江苏省如皋中学201810高二数学(文科)月考试卷

高二数学（文科）一．填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．） 1. 的焦距是 ▲ . 2. 若0a >，则抛物线24x ay =的焦点坐标为 ▲ .3. 的离心率是 ▲ .4. 双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ▲ .5. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点为12F F 、，过2F 的直线l 交椭圆C 于A B 、两点．若1AF B ∆的周长为，则椭圆C 的标准方程为 ▲ .6. 方程22121x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是 ▲ .7. 椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的一个焦点坐标为(20)，，且椭圆过点(23)A ，，则椭圆C 的离心率为 ▲ . 8. 双曲线22221(0)x y a b a b -=>，的渐近线为y x =±，一个焦点为，则a = ▲ .9. 已知过点(11)M ，的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，则直线l 方程为 ▲ . 10. 已知定点(10)Q ，，P 是抛物线28C y x =：上的动点，则||PQ 的最小值为 ▲ . 11. 已知点(11)A -，和椭圆22143x y C +=：，M 是椭圆C 上的动点，F 是椭圆C 上的右焦点，则||+2||MA MF 的最小值为 ▲ .12. 过椭圆2212x C y +=：的左焦点作斜率为1的直线与椭圆C 分别交于点A ，B ，O 是坐标原点，则OA OB ⋅=▲ . 13. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：左右焦点分别是12(10)(10)F F -，、，，点A 是直线20x y +-=上的动点，若点A 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率的最大值为 ▲ .14. 设P 为有公共焦点12F F 、的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且12PF PF ⊥，若椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，则22129e e +的最小值为 ▲ .二、解答题：（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. （本题满分14分）设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的焦点为12(F F ，且该椭圆过点1)2，.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上的点00()M x y ，满足12MF MF ⊥，求0y 的值.16. （本题满分14分）已知圆22(1)(2)25C x y -+-=：，直线(21)(1)740l m x m y m +++--=：. （1）证明：对任意实数m ，直线l 恒过定点且与圆C 交于两个不同点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程.17. （本题满分15分）设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：过点(04)，，离心率为35． （1）求椭圆C 的方程； （2）求过点(30)，且斜率为45的直线被椭圆C 所截线段的长及中点坐标． 18. （本题满分15分）如图所示，直线(00)y kx b k b =+≥>，与椭圆2214x y +=交于A B 、两点，记OAB ∆的面积为S . （1）当0k =时，求S 的最大值；（2）当21AB S ==，时，求直线AB 的方程．19. （本题满分16分）已知椭圆22143x y C +=：过点3(1)2A ，，右顶点为点B ． （1）若直线l y kx m =+：与椭圆C 相交于点M N 、两点（M N 、不是左、右顶点），且BM BN ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（2）E F 、是椭圆C 的两个动点，若直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，试判断直线EF 的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．20. （本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的左、右焦点分别为12F F 、，右准线1l x m =+：与x 轴的交点为B ，2BF m =.（1）已知点1)在椭圆C 上，求实数m 的值； （2）已知定点(20)A -，． ① 若椭圆C 上存在点T，使得1TATF =C 的离心率的取值范围； ② 如图，当1m =时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM BM 、分别与椭圆C 交于另一点P Q 、，若AM AP λ= 且BM BQ μ=，求证：+λμ为定值．参考答案：1.22.(0)a ，4.2y x =±5.22132x y += 6.(12)， 7.12 8.2 9.210x y --= 10.1 11.52 12.13-14.815. (1)221()21b+=，且223a b -=，解得2241a b ==，，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ...............6分（若用定义先解出2a 也可，或用通径长解出基本量也可）（2）点00()M x y ，满足12MF MF ⊥，则有120MF MF ⋅=且00y ≠，则22000000()()30x y x y x y -⋅-=+-=，，① ..............10分 而点00()M x y ，在椭圆C 上，则220014x y +=② 联立①②消去20x ，得20103y =≠，所以0y =. ...............14分 （不考虑00y ≠，或者用斜率转化垂直关系时不考虑分母不为0扣1分）16. （1）直线(21)(1)740l m x m y m +++--=：可化为(27)(4)0m x y x y +-++-=， 由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过点(31)P ，，而点(31)P ，在圆C 内， 所以对任意实数m ，直线l 恒过点(31)P ，且与圆C 交于两个不同点. ...............7分 （2）由（1）得，直线l 恒过圆C 内的定点(31)P ，，设过点P 的弦长为a ，过圆心C 向直线l 作垂线，垂足为弦的中点H ，则22()252aCH +=，弦长a 最短，则CH 最大，而CH CP ≤，当且仅当H 与P 重合时取等号，此时弦所在的直线与CP 垂直，又过点(31)P ，， 所以，当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，弦所在的直线方程为250x y --=. ..........14分17.