数学---北京市石景山区2018届高三(上)期末试卷(理)(解析版)

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石景山区2018学年第一学期高三期末考试试卷

石景山区学年第一学期高三期末考试试卷物理第Ⅰ卷（共分）一、本题共小题，每小题分，共分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

．由万有引力定律可知，两个物体的质量分别为和，其间距为时，它们之间万有引力的大小为122m m F Gr=，式中为引力常量。

在国际单位制中，的单位是．·． (·) ．·．·．质点做直线运动的速度—时间图象如图所示，该质点．在第秒末速度方向发生了改变．在第秒末加速度方向发生了改变．在前秒内发生的位移为零．第秒末和第秒末的位置相同．周期为的简谐横波沿轴传播，该波在某时刻的图像如图所示，此时质点沿轴负方向运动。

则该波．沿轴正方向传播，波速．沿轴正方向传播，波速．沿轴负方向传播，波速．沿轴负方向传播，波速．重离子肿瘤治疗装置中的回旋加速器可发射价重离子束，其束流强度为×，则在内发射的重离子个数为（×）．× ．×．×．×．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个初速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。

初速度较大的球越过球网，初速度较小的球没有越过球网。

其原因是．初速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大．初速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少-．初速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大．初速度较小的球下降相同距离所用的时间较多．将一小球竖直向上抛出，小球在运动过程中所受到的空气阻力不可忽略。

为小球运动轨迹上的一点，小球上升和下降经过点时的动能分别为k1E 和k2E 。

从抛出开始到第一次经过点的过程中小球克服重力做功的平均功率为1P ，从抛出开始到第二次经过点的过程中小球克服重力做功的平均功率为2P 。

下列选项正确的是．k1k2E E >，12P P >．k1k2E E <，12P P < ．k1k2E E =，12P P =．k1k2E E >，12P P <．如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，运行的周期为0T ，图中为近日点，为远日点，、为轨道短轴的两个端点。

2017-2018学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(理科)解析卷

2017-2018学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|（x-1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A. B. C. 0， D. 1，2.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.用计算机在0～1之间随机选取一个数a，则事件“＜＜”发生的概率为（）A. 0B. 1C.D.4.以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P（2，4），则=（）A. B. C. D. 35.“m＞10”是“方程表示双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.给定函数①，②，③y=|x-1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A. ①④B. ①②C. ②③D. ③④7.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．如图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈8.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若，，，则a，b，c的大小关系为______．10.执行如图的程序框图，若输入的x的值为-1，则输出的y的值是______．11.若实数x，y满足则z=3x+y的取值范围为______．12.设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为-10，则a=______．13.在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ+μ=______．14.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组（a，b，c，d）______，符合条件的全部有序数组（a，b，c，d）的个数是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．16.摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利．已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过1小时（包含1小时）是免费的，超过1小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算，例如：骑行2.5小时收费为2元）．现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次．设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人用车时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的车费相同的概率；（Ⅱ）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18.已知函数．（Ⅰ）若a=1，确定函数f（x）的零点；（Ⅱ）若a=-1，证明：函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；（Ⅲ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y=0平行，求a的值．19.已知椭圆：＞＞离心率等于，P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．20.如果n项有穷数列{a n}满足a1=a n，a2=a n-1，…，a n=a1，即a i=a n-i+1（i=1，2，…，n），则称有穷数列{a n}为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列，，，，就是“对称数列”．（Ⅰ）设数列{b n}是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等比数列，且b2=3，b5=1．依次写出数列{b n}的每一项；（Ⅱ）设数列{c n}是项数为2k-1（k∈N*且k≥2）的“对称数列”，且满足|c n+1-c n|=2，记S n为数列{c n}的前n项和；（ⅰ）若c1，c2，…c k是单调递增数列，且c k=2017．当k为何值时，S2k-1取得最大值？（ⅱ）若c1=2018，且S2k-1=2018，求k的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：B={x|-2＜x＜1}，A={-2，-1，0，1，2}；∴A∩B={-1，0}．故选：A．解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：∵=，∴复数在复平面内所对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内所对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．3.【答案】D【解析】解：用计算机在0～1之间随机选取一个数a，则事件“”发生的概率为P==．故选：D．根据几何概型的概率公式，计算所求的区间长度比即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵角θ终边过点P（2，4），∴tanθ==2，则==-3，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用两角和的正切公式，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，若m＞10，则有m-10＞0，m-8＞0，则方程表示双曲线，反之，若方程表示双曲线，则有（m-10）（m-8）＞0，解可得m ＞10或m＜8，则“方程表示双曲线”不一定有“m＞10”；故“m＞10”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件；故选：A．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得若m＞10，则方程表示双曲线，反之不一定成立，又由充分必要条件的定义，分析可得答案．本题考查双曲线的标准方程，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握双曲线标准方程的形式．6.【答案】C【解析】解：对于①函数在（0，+∞）递增，不合题意；对于②函数在（0，1）递减，符合题意；对于③x＜1时，y=1-x，在（0，1）递减，符合题意；对于④函数在（0，1）递增，不合题意；故选：C．根据常见函数的单调性分别判断即可．本题考查了常见函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是关键，本题是一道基础题．7.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体如图：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=×3×1×2=3，四棱锥的体积V2=×1×3×1=1，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴此刍甍的体积V=V1+2V2=5（立方丈），故选：B．由已知中的三视图，可知该几何体是组合体，由一个三棱柱和两个相同的四棱锥构成，分别求出体积累加得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.【答案】D【解析】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30秒时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选：D分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图象进行判断．利用排除法即可得出答案．此题考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位置的可能性，点P的位置不好排除，同学们要注意仔细观察．9.【答案】a＜b＜c【解析】解：a=ln＜0，b=∈（0，1），c=＞1．∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】13【解析】解：模拟执行程序框图，可得x=-1满足条件x＜2，x=0满足条件x＜2，x=1满足条件x＜2，x=2不满足条件x＜2，y=13输出y的值为13．故答案为：13．模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y的值，当x=2时不满足条件x＜2，计算并输出y的值为13．本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．11.【答案】[3，6]【解析】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（，），此时z max=3×+=6，当直线y=-3x+z，经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．由，解得即B（0，3），此时z min=3×0+3=3，故3≤z≤6，故答案为：[3，6]．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．12.【答案】-2【解析】解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10-2r（）r=C5r x10-3r a r令10-3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是-10，∴aC51=-10，解得a=-2．故答案为：-2．利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13.【答案】【解析】解：设，则=（1-k）+k．=，∴故答案为：设，则=（1-k）+k.=，即可本题考查了向量的线性运算，属于中档题．14.【答案】（3，2，1，4）；6【解析】解：根据条件分别讨论得：（3，2，1，4），（2，3，1，4）（3，1，2，4）（3，1，4，2）（4，1，3，2）（2，1，4，3）任选一个即可，第二空2分）故答案为：（3，2，1，4）；6根据集合相等，分别进行讨论即可．本题主要考查集合相等的应用，根据条件分别进行讨论是解决本题的关键．15.【答案】解：（Ⅰ）设∠BAD=α，∠CAD=β，则，，所以，因为α+β∈（0，π），所以，即．（Ⅱ）过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，因为，所以，所以；所以△ ．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，利用诱导公式求出结果．（Ⅱ）利用解直角三角形和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，解直角三角形的应用，三角形面积公式的应用．16.【答案】解：（Ⅰ）甲租车时间超过2小时的概率为1--=，乙租车时间超过2小时的概率为1--=；则甲乙两人所付的租车费用相同的概率为P=×+×+×=；（Ⅱ）甲乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，则ξ的所有取值为0，1，2，3，4；且P（ξ=0）=×=，P（ξ=1）=×+×=，P（ξ=2）=×+×+×=，P（ξ=3）=×+×=，P（ξ=4）=×=；数学期望为Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．【解析】（Ⅰ）分别求出甲、乙租车时间超过2小时的概率，再计算甲乙两人所付的租车费用相同的概率值；（Ⅱ）根据题意知随机变量ξ的所有取值，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△PAC中，由已知E为PA中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．如图建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，-1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（-1，2，0），=（0，1，-1）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量为=（1，0，0）．设，的夹角为α，所以cosα==．由图可知二面角A-PC-D为锐角，所以二面角A-PC-B的余弦值为．（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1-λ），=（-1，λ-1，1-λ），=（-1，2，0）．由，得1+2（λ-1）=0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=．【解析】（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EF∥PC．由此能证明PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．推导出PO⊥CD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-PC-B的余弦值．（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.【答案】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=，令f（x）=0，即ln（x-1）=0，即x-1=1，解得：x=2，故函数的零点是1；（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=，∴函数的定义域为（-1，0）∪（0，+∞），∴f′（x）=，设g（x）=x-（x+1）ln（x+1），∴g′（x）=1-[ln（x+1）+1]=-ln（x+1），∴g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，∴g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．（Ⅲ）∵f′（x）=，∴k=f′（1）=，∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y=0平行∴=1，即ln（1-a）=，分别画出y=ln（1-x）与y=的图象，由图象可知交点为（0，0）∴解得a=0．【解析】（Ⅰ）代入a的值，令f（x）=0，解出即可；（Ⅱ）先求导，得到f′（x），再构造函数g（x）=x-（x+1）ln（x+1），求出g（x）的最大值为0，继而得到f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，问题得以证明；（Ⅲ）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，解方程即可得．本题考查导数和函数的单调性最值的关系，以及导数的几何意义，考查了不等式的证明问题，培养了学生的转化能力，运算能力，处理问题的能力，属于难题解得a=4，b=，c=2．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，直线PA的直线方程为y-3=k（x-2），联立，得（3+4k2）x2+8k（3-2k）x+4（3-2k）2-48=0．∴ ．同理直线PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得=．∴，，====，∴AB的斜率为定值．【解析】（Ⅰ）由题意列式关于a，b，c的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（Ⅱ）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．20.【答案】解：（I）由题意可得：b5=b3=1，又b2=3，∴公比q=．∴数列{b n}的每一项分别为：9，3，1，，1，3，9．（II）（i）∵c1，c2，…c k是单调递增数列，满足|c n+1-c n|=2，∴n≤k-1时，c n+1-c n=2．∴c k=c1+2（k-1）=2017，解得c1=2019-2k，∴c k-1=c k-2=2015．∴S2k-1=2×-c k=4036k-2k2=-2（k-1009）2+2036162．∴当k=1009值时，S2k-1取得最大值2036162．（ii）由题意可得：c1，c2，…c k是单调减增数列，c n+1-c n=-2，n≤k-1时，k取得最小值．∴c k=c1-2（k-1）=2018-2（k-1）=2020-2k，S2k-1=2×-c k=4040k-2k2-2020=2018，化为：k2-2020k+2019=0，k≥2．解得k=2019．∴k的最小值为2019．【解析】（I）由题意可得：b5=b3=1，又b2=3，可得公比q=．利用通项公式即可得出．（II）（i）由c1，c2，…c k是单调递增数列，满足|c n+1-c n|=2，可得n≤k-1时，c n+1-c n=2．因此c k=c1+2（k-1）=2017，解得c1，c k-1=c k-2．可得S2k-1=2×-c k，利用二次函数的即可得出．（ii）由题意可得：c1，c2，…c k是单调减增数列，c n+1-c n=-2，n≤k-1时，k取得最小值．可得c k=c1-2（k-1）=2020-2k，S2k-1=2×-c k=2018，解出即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、等差数列的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2018年北京石景山区高三上学期期末考试数学(理)试题

