《无约束优化方法》PPT课件
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无约束最优化方法直接搜索法课件
x2
S(1)
S2(1
)
(1)
X3 X2 (1)
X* X2 (2) X1 (2)
S(2)
X0 (1)
X 1 (1)
S1(1) x1
• 鲍威尔基本算法的缺点
鲍威尔基本算法仅具有理论意义，不要说对于一般的 函数，就是对于二次函数，它也可能失效。因为在迭代过程 中的n个搜索方向有时会变成线性相关，而不能形成共轭方向， 从而张不成n维空间，导致随后的迭代搜索在降维(“退化”) 的空间中进行，可能求不到极小点，故需进行改进。
x 2 XL X2
Xn+3 Xn+2
Xn+1
Xห้องสมุดไป่ตู้ XH
X1 XG x1
6)扩张：当 fn+2 < f L 时，取扩张点Xn+3 ，即
Xn+3 = Xn+1 + (Xn+2 – Xn+1)
( =1.2~2.0 )
并计算 fn+3 = f (Xn+3 ) 。 若 fn+3 < fn+2 ，则以Xn+3 代替 X H ， fn+3 代替 fH ，构造一个新的单纯形；否则，以 X n+2 代 替XH ， fn+2 代替fH ，构造新的单纯形；然后返回到 3)。
鲍威尔条件：
若 f 3 < f 1, ( f1 - 且2f2 + f3) (f1 - f2 - △m(k))2 < 0.5 △m(k) (f1 - f3 )2 同时成立，则用 S ( k ) 替代 S m ( k ) ；否则，仍用 就是鲍威尔修正算法，通常所说的鲍威尔算法就是指这一修正算法。
• 鲍威尔算法的计算步骤及算法框图
机械优化设计之无约束优化方法(ppt 62页)
所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本 组成部分，也是优化方法的基础。
机械优化设计
一、概述
1、无约束优化问题
求n 维设计变量 Xx1,x使2,目x标nT函数
f Xmin ，而对 X 没有任何限制条件。
2、求解方法 （1）利用极值条件来确定极值点的位置。 （2）数值计算方法——搜索方法 基本思想：从给定的初始点 x 0 出发，沿某一搜索方向
y1,y2y12y221 2y1 y2 0 20 2 y y1 2
可以看出二者的对角形矩阵不同，前者的 等值线为一族椭圆，后者的等值线为一族同 心圆，这说明对角形矩阵是表示度量的矩阵 或者是表示尺度的矩阵，最速下降法的收敛 速度和变量的尺度有很大关系。
称其为牛顿方向，则阻尼牛顿法的迭代公式为：
X k 1 X k k d k X k k 2 fX k 1 fX k ( k 0 , 1 , 2 )
k ——阻尼因子，即沿牛顿方向进行一维搜索的最佳步长，
可通过如下极小化过程求得：
机械优化设计
章 无约束优化方法
一、概述 二、最速下降法（梯度法） 三、牛顿型方法（牛顿法和阻尼牛顿法） 四、共轭方向和共轭方向法 五、共轭梯度法 六、变尺度法 七、坐标轮换法
机械优化设计
实际中的工程问题大都是在一定限制条件下追 求某一指标为最小，属于约束优化问题。
为什么要研究无约束优化问题？
1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束问题； 2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的 基础； 3）约束优化问题的求解可用通过一系列无约束优化方法来 达到。
f xk1 Tf xk 0 或 dk1 T dk 0
机械优化设计
一、概述
1、无约束优化问题
求n 维设计变量 Xx1,x使2,目x标nT函数
f Xmin ，而对 X 没有任何限制条件。
2、求解方法 （1）利用极值条件来确定极值点的位置。 （2）数值计算方法——搜索方法 基本思想：从给定的初始点 x 0 出发，沿某一搜索方向
y1,y2y12y221 2y1 y2 0 20 2 y y1 2
可以看出二者的对角形矩阵不同，前者的 等值线为一族椭圆，后者的等值线为一族同 心圆，这说明对角形矩阵是表示度量的矩阵 或者是表示尺度的矩阵，最速下降法的收敛 速度和变量的尺度有很大关系。
称其为牛顿方向，则阻尼牛顿法的迭代公式为：
X k 1 X k k d k X k k 2 fX k 1 fX k ( k 0 , 1 , 2 )
k ——阻尼因子，即沿牛顿方向进行一维搜索的最佳步长，
可通过如下极小化过程求得：
机械优化设计
章 无约束优化方法
一、概述 二、最速下降法（梯度法） 三、牛顿型方法（牛顿法和阻尼牛顿法） 四、共轭方向和共轭方向法 五、共轭梯度法 六、变尺度法 七、坐标轮换法
机械优化设计
实际中的工程问题大都是在一定限制条件下追 求某一指标为最小，属于约束优化问题。
为什么要研究无约束优化问题？
