复变函数：泰勒级数
复变函数 级数
+∞ ( zi ) n +∞ ( − zi ) n 1 = ∑ −∑ 2i n = 0 n! n! n=0
1 +∞ 2i 2 k −1 z 2 k −1 +∞ ( −1) k −1 z 2 k −1 = ∑ =∑ 2 i k =1 ( 2k − 1)!! k =1 ( 2k − 1)!! z z z ( − 1) z ∴ sin z = z − + − + L = ∑ 3! 5! 7! k = 1 ( 2 k − 1)! !
定理（泰勒展开定理） 定理（泰勒展开定理） 设 f ( z )在区域 D 内解析 , z 0 ∈ D , R 为 z 0 到 D 的边界
上各点的最短距离 f (z) =
∞
⇒ 当 z − z0 < R时 , (1 )
f ( z )在 z 0处 的 Taylor 级数
cn ( z − z0 )n ∑
n=0 (n)
( z − z0 )n + 2π i
f ( n ) ( z0 ) ( z − z0 ) n + L (4) = f ( z0 ) + f ' ( z0 ) + L + n! − −函数 f ( z )在 z 0处的 Talor 级数
为中心， 级数 ( 4 )的收敛范围是以 z 0为中心， r为半径 的圆域 ζ − z 0 < r ,圆 k的半径 r可以任意增大 , 只要圆 k及其内部包含在 D内即可 ,∴ f ( z )在 解析点 z 0处的 Taylor 级数收敛半径至少等于 从 z 0到 D的边界上各点的最短距 离.证毕 !
(不讲 两端乘以 f (ζ ) , 沿着 k逐项积分得 , 不讲) 不讲 2π i 1 f (ζ ) 1 f (ζ ) f (z) = ∫k ζ − z dζ = 2πi ∫k ζ − z0 dζ 2π i
泰勒极数
2
i
f
(
(
) z0
)n1
(
z
z0
)n
f ( )
2 z0
n
z z0
z0
M
2
r
z z0 r
n
M qn,
2 r
其中,
q
z z0 r
1.
可知在C上是一致收敛
前面积分号下的级数可在C上逐项积分.
再根据 Cauchy导数公式
f (z)
1
2 i
c
定理f2.(6 n0 ( z0
2!
n!
并且收>>敛ta半yl径or(fR,z) %展. 开的默认值是6项
ans =
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式.
间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
负实轴>>向sy左m的s z射; 线的区域内解析.
>> f=log(1+z);
y
因为
>> taylor(f)
R1
lna(n1s=z) 1 ,
1 z
1 o 1
x
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5
1 1 z z2 (1)n zn
z 1 ,
1 z
所以
ln(1 z)
z 1 ,
1 z
逐项求导，得
1
(1 z)2
1 2z
3z2
(1)n(n 1)zn
z 1 .
