06-07高数(下)期中考试C卷参考答案

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厦门大学06-07第二学期高数期中试卷

一、选择题（每小题4分，共16分）1．点()1,1,1M 关于平面:1x y z ∏++=的对称点是。

（A ）111,,333⎛⎫⎪⎝⎭；（B ）111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭；（C ）111,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭；（D ）111,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭。

2．函数()222ln u x y z =++在点()1,2,2M -处的方向导数的最大值是。

（A ）29；（B ）23；（C ）19；（D ）13。

3．设()f x 为连续函数，()()1d d t ty F t y f x x =⎰⎰，则()2F '= 。

（A ）()22f ；（B ）()2f ；（C ）()2f -；（D ）0。

4．设平面闭区域(){}222,,0D x y x y a x y =+≤+≥，(){}2221,,0D x y x y a y x =+≤≤≤，则()s i n c o s d d Dx y x y xy +=⎰⎰ 。

（A ）()14sin cos d d D xy x y x y +⎰⎰；（B ）12d d D xy x y ⎰⎰；（C ）12sin cos d d D x y x y ⎰⎰；（D ）0。

二、填空题（每小题4分，共16分）1．设++=a b c 0，5=a ，2=b ，3=c ，则++=⋅⋅⋅a b b c c a 。

2．由曲线ln ln 1x y +=所围成的平面图形的面积为。

3．设()cos cos cos ,,1cos cos cos x y y z z xf x y z x y z++=+++，则()0,0,0d f= 。

4．设(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤，则{}22max ,e d d x y DI x y ==⎰⎰ 。

厦门大学《高等数学A 》课程试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师：高数A 组试卷类型：（A 卷） 2007.04.21三、计算题（第1题——第5题每题8分，第6题10分） 1．求直线11:111x y z L --==-在平面:210x y z ∏-+-=上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程。

高等数学下考试题库(含答案)

精品文档n 02《高等数学》试卷1 （下）•选择题（3分10）n 1n A. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.幕级数n x的收敛域为（).n 1nA. 1,1 B1,1C.1,1 D. 1,1A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05屈数z 33x y3xy 的极小值是（）.A.2B. 2C.1D. 1z =( ).6.设zxsin y ，贝U —y1, 4昴A. 一B. ——C. <2D.42.2 2a 与b 垂直的充要条件是（ 4.两个向量 17.若p 级数—收敛，则（）1.点 M 1 2,3,1 到点 M 2 2,7,4 的距离M 1M 2A.3B.4C.5D.62.向量a i 2j k,b2ij ，则有（A. a // bB. a 丄 bC. a 4 -D. ： a,b3屈数y1 x2 y 2 1的定义域是A. x, y 1 x 2B. x,y 1 x 2C. x, y 1x 2D x, y 1x 29.幕级数x n在收敛域内的和函数是（)n 0 21 A.1 x2 2C ・-1 x1D.-2 xB・2 x10・微分方程xy yin y0的通解为（)•xB・ xxD. y eA. y cey e C. y cxe填空题（4分5）2•函数 z sin xy 的全微分是 ____________________________________1 4.^^的麦克劳林级数是 ___________________________________2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解为三.计算题（5分6）1.设 z e u sin v ,而 u xy, v xy ，求-^,x zy2.已知隐函数z z x, y由方程x C222y z4x 2z 50确定，求,x y/ 2 23.计算 sin 、x y d ，其中D2 2x 2 2y 4 .D 四•应用题（10分2）1•一平面过点A 0,0,3且垂直于直线 AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为 _________________________ 532^33•设 z x y 3xy2/ 小 zxy 1，贝U ------x y4•如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R 为半径）2x5•求微分方程y 3y e 在y xo 0条件下的特解1•要用铁板做一个体积为2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?2..曲线y f x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的求此曲线方程2倍，且曲线过点1,3一.选择题 CBCAD ACCBD 二填空题1.2x y2z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3.6x 2y9y 2 1 .三.计算题Z xy, e xsin x y cos x y yz2.— X 2 X J 1 zy2y z 1 .z 2 23.dsind 6 216 34.- R 3 . 33x 2x5. y e e四.应用题1. 长、宽、高均为3 2m 时，用料最省1 2 2. y x .3《高数》试卷2 （下）一.选择题（3分10）1.点 M 1 4,3,1，M 2 7,1,2 的距离 M 1M 2 （）.2.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0，则两平面的夹角为（试卷1参考答案4.1n2n5. yC i C 2X e2x.z xy .1. e ysin x xcos x y A. 12B. 13C. 14D. 15A. 6B.4C. 3D.?3.函数 z arcs in x 2 y 2的定义域为（ A. x, y 0B. x,y 0 y 2 1C. x, y 0 x 2D. x,y 0 x 2 4•点P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 0的距离为（ A.3 B.4 C.5 D.6 5屈数z 2xy 3x 2 2y 2的极大值为（） A.0 B.1 C. 1 1 D.- 26.设z2 小 x 3xy y 2，则—1 x 1,2 ( ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数 ar n 是收敛的，则（）.n 0A. r 1B. r 1C. ” 1D. r8.幕级数 n 1 x n 的收敛域为 ( )n 0A. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1sin na 9.级数 4 疋（）. n 1 nA.条件收敛B.绝对收敛 c.发散 10.微分方程xy yl ny 0的通解为（ A. y e cx B. x — y ceC. y x e 二填空题（4分 5) x 3 1.直线l 过点A 2,2, 1且与直线y t)•D. D.不能确定 xy cxe平行，则直线I 的方程为2t2.函数z e xy 的全微分为3•曲面z 2x2 4y2在点2,1,4 处的切平面方程为 _______________________________________________ 14. 12的麦克劳林级数是__________________________ •1 x25•微分方程xdy 3ydx 0在y x11条件下的特解为________________________________ •三•计算题（5分6）1. 设a i 2j k,b2j 3k ,求a b.四.应用题（10分2）2.设z u2v uv2，而u xcosy,v xsin y，求—z3.已知隐函数z z x,y3由x 3xyz 2确定，求5.求微分方程y 3y2ax（a 0）所围的几何体的体积4a2与圆柱面x2 2 y2y 0的通解.1.试用二重积分计算由y x,y 2 x和x 4所围图形的面积.2.如图，以初速度v。

