第2章 电阻电路的等效变换

I4 3 2R
从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：
① 求出等效电阻或等效电导；
② 应用欧姆定律求出总电压或总电流；
③ 应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电 压 以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！
例3
a
b 6 15
c
5
d
求: Rab , Rcd
Rab (5 5) // 15 6 12Ω
R12
R23 u23
R31
u12Y R2 + – i2Y 2 +
R1
u23Y
等效条件：
i1 =i1Y ,
i2 =i2Y ,
i3 =i3Y , u31 =u31Y
u12 =u12Y , u23 =u23Y ,
u12
i1 R12
+
1–
R31 u31
+ i1Y
1
– u31Y R3
第2章 电阻电路的等效变换
本章重点 2.1 2.2 2.3 2.4 引言 电路的等效变换 电阻的串联和并联 电阻的Y形连接和△形连接的等效变换
2.5
2.6 2.7
电压源、电流源的串联和并联
实际电源的两种模型及其等效变换 输入电阻
重点： 1. 电路等效的概念； 2. 电阻的串、并联； 3. 电阻的Y— 变换; 4. 电压源和电流源的等效变换；
k 1 n
结论 等效电导等于并联的各电导之和。
1 1 1 1 Geq Req R1 R2 Rn
③并联电阻的分流
即 Req Rk
电流分配与 电导成正比
ik u / Rk Gk i u / Req Geq
Gk ik i Geq
例 两电阻的分流：
1 R1 1 R2 R1R2 Req 1 R1 1 R2 R1 R2
R = 3RY
R12 R1
R31 R3
外大内小
R2 R23
注意
①等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。 ②等效电路与外部电路无关。 ③用于简化电路
例1 桥 T 电路
1k 1k + E 1k R 1k
1/3k
1/3k 1/3k
+ E
R
-
1k
1k
-
+ E
3k
R 3k 3k
解
_
+ + 2R U1 2R U2 2R _ _
+ 2R U4 _
U 4 I 4 2 R 3V
②用分压方法做
①用分流方法做 I 4 1 I 3 1 I 2 1 I1 1 12 3 2 4 8 8 R 2R
I1 12 R
U2 1 U4 U1 3V 2 4
-
例2
计算90电阻吸收的功率
1 i + 20V i1 90
-
1 + 20V
4 90
9 1
9 9 9 3 3 9
2 1
10
Req 10 90 1 10Ω 10 90
-
1 + 20V
4 90
3
i 20 / 10 2A
10 2 i1 0.2A 10 90
i3Y + – i 2Y + R23 – u23Y 2 + – 3 + u – 3 2 23 Y接: 用电流表示电压 接: 用电压表示电流 u12Y=R1i1Y–R2i2Y i1 =u12 /R12 – u31 /R31 u23Y=R2i2Y – R3i3Y i2 =u23 /R23 – u12 /R12 (1) u31Y=R3i3Y – R1i1Y (2) i3 =u31 /R31 – u23 /R23 i1Y+i2Y+i3Y = 0 i2 i3
2.5 电Βιβλιοθήκη Baidu源、电流源的串联和并联
1.理想电压源的串联和并联
①串联
+ +
uS1
u us1 us 2 usk
_ u +
注意参考方向 + _
uS2
_ _ 等效电路
u
等效电路
i
②并联
u us1 us 2
uS1
+
_
+
u S2 _
注意 相同电压源才能并
联,电源中的电流不确定。
+ u _
②等效电阻 i i1 + u R1 R2
_ 由KCL:
i i2 Rk ik Rn in + 等效 u _ Req
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in =u/R1 +u/R2 + …+u/Rn =u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=uGeq
Geq G1 G2 Gn Gk Gk
a
1 R1 R3 3 Y形网络 R3
R
2
，Y 网络的变形：
型电路 ( 型)
T 型电路 (Y、星型)
注意 这两个电路当它们的电阻满足一定的关
系时，能够相互等效 。
2. —Y 变换的等效条件
i 1 u12 i2 – 2+ + 1– + i1Y u31 i3 – 3
1
– u31Y R3 i3Y + – 3
G12
或 G23
G31
G1G2 G1 G2 G3 G2G3 G1 G2 G3 G3G1 G1 G2 G3
G12G 31 G1 G12 G 31 G 23
类似可得到由Y的变换条件：
R1 R12
R12 R 31 R 23 R 31 R 23R12 R 23 R 31 R 31R 23 R 23 R 31
③电压源与支路的串、并联等效 uS1 _ uS2 _ + +
+ i +
uS
_ R u i _
u us1 R1i us 2 R2i (uS1 uS 2 ) ( R1 R2 )i uS Ri
2
1
P 90i 90 (0.2) 3.6W
例3
求负载电阻RL消耗的功率 30
30 30 20 30 RL
30
20 10 2A 10 20 10 30 40 RL
20 2A
30
40
I L 1A
2 PL RL I L 40W
2A
10
IL 10 10 40 RL 40
i
无 源
无 源 一 端 口
2.两端电路等效的概念
两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则 称它们是等效的电路。
+ i B u C 对A电路中的电流、电压和功率而言，满足： i
+ u -
等效
B
A
C
A
明确 ①电路等效变换的条件：
两电路具有相同的VCR；
②电路等效变换的对象：
未变化的外电路A中的电压、电流和功率； （即对外等效，对内不等效） ③电路等效变换的目的： 化简电路，方便计算。