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式【实验目的】1、熟悉Matlab运行环境，会在窗口操作和运行一些命令2、掌握求复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令3、熟练在计算机上操作复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令【实验仪器】一台电脑，要求安装matlab 软件【实验内容】MATLAB实现内容1、MATLAB求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式【实验步骤】1．打开matlab桌面和命令窗口，方式一，双击桌面快捷方式，方法二，程序里单击matlab图标，方式三，找到matlab文件夹，双击图标2．在matlab命令窗口输入命令3．运行，可以直接回车键，F5键【注意事项】1．命令的输入要细心认真，不能出错2．尤其是分号，逗号等符号的区别3. 注意数学上的运算和matlab中的不同，尤其是括号【实验操作内容】以下的例题都是在命令窗口输入源程序，然后运行，或回车就可以得到结果。
1、MATLAB 求复变函数极限用函数limit 求复变函数极限【Matlab 源程序】syms zf=;limit(f,z,z0) 返回极限结果例 1 求 在 的极限 解 【Matlab 源程序】syms zf=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(12、 MATLAB 求复变函数微分用函数diff 求复变函数极限【Matlab 源程序】zz z f sin )(=i z +=1,0f=（）;diff(f,z) 返回微分结果解 syms zf=exp(z)/((1+z)*(sin(z)));diff(f)ans =exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)3、 MATLAB 求复变函数积分用函数int 求解非闭合路径的积分.【Matlab 源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b) 返回积分结果解 syms zx1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：例 3 求积分 π60i i 0x1=ch3zdz; x2(1)d z z e z -=-⎰⎰例2 设()()z f z z e z f z'+=求,sin 1)(x2 = -i/exp(i)4、 MATLAB 求复变函数在孤立奇点的留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的 多项式用函数residue 求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数【Matlab 源程序】[R,P,K]= residue (B,A) 返回留数，极点说明：向量B 为f(z)的分子系数；向量A 为f(z)的分母系数；向量R 为留数；向量P 为极点位置；向量k 为直接项:例4 求函数 在奇点处的留数． 解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1])结果为：R= 2P = -1K = 1 -15、MATLAB 求复变函数的泰勒级数展开式（1）用函数taylor 求f(z)泰勒级数展开式【Matlab 源程序】112++z zf=Taylor(f,z0) 返回f(z)在点z0泰勒级数展开式例5 求函数f=1/(z-b)在点z=a泰勒级数展开式前4项syms z a b;f=1/(z-b);taylor(f,z,a,4)ans =1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2-1/(a-b)^4*(z-a)^3（2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数展开式.【Matlab源程序】syms x y; f=();F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,m) 返回在(0,0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=x0,y=y0]’,m) 返回在(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,m) 返回对单变量在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.例6 求函数222==-z f x y x x e---(,)(2)x y xy在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式．【Matlab源程序】syms x y;f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4)在(0,0)点处的泰勒级数展开式：ans =-2*x+x^2+2*x^3+2*y*x^2+2*y^2*xmaple(‘mtaylor’,f,‘[x=1,y=a]’,2)在(1,a)点处的泰勒级数展开式：ans =-exp(-1-a-a^2)-exp(-1-a-a^2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a^2)*(-2*a-1)*(y-a)maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,2) 在x=a处泰勒级数展开式：ans =(a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)+((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y))*(x-a)。
复变函数泰勒级数展开
理论意义
泰勒级数展开是复分析中的重要工具，它为研究函数的性 质提供了理论基础，有助于深入理解函数的性质和行为。
应用价值
