同济六版高等数学第四章第一节课件
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高等数学(同济第6版习题课4-1)
（３） xd x ＝ d（ x２ ） ；
（４） xd x ＝ d（５ x２ ） ；
（５） xd x ＝ d（１ － x２ ） ；
（６） x３ d x ＝ d（３ x４ － ２） ；
（７） e２ x d x ＝ d（e２ x ） ；
（８）
e－
x ２
dx
＝
d（１
＋
e－
x ２
）
；
（９）
１
x －
x都是
１的 x － x２
原函数 畅
证 ［arcsin（２ x － １）］′ ＝
１
·２＝
１ － （２ x － １）２
１， x － x２
［arccos（１ － ２ x）］′ ＝ －
１
· （ － ２） ＝
１ － （１ － ２ x）２
１， x － x２
２arctan
x １－ x
′
＝
２
１
＋
１ １
x －
dx ＝３
dx １ ＋ x２
－２
dx １ － x２
＝ ３arctan x － ２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１ － e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１ ２
d
x
＝
ex
１
－ ２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６） ３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
t＝ ０
（２）
求使
d d
s t
＝
０的
t值
；
（３） 求使 s ＝ ５０ 的 k 值 畅
高等数学(同济大学)第六版课件上第4章
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
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C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
x
x x(t)
x0 x(0) o
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先求 由
知
v(t) ( g) d t gt C1
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) gt v0
再求
高等数学同济第六版上册课件CH4-4
1 x2 x 1
A x 1
Bx C x2 x 1
通分 x2 2x 2 A( x2 x 1) (Bx C)( x 1) x2 2x 2 (A B)x2 (A B C)x A C
A B 1 A B C 2
A C 2
A 1 B 2
C 1
x2
2x x3 1
x 2
sin 2
x 2
2 1 tan 2
x
2
sec2 x
1 1
u2 u2
2
例1
求
1
sin sin x
x
cos
x
dx.
解： 由万能置换 u tan x 2
dx
1
2 u2
du,
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
1
sin x sin x cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
已解决
3
x
Ax 2
B px
q
dx
4
x
2
Ax px
B
q
n
dx
（重点解决） （利用递推公式）
(1) 若 Δ＝p2－4q＜0，即分母无法分解因式
利用公式
du a2 u2
1 arctan a
u a
C
例1
求
9x2
1 dx 6x 2
解：
原式＝
(3x
1 1)2
dx 1
＝1 3
d (3x 1) (3x 1)2
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
A x 1
Bx C x2 x 1
通分 x2 2x 2 A( x2 x 1) (Bx C)( x 1) x2 2x 2 (A B)x2 (A B C)x A C
A B 1 A B C 2
A C 2
A 1 B 2
C 1
x2
2x x3 1
x 2
sin 2
x 2
2 1 tan 2
x
2
sec2 x
1 1
u2 u2
2
例1
求
1
sin sin x
x
cos
x
dx.
解： 由万能置换 u tan x 2
dx
1
2 u2
du,
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
1
sin x sin x cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
已解决
3
x
Ax 2
B px
q
dx
4
x
2
Ax px
B
q
n
dx
（重点解决） （利用递推公式）
(1) 若 Δ＝p2－4q＜0，即分母无法分解因式
利用公式
du a2 u2
1 arctan a
u a
C
例1
求
9x2
1 dx 6x 2
解：
原式＝
(3x
1 1)2
dx 1
＝1 3
d (3x 1) (3x 1)2
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
高等数学同济大学第六版1-01-函数课件
x cos y
y arccos x
反正弦函数 y arcsin x
证明 x 1,1 , arcsin x arccos x
y arcsin x
2
记 arcsin x [ ， ], 2 2 arccos x [0, ]，
x [1,1], y arcsin x [
0, x a H ( x) 1, x a
1
o a x
Heaviside 是一位英国的电子工程师，他 用 Heaviside 函数来描述事物由量变到质 变的一个过程与状态。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
Байду номын сангаас
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
, ] cos 2 2
1 sin 2 1 x 2 ,
sin 1 cos 2 1 x 2 , x 2 1 x 2 1,
反余弦函数 y arccos x
sin( ) sin cos cos sin
函 数
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。 微积分的研究是以极限的思想为基 本思想，以极限的方法为基本方法—— 极限是基本工具。 但根本上，微积分这一学说的诞生 的基础是——笛卡儿的解析几何。
2 2
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
函数的几何特性
1．函数的有界性:
同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为()s s t =,则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1。
1。
1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出。
关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理:定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ(C 为任意常数）． 若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1。
高等数学,同济大学第六版,24
ln y ln x 1 ( ) 1 ln x 1 ( ) 2 ln x 4 ( ) x 3
上式两边x求 对导得 y 1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y(x (x 1 )4 3 )2 x e x1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ]
数 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ __ ， d 2 y _ _ _ _ _ __ _ .