石景山区2018年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1、已知0,0x y >>,且211x y+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是 2、若,0>>b a 则下列不等式不成立的是（）A.ba 11< B.b a > C.a b +<D.ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21213.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有G b a ∈⊕；（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。

现给出下列集合和运算：①G ={非负整数}，⊕为整数的加法。

②G ={偶数}，⊕为整数的乘法。

③G ={平面向量}，⊕为平面向量的加法。

④G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（）A ．①② B ．①③C ．②③ D ．②4．已知函数R ∈-=x x x x f ,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围为（）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,3 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,232C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,656 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,652625．已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则nm等于（）A ．2-；B ．2C ．21-D ．216．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种7A ．38B ．4C ．2D ．348. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，Z 5k []k 即，．给出如下四个结论：[]{}5k n k n =+∈Z 0,1,2,3,4k =① ；[]20133∈② ； []22-∈③ ；[][][][][]01234Z =∪∪∪∪④ 整数属于同一“类”的充要条件是“”．,a b []0a b -∈其中，正确结论的个数为（）． A ．B ．C ．D ．1234第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则；y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，S 4=a 若点，则的最大值为 . S y x P ∈),(y x z +=210．如右图，从圆外一点引圆的割线和，O P O PAB PCD过圆心，已知，PCD O 1,2,3PA AB PO ===则圆的半径等于．O 11．在等比数列中，，则公比；{}n a 141=,=42a a -=q ．123++++=n a a a a12．在中，若，则边上的高等于．ABC ∆2,60,a B b =∠=︒=BC 13．已知定点的坐标为，点F 是双曲线的左焦点，点是双曲线右支A (1,4)221412x y -=P 上的动点，则的最小值为．PF PA +14. 给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，11< +22m x m -≤m m x 记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：{}x {}=x m ()={}f x x x -①的定义域是，值域是；=()y f x R 11(,]22-②点是的图像的对称中心，其中；(,0)k =()y f x k Z ∈③函数的最小正周期为；=()y f x 1④ 函数在上是增函数． =()y f x 13(,]22-则上述命题中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数．sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；)(x f （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．)(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，16．（本小题共14分）如图1，在Rt 中，，．D 、E 分别是上的ABC ∆90C ∠=︒36BC AC ==，AC AB 、点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．//DE BC ADE ∆DE 1A DE ∆1A D CD ⊥（Ⅰ）求证：平面；BC ⊥1A DC （Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；2CD =BE 1A BC （Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．D 1A B 17．（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.1123p 、、，14（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求的值；p （Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.X X EX 18．（本小题共13分）已知函数是常数．()=ln +1,f x x ax a R -∈（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；=()y f x (1,(1))P f l （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； =()(1)y f x x ≠l （Ⅲ）讨论函数零点的个数．=()y f x 19．（本小题共14分）图1图2E。

