第九章单位根与协整
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放大。因此，经济学家通常只担心存在单位根的
情形，即 1 ＝1。如果时间序列存在单位根，则
为非平稳序列，可能带来以下问题：
1自回归系数的估计值向左偏向于0。假设对于 AR 1，yt＝0＋1yt-1＋t，其真实值为1＝1。
然而，1的OLS估计量ˆ1却不服从渐近正态分布，
甚至不是对称分布（即使是在大样本中），而是
回顾AR
1的情形，“y
t＝0＋1y
t-1＋
”其实是
t
一阶随机差分方程，其稳定性与对应的确定性差
分方程“y
t＝
0＋1y
”是一样的。因此，只要考
t-1
虑一阶差分方程“y
t＝0＋1y
”是否有稳定解即
t-1
可，而这个非齐次（含常数项0）差分方程的解
取决于对应的齐次（不含常数项）差分方程
“yt＝1yt-1”的通解yt＝y0（1t 解的形式为指数函数） 因此，其稳定条件为 1 <1。
二、ARMA的平稳性
在什么情况下，ARMA p,q 才平稳呢？显然，
MA q是平稳的，因为它是有限个白噪声的线性
组合。因此，ARMA p,q的平稳性取决于其AR p
的部分。从第三章已经知道，对于AR 1，
y
t＝
0＋1y
t-1＋
，如果
t
1
<1，则为平稳过程。
更一般地，考虑AR p的平稳性，即
yt＝0＋1yt-1＋L ＋p yt-p＋t
对于AR p，考虑其对应的确定性齐次差分方程：
yt＝1yt-1＋L ＋p yt-p。假设其解的形式仍为
指数函数，即yt＝z－t＝1 zt ，其中z待定。将此解
代入差分方程可得：
z－t－1z－t-1－L －pz－t-p＝0
将上式两边同乘以zt可得特征方程：
z 1－1z－L －pzp＝0
这个多项式方程在复数域中一定有p个根（包括重
其过去的行为只有有限的记忆，即发生在过去的
扰动项对未来的影响随时间而衰减；而I 1 序列
则对过去的行为具有无限长的记忆，即任何过去 的冲击都将永久性地改变未来的整个序列。
定义：如果时间序列y t 的d阶差分为平稳的 ARMA p,q过程，则称yt为ARIMA p,d,q过程 最常见的为ARIMA p,1,q，即经过一次差分就得 到平稳的ARMA p,q。
则称为d阶单整（Integrated of order d），记为I d 对于I 0序列，由于它是平稳的，故长期而言有回
到其期望值的趋势。这种性质被称为均值回复 （mean-reverting）。
非平稳的I 1 序列则会“到处乱跑”（wander widely），没有上述性质。另外，I 0 序列对于
三、VAR的平稳性
一维的AR p的平稳性条件可以推广到多维 VAR p的情形。
考虑以下VAR p模型：
yt＝0＋1yt-1＋L ＋pyt-p＋t
其中， t 为向量白噪声过程。
可以证明，如果对于复数z，
特征方程 In－1z－L －pzp ＝0 的所有根都落在复平面的单位圆之外（即 z >1）
则此VAR p为平稳过程。上述特征方程之 g表示
第九章 单位根与协整
Baidu Nhomakorabea
一、非平稳序列
如果一个时间序列不是平稳序列，则称为非平稳 序列（non-stationary time series）。在以下几种 情况下，都有可能出现平稳序列：
1 确定性趋势：如果一个时间序列有一个确定性
趋势（deterministic trend），则为非平稳序列。比
如，yt＝0＋1t＋t。显然，E yt ＝0＋1t随时间
差分平稳（difference stationary）序列
定义：称平稳的时间序列为零阶单整（Integrated
of order zero），记为I 0。如果时间序列的一阶
差分为平稳过程，则称为一阶单整（Integrated of
order one），记为I 1，也称为单位根过程（unit
root process）。 更一般地，如果时间序列的d阶差分为平稳过程，
行列式。该平稳条件的等价条件是，伴随矩阵
（companion matrix）
1 2 L p
F＝
I
n
0L
0
M M
M
0 L In 0
