复变函数泰勒级数展开
复变函数 级数
+∞ ( zi ) n +∞ ( − zi ) n 1 = ∑ −∑ 2i n = 0 n! n! n=0
1 +∞ 2i 2 k −1 z 2 k −1 +∞ ( −1) k −1 z 2 k −1 = ∑ =∑ 2 i k =1 ( 2k − 1)!! k =1 ( 2k − 1)!! z z z ( − 1) z ∴ sin z = z − + − + L = ∑ 3! 5! 7! k = 1 ( 2 k − 1)! !
定理（泰勒展开定理） 定理（泰勒展开定理） 设 f ( z )在区域 D 内解析 , z 0 ∈ D , R 为 z 0 到 D 的边界
上各点的最短距离 f (z) =
∞
⇒ 当 z − z0 < R时 , (1 )
f ( z )在 z 0处 的 Taylor 级数
cn ( z − z0 )n ∑
n=0 (n)
( z − z0 )n + 2π i
f ( n ) ( z0 ) ( z − z0 ) n + L (4) = f ( z0 ) + f ' ( z0 ) + L + n! − −函数 f ( z )在 z 0处的 Talor 级数
为中心， 级数 ( 4 )的收敛范围是以 z 0为中心， r为半径 的圆域 ζ − z 0 < r ,圆 k的半径 r可以任意增大 , 只要圆 k及其内部包含在 D内即可 ,∴ f ( z )在 解析点 z 0处的 Taylor 级数收敛半径至少等于 从 z 0到 D的边界上各点的最短距 离.证毕 !
(不讲 两端乘以 f (ζ ) , 沿着 k逐项积分得 , 不讲) 不讲 2π i 1 f (ζ ) 1 f (ζ ) f (z) = ∫k ζ − z dζ = 2πi ∫k ζ − z0 dζ 2π i
复变函数泰勒级数和幂级数关系
复变函数泰勒级数和幂级数关系
复变函数泰勒级数和幂级数关系两者的思路想法是一致的，都是想用多项式函数来表示一个函数。
区别在于，泰勒展开是有限个幂函数之和再加一个拉格朗日余项，而幂级数是函数项级数，是无数个幂函数之和。
一个函数能否在某个区间展开成幂级数等价于，其泰勒展开的拉格朗日余项在这个区域内是否趋于零。
所以只要满足泰勒展开条件的函数都可以进行泰勒展开，并且保证两者是等价的。
但是由于不能保证其拉格朗日余项在n趋于无穷的时候一定趋于零，所以也就是说不能保证满足任意阶可导的函数一定能被幂级数表示。
这就是两者的联系和区别。
（这是我个人理解，可以去参考任意一本数学分析书上幂级数展开的证明过程）。
泰勒极数
2
i
f
(
(
) z0
)n1
(
z
z0
)n
f ( )
2 z0
n
z z0
z0
M
2
r
z z0 r
n
M qn,
2 r
其中,
q
z z0 r
1.
可知在C上是一致收敛
前面积分号下的级数可在C上逐项积分.
再根据 Cauchy导数公式
f (z)
1
2 i
c
定理f2.(6 n0 ( z0
2!
n!
并且收>>敛ta半yl径or(fR,z) %展. 开的默认值是6项
ans =
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式.
间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
负实轴>>向sy左m的s z射; 线的区域内解析.
>> f=log(1+z);
y
因为
>> taylor(f)
R1
lna(n1s=z) 1 ,
1 z
1 o 1
x
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5
1 1 z z2 (1)n zn
z 1 ,
1 z
所以
ln(1 z)
z 1 ,
1 z
逐项求导，得
1
(1 z)2
1 2z
3z2
(1)n(n 1)zn
z 1 .