1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束问题； 2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的 基础； 3）约束优化问题的求解可用通过一系列无约束优化方法来 达到。
f xk1 Tf xk 0 或 dk1 T dk 0
《无约束优化方法》课件
收敛性分析
分析迭代点是否收敛到最优解，以及收敛速度的快慢。
04 算法实现和案例 分析
MATLAB实现
介绍MATLAB在无约束优化方 法中的应用，包括函数优化工 具箱的使用和自定义算法的实
现。
演示如何使用MATLAB求解无 约束优化问题，如最小二乘问
题、非线性规划问题等。
介绍MATLAB中常用的优化算 法，如梯度下降法、牛顿法、 拟牛顿法等，并给出相应的代 码实现。
04
总结Python在无约束优化方法中的优缺点，并给出相应的改进建议 。
案例分析：简单的二次函数优化
介绍二次函数优化的基本 概念和方法，包括最优解 的求解和性质分析。
演示如何使用MATLAB或 Python求解该问题，并 给出相应的代码实现和结 果分析。
ABCD
给出具体的二次函数优化 问题，如最小化f(x)=x^2 在区间[a,b]上的最小值。
深度学习优化
结合深度学习技术，对高维非线性问题进行 优化，解决复杂的问题。
目标函数
需要最小化或最大化的函数
约束条件
对目标函数的限制条件，无约束优化问题没有约束条件
02 无约束优化方法 简介
梯度法
总结词
基本、直观、简单
详细描述
梯度法是最早的无约束优化方法之一，它基于函数的梯度信息，通过沿着负梯 度的方向搜索来寻找最优解。由于其简单直观，被广泛应用于各种优化问题。
牛顿法
控制工程
用于系统优化、控制器设计和系统稳 定性分析，提高控制系统的性能。
无约束优化方法的未来发展方向
混合整数优化
将整数约束和连续变量优化结合起来，解决 更复杂的优化问题。
多目标优化
考虑多个目标函数，寻求多目标之间的平衡 ，满足多方面的需求。
分析迭代点是否收敛到最优解，以及收敛速度的快慢。
04 算法实现和案例 分析
MATLAB实现
介绍MATLAB在无约束优化方 法中的应用，包括函数优化工 具箱的使用和自定义算法的实
现。
演示如何使用MATLAB求解无 约束优化问题，如最小二乘问
题、非线性规划问题等。
介绍MATLAB中常用的优化算 法，如梯度下降法、牛顿法、 拟牛顿法等，并给出相应的代 码实现。
04
总结Python在无约束优化方法中的优缺点，并给出相应的改进建议 。
案例分析：简单的二次函数优化
介绍二次函数优化的基本 概念和方法，包括最优解 的求解和性质分析。
演示如何使用MATLAB或 Python求解该问题，并 给出相应的代码实现和结 果分析。
ABCD
给出具体的二次函数优化 问题，如最小化f(x)=x^2 在区间[a,b]上的最小值。
深度学习优化
结合深度学习技术，对高维非线性问题进行 优化，解决复杂的问题。
目标函数
需要最小化或最大化的函数
约束条件
对目标函数的限制条件，无约束优化问题没有约束条件
02 无约束优化方法 简介
梯度法
总结词
基本、直观、简单
详细描述
梯度法是最早的无约束优化方法之一，它基于函数的梯度信息，通过沿着负梯 度的方向搜索来寻找最优解。由于其简单直观，被广泛应用于各种优化问题。
牛顿法
控制工程
用于系统优化、控制器设计和系统稳 定性分析，提高控制系统的性能。
无约束优化方法的未来发展方向
混合整数优化
将整数约束和连续变量优化结合起来，解决 更复杂的优化问题。
多目标优化
考虑多个目标函数，寻求多目标之间的平衡 ，满足多方面的需求。
四常用无约束最优化方法(精品PPT)
（3）用终止准则检测是否满足：若满足，则打印最优
解 X k 1 ，f ( X k1 ) ，结束；否则，置 k k 1，转
（2）．
，
最速下降法算法流程如图4.2所示．
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最速下降法算 法流程如图所 示．
图4.2
开始 选定X0
f0 f (X0) g0 g(X0)
X ls(X 0 ,g0 )
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§4.1 最速下降法
对于问题（4.1）为了求其最优解，按最优化算法的基
本思想是从一个给定的初始点
X
出发，通过基本迭代公
0
式 X k1 X k tk Pk，按照特定的算法产生一串
点列{X k } ，如果点列收敛，则该点列的极限点为问题
（4.1）的最优解．
一、最速下降法基本原理
1个迭代点
X
k
，即
1
X k1 X k tk f ( X k ) ，
其中步长因子 tk 按下式确定
也可记为
fin
t
f
(Xk
tf
(Xk
))
，
X k1 ls( X k , f ( X k )) ． （4.3）
显然，令k 0, 1, 2, 就可以得到一个点列 X0, X1, X2 ，