2018年高三最新北京市石景山区2018学年第一学期高三期末考试数学试题(理科) 精品

北京市石景山区2018—2018学年第一学期高三期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则A B =（）A ．]2,0[B ．]2,1[C ．]4,0[ D ．]4,1[2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于（） A ．144 B ．72 C ．54 D ．363．现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为（） A ． 120 B ．24 C ．12 D ．48 4．已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（）A ．257B ．2524C ．257-D ．2524-5．若||＝2，||＝2，且⊥-)(，则与的夹角是（） A ．6π B ．4π C ．3πD ．125π6．nxx )1(+的展开式中常数项等于20，则n 等于（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．107．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③8．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图象的形状大致是图中的（）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．计算：=+-∞→3423limn n n ．10．复数ii+-12（i 是虚数单位）的实部为． 11．不等式01|25|>--x 的解集是_______________________． 12．函数)2(log 221x x y -=的单调递减区间是__________________．13．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）14．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序．（1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31；（2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到；要想从B 口得到23031，则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知：02<<-x π，51cos sin =+x x ．（Ⅰ）求x 2sin 和x x sin cos -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．16．（本题满分12分）在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14．（Ⅰ）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．17．（本题满分14分）正项数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：21<n T ．18．（本题满分14分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1？若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分）已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为4π．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）．20．（本题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ；那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ；（Ⅱ）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由；（Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．北京市石景山区2018—2018学年第一学期高三期末考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合PA BCDE题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 51cos sin =+x x ，∴ 251)cos (sin 2=+x x . ∴ 2524cos sin 2-=x x ，即25242sin -=x . ………………………………4分∵ 02<<-x π，∴ x x sin cos >. ………………………………5分∴ 5725241cos sin 21)sin (cos sin cos 2=+=-=-=-x x x x x x . ………………………………8分（Ⅱ）xx x x x x x x x x x x x x cos sin cos )sin (cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=-+x x x x x x x x x x x sin cos )cos (sin 2sin sin cos )sin (cos cos sin 2-+=-+=…………………12分=⨯-=5751)2524(17524-. ………………………………14分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000. …………………………3分（Ⅱ）设先答问题A 获得的奖金为ξ元，先答问题B 获得的奖金为η元.则有21211)0(=-==ξP ，83)411(21)1000(=-⨯==ξP ，814121)3000(=⨯==ξP ，∴ 75086000813000831000210==⨯+⨯+⨯=ξE . ………………………7分同理：43)0(==ηP ，81)2000(==ηP ，81)3000(==ηP ， ∴ 62585000813000812000430==⨯+⨯+⨯=ηE . ……………………11分故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多. ………………………………12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 1211+=a S ，∴ 11=a . ………………………………2分 ∵ 0>n a ，12+=n n a S ，∴ 2)1(4+=n n a S . ① ∴ 211)1(4+=--n n a S （2≥n ）. ② ①-②，得 1212224----+=n n n n n a a a a a ，即0)2)((11=--+--n n n na a a a ，而0>n a ，∴)2(21≥=--n a a n n . ………………………………6分故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.∴ 12-=n a n . ………………………………8分（Ⅱ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n . ………………………………10分n n b b b T +++= 21)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=n n 21)1211(21<+-=n . ………………………………14分18．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明： ∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ CD PA ⊥. …………1分 ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ CD AD ⊥.又 A AD PA =⋂∴⊥CD 平面PAD . …………3分又 ∵ ⊂CD 平面PDC ，∴ 平面⊥PDC 平面PAD . ……5分（Ⅱ）解：设CD 的中点为F ，连结EF 、AF .∵ E 是PD 中点， ∴ EF ∥PC .∴ AEF ∠是异面直线AE 与PC 所成角或其补角. ……………………7分由1==AB PA ，2=BC ，计算得2521==PD AE ，2621==PC EF ，217=AF ， 10302625241746452cos 222-=⋅⋅-+=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，…………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030. ……………………10分（Ⅲ）解：假设在BC 边上存在点G ，使得点D 到平面PAG 的距离为1. 设x BG =，过点D 作AG DM ⊥于M .∵ ⊥PA 平面ABCD ， ∴ DM PA ⊥,A AG PA =⋂. ∴ ⊥DM 平面PAG .∴ 线段DM 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DM . ……………12分又1121212=+=⋅=∆x DM AG S AGD ，解得 23<=x .所以，存在点G 且当3=BG 时，使得点D 到平面PAG 的距离为1.……14分解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，2，0），D （0，2，0），E （0，1，12），P （0，0，1）．∴ ＝（－1，0，0），＝（0，2，0），＝（0，0，1），＝（0，1，12），PC ＝（1，2，－1）. …………2分（Ⅰ）∵ 0=⋅， ∴ AD CD ⊥.∵ 0=⋅AP CD ，∴ AP CD ⊥.又 A AD AP = ，∴ ⊥CD 平面PAD . …………………………5分∵ ⊂CD 平面PAD ，∴ 平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………7分（Ⅱ）∵ ||||,cos PC AE ⋅>=<10306411212=⋅+-=， …………………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030． ………………10分（Ⅲ）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令x BG =，则)0,,1(x G .作AG DQ ⊥于Q ，∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DQ PA ⊥.又 A AG PA =⋂，∴ ⊥DQ 面PAG .∴ 线段DQ 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DQ . …………12分 ∵ ADG S ∆2=S矩形ABCD，∴ 2||||||||=⋅=⋅. ∴ 2||=.又 12+=x AG ，yx∴ 23<=x .故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1． …………14分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）13)(2-='mx x f ，依题意，得=')1(f 4tanπ，即113=-m ，32=m . ………………………………2分 ∵ n f =)1(， ∴ 31-=n . ………………………………3分（Ⅱ）令012)(2=-='x x f ，得22±=x . ………………………………4分当221-<<-x 时，012)(2>-='x x f ；当2222<<-x 时，012)(2<-='x x f ；当322<<x 时，012)(2>-='x x f . 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，15)3(=f . 因此，当]3,1[-∈x 时，15)(32≤≤-x f . ………………………………7分要使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立，则2008199315=+≥k . 所以，存在最小的正整数2008=k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于 ]3,1[-∈x 恒成立. ………………………………9分（Ⅲ）方法一：|)(cos )(sin |x f x f +|)cos cos 32()sin sin 32(|33x x x x -+-= |)cos (sin )cos (sin 32|33x x x x +-+= |]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin |22-+-+=x x x x x x|31cos sin 32||cos sin |--⋅+=x x x x3|cos sin |31x x +=3|)4sin(2|31π+=x 322≤. …………………11分又∵ 0>t ，∴ 221≥+t t ，14122≥+tt .∴ )21(2t t f +)]21()21(32[23tt t t +-+=]31)41(32)[21(222-++=t t t t 322)3132(22=-≥. …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）. …………………………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数)(x f 在 [-1，22-]上是增函数；在[22-,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数. 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，31)1(-=f . 所以，当x ∈[-1，1]时，32)(32≤≤-x f ，即32|)(|≤x f . ∵ x sin ，x cos ∈[-1，1]，∴ 32|)(sin |≤x f ，32|)(cos |≤x f . ∴ 3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+x f x f x f x f . ………………………………11分又∵0>t ，∴ 1221>≥+tt ，且函数)(x f 在),1[+∞上是增函数.∴ 322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+f t t f . …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）.……………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=a b b a a b 33，解得⎩⎨⎧=-=11b a . 所以，所求的区间为[-1，1] . ………………………3分（Ⅱ）取11=x ，102=x ，则)(107647)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函数. 取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=，即)(x f 不是),0(+∞上的增函数.所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.………………………6分（Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f y =的值域为[b a ,]. 容易证明函数2++=x k y 在定义域内单调递增， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a .∴ b a ,为方程2++=x k x 的两个实数根. 即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不相等的实根.………………………8分当2-≤k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k . 当2->k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解.综上所述，]2,49(--∈k . ………………………12分注：若有其它解法，请酌情给分．。

