复变函数§3_泰勒级数概要

合集下载

复变函数泰勒级数展开

泰勒级数展开在概率论与数理统计中也有应用，例如在中心极限定理的证明中就使用了泰勒级数展开的方法。05结论泰勒级数展开的重要性和影响
理论意义
泰勒级数展开是复分析中的重要工具，它为研究函数的性质提供了理论基础，有助于深入理解函数的性质和行为。
应用价值
泰勒级数展开在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用，例如在信号处理、控制系统、量子力学等领域，泰勒级数展开都发挥了关键作用。
指数函数e^z的泰勒级数展开
总结词
指数函数e^z在复平面上的泰勒级数展开式为无限和的形式，可以表示为幂级数的和。
VS
详细描述
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... + z^n/n! + ...，其中z为复数，n!表示n的阶乘。这个级数是无限和的形式，可以用于近似计算e^z的值。
对数学发展的推动
泰勒级数展开的发现和证明对数学的发展产生了深远的影响，它不仅推动了复分析的兴起和发展，还为数学的其他分支提供了新的思路和方法。
对未来研究的展望
深入研究泰勒级数展开的性质和特性
尽管泰勒级数展开已经得到了广泛的研究和应用，但关于其性质和特性的研究仍有许多值得深入探讨的问题，例如高阶泰勒级数展开、非标准泰勒级数展开等。
值，并帮助理解函数的性质和行为。
04
泰勒级数展开的应用
在微积分中的应用
函数逼近
泰勒级数展开可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数表示为简单的多项式之和，可以更好地理解和分析函数的性质。
无穷级数求和
泰勒级数展开可以用来求无穷级数的和，这对于解决一些数学问题非常有用，例如求定积分等。
数值分析

复变函数：泰勒级数

z z0 z z0 令 q， z z0 r
q与积分变量z无关, 且0q<1.
K
z z z0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
泰勒级数
设函数f ( z )在区域D内解析，而 z z0 r为D内以z0为中心的任何一个圆周，记作K，圆周及它的内部全含于D，又设z为K内任一点。
z
z
z0
K
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
.
z
因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+. 同样, 可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
z3 z5 sin z z 3! 5! z2 z4 cos z 1 2! 4!
z 2 n 1 (1) (2n 1)!
n 2n z (1) n (2n)!
z z
除直接法外, 也可以借助这些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据得出函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:
N 1
由解析函数高阶导数公式,上式可写成

复变函数§3 泰勒级数

2
n
当z沿实轴从单位圆内部趋近于1时：f (z)
即z 1是一个奇点。

推论4：设函数
f
(
z)在z
解析，且有
0
Taylor展开式：f (
z
)

Cn
(
z
-
z0
)n
,
n0
a是f (z)的距z0最近的一个奇点，则R a - z0 为其收敛半径。
例如：f
(z)

z2
1 z
-6

f (z) cn (z - z0 )n 成立, 其中 n0
cn

1 n!
f
(n) (z0 ), n

0,1, 2,
.
注：如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点
a 的距离, 即R=|a-z0|.
y
n1
因此, 只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
例如级数

n1
an zn

n0
zn bn
(a与b为复常数)
R2 z0 R1

中的负幂项级数
an
zn
n1

n1

a z
n
,当
a z
1,

即| z || a | 时收敛,而正幂项级数
,
0 1
0
0
即 ln(1 z) z - z2 z3 - (-1)n zn1 | z | 1.ຫໍສະໝຸດ 23n 1推论1：

复变函数泰勒级数展开

同样的方法，可求得 cos z 在 z 0 0 邻域上的泰勒级数
z2 z4 z6 cosz1 L
2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数就收敛。
例3.3.3 在 z 0 1 的邻域把 f (z)lnz 展开。
C
f
(
( )d
z0 )n1
(
z

z0
)n
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
其中

f (z) an (z z0 )n n0
(3.3.3)
i an

1 2πi
f ( )d C ( z0 )n1

f (n) (z0 ) n!
(0,1, 2,L )
(3.3.4)
i
C
f

( )d
z
(3.3.2)
其中z在C的内部,，而在C上取值, C取逆时针正方向. 故
z z0 z0
从而 z z 0 1 z0
因为 1 z(z0)1 (zz0) 1z01z1 zz0 0
根据
1

zn,
f ''(z)1!
f (3) (z) 2! z3
……
f (3) (z) 2!
于是可写成 z 0 1 在邻域上的泰勒级数
lnzln11(z1)1!(z1)22!(z1)3
1!
2!
3!
n2i(z1)(z1)2 (z1)3 (z1)4 L
2
3
4
可以求得上式的收敛半径为1。因此
f(k)(z0)f(k)(0)1