高等数学(下册)期中考试题及答案

高等数学（下册）期中考试20110504一、填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为。

2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是。

3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为。

4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。

5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为。

7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。

8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。

9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。

10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。

二、求解下列问题（共计14分） 1、（7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。

2、（7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。

2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。

2019学年度xxx大学第二学期《高等数学》期中考试试题参考答案

第二学期《高等数学》期中考试试题参考答案⑴求满足条件du =(,).u x y解:(,)(,)P x y Q x y ==而22322()P xy Q y x y x∂-∂==∂+∂,故(,)(0,1)10(,)x y yx y u x y dy y ==+⎰⎰⎰0xy =+=⑼ 求曲线积分22()(4),4L x y dx x y dy x y-+++⎰其中曲线L 方程为22(1)4,x y +-=逆时针方向. 解: 222222222448,,.44(4)x y x y P x y xy QP Q x y x y y x y x -+∂-+-∂====++∂+∂但在坐标原点,此条件不成立.记222:4l x y r +=,顺时针方向,则在()L l ++所围区域内,格林公式成立,即22()()(4)0,4L l x y dx x y dy x y ++-++=+⎰故2222()(4)()(4),44L lx y dx x y dyx y dx x y dyx yx y-++-++=++⎰⎰ 2cos sin 22(2cos sin )2(sin )(2cos 4sin )cos 4x r y r r r r r r r d r θθπθθθθθθθ==--++=⎰201.2d πθπ==⎰四. (10分)求解初值问题:2331,1(0),(0) 3.3y y y x y y '''--=+⎧⎪⎨'==⎪⎩解齐次方程对应的特征方程为2230.λλ--=特征根为121, 3.λλ=-=因此齐次方程的通解为312.x x y C e C e -=+由于0不是特征方程的根,故设非齐次方程的特解为,y ax b =+代入原方程,比较系数,得11,.3a b =-=即原方程的通解为3121.3x xy C e C e x -=+-+由定解条件,得12120,313,C C C C +=⎧⎨-+-=⎩ 121,1.C C =-⎧⇒⎨=⎩初值问题的解为 31.3xxy e e x -=-+-+6. 2001(),()()().2aaa xf x f x dxf y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰已知函数连续求证;2000()()()()()()().ax aaxaaaf x dx f y dy f x dx f y dyf x dx f y dy f x dx +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明;显然()()()()()()aa a y a xxf x dx f y dy f y dy f x dx f x dx f y dy==⎰⎰⎰⎰⎰⎰而变换积分次序后再换积分变量字母,有于是201()()().2aaaxf x dx f y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰证毕.证法2: 0()(),xF x f y dy =⎰记则0()().af x dx F a =⎰于是()()()[()()]aa a xf x dx f y dy f x F a F x dx =-⎰⎰⎰0()()()()a aF a f x dx F x f x dx =-⎰⎰2222200111()()()()()()().222aa a F a F x dF x F a F x F a f x dx ⎡⎤=-=-==⎢⎥⎣⎦⎰⎰2222(1)(1)9.,1,.(1)2L xdy y dx y I L x x y ++---=+=+-⎰求曲线积分其中方程为逆时针方向解: 2222(1)(,),(,),(1)(1)y x P x y Q x y x y x y --==+-+-22222(1),[(1)]P y x Qy x y x∂--∂==∂+-∂ 由于点(0,1)位于L +所围区域(记为D )内,作圆周C +: x 2+y 2=r 2,则由格林公式,22()(1)0,(1)L C xdy y dxI x y ++--==+-⎰22222222220(1)(1)cos sin 2.(1)(1)L C xdy y dx xdy y dxr r I d x y x y r πθθθπ++----+====+-+-⎰⎰⎰。