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式【实验目的】1、熟悉Matlab运行环境，会在窗口操作和运行一些命令2、掌握求复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令3、熟练在计算机上操作复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令【实验仪器】一台电脑，要求安装matlab 软件【实验内容】MATLAB实现内容1、MATLAB求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式【实验步骤】1．打开matlab桌面和命令窗口，方式一，双击桌面快捷方式，方法二，程序里单击matlab图标，方式三，找到matlab文件夹，双击图标2．在matlab命令窗口输入命令3．运行，可以直接回车键，F5键【注意事项】1．命令的输入要细心认真，不能出错2．尤其是分号，逗号等符号的区别3. 注意数学上的运算和matlab中的不同，尤其是括号【实验操作内容】以下的例题都是在命令窗口输入源程序，然后运行，或回车就可以得到结果。
1、MATLAB 求复变函数极限用函数limit 求复变函数极限【Matlab 源程序】syms zf=;limit(f,z,z0) 返回极限结果例 1 求 在 的极限 解 【Matlab 源程序】syms zf=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(12、 MATLAB 求复变函数微分用函数diff 求复变函数极限【Matlab 源程序】zz z f sin )(=i z +=1,0f=（）;diff(f,z) 返回微分结果解 syms zf=exp(z)/((1+z)*(sin(z)));diff(f)ans =exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)3、 MATLAB 求复变函数积分用函数int 求解非闭合路径的积分.【Matlab 源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b) 返回积分结果解 syms zx1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：例 3 求积分 π60i i 0x1=ch3zdz; x2(1)d z z e z -=-⎰⎰例2 设()()z f z z e z f z'+=求,sin 1)(x2 = -i/exp(i)4、 MATLAB 求复变函数在孤立奇点的留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的 多项式用函数residue 求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数【Matlab 源程序】[R,P,K]= residue (B,A) 返回留数，极点说明：向量B 为f(z)的分子系数；向量A 为f(z)的分母系数；向量R 为留数；向量P 为极点位置；向量k 为直接项:例4 求函数 在奇点处的留数． 解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1])结果为：R= 2P = -1K = 1 -15、MATLAB 求复变函数的泰勒级数展开式（1）用函数taylor 求f(z)泰勒级数展开式【Matlab 源程序】112++z zf=Taylor(f,z0) 返回f(z)在点z0泰勒级数展开式例5 求函数f=1/(z-b)在点z=a泰勒级数展开式前4项syms z a b;f=1/(z-b);taylor(f,z,a,4)ans =1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2-1/(a-b)^4*(z-a)^3（2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数展开式.【Matlab源程序】syms x y; f=();F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,m) 返回在(0,0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=x0,y=y0]’,m) 返回在(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,m) 返回对单变量在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.例6 求函数222==-z f x y x x e---(,)(2)x y xy在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式．【Matlab源程序】syms x y;f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4)在(0,0)点处的泰勒级数展开式：ans =-2*x+x^2+2*x^3+2*y*x^2+2*y^2*xmaple(‘mtaylor’,f,‘[x=1,y=a]’,2)在(1,a)点处的泰勒级数展开式：ans =-exp(-1-a-a^2)-exp(-1-a-a^2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a^2)*(-2*a-1)*(y-a)maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,2) 在x=a处泰勒级数展开式：ans =(a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)+((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y))*(x-a)。