泰勒级数展开在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 ，例如在信号处理、控制系统、量子力学等领域，泰勒级数展 开都发挥了关键作用。
指数函数e^z的泰勒级数展开
总结词
指数函数e^z在复平面上的泰勒级数展开 式为无限和的形式，可以表示为幂级数 的和。
VS
详细描述
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... + z^n/n! + ...，其中z为复数，n!表示n的阶 乘。这个级数是无限和的形式，可以用于 近似计算e^z的值。
对数学发展的推动
泰勒级数展开的发现和证明对数学的发展产生了深远的影响， 它不仅推动了复分析的兴起和发展，还为数学的其他分支提供 了新的思路和方法。
对未来研究的展望
深入研究泰勒级数展开的性质和特性
尽管泰勒级数展开已经得到了广泛的研究和应用，但关于其性质和特性的研究仍有许多值得深入探讨的问题，例如高 阶泰勒级数展开、非标准泰勒级数展开等。
值，并帮助理解函数的性质和行为。
04
泰勒级数展开的应用
在微积分中的应用
函数逼近
泰勒级数展开可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函 数表示为简单的多项式之和，可以更好地理解和分析函数 的性质。
无穷级数求和
泰勒级数展开可以用来求无穷级数的和，这对于解决一些 数学问题非常有用，例如求定积分等。
数值分析
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
大学物理2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
2. 将有理式分解为部分分式，再按 3. 利用两个绝对收敛级数的乘积。 4. 利用逐项求导或逐项积分。
展开。
例子：将
以 z = 0 中心展开成幂级数。
分析：展开中心 z = 0 不是 f (z) 的奇点，奇点为 –1、2。
解：
的三个解析区域 |z| < 1, 1< |z| <2, 2 < |z| <∞
2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
泰勒级数：在一个圆域内展开 收敛半径 R：若 R = 0，函数只在该点解析；若 R 为有限值， 函数在某一圆内解析； 若 R = ，函数在全平面解析。 例如：f (z) = 1/(1– z) 只能在 |z| < 1 展开成泰勒级数，因为
z = 1 是函数的奇点，不能在全平面把它展开成泰勒 级数，但是在 |z| > 1 区域，它又是解析的，那么能 否在 |z| > 1 的区域把 f (z) 展开成级数呢？
Jm (t)
l0
(1)l m
l !(l
1
( t )m2l m)! 2
(1)m Jm (t) (m 0,1, 2, )
Jn (t) 称为 n 阶贝塞尔函数 (参看§9-1)。
例：以 z = 0 为中心在 1 < |z| < 展开 解：
展开中心为 z = 0，故只需展开
[分子已为 z =(z–0)1 ]
有
第二个积分中： | b| < |z b|
令 –(n+1) = k，则 n = 0 时：k = –1；n = 时： k = – 上式变为：
其中：
说明：
(1) 洛朗级数中 ak 积分表达式与泰勒系数形式相同，但洛朗 系数无微分形式。因为：高阶导数公式要求 f (z) 解析才 成立。但在此 f (z) 仅在 R2 < | z – b | < R1 区域内解析；
复变函数§3 泰勒级数
2
n
当z沿实轴从单位圆内部趋 近于1时：f (z)
即z 1是一个奇点。
推论4：设函数
f
(
z)在z
解析，且有
0
Taylor展开式：f (
z
)
Cn
(
z
-
z0
)n
,
n0
a是f (z)的距z0最近的一个奇点， 则R a - z0 为其收敛半径。
例如：f
(z)
z2
1 z
-6
f (z) cn (z - z0 )n 成立, 其中 n0
cn
1 n!
f
(n) (z0 ), n
0,1, 2,
.
注： 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式 成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点
a 的距离, 即R=|a-z0|.
y
n1
因此, 只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
例如级数
n1
an zn
n0
zn bn
(a与b为复常数)
R2 z0 R1
中的负幂项级数
an
zn
n1
n1
a z
n
,当
a z
1,
即| z || a | 时收敛,而正幂项级数
,
0 1
0
0
即 ln(1 z) z - z2 z3 - (-1)n zn1 | z | 1.ຫໍສະໝຸດ 23n 1推论1：
复变函数4-2Taylor级数
f
( n) ( z0
)
,
n 0,1,2,
例如，求 ez 在 z 0的泰勒展开式.
因为(ez )(n) ez ,
(ez )(n) z0 1, (n 0,1, 2,)
故有 ez 1 z z2 zn zn
2!
n!
n0 n!
因为ez 在复平面内处处解析,
[ln(1 z)] 1 1 z z2 1 z
(1)n zn
(1)n zn
( z 1)
n0
设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得
z 1 dz z (1)n zndz
01 z
2! 4!
(2n)!
(R )
2. 间接展开法 :
借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分
等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的Taylor
展开式.
间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
1 z
n0
z3 z5 4) sin z z
(1)n
z 2n1
( z 1)
3! 5!
(2n 1)!
= (1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
( z )
z2 z4 5) cos z 1
(1)n z2n
2! 4!
(2n)!