北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2230M x x x =∈+-≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么MN =（）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i -- 3．已知向量(1)x =，a ，(4)x =，b ，则“2x =”是“a ∥b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（）A ．B ．C ．D ．5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（） A ．3 B ．126 C ．127D ．1286．在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P恰好落在正方形与曲线y =的区域内(阴影部分)的概率为（）A ．12B ．23Cy =BC ．34D ．457．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．6488．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ+⎧⎨=⎩，，=(θ为参数)，则圆C 的直角坐标方程为_______________，圆心C 到直线:10l x y ++=的距离为______．10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若=6a ，4c =，1cos =3B ，则b =______．11．若x ，y 满足约束条件1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，则z x y =+的最大值为．12．如图，已知在ABC ∆中，o 90B ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，2AD =，1AE =，则AB 的长为，CD 的长为．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o150，则||PF =______．14．已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线PC 与BD 所成的角的度数为，当三棱锥的体积取得最大值时，四棱锥P ABCD -的高PA 的长为．A DCBE．O1APE三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 21f x x x x =++．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．16．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X 为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X 的分布列及数学期望．17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ?若存在，求出AF 的长；若不存在，请说明理由．P18．（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1{|2}2M x x =≤≤，且M P ≠∅，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点(20)，，且椭圆的离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且MP PN =，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中. （Ⅰ）若50项数列{}n a 满足5019ii a==-∑，5021(1)107i i a =-=∑，则数列{}n a 中有多少项取值为零？(121nin i aa a a n *==+++∈∑N ，)（Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足11i i i b b a ---=（）．（ⅰ）若首项10b =，末项1n b n =-，求证数列{}n b 是等差数列；（ⅱ）若首项10b =，末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值和最小值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 2cos 2+1x x =+ …………2分2sin2+16x π=+（）， ……………4分222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………6分所以函数)(x f 的单调递增区间为[]36k k ππππ-+，()k ∈Z ． ……………7分（Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363x πππ-≤+≤， ……………9分sin(2)16x π≤+≤，12sin 2+136x π≤+≤（）， ……………11分所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f取得最小值1． (13)分则 3335C 9()1C 10P A =-=．故在选出的3名学生中至少有名体质为优秀的概率为910．……9分（ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为123，，．123235C C 3(1)C 10P X ⋅===， 213235C C 6(2)C 10P X ⋅===，3335C 1(3)C 10P X ===． …………12分所以，随机变量X 的分布列为:36191231010105EX =⨯+⨯+⨯=． ……………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. ……………1分取AD 的中点G ，连结GC ，因为底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，o90ABC ∠=，且1AB BC ==，所以四边形ABCG 为正方形，所以CG AD ⊥，且1=2CG AD ，所以o=90ACD ∠，即AC CD ⊥. ...............3分又PA AC A =，所以CD ⊥平面PAC . (4)分（Ⅱ）解：如图，以A 为坐标原点，AB AD AP ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系xyz A -．………5分则(000)A ，，，(110)C ，，，(011)E ，，，(002)P ，，，所以(002)AP =，，，(110)AC =，，，(011)AE =，，．因为PA ⊥平面ABCD ，所以(002)AP =，，为平面ACD 的一个法向量． ……6分设平面EAC 的法向量为1()n x y z =，，，由10n AC ⋅=，10n AE ⋅=得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，，令1x =，则1y =-，1z =，所以1(111)n =-，，是平面EAC 的一个法向量． ………8分所以1cos n AP <>==0，因为二面角E AC D --为锐角，所以二面角E AC D --的余弦值为3． ………9分 APEBDCG（Ⅲ）解：假设在线段AB 上存在点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ．设(00)F a ，，，则(110)CF a =--，，，(112)CP =--，，．设平面PCF 的法向量为2()n x y z =，，，由20n CF ⋅=，20n CP ⋅=得(1)020a x y x y z --=⎧⎨--+=⎩，，令1x =，则1y a =-，2az =，所以2(11)2a n a =-，，是平面PCF 的一个法向量．…12分因为AE ∥平面PCF ，所以20AE n ⋅=，即(1)02aa -+=， ……………13分解得23a =，所以在线段AB 上存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ，且2=3AF ．……14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，()2xf x e '=-，得(0)1f '=-，………2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分（Ⅱ）()xf x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()-∞+∞，，无单调递减区间；………5分当0a >时，(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>，此时()f x 的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，.……7分（Ⅲ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值. ………8分因为M P ≠∅，所以()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，…9分即1[2]2x ∃∈，使x e x m x ->成立， …………10分所以min ()x e xm x->. 令()1x e g x x =-，2(1)()x x e g x x -'=，所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增，则min ()(1)1g x g e ==-， ……………12分所以(1)m e ∈-∞，+. ……………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上，所以22401a b+=，所以24a =， …………1分因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即22214a b a -= ， …………2分解得23b =， ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，，由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ………7分所以2012288+34ky k x x k +=-+， ……………8分因为MP PN =，即P 为MN 中点，所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+.所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分因为直线l MN ⊥，所以043l y k =-，所以直线l 的方程为004(1)3y y y x -=-+，即041()34y y x =-+ ，显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………11分②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-，此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 中项为110-，，分别有x y z ，，项．由题意知5094107x y z x y z y ++=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，，，解得11z =．所以数列{}n a 中有11项取值为零． ……3分（Ⅱ）（ⅰ）{11}i a ∈-，且11i i i b b a ---=，得到121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，，若1(121)i a i n ==-，，，，则满足1n b n =-．此时11i i b b --=，数列{}n b 是等差数列；若121n a a a -，，，中有*(0)p p p >∈，N 个1-，则121n b n p n =--≠-不满足题意；所以数列{}n b 是等差数列． ……………7分（ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，，根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++=．而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a -，，，中有12n -个1和12n -个1-． 12112121()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=+++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++要求n S 的最大值，则只需121n a a a -，，，前12n -项取1，后12n -项取1-，11 所以2max (1)()(2)(4)14n n S n n -=-+-++=（n 为正奇数）．要求n S 的最小值，则只需121n a a a -，，，前12n -项取1-，后12n -项取1，则2min (1)()(2)(4)14n n S n n -=------=-（n 为正奇数）． …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2018-2019学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(理科)

