D7_3平面方程
平面拉普拉斯方程__概述说明以及解释
平面拉普拉斯方程概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在数学和物理学领域中,拉普拉斯方程(Laplace's equation)是一个非常重要的偏微分方程。
它描述了无源(没有外部激励)的稳定状态下的平衡形式,其中未知量满足拉普拉斯方程。
平面拉普拉斯方程则是将该方程应用于二维平面情境下。
本文主要围绕平面拉普拉斯方程展开讨论和研究。
1.2 平面拉普拉斯方程简介平面拉普拉斯方程表达为以下形式:▽²ψ= 0,其中,▽²表示二维欧几里德空间内的Laplace算子;ψ是关于两个自变量x和y 的函数。
该方程可以视为一个椭圆型偏微分方程。
1.3 目的本篇文章旨在对平面拉普拉斯方程进行全面的概述和解释,讨论其理论基础、数学物理背景及应用以及解析解与数值解方法之间的比较分析。
通过深入探讨这些内容,我们可以更好地理解这一重要数学物理现象,并且为相关领域中的应用提供指导和参考。
以上是“1. 引言”部分的内容,该部分概括了本文的主题和目标,并简要介绍了平面拉普拉斯方程的基本概念。
2. 平面拉普拉斯方程的理论基础2.1 拉普拉斯方程定义及特点平面拉普拉斯方程是偏微分方程中的一种,描述了二维平面上标量函数所满足的数学关系。
它可以用以下形式表示:∇²u = 0其中u是平面上的某个标量函数,∇²表示二维空间中的拉普拉斯算子。
该方程要求函数u在整个平面上满足二阶导数之和等于零的条件。
2.2 平面上的拉普拉斯方程性质平面拉普拉斯方程具有一些重要的性质:- 等势线性:平面上满足该方程的解对应于等势线,在等势线上函数值保持不变。
- 极值特性:如果一个函数在某一点处取得极值,则它在该点附近满足平面拉普拉斯方程。
- 唯一解:对于给定边界条件和定义域限制,平面拉普拉斯方程通常存在唯一解。
2.3 常见的解法和技巧求解平面拉普拉斯方程有多种方法和技巧:- 分离变量法:通过假设解为可分离变量的形式,将二维方程转化为一系列一维常微分方程,从而获得解。
7-3空间平面方程
By-3Bz=0
y夹角的定义
定义 两平面法向量的夹角(取锐角) 称为两平面的夹角.
n2
n1
2
2.两平面夹角的计算公式
设 1 : A1 x B1 y C1 z D1 0,
2 : A2 x B2 y C 2 z D2 0, n1 n2 则 cos | n1 || n2 |
3.平面的截距式方程
x y z 1 a b c
(abc 0)
(其中a、b、c 称为平面在 x、y、z 轴上的截距.)
注
利用截距式方程可方便地画出平面的图形.
例 1 求过三点 A( 2,1,4)、 B( 1,3,2) 和C ( 0,2,3)的平面 方程.
n
A
解
AB ( 3, 4,6) , AC ( 2, 3,1) .
的平面方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
(称为平面的点法式方程) 设 M(x,y,z)是平面上任意点, 则
2. 平面的一般式方程
Ax By Cz D 0
注 n ( A, B , C ) 是平面 Ax By Cz D 0 的法向量
解二 设所求平面方程为 A x + B y + C z + D = 0 由于平面通过 x 轴,故 n i ,即
( A, B, C ) (1, 0, 0) 0
所以 A =0
由于平面通过 ( 0, 0, 0 ),所以 D =0 由于平面通过 (4, -3, -1), 所以 -3B-C=0 即 C= -3B , 所以平面方程为 即
(2)当D 0 , A = 0 时, By + Cz + D = 0 表示平行于x轴的平面.