（1）由题意得：345c b a ==，，又因为222a b c =+，解得5a =，椭圆C 的方程为2212516x y +=. .................6分（2）过点(30)，且斜率为45的直线方程为4(3)5y x =-， 设直线被椭圆C 所截线段的端点为1122()()A x y B x y ，、，，中点为1212()22x x y y M ++，，4(3)5y x =-与2212516x y +=联立消元得：2380x x --=，410∆=>恒成立，方程两个不等根为12x x 、，12123436(3)222525x x y y ++==-=-，，128x x =-所以，直线被椭圆C 所截线段中点坐标为36()25-，； ..................10分AB =415AB =,直线被椭圆C 所截线段长为415. ...................15分 （解出12x x 、再求线段长也可，中点坐标也可以用点差法求解，但如果不解点而又不考虑0∆>扣1分，弦长公式不证明扣1分）18.（1）由题意得，此时01b <<，将y b =代入椭圆方程得：2214x b +=，x =±AB =221(1)2122b b S AB b b -+=⋅==当且仅当212b =，即(01)b =，时等号成立，所以S 的最大值为1. ...............7分 （2）由2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221()2104k x kbx b +++-=（*），其中2241k b ∆=-+， 当0∆>时，设1122()()A x y B x y ，、，， 方程（*）两个不等根为12x x 、，则有 2121222211144kb b x x x x k k --+==++，，AB =24AB k =+，① .................11分由21AB S ==，得，O 到直线AB 距离为1，则1=，即221b k =+， ...........13分 代入①化简得，42104k k -+=，所以，212k =，22312b k =+=，经检验，满足0∆>， 又因为00k b ≥>，，所以k b ==AB的方程为y x =+ .......15分 （不考虑0∆>或者未检验扣1分）19.（1）设点M N 、坐标分别为1122()()x y x y ，、，，点B 坐标为(20)，，因为BM BN ⊥，则 1212(2)(2)0BM BN x x y y ⋅=--+=，又1122y kx m y kx m =+=+，，代入整理得221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=， （*） ..................3分 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(43)84120k x kmx m +++-=，当0∆>时，方程两根为12x x 、，则有212122284124343km m x x x x k k --+==++，，代入（*）得2271640m mk k ++=， 所以27m k =-或2m k =-， .................6分当2m k =-时，直线方程为2y kx k =-，恒过点(20)B ，，不符合题意，舍去； 当27m k =-时，直线方程为27y kx k =-，恒过点2(0)7，，该点在椭圆内，则0∆>恒成立，所以，直线l 过定点2(0)7，. .................8分（2）设点E F 、坐标分别为3344()()x y x y ，、，，直线AE AF 、、EF 的斜率显然存在， 所以343411x x x x ≠≠≠、、，设直线EF 的方程为y kx m =+，同（1） 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(43)84120k x kmx m +++-=，（#）当0∆>时，方程两根为34x x 、，则有234342284124343km m x x x x k k --+==++，，① 因为直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，则 3434332211y y x x --=---，又3344y kx m y kx m =+=+，，代入整理得343432()()3202kx x m k x x m +--++-=， ② ..................11分①代入②，化简得2483420k k km m -++-=，即(21)(223)0k k m -+-= 所以12k =或32m k =-， .................13分 当32m k =-时，直线EF 方程为3(1)2y k x =-+，恒过点3(1)2A ，，不符合题意，舍去； 当12k =时，方程（#）即2230x mx m ++-=，则21230m ∆=->时，22m -<<， 所以当12k =且22m -<<时，0∆>恒成立， .................15分 所以，直线EF 的斜率为定值12. .................16分 （本题也可以通过直接解点E F 、的坐标证明，不考虑0∆>扣1分） 20.（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则2111a m m m c c =++-==，，所以22221a m b a c m =+=-=，，椭圆的标准方程为2211x y m m+=+，代入点1)， 解得2m =（舍负）.（先求标准方程也可） ....................4分（2）①点1F 坐标为(10)-，，设点T 坐标为()x y ，，由1TATF = 得2222(2)2[(1)]x y x y ++=++，化简，得222x y +=， ....................6分与椭圆方程2211x y m m +=+联立，得22y m m =-，而20y m ≤≤，则20m m m ≤-≤解得12m ≤≤，离心率e =， （也可以从长半轴短半轴与圆的半径关系求m 的范围） 所以，椭圆C的离心率的取值范围为. ....................10分②设点M P Q 、、的坐标分别为001122()()()x y x y x y ，、，、，，则 0011(2)(2)AM x y AP x y =+=+ ，，，，由AM AP λ= 得01012(2)x x y y λλ+=+⎧⎨=⎩，则010122x x y y λλλ=+-⎧⎨=⎩， ....................12分 代入220012x y +=，整理得 2222111()2(1)2(1)102x y x λλλ++-+--=，而221112x y +=，则212(1)3410x λλλλ-+-+=，而由题意，显然1λ≠，则1312x λλ-=-，所以032x λ-=； ....................14分 同理，由BM BQ μ= 得，03322x μλ--==， 所以，6λμ+=. ....................16分 （也可用点M 的坐标表示直线AM 的方程，解出点P 的坐标，再将λ用0x 表示，同理解出μ关于0x 的表达式，证得结果，用点M 在短轴端点的特例猜出结果得2分）。