高三数学练习(20121)_4

16．(本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点. （1）求证：A1B//平面 ADC1；
（2）如果点 E 是 B1C1 的中点，求证：平面 A 1BE 平面 BCC1B1.
17．(本小题满分 15 分) 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可 与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 a(1 a 4 ,且 a R ) 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间
围为 ▲ .
a c 2 的最大值是 c 4 a 4
2
▲
.
二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分 14 分) 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，向量 m＝(sinA，1)， n＝(1，－ 3cosA)，且 m⊥n． （1）求角 A； π （2）若 b＋c＝ 3a，求 sin(B＋ )的值． 6
18．(本小题满分 15 分)
x2 y2 1 3 已知椭圆 C： a2 + b2 =1(a＞b＞0)的离心率为 2 ，且经过点 P(1， 2 ).
(1)求椭圆 C 的方程； (2)设 F 是椭圆 C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以 M 为圆心，MF 为半径作圆 M. 问点 M 满足什么条件时，圆 M 与 y 轴有两个交点? 并求两点间距离的最大值.
13. 设二次函数 f ( x) ax2 4 x c(a 0) 的值域为 0, ，且 f (1) 4 ，则
b D （其中 a b ） b 时， f ( x) 的值域恰为 a， b ， 14．若函数 f ( x) 为定义域 D 上单调函数，且存在区间 a， ，使得当 x a， 2 b 叫做等域区间．如果函数 g ( x) x m 是 ， 0 上的正函数，则实数 m 的取值范 则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数，区间 a，
1 16 x) a ( 1) 2 8 ( x 6)
16a 16a a = (14 x) a 4 ,因为 14 x [4,8] ,而 1 a 4 , 14 x 14 x
所以 4 a [4,8] ,故当且仅当 14 x 4 a 时,y 有最小值为 8 a a 4 令 8 a a 4 4 ,解得 24 16 2 a 4 ,所以
的值．
2. 在极坐标系中，已知点 O 0, 0 ， P 3 2 , ，求以 OP 为直径的圆的极坐标方程． 4


3．如图，正四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中，设 AD 1 ， D1 D ( 0) ， 若棱 C1C 上存在点 P 满足 A1 P 平面 PBD ，求实数 的取值范围．
π π π 3 ＝ ；若 c＝2b，则 a＝ 3b，可得 B＝ ．所以 sin(B＋ )＝ ． 2 6 6 2 16.
64 4(0 x 4) 17. (1)因为 a 4 ,所以 y 8 x 20 2 x(4 x 10)
则当 0 x 4 时,由
高三数学练习参考答案
1．x∈R，x2－x＋1≤0 6．20 2．[－1，4] 7． (,1) (1,) 1 3． 2 8．7 1 4． 4 9． 5．2
(2012.1)
6
10．17π
11．1
12.1
7 13. 4
3 ( 1, ) 4 14.
15. 解： （1）因为 m⊥n，所以 m· n＝0，即 sinA－ 3cosA＝0．所以 sinA＝ 3cosA，得 tanA＝ 3．又因为 0＜A＜π，所以 A π ＝ ． 3 3 （2） （法 1）因为 b＋c＝ 3a，由正弦定理得 sinB＋sinC＝ 3sinA＝ ． 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
∴椭圆 C 的方程为
x2 y2 + =1. 4 3 x02 y02 + =1， 4 3
(2)易求得 F(1，0)。设 M(x0，y0)，则
圆 M 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02， 令 x=0，化简得 y2-2y0y+2x0-1=0，⊿=4y02-4(2x0-1)2＞0……①.
16. (1)
(2)
17.(1)
(2)
18.(1)
(2)
(注：第 19、20 题答案请写在试卷反面)
附加题
m 0 1 0 1. 设矩阵 A ， 若矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ， 属于特征值 2 的一个特征向量为 ， 求实数 m, n 0 1 0 n
a 的最小值为 24 16 2 1.6
x2 y2 1 3 18. (1)∵椭圆 2 + 2 =1(a＞b＞0)的离心率为 ，且经过点 P(1， )， a b 2 2
a a-b = 1 3a -4b =0 2 a =4 9 ∴ ，即 1 ，解得 ， b =3 + =1 1 9 a 4 b a + 4b =1
高三数学练习
1．已知命题 p：x∈R，x2－x＋1＞0，则命题p 是 ▲ ． 2．设集合 A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则 A∪B＝ ▲ ． 3．设复数 z1＝1－2i，z2＝x＋i(x∈R)，若 z1· z2 为实数，则 x＝ ▲___． 4．一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色，若随机 投掷该四面体两次，则两次底面颜色相同的概率是 ▲ ． 5．有一组样本数据 8，x，10，11，9，已知它们的平均数为 10，则这 组数据的方差 s2＝ ▲ ． 6．在如图所示的流程图中，输出的结果是 ▲ ． x2 y2 7．若 ＋ ＝1表示双曲线，则 m 的取值范围是 1＋m 1－m 8．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋n－1，则 a1＋a3＝ 9．在△ABC 中，若 sin(2 π -A)= 2 sin( -B)，且 ▲ ▲ ． ．
64 4 4 ,解得 x 0 ,所以此时 0 x 4 ; 8 x 当 4 x 10 时,由 20 2 x 4 ,解得 x 8 ,所以此时 4 x 8 .
综合,得 0 x 8 ,若一次投放 4 个单位的制剂,则有效治污时间可达 8 天. (2)当Hale Waihona Puke Baidu6 x 10 时, y 2 (5 = 10 x
20．(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) 的图象在 [ a, b] 上连续不断，定义：
f1 ( x) min{f (t ) | a t x}( x [a, b]) ， f 2 ( x) max{f (t ) | a t x}( x [a, b])
其中， min{f ( x) | x D} 表示函数 f ( x) 在区间上的最小值， max{f ( x) | x D} 表示函数 f ( x) 在区间上的最大值.若存在 最小正整数 k ，使得 f 2 ( x) f1 ( x) k ( x a) 对任意的 x [a, b] 成立，则称函数为区间 [ a, b] 上的“ k 阶收缩函数”. (1)若 f ( x) cos x, x [0, π] ，试写出 f1 ( x), f 2 ( x) 的表达式； (2)已知函数 f ( x) x 2 , x [1,4],试判断 f ( x) 是否为 [1,4] 上的“ k 阶收缩函数”，如果是，求出相应的 k ；如果不是，请说 明理由； （3）已知 b 0, 函数 f ( x) x 3 3x 2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数，求 b 的取值范围.
高 三 数 学 练 习
(2012.1)
一．填空题： 1．__________ 2．__________3．___________4．__________5．__________ 6．__________ 7．__________8．___________9．__________10.__________ 11.___________ 12．__________13.___________14.___________ 二．解答题： 15.(1) (2)
4．设 n 是给定的正整数，有序数组 (a1， a2， ， a2n ) 同时满足下列条件：
2 ， 2n ； ②对任意的 1≤k≤l≤n ,都有 ① ai 1， 1 , i 1，，
i 2 k 1