0 n0
即 ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 z 1
复变函数复习资料
复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。
二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。
根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。
三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。
泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。
而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。
四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。
复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。
复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。
五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。
复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。
总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。
复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。
复变函数泰勒级数展开条件
复变函数泰勒级数展开条件
泰勒级数是将函数在某一点附近展开成幂级数的一种方法，它在求解复变函数的性质中有着重要的应用。
但是，不是所有的函数都能够通过泰勒级数展开来表示，下面我们就来探讨一下复变函数泰勒级数展开的条件。
设f(z)在z0的某个邻域内解析，则f(z)在z0处的泰勒级数为 $f(z)=sum_{n=0}^{infty}
frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$
其中$f^{(n)}(z_0)$为f(z)在z0处的n阶导数。
那么，f(z)能否通过泰勒级数展开来表示呢？
对于实变函数来说，泰勒级数展开的条件是函数在展开点处有无穷阶导数。
但对于复变函数来说，情况要更为复杂。
我们可以通过考虑柯西-黎曼方程来求解这个问题。
根据柯西-
黎曼方程，如果f(z)在某个区域内可解析，则它在该区域内满足以下条件：
$frac{partial u}{partial x}=frac{partial v}{partial y}$ $frac{partial u}{partial y}=-frac{partial v}{partial x}$ 其中，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
根据这个条件，我们可以得到如下结论：
当f(z)在z0处可解析时，它在z0处的泰勒级数展开收敛于f(z)的充要条件是：
1. f(z)在z0的某个邻域内解析。
2. f(z)在z0处有无穷阶导数。
3. 泰勒级数在z0处收敛于f(z)。
4. f(z)在z0处的导数的幅值不超过某一常数。
这些条件是复杂函数泰勒级数展开的基本要求，只有同时满足这些条件，才能通过泰勒级数展开来表示复变函数。
chapter3复变函数的幂级数展开
n0
(1) 它的和函数 f (z) , 即 f (z) cn(z z0 )n
n0
是收敛圆 z a R 内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z z0 )n1.
n1
求导后所得的幂级数收敛半径不变.
1 2πi
K
f
(
( )d
z0 )n1
(z
z0
)n
n0
f
(n) ( z0 n!
)
(
z
z0
)n
推导中用到导 数的柯西公式
f n z n!
2 i
f l z n1d , n 1, 2,
24
将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法.
28
例如， 利用间接展开法求 sin z 在 z 0的泰勒展开式.
sin z 1 (eiz eiz ) 2i
1 2i
n0
(iz)n n!
(iz)n n0 n!
(1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
29
2)常见函数的泰勒展开式
1)定理 设 f (z) 在圆环域 R1 z z0 R2 内处处解
析, 那么 f (z) 在 D 内可展开成洛朗级数
f (z) cn(z z0 )n,
数学物理方法
李晓红
西南科技大学理学院
2019/9/1
1
复变函数的幂级数展开
一、幂级数 二、泰勒级数展开 三、洛朗级数展开 四、奇点
复变函数 泰勒展式
n0
3z 2
n
n0
3n zn 2n1
,
z 2 3
三、 零点
哈 定义 设函数在z0点的某邻域内解析，
尔 滨
且f (z0 ) 0,那么称z0为f (z)的零点.
工
程 大
若f (z)在 | z z0 | 内的泰勒展开式为
学
复
f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 L ,
第四章 级 数
哈
尔 滨
§4.2 泰勒级数
工
程
大 学
学习要点
复
变
函
掌握函数的泰勒展式
数
一、泰勒定理
哈 尔
定理1 设 f (z)在圆域D :| z z0 | R内解析，那
滨 工
么f (z)在D内可以唯一地展开成幂级数，
程
大 学
f (z) cn (z z0 )n
n1
复 变 函 数
其中cn
f (n) (z0 ) n!
)n
复
变 函
结论1
如果f (z)有奇点,则使f (z)在z0的泰勒
数
展开式成立的圆域的半径R等于从z0
到距z0最近的f (z)的奇点之间的距离，
即R z0 .