g( X ) AX b ，(4.5)
因此，
gk g( X k ) AX k b．(4.6)
现在从X k 出发沿 g k 作直线搜索以确定 X k1 ，于是
X k1 X k tk gk ， (4.7) 其中tk 是最优步长因子．
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又因式（4.2），有 g( X k1 )T gk 0 ，再利用式
解 X k 1 ，f ( X k1 ) ，结束；否则，置 k k 1，转
（2）．
，
最速下降法算法流程如图4.2所示．
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最速下降法算 法流程如图所 示．
图4.2
开始 选定X0
f0 f (X0) g0 g(X0)
X ls(X 0 ,g0 )
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§4.1 最速下降法
对于问题（4.1）为了求其最优解，按最优化算法的基
本思想是从一个给定的初始点
X
出发，通过基本迭代公
0
式 X k1 X k tk Pk，按照特定的算法产生一串
点列{X k } ，如果点列收敛，则该点列的极限点为问题
（4.1）的最优解．
一、最速下降法基本原理
1个迭代点
X
k
，即
1
X k1 X k tk f ( X k ) ，
其中步长因子 tk 按下式确定
也可记为
fin
t
f
(Xk
tf
(Xk
))
，
X k1 ls( X k , f ( X k )) ． （4.3）
显然，令k 0, 1, 2, 就可以得到一个点列 X0, X1, X2 ，
g( X ) AX b ，(4.5)
因此，
gk g( X k ) AX k b．(4.6)
现在从X k 出发沿 g k 作直线搜索以确定 X k1 ，于是
X k1 X k tk gk ， (4.7) 其中tk 是最优步长因子．
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又因式（4.2），有 g( X k1 )T gk 0 ，再利用式
最新第4章无约束优化方法PPT课件
机械优化设计19第四章第四章无约束优化方法无约束优化方法第四节第四节共轭方向及共轭方向法共轭方向及共轭方向法??共轭方向的形成共轭方向的形成??格拉姆格拉姆斯密特向量系共轭化的方法斯密特向量系共轭化的方法20第四章第四章无约束优化方法无约束优化方法第四节第四节共轭方向及共轭方向法共轭方向及共轭方向法10g1221第四章第四章无约束优化方法无约束优化方法第五节第五节共轭梯度法共轭梯度法共轭梯度法
第机四械章优化设无计约束优化方法
第七节 坐标轮换法
基本思想：
每次仅对多元函数的一个变量沿其坐标轴进行 一维探索，其余各变量均固定不动，并依次轮换进行一
，
维探索的坐标轴，完成第一轮探索后再重新进行第二轮 探索，直到找到目标函数在全域上的最小点为止。
目的：将一个多维的无约束最优化问题，转化为一系
列的一维问题来求解。
第机四械章优化设无计约束优化方法
第六节 变尺度法（拟牛顿法）
DFP算法：
例 ： 用 D F P 算 法 求 fx 1 ,x 2 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 2 x 1 x 2
，
的 极 值 解 。
H k 1 H k E k H k s s k T k s y k T k H y k k T y H ky k k T y H kk (k 0 ,1 ,2 , )
设法构造出一个对称正定矩阵 来H 代k 替 ，并 在迭G代( x过k )程1 中使 逐渐逼近 H,那k 么就简化G了(牛xk )顿1 法的计算，并且保持了牛顿法收敛快的优点。
变尺度法的
迭代公式：
x k 1 x k k H k fx k ( k 0 ,1 ,2)
第机四械优章化设无计约束优化方法
3)沿方向d k作，一维搜索得xk 1 xk k d k ; 4)判断收敛：若满足 f ( x(k 1) ) , 则令x* xk 1，f ( x* ) f ( xk 1),
第机四械章优化设无计约束优化方法
第七节 坐标轮换法
基本思想：
每次仅对多元函数的一个变量沿其坐标轴进行 一维探索，其余各变量均固定不动，并依次轮换进行一
，
维探索的坐标轴，完成第一轮探索后再重新进行第二轮 探索，直到找到目标函数在全域上的最小点为止。
目的：将一个多维的无约束最优化问题，转化为一系
列的一维问题来求解。
第机四械章优化设无计约束优化方法
第六节 变尺度法（拟牛顿法）
DFP算法：
例 ： 用 D F P 算 法 求 fx 1 ,x 2 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 2 x 1 x 2
，