复变函数泰勒级数展开
理论意义
泰勒级数展开是复分析中的重要工具，它为研究函数的性 质提供了理论基础，有助于深入理解函数的性质和行为。
应用价值
泰勒级数展开在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 ，例如在信号处理、控制系统、量子力学等领域，泰勒级数展 开都发挥了关键作用。
指数函数e^z的泰勒级数展开
总结词
指数函数e^z在复平面上的泰勒级数展开 式为无限和的形式，可以表示为幂级数 的和。
VS
详细描述
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... + z^n/n! + ...，其中z为复数，n!表示n的阶 乘。这个级数是无限和的形式，可以用于 近似计算e^z的值。
对数学发展的推动
泰勒级数展开的发现和证明对数学的发展产生了深远的影响， 它不仅推动了复分析的兴起和发展，还为数学的其他分支提供 了新的思路和方法。
对未来研究的展望
深入研究泰勒级数展开的性质和特性
尽管泰勒级数展开已经得到了广泛的研究和应用，但关于其性质和特性的研究仍有许多值得深入探讨的问题，例如高 阶泰勒级数展开、非标准泰勒级数展开等。
值，并帮助理解函数的性质和行为。
04
泰勒级数展开的应用
在微积分中的应用
函数逼近
泰勒级数展开可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函 数表示为简单的多项式之和，可以更好地理解和分析函数 的性质。
无穷级数求和
泰勒级数展开可以用来求无穷级数的和，这对于解决一些 数学问题非常有用，例如求定积分等。
数值分析
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
泰勒级数与洛朗级数是两种常见的复变量函数级数求解方法，它们在日常生活
中有着广泛的应用。
两者之间有着着明显的区别和联系。
首先，从理论上来说，泰勒级数和洛朗级数之间有着显著的区别。
泰勒级数是
基于泰勒展开，可以采用数学递推的方式推出各系数，可以比较准确求出复变量函数的近似值；而洛朗级数则是基于洛朗展开，它以hessenberg行列式的方式利用
级数法进行估算导数，求出复变量函数的近似值。
其次，从实践应用上来说，两者之间也有着一定的联系。
尽管泰勒级数和洛朗
级数有着不同的理论基础，它们都在日常的数学中可以得到实际的应用。
例如，当求解相对较为简单的复变量函数时，通常可以采用泰勒级数，以较快的速度准确求解此函数；当复变量函数本身比较复杂时，可以采用洛朗级数，以较慢的速度求解，但是更精确。
总之，泰勒级数和洛朗级数都在日常的数学应用中占据了重要的地位，它们既
有着明显的区别，又有着紧密的联系，是复变量函数求解的重要方法。
大学物理2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
2. 将有理式分解为部分分式，再按 3. 利用两个绝对收敛级数的乘积。 4. 利用逐项求导或逐项积分。
展开。
例子：将
以 z = 0 中心展开成幂级数。
分析：展开中心 z = 0 不是 f (z) 的奇点，奇点为 –1、2。
解：
的三个解析区域 |z| < 1, 1< |z| <2, 2 < |z| <∞
2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
泰勒级数：在一个圆域内展开 收敛半径 R：若 R = 0，函数只在该点解析；若 R 为有限值， 函数在某一圆内解析； 若 R = ，函数在全平面解析。 例如：f (z) = 1/(1– z) 只能在 |z| < 1 展开成泰勒级数，因为
z = 1 是函数的奇点，不能在全平面把它展开成泰勒 级数，但是在 |z| > 1 区域，它又是解析的，那么能 否在 |z| > 1 的区域把 f (z) 展开成级数呢？
Jm (t)
l0
(1)l m
l !(l
1
( t )m2l m)! 2
(1)m Jm (t) (m 0,1, 2, )
Jn (t) 称为 n 阶贝塞尔函数 (参看§9-1)。
例：以 z = 0 为中心在 1 < |z| < 展开 解：
展开中心为 z = 0，故只需展开
[分子已为 z =(z–0)1 ]
有
第二个积分中： | b| < |z b|
令 –(n+1) = k，则 n = 0 时：k = –1；n = 时： k = – 上式变为：
其中：
说明：
(1) 洛朗级数中 ak 积分表达式与泰勒系数形式相同，但洛朗 系数无微分形式。因为：高阶导数公式要求 f (z) 解析才 成立。但在此 f (z) 仅在 R2 < | z – b | < R1 区域内解析；
复变函数4-2Taylor级数
f
( n) ( z0
)
,
n 0,1,2,
例如，求 ez 在 z 0的泰勒展开式.
因为(ez )(n) ez ,
(ez )(n) z0 1, (n 0,1, 2,)
故有 ez 1 z z2 zn zn
2!
n!
n0 n!
因为ez 在复平面内处处解析,
[ln(1 z)] 1 1 z z2 1 z
(1)n zn
(1)n zn
( z 1)
n0
设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得
z 1 dz z (1)n zndz
01 z
2! 4!
(2n)!
(R )
2. 间接展开法 :
借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分
等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的Taylor
展开式.
间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
1 z
n0
z3 z5 4) sin z z
(1)n
z 2n1
( z 1)
3! 5!
(2n 1)!
= (1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
( z )
z2 z4 5) cos z 1
(1)n z2n
2! 4!
(2n)!