哈
如
f
(z)
z(
1 z
1)
在z0
1处解析，则f
( z )的在
尔
滨 工
z0 1处泰勒展开式的收敛半径为R 1 0 1.
程
大
学 结论2
复
变 函
f (z)在z0解析 f (z)在z0的某邻域内
数
可以展开成幂级数 cn (z z0 )n .
工程数学《复变函数》(第四版)课件 4-4 西安交大
1 1 1 f z 3 z z 1 z 4
在1 z 4内 :
1 1 1, z 4
1 1 z 1 z 1 1 z
1 1 1 1 2 z z z
例3 把 f z z 3e 在 0 z 内展成洛朗级数。
2 3 n z z z z 解 e 1 z 2! 3! n!
1 z
1 1 1 z 1 1 3 2 f z z 3 1 z z 2 3 z 2! z 2! 3! 4! z 3! z 12
1 1 z z 4 dz z 1
解法2（柯西积分公式）
1 z 1z 4 dz dz z z 1z 4 z z 3 C1
C2
1 1 2i 2i z 1 z 4 z z 4 z 0 z 1
（2） 洛朗级数
（3）
1
其中 z 0 及 cn n 0,1,2, 为常数。
规定 当且仅当2、 3收敛， 1收敛.
设2收敛域为: z z0 R2 ;
即为前面讨论的级数；
n
对于（3），
c 1 z z 0 c n z z 0
n
称为 f z 在以 z 0为中心的圆环域 R1 z z0 R2内的洛朗展
开式。 右端级数（洛朗级数）中，正整数次幂部分称为洛朗级数的 解析部分；负整数次幂部分称为洛朗级数的主要部分。
⑵ 洛朗级数是泰勒级数的推广。
当 f z 在 z 0 不解析但在 z 0 的去心邻域内解析时可用洛朗级数 展开，展开式是唯一的，展开时尽量用间接展开法。
复变函数第四章(2)泰勒级数
y
1
O
x
[ln( 1 z )]'
1 1 z
z
( 1) z
n
n
n0
逐项积分得
z n n 0
z
1 1
0
d z d (1) d ,
0
即 ln(1 z ) z
z
2
2
z
3
3
(1)
n
z
n 1
的泰勒展开式在复平面上处处解析因为二间接展开法借助一些已知函数的展开式利用幂级数的运算加法乘法积分求导等运算和分析性质以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式iziziziz内解析函数在方法二待定系数法假设所求的泰勒展开式那么由于函数有一奇点z1而在z1内处处解析对于多值函数要先求出单值分支主值再计算相应的泰勒展开式
此时,罗朗级数退化为泰勒级数。
c n 2 i ( z
c
柯西基本定理
n 1
1
f ( )
0
cn
2 i ( z
c
1
) f ( )
0
d n1
n1
2 i
C
1
f ( )( z 0 )
(n)
d 0 , ( n 1, 2 , )
[解] 由于函数有一奇点z1, 而在|z|<1内处处解析, 所 以可在|z|<1内展开成z的幂级数.
1 1 z
1 (1 z )
2
1 z z ( 1) z ,
2 n n
| z | 1.
将上式两边求导得
1 2 z 3 z (1)
复变函数§4.3 泰勒级数
C n ( z - i) , 则 其 收 敛 半 径 R
n0
在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中
就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式
1 1 x
2
1 - x x - (-1) x
2 4 n
2n
的成立必须受|x|<1的限制, 这一点往往使人难以理解, 因 为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.
n 1
-n
c-1 ( z - z0 )
-1
c- n ( z - z0 )
-n
(负幂项部分)
只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的
和. 正幂项是一幂级数, 设其收敛半径为 R2：z 对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到：
z0 R2 .
c- n ( z - z0 )
n 1
-n
c- nz
n 1
n
c-1z c-2z ,
2
这是z 的幂级数, 设收敛半径为R：
则当|z-z0|>R1时, 即| z |<R, c- nz n
n 1
R z - z0
-n
1
c- n ( z - z0 )
n 1
R 收敛。
R1
e 1 z
z
z
2
z
n
.
z
2!
n!
