第14课 函数及其图象

第14课 函数及其图象
[考点透视]
会确定简单函数的自变量的取值范围，并会构建一些简单的函数关系式，理解函数与图象的概念，会在同一直角坐标下，正确研究两种函数图象的分布情况. [课前回顾]
1．理解函数的概念要注意三点；（1）在某一变化过程中有两个变量x 和y ；（2）变量x 在某个范围内取值；（3）对x 在这个范围内的每个值，y 都有唯一确定的值与之对应.
2．函数的最常用表示法有：解析法、列表法、图象法.
3．在确定自变量的取值范围时，主要注意三点：（1）分式函数，分母不能为零；（2）偶次根式，被开方式必须非负；（3）对实际问题，必须使实际问题有意义.
4．求函数的值，对用解析式表示的函数，直接将x 的值代入函数表达式即可求出函数y 的值；对于列表法和图象法则依表格和图象直接找出与x 相应的函数值（或相似值）.
5．由函数的解析式画出函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
6．常见函数的图象. [课堂选例]
例1求下列函数中自变量的取值范围
（1）3-=
x y （2）6
53
2+-+=
x x x y
（3）4
127+-
-=x x y
解：（1）由x －3≥0得x ≥3
（2）由⎩⎨⎧≠+-≥+0650
32x x x
得⎩
⎨⎧≠≠-≥323x x x 且
故自变量的取值范围是x ≥－3且 x ≠2和x ≠3.
（3）由⎩⎨⎧>+≥-04027x x 得⎪
⎩⎪⎨⎧->≤4
27x x 即2
74≤<-x
评注 求函数自变量的取值范围，通常是
建立不等式或不等式组来解，但需注意不要混淆“且”与“或”的含义. 例2 （1）已知函数y=k 1x 和y=
x
k 2
，若常数k 1,k 2异号且k 2>k 1,则它们在同一坐标系中的图象大致是（ ）
（2）函数y=ax 2
+c 和y=
x
a
(ac<0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）
y y
E F
B D C
评注 若点在图象上，则点的横坐标，纵 坐标满足这个图象的解析式. C D 12k 2>k 1 ∴k 2>0,k 1<0 ∴y=k 1x 的图象应 是A 中的形状，y=x
k 2的图象应在
一、三象限，∴应选A ⑵∵ac<0 ∴当a>0时,则c<0选择支中无此图象，则应a<0,c>0， ∴应选D 例3 若点P （2，4）在函数y=ax 2
+c 的图
象上，且当x=3-时，y=2. ⑴求a ，c 的值
⑵如果点(－1,m)和点(n,6)也在函数的图象上，求m 、n 的值.
解：（1）∵点P(2,4)在函数y=ax 2
+c 的
图象上， ∴4a+c=4 ①
又当x=－3时，y=2
∴2=c a +-2
)3( 即 3a+c=2 ② 联立①、②
⎩
⎨
⎧=+=+2344c a c a 解得⎩⎨⎧-==42
c a （2）∵a=2,c=－4∴函数为y=2x 2
－4
∵点(－1,m)和点(n,6)在函数图象
上， ∴m=2(－1)2－4,6=2n 2
－4 ∴m=－2
n=±5
例4 如图，已知△ABC 中，BC=8，BC 上的高h=4，D 为BC 上一点，EF ∥BC
交AB 于点E ，交AC 于点F （E 在AB 上）.设E 到BC 的距离为x ，作出△DEF 的面积y 关于x 的函数的大
致图象.
解：过A 作AM ⊥BC 于M ，交EF 于N ， EF ∥BC ∴AM ⊥EF ∴AM=h=4，MN=x ，∴AN=4－x 又EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ∴AM AN BC EF =
即4
48
x EF -=,EF=2(4－x)
y=2
12
1=⋅⋅MN EF (4－x)·x=(4－x)·x
即y=－x 2
+4x(0≤x ≤4)
根据二次函数的特征作出图象如下
评注 作符合某条件的函数图象，应先根
据条件确定解析式，再根据所示的基本图象作出求函数图象，一定要注意自变量的取值范围. [课堂小结]
1．掌握自变量取值范围的求法.
2．反比例函数，一次函数、二次函数图象是基础，其它很多函数图象与这些简单函数图象有关.
[课后测评] 一．选择题
1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥5的函数是（ ） A ．y=x -5 B ．y=
5
1-x C ．y=55--+x x D ．y=x x -++55
2．点(1,m)与(2,n)在函数y=－x+1的图象上，则（ ） A ．m>n
B ．m<n
C ．m=n
D ．m 与n 大小关系不定
3．若函数y=－ax+b 的图象经过第一、三、四象限，则函数y=ax 2
+bx a
b
8-的图象必不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二．填空题
4．具有性质“图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大”的一个函数是
.
5．已知二次函数y 1=ax 2
+bx+c(a ≠0)与一次函数y 2=kx+m(k ≠0)的图象相交于点A(－2,4),B(8,2)（如图示），则解得y 1>y 2，成立的x 的取值范围是
.
三．解答题
6．某市为鼓励节约用水，按以下规定收取水费：（1）第户每月用水量不超过20m 3
，则每立方米水费1.2元；（2）每户每月用水量超过20m 3
，则超过的部分每立方米水费2元，设某户的上交水费为y （元），用水量为x(m 3
)，画出y 与x 的函数系的大致图象.
7．某同学在做电学实验时，记录下电压y （伏）与电流x （安）有如下关系
请在平面直角坐标系中
（1）通过描点连线，观察并求出y与x之间的函数系式.
（2）当电流是5安培时，电压是多少伏特.
8．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用还要持续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不起过140千米/时），对这种汽车进行测试得数据如下表：
（1）以车速为x轴，刹车y轴，在坐标系中描出这些数据表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象.
（2）观察图象，估计函数类型，并确定一个满足这些数据的函数的解析式.。