0 n0
即 ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 z 1
复变函数泰勒级数展开条件
复变函数泰勒级数展开条件
泰勒级数是将函数在某一点附近展开成幂级数的一种方法，它在求解复变函数的性质中有着重要的应用。
但是，不是所有的函数都能够通过泰勒级数展开来表示，下面我们就来探讨一下复变函数泰勒级数展开的条件。
设f(z)在z0的某个邻域内解析，则f(z)在z0处的泰勒级数为 $f(z)=sum_{n=0}^{infty}
frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$
其中$f^{(n)}(z_0)$为f(z)在z0处的n阶导数。
那么，f(z)能否通过泰勒级数展开来表示呢？
对于实变函数来说，泰勒级数展开的条件是函数在展开点处有无穷阶导数。
但对于复变函数来说，情况要更为复杂。
我们可以通过考虑柯西-黎曼方程来求解这个问题。
根据柯西-
黎曼方程，如果f(z)在某个区域内可解析，则它在该区域内满足以下条件：
$frac{partial u}{partial x}=frac{partial v}{partial y}$ $frac{partial u}{partial y}=-frac{partial v}{partial x}$ 其中，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
根据这个条件，我们可以得到如下结论：
当f(z)在z0处可解析时，它在z0处的泰勒级数展开收敛于f(z)的充要条件是：
1. f(z)在z0的某个邻域内解析。
2. f(z)在z0处有无穷阶导数。
3. 泰勒级数在z0处收敛于f(z)。
4. f(z)在z0处的导数的幅值不超过某一常数。
这些条件是复杂函数泰勒级数展开的基本要求，只有同时满足这些条件，才能通过泰勒级数展开来表示复变函数。
复变函数 泰勒展式
n0
3z 2
n
n0
3n zn 2n1
,
z 2 3
三、 零点
哈 定义 设函数在z0点的某邻域内解析，
尔 滨
且f (z0 ) 0,那么称z0为f (z)的零点.
工
程 大
若f (z)在 | z z0 | 内的泰勒展开式为
学
复
f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 L ,
第四章 级 数
哈
尔 滨
§4.2 泰勒级数
工
程
大 学
学习要点
复
变
函
掌握函数的泰勒展式
数
一、泰勒定理
哈 尔
定理1 设 f (z)在圆域D :| z z0 | R内解析，那
滨 工
么f (z)在D内可以唯一地展开成幂级数，
程
大 学
f (z) cn (z z0 )n
n1
复 变 函 数
其中cn
f (n) (z0 ) n!
)n
复
变 函
结论1
如果f (z)有奇点,则使f (z)在z0的泰勒
数
展开式成立的圆域的半径R等于从z0
到距z0最近的f (z)的奇点之间的距离，
即R z0 .
哈
如
f
(z)
z(
1 z
1)
在z0
1处解析，则f
( z )的在
尔
滨 工
z0 1处泰勒展开式的收敛半径为R 1 0 1.
程
大
学 结论2
复
变 函
f (z)在z0解析 f (z)在z0的某邻域内
数
可以展开成幂级数 cn (z z0 )n .
复变函数第四章(2)泰勒级数
y
1
O
x
[ln( 1 z )]'
1 1 z
z
( 1) z
n
n
n0
逐项积分得
z n n 0
z
1 1
0
d z d (1) d ,
0
即 ln(1 z ) z
z
2
2
z
3
3
(1)
n
z
n 1
的泰勒展开式在复平面上处处解析因为二间接展开法借助一些已知函数的展开式利用幂级数的运算加法乘法积分求导等运算和分析性质以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式iziziziz内解析函数在方法二待定系数法假设所求的泰勒展开式那么由于函数有一奇点z1而在z1内处处解析对于多值函数要先求出单值分支主值再计算相应的泰勒展开式
此时,罗朗级数退化为泰勒级数。
c n 2 i ( z
c
柯西基本定理
n 1
1
f ( )
0
cn
2 i ( z
c
1
) f ( )
0
d n1
n1
2 i
C
1
f ( )( z 0 )
(n)
d 0 , ( n 1, 2 , )
[解] 由于函数有一奇点z1, 而在|z|<1内处处解析, 所 以可在|z|<1内展开成z的幂级数.
1 1 z
1 (1 z )
2
1 z z ( 1) z ,
2 n n
| z | 1.