2018-2019学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(★)已知集合P={x∈R|x≥0}，Q={-1，0，1，2}，则P∩Q=（）A．{1，2}B．{0，2}C．{0，1}D．{0，1，2}2．(★)设i是虚数单位，复数，则z的共轭复数为（）A．-1+i B．1+i C．-1-i D．1-i3．(★)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A．3B．4C．5D．64．(★)下列函数中为偶函数的是（）A．y=ln（1+x）-ln（1-x）B．y=ln（1+x）+ln（1-x）C．y=xcosx D．y=x+cosx5．(★)某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为（）A．4B．C．8D．6．(★)已知向量，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．7．(★★)在△ABC中，a=7，c=3，∠A=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8．(★★)已知函数f（x）= ，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(★)在（1+2x ） 5的展开式中，x 3的系数为．（用数字作答）10．(★★)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=3，S 3=18，则其通项公式a n = ．11．(★★)若变量x ，y 满足约束条件x+1≤y ≤2x ，则z=2x+y 的最小值等于．12．(★)写出“”的一个充分不必要条件．13．(★★)已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为（0，2），则此双曲线的离心率是．14．(★)2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下：（相关计算公式为：应纳税额=纳税所得额-起征额，税款=应纳税额×适用税率-速算扣除数，税后工资=纳税所得额-税款）（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为元；（2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为元．附录：三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(★★)函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cosx，求函数g（x）在区间上的最小值．16．(★★)2018年9月，某校高一年级新入学有360名学生，其中200名男生，160名女生．学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名同学．该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：km）如下：（Ⅰ）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为8.3km，他是否能住宿？说明理由；（Ⅱ）通过计算得到男生样本数据平均值为5.1km，女生样本数据平均值为4.875km，求所有样本数据的平均值；（Ⅲ）已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到17．(★★★)如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=2，OB=1．△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB⊥OC，动点D在斜边AB上．（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）当D为AB的中点时，求二面角B-CD-O的余弦值；（Ⅲ）求CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值．18．(★★★)已知抛物线C：y 2=2px经过点P（1，2），其焦点为F．M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴，y轴分别交于A，B．（Ⅰ）求抛物线C的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若△BMF与△ABF的面积相等，求证：直线l是抛物线C的切线．19．(★★)已知函数f（x）=（x+a）lnx．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）有极小值，求实数a的取值范围．20．(★★★★)将1至n 2这n 2个自然数随机填入n×n方格的n 2个方格中，每个方格恰填一个数（n≥2，n∈N *）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这n 2（n-1）个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若n=2，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当n=3时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．。