dx ( 1 ,1 )
dx 2
2 、 曲 线 x 3 y 3 xy 7 在 点 （ 1 ， 2 ） 处 的 切 线 方 程
是 ___________.
3、
曲
线
x y
t t
例5 设 函 y数 y(x)由 方x程 ef(y) ey确,定
其f中 具 有 二 阶 f导 1,求 数 y. 且
解 关系式两边取对数得 ln xf(y)y
上式两边x求 对导得 1f(y)yy (1)
x
y
1
(2)
(1)式两边再x求 对导得 x(1f(y))
x 1 2f(y )y 2f(y )y y yxx 22f(1(y)fy(2y ) 1 ) (2) f(xy 2)(1 (1f (fy)(3 y ))2 )
2
2
yaxa(1) 即yxa(2)
2
2
例7
求
由 dy
方xy程aacsion33stt
表
示
的
函
数
的
二 .
解
dy dx
dt dx
3asin2 tcost 3aco2st(si nt)
tatn
dt
d dx
上式两边x求 对导得 y 1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y(x (x 1 )4 3 )2 x e x1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ]
数 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ __ ， d 2 y _ _ _ _ _ __ _ .
dx ( 1 ,1 )
dx 2
2 、 曲 线 x 3 y 3 xy 7 在 点 （ 1 ， 2 ） 处 的 切 线 方 程
是 ___________.
3、
曲
线
x y
t t
例5 设 函 y数 y(x)由 方x程 ef(y) ey确,定
其f中 具 有 二 阶 f导 1,求 数 y. 且
解 关系式两边取对数得 ln xf(y)y
上式两边x求 对导得 1f(y)yy (1)
x
y
1
(2)
(1)式两边再x求 对导得 x(1f(y))
x 1 2f(y )y 2f(y )y y yxx 22f(1(y)fy(2y ) 1 ) (2) f(xy 2)(1 (1f (fy)(3 y ))2 )
2
2
yaxa(1) 即yxa(2)
2
2
例7
求
由 dy
方xy程aacsion33stt
表
示
的
函
数
的
二 .
解
dy dx
dt dx
3asin2 tcost 3aco2st(si nt)
tatn
dt
d dx
高等数学第六版上下册(全)(同济大学出版社)
它们都单调递增, 其图形关于直线 y x 对称 .