复变函数4.3泰勒定理概要

1 2 4 6 1 x x x 2 1 x
4.3.3、将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法.
1.直接法:
由泰勒展开定理计算系数
1 ( n) c n f ( z 0 ) , n 0 , 1 , 2 , n!
将函数 f ( z ) 在 z0 展开成幂级数.

我们设法将被积式:
f ( ) z
图4.1
表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此改写：
f ( ) f ( ) f ( ) 1 z a ( z a) a 1 z a a
(4.11)
由时
za | za| 1, a
7) (1 z ) 1 z

( 1)
2! n!
z
2
( 1)( 2)
3! z n ,
z3
( 1)( n 1)
( z 1)
4.3.4 典型例题
1 例3 把函数 2 展开成 z 的幂级数. (1 z )
解
1 由于在 z 1 上有一奇点z 1, 2 (1 z )
n 0
由定理4.13(3)即知 c'n 故展式是唯一的.
f
(n)
(a) cn (n=0,1,2,…), n!
1 f ( ) f (a ) cn d (4.9 ) n 1 2 i ( a ) n! 定义4.8 (4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式, (4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.
注 (1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.

复变函数第四章级数

n0
an 1 an
z n的收敛半径 :
an R lim 1 an
n
a n1
1 an1
lim
n
a(1
a
n
)
1 a
1.
1 an1
22
4、幂级数的运算和性质
定理三 (1) 幂级数
f (z) cn (z a)n
(4.3)
n0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.
f z cn z z0 n ,
D
n0
成立，其中cn
1 n!
f
nz0 , n
0,1, 2，,
d
• z0
并且展开式唯一. （证略）
31
注
⑴
f z cn z z0 n
n0
n0
f
n z0
n!
z
z0
n
=
f
z0 +
f z0 z - z0 +
f
z0
2!
z
-
z0
2
+
n
z a 收敛
z1 a
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
推论：若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.
z1 z2
a
2.收敛圆与收敛半径
z1
y
z.2
.
R
o
收敛圆收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
常用的展开式：
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!

复变函数的幂级数展开

数学物理方法

双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为为级数的前n项部分和.
f
k 1

k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开

补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。

复变函数泰勒展式

n0
3z 2
n
n0
3n zn 2n1
,
z 2 3
三、零点
哈定义设函数在z0点的某邻域内解析，
尔滨
且f (z0 ) 0,那么称z0为f (z)的零点.
工
程大
若f (z)在 | z z0 | 内的泰勒展开式为
学
复
f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 L ,
第四章级数
哈
尔滨
§4.2 泰勒级数
工
程
大学
学习要点
复
变
函
掌握函数的泰勒展式
数
一、泰勒定理
哈尔
定理1 设 f (z)在圆域D :| z z0 | R内解析，那
滨工
么f (z)在D内可以唯一地展开成幂级数，
程
大学
f (z) cn (z z0 )n
n1
复变函数
其中cn
f (n) (z0 ) n!
)n
复
变函
结论1
如果f (z)有奇点,则使f (z)在z0的泰勒
数
展开式成立的圆域的半径R等于从z0
到距z0最近的f (z)的奇点之间的距离，
即R z0 .
哈
如
f
(z)
z(
1 z
1)
在z0
1处解析，则f
( z )的在
尔
滨工
z0 1处泰勒展开式的收敛半径为R 1 0 1.
程
大
学结论2
复
变函
f (z)在z0解析 f (z)在z0的某邻域内
数
可以展开成幂级数 cn (z z0 )n .