的 极 值 解 。
H k 1 H k E k H k s s k T k s y k T k H y k k T y H ky k k T y H kk (k 0 ,1 ,2 , )
设法构造出一个对称正定矩阵 来H 代k 替 ，并 在迭G代( x过k )程1 中使 逐渐逼近 H,那k 么就简化G了(牛xk )顿1 法的计算，并且保持了牛顿法收敛快的优点。
变尺度法的
迭代公式：
x k 1 x k k H k fx k ( k 0 ,1 ,2)
第机四械优章化设无计约束优化方法
3)沿方向d k作，一维搜索得xk 1 xk k d k ; 4)判断收敛：若满足 f ( x(k 1) ) , 则令x* xk 1，f ( x* ) f ( xk 1),
无约束优化方法PPT课件-PPT精选文档
1 1 f x a G d 0 1
等式两边同乘 d
0
T
得
d Gd 0
0 T 1
fxa fx fx 0
k k T k k
k f x f x 0 k 1 T
d
k 1 T
dk 0
由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上 的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方 向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。
第四章
无约束优化方法
第一节 概述
从第一章列举的机械设计问题，大多数实际问题 是约束优化问题。 约束优化问题的求解——转化为一系列的无约束 优化问题实现的。
因此，无约束优化问题的解法是优化设计方法 的基本组成部分，也是优化方法的基础。
无约束优化问题的极值条件
f x* 0
解析法(间接解法)
4.3.2 阻尼牛顿法 牛顿法的缺陷是，在确定极值点的过程中，并不含有沿 下降方向搜索的概念。因此对于非二次型函数，在迭代过 k 1 k 程中，可能出现 f( X )f( X )
的现象。为此人们提出了所谓的阻尼牛顿法。
令
k d H ( X ) f ( X ) k
1 k
以上二种经典方法中，人们不断努力，发掘，提出了不
同的改进方法。
第四节共轭方向及共轭方向法
为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展 了一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。
一、共轭方向的概念 共轭方向的概念是在研究二次函数
1T T f x x bx c xG 2
时引出的。 首先考虑二维情况
数值法(直接解法)
等式两边同乘 d
0
T
得
d Gd 0
0 T 1
fxa fx fx 0
k k T k k
k f x f x 0 k 1 T
d
k 1 T
dk 0
由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上 的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方 向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。
第四章
无约束优化方法
第一节 概述
从第一章列举的机械设计问题，大多数实际问题 是约束优化问题。 约束优化问题的求解——转化为一系列的无约束 优化问题实现的。
因此，无约束优化问题的解法是优化设计方法 的基本组成部分，也是优化方法的基础。
无约束优化问题的极值条件
f x* 0
解析法(间接解法)
4.3.2 阻尼牛顿法 牛顿法的缺陷是，在确定极值点的过程中，并不含有沿 下降方向搜索的概念。因此对于非二次型函数，在迭代过 k 1 k 程中，可能出现 f( X )f( X )
的现象。为此人们提出了所谓的阻尼牛顿法。
令
k d H ( X ) f ( X ) k
1 k
以上二种经典方法中，人们不断努力，发掘，提出了不
同的改进方法。
第四节共轭方向及共轭方向法
为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展 了一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。
一、共轭方向的概念 共轭方向的概念是在研究二次函数
1T T f x x bx c xG 2
时引出的。 首先考虑二维情况
数值法(直接解法)
5 常用无约束最优化方法PPT课件
优 化
又因 g(Xk1)Tgk0，再结合式（5.5）、（5.6）、（5.7）来自方可得法
[A (X ktkgk)b]Tgk0 或 [gktkAkg ]Tgk0
由此解出
tk
g
T k
g
k
g
T k
Ag
k
代入式（5.7）中得到
Xk1 Xk ggkTkTAgkgk gk （5.8）
第 五 章