将上式两边求导得
1 2 z 3 z (1)
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中的一门重要学科，它涉及复数域上的函数理论及其应用。
复变函数的研究有助于解决许多实际问题，例如电磁学、流体力学和量子力学等领域中的问题。
本文将总结一些复变函数的基本知识点。
一、复数与复平面复数由实部和虚部组成，形如a + bi，其中a和b均为实数，i为虚数单位。
复数可以用复平面上的点表示，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
复数的加法和乘法遵循相应的规则，即复数加法满足交换律和结合律，复数乘法满足交换律和分配律。
二、复变函数的定义复变函数可以看作是从复数集合到复数集合的映射。
若f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy为自变量，u(x, y)和v(x, y)为实函数，则f(z)为复变函数。
其中，u(x, y)称为f(z)的实部，v(x, y)称为f(z)的虚部。
三、解析函数解析函数是复变函数中的重要概念。
如果一个复变函数在某个域内处处可微，并且导数连续，那么它被称为解析函数。
根据小柯西—黎曼方程，解析函数必须满足一定的条件，如实部和虚部的一阶偏导数必须满足哈密顿方程。
四、柯西—黎曼条件柯西—黎曼条件是复变函数解析性的重要判据。
设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，若f(z)在某个域内可导，则必须满足柯西—黎曼条件：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x五、共轭函数复变函数的共轭函数是指将函数的虚部取负得到的新函数。
共轭函数在许多问题的求解中起到重要的作用，例如求解共轭系数和计算实部虚部等。
六、积分与留数定理在复变函数中，积分的概念与实变函数存在差异。
复变函数的积分可以沿任意路径进行，且路径不同，积分结果可能不同。
留数定理是复变函数积分的重要定理之一，它将函数的留数与曲线上的积分联系在一起。
通过计算留数，我们可以简化复杂的积分运算。
七、级数展开在复变函数中，级数展开是一种常见的分析工具。
泰勒级数是最常用的级数展开形式，它可以将函数在某点展开为幂级数。
复变函数4.3-4.4复变函数的泰勒展开及罗朗展开
( n 0,1, 2,
).
注： 这个结果为把函数展开成泰勒级数的间接
4.3.2
将函数展开成泰勒级数
将函数展开为泰勒级数的方法: 1. 直接方法; 1. 直接方法 由Taylor展开定理直接计算级数的系数
1 (n) an f ( z0 ) n!
2. 间接方法.
n 0,1,2, ,
2 n 1 z ( 1)n , (2n 1)! ( z )
( z 1)
z2 z4 (5) cos z 1 2! 4!
2n z ( 1)n (2n)!
,
( z )
n 1 z2 z3 z (6) ln(1 z ) z ( 1)n , 2 3 n1 n 1 z ( 1)n ( z 1) n1 n0
对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛
圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析
函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数 —亦即泰勒级数. 这是解析函数的重要特征.
定理4.9 (Taylor展开定理) 设 f ( z )在区域D
内解析, z0 为D内的一点, R为 z0 到D边界的距离 (D是全平面时, R=+), 则 f ( z ) 在 z z0 R 内可 展开为幂级数
f (z) dz ( n 0, 1, 2, ), n 1 ( z z0 )
曲线C是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线.
注:函数在圆环域内罗朗展开式是唯一的, 因此为
函数展开成罗朗级数的间接方法奠定了基础.
将函数在圆环域内展开成罗朗级数, 理论
上应该有两种方法: 直接方法与间接方法.
n 1 z 1 ( z 1) n f ( z ) 1 ( 1)n 1 ( 1) . n 1 2 n 0 2 2 n 0 n
复变函数§4.3 泰勒级数
C n ( z - i) , 则 其 收 敛 半 径 R
n0
在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中
就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式
1 1 x
2
1 - x x - (-1) x
2 4 n
2n
的成立必须受|x|<1的限制, 这一点往往使人难以理解, 因 为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.
n 1
-n
c-1 ( z - z0 )
-1
c- n ( z - z0 )
-n
(负幂项部分)
只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的
和. 正幂项是一幂级数, 设其收敛半径为 R2：z 对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到：
z0 R2 .
c- n ( z - z0 )
n 1
-n
c- nz
n 1
n
c-1z c-2z ,
2
这是z 的幂级数, 设收敛半径为R：
则当|z-z0|>R1时, 即| z |<R, c- nz n
n 1
R z - z0
-n
1
c- n ( z - z0 )
n 1
R 收敛。
R1
e 1 z
z
z
2
z
n
.
z
2!
n!