因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成 立, 收敛半径为+.
同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:
sin z z z
复变函数泰勒级数课件
03
复变函数中的泰勒
级数展开
幂函数展开
幂函数展开
对于形如 (z^n) 的幂函数，泰勒级 数展开为 (z^n = sum_{k=0}^{infty} frac{n!}{(n-k)!} cdot frac{1}{k!} cdot z^k)
举例
(z^2 = z cdot z = z + frac{1}{2}z^2 + frac{1}{24}z^4 + ldots)
在数值分析中的应用
函数的近似计算
对于一些难以解析的函数，可以利用泰勒级数进 行近似计算，得到其数值解。
数值积分与微分
通过泰勒级数，可以对函数进行数值积分或者微 分，从而得到函数的定积分或者导数。
求解微分方程
利用泰勒级数，可以将微分方程转化为代数方程 组，从而方便求解。
05
复变函数泰勒级数
的进一步研究
04
泰勒级数的应用
在信号处理中的应用
信号的近似表示
泰勒级数可以将复杂的信 号表示为简单的多项式之 和，从而方便分析信号的 特性。
信号的滤波
通过泰勒级数，可以设计 出特定的滤波器，用于提 取信号中的特定频率成分 或者抑制噪声。
信号的合成与调制
泰勒级数的展开可以用于 生成新的信号，或者对现 有信号进行调制，实现信 号的频谱搬移。
复变函数泰勒级数课 件
目录
CONTENTS
• 复数与复变函数础 • 泰勒级数展开 • 复变函数中的泰勒级数展开 • 泰勒级数的应用 • 复变函数泰勒级数的进一步研究
01
复数与复变函数基 础
复数的概念与性 质
复数的定义
复数是实数和虚数的和，形式为 $z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数， $i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复变函数点解析
复变函数点解析复变函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个自变量为复数、因变量也为复数的函数关系。
复变函数的点解析是指函数在某个点附近的解析性质，这是研究复变函数的重要方法之一。
在复变函数中，点解析的概念与实变函数中的泰勒展开类似。
对于一个复变函数f(z)，如果它在某个点z0附近具有解析性质，就意味着可以将函数在该点附近用泰勒级数展开。
这种展开形式可以用来描述函数在该点附近的性质，比如函数的导数、高阶导数等。
而泰勒级数的收敛性则决定了这种展开形式的有效性。
具体来说，如果一个复变函数f(z)在某个点z0附近有解析性质，那么它可以展开成如下形式的泰勒级数：f(z) = ∑ [f^(n)(z0)(z - z0)^n] / n!其中，f^(n)(z0)表示函数f(z)在点z0处的n阶导数。
这个级数在某个收敛半径内是绝对收敛的，也就是说，在这个半径内，函数f(z)可以用泰勒级数来逼近。
点解析的概念在复变函数的研究中有广泛的应用。
首先，通过对函数进行点解析，我们可以得到函数在某个点附近的解析表达式，从而可以更好地了解函数的性质。
比如，我们可以通过求导数来研究函数的变化率、曲率等几何性质；我们还可以通过级数展开来计算函数的积分、求和等数值计算问题。
点解析还可以帮助我们研究函数在整个复平面上的性质。
通过研究函数在各个点的解析性质，我们可以得到函数的全纯性、奇点、极点等重要概念。
全纯函数是指在整个复平面上都有解析性质的函数；奇点是指函数在某个点处不解析的点，比如函数的极点、本性奇点等。
点解析还与复变函数的边界性质密切相关。
通过研究函数在某点附近的解析性质，我们可以得到函数在该点处的边界值，从而研究函数在整个边界上的性质。
这在复变函数的边界值问题中有重要的应用，比如调和函数的研究、边界积分的计算等。