高数期中试题及解答

⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。

2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。

3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。

4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。

5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。

6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。

7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。

8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。

=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。

10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。

11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。

12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上第Ⅰ卷用黑色钢笔签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题每小题5分共40分每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性一元二次不等式的解法结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部以及对应的点所在象限一一判断各选项即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形且4CA CB == 建立空间直角坐标系写出点的坐标设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组求出答案.【详解】方法一：如图由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥．又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=．因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直面面垂直转化的过程中要从线面垂直得到面面垂直需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内垂直于交线” 在答题过程中要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线从而即可顺利得解.二多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数方差百分位数众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙故A 正确选项B 由A 知两组数据平均数均约为7.8且纵向看甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同其余数据相同又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差且差距较大故与平均数比较甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差故B 错误选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据即：7.8 故C 正确选项D 评委对乙评分中最多的数据即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件【答案】AC【分析】对于A 利用象限角求得角α的范围可判定充分性取π3α= 验证必要性即可对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围可判定必要性不成立对于C 根据集合M N 的关系即可判定对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角当k 为奇数时 α为第三象限角所以充分性成立当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角即必要性不成立故A 正确对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件故D 错误故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左右焦点点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得对B 选项：结合导数讨论单调性即可得对C 选项：结合()f x 单调性可转化为当1x ≥时有()1ln m x x ≥+成立求出()1ln x x +最小值即可得对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减在()1,∞+上单调递增即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增故()n x 无最小值即()121ln x x t +⋅无最小值故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题其中D 选项中涉及到多变量问题的求解求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系将多变量转化为单变量的问题从而将其转化为函数最值问题的求解. 三填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦．【答案】2020【分析】根据题意得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列求得其通项公式结合累加法得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为．【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等此时,,A M N 共面时设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四解答题（共70分）17．（本题10分）如图在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值．【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动现从中抽取200名学生记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图根据图形请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛请根据图中信息估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可（2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人）成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人）则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标表示出面积后结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出即需把M x N y 算出设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程在求解直线与椭圆的位置关系问题时常用方法是设而不求借助韦达定理等手段将多变量问题转变为单变量问题再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--．【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出（3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可．【详解】（1）由题可知当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->．当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增．当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减．（3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--．要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-．不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭．即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立．令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'．从而()f x 在(1,)+∞上单调递减故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题（共40题，每题2分，共80分）1. 计算∫(4x-3)dx的结果是：A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案：A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为：A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案：D3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于：A. aB. abC. 1D. b答案：B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为：A. 19B. 17C. 16D. 15答案：C5. 已知√2是无理数，则2-√2是：A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案：A二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。

答案：42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是____。

答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为____。

答案：(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。

答案：连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是____。

答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。

解：令u = e^x-1，则du = e^xdx。

原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。

2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。

高数下期中试题及答案

高数下期中试题及答案高数下期中试题及答案高数的选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

下面是小编收集整理的高数下期中试题及答案，希望对您有所帮助！高数下期末试题《高等数学》试卷结构(一)考试内容与要求执行全国高校网络教育考试委员会于2010年制定的考试大纲相应部分，见《高等数学》(2010年修订版)。

(二)试卷分值试卷满分为100分。

(三)试题类型试题的类型全部为选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

每套试卷为20小题，每小题均为5分。

其中“二选一”共10道题，对命题作“正确”或“不正确”的选择。

“四选一”共10道题，在四个备选答案中选出一个符合题目要求的答案。

“四选一”的题目包括对运算结果的选择、对运算过程正确性的判定等多种形式。

(四)试题难度试题难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例为5:4:1。

(五)试题内容比例一元函数微积分约90%，常微分方程约10%。

(六)考试方式与时间考试方式为机考、闭卷。

考试时间为90分钟。

答卷时应该注意以下一些问题：1、要认真阅读试卷和试题的指导语，弄清答题的要求和方式。

要正确解答二选一的题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题方法。

以下是几种比较常用的解答二选一的`题的方法。

分析推理：即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。

计算求解：即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。

寻找反例：即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。

如有，只要找出一个相反的例子，就能断定原题是错的。

假设验证：有些二选一的题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否成立，再作出判断。

在实际解答二选一的题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。

有些题目可以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。

四选一的题常用的方法有淘汰法和直接法：淘汰法的特点是，根据已学知识经过判断去掉不合题意者，剩下的一个就是正确的答案;直接法的特点是，根据已学知识经过推论或计算得出答案，以此答案对照各备选答案，相同者为正确答案，解题时找到一个正确答案后，剩下部分可以不再考虑。