《平面方程》课件
点积和叉积的性 质:点积和叉积 都是线性的,即 满足分配律和结 合律
点积和叉积的应 用:点积可以用 来计算两个向量 之间的夹角,叉 积可以用来判断 两个向量是否垂 直或平行
05
平面方程的分类
平行平面和垂直平面
平行平面:两个平面平行,没有 公共点
平行平面和垂直平面的关系:平 行平面和垂直平面是平面方程分 类中的两种基本类型
平面方程
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目录
平面方程的定义 平面方程的应用 平面方程的分类
平面方程的求解方法 平面方程的特性
01
平面方程的定义
平面方程的基本概念
平面方程:描述平面上所有点的方程 平面方程的形式:ax+by+cz+d=0,其中a、b、c、d为常数 平面方程的性质:满足方程的点在平面上,不满足方程的点不在平面上 平面方程的应用:解决几何问题,如求交点、求距离等
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垂直平面:两个平面垂直,有公 共点
平行平面和垂直平面的应用:在 几何学、工程学等领域有广泛应 用
相交平面和重合平面
相交平面:两个 平面相交于一个 平面完全重合, 称为重合平面
平行平面:两个 平面平行,没有 公共点,称为平 行平面
垂直平面:两个 平面垂直,只有 一个公共点,称 为垂直平面
利用向量法求解
利用参数方程求解
利用矩阵法求解
截距式求解
截距式方程:ax+by+c=0 单击添加文本具体内容,简明扼要地阐述您的观点。根据需要可 酌情增减文字添加文本
求解步骤: a. 确定a、b、c的值 b. 解方程组: ax+by+c=0 a. 确定a、b、c的值 b. 解方程组:ax+by+c=0
平面拉普拉斯方程
平面拉普拉斯方程全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:平面拉普拉斯方程是数学和物理学中的一个重要方程,它描述了二维空间中的静电场或温度场的分布规律。
拉普拉斯方程在科学领域中有着广泛的应用,比如在电场分析、热传导、流体力学等领域中都有着重要作用。
在这篇文章中,我们将详细介绍平面拉普拉斯方程的定义、性质和应用,并探讨其在实际问题中的重要性。
让我们来了解一下平面拉普拉斯方程的定义。
平面拉普拉斯方程是一个偏微分方程,通常表示为△u=0,其中△是拉普拉斯算子,u是待求的函数。
在二维笛卡尔坐标系中,平面拉普拉斯方程可以写成∂²u⁄∂x²+∂²u⁄∂y²=0。
这个方程描述了一个在二维平面上没有任何源或汇的场的分布规律,也就是说,场的数值在整个区域内没有明显的变化。
平面拉普拉斯方程有一些重要的性质,其中最重要的是唯一性定理和最大值原理。
唯一性定理指出,如果在一个区域上满足了拉普拉斯方程,那么解就是唯一的;最大值原理则表明,在一个区域上的拉普拉斯方程的解不能在内部取得最大或最小值,而是在边界上取得。
这些性质使得平面拉普拉斯方程成为分析和求解二维静电场或温度场问题的重要工具。
平面拉普拉斯方程在物理学中有着广泛的应用。
在静电场问题中,如果希望计算一个异形导体的静电势分布,可以利用平面拉普拉斯方程进行求解;在温度场问题中,可以用平面拉普拉斯方程描述热量传导的规律。
平面拉普拉斯方程还可以用来分析流体力学中的速度场分布和压力分布,以及其他复杂场的分布规律。
在实际问题中,平面拉普拉斯方程的求解通常需要结合具体的边界条件和初始条件。
在一个矩形区域上求解拉普拉斯方程,需要知道矩形区域的边界条件,比如在边界上给定了静电势或者温度场的数值。
通过数值方法或解析方法,可以求解出区域内的场分布规律,从而解决实际问题。
第二篇示例:平面拉普拉斯方程是数学中非常重要的偏微分方程之一,广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
多元微积分中三位平面切面的表达式
多元微积分中三位平面切面的表达式在多元微积分中,平面切面的概念是非常重要的。
平面切面是指与某个曲面相切的平面,它在数学中的表达式是一个方程式,可以用来描述平面的位置和方向。
在三维空间中,一个曲面通常可以与三个平面切面相切,它们分别是xoy、yoz和xoz平面。
这篇文章将介绍如何求解这三个平面切面的表达式,以及如何使用它们进行相关的计算和分析。
首先,我们需要知道如何确定一个平面的表达式。
在三维空间中,一个平面可以由一个点和一个法向量来表示。
点是平面上的一个任意点,而法向量是垂直于平面的一个向量。