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(2) 复合函数 设有函数链
xg D
u
f
Rg D f
y
y f (u), u Df
①
u g(x), x D, 且 Rg D f
②
则
y f [g(x)] , x D
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
f 1 : f (D) D, 使 y f (D), f 1( y) x , 其中f (x) y, 称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数 y f 1(x) 存在,
值域 f (D) [0, ) y 2 x
f
(
1 2
)
2
1 2
2
O
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
1
x
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2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若 f (x) f (x), 则称 f (x) 为偶函数;
y
若 f (x) f (x),则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
高等数学(同济第六版)课件 第四、五章 3. 微积分基本公式
(sec x 1) sec xd sec x
2 2
4 0
sec4 xd sec x sec2 xd sec x
1 1 1 5 4 1 3 4 sec x 0 sec x 0 (4 2 1) ( 2 2 1) 5 3 5 3
4 0
2 sin x cos 2 x 1 ( 2) dx sin x d cos x d cos x cos x cos x cos x 3
1 (cos x )d cos x cos x 1 1 2 ( t )dt t ln t C t 2
mx n , ( p 2 4q 0) 型的积分 基本类型4： 2 x px q mx n mx n 先将分母分解因式： 2 x px q ( x a )( x b ) mx n A B 由： ( x a )( x b ) x a x b
| sin x cos x | dx | sin x cos x | dx (cos x sin x )dx (sin x cos x )dx
4 0 4 0
2 0
2 4 2 4
(sin x cos x )
4 0
( cos x sin x )
2 4
( 2 1) ( 1 2 ) 2( 2 1)
y x 2 和 x y 2 所围成的图形的面积. 例2 求由曲线
解 A
1
0
xdx x 2dx
0
1
2 x 3
31 2
1 21 2 1 1 x 0 3 3 3 3 0
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
则称函数 f (x)在 x0 连续.
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
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若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
π 2
)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作
o()
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
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若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
π 2
)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作
o()
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高数课本_同济六版
第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重第二章要的内容，要掌握求极限的集中方法）第三章第四章第一节映射与函数（一般章节）第五章一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解）第六章注：P1--5 集合部分只需简单了解第七章P5--7不用看第八章P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界第九章P17--20 不用看第十章P21 习题1.1第十一章1、2、3大题均不用做第十二章4大题只需做（3）（5）（7）（8）第十三章5--9 均做第十四章10大题只需做（4）（5）（6）第十五章11大题只需做（3）（4）（5）第十六章12大题只需做（2）（4）（6）第十七章13做14不用做15、16重点做第十八章17--20应用题均不用做第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看）一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解）二、P26--28 例1、2、3均不用证三、p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解四、P30 定理4不用看五、P30--31 习题1-2六、1大题只需做（4）（6）（8）七、2--6均不用做第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题）一、（了解）二、（了解）二、P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可三、P35 例6 要会做例7 不用做四、P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看五、六、p37习题1--3七、1--4 均做5--12 均不用做第四节（重要）第五节第六节一、无穷小（重要）二、无穷大（了解）第七节第八节 p40 例2不用做 p41 定理2不用证第九节 p42习题1--4第十节第十一节 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在)第六节p43 定理1、2的证明要理解第七节p44推论1、2、3的证明不用看第八节p48 定理6的证明不用看第九节p49 习题1--5第十节1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14)第十一节2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明第七节第八节第九节p50 准则1的证明要理解第十节p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)第十一节第十二节p53另一个重要极限的证明可以不用看第十三节p55--56柯西极限存在准则不用看第十四节第十五节p56习题1--7第十六节第十七节1大题只做(1)(4)(6)第十八节2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做第七节(重要）第八节p58--59 定理1、2的证明要理解第九节p59 习题1--7 全做第十节第八节（基本必考小题）第九节p60--64 要重点看第八节基本必出考题第十节p64 习题1--8第十一节第十二节1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做第十三节6--8不用做第九节（了解）第十节p66--67 定理3、4的证明均不用看第十一节p69 习题1--9第十二节1、2要做第十三节3大题只做（3）——（6）第十四节4大题只做（4）——（6）第十五节5、6均要重点做第十节（重要，不单独考大题，但考大题会用到）第十一节第十二节一、（重要）二、（重要）p72三、一致连续性（不用看）第十三节p74习题1--10第十四节1、2、3、5要做，要会用5的结论。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分
f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
目录
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
v(t ) ( g ) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0
再求
由 知
O
2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
思考与练习
1. 证明
(P193题7)
2. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e
f (ln x) e
ln x
1 x
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3. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
v(t ) ( g ) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0
再求
由 知
O
2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
思考与练习
1. 证明
(P193题7)
2. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e
f (ln x) e
ln x
1 x
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3. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
高数同济六版课件D44有理函数积分
直接积分法
直接积分法是一种 常用的积分方法， 适用于求解有理函 数的积分
直接积分法的基本 思想是将有理函数 分解为若干个部分， 然后分别进行积分
直接积分法需要掌 握一些基本的积分 公式和技巧，如积 分换元法、积分部 分分式法等
直接积分法在实际 应用中具有广泛的 应用价值，如求解 物理、工程等领域 的问题
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,
有理函数积分
汇报人：
汇报时间：20XX/01/01
目录
01.