高数期中考试(下)(A)参考答案

由实际问题的最小值存在，故点 (− （本题也可用几何方法求解）七、令 f x ( x, y ) = λ (e − 1) cos x + sin x cos 2 y = 0
y
2 14
,
1 14
,
6 14
) 即为所求点
f y ( x, y ) = λe y sin x + 2 cos x sin 2 y = 0
π
8
（也可以用柱坐标）
广东工业大学试卷用纸，共
页，第
页
五、
∫∫ x[1 + yf (x
D
2
+ y 2 dxdy = ∫∫ xdxdy + ∫∫ xyf ( x 2 + y 2 )dxdy
D
1 1
)]
D
1 1 1 xdx ∫ 3 f ( x 2 + y 2 )d ( x 2 + y 2 ) x 2 ∫−1
D −1
)]
2 dy ＝ − （本题也可以用挖补法求解） 5
六、设曲面上点 ( x, y , z ) 到平面的距离为 d ，则 d =
x − 2 y + 3z − 1 14
14d 2 = ( x − 2 y + 3 z − 1) 2 ，且 z = 2 + x 2 + 4 y 2
令 F = ( x − 2 y + 3 z − 1) + λ ( 2 + x + 4 y − z )
3．（用球坐标） Ω ： 0 ≤ θ ≤ 2π 由对称性
π
4
0 ≤ r ≤1
∫∫∫ (x + z )dV ＝ ∫∫∫ zdxdydz
Ω Ω

高数期中考试及答案详解

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为（） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点；C 第一类跳跃间断点；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

高数下期中试卷及参考答案

福建师范大学协和学院09－10学年第二学期09级高数Ⅰ 期中试卷试卷类别：闭卷考试时间：120分钟一、单项选择题（每小题3分，共18分）1、设直线方程为1111111122220,0A x B y C z D A B C D A D A x D +++=⎧⎨+=⎩、、、、、均不为零，则直线( C ). （A ）过原点（B ）平行x 轴（C ）垂直x 轴（D ）平行z 轴2、平面,a b为共线的单位向量，则它们的数量积a b ⋅= ( D )．（A ）1（B ）-1 （C ） 0 （D ）cos(,)a b ∧3、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续且偏导数存在是它在该点可微的( A ).（A ）必要而非充分条件（B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件4、设函数(,)f x y 在点()0,0的某邻域内有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==-，则曲线(,)z f x y =在点()()0,0,0,0f 的一个法向量为( B ).（A ）()3,1,1- （B ）()3,1,1-- （C ）()1,0,3 （D ）()3,0,15、3322(,)339f x y x y x y y =+++-的极小值点是（ B ）.（A ）（-2，1）（B ）（0，1）（C ）（0，-3）（D ）（-2，-3） 6、设平面区域{}(,),,D x y a x a x y a =-≤≤≤≤{}1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤,则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A ）14cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （B ）14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰（C ）12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （D ）0二、填空题（每题3分，共21分）1、极限00x y →→= 16- 2、函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿东北方向的方向导数为23、直线 3212x ty t z t=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩与平面250x y z ++-=的夹角为 6π.4、设ln x z z y =，则dz = ()2z z dx dy x z y x z +++5、过点(3,1,2)-且与直线11211-+==-z y x 垂直相交的直线方程为31274x y z --==+－ 6、星形线33cos ,sin x a t y a t ==的全长为 6a7、交换二次积分1(,)dy f x y dx ⎰⎰的次序得2121(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰三、计算题（每小题8分,共56分）解 [][]210,2,(1cos )2dA a d θπθθ∈=+，从而 []()222220011(1cos )12cos cos 22A a d a d ππθθθθθ=+=++⎰⎰22220022211cos213112cos 2cos cos22222213132sin sin 22242a d a d a a πππθθθθθθθθθπ+⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⋅++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 解设平面束方程：()540x y z x z λ+++-+=，即()()15140x y z λλλ+++-+=，从而()11,5,1n λλ+=-又平面48120x y z --+=的法线向量()21,4,8n --=从而 1212cos 42n n n n π⋅====⋅ 所以()2223131612225022724λλλλλ-=⇒-+=⇒=-+ 即平面：207120x y z ++-=又平面4x z -+的一个法线向量()31,0,1n =-则平面4x z -+与平面48120x y z --+=的夹角的余弦为32322n n n n ⋅==⋅ 即平面4x z -+满足条件. 所以，求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成4π角的平面为（１）207120x y z ++-= （２）4x z -+解 12yz f e f x ∂''=⋅+∂，()212121y y y z z f f f e f e f e x y y x y y y''∂∂∂∂∂∂⎛⎫'''==⋅+=⋅+⋅+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭()12111321232111312123,,yy y y y y f f f xe f f xe f y yzf xe f e f e f xe f x y''∂∂''''''''=⋅+=⋅+∂∂∂'''''''''∴=⋅+⋅+⋅+⋅+∂∂ 解设切点为()000,,M x y z ，取切向量12,,12n x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则0012,,12M n x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由已知，切平面平行于平面02=++z y x ，从而0012,,12Mnx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平行于平面02=++z y x 的法线向量()12,1,1n =所以 00000121211,23211y x x y z -===-⇒=-=-⇒=所以，切点()1,2,3--，()2,1,1Mn =---切平面方程：()()()21230x y z -+-+--=，即：210x y z +++= 法线方程：123211x y z ++-==---，即：1232x y z +=+=-解1 设(,,)x y z 为曲面22z x y =+上任一点，则目标函数：d ==；约束条件：22z x y =+将约束条件代入目标函数，化为无条件极值： d ==将绝对值内配方得，22222x x y y -+-+222211111117222222162164444x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+-+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，22117722x yd⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪=≥=14x y==时取等号从而，求曲面22z x y=+与平面220x y z+--=之间的最短距离24d=解２设000(,,)x y z为曲面22z x y=+上任一点，则过该点的曲面的一个法向量()002,2,1n x y=-，当过该点的切平面与平面220x y z+--=平行时，可得最短距离即：()()002,2,1//1,1,2n x y=--000002211111248x yx y z-⇒==⇒==⇒=-，从而，所求的点为111,,448⎛⎫⎪⎝⎭则所求的最短距离7d====解曲线22z x=绕x轴旋转得旋转曲面：()222222y z x x y z+=⇔=+222224;510x y z x y z=⇒+==⇒+=投影法：将Ω投影在yOz面上，22:41002,25yzDy z r xθπ≤+≤⇔≤≤≤≤≤≤所以()522222()yzDy z dv y z dx dydzΩ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222233126yzDy zdydz d rdrπθπ=+=⋅=⎰⎰⎰解2xyDA=，其中曲面方程：z=则x x z z ===()2222:211,02c o s22xy D x y x x yr ππθθ+≤⇔-+≤⇔-≤≤≤≤所以，2cos 20224816xyD A d rdr πθπθπ-===-⎰⎰⎰⎰分) 分析函数(,)f x y 在()00,x y 处可微()()()()()()00000000,,,,x y z f x x y y f x y dz O f x y x f x y y O ρρ⇔∆=+∆+∆-=+=∆+∆+ ()()()()0lim,,,,limx y x y z dzf x x y y f x y f x y x f x y y ρ∆→∆→∆→∆→∆-⇔+∆+∆--∆+∆== 证明 ()()()()()()22001sin 0,00,010,0limlim lim sin0x x x x x f xf x f x xxx ∆→∆→∆→∆+∆-∆===∆⋅=∆∆∆同理，()0,00y f =()()()()002222lim,0,00,00,0lim1sinlim1limx y x y x y x y z dzf x y f f x f y x y x y x y ρ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆-∴∆∆--∆+∆=⎡⎤∆+∆⎣⎦∆+∆===∆+∆ 证毕.。

