高级微观经济学

4.3.2 消费者的最优消费束集（UMP 的解集）：Walrasian 需求对应和需求函数 （1）Walrasian 需求对应和需求函数
——赋予每个价格—财富状况（p,w）>>0
的最优消费向量集的规则被表示为
x(p,
w)
∈
R
L +
，
并被称为 Walrasian 需求对应。
——当 x(p, w) 对于所有（p,w）都是单值时，我们称之为 Walrasian 需求函数
u
=
[xρ 1
+
xρ 2
]1/ ρ
(iii) 边际效用和边际替代率： (iv) 对应的 Walrasian 需求函数形式，其该需求函数的性质：
x 1
=
pr −1 y
1
pr 1
+
pr 2
和 x2
=
pr−1 y 2
p1r + p2r
，其中 r =
ρ ρ −1
(v)求该函数形式的替代弹性？（为不变的常数）
d
(
x 2
/
x 1
)
d
(
x 2
/
x 1
)
σ
=
x 2
/
x 1
d(
p 1
/
p 2
)
=
d(
p 1
/
p 2
)
x 2
/
x 1
p 1
/
p 2
p 1
/
p 2
其值越大，表示两种物品间的替代性越强。完全互补和完全替代的情形？
试计算 CD 效用函数的替代弹性？该弹性值与 CD 函数原始形式中的（α + β ）是否为 1 有
附录：
1- 位似的偏好关系 （1）图示和定义： 图示略。 定义：
若x

y ，则对于所有 a
≥
0 均有 ax

ay ，则称 X
=
R
L +
上的单调偏好关系是位似的。
（2）表示了一种什么样的偏好关系？
2- 拟线性的偏好关系
（1）图示和定义：
x1
定义：如果下面两条成立，
（i）任一无差异集都是其他无差异集沿商品
括两点，然后得出矛盾的结论： x′′ 是可行的选择，即但其效用水平严格大于原来的两个消 费束 x 和 x′ ，这和 x 和 x′ 属于 x(p,w)显然矛盾。由此可得结论
以上两个说明分别如下两图所示：
x2
x2
x
x′′ x′
{x : u(x) = u*}
x
x′′ x′
{x : u(x) = u*}
x1 (a)
（2）Walrasian 需求对应的性质
u(·) 是连 续 的效 用 函 数， 其 代表 了 定 义在 消 费集
R
L +
上的局部非饱和的偏好关系
f
，则
Walrasian 需求对应有以下性质：
2
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（i）在（p,w）上具有零次齐次性，即任给标量 a，有 x(ap,aw)=x(p,w) （ii）瓦尔拉斯定律 （iii）凸性和唯一性：如果偏好关系是凸的，从而 u(·)是拟凹的，则 x(p,w)是一个凸集。而 且，如果偏好关系是严格凸的，从而 u(·)是严格拟凹，则 x(p,w)只包含单一的元素。
1 坐标轴的垂直位移。也就是说，若 x y ，
则对于 e1=(1,0,…,0)及任意的实数 a，均有
(x+ae1) (y+ae1) ；
(ii) 商品 1 是合意的，即对于所有 x 和 a>0，
有
x
+
ae 1
f
x
;
则称
X
=
(−∞,
∞)
×
R
L−1 +
上的偏好关系
f
x2
对于商品 1 是拟线性的。
（2）为什么称之为拟线性偏好？其表达式？ 由 x2=k-v(x1) 得，v(x1,x2)=k=v(x1)+x2 因此，称之为拟线性效用函数（意为“局部线性”）
图 4.1
x1 (b)
（3）u(·)可微时，最优消费束的一阶条件 相关知识点： Kuhn-Tucker Conditions:见蒋中一《数理经济学的基本方法》第 21 章（21.2）。 拉氏乘子的经济学意义： DIXIT 第二章。蒋中一 P491。MWGp75。三者不同角度的分析，
3
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（3）当 ρ → −∞ ，该效用函数越近于里昂惕夫效用函数-完全互补的情况。
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证明之。平新乔十八讲第一讲课后题第 5 题。
4.5 消费者的最大效用值（UMP 的价值函数）：间接效用函数
4.5.1 定义 4.5.2 性质 4.5.3 效用函数从直接形式到间接形式的转化
（iii）的说明：
——假定 u(·)是拟凹的，且存在两个消费束 x 和 x′ ， x ≠ x′ ，二者均为 x(p,w)的元素。 我们需要证明：对任意的 a∈[0,1]， x′′ = ax + (1− a)x′ 为 x(p,w)的一个元素。
只要说明 x′′ 是可行的，而且能够达到 x(p,w)的效用水平。 首先，由于 u(x) = u(x′) 。将这一效用水平表示为 u*。根据拟凹性： x′′ 是可行的选择，即：
u(ax + (1− a) y) ≥ u(x) （即为拟凹的定义形式） 同样的，对于 y ≥ x 的情况也有相应的结论。
所以得证。
4.1.3 当且仅当偏好关系是位似的，对应的效用函数满足一次齐次。 相关内容：位似的偏好关系(?，补充说明，见本讲附录 1)，一次齐次。 证明见：MWG EXE 3.C.5（i）
max u(x) x≥0
s.t. px ≤ w
4.3.1 UMP 有解 MWG：命题 3.D.1 (P70) 或 Varian P104 若 p>>0，且 u(·)是连续的，则效用最大化问题有一个解。
知道有解后，关注两件事情： 消费者的最优消费束集（UMP 的解集）——选择了什么样消费组合？ 消费者的最大效用值（UMP 的价值函数）——此时效用达到什么样的水平？
σ= 1 1− ρ
并有：
0 < ρ < 1 σ > 1
ρ =0