复变函数泰勒级数讲解

f (z) 在 D ( K ? D)内解析, 则在K上连续,
因此 f (? ) 在 K 上也连续 , f (? ) 在 K 上有界 ,
6
即存在一个正常数 M, 在 K上 f (? ) ? M .
?? RN (z)
?
1 2π
K
?
n? N (?
f ?
(?
z0
) )n
?
1
(
z
?
z0 )n ds
? ? ? 1
z0 )n
泰勒级数
f (z) 在 z0的泰勒展开式 , 圆周 K 的半径可以任意增大 ,只要 K 在 D内成立.
8
如果 z0 到 D 的边界上各点的最短距离为 d , 那末 f (z) 在 z0 的泰勒展开式在 z ? z0 ? d内成立．
但 f (z) 在 z0 的泰勒级数的收敛半径 R 至少等于 d ，
2! 4!
( 2n )!
(R ? ? )
16
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质 , 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式 . 间接法的优点 :
因为凡满足 z ? z0 ? d 的 z 必能使
? f
(z) ?
? n?0
f
(n ) ( z0 ) (z ? n!
z0 )n
成立，即 R
?
d.
由上讨论得重要定理 ——泰勒展开定理
9
二、泰勒定理
定理设 f (z) 在区域 D 内解析, z0 为 D 内的一
点, d 为 z0到 D 的边界上各点的最短距离 , 那末
?
? 当 z ? z0 ? d 时, f (z ) ? cn ( z ? z0 )n 成立,

复变函数泰勒级数课件

03
复变函数中的泰勒
级数展开
幂函数展开
幂函数展开
对于形如 (z^n) 的幂函数，泰勒级数展开为 (z^n = sum_{k=0}^{infty} frac{n!}{(n-k)!} cdot frac{1}{k!} cdot z^k)
举例
(z^2 = z cdot z = z + frac{1}{2}z^2 + frac{1}{24}z^4 + ldots)
在数值分析中的应用
函数的近似计算
对于一些难以解析的函数，可以利用泰勒级数进行近似计算，得到其数值解。
数值积分与微分
通过泰勒级数，可以对函数进行数值积分或者微分，从而得到函数的定积分或者导数。
求解微分方程
利用泰勒级数，可以将微分方程转化为代数方程组，从而方便求解。
05
复变函数泰勒级数
的进一步研究
04
泰勒级数的应用
在信号处理中的应用
信号的近似表示
泰勒级数可以将复杂的信号表示为简单的多项式之和，从而方便分析信号的特性。
信号的滤波
通过泰勒级数，可以设计出特定的滤波器，用于提取信号中的特定频率成分或者抑制噪声。
信号的合成与调制
泰勒级数的展开可以用于生成新的信号，或者对现有信号进行调制，实现信号的频谱搬移。
复变函数泰勒级数课件
目录
CONTENTS
• 复数与复变函数础 • 泰勒级数展开 • 复变函数中的泰勒级数展开 • 泰勒级数的应用 • 复变函数泰勒级数的进一步研究
01
复数与复变函数基础
复数的概念与性质
复数的定义
复数是实数和虚数的和，形式为 $z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数， $i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。

复变函数中的Taylor 级数

将函数
f
(
z
)
(
z
1 2)( z
3)2
在 0 z 2 1 中展开成 Laurent 级数。
解
f
(z)
z
1 2
(z
1 3)2
1 1 z 3 (z 2) 1
1 1 (z 2)
(z 2)n ( z 2 1)
n0
1 (z 3)2
z
1
3
n0
(
z
2)n
n(z 2)n1 ( z 2 1)
的解析函数 f ( ) 。
1
R
则
R 即是 z
cn (z z0 )n
n0
z0
在
z
1
R
z0
1 R
z0 内绝对
收敛，且和函数是
z 的解析函数
f 1 z z0
Laurent 级数：
cn (z z0 )n cn (z z0 )n
n
n0 (1)
cn (z z0 )n
n1 (2)
n0 n!
n0 n!
ez 1 z z2 zn
2!
n!
( z )
例 3.7 cosz eiz eiz 2
1 2
n0
(iz)n n!
n0
(iz)n n!
ห้องสมุดไป่ตู้
iz2n i2n z2n (1)n z2n
iz 2n1 (iz)2n1
cos z (1)n z2n
n0 (2n)!
其中
cn
1
2
i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
C
例3.17 把函数

