易知，三棱锥E PCD -的体积等于三棱锥P CDE -的体积.由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面CDE ．又因为//AD BC ，所以AD ⊥平面CDE ．易证//PA 平面CDE ，所以点P 到平面CDE 的距离等于AD 的长．因为22AB PA DE ===，3AD =，所以1121122CDE S CD DE ∆=⋅=⨯⨯=．所以三棱锥E PCD -的体积1113133CDE V S AD ∆=⋅=⨯⨯=． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()e x ax f x +=，所以1()exax a f x -+-'=.依题意，(0)2f '=-,解得1a =-. 所以1()e x x f x -+=，2()exx f x -'=. 当2x >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数；当2x <时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；所以函数()f x 的最小值是21(2)ef =-. …………………………6分（Ⅱ）因为1()e x ax f x +=，所以1()exax a f x -+-'=. （1）若0a =，则1()0ex f x '=-<.此时()f x 在()0,1上单调递减，满足条件.（2）若0a ≠，令()0f x '=得111a x a a-==-.(ⅰ)若110a-≤，即01a <≤，则()0f x '<在()0,1上恒成立.此时()f x 在()0,1上单调递减，满足条件.(ⅱ)若1011a <-<，即1a >时，由()0f x '>得101x a<<-；由()0f x '<得111x a -<<.此时()f x 在1(0,1)a -上为增函数，在111a-（，）上为减，不满足条件. (ⅲ)若111a-≥即0a <.则()0f x '<在()0,1上恒成立.此时()f x 在()0,1上单调递减，满足条件.综上，1a ≤. …………………………………………………13分19（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若2a =-，则1()2ln f x x x x=--+，(0,)x ∈+∞ 2(21)(1)()x x f x x -+-'=由()0f x '>得，01x <<；由()0f x '<得，1x >.所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)；单调减区间为(1,)+∞. ………………3分（Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >.222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==,1a ≥.令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤；由()0f x '<得，11ex ≤<. 所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件；若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a ≤<或1e x <≤；由()0f x '<得，11x a<<. min 1()min{(),(1)}ef x f f =，依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<.若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1ef x f =<，不满足条件；综上，2a >. ……………………………………9分（III ）(0,)x ∈+∞,2()(1)ln (1)1g x ax a x x a x =-+++-.所以'()2(1)ln g x ax a x =-+.设()2(1)ln m x ax a x =-+，12(1)()2a ax a m x a x x+-+'=-=. 令()0m x '= 得 12a x a +=.当102a x a+<<时，()0m x '<；当12a x a +>时，()0m x '>.所以()g x '在1(0,)2a a +上单调递减，在1(,)2a a++∞上单调递增.所以()g x '的最小值为11()(1)(1ln )22a a g a a a ++'=+-.因为1e a >，所以1111ee 22222a a a +=+<+<.所以()g x '的最小值11()(1)(1ln )022a a g a a a++'=+->. 从而，g()x 在区间(0,)+∞上单调递增.又5210352111g()(62ln )1e e e a a a a a+=++-，设3()e (2ln 6)h a a a =-+.则32()e h a a '=-.令()0h a '=得32e a =.由()0h a '<，得320ea <<；由()0h a '>，得32e a >.所以()h a 在320e （，）上单调递减，在32+e ∞（，）上单调递增. 所以min 32()()22ln 20eh a h ==->.所以()0h a >恒成立.所以3e 2ln 6a a >+，32ln 61e a a+<.所以527272272111111111g()1=110e e e e e e e e ea a a a +<+-++-<++-<.又(1)20g a =>，所以当1ea >时，函数()g x 恰有1个零点. …………14分。

北京市朝阳区达标名校2018年高考二月仿真备考数学试题含解析

北京市朝阳区达标名校2018年高考二月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 2．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．()112n n + B ．()1312n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+3．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（）A ．2 B ．21- C ．2D ．14．已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4k k Z παπ=+∈的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=6．已知函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点,0π⎛⎫⎪对称C ．函数()f x 在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到7．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<8．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（） A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(3,1)--D ．(1,3)--9．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n10． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（） A ．56383B ．57171C ．59189D ．6124211．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．下列函数中，值域为R 的偶函数是（） A ．21y x =+B ．x x y e e -=-C ．lg y x =D ．2y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。