复变函数的点解析是研究复变函数的重要方法之一。
通过对函数在某点附近的解析性质进行研究，我们可以得到函数的泰勒展开、导数、全纯性、奇点等重要性质。
第四章 泰勒级数
圆周上的性质（是否有定义？解析？）并
不清楚，只知道在大圆内解析。
第二步：将 f 形式展开
f ( z ) cn ( z z0 )
n 0
n
☺ 为利用 Cauchy 积分公式(需要一个圆 周)，同第一步，先取小圆C：|z-z0|= r，
再令 rR，逼近区域K的边界
第二步：将 f 形式展开
K内收敛
n 0
这等价于：对任意 r < R，该幂级数在 C：
|z-z0|= r 内部收敛
☺ 令 rR，即可知级数在区域K内收敛
第一步：证明幂级数 an ( z z0 ) n 在区域
K内收敛
n 0
这等价于：对任意 r < R，该幂级数在 C：
|z-z0|= r 内部收敛
☺ 令 rR，即可知级数在区域K内收敛 ☺ 这里用小圆逼近的原因是对于 f 在大
某个邻域展开成 Taylor 级数。
推论：函数 f 在 z0 解析函数 f 在 z0的
某个邻域展开成 Taylor 级数。
☺ 函数 f 在 z0 附近展开成 Taylor 级数的 范围是以 z0为圆心的尽量大的（解析）开 圆盘，即收敛圆应“碰到”奇点
推论：函数 f 在的Taylor展开式 1 f ( z ) g ( z ) ln(1 z ) 2 （2） （1） (1 z ) 解：用 –z 代替例2中的 z 即得|z|<1时，
f ( z ) (1)
n 1
n 1
nz
n 1
(1) n 1 g ( z) z n 0 n 1
1 2
2
0
f ( z0 re ) d n in re
复变函数05(吉大)
根据实正项级数的比较判别法, 可知级数
xn 和 yn 收 敛. 从 而 xn 与 yn
n1
n1
n1
n1
收敛, 进一步可知级数 zn收敛.
n1
9
绝对收敛与条件收敛
若级数 zn 收 敛 则 称 级 数 zn绝对收
n1
n1
敛. 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛.
关于定理我们作如下两点说明
(1) 若f(z)在z0解析, 则f(z)在z0的泰勒级数 的收敛半径R等于从z0到f(z)的距离z0最近
的一个奇点 之间的距离, 即R =| z0 |.
(2) 由本定理与和函数的性质有, 函数在一
点解析的充要条件是它在该点邻域内可以
展成幂级数. 29
利用泰勒级数展开的唯一性, 我们可以用
利用反证法根据上述结论可得定理另一部
分的证明. 利用阿贝尔定理, 可以确定幂级
数的收敛范围.
16
幂级数的收敛半径
对于幂级数 cnzn来说, 它的收敛情况可 以分为下述三n0种：
①在原点收敛，除原点外发散. (R＝0) ②在全平面上处处绝对收敛. (R＝+ ) ③除上述两种极端情形之外, 由阿贝尔定
比较简便的方法将一个函数展开为泰勒
级数即幂级数. 展开的方法有两种. 一种
是由泰勒展开式，直接通过计算系数
cn
f (n)(z0 ) n!
把f(z)在z0展开为幂级数，称为直接法； 另一种是利用幂级数的运算与性质, 以唯
一性为依据把函数展开成幂级数, 称为间
接法. 30
例 求函数f(z) = ez在z = 0的泰勒展开式
复变函数泰勒级数
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
17
例如， 利用间接展开法求 sin z 在 z 0的泰勒展开式.
sin z 1 (eiz eiz ) 2i
那末 f (z0 ) a0 , f (z0 ) a1,
即
an
1 n!
f
(n)(z0 )
,
因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是
泰勒级数, 因而是唯一的.
13
三、将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法.