大学高等数学统考卷下10届期中考试附加答案

大学高等数学统考卷下（10届）期中考试附加答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则下列结论正确的是（）A. f'(0)存在B. f'(0)不存在C. f(x)在x=0处连续D. f(x)在x=0处不可导2. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间(a, b)内至少存在一个极值点B. f(x)在区间(a, b)内至少存在一个拐点C. f(x)在区间(a, b)内恒为常数D. f(x)在区间(a, b)内单调递增3. 下列级数收敛的是（）A. ∑(n=1 to +∞) n^2B. ∑(n=1 to +∞) (1)^n / nC. ∑(n=1 to +∞) 1 / nD. ∑(n=1 to +∞) n / 2^n4. 设函数f(x)在区间(0, +∞)上可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间(0, +∞)上单调递增B. f(x)在区间(0, +∞)上单调递减C. f(x)在区间(0, +∞)上存在极值点D. f(x)在区间(0, +∞)上恒为常数5. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，下列积分中正确的是（）A. ∫(a to b) f(x) dx = 0B. ∫(a to b) f(x) dx = f(a) + f(b)C. ∫(a to b) f(x) dx = f(a) f(b)D. ∫(a to b) f(x) dx = (b a) f(a)二、填空题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f'(x) = ______。

2. 设函数f(x) = e^x，求f''(x) = ______。

3. 设函数f(x) = ln(x + 1)，求f'(x) = ______。

(完整版)高等数学(A)06-07下期中试卷参考答案及评分标准

高等数学（ A）06-07-3 期中试卷参考答案及评分标准
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
xyz 1 1．曲线 x y 2 在点 (1,1,1) 处的切线方程为
x1 2
y1
z 1； 3
2．方程 xyz x2 y 2 z2
2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1,0, 1) 处的全微分
为 dz dx 2dy ；
3．交换二次积分的积分次序
0
2
2
0
dy f (x, y)dx ＝ dx f ( x, y)dy ；
1
1y
1
1x
4．设曲线 C : x cost , y sin t, z
3,0 t
，则
x2 y2 z2ds 2 ；
C
ò 5．设曲面
:x
y z 1 ，则
(x
y )dS
4 3.
3
0
0
1
y y2
（ A ） dy
f(x, y)dx
0
0
1
1 y2
（ B） dy
f(x, y)dx
0
0
1
1
（ C） dx f(x, y)dy
0
0
1
x x2
（ D） dx
f(x, y)dy
0
0
8．设由 3 x2 y 2 z, z 1 x 2 所围成，则
f ( x, y, z)dv
[
[D] C]
1
1 4x2
f (i) 2 e 1 i （ 1 分） 13. 计算 zdv ，其中
( x, y, z) R 3 z x2 y2 z2 2z .