⇒
σ
=
1
−∞ < ρ < 0 σ < 1
4.4.3 CESUF 在一些情况下的特殊表现（以两种物品的情况为例）：
（1）当 ρ =1 时，该效用函数为线性，两种物品是完全替代的情况；
（2）当 ρ → 0 ，该效用函数越近于 C-D 效用函数；
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对比看效果更好。其中 MWGp75 的说明，用到了该书的命题 2.E.3(恩格尔加总)p37-38。 解的情况：内点解和角点解： ——内点解的均衡条件：
MRS 12
=
−
dx2 dx1
=
p1 p2
（包含了此时最优解的三个性质）
——角点解的均衡条件
若是
x* 1
=
0
,
x* 2
>
0 的情况：
u( x′′ ) ≥ u* 而且在可支付性方面，由于 px ≤ w px′ ≤ w ，还可得： px′′ = p[ax + (1− a)x′] ≤ w 综上可得， x′′ 为 x(p,w)的一个元素，从而为一个凸集。
——假定 u(·)是严格拟凹的，我们要证明此时 x(p,w)只包含单一的元素。可以同样假设其包
两个物品以上的情况：
MRSij
=
−
dx j dxi
=
−
∂u ∂u
/ /
∂xi ∂x j
偏好关系的严格凸性假设对 MRSij 的要求：边际替代率严格递减。
4.3 效用最大化问题（UMP）
两种商品的情形如下：
选择消费品时，追求效用最大化（utility maximization）。但同时要受收入的限制，
4.1.2 偏好关系的凸性意味着 u(·)是拟凹的。(对严格的情况也成立) 相关内容：偏好关系的凸性假设，u(·)的定义，拟凹的定义。 证明： 根据偏好关系的凸性假设，对于可选择集中的任意两点 x, y： 若满足：
x≥ y和x≥x 则对于 a ∈[0,1]有：
ax + (1− a) yfx
再根据效用函数的定义，可得：
则
MRS 12
>
p1 p2
经济含义？
（4）补充：u(·)连续但不可微情况的 UMP 问题：一个例子 Nancy 的两科考试： 经济学考试和语言学考试（参见 Varian EXE Answer CH5.4 p54） （i）Nancy 参加经济学课的期末考试，这门课有两个考试，总成绩取两次考试中的低者。 她很想考得好一些，不过她总共只有 20 个小时来学习，现在她面临如何安排时间的问题。 另外已经知道：第一个考试，如果她一点不学习就会考零分，但如果每多学 10 分钟，就会 多考 1 分。第二个考试不学也是零分，但要多考 1 分得多花 20 分钟时间。问：她会怎样安 排时间，成绩又是如何？ （ii）Nancy 还有另一课程的学习，这门课也有两个考试，但总成绩取两次考试中的较高者。 她也想考好啊，不过总共只有 400 分钟的时间可以用来学习，在两个考试中想多考 1 分，分 别要花 5 分钟和 10 分钟，不学就零分了。问：现在她又会如何安排学习时间，成绩又是多 少？
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第四讲 效用函数的性质及最大化问题
Utility Function-Character and UMP 效用函数表示为 u(·)