西安交大复变函数课件4-3泰勒级数

泰勒级数的收敛性
收敛定理
泰勒级数在收敛的范围内可以逼近原函数。
收敛半径
收敛半径是泰勒级数收敛的最大范围。
收敛区域
收敛区域是泰勒级数收敛的范围。
泰勒级数的应用
1
逼近函数
泰勒级数可用于将一个函数在一定范围
求解极值与最大值
2
内逼近成一个无限多项式。
泰勒级数可以为函数的求导提供方便，
以便更好地求解其极值和最大值。
西安交大复变函数课件43泰勒级数
欢迎大家来到西安交大复变函数课件4-3泰勒级数的讲座。本次讲座，将向您详细介绍什么是泰勒级数，它的定义与应用，以及它在数学上的重要性。
泰勒级数的定义
定义
泰勒级数是将一个函数在某一点展开成为无穷级数的形式。
泰勒公式
泰勒级数的公式是函数在该点的n阶导数与函数值的组合。
sin(x)的泰勒级数是x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...。
计算ln(1+x)的泰勒级数
ln(1+x)的泰勒级数是x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...。
总结与展望
泰勒级数在数学上的重要性
泰勒级数为研究数学函数提供了重要而有益的工具。
泰勒级数的未来发展方向
泰勒级数的未来发展方向包括研究更广泛的级数及其应用。
3
计积分
泰勒级数可以在一些情况下，使得原本无法简单计算的积分变得容易。
泰勒级数的误差估计
残余项
在无穷级数中，残余项表示距离级数中的前n项的距离，可以用于控制无穷级数的精度。
泰勒展开的误差限制
误差限制是指泰勒级数的误差有一定界限，因而误差可以在一定范围内得到控制。

复变函数(4.3.1)--泰勒极数

dz
� �( z �

z0
)n
￥
ﾥ n0
f
( n) ( z0 n!
)(z

z0
)n
.
定理 4.10 给出了函数在 z0 点的邻域内展开成 Taylor 级数的公式 , 同时给出了展开式的收敛半
径 R=|z0-|, 其中是离 z 最近的 f (z) 的奇点 .
Taylor 展开式的惟一性定理
e , ( 1)ln(1+ z)
f ﾢﾢ(z) ( 1)e( 2)ln(1+z) ,
L LL
f (n) (z) ( 1)L( n + 1)e( n)ln(1+z) ,
L LL 令 z=0, 有
f (0) 1, f ﾢ(0) , f ﾢﾢ(0) ( 1), L,
可展开为幂级
数

f (z) cn (z z0 )n , n0
其中
cn

1 n!
f
(n)(z0 )
D
z z在0 < R 内可
R
z0 .
( n 0, 1, 2,L) . 系数 cn 按上述表示的幂级数称为
f (z)在 z0 点的 Taylor 级数 .
证明使得 r < R,
对
z
+L
z <1 .
( ) 例 3.4 将 f (z)
1 1+ z2
2 展开为 z 的幂级数 .
根据例 3.3 ，
￥ ( ) 1
(1 + x )2

ﾥ
(1)n(n + 1)x n
n0
x <1 ,

复变函数§3_泰勒级数概要

例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.
[解] ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|<1展开为z的幂级数.
y
-1
O
x
1 因为 [ln(1 z )] (-1) n z n , 逐项积分得 1 z n 0 z 1 z z n n d z d ( 1) d , 0 1 0 0 n 1 z 2 z3 z 即 ln(1 z ) z - - (-1)n | z | 1. 2 3 n 1 推论1：
K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.
1 | RN ( z ) | 2π
K

f (z ) n ( z z ) ds 0 n 1 n N (z - z 0 )

n 1 | f (z ) | z - z0 ds 2π K n N | z - z0 | z - z0 1 M n Mq N q 2π r N 0 2π n N r 1- q f ( n ) ( z0 ) ( z - z0 ) n 因此, 下面的公式在K内成立: f ( z ) n! n 0
n
幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数
n -
c (z - z )
n 0

n
c- n ( z - z0 ) c-1 ( z - z0 )
-n
-1
c0 c1 ( z - z0 ) cn ( z - z0 ) n ,
在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛

chapter3复变函数的幂级数展开

n0

(1) 它的和函数 f (z) , 即 f (z) cn(z z0 )n
n0
是收敛圆 z a R 内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂

级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z z0 )n1.
n1
求导后所得的幂级数收敛半径不变.
1 2πi
K
f
(
( )d
z0 )n1
(z

z0
)n

n0
f
(n) ( z0 n!
)
(
z

z0
)n
推导中用到导数的柯西公式
f n z n!
2 i
f l z n1d , n 1, 2,
24
将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法.
28
例如，利用间接展开法求 sin z 在 z 0的泰勒展开式.
sin z 1 (eiz eiz ) 2i

1 2i
n0
(iz)n n!