1.直接法: 由泰勒展开定理计算系数
cn
1 n!
f
(n)(z0 )
,
n 0,1,2,
3)
1
1 z z2 (1)n zn (1)n zn ,
1 z
n0
( z 1)
4) sin z z z3 z5 (1)n z2n1 ,
3! 5!
(2n 1)! ( z )
19
5) cos z 1 z2 z4 (1)n z2n ,
2! 4!
(2n)!
1 M qn 2r Mqn .
2 nN r
1q
7
lim qn 0
N
lim
N
RN
(z)
0在
K
内成立,
从而在K内
f
(z)
n0
f
(n)(z0 ) (z n!
z0 )n
泰勒级数
f (z) 在 z0的泰勒展开式, 圆周 K 的半径可以任意增大,只要 K 在 D内成立.
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z z0 z z0 令 q， z z0 r
q与积分变量z无关, 且0q<1.
K
z z z0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
泰勒级数
设函数f ( z )在区域D内解析，而 z z0 r为D内以z0为 中心的任何一个圆周，记作K，圆周及它的内部全含于D， 又设z为K内任一点。
z
z
z0
K
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
.
z
因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+. 同样, 可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
z3 z5 sin z z 3! 5! z2 z4 cos z 1 2! 4!
z 2 n 1 (1) (2n 1)!
n 2n z (1) n (2n)!
z z
除直接法外, 也可以借助这些已知函数的展开式, 利用 幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据得出函数的 泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰 勒展开式也可以用间接展开法得出:
N 1
由解析函数高阶导数公式,上式可写成
f ( z)
n 0 N 1
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n RN ( z ) n!
其中
K
z z z0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 RN ( z ) 2πi
f (z ) n ( z z0 ) d z n 1 (z z0 ) K n N
f ( z ) cn ( z z0 ) n
n 0
成立 , 其中
1 (n) cn f ( z0 ), n 0,1, 2, n!
.
注：如果f (z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式 成立的圆域的半径 R 等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点 a 的距离, 即R=|a-z0|.
1 iz iz 1 (iz ) n (iz ) n sin z (e e ) 2i 2i n 0 n ! n 0 n ! 2 n 1 z3 z5 z z (1) n z 3! 5! (2n 1)! n 0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果能证明 lim RN ( z ) 0在K内成立, 则
N
f ( z)
n 0
f
(n)
( z0 ) ( z z0 ) n n!
在K内成立, 即 f (z)可在K内 用幂级数表达.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
因此, 下面的公式在K内成立:
f ( z)
n 0
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
称该等式为f (z)在z0点的泰勒展开式, 它右端的 级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数.
圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所 以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z) 在z0点的泰勒展开式在圆域 |z-z0|<d 内成立.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z0为 D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离,则 当|z-z0|<d 时,
复变函数与积分变换
y
Complex Analysis and Integral Transform
a
z0
x
任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的. 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数: 1 (n) cn f ( z0 ) (n 0,1,2,) n! 把 f (z)在z0点展开成幂级数, 称此为直接展开法
1 | RN ( z ) | 2π 1 2π
K
f (z ) n ( z z ) ds 0 n 1 n N (z z 0 )
| f (z ) | z z0 n ds | z z0 | z z0 n N K 1 M n Mq N q 2π r N 0 2π n N r 1 q
按柯西积分公式, 有 且
1 f ( z) 2πi
f (z ) dz , z z K
1 1 1 1 z z (z z0 ) ( z z0 ) z z0 1 z z0 z z0 由于积分变量z 取在圆周K 上, 点z在K的内部,
z z0 ( z z0 ) n 1 所以 1, z z0 z z n 0 (z z0 ) n 1
K
z z z0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 f (z ) d z n f ( z) ( z z ) 0 n 1 2 π i ( z z ) n 0 0 K 1 f (z ) n ( z z0 ) d z . n 1 2 π i K n N (z z0 )
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ， 故有
2 z ez 1 z 2!
zn n!