2006高等数学(下)试卷(C)答案

湘司警院2006年（上）《高等数学下》期末试卷（C ）适用区队：05信管301 命题人：张建贵时量：100min 区队：姓名：学号：一、单项选择题（每小题3分，共30分）1. 直线11231-=-=-z y x 与平面3x +4y -z =2的位置关系是( C ). (A )平行； (B )垂直； (C )直线在平面内； (D )相交但不垂直.2. 曲线⎩⎨⎧+==222y x z x y 在点(1, 1, 2)处的切线方程为( C ). (A )822111-=-=-z y x ； (B )622111-=--=-z y x ；(C )64211+=+=z y x ； (D )822111-=--=-z y x .3. 设平面区域D ： 1≤x 2+y 2≤4，则⎰⎰+Ddxdy y x f )(22=( C ).(A )⎰2)(2dr r rf π； (B )⎰2)(dr r f π； (C )⎰21)(2dr r rf π； (D )⎰21)(dr r f π.4. 根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )； (A )D x D,0d )1(⎰⎰>-σ：x ≤1，y ≤1； (B )D x D,0d )1(⎰⎰>+σ：x ≤1，y ≤1；(C )D y x D ,0d )(22⎰⎰>--σ：22y x +≤1； (D )D y x D,0d )ln(22⎰⎰>-σ：x +y ≤1．5. 22ecos xy y y x -'''++=的特解形式可设为（ A ）；(A )(cos sin )e xx A x B x -+； (B )e cos x Ax x -； (C )e sin x Ax x -； (D )(cos sin )exAx x x -+．6. 已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f∂∂=∂∂+yf （ C ）；)A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +． 7. 函数122+-=y x z 的极值点为（ D ）．)A ()0,0(； )B ()1,0(； )C ()0,1(；)D (不存在．8. 正项级数∑∞=1n na若满足条件（ D ）必收敛；（Ａ）0lim =∞→n n a ；（Ｂ）1lim1<+∞→n n n a a ；（Ｃ）1lim 1n n naa +→∞≤；（Ｄ）1lim 1>=+∞→λn n n a a ．9. 设级数∑∑∑∞=∞=∞=111,,n nn nn ncb a ，且n n nc b a <<),2,1( =n ，则（ B ）正确．（A ）若∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na必收敛；（B ）若∑∞=1n na，∑∞=1n nc都收敛，则∑∞=1n nb必收敛；（C ）若∑∞=1n na，∑∞=1n nc都发散，则∑∞=1n nb必发散；（D ）若∑∞=1n nb发散，则∑∞=1n nc必发散.10. 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+.(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．二、填空题（每小题3分，共30分）1. 以曲线⎩⎨⎧==+x z z y x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是 x 2+y 2-2x =0；2．曲线⎩⎨⎧==-+00422y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是x 2+y 2+z 2-4z =0；3. 设z =x sin(2x +3y ), 则yx z ∂∂∂2= )y x sin(x )y x cos(326323+-+；4. 设)ln(22y x z +=，则11d x y z===d d x y +；5. 设D ：x ≤π，y ≤1，则(sin )d d Dx y x y -=⎰⎰ ０；6. 改变二次积分⎰⎰21),(xdy y x f dx 的积分次序得⎰⎰110),(y dx y x f dy ；7. 写出麦克劳林展开式，并注明收敛域：=+)1ln(x 1,1](-∈+-+-+-+x nx )1(3x 2x x n1n 32 . 8. (2)''+'+=y py qy 0的特征方程为 02=++q pr r ； 9. ''=y x 2sin 的通解为 122sin x C x C -++ ；10. 设∑∞=1n nnx a的收敛半径为R ，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为R .三、判断题（正确的打“√”，错误的打“X ”,每小题2分，共20分）1. '=y y 的通解为e xy C =（C 为任意常数）．（ √ ） 2. a b b a ⨯-=⨯; ( √ ) 3. ()()()000000,,,x x x y y x x x x y x f y x f y x f =====表达式成立；（ √ ）4. 若),(y x f z =在()00,y x 处偏导数存在，则),(y x f z =在()00,y x 处一定可微；（ ⨯ ）5. 二重积分),(,d d ),(y x f y x y x f D⎰⎰≥0的几何意义是以),(y x f z =为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积； ( √ )6. 交错级数(),11∑∞=-n n na 若,0lim =∞→n n a 则∑∞=-1)1(n n n a 收敛; （ ⨯ ）7. 函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数. （ √ ）8. '''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=；（ ⨯ ）9. 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 10. 交错级数(),11∑∞=-n n na 若,0lim =∞→n n a 则∑∞=-1)1(n n n a 收敛．（ ⨯ ）四、（7分）解微分方程 ''=-'y x y 2.解：设)(x p y ='，则)(x p y '=''，原方程变形为 p x p 2-='，对应的齐次方程为 02=+'p p ，用分离变量法，得d 2d px p=-，两边积分，得 ln 2ln p x c =-+，即2e xp c -=，根据常数变易法，设2()exp c x -=，代入p x p 2-='，有2()e x c x x -'=， 2()e ,xc x x '= 积分得 2()ed x c x x x=⎰=21de 2xx ⎰=2211e e d 22x x x x -⎰=22111e e 24x x x C -+，变形后所得一阶微分方程的通解为 p =211e 24x x C --+，所以，原方程的通解为 y =()d p x x ⎰=211(e )d 24xx C x --+⎰=212e x C C -++442x x -．五、（7分）在曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32,,t z t y t x 上求一点，使其在该点的切线平行与平面42=++z y x ，并写出切线方程.解设所求点为（0t ，20t ，30t ），d d t t xt==1，d d t t y t==20t ，d d t t z t==320t ，故切线方程为 230200321t t z t t y t x -=-=-，由于切线与平面平行，切线的方向向量s ={1，20t ，320t }与平面的法向量n ={1，2，1}垂直，有={1，20t ，320t }·{1，2，1}=1+40t +320t =0，解方程，得 0t =1-或31-，当0t =1-时，切点为（1-，1，1-），切线方程为 31211+=--=+z y x ；当0t =31-时，切点为（31-，91，127-），切线方程为31271239131+=--=+z y x ，即 271291331+=--=+z y x ．六、（6分）求522++=y x z 在约束条件x y -=1下的极值．解作辅助函数 )1(5),,(22y x y x y x F --+++=λλ，则有λλ-='-='y F x F y x 2,2，解方程组 20,20,10,x y x y λλ-=⎧⎪-=⎨--=⎪⎩得 1,12x y λ===．现在判断11(,)22P 是否为条件极值点：由于问题的实质是求旋转抛物面522++=y x z 与平面x y -=1的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点11(,)22P 处取得极小值112z =．。