例5.1 试用最速下降法求函数 f(x1,x2)x1 24x2 2的极小 点．迭代两次，计算各迭代点的函数值，梯度及其模， 并验证相邻两个搜索方向是正交的．设初始点
常 用 无
为 X0 [1,1]T． 解 与式（5.4）比较，得
A
2 0
0 8
约
束 优
梯度表达式是 f(X)f(x1,x2)82xx21
化 方
由 X0 [1， 1]T ，计算出
法
f(x0)124125
2 g0 f (X0)8 || g0 ||8.24621
因为目标函数是二次的，可以使用式（5.8），所以有
束
计算梯度，甚至需要计算Hesse矩阵．一般的经验是，
优
在可能求得目标函数导数的情况下还是尽可能使用间
化
接方法；相反，在不可能求得目标函数的导数或根本
方
不存在导数的情况下，当然就应该使用直接法．
法
5.1 最速下降法
为求问题（5.1）的最优解，按最优化算法的基本思想
是从一个给定的初始点 X 0 出发，通过基本迭代公式
化
无约束优化方法是优化技术中极为重要,它不仅可以直
方
接用来求解无约束优化问题，而且很多约束优化问题
法
也常将其转化为无约束优化问题，然后用无约束优化
04无约束优化方法
X (k)=X*是准确的，由X (k)出发只要迭代一次可得到极小点。 6
2.特点 (1).收敛的速度快，即使到了
x2
最优点邻域时也很快收敛于函数 的局部最优点。
(2).采用定步长迭代，因而 就不能保证每次迭代中目标函
5
X2
4
X1
D
3
数是下降的。 原因：φ (X)仅为目标函数
E2 B
f(X)在X (k)点附近的近似表达 式。 X(k+1)点是φ (X)在牛顿方
X(2) X(1)2S(2)
③ S(3)X(2)X(0)
fX ( 2 ) 3 S ( 3 ) m fX 2 i n S ( 3 )
④
XX (3()3)XX ((02))S (2) 3 S(S3 )(1)
S (3)
(2)
S
S 3
X0 1S 1
Sˆ2 S3
Xˆ 1
Xˆ 2 Sˆ 3
Sˆ1 S2X22ຫໍສະໝຸດ 2X3 X ˆ0X1
⑤ (3) (2) (0)
S X X
[S3]THX(2)X(3)0
23
三、Powell法存在的问题 (1)、对于非二次函数，用Taylor展开只有接近中心处是椭 圆，故收敛就不是二次收敛，即n次不一定达到最优点。 (2)、共轭方向一定是线性无关的。出现线性相关或近似线 性相关，使一些方向漏掉，降维，称为退化，故对Powell法进 行修改，即不一定固定每次去掉的都是第一个方向，而是“哪 个方向好就朝哪个方向走”，从而避免出现线性相关的“退 化”现象。 (3)、修正方法 增加模式移动：
迭代一轮，求出下一轮的初始点和迭代方向。
六、编程实现Powell算法
28
无约束优化方法
5常用无约束最优化方法.ppt
由
f ( x0 )
1 X0 1
2 x1 f ( X ) f ( x1 , x2 ) 8x2
，计算出
5
12
4 12
2 g 0 f ( X 0 ) 8
|| g 0 || 8.24621
因为目标函数是二次的，可以使用式（5.8），所以 有
对照基本迭代格式
X k 1 X k t k Pk
易知，式（5.9）中的搜索方向
Pk [ 2 f ( X k )]1 f ( X k )
步长因子 t k 1．换句话说从点 X k出发沿搜索方向 并取步长 t k 的极小点 X k 1．因此， 1 即可得 Q ( X ) Pk [ 2 f ( X k )]1 f ( X k )
Pk ．
X k 1 X k Pk , f k 1 f ( X k 1 ), g k 1 g ( X k 1 )
（5）判别终止准则是否满足：若满足，则打印最优解 X k 1 ，
f k 1停机；否则，置 k k 1 ，转（2）．
Newton法的流程如图5.5所示．
2 2 例5.2 试用Newton法求 f ( x1，x2 ) x1 的极小点，初始 4 x2 点取为 X 0 [1, 1]T ．
一、Newton法基本原理
为寻求收敛速度快的算法，我们考虑在应用基本迭代公式
X k 1 X k t k Pk 中，每轮迭代在迭代的起始点 X k 处
用一个适当的二次函数来近似该点处的目标函数，由此用该点
X k 指向近似二次函数极小点的方向来构造搜索方向
图5.4所示）．
Pk（如
下面具体讨论Newton法．
相关主题
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进行一维搜索，其终点 x k 1 与始点 x k 的梯度值差
gk1 gk 与 d k 的共轭方向 d j 正交。
精选ppt
18
图4-9 共轭梯度法的几何说明
精选ppt
精选ppt
20
精选ppt
21
精选ppt
22
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23
精选ppt
24
第六节变尺度法
变尺度法的基本思想：