所以,我们可以通过一个点和一个法向量来确定一个平面的表达式。
设平面的表达式为ax + by + cz = d,其中a、b、c是法向量的三个分量,d是平面到原点的距离。
接下来,我们需要确定三个平面切面的表达式。
对于一个曲面,我们可以通过求解它的梯度向量来确定它在某一点处的法向量。
而对于三个平面切面,它们的法向量是分别沿着x、y、z轴的三个单位向量。
因此,我们可以通过求解曲面在某一点处的梯度向量,来确定三个平面切面的法向量。
具体来说,我们可以将曲面表示为一个方程f(x,y,z) = 0,其中x、y、z是曲面上任意一点的坐标。
然后,我们可以求解曲面在某一点(x0,y0,z0)处的梯度向量grad(f)(x0,y0,z0),在这个向量上沿着x、y、z轴分别投影,就得到了三个平面切面的法向量。
例如,xoy平面的法向量为(f/x, f/y, 0),yoz平面的法向量为(0, f/y, f/z),xoz平面的法向量为(f/x, 0, f/z)。
最后,我们可以将三个平面切面的表达式表示为ax + by + cz = d的形式,其中a、b、c是对应平面的法向量的三个分量,d是到原点的距离。
具体来说,对于xoy平面,它的表达式为z =f(x0,y0,0),对于yoz平面,它的表达式为x = f(0,y0,z0),对于xoz平面,它的表达式为y = f(x0,0,z0)。
人大微积分课件7-4平面及其方程
目录
• 平面的基本概念 • 平面方程的建立 • 平面方程的性质 • 平面与直线的交点 • 平面方程的实际应用
01
平面的基本概念
平面的定义
平面是指在三维空间中无限延伸、不可穿透的二维表面 。
平面由点集构成,这些点在三维空间中具有相同的几何 特性。
平面可以由通过三个不共线的点确定,这三个点被称为 平面的基点。
利用平面方程计算平面上或与平面相关的几何量。
04
平面与直线的交点
直线与平面的交点
直线与平面的交点是直线与平 面相交的唯一公共点。
02
01
当直线与平面平行时,直线与平 面的交点为空集。
直线与平面的交点求法
将直线上的一点的坐标代入平 面方程,解出其他变量的值,
得到交点坐标。
02
通过联立方程组求交点
包含三个项的方程,表示 平面上的任意点。
参数式方程
通过参数形式表示平面上 的点。
平面方程的特性
唯一性
对于给定的平面,其方程是唯一的。
连续性
平面上的点满足方程,且连续变化。
可行性
满足方程的点都在平面上。
平面方程的应用
几何图形绘制
利用平面方程绘制平面图形。
空间定位
通过平面方程确定空间中某点的位置。
计算几何量
平面在工程中的应用
建筑设计
在建筑设计中,需要使用平面方 程来确定建筑物的位置、形状和
大小。
机械设计
在机械设计中,需要使用平面方程 来确定机器部件的位置和运动轨迹 。
电子工程
在电子工程中,需要使用平面方程 来确定电路板的位置和布线。
THANKS
利用平面方程,可以解决一些平面几 何问题,如求两平面的交线等。
75平面方程33709
从而 因此所求球面方程为
o M0 y
x
内容小结
1.平面基本方程:
一般式 Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
点法式
截距式 x y z 1 (abc 0) abc
三点式
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
设有三元一次方程
Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0) ② 任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
P1(x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为
d Prj n P1P0
P1P0 n n
n P0
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
z z1 z2 z1 0 z3 z1
2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
0705平面及其方程-文档资料
616
a1,b1,c1, 6t t 6t
1 63 t 3
1,
t 1, 6
a1,b1,c1, 6t t 6t
1 63t
3
1,
t 1, 6
a 1 ,b 6 ,c 1 ,
所求平面方程: 为
x yz 1, 1 61 即 6 x y 6 z 6 0 .