高等数学c考试题及答案解析

高等数学c考试题及答案解析一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C解析：函数f(x)=x^2-4x+3可以因式分解为(x-1)(x-3)，因此其零点为x=1和x=3，共2个。

2. 极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值为（）。

A. 0B. 4C. 8D. 无法确定答案：C解析：当x趋近于2时，分子x^2-4趋近于0，分母x-2趋近于0，但分子是分母的平方，所以极限值为8。

3. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -2D. 2答案：D解析：首先求导得到y'=3x^2-3，将x=1代入得到y'=0，因此切线斜率为0。

4. 以下哪个函数是偶函数（）。

A. y=x^3B. y=x^2C. y=x+1D. y=1/x答案：B解析：偶函数满足f(-x)=f(x)的性质，只有y=x^2满足这个条件。

5. 以下哪个积分是发散的（）。

A. ∫(0,1) 1/x dxB. ∫(0,1) x^2 dxC. ∫(0,1) e^x dxD. ∫(0,1) 1/√x dx答案：A解析：积分∫(0,1) 1/x dx在x=0处不收敛，因此是发散的。

6. 以下哪个级数是收敛的（）。

A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+2+3+4+...D. 1/2+1/4+1/8+1/16+...答案：D解析：级数1/2+1/4+1/8+1/16+...是一个等比级数，公比为1/2，因此是收敛的。

7. 以下哪个矩阵是可逆的（）。

A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]答案：C解析：矩阵[2 0; 0 2]的行列式为4，不为0，因此是可逆的。