因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成 立, 收敛半径为+.
同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:
sin z z z
复变函数泰勒级数课件
03
复变函数中的泰勒
级数展开
幂函数展开
幂函数展开
对于形如 (z^n) 的幂函数，泰勒级 数展开为 (z^n = sum_{k=0}^{infty} frac{n!}{(n-k)!} cdot frac{1}{k!} cdot z^k)
举例
(z^2 = z cdot z = z + frac{1}{2}z^2 + frac{1}{24}z^4 + ldots)
在数值分析中的应用
函数的近似计算
对于一些难以解析的函数，可以利用泰勒级数进 行近似计算，得到其数值解。
数值积分与微分
通过泰勒级数，可以对函数进行数值积分或者微 分，从而得到函数的定积分或者导数。
求解微分方程
利用泰勒级数，可以将微分方程转化为代数方程 组，从而方便求解。
05
复变函数泰勒级数
的进一步研究
04
泰勒级数的应用
在信号处理中的应用
信号的近似表示
泰勒级数可以将复杂的信 号表示为简单的多项式之 和，从而方便分析信号的 特性。
信号的滤波
通过泰勒级数，可以设计 出特定的滤波器，用于提 取信号中的特定频率成分 或者抑制噪声。
信号的合成与调制
泰勒级数的展开可以用于 生成新的信号，或者对现 有信号进行调制，实现信 号的频谱搬移。
复变函数泰勒级数课 件
目录
CONTENTS
• 复数与复变函数础 • 泰勒级数展开 • 复变函数中的泰勒级数展开 • 泰勒级数的应用 • 复变函数泰勒级数的进一步研究
01
复数与复变函数基 础
复数的概念与性 质
复数的定义
复数是实数和虚数的和，形式为 $z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数， $i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
函数论中的复变函数研究
函数论中的复变函数研究复变函数是函数论中的一个重要研究领域，它在数学和物理学等多个领域中具有广泛的应用。
本文将就复变函数的基本概念、性质以及其在函数论中的研究进行探讨。
一、复变函数的基本概念复变函数是定义在复数域上的函数。
复数域包括实数域，并且增加了一个虚数单位i，满足i^2=-1。
复变函数具有两个自变量，即复数z=x+yi，其中x和y分别表示实部和虚部。
二、复变函数的性质1. 解析性：复变函数的解析性是指其在定义域内处处可微分，并且导数在定义域内连续。
这一性质使得复变函数在数学和物理学中有广泛的应用。
2. 分析延拓：复变函数具有分析延拓的性质，即通过解析延拓可以将定义域扩展到更大的范围上。
这种性质为复变函数的研究提供了重要的工具和方法。
3. 解析函数的共轭函数：对于解析函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，满足f*(z)=[f(z)]*，即共轭函数的实部与原函数相同，虚部取相反数。
共轭函数的引入在复变函数的研究中起到重要作用。
4. 高斯平面和黎曼球：复变函数可以通过高斯平面或黎曼球进行几何上的描述。
高斯平面是一个二维实坐标系，其中的虚轴表示复数的虚部。
黎曼球是一个三维球体，它可以将复数的特性更加形象地展示出来。
5. 主值函数和分支函数：复变函数的多值性是其独特之处，通过主值函数和分支函数可以解决多值问题。
主值函数是指通过选定一个值域来给出唯一的函数解析，而分支函数则是在不同区域内选取不同的割线来定义不同的函数。
三、复变函数在函数论中的研究复变函数在函数论中有着重要的地位，其研究内容包括但不限于以下几个方面：1. 复变函数的级数展开：利用泰勒级数和洛朗级数等展开方法，可以将复变函数表示为无穷级数的形式，进而研究其性质和特点。
2. 解析函数的辐角原理：解析函数的辐角原理是研究复变函数和其辐角之间的关系，通过辐角原理可以研究函数的奇点、零点和极值等性质。
3. 全纯函数和调和函数：全纯函数是指在定义域内处处解析的函数，调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数。
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同样的方法，可求得 cos z 在 z 0 0 邻域上的泰勒级数
z2 z4 z6 cosz1 L
2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。
例3.3.3 在 z 0 1 的邻域把 f (z)lnz 展开。
C
f
(
( )d
z0 )n1
(
z
z0
)n
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
其中
f (z) an (z z0 )n n0
(3.3.3)
i an
1 2πi
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(0,1, 2,L )
(3.3.4)
i
C
f
( )d
z
(3.3.2)
其中z在C的内部,，而 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
z z0 z0
从而 z z 0 1 z0
因为 1 z(z0)1 (zz0) 1z01z1 zz0 0
根据
1
zn,
f ''(z)1!
f (3) (z) 2! z3
……
f (3) (z) 2!