即 2 x 2 y 3 z 0 .
练习 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0 代入已知点 (4,3,1)得 C3B 化简,得所求平面方程 y3z0
例4 设平x,面 y,z三 与轴分P(别 a,0,0)交 Q ,(0,于 b,0), R(0,0,c)其 , a中 bc0,求此平. 面方程
------平面的截距式方程.
例5 求平行于6平 x面 y6z50而与三个坐标 在第一卦限内所 四围 面成 体的 体积为一 的个
平面方. 程
解 设平面方程为: x yz 1, z a bc
由题知:
1 1abc1,
o
y
32
x
111
111
a b c, 令a b ct,
616
由平面过原点知: D0,
由平面 (6, 过 3,2)点 知: 6 A 3 B 2 C 0 ,
又 ( A ,B ,C ) ( 4 , 1 ,2 ) ,4 A B 2 C 0 ,
AB2C 0, D0, ∴所求平面方程为: 3
2C x2C yC z0, 33
1 ,
3
cos2
2 3
,
cos3
D73曲面方程26609精品文档
x2 a2
y2 b2
cz22
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
图形
9/30/2019
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P18 目录 上页 下页 返回 结束
4. 椭圆锥面
ax22by22z2 (a,b为正) 数
在平z面 t上的截痕 椭圆为
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
z
z
o yy
在平面 x=0 或 y=0 上的截痕为过原点的两直线 .
9/30/2019
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作业
P318 2 ; 4; 7 ; 8 (1), (5) ; 11
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第四节 目录 上页 下页 返回 结束
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2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
y
(2) 双曲抛物面(鞍形曲面)
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
x
y
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3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 x
y
平面 zz1上的截椭痕 圆.为
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
cz22
过三点的平面方程
过三点的平面方程的两种方法:
方法一:设3点A,B,C,计算向量AB和AC;那么法向量n=AB×AC,注意这里用向量积;得到n(ni,nj,nk)后,设方程为,ni*X+nj*Y+nk*Z=K。
随便代入一个点的坐标得出K 值后就可以得到平面方程。
方法二:把方程设为x+ay+cz+d=0,那么就是3个未知数了,代入3个点,解这个方程就可以。
另有求斜率方程式两种:
一、截距式,设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0,取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程:x/a+y/b+z/c=1,与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),其中权,a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。
二、点法式,n为平面的法向量,n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点,则有n•MM'=0,MM'=(x-x0,y-y0,z-z0),从而得平面的点法式方程:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。
空间平面的三点式方程
空间平面的三点式方程在空间几何中,平面是指在三维空间中无穷延伸的二维平面。
为了描述一个平面,我们可以使用三点式方程。
三点式方程是指给定平面上的三个点,然后通过这三个点来确定平面的方程。
下面将详细介绍三点式方程的推导过程和应用。
假设在三维空间中有三个不共线的点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3)。
现在我们要找到一个方程来表示包含这三个点的平面。
首先,我们可以将向量AB和向量AC取叉积,得到一个与平面垂直的法向量N。
根据向量的性质,叉积的结果是与参与叉积的两个向量都垂直的向量,而且也是这两个向量所在平面上的法向量。
所以,向量N是平面的法向量。
向量AB=B-A=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)向量AC=C-A=(x3-x1,y3-y1,z3-z1)将向量AB和向量AC进行叉积运算,得到法向量N:N=AB×AC=(y2-y1)(z3-z1)-(z2-z1)(y3-y1)i+(z2-z1)(x3-x1)-(x2-x1)(z3-z1)j+(x2-x1)(y3-y1)-(y2-y1)(x3-x1)k然后,通过点A的坐标和法向量N,我们可以得到平面的方程。
平面的方程可以写为Ax+By+Cz+D=0,其中A、B、C是法向量N的分量,D是常数。
将点A的坐标代入平面方程,我们可以得到:Ax1+By1+Cz1+D=0由于A、B、C已经通过法向量N确定,我们只需要求出D的值即可。
将点A的坐标代入平面方程中,可以求解D:D=-Ax1-By1-Cz1因此,包含三个点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3)的平面的方程为:Ax+By+Cz+D=0其中,A、B、C由向量AB和向量AC的叉积得到,而D由点A的坐标和法向量N得到。
三点式方程可以用来解决平面与直线的相交、平面与平面的相交等问题。
通过求解平面方程,可以得到两个平面的交线的方程,从而计算出交点的坐标。
三维平面方程一般式
三维平面方程一般式
三维平面方程一般式是指表示三维平面的一种数学公式。
它通常采用向量法或坐标法进行表示。
向量法中,平面法向量和一个平面上的点被用来表示平面方程,而坐标法中,平面的三个坐标点被用来表示平面方程。
三维平面方程一般式可以用于解决许多几何和物理问题,如计算平面的法向量、计算平面与直线的交点等。
由于其广泛的应用,掌握三维平面方程一般式的方法和技巧对于数学和工程学科的学习
和应用都非常重要。
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(abc 0)
z z1 z 2 z1 0 z3 z1
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三点式