8. 以下哪个函数是周期函数（）。

高数C被用试卷及答案

高数C被用试卷及答案 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020高等数学C 试卷一、单选题(每小题3分，共15分)1、设函数()f x 在点0x 处连续, 则下列结论正确的是 ( D )A 、000()()lim x x f x f x x x →--必存在 B 、0lim ()0x x f x →= C 、当0x x →时，0()()f x f x -不是无穷小量D 、当0x x →时，0()()f x f x -必为无穷小量2、设0)0(=f ，且x x f x )(lim0→存在，则 xx f x )(lim 0→ 等于（ B ） A 、)(x f ' B 、)0(f ' C 、)0(f D 、)0(21f ' 3、设函数2sin 2(1)1()21x x f x x -⎧⎪-⎪=⎨⎪-⎪⎩111x x x <=> 则1lim ()x f x →等于( D ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、不存在4、若⎰+=c x dx x f 2)(，则⎰=-dx x xf )1(2（ D ）.A 、c x +-22)1(2B 、c x +--22)1(2C 、c x +-22)1(21D 、c x +--22)1(21 5、若在),(∞-∞内)()(x f x f =-,在)0,(-∞内)(x f '>0且)(x f ''<0则在),0(+∞内( C )A 、)(x f '>0,)(x f ''<0B 、)(x f '>0,)(x f ''>0C 、)(x f '<0,)(x f ''<0D 、)(x f '<0, )(x f ''>04、设2()x xf x dx e C -=+⎰，则()f x =（ D ）222222x x x x xe xe e e --－－－－A 、 B 、 C 、 D 、5、设()ln ,f x x =则(sin )()df x df x =（ C ）A 、cos sin x x B 、sin cos x x C 、cos sin x x x D 、sin x x二、填空(每小题3分，共15分) (要求把答案填在答题纸上) 1、设()(1)(2)(2015),f x x x x x =--⋅⋅⋅- 则'(0)f = -2015！．2、设lim '(),x f x k →∞=则()()lim x f x a f x a→∞+-= k ． 3、若点（1，3）是曲线321y ax bx =++的拐点，则a= -1， b= 3 ．4、 x +21的n 阶麦克劳林展开式为(带皮亚诺型余项) )(2)1(210n i n i i x o x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=. 5、若()f x 的一个原函数为x cos ，则'()f x dx ⎰= sin x C -+ .三、计算题 (每小题7分，共42分)1、求不定积分3(1)x dx x -⎰解：原式31(1)u d u u -=-⎰ （令1x u -=） --------2分 31u du u-=⎰ --------3分 23()u u du --=-⎰ --------5分2112u u c --=-+ --------6分 2112(1)1c x x=-+-- --------7分 2、dx x x ⎰+-)1)(1(1 解：原式111()211dx x x =---+⎰ --------4分 111()211dx dx x x =---+⎰⎰ --------5分 11ln 21x C x -=-++ --------7分 3、计算⎰+dx x x 123．解 11)1(112222323+-=+-+=+-+=+x x x x x x x x x x x x x∴ ⎰⎰⎰⎰+-=+-=+dx x x xdx dx x x x dx x x 1)1(12223 --------4分 22211(1)221d x x x +=-+⎰ --------6分 2211ln(1)22x x C =-++ --------7分 4、求2ln x xdx ⎰.解：231ln ln 3x xdx xdx =⎰⎰ --------2分 3311ln ln 33x x x d x =-⎰ --------5分 33111ln 33x x x dx x=-⎰ 3211ln 33x x x dx =-⎰ --------6分 3311ln 39x x x C =-+ --------7分 5、已知3()f x x bx c =++在1=x 处有极值2-，试确定系数b 、c ，并求出所有的极大值与极小值.解：2()3f x x b '=+ --------2分由题意得：(1)2,(1)0f f '=-=3120()3303b c c f x x x b b ++=-=⎧⎧⇒⇒⇒=-⎨⎨+==-⎩⎩ --------4分 2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+=0 得：1x =或1x =- 当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>；当(1,1)x ∈-时，()0f x '<； --------6分当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>.故函数()y f x =在1x =-取得极大值为2，在1x =处取得极小值为2-. --------7分6、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2，求22dx y d解：tt t t dx dy 21121122=++= （4分） 222232112()241d y t d dy dx t dt t dt dx dx t t-+===-+ （7分）四、求函数1323--=x x y 的单调区间、凹凸区间、极值和拐点（10分）解： ∵)2(363'2-=-=x x x x y )1(666''-=-=x x y --------3分 ∴),2()0,(+∞⋃-∞∈x 时，单调递增； )2,0(∈x 时，单调递减。

高等数学期中考试答案

高等数学期中考试答案学校：中国传媒大学院系：专业：年级：班级：一. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题共 4小题，每小题 3分，总计 12 分） 1、答：A 2、B 310分4二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 3 小题，每小题 3分，总计 9 分）12、⎪⎩⎪⎨⎧<∞+=>=0,0,10,0a a a 答 10分3、三. 解答下列各题（本大题共 2 小题，总计 5 分）15分 10分24分8分10分四. 解答下列各题（本大题共 3 小题，总计 9 分）1、本小题2分10分28分10分32分 4分8分10分五. 解答下列各题（本大题共 3 小题，总计 11 分）1、本小题4分3分5分8分10分2、本小题4分2分4分6分8分 10分3、本小题3分5分7分10分六. 解答下列各题（本大题 4 分）5分10分七. 解答下列各题（本大题 4 分）3分8分 10分八. 解答下列各题（本大题 3 分）3分7分10分九. 解答下列各题（本大题 4 分）3分7分10分十. 解答下列各题（本大题 7 分）4分8分10分十一. 解答下列各题（本大题 10 分）2分5分 8分10分十二. 解答下列各题（本大题 6 分）5分10分十三. 解答下列各题（本大题 7 分）0001cos 2===⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y t x tt y t x e x t，时知当解：由第一式两边对t 求导，得t x t t x e t x t sin cos )(')('+-= 解得tt x e t x t cos 1sin )('++= 由第二式，得4分12)('+=t t y =∴dx dy tt x e t t x t y t cos 1sin 12 )(')('+++=tx e t t t sin )cos 1)(12( +++=0=x 时，0=t =∴=0|x dx dy 0|sin )cos 1)(12( =+++=t ttx e t t 2= 8分)0(20::-=-x y 所求切线方程为故即 x y 2= 10分十四. 解答下列各题（本大题 4 分）4分8分10分十五.解答下列各题（本大题5 分）2分6分10分。