添加标题
02.
有理函数的定 义和性质
03.
有理函数的积 分方法
04.
有理函数积分 的应用
05.
有理函数积分 的注意事项和 常见错误
单击添加章节标题内容
01
有理函数的定义和性质
02
有理函数的定义
有理函数的定义域：函数定 义域内的所有实数
求解微分方程： 利用有理函数积 分求解微分方程
优化问题：在有 理函数积分中寻 找最优解
概率论与数理统 计：在有理函数 积分中应用概率 论与数理统计
线性代数：在有 理函数积分中应 用线性代数
在金融和经济中的应用
计算股票价格：通过积分计算股票价格的变化趋势 预测经济指标：通过积分预测GDP、CPI等经济指标的变化趋势 计算债券价格：通过积分计算债券价格的变化趋势 计算期权价格：通过积分计算期权价格的变化趋势
Байду номын сангаас
积分顺序错误：注意积分顺序的 正确性，避免先积分后求导或先 求导后积分
添加标题
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积分变量错误：注意积分变量的 正确性，避免使用错误的变量进 行积分
积分方法错误：注意积分方法的 正确性，避免使用错误的积分方 法进行积分
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x(t ) 1 g t 2 v0t x0 2
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微分与积分的关系 从不定积分的定义可知
d [ f (x)dx] f (x) , 或 d[ f (x)dx] f (x)dx dx 又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以
F (x)dx F (x) C ,
或记作 dF (x) F (x) C .
由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定 积分的运算是互逆的.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下页
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二、基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数), (2) x dx 1 x 1 C , 1 1 (3) dx ln | x| C , x (4) e xdx e x C ,
C 称为积分常数 不可丢 !
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如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F (x) C .
例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以
cos xdx sin x C .
因为 x 是 1 的原函数, 所以 2 x 1 dx x C . 2 x
例4 例4 例5 例5
1 dx x3dx 1 x31 C 1 C . x3 2 3 1 2x
x 2 x dx
5 x 2 dx
2 x3 x C . 7
4
5 1 x 2 1 C 2 x 2 C . 5 1 7 2
7
dx x 3 dx 例6 C 3x 3 C 3 3 C . 例6 3 4 1 x x x 3
初等函数在定义区间上有原函数
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说明： 1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限 多个原函数, F(x)C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 (x)F(x)C (C为某个常数).
(5) a x dx
x
(7) sin xdx cos x C ,
(8) sec2 xdx tan x C ,
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(14) sh x dx ch x C ,
(15) ch x dx sh x C .
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(2) x dx 1 x 1 C , 1
x
dx v(t ) dt
d2 x d v g 2 dt dt
(运动速度) 再由此求 x(t ) (加速度) 先由此求 v(t )
o
结束
x x(t )
x0 x(0)
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dv 先求v(t ) . 由 g , 知 dt
x
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故
因为 ( x ) 1 , 所以 x 是 1 的原函数. 2 x 2 x 提问： x 和 1 还有其它原函数吗？ cos 2 x
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可 导函数F(x), 使对任一xI 都有 F (x)f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. (下章证明) 初等函数在定义区间上连续
(2e) x 2x ex C . 例10 例 10 2 x e x dx (2e) x dx C ln(2e) 1 ln 2 1 x x2 dx x (1 x2 ) dx ( 1 1 )dx 例11 例 11 x(1 x2) 1 x2 x x(1 x2 )
2xdx x2 C , 故必有某个常数C使f(x)x2C, 即曲线方程为yx2C. y 因所求曲线通过点(1, 2), 故 21C, C1. (1, 2) 于是所求曲线方程为yx21.
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o
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x
•积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 函数f(x)的积分曲线也有无限 多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的 一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲 线的斜率.