y y1 y2 y1 y3 y1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0
即
2x y z 0
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例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点
P ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 1 P P0 n 1 PP d Prj n 1 0 n A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) P A2 B 2 C 2 1
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M 1M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A B C 0, 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)
化简得
2x 3y z 6 0
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平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
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Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n (0, B, C ) i, 平面平行于 x 轴;
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程
第七章
三、两平面的夹角
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一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C ) , 求该平面的方程.
z
M
任取点 M ( x, y, z ) , 则有
n
M1 M3 M2
n M 1M 2 M 1M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程
即
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说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 2
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
1
2
n1
n2
2 1
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n1
例4. 一平面通过两点 M 1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k 1, 2 , 3)
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特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时,平面方程为 x y z 1 (a , b , c 0) a b c
此式称为平面的截距式方程.
分析:利用三点式
xa a
y b
z 0 0
a 0 c 按第一行展开得 ( x a)bc y (a)c zab 0 bcx acy abz abc 即
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
A x B y C z D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
②
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
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1
cos
2 A1
A1 A2 B1B2 C1C2
2 B1 2 C1
A2 B2 C2
2 2
机动
2
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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
特别有下列结论:
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
从而
o x
M0
y
因此所求球面方程为
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内容小结
1.平面基本方程:
一般式
点法式 截距式
Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
x y z 1 a b c
M 0M n
n
M0
故
M 0 M n 0
o x
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.
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例1.求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
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备用题
求过点 (1,1,1)且垂直于二平面 和
的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为
n1 (1, 1, 1),
取所求平面的法向量
n2 (3 , 2 , 12)
n n1 n2 (10 , 15 , 5 )
则所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0
d A x0 B y0 C z0 D A2 B 2 C 2
n P0
d
(点到平面的距离公式)
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例6. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程.
解: 设球心为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , 则它位于第一卦限,且 x0 y 0 z 0 1 x0 y0 z0 R(半径) z 12 12 12
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角 的余弦为
n1
n2
2
即
n1 n2 cos n1 n2
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面; • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.