前面讨论的梯度法和牛顿法，它们的迭代公式可以看作下列 公式的特例。
3
第二节 最速下降法
优化设计追求目标函数值最小，若搜索方向取该点的负梯度 方向，使函数值在该点附近的范围内下降最快。
按此规律不断走步，形成以下迭代算法：
xk1xkak f xk
以负梯度方向为搜索方向，所以称最速下降法或梯度法。
搜索方向确定为负梯度方向，还需确定步长因子a k
即求一维搜索的最佳步长，既有
xk 1xkkH f xk
变尺度法是对牛顿法的修正，它不是计算二阶导数的矩阵和 它的逆矩阵，而是设法构造一个对称正定矩阵H来代替Hesse 矩阵的逆矩阵。并在迭代过程中，使其逐渐逼近H-1 。
由于对称矩阵H在迭代过程中是不断修正改变的，它对于一 般尺度的梯度起到改变尺度的作用，因此H又称变尺度矩阵。
数值法
可以处理复杂函数及没有数学表达式 的优化设计问题
xk1xk akdk
搜索方向问题是无约束优化方法的关键。
各种无约束优化方法的区别：确定搜索方向的方法不同。
利用目标函数的一阶或二阶导数
无约束优化方法分类 （最速下降法、共轭梯度法、牛顿法）
利用目标函数值
（精坐选标ppt轮换法、鲍威尔等）
2
精选ppt
精选ppt
25
一、尺度矩阵的概念 变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。 通过尺度变换可以把函数的偏心程度降低到最低限度。
对于一般二次函数
f x1xTGxbTxc
2 如果进行尺度变换
x Qx
精选ppt
26
则在新的坐标系中，函数的二次项变为
1xTGx1xTQTGQx
2
2
选择这样变换的目的：降低二次项的偏心程度。
否则转4。
4、提供新的共轭方向 d k 1 ，使 dj TGdk1 0
5、置 kk1，转2。
精选ppt
15
精选ppt
16
第五节 共轭梯度法
共轭梯度法是共轭方向法的一种，共轭向量有迭代点 的负梯度构造出来，所以称共轭梯度法。
f x1xTGxbTxc
2
从点x k出发，沿G某一共轭方向d k 作一维搜索,到达x k 1
精选ppt
5
精选ppt
6
例4-1 求目标函数 fxx1225x22 的极小点。
精选ppt
7
精选ppt
8
第三节牛顿型方法
在第三章中，我们已经讨论了一维搜索的牛顿方法。 得出一维情况下的牛顿迭代公式
xk1
xk
f f
xk xk
对于多元函数，在 x k 泰勒展开，得
f xx
fx k fx k T x x k 1 x x k T 2 fx k x x k 2
设 x k 1 为函数的极小点，根精选据pp极t 值的必要条件
9
xk1 0
fx k 2 fx k x k 1 x k 0
xk 1xk 2f xk 1 f xk
这是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。
例4-2 用牛顿法求 fxx1225x22 的极小值。
对牛顿法进行改进，提出“阻尼牛顿法”
若矩阵G是正定的，则总存在矩阵Q使
QTGQ I 使得函数偏心度变为零。
x k 1 x kk 2fx k 1 fx k
fx k 1 f x k a k d k 精 选pm pt i n f x k a d k
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第四节共轭方向及共轭方向法
为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展了 一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。 一、共轭方向的概念
fx k 1 f x k a k fx k m i n f x k a k fx k m i n
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4
T
f x k a k fx k fx k 0
f
xk1
T
f
xk
0
dk1 T dk 0
由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数 梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻 两个搜索方向互相垂直。
第四章无约束优化方法
第一节 概述
从第一章列举的机械设计问题，大多数实际问题是约 束优化问题。
约束优化问题的求解——转化为一系列的无约束优化问 题实现的。
因此，无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组 成部分，也是优化方法的基础。
无约束优化问题的极值条件
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f x* 0
1
解析法
数学模型复杂时不便求解
f x1 a1G d10
等式两边同乘 d 0 T 得 d0 T Gd1 0