2018年石景山区高三理科数学统一测试(一模)-完整版

2018年石景山区高三理科数学统一测试(一模)-完整版D高三数学（理科）第2页（共22页）高三数学（理科）第3页（共22页）高三数学（理科）第4页（共22页）高三数学（理科）第5页（共22页）高三数学（理科）第6页（共22页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9.双曲线2212x y -=的焦距是________,渐近线方程是________. 10.若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则22xy +的最大值是____________.11.已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ+=，则直线截圆C所得的弦长是_____________． 12. 已知函数31,1(),1x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥，若关于x 的方程()f x k =有两个不同零点，则k 的取值范围是_____________．13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下高三数学（理科）第7页（共22页）去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为2，则其最小正方形的边长为________． 14.设W 是由一平面内的(3n n ≥）个向量组成的集合．若a W ∈，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量.有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量,a b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c a b =--，使得{}=,,W a b c中的每个元素都是极大向量； ③若{}{}11232123=,,=,,W a a a W b b b ，中的每个元素都是极大向量，且12,W W 中无公共元素，则12WW 中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．高三数学（理科）第8页（共22页）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2()2coscos 1f x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期;（Ⅱ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内 20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 12172162 50 22 1584643 136 95 1925999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：频数组别红包金额分组A 0≤x＜40 2B 40≤x＜80 9C 80≤x＜120 mD 120≤x＜3160E 160≤x＜n200（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v、21s，E组红包金额的平均数与方差分1别为v、22s，试分别比较1v与2v、21s与22s的2高三数学（理科）第9页（共22页）大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（本小题共14分）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，==，2EB//PA，4AB PA（Ⅰ）求证：AF PC⊥；B （Ⅱ）求证：BD//平面PEC；（Ⅲ）求二面角D PC E--18．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1,0)的距离与它到直线1x=-的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b=+与曲线C相切于点P，与高三数学（理科）第10页（共22页）直线1x=-相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．19．（本小题共14分）已知2=-，曲线()()xf x e ax=在(1,(1))f处的切线方y f x程为1=+.y bx（Ⅰ）求,a b的值；（Ⅱ）求()f x在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当x∈R时，判断()=+交点的个数.y bx=与1y f x（只需写出结论，不要求证明）20．（本小题共13分）对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}na ,记12max{,,,}kk ba a a =（1,2,,k m=），即kb 为12,,ka a a 中的最大值，称数列{}nb 为数列{}na 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（Ⅰ）若数列{}na 的“创新数列”{}nb 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}na ；（Ⅱ）设数列{}nb 为数列{}na 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m=），求证：k ka b =（1,2,,k m=）；（Ⅲ）设数列{}nb 为数列{}na 的“创新数列”，数列{}nb 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}na .2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（两空题目，第一空2分，第二空3分）三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）2()2coscos 1f x x x x =+- cos22x x=12(cos22)2x x =+π2sin(2)6x =+………………5分所以周期为2ππ2T ==.………………6分③（Ⅱ）因为ππ2x ≤≤，所以7ππ13π2666x ≤+≤.………………7分所以当π13π266x +=时，即πx =时max()1f x =.当π3π262x +=时,即2π3x =时min ()2f x =-. …………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）m =4，n =2，B；………………… 3分（Ⅱ）1v <2v ，21s <22s ；………………… 6分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，30，140，170，ξ的数学期望为1111325030140170Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．66333………………… 13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA⊥平面ABCD．如图，以A为原点，分别以AD、AB、AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．……2分依题意，可得(0,0,0)D，B，(4,4,0)A，(0,4,0)C，(4,0,0)F．E，(2,0,2)(0,0,4)P，(0,4,2)因为(2,0,2)PC=-，AF=，(4,4,4)所以⋅=++-=．80(8)0AF PC……5分所以Array⊥AF PC……6分（Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,4,0)BD =-，所以2BD EM =，所以//BD EM． ……8分又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC．……9分（Ⅲ）解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PDPC P=，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---． ……12分所以cos ,AF n <>==，……13分所以二面角D PC E --的大小为5π6． ……14分18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1,0)为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动点E 的轨迹C 的方程为24y x=． ……………5分（Ⅱ）证明：由24y kx by x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb ∆==，即1b k=． ……8分所以直线l 的方程为1y kx k =+．令1x =-，得1y k k =-+．所以Q11,k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．……………10分设切点坐标0(,)P x y ，则2044+0kyy k-=，解得：212(,)P k k，……………11分设(,0)M m ，2121(1)()k MQ MP m m k k k ⎛⎫⋅=---+-+ ⎪⎝⎭221=2m m m k -+--所以当22=0-10m m m ⎧+-⎨=⎩，即10m MQ MP =⋅=时，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）()2xf x e ax'=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-．…………3分（Ⅱ）令()'()2xg x f x ex==-．则'()2x g x e =-,…………5分故当0ln2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln2)单调递减；当ln21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增；所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->， …………8分故()f x 在[0,1]单调递增，所以max ()(1)1f x f e ==-．………11分（Ⅲ）当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点. ………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）所有可能的数列{}na 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4…………3分（Ⅱ）由题意知数列{}nb 中1k kb b +≥.又12018k m k a b -++=，所以12018k m k a b +-+= …………4分 111(2018)(2018)0k km km k m k m ka ab b b b +--+-+--=---=-≥所以1k ka a +≥，即k ka b =（1,2,,k m=） (8)分（Ⅲ）当2m =时，由1212b b b b +=得12(1)(1)1b b --=，又12,b b N *∈ 所以122b b ==，不满足题意；当3m =时，由题意知数列{}n b 中1n n bb +>，又123123b b b b b b ++= 当11b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12336b b b b >，所以等式成立11b =；当22b ≠时此时33b>，12333,b b b b ++<而12333b b b b ≥，所以等式成立22b=；当11b =，22b=得33b =，此时数列{}n a 为1,2,3. 当4m ≥时，12m m b b b mb +++<，而12(1)!m m mb b b m b mb ≥->，所以不存在满足题意的数列{}n a . 综上数列{}n a 依次为1,2,3. …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

2018年石景山区高中三年级理科数学统一测试(一模)-完整版

2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB =（）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x << 2.以下函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（） A．y =．3y x =-C ．12log y x = D ．1y x x=+1,i S =3.执行如下图的程序框图，则输出的S 的值是（） A ．1B ．2 C ．4D ．74.在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =ABC △的面积为（）A ．．4 C ．．5.若某多面体的三视图（单位：cm ）如下图，则此多面体的体积是（）A.378cmB. 323cm C. 356cm D.312cm6.现有4种不同颜色对如下图的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（） A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种7.设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8.如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.双曲线2212x y -=的焦距是________,渐近线方程是________.10.若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____________.B CD11.已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ+=，则直线截圆C 所得的弦长是_____________．12. 已知函数31,1(),1x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥，若关于x 的方程()f x k =有两个不同零点，则k 的取值围是_____________．13.如下图：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________． 14.设W 是由一平面的(3n n ≥）个向量组成的集合．若a W ∈，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量.有以下命题： ①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面两个不共线向量,a b ，在该平面总存在唯一的平面向量c a b =--，使得{}=,,W a b c 中的每个元素都是极大向量；③若{}{}11232123=,,=,,W a a a W b b b ，中的每个元素都是极大向量，且12,W W 中无公共元素，则12W W 中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期;（Ⅱ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班 20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m ，n 的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ，E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ，试分别比较1v 与2v 、21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A ，E 两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（本小题共14分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥；（Ⅱ）求证：BD //平面PEC ；（Ⅲ）求二面角D PC E --的大小．18．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．19．（本小题共14分）已知2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+. （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当x ∈R 时，判断()y f x =与1y bx =+交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）20．（本小题共13分）对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a =（1,2,,k m =），即k b 为12,,k a a a 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（Ⅰ）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ；（Ⅱ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m =），求证：k k a b =（1,2,,k m =）；（Ⅲ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案与评分参考（两空题目，第一空2分，第二空3分）三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）2()2cos cos 1f x x x x =+-cos22x x =+12(cos22)2x x =π2sin(2)6x =+………………5分所以周期为2ππ2T ==. (6)分（Ⅱ）因为ππ2x ≤≤，所以7ππ13π2666x ≤+≤. ………………7分所以当π13π266x +=时，即πx =时max ()1f x =.当π3π262x +=时,即2π3x =时min ()2f x =-. (13)分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）m =4，n =2，B ；………………… 3分（Ⅱ）1v <2v ，21s <22s ； ………………… 6分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，30，140，170，ξ的数学期望为111132503014017066333E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………… 13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系． ……2分依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分所以AF PC ⊥（Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,BD =-所以2BD EM =，所以//BD EM ．分又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC 所以//BD 平面PEC ． ……9分（Ⅲ）解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---． ……12分所以cos ,AF n <>==， ……13分所以二面角D PC E --的大小为5π6． ……14分18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1,0)为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动点E 的轨迹C 的方程为24y x =． ……………5分（Ⅱ）证明：由24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb ∆==，即1b k=． ……8分所以直线l 的方程为1y kx k=+．令1x =-，得1y k k=-+．所以Q 11,k k ⎛⎫--+⎪⎝⎭．……………10分设切点坐标00(,)P x y ，则20044+0ky y k-=，解得：212(,)P k k，……………11分设(,0)M m ，2121(1)()k MQ MP m m k k k ⎛⎫⋅=---+-+ ⎪⎝⎭221=2m m m k -+--所以当22=0-10m m m ⎧+-⎨=⎩，即10m MQ MP =⋅=时，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ．……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）()2x f x e ax '=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-． …………3分（Ⅱ）令()'()2x g x f x e x ==-．则'()2x g x e =-, …………5分故当0ln2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln2)单调递减；当ln21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增；所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->， …………8分故()f x 在[0,1]单调递增，所以max ()(1)1f x f e ==-． ………11分（Ⅲ）当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点. ………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4…………3分（Ⅱ）由题意知数列{}n b 中1k k b b +≥.又12018k m k a b -++=，所以12018k m k a b +-+=…………4分111(2018)(2018)0k k m k m k m k m k a a b b b b +--+-+--=---=-≥所以1k k a a +≥，即k k a b =（1,2,,k m =）…………8分（Ⅲ）当2m =时，由1212b b b b +=得12(1)(1)1b b --=，又12,b b N *∈ 所以122b b ==，不满足题意；. . . .11 / 11 当3m =时，由题意知数列{}n b 中1n n b b +>，又123123b b b b b b ++= 当11b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12336b b b b >，所以等式成立11b =；当22b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12333b b b b ≥，所以等式成立22b =；当11b =，22b =得33b =，此时数列{}n a 为1,2,3. 当4m ≥时，12m m b b b mb +++<，而12(1)!m m m b b b m b mb ≥->，所以不存在满足题意的数列{}n a .综上数列{}n a 依次为1,2,3. …………13分[注：若有其它解法，请酌情给分]。