的所有特征值（可以是复数）都落在复平面的
单位圆之内。
四、单位根所带来的问题
对于AR 1，一般从理论上认为，不太可能出现
1 >1的情形，否则任何对经济的扰动都将被无限
根）。与此对应，齐次差分方程也有p个形如1 zt
的解，而其通解则是这p个解的线性组合。
给定初始条件 y0，y1，L ，yp-1 ，则可求出此齐次差
分方程的唯一特解。显然，如果要求 y t 收敛于一
个稳定值，则特征方程所有解的模 z 都必须大于1， 故所有解必须都落在复平面上的单位圆之外。
如果将特征方程定义为 zp－1zp-1－L －p＝0，则
走（random walk with drift）：
yt＝0＋yt-1＋ t，0 0，其中，0为每个时期的平
均漂移，因为E yt ＝0＋E yt-1 。显然，随机游走
是AR
1的特例。对于AR
1，y
t＝0＋1y
t-1＋
，
t
如果1＝1，则为随机游走。对于随机游走，只要对
其进行一阶差分，就可以得到平稳序列，故也称为
3随机趋势：另一种导致非平稳的趋势为随机趋势
（stochastic trend）。比如，随机游走模型（random
walk）： yt＝yt-1＋t，其中，t为白噪声。由于 yt＝ t，故来自 t 的任何扰动对yt 都具有永久性 的冲击，其影响力不随时间而衰减，故称 t 为这
个模型的随机趋势。
在上式中，如果包含常数项，则为待漂移的随机游
而改变，故不是平稳序列。对于这种非平稳序列， 只要把时间趋势去掉，就变成平稳序列，故称为 趋势平稳（trend stationary）序列。
2结构变动（structural break）：如果一个时间序
列存在结构变动，则为非平稳序列。对此，可用邹 检验（chow test）进行检验（参见模型设定的内容）
结论与此相反。 如果某个根正好落在单位圆上，则称为单位根 （unit root），比如随机游走的情形。如果特征方程 的某个根落在单位圆之内，则为爆炸式（explosive） 增长的非平稳过程。
例：对于AR 1，其特征方程为1－1z＝0，故
z＝1 1。因此，z ＝ z >1 1 <1。显然，有关
AR p稳定性的结论是对AR 1情形的推广。
情形，即 1 ＝1。如果时间序列存在单位根，则
为非平稳序列，可能带来以下问题：
1自回归系数的估计值向左偏向于0。假设对于 AR 1，yt＝0＋1yt-1＋t，其真实值为1＝1。
然而，1的OLS估计量ˆ1却不服从渐近正态分布，
甚至不是对称分布（即使是在大样本中），而是
回顾AR
1的情形，“y
t＝0＋1y
t-1＋
”其实是
t
一阶随机差分方程，其稳定性与对应的确定性差
分方程“y
t＝
0＋1y
”是一样的。因此，只要考
t-1
虑一阶差分方程“y
t＝0＋1y
”是否有稳定解即
t-1
可，而这个非齐次（含常数项0）差分方程的解
取决于对应的齐次（不含常数项）差分方程
“yt＝1yt-1”的通解yt＝y0（1t 解的形式为指数函数） 因此，其稳定条件为 1 <1。
二、ARMA的平稳性
在什么情况下，ARMA p,q 才平稳呢？显然，
MA q是平稳的，因为它是有限个白噪声的线性
组合。因此，ARMA p,q的平稳性取决于其AR p
的部分。从第三章已经知道，对于AR 1，
y
t＝
0＋1y
t-1＋
，如果
t
1
<1，则为平稳过程。
更一般地，考虑AR p的平稳性，即
yt＝0＋1yt-1＋L ＋p yt-p＋t
对于AR p，考虑其对应的确定性齐次差分方程：
yt＝1yt-1＋L ＋p yt-p。假设其解的形式仍为
指数函数，即yt＝z－t＝1 zt ，其中z待定。将此解
代入差分方程可得：
z－t－1z－t-1－L －pz－t-p＝0
将上式两边同乘以zt可得特征方程：
z 1－1z－L －pzp＝0
这个多项式方程在复数域中一定有p个根（包括重
其过去的行为只有有限的记忆，即发生在过去的
扰动项对未来的影响随时间而衰减；而I 1 序列
则对过去的行为具有无限长的记忆，即任何过去 的冲击都将永久性地改变未来的整个序列。
定义：如果时间序列y t 的d阶差分为平稳的 ARMA p,q过程，则称yt为ARIMA p,d,q过程 最常见的为ARIMA p,1,q，即经过一次差分就得 到平稳的ARMA p,q。