d 0 d 1 是对G的共轭方向。
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三、共轭方向法
1、选定初始点 x 0 ，下降方向d 0 和收敛精度ε，k=0。
2、沿 d k 方向进行一维搜索，得 xk1xk akdk
3、判断 f xk1 是否满足，若满足则打印 x k 1
xk1xk akdk
xk1xk akdk
而在点x k 、x k 1处的梯度分别为：
gk Gxk b g 精选pptk1Gxk1b
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g k 1 g k G x k 1 x k a k G d k
dj TGdk1 0
dj T Gdk 0
dj
T
Ggk1gk
0
得出共轭方向与梯度之间的关系。此式表明沿方向 d k
x1 x0 a0d0
f f x1 T d0 0
d x1
x* x1a1d1
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13
d 1 应满足什么条件？ 对于二次函数 f x 在 x * 处取得极小点的必要条件
f x* G x*b0
fx * G x 1 a 1 d 1 b G x 1 b a 1 G d 1
共轭方向的概念是在研究二次函数
f x1xTGxbTxc
2 时引出的。 首先考虑二维情况
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如果按最速下降法，选择负梯度方向为搜索方向，会产生 锯齿现象。
为避免锯齿的发生，取下一次的迭代搜索方向直接指向极 小点，如果选定这样的搜索方向，对于二元二次函数只需 进行两次直线搜索就可以求到极小点。
gk1 gk 与 d k 的共轭方向 d j 正交。
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图4-9 共轭梯度法的几何说明
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第六节变尺度法
变尺度法的基本思想：
前面讨论的梯度法和牛顿法，它们的迭代公式可以看作下列 公式的特例。
3
第二节 最速下降法
优化设计追求目标函数值最小，若搜索方向取该点的负梯度 方向，使函数值在该点附近的范围内下降最快。
按此规律不断走步，形成以下迭代算法：
xk1xkak f xk
以负梯度方向为搜索方向，所以称最速下降法或梯度法。
搜索方向确定为负梯度方向，还需确定步长因子a k
即求一维搜索的最佳步长，既有
xk 1xkkH f xk
变尺度法是对牛顿法的修正，它不是计算二阶导数的矩阵和 它的逆矩阵，而是设法构造一个对称正定矩阵H来代替Hesse 矩阵的逆矩阵。并在迭代过程中，使其逐渐逼近H-1 。
由于对称矩阵H在迭代过程中是不断修正改变的，它对于一 般尺度的梯度起到改变尺度的作用，因此H又称变尺度矩阵。
数值法
可以处理复杂函数及没有数学表达式 的优化设计问题
xk1xk akdk
搜索方向问题是无约束优化方法的关键。
各种无约束优化方法的区别：确定搜索方向的方法不同。
利用目标函数的一阶或二阶导数
无约束优化方法分类 （最速下降法、共轭梯度法、牛顿法）
利用目标函数值
（精坐选标ppt轮换法、鲍威尔等）
2
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一、尺度矩阵的概念 变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。 通过尺度变换可以把函数的偏心程度降低到最低限度。
对于一般二次函数
f x1xTGxbTxc
2 如果进行尺度变换
x Qx
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则在新的坐标系中，函数的二次项变为
1xTGx1xTQTGQx
2
2
选择这样变换的目的：降低二次项的偏心程度。
否则转4。
4、提供新的共轭方向 d k 1 ，使 dj TGdk1 0
5、置 kk1，转2。
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第五节 共轭梯度法
共轭梯度法是共轭方向法的一种，共轭向量有迭代点 的负梯度构造出来，所以称共轭梯度法。
f x1xTGxbTxc
2
从点x k出发，沿G某一共轭方向d k 作一维搜索,到达x k 1
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5
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6
例4-1 求目标函数 fxx1225x22 的极小点。