于是可写成 z 0 1 在邻域上的泰勒级数
lnzln11(z1)1!(z1)22!(z1)3
1!
2!
3!
n2i(z1)(z1)2 (z1)3 (z1)4 L
2
3
4
可以求得上式的收敛半径为1。因此
f(k)(z0)f(k)(0)1
故 f (z) ez 在 z 0 0 领域上的泰勒级数写为
ez
z z2 1
z3
L
易求收敛半径无限大
1! 2! 3!
例3.3.2 在 z 0 0 的邻域把 f1(z)sinz 和 f2(z)cosz
展开。
解： 函数 f1(z)sinz 的前四阶导数分别为 f1'(z) cosz
3.3 泰勒级数展开
3.3 泰勒级数展开
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个 幂级数的和函数在它的收Байду номын сангаас圆的内部是一个解 析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就 是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.
3.3.1泰勒级数
泰勒(Taylor)展开定理 设 f (z) 在区域 D：| z z0 | R 内 解析，则在 D 内 f (z) 可展为泰勒级数
ln z n 2i (z 1 ) (z 1 )2 (z 1 )3 L (z 1 ) 23
上式n＝0的那一个单值分支叫作 l n z 的主值。
例3.3.3 在 z 0 0 的邻域把 f(z)(1z)m 展开（m不是
正整数）。
解：先计算展开系数
f(z)(1z)m
f (0) 1m
这样便得到了 f (z) 在圆| z z0 | R 内的幂级数展
开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
假设 f (z) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f (z) bn (z z0 )n n0
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
1!
2!
m(m1)(m2)1mz3 L 3!
易求其收敛半径为1，故
( 1 z ) m 1 m { 1 m z m ( m 1 ) z 2 m ( m 1 ) ( m 2 ) z 3 L } , ( z 1 )
f'(z)m(1z)m1
f '(0) m1m
f''(z)m (m 1 )(1z)m 2
f''(0)m(m1)1m
f(3 )(z ) m (m 1 )(m 2 )( 1 z )m 3
……
f(3)(0 )m (m 1 )(m 2 )1 m
(1z)m 1mm1mzm(m1)1mz2
bn
f
n (z0 n!
)
an
,
(n 0,1, 2,L )
(3.3.6)
故展开式系数是唯一的。
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方
法，即求出 f (n) (z0 ) 代入即可，这种方法称
为直接展开法. 例3.3.1 在 z 0 0 的邻域上把 f (z) ez 展开。 解：函数 f (z) ez 的各阶导数 f (k)(z) ez 而
(| z|1)
1z n0
1
z
1 z0
1
z
z0 z0
z
z0 z0
2
n0
(z z0 )n
( z0 )n1
以此代入(3.3.2)，并把它写成
i f
(z)
n0
1
2
i
f (n) (0)zn 称为麦克劳林
n0 n!
级数。
【证明】 设函数 f (z) 在区域 D： z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为
中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
gz
z0
C
由柯西积分公式知
R
f
(z)
1 2πi
f1''(z)sinz f1(3)(z)cosz f1(4)(z)sinz
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
且在 z 0 0 有 f1' (0) 1 f1'' (0) 0
f (3)
1
(0)
1
f (4)
1
(0)
0
故有
sinzzz3z5z7L 1! 3! 5! 7!
解：多值函数 f (z)lnz 的支点在 z0,z
现在展开中心 z 0 1 并非支点，在它的邻域上，各个单
值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数
f (z)lnz f(1)ln1n2i
f '( z ) 1 z
f '(1) 1
1! f ''( z) z 2
f (z) an (z z0 )n , (| z z0 | R) (3.3.1) n0
i 其中
1
an 2i
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(n 0,1, 2,L ) ,
且展式是唯一的。
特别地，当 z0 0 时，级数