(iz)n n0 n!

(1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
29
2)常见函数的泰勒展开式
1)定理设 f (z) 在圆环域 R1 z z0 R2 内处处解
析, 那么 f (z) 在 D 内可展开成洛朗级数

f (z) cn(z z0 )n,
数学物理方法
李晓红
西南科技大学理学院
2019/9/1
1
复变函数的幂级数展开
一、幂级数二、泰勒级数展开三、洛朗级数展开四、奇点

复变函数泰勒级数展开条件

复变函数泰勒级数展开条件
泰勒级数是将函数在某一点附近展开成幂级数的一种方法，它在求解复变函数的性质中有着重要的应用。

但是，不是所有的函数都能够通过泰勒级数展开来表示，下面我们就来探讨一下复变函数泰勒级数展开的条件。

设f(z)在z0的某个邻域内解析，则f(z)在z0处的泰勒级数为 $f(z)=sum_{n=0}^{infty}
frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$
其中$f^{(n)}(z_0)$为f(z)在z0处的n阶导数。

那么，f(z)能否通过泰勒级数展开来表示呢？
对于实变函数来说，泰勒级数展开的条件是函数在展开点处有无穷阶导数。

但对于复变函数来说，情况要更为复杂。

我们可以通过考虑柯西-黎曼方程来求解这个问题。

根据柯西-
黎曼方程，如果f(z)在某个区域内可解析，则它在该区域内满足以下条件：
$frac{partial u}{partial x}=frac{partial v}{partial y}$ $frac{partial u}{partial y}=-frac{partial v}{partial x}$ 其中，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。

根据这个条件，我们可以得到如下结论：
当f(z)在z0处可解析时，它在z0处的泰勒级数展开收敛于f(z)的充要条件是：
1. f(z)在z0的某个邻域内解析。

2. f(z)在z0处有无穷阶导数。

3. 泰勒级数在z0处收敛于f(z)。

4. f(z)在z0处的导数的幅值不超过某一常数。

这些条件是复杂函数泰勒级数展开的基本要求，只有同时满足这些条件，才能通过泰勒级数展开来表示复变函数。

泰勒级数定义及公式

泰勒级数定义及公式
泰勒级数是一种用无穷级数来近似表示函数的方法。

它由苏格兰数学家布鲁尔·泰勒于18世纪提出，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

泰勒级数的定义如下：对于任意可导的函数f(x)，在某个点a处，它的泰勒级数展开式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，f''(a)表示函数f(x)在点a 处的二阶导数，以此类推。

这个级数的每一项都包含了函数f(x)在点a处的导数信息。

泰勒级数的公式则是根据级数展开式得到的。

给定一个函数f(x)，假设它在某个点a处具有无穷阶导数，那么它的泰勒级数展开式可以写为：
f(x) = Σ f^n(a)(x-a)^n/n!
其中，Σ表示无穷级数求和，n表示项的序号，f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。

泰勒级数的应用非常广泛。

通过泰勒级数展开，我们可以将复杂的函数近似为简单的多项式，从而简化了问题的求解过程。

在数值计算、信号处理、物理建模等领域，泰勒级数都有着重要的应用。

泰勒级数是一种用无穷级数来近似表示函数的方法，通过级数展开式和公式，我们可以将复杂的函数转化为简单的多项式，从而方便地进行计算和分析。

它的广泛应用使得许多领域的问题得以简化和解决。

复变函数§3_泰勒级数概要

复变函数泰勒级数展开

复变函数：泰勒级数

复变函数§3 泰勒级数

复变函数泰勒级数展开

复变函数4.3泰勒定理概要

复变函数第四章级数

复变函数的幂级数展开

复变函数 泰勒展式

复变函数泰勒级数讲解

复变函数泰勒级数课件

复变函数中的Taylor 级数

西安交大复变函数课件4-3泰勒级数

复变函数(4.3.1)--泰勒极数

复变函数§3_泰勒级数概要

chapter3复变函数的幂级数展开

复变函数泰勒级数展开条件

泰勒级数定义及公式

复变函数泰勒展式