p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ +Gnu2 =p1+ p2++ pn
①电阻并联时，各电阻消耗的功率与电阻 表明 大小成反比； ②等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消 耗功率的总和
3.电阻的串并联
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种 连接方式称电阻的串并联。
1 R1 R2i i1 i 1 R1 1 R2 R1 R2
i i1 R1 R2 i2
1 R2 R1i i2 i (i i1 ) 1 R1 1 R2 R1 R2
④功率 总功率
p1=G1u2， p2=G2u2，， pn=Gnu2 p1: p2 : : pn= G1 : G2 : :Gn
u12Y R2
R1
由式(2)解得： u12Y R 3 u31Y R2 i1Y R1 R2 R2 R3 R3 R1
i 2Y u 23Y R1u12Y R 3 R1R 2 R 2 R 3 R 3R1
i1 =u12 /R12 – u31 /R31 (3) i2 =u23 /R23 – u12 /R12 (1) i3 =u31 /R31 – u23 /R23
2.3 1.电阻串联
①电路特点
电阻的串联和并联
R1 i Rk Rn + u1 _ + u k _ + un _ + u
_
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)； (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
u u1 uk un
②等效电阻 R1 Rk
5
Rcd (15 5) // 5 4Ω
等效电阻针对端口而言
例4
20
40 a 20
求: Rab a b
Rab＝70
a 20
b
100 10
80 60 50
100
60 b 100 60
120
a 20
60
b
100 100
40
例5
5 15 6 a b
G 23G12 G 2 G 23 G12 G 31 G 31G 23 G 3 G 31 G 23 G12
或 R 2 R12
R3 R12
简记方法：
Y 相邻电导乘积 Δ 相邻电阻乘积 G R Δ GY R
变 Y Y变
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
总功率
表明
① 电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比；
② 等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功率的总 和。
2. 电阻并联
①电路特点 i + i1 R2
i2 Rk
ik
in Rn
u _
R1
(a)各电阻两端为同一电压（KVL)； (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
i
Rn
等效 i +
Re q _
+ u1 _ + u k _ + un _ + u 由欧姆定律 _
u
u R1i RK i Rni ( R1 Rn )i Reqi
Req R1 Rk Rn Rk Rk
结论
k 1 n
串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
2.1
电阻电路 分析方法
引言
仅由电源和线性电阻构成的电路 ①欧姆定律和基尔霍夫定律是 分析电阻电路的依据； ②等效变换的方法,也称化简的 方法。
2.2 电路的等效变换 1.两端电路（网络）
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且 从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流， 则称这一电路为二端网络 (或一端口网络)。 i
③串联电阻的分压
u Rk uk Rk i Rk uu Req Req 表明
例
电压与电阻成正比，因此串联电阻电路可作分 压电路。
两个电阻的分压：
i
R1 u1 u R1 R2
R2 u2 u R1 R2
+ u+ 1 u + u 2 _ º
R1
R2
④功率
p1=R1i2， p2=R2i2，， pn=Rni2 p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ +Rni2 =p1+ p2++ pn
例1 计算图示电路中各支路的电压和电流
i1 5 i1 5 + i2 i3 165V 18
6
i2 i 3 6 165V 18 i5 4 i4 12 +
9
-
i1 165 11 15A
u2 6i1 6 15 90V
i1 5 + i2
165V 18
i3
u31Y R2 u23Y R1 i3 Y R1 R2 R2 R3 R3 R1
根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得 Y的变换条件：
R 12 R 1 R 2 R 23 R 2 R 3 R 31 R 3 R 1
R 1R 2 R3 R 2R 3 R1 R 3R1 R2
R
d 根据电流分配
Rab R
1 1 u ab i1 R i2 R ( i i ) R iR 2 2 uab Ra b R i
1. 电阻的 、Y形连接
2.4 电阻的Y形连接和形连接的等 效变换 R
1
R2 b R4
三端 网络
包含
1 R12 2 R23 形网络 R31 3 R2
6 i5 i4 12
4
i2 90 18 5A
i3 15 5 10A
i4 30 4 7.5A
u3 6i3 6 10 60V
u4 3i3 30V
i5 10 7.5 2.5A
例2
+
I1
I2 R
I3 R
I4
求：I1 ,I4 ,U4
12V
求: Rab 20 缩短无 电阻支路 4
20
5 15 6 a b 7
7 6
6 4
15 3
Rab＝10
a b
a b 7
15 10
例6
求: Rab c i R
R
对称电路 c、d等电位
c
R b
R R
i i2 b
断路 短路
R
a i 1
a
R d
i1 1 i i2 2