例13 例 13 tan 2 xdx (sec2 x 1)dx sec2 xdx dx tan xxC.
例14 例 14 sin 2 x dx 1 cos x dx 1 (1 cos x)dx 2 2 2 1 (x sin x) C . 2 1 1 dx 4 cot x C . 例15 例 15 dx 4 2 sin x sin 2 x cos2 x 2 2
4 1 x 3
1
积分表
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三、不定积分的性质
性质1 [ f (x) g (x)]dx f (x)dx g (x)dx . 这是因为,
[ f (x)dx g (x)dx] [ f (x)dx] [ g (x)dx] f(x)g(x). f(x)g(x).
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1 dx ln | x| C (x0). x
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例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y) 处的切线斜率为 yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数. 因为
§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质
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一、原函数与不定积分的概念
微分法:
F ( x) ( ? )
互逆运算
积分法:
( ? ) f ( x)
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一、原函数与不定积分的概念
原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对 任一xI, 都有 F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. •原函数举例 因为(sin x)cos x , 所以sin x是cos x的原函数.
v(t ) ( g ) d t g t C1
x x(t )
x0 x(0)
v(t ) g t v0 o dx 再求 x(t ) . 由 g v(t )t v0 , 知 dt x(t ) (g t v0 )d t 1 g t 2 v0t C2 2 由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 186) 2. 直接积分法:
利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 分项积分
常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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1 2 dx 2 x
3
三、不定积分的性质
性质1 [ f (x) g (x)]dx f (x)dx g (x)dx . 性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 是常数, k 0).
例9 例 9 (e x 3cos x)dx e xdx 3 cos xdx ex 3sin x C .
1 5x 2 )dx
7 x2
5 x 2 dx
1 5x 2 dx
2 x 2 C 5 . 7 3 (x 1)3 x3 3x 2 3x 1dx (x 3 3 1 )dx 例8 dx 例8 2 x x2 x x2 xdx 3 dx 3 1 dx 12 dx 1 x2 3x 3ln | x| 1 C . x 2 x x
1 dx 1 dx arctan x ln | x| C . x 2 1 x
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x 4 dx x 4 11dx (x 2 1)(x 2 1) 1dx 例12 例 12 1 x2 1 x 2 1 x 2 1 )dx x2dx dx 1 dx 2 (x 1 1 x2 1 x2 1 x3 x arctan x C . 3
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不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
f (x)dx .
根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么 F(x)C就是f(x)的不定积分, 即
f (x)dx F (x) C .
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如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F (x) C . 例2 求函数 f (x) 1 的不定积分. 例 2. x 1 解 解：当 x>0 时, (ln x) , x 1 dx ln x C (x>0) x 1 (1) 1 当 x<0 时, [ln(x)] , x x 1 dx ln(x) C (x<0). x 合并上面两式, 得到
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微分与积分的关系 从不定积分的定义可知
d [ f (x)dx] f (x) , 或 d[ f (x)dx] f (x)dx dx 又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以
F (x)dx F (x) C ,
或记作 dF (x) F (x) C .
由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定 积分的运算是互逆的.
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二、基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数), (2) x dx 1 x 1 C , 1 1 (3) dx ln | x| C , x (4) e xdx e x C ,
C 称为积分常数 不可丢 !
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如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F (x) C .
例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以
cos xdx sin x C .
因为 x 是 1 的原函数, 所以 2 x 1 dx x C . 2 x
例4 例4 例5 例5
1 dx x3dx 1 x31 C 1 C . x3 2 3 1 2x
x 2 x dx
5 x 2 dx
2 x3 x C . 7
4
5 1 x 2 1 C 2 x 2 C . 5 1 7 2
7
dx x 3 dx 例6 C 3x 3 C 3 3 C . 例6 3 4 1 x x x 3
初等函数在定义区间上有原函数
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说明： 1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限 多个原函数, F(x)C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 (x)F(x)C (C为某个常数).
(5) a x dx
x
(7) sin xdx cos x C ,
(8) sec2 xdx tan x C ,
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(14) sh x dx ch x C ,
(15) ch x dx sh x C .
