高等数学 平面及其方程

| 1 0 2 1 1 3 | (1) cos ( 1)2 22 ( 1)2 12 32
1 1 cos 两平面相交，夹角 arccos . 60 60
( 2)
n1 {2,1,1},
n2 {4, 2,2}
2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
平面方程为
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面上的点都满足上方程，不在平面上 的点都不满足上方程，上方程称为平面的方 程，平面称为方程的图形．
例 1 求过三点 A( 2,1,4) 、 B( 1,3,2) 和
两平面平行但不重合．
2 1 1 ( 3) , 两平面平行 4 2 2
M (1,1,0) 1
M (1,1,0) 2
两平面重合.
例8 解
一平面过点 M1 (1,1,1), M 2 (0,3,1) 且垂直于
平面 x y z 1 0 求其方程。 设所求平面的法向量为 n A, B , C
第七章
第五节
平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本 节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线 的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、 线线关系。 确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析 几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量 垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们 将会看到许多其它条件都可转化为此。 这里先介绍平面的点法式方程：
C (0,2,3)的平面方程.
解
AB {3, 4,6} AC {2, 3,1}
取 n AB AC {14, 9,1},
所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0, 化简得 14 x 9 y z 15 0.
M1 M 2 1,4 2 n M1 M 2
A 4 B 2C 0
在所求平面上
又所求平面与已知平面垂直
A B C 0 解得 C 3B, A 2B
代入点法式方程并整理得 2 x 3 y 3 z 0
四、点到平面距离公式
例 9 设 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 是平面 Ax By Cz D 0 外一点，求P0 到平面的距离.
例7 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0, ( 2) 2 x y z 1 0, ( 3) 2 x y z 1 0,
解
y 3z 1 0 4 x 2 y 2z 1 0 4 x 2 y 2z 2 0
M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量 n { A, B , C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ). 若取平面的另一法向量 m 此时由于 m // n m n A, B, C
解
n1 {1,1, 1}, n2 {3, 2,12} 取法向量 n n1 n2 {10, 15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0,
化简得
2 x 3 y z 6 0.
二、平面的一般方程
一般地
过不共线的三点 M1 ( x1 , y1 , z1 ) M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 的平面的法向量
i
M 3 ( x3 , y3 , z3 )
j y2 y1 y3 y1 k z2 z1 z3 z1
n M1 M 2 M1 M 3 x2 x1 x3 x1 平面方程为
0
0
1
由点法式得，所求平面的方程为
( x 1) 2( y 1) 0
即
x 2y 1 0
解二 用一般式
因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为
Ax By D 0
M 1 , M 2 在平面上 A B D 0 解得 A D, B 2 D A D 0 所求平面方程为 Dx 2 Dy D 0
即
x 2y 1 0
由以上几例可见，求平面方程的基本思路 和基本步骤：两定——定点，定向
三、两平面的夹角
定义
n1
两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. （通常取锐角）
n2
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0,
2

2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n1 { A1 , B1 , C1 }, 1 n2 { A2 , B2 , C2 },
例 3 设平面过原点及点(6,3, 2) ，且与平面
4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2) 知 6 A 3 B 2C 0
n{4,1,2},
4 A B 2C 0
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面平行于 x 轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
( 3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
D A , a
D D B , C . b c
D D D 将A , B , C , a b c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
例 5 求平行于平面6 x y 6 z 5 0 而与三个坐标 面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
x y z 解 设平面为 1, a b c 1 1 V 1, abc 1, 3 2
由所求平面与已知平面平行得
x
z
o
y
1
（向量平行的充要条件）
a b c, 6 1 6
1
1
1 1 1 1 1 1 , 令 t 化简得 6a b 6c 6a b 6c 1 1 1 a , b , c , 6t 6t t 1 1 1 1 1 1 t , 6 6t t 6t 6
解
P1 ( x1 , y1 , z1 ) d | Pr jn P1 P0 |
Pr jn P1 P0 P1
N
P1 P0 { x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 }
A B C n 2 , 2 , 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B C
按照两向量夹角余弦公式, 可以得出：
两平面夹角余弦公式
cos | A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 2
2 2 2 2 2 2
两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C2 0;
A1 B1 C1 . ( 2) 1 // 2 A2 B2 C 2
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6 x y 6 z 6.
代入体积式
例6
求过点 M1 (1,1,2), M 2 ( 1,0,3) 且平行于 z 轴的平面方程.
解一 用点法式
设所求平面的法向量为 n M1 M 2 2i j k 则 n M1 M 2 , n k i j k n 2 1 1 i 2j
0
Pr jn P1 P0 P1 P0 n

0
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A2 B 2 C 2
Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ) , 2 2 2 A B C
一、平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于 一平面，这向量就叫做该平 面的法线向量．
x
z
n
M
M0
o
y
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n { A, B , C }, M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M0 M n 0
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0 D
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n { A, B , C }.
平面一般方程的几种特殊情况：
M0
y
四、小结
平面的方程 一般方程. 截距式方程.
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
点法式方程.
两平面的夹角.（注意两平面的位置特征） 点到平面的距离公式.
2 A B C, 3 所求平面方程为 2 x 2 y 3 z 0.
例 4 利用平面的一般式方程导出平面的截距式 方程.
解
设平面为 Ax By Cz D 0, 则平面与