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7
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8
第三节牛顿型方法
在第三章中，我们已经讨论了一维搜索的牛顿方法。 得出一维情况下的牛顿迭代公式
xk1
xk
f f
xk xk
对于多元函数，在 x k 泰勒展开，得
f xx
fx k fx k T x x k 1 x x k T 2 fx k x x k 2
设 x k 1 为函数的极小点，根精选据pp极t 值的必要条件
9
xk1 0
fx k 2 fx k x k 1 x k 0
xk 1xk 2f xk 1 f xk
这是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。
例4-2 用牛顿法求 fxx1225x22 的极小值。
对牛顿法进行改进，提出“阻尼牛顿法”
若矩阵G是正定的，则总存在矩阵Q使
QTGQ I 使得函数偏心度变为零。
x k 1 x kk 2fx k 1 fx k
fx k 1 f x k a k d k 精 选pm pt i n f x k a d k
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第四节共轭方向及共轭方向法
为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展了 一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。 一、共轭方向的概念
fx k 1 f x k a k fx k m i n f x k a k fx k m i n
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4
T
f x k a k fx k fx k 0
f
xk1
T
f
xk
0
dk1 T dk 0
由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数 梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻 两个搜索方向互相垂直。
第四章无约束优化方法
第一节 概述
从第一章列举的机械设计问题，大多数实际问题是约 束优化问题。
约束优化问题的求解——转化为一系列的无约束优化问 题实现的。
因此，无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组 成部分，也是优化方法的基础。
无约束优化问题的极值条件
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f x* 0
1
解析法
数学模型复杂时不便求解
f x1 a1G d10
等式两边同乘 d 0 T 得 d0 T Gd1 0
d 0 d 1 是对G的共轭方向。
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三、共轭方向法
1、选定初始点 x 0 ，下降方向d 0 和收敛精度ε，k=0。
2、沿 d k 方向进行一维搜索，得 xk1xk akdk
3、判断 f xk1 是否满足，若满足则打印 x k 1
xk1xk akdk
xk1xk akdk
而在点x k 、x k 1处的梯度分别为：
gk Gxk b g 精选pptk1Gxk1b
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g k 1 g k G x k 1 x k a k G d k
dj TGdk1 0
dj T Gdk 0
dj
T
Ggk1gk
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得出共轭方向与梯度之间的关系。此式表明沿方向 d k
x1 x0 a0d0
f f x1 T d0 0
d x1
x* x1a1d1
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d 1 应满足什么条件？ 对于二次函数 f x 在 x * 处取得极小点的必要条件
f x* G x*b0
fx * G x 1 a 1 d 1 b G x 1 b a 1 G d 1
共轭方向的概念是在研究二次函数
f x1xTGxbTxc
2 时引出的。 首先考虑二维情况
精选ppt
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如果按最速下降法，选择负梯度方向为搜索方向，会产生 锯齿现象。
为避免锯齿的发生，取下一次的迭代搜索方向直接指向极 小点，如果选定这样的搜索方向，对于二元二次函数只需 进行两次直线搜索就可以求到极小点。