则称为d阶单整（Integrated of order d），记为I d 对于I 0序列，由于它是平稳的，故长期而言有回
到其期望值的趋势。这种性质被称为均值回复 （mean-reverting）。
非平稳的I 1 序列则会“到处乱跑”（wander widely），没有上述性质。另外，I 0 序列对于
三、VAR的平稳性
一维的AR p的平稳性条件可以推广到多维 VAR p的情形。
考虑以下VAR p模型：
yt＝0＋1yt-1＋L ＋pyt-p＋t
其中， t 为向量白噪声过程。
可以证明，如果对于复数z，
特征方程 In－1z－L －pzp ＝0 的所有根都落在复平面的单位圆之外（即 z >1）
则此VAR p为平稳过程。上述特征方程之 g表示
第九章 单位根与协整
Baidu Nhomakorabea
一、非平稳序列
如果一个时间序列不是平稳序列，则称为非平稳 序列（non-stationary time series）。在以下几种 情况下，都有可能出现平稳序列：
1 确定性趋势：如果一个时间序列有一个确定性
趋势（deterministic trend），则为非平稳序列。比
如，yt＝0＋1t＋t。显然，E yt ＝0＋1t随时间
差分平稳（difference stationary）序列
定义：称平稳的时间序列为零阶单整（Integrated
of order zero），记为I 0。如果时间序列的一阶
差分为平稳过程，则称为一阶单整（Integrated of
order one），记为I 1，也称为单位根过程（unit
root process）。 更一般地，如果时间序列的d阶差分为平稳过程，
行列式。该平稳条件的等价条件是，伴随矩阵
（companion matrix）
1 2 L p
F＝
I
n
0L
0
M M
M
0 L In 0
的所有特征值（可以是复数）都落在复平面的
单位圆之内。
四、单位根所带来的问题
对于AR 1，一般从理论上认为，不太可能出现
1 >1的情形，否则任何对经济的扰动都将被无限
根）。与此对应，齐次差分方程也有p个形如1 zt
的解，而其通解则是这p个解的线性组合。
给定初始条件 y0，y1，L ，yp-1 ，则可求出此齐次差
分方程的唯一特解。显然，如果要求 y t 收敛于一
个稳定值，则特征方程所有解的模 z 都必须大于1， 故所有解必须都落在复平面上的单位圆之外。
如果将特征方程定义为 zp－1zp-1－L －p＝0，则
走（random walk with drift）：
yt＝0＋yt-1＋ t，0 0，其中，0为每个时期的平
均漂移，因为E yt ＝0＋E yt-1 。显然，随机游走
是AR
1的特例。对于AR
1，y
t＝0＋1y
t-1＋
，
t
如果1＝1，则为随机游走。对于随机游走，只要对
其进行一阶差分，就可以得到平稳序列，故也称为
3随机趋势：另一种导致非平稳的趋势为随机趋势
（stochastic trend）。比如，随机游走模型（random
walk）： yt＝yt-1＋t，其中，t为白噪声。由于 yt＝ t，故来自 t 的任何扰动对yt 都具有永久性 的冲击，其影响力不随时间而衰减，故称 t 为这
个模型的随机趋势。
在上式中，如果包含常数项，则为待漂移的随机游
而改变，故不是平稳序列。对于这种非平稳序列， 只要把时间趋势去掉，就变成平稳序列，故称为 趋势平稳（trend stationary）序列。
2结构变动（structural break）：如果一个时间序
列存在结构变动，则为非平稳序列。对此，可用邹 检验（chow test）进行检验（参见模型设定的内容）
结论与此相反。 如果某个根正好落在单位圆上，则称为单位根 （unit root），比如随机游走的情形。如果特征方程 的某个根落在单位圆之内，则为爆炸式（explosive） 增长的非平稳过程。
例：对于AR 1，其特征方程为1－1z＝0，故
z＝1 1。因此，z ＝ z >1 1 <1。显然，有关
AR p稳定性的结论是对AR 1情形的推广。