2018北京市石景山区高三数学(理)(上)期末

2018北京市石景山区高三数学（理）（上）期末2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （） A ．{}1,0- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 2．设i 是虚数单位，则复数2ii+在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．用计算机在01:之间随机选取一个数a ，则事件“113a <<”发生的概率为（） A ．0 B ．1 C ．13 D ．234．以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点()2,4P ，则t a n 4πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A ．13-B.3- C ．13D ．35．“10m >”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（）A ．①④B ．①②C ．②③D ．③④7．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈8．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为()t s ，他与教练间的距离为()y m ，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（） A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若1ln 2a =，0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则,,a b c 的大小关系为_______.10．执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1-，则输出的y 的值是________. 11.若实数,x y 满足3,,23,x y x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥则3z x y =+的取值范围为_________.12.设常数a R ∈，若25()a x x+的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a =______.13．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若 AM AB AC λμ=+uuu r uu u r uu u r，则λμ+=_________．14．若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组),,,(d c b a __________,符合条件的全部有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）QP N M 图2图130t(s)y(m)ODCBA如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =．（Ⅰ）若2ADB π∠=，求BAC ∠的大小；（Ⅱ）若23ADB π∠=，求ABC V 的面积．16．（本小题共13分）摩拜单车和ofo 小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过1小时（包含1小时）是免费的，超过1小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算，例如：骑行2.5小时收费为2元）.现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为14，12；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为12，14；两人用车时间都不会超过3小时. （Ⅰ）求甲乙两人所付的车费相同的概率；（Ⅱ）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE .17．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，1BC =，2AB =，2PC PD ==，E 为PA 中点．图1B D ACAB D C图2（Ⅰ）求证：//PC BED 平面；（Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM AC ⊥？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．18．（本小题共13分）已知函数ln()()x a f x x-=．（Ⅰ）若1a = ,确定函数()f x 的零点；（Ⅱ）若1a =-，证明：函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值.19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率等于12，(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点.BA DCE P（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.20．（本小题共13分）如果n 项有穷数列{}n a 满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =，即1(1,2,,)i n i a a i n -+==⋅⋅⋅，则称有穷数列{}n a 为“对称数列”.例如，由组合数组成的数列011,,,,n nn n n n C C C C -⋅⋅⋅就是“对称数列”.(Ⅰ)设数列{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234,,,b b b b 成等比数列，且253,1b b ==.依次写出数列{}n b 的每一项；（Ⅱ）设数列{}n c 是项数为21k -（*k N ∈且2k ≥）的“对称数列”，且满足12n n c c +-=，记n S 为数列{}n c 的前n 项和；(ⅰ)若12,,k c c c ⋅⋅⋅是单调递增数列，且2017k c =.当k 为何值时，21k S -取得最大值？（ⅱ）若12018c =，且212018k S -=，求k 的最小值.数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案A A DB AC B D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． (第14题第一空3分，(3,2,1,4), (2,3,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (2,1,4,3) 任选一个即可，第二空2分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设BAD α∠=，CAD β∠=，则1tan 2BD AD α==，1tan 3CD AD β== …………2分所以tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-…………5分因为(0,)αβπ+∈，所以4παβ+=，即4BAC π∠=． …………7分（Ⅱ）过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，因为23ADB π∠=，所以3ADC π∠=，所以sin333AH AD π=⋅=；…………11分所以115322ABC S BC AH ∆=⋅=． …………13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）甲乙两人用车时间超过2小时的概率分别为：14，14…………1分甲乙两人所付车费用相同的概率11114224p =⨯+⨯1154416+⨯=………4分（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4. …………5分题号 91011121314 答案a b c << 13[]3,62-12(3,2,1,4); 6AB DC H()1110248ξ==⨯=P ()11144P ξ==⨯+1152216⨯=()111122424P ξ==⨯+⨯1154416+⨯=()11324P ξ==⨯+1134416⨯=()11144416P ξ==⨯=…………10分ξ的分布列为:ξ1234P18 516 516 316116…………11分数学期望155********E ξ=⨯+⨯+⨯+3173416164⨯+⨯=. ………13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为F ，连接EF . 因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点，在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点，所以//EF PC ， ……………2分又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ， ……………3分所以//PC 平面BED . ……………4分（Ⅱ）解：取CD 中点O ，连接PO . 因为PCD ∆是等腰三角形，O 为CD 的中点，所以PO CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，因为PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ． ……………5分取AB 中点G ，连接OG ，由题设知四边形ABCD 为矩形，所以OF CD ⊥，所以PO OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G .(1,2,0)AC =-u u u r ，(0,1,1)PC =-uu u r. ……………6分设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n AC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r 即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则1y =，2x =，所以(2,1,1)n =r.平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =u u u r，设n r ，OG uuu r 的夹角为α，所以6cos 3α=. ……………9分由图可知二面角A PC D --为锐角，所以二面角A PC B --的余弦值为63. ……………10分（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[]0,1λ∈使得PM PC λ=uuu r uu u r．因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=---uuu r ，(1,2,0)AC =-u u u r． ……12分由0BM AC ⋅=uuu r uuu r ，即12λ=．因为[]10,12λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，此时12PM PC λ==． ……………14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）当1a = 时，则ln(1)()x f x x -=…… 1分定义域是(1,)+∞，令ln(1)0x x -=……………2分 ln(1)0,2x x -==是所求函数的零点. ……………3分（Ⅱ）当1a =-时，函数()f x 的定义域是(1,0)(0,)-⋃+∞， ………4分Ax DCE Pyz O BMFG所以2ln(1)1'()xx x f x x -++=，…………5分令()ln(1)1xg x x x =-++，只需证：0x >时，()0g x ≤． ……………6分又2211'()0(1)1(1)xg x x x x =-=-<+++，故()g x 在(0,)+∞上为减函数， …………… 7分所以()(0)ln10g x g <=-=， …………… 8分所以'()0f x <，函数()f x 是(0,)+∞上的减函数． ……………9分（Ⅲ）由题意知，1'()|1x f x ==，且2ln()'()xx a x a f x x---=， ………… 10分所以1'(1)ln(1)11f a a =--=-，即有ln(1)01aa a--=-， ……………11分令()ln(1)1at a a a=---，1a <，则211'()0(1)1t a a a =+>--，故()t a 是(,1)-∞上的增函数，又(0)0t =，因此0是()t a 的唯一零点，即方程ln(1)01aa a--=-有唯一实根0，所以0a =． ……………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又222a b c =+，所以22224,3a c b c == ………2分设椭圆方程为2222143x y c c+=,代入(2,3),得2224,16,12c a b === ……4分椭圆方程为2211612x y +=…………5分（Ⅱ）当APQ BPQ ∠=∠时，,PA PB 斜率之和为0 …………6分设PA 斜率为k ，则PB 斜率为k - …………7分设PA 方程为3(2)y k x -=-，与椭圆联立得223(2)3448y k x x y -=-⎧⎨+=⎩ 代入化简得：2222(34)8(32)4(4912)480k x k k x k k ++-++--=(2,3)P ，128(23)234k k x k-+=+同理228(23)234k k x k ++=+，2122161234k x x k -+=+，1224834kx x k --=+ 21122112()412AB y y k x x k k x x x x -+-===--即直线AB 的斜率为定值12. …………14分 20．（本小题共13分）解:(Ⅰ) 因为数列{}n b 是项数为7的“对称数列”，所以531b b ==……………1分又因为1234,,,b b b b 成等比数列，其公比3213b q b ==，所以数列{}n b 的7项依次为：9，3，1，13，1，3，9 . ……………3分（Ⅱ）(ⅰ)由12,,k c c c ⋅⋅⋅是单调递增数列且数列{}n c 是“对称数列”且满足12n n c c +-=可知12,k c c c ⋅⋅⋅是公差为2的等差数列，121,,k k k c c c +-⋅⋅⋅是公差为2-的等差数列 …5分211221k k S c c c --=++⋅⋅⋅+1212()k k k k c c c c --=++⋅⋅⋅-(1)2[2017(2)]20172k k k -=+⨯-- 2240362017k k =-+- …………7分所以当403610094k =-=-时，21k S -取得最大值. ……8分（ⅱ）因为12n n c c +-=即12n n c c +-=±. 所以12n n c c +-≥- 即12n n c c +≥-.于是121242(1)k k k c c c c k --≥-≥-≥⋅⋅⋅≥--………10分因为数列{}n c 是“对称数列” 所以211221k k S c c c --=++⋅⋅⋅+1212()k k c c c c -=++⋅⋅⋅+1(21)2(2)(1)2(1)k c k k k ≥------2240402020k k =-+-因为212018k S -=即22404020202018k k -+-≤解得1k ≤或2019k ≥所以 2019k ≥ …………12分11 / 11 当12,,k c c c ⋅⋅⋅是公差为2-的等差数列时满足12018c =，且212018k S -=，此时2019k =，所以k 的最小值为2019. ………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

