高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解

高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1－t
y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )
A ．直线、直线
B ．直线、圆
C ．圆、圆
D ．圆、直线 [答案] D
[解析] 由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2－x ＝0.此方程所表示的图形是圆．
消去方程⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1－t y ＝2＋t 中的参数t 可得，x ＋y －1＝0，此方程所表示的图形是直线．
2．下列参数方程(t 为参数)中，与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t
y ＝t 2
B.⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝tan 2t y ＝tan t C.⎩⎨⎧
x ＝t y ＝|t |
D.⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝tan t y ＝tan 2t [答案] B
[解析] 将t ＝x 代入y ＝t 2得，y ＝x 2，故A 错，将tan t ＝y 代入x ＝tan 2t 中得，x ＝y 2，∵tan t ∈R ，故B 正确，C 、D 容易判断都是错的．
[点评] 注意C 中⎩⎨⎧
x ＝t
y ＝|t |
，消去t 得y ＝|x |，平方得y 2＝|x |，∵y 2≥0限定了x 的取
值必须非负，∴y 2＝x ，但由于y ＝|x |，故它必须满足y ≥0，而y 2＝x 中的y ∈R .
4．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2t y ＝1－2t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos αy ＝3sin α
(α为参数)截得的弦长为( ) A ．27 B.7
C ．47
D ．2 [答案] A
[解析] 将直线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2t
y ＝1－2t 化为普通方程得x ＋y ＝2，
将圆⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α
y ＝3sin α
化为普通方程得x 2＋y 2＝9.
圆心O 到直线的距离d ＝|0＋0－2|
12＋12＝2，
所以弦长l ＝2R 2－d 2＝27. 二、填空题
7．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．
[答案] ρcos θ＝3
[解析] 解法一：圆ρ＝6cos θ的圆心极坐标(3,0)，
∴直线l 方程为ρcos θ＝3.
解法二：由ρ2＝6ρcos θ得x 2＋y 2＝6x ，圆心C (3,0)，
∴过圆心垂直于极轴(即x 轴)的直线方程为x ＝3，其极坐标方程为ρcos θ＝3.
[点评] 1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形式是基本方法，故应熟记互化公式．
2．掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要．
8．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2t y ＝－1－t (t 为参数)被曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)所截，则截得的弦的长度是________．
[答案]
65
5
[解析] 直线⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1＋2t y ＝－1－t 化为x ＋2y ＋3＝0；
圆⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋3cos θ
y ＝1＋3sin θ化为(x －1)2＋(y －1)2＝9， 圆心C (1,1)到直线x ＋2y ＋3＝0距离d ＝655，半径r ＝3，
∴弦长为2r 2－d 2＝65
5
.
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ
y ＝sin θ＋m (m 是常数，θ∈(－
π，π]是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则m ＝________.
[答案] ±1
[解析] ∵⊙C ：x 2＋(y －m )2＝1与x 轴相切， ∴m ＝±1.
12．椭圆⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ
y ＝4sin θ的离心率是________．
[答案]
74
[解析] 由已知可得椭圆的普通方程为x 29＋y 2
16＝1，
∴a ＝4，b ＝3，c ＝7，e ＝c a ＝7
4
.
13．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋3t y ＝1－4t
(t 为参数)，则C 1与C 2的位置关系为________．
[答案] 相离
[解析] 圆C 1：(x －3)2＋(y －2)2＝4的圆心C 1(3,2)到直线C 2：4x ＋3y －7＝0的距离d ＝11
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>2，∴C 1与C 2相离． 14．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π
4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为______． [答案] ρcos θ＝2
[解析] 点⎝⎛⎭⎫22，π4的直角坐标x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π
4＝2，圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x ＝2，即ρcos θ
＝2.
三、解答题
15．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(两种坐标系中取相同的单位长度)，已知点A 的直角坐标为(－2，6)，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π
2，直线l 过点A 且倾斜角为π
4，圆C 以点B 为圆心，4为半径，试求直线l 的参数方程和圆C 的
极坐标方程．
[解析] ∵直线l 过点(－2,6)，倾斜角为π
4
，
∴直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝－2＋22t
y ＝6＋2
2
t (t 为参数)，
又圆心B 的直角坐标为(0,4)，半径为4， ∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，
将x ＝ρ·cos θ，y ＝ρ·sin θ代入化简得圆C 的极坐标方程为ρ＝8·sin θ.
16.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π
3
(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的
正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α
y ＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l 与曲
线C 的交点P 的直角坐标．
[解析] 因为直线l 的极坐标方程为θ＝π
3(ρ∈R )
所以直线l 的普通方程为y ＝3x ， 又因为曲线C 的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos αy ＝1＋cos2α(α为参数) 所以曲线C 的直角坐标方程为 y ＝1
2
x 2(x ∈[－2,2])， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3x y ＝12
x 2解得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0，或⎩⎨⎧
x ＝23
y ＝6，
∵－2≤x ≤2，∴⎩⎨⎧
x ＝23
y ＝6
应舍去，
故P 点的直角坐标为(0,0)．
17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧
x ＝1＋45
t
y ＝－1－3
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t (t 为参数)，若以O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π
4
)，求直
线l 被曲线C 所截的弦长．
[解析] 将方程⎩⎨⎧
x ＝1＋4
5t
y ＝－1－3
5
t (t 为参数)化为普通方程得，3x ＋4y ＋1＝0，
将方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4化为普通方程得，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，它表示圆心为⎝⎛⎭⎫12，1
2，半径为
22的圆，则圆心到直线的距离d ＝1
10， 弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝7
5
.。