2l
ai ≤2 ．
（1）记 An 为满足“对任意的 1≤ k ≤ n ，都有 a2 k 1 a2 k 0 ”的有序数组 (a1， a2， ， a2n ) 的个数，求 An ； （2）记 Bn 为满足“存在 1≤ k ≤ n ，使得 a2 k 1 a2 k 0 ”的有序数组 (a1， a2， ， a2n ) 的个数，求 Bn ．
19．(本小题满分 16 分)
记公差 d≠0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝2＋ 2，S3＝12＋3 2． （1）求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn； （2）记 bn＝an－ 2，若自然数 n1，n2，…，nk，…满足 1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且 bn1 ， bn2 ，…， bnk ，…成等比数列， 其中 n1＝1，n2＝3，求 nk（用 k 表示） ； （3）试问：在数列{an}中是否存在三项 ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在， 请说明理由．
(2012.1)
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填在答题卡相应位置）
3 cosA= 2 cos( π -B)，则△ABC 的三个内角中最小角的值为_▲_.
10．已知正四棱柱的底面边长为 2，高为 3，则该正四棱柱的外接球的表面积为 ▲ ． 11.在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面区域 A {( x, y) | x y 1, 且x 0, y 0}, 则平 面区域 B {( x y, x y) | ( x, y) A} 的面积为_▲__. 12．如图，平面四边形 ABCD 中，若 AC＝ 5，BD＝2，则 ( AB ＋ DC)· ( AC ＋ BD )＝ ▲ ．
16 1 (0 x 4) 8 x . x (天)变化的函数关系式近似为 y a f ( x) ,其中 f ( x) 1 5 x (4 x 10) 2
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和 .根据经验,当水中药剂的浓度不 低于 4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. (1)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (2)若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天中 能够持续有效治污,试求 a 的最小值.(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1.4)
2π 2π 3 3 3 3 因为 B＋C＝ ，所以 sinB＋sin( －B)＝ ．化简得 sinB＋ cosB＝ ， 3 3 2 2 2 2 从而 3 1 3 π 3 sinB＋ cosB＝ ，即 sin(B＋ )＝ ． 2 2 2 6 2
（法 2）由余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA，即 b2＋c2－a2＝bc ①．又因为 b＋c＝ 3a ②， 联立①②，消去 a 得 2b2－5bc＋2c2＝0，即 b＝2c 或 c＝2b．若 b＝2c，则 a＝ 3c，可得 B