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(2) x dx 1 x 1 C , 1
x
dx v(t ) dt
d2 x d v g 2 dt dt
(运动速度) 再由此求 x(t ) (加速度) 先由此求 v(t )
o
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x x(t )
x0 x(0)
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dv 先求v(t ) . 由 g , 知 dt
x
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故
因为 ( x ) 1 , 所以 x 是 1 的原函数. 2 x 2 x 提问： x 和 1 还有其它原函数吗？ cos 2 x
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可 导函数F(x), 使对任一xI 都有 F (x)f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. (下章证明) 初等函数在定义区间上连续
(2e) x 2x ex C . 例10 例 10 2 x e x dx (2e) x dx C ln(2e) 1 ln 2 1 x x2 dx x (1 x2 ) dx ( 1 1 )dx 例11 例 11 x(1 x2) 1 x2 x x(1 x2 )
2xdx x2 C , 故必有某个常数C使f(x)x2C, 即曲线方程为yx2C. y 因所求曲线通过点(1, 2), 故 21C, C1. (1, 2) 于是所求曲线方程为yx21.
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x
•积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 函数f(x)的积分曲线也有无限 多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的 一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲 线的斜率.
例13 例 13 tan 2 xdx (sec2 x 1)dx sec2 xdx dx tan xxC.
例14 例 14 sin 2 x dx 1 cos x dx 1 (1 cos x)dx 2 2 2 1 (x sin x) C . 2 1 1 dx 4 cot x C . 例15 例 15 dx 4 2 sin x sin 2 x cos2 x 2 2
4 1 x 3
1
积分表
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三、不定积分的性质
性质1 [ f (x) g (x)]dx f (x)dx g (x)dx . 这是因为,
[ f (x)dx g (x)dx] [ f (x)dx] [ g (x)dx] f(x)g(x). f(x)g(x).
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1 dx ln | x| C (x0). x
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例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y) 处的切线斜率为 yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数. 因为
§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质
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一、原函数与不定积分的概念
微分法:
F ( x) ( ? )
互逆运算
积分法:
( ? ) f ( x)
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一、原函数与不定积分的概念
原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对 任一xI, 都有 F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. •原函数举例 因为(sin x)cos x , 所以sin x是cos x的原函数.
v(t ) ( g ) d t g t C1
x x(t )
x0 x(0)
v(t ) g t v0 o dx 再求 x(t ) . 由 g v(t )t v0 , 知 dt x(t ) (g t v0 )d t 1 g t 2 v0t C2 2 由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 186) 2. 直接积分法:
利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 分项积分
常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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1 2 dx 2 x
3
三、不定积分的性质
性质1 [ f (x) g (x)]dx f (x)dx g (x)dx . 性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 是常数, k 0).
例9 例 9 (e x 3cos x)dx e xdx 3 cos xdx ex 3sin x C .
1 5x 2 )dx
7 x2
5 x 2 dx
1 5x 2 dx
2 x 2 C 5 . 7 3 (x 1)3 x3 3x 2 3x 1dx (x 3 3 1 )dx 例8 dx 例8 2 x x2 x x2 xdx 3 dx 3 1 dx 12 dx 1 x2 3x 3ln | x| 1 C . x 2 x x
1 dx 1 dx arctan x ln | x| C . x 2 1 x
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x 4 dx x 4 11dx (x 2 1)(x 2 1) 1dx 例12 例 12 1 x2 1 x 2 1 x 2 1 )dx x2dx dx 1 dx 2 (x 1 1 x2 1 x2 1 x3 x arctan x C . 3
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不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
f (x)dx .
根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么 F(x)C就是f(x)的不定积分, 即
f (x)dx F (x) C .
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如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F (x) C . 例2 求函数 f (x) 1 的不定积分. 例 2. x 1 解 解：当 x>0 时, (ln x) , x 1 dx ln x C (x>0) x 1 (1) 1 当 x<0 时, [ln(x)] , x x 1 dx ln(x) C (x<0). x 合并上面两式, 得到