2018届石景山高三理科数学模拟试卷及答案

2018 届石景山高三理科数学模拟试卷及答案数学是高考的必考科目之一，在高考备考期间，多做一些高考数学模拟试卷将对我们高考数学很有帮助，以下是为你的2018 届石景山高三理科数学模拟试卷，希望能帮到你。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.1. 已知集合，，则A.B.C.D.2. 复数等于A.B.C.D.3. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则输入的整数的可能值为A.5B.6C.8D.154. 已知直线,且于,为坐标原点,则点的轨迹方程为A.B.C.D.5. 函数在点处的切线方程是A.B.C.D.6. “等式成立”是“成等差数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 在各项均为正数的等比数列中，，成等差数列，是数列的前项的和，则A.1008B.xxC.2032D.40328. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.B.C.D.9. 半径为的球面上有四点，两两互相垂直，则面积之和的最大值为A.8B.16C.32D.6410. 设等差数列的前项和为，若，则中最大的是A.B.C.D.11. 已知函数（其中），，且函数的两个极值点为. 设，则A.B.C.D.12. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于点两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.第H卷（非选择题共90分）二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13. 若是数列的前项的和，且，则数列的最大项的值为14. 设, 则二项式展开式中的第项为____________15. 已知正方形的边长为，点为的中点. 以为圆心，为半径，作弧交于点，若为劣弧上的动点，则的最小值为______________ .16. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围___________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. ( 本题满分12 分)已知函数(I) 求函数的最小正周期;(n)求使函数取得最大值的的集合.18. ( 本小题满分12 分) 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，点分别为和中点.(I)求证：直线；( n ) 求与平面所成角的正弦值.19. ( 本小题满分12 分)某网站用“ 10 分制”调查一社区人们的治安满意度. 现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶).(I) 若治安满意度不低于分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取 3 人，至多有1人是“极安全”的概率(II) 以这16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极安全”的人数，求的分布列及数学期望.20. ( 本小题满分12 分) 如图，已知直线过椭圆的右焦点，抛物线：的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.(I)求椭圆的方程；(n)若直线交轴于点，且，当变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由.21. ( 本小题满分12 分) 设和是函数的两个极值点, 其中5・( I ) 求的取值范围；(n)若,求的最大值.22. ( 本小题满分10 分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知。

北京石景山区2018-2019学年上学期高三数学理科期末试卷附答案解析

22
22
A.
(a

b)

b
B.
(a

b)

a
C.
(a

b)

(a

b)
D.
(a

b)∥(a

b)
7. 在 △ ABC 中， a 7 , c 3 , A 60 ，则 △ ABC 的面积为
A. 15 3 2
B. 15 3 4
C. 12 3
D. 6 3
9． 80 ；
10． 3n ；
11． 4 ；
12． x 2 ；（答案不唯一）
13. 5 ；
14. 95 ，1155 ．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）由图可得 A 1 ,
T 4 ，所以 T 2 , 1 . 2 33
∴ OC 平面 AOB ，
又 OC 平面 COD ，
∴平面 COD 平面 AOB ．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系O xyz ，
∵ D 为 AB 的中点，
∴ O(0 ，0 ，0) ， A(0，0，2) ， B(0，1，0) ， C(1，0，0) ， D(0，1 ，1) ， 2
∴
uuur OC
11. 若变量 x , y 满足约束条件 x 1≤ y ≤ 2x ，则 z 2x y 的最小值等于______．
12.
写出“ x 1 ≤ 2 ”的一个充分不必要条件__________________． x
13. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为 F1( 5,0) ，点 P 在双曲线上，且线段

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