大学物理 牛顿运动定律及其应用 习题及答案

大学物理牛顿运动定律及其应用习题及答案第2章牛顿运动定律及其应用习题解答

1．质量为10kg 的质点在xOy 平面内运动，其运动规律为:

x =5con 4t +3(m),y =5sin 4t -5(m).求t 时刻质点所受的力．

解: 本题属于第一类问题

x =5con 4t +3

dx v x ==-20sin 4t dt

dv a x =x =-80cos 4t dt

y =5sin 4t -5

v y =20cos 4t

a y =-80sin 4t

F x =ma x =-800cos 4t (N )

F y =ma y =-800sin 4t (N )

F =(F x +F y ) =800(N )

2．质量为m 的质点沿x 轴正向运动，设质点通过坐标x 位置时其速率为kx （k 为

比例系数），求：

（1）此时作用于质点的力；

（2）质点由x =x 1处出发，运动到x =x 2处所需要的时间。

解:(1) F =m 12dv dx =mk =mk 2x (N ) dt dt

x 22dx 11x 2=ln x =ln ⎰kx k k x 1x 1x 1dx ⇒t = (2) v =kx =dt x

3．质量为m 的质点在合力F =F 0-kt(N ) （F 0,k 均为常量）的作用下作直线运动，求：

（1）质点的加速度；

（2）质点的速度和位置（设质点开始静止于坐标原点处）.

解:由牛顿第二运动定律 F -kt dv =F 0-kt ⇒a =0(ms -2) dt m

12F t -kt v t F -kt 0dt ⇒v =(ms -1) ⎰dv =⎰0 m m 00

121312F 0t -kt F t -kt x t 0dt ⇒x =(m ) ⎰dx =⎰m m 00m

4．质量为m 的质点最初静止在x 0处，在力F =-k /x (N)（k 是常量）的作用下沿X 轴运动，求质点在x 处的速度。

解: 由牛顿第二运动定律

2

F =-k /x 2=m

v x dv dv dx dv =m =mv dt dx dt dx k ms -1) ⎰vdv =⎰-2dx ⇒v =mx 0x 0

5．已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即f =-k /x 2(N)，k 是比例常数．设质点在x =A 时的速度为零，求

质点在x =A /4处的速度的大小．解: 由牛顿第二运动定律

F =-k /x 2=m

v x dv dv dx dv =m =mv dt dx dt dx k vdv =-dx ⇒v ===ms -1) ⎰⎰2mx 0x 0

6．质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数) 作用，t =0时质点的速度为v 0，证明

(1) t 时刻的速度为v ＝v 0e k -() t m ；

k -() t m v 0(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝() ［1-e m ］； k

m ) ； k

1(4)当t =k 时速度减至v 0的，式中m 为质点的质量． e (3)停止运动前经过的距离为v 0(

证明: (1) t 时刻的速度为v ＝v 0e k -() t m F =-kv =m

v t dv dt k -t dv k v k m =⎰-dt ⇒ln =-t ⇒v =v 0e ⎰v m v 0m v 00

-() t m v 0 (2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝() ［1-e m ］ k k

x k -t dx v ==v 0e m dt t

0⎰dx =⎰v e

00k -t m k -t mv 0dt ⇒x =(1-e m ) k

(3)停止运动前经过的距离为v 0(m ) k

m ) k 在x 的表达式中令t=0得到: 停止运动前经过的距离为v 0(

(4)当t =m k 时速度减至v 0的1，式中m 为质点的质量． e

在v 的表达式中令t =k 得到:v 1= v 0e

7．质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：

(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；

(2) 子弹进入沙土的最大深度．

解: 由牛顿第二运动定律 (1) m dv dv k =-kv ⇒=-dt dt v m

t 考虑初始条件, 对上式两边积分: k -t dv k =-⎰dt ⇒v =v 0e m ⎰v m v 00

x max k -t mv dx =-⎰v 0e m dt ⇒x max =0 dt k 0∞v (2) ⎰0

8．质量为m 的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为v = 5.0 m/s．设空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，问：当雨滴下降速率为v = 4.0 m/s 时，其加速度a 多大？(取g =9.8m /s 2)

解: 由牛顿第二运动定律

雨滴下降未达到极限速度前运动方程为

mg -kv 2=ma （1）

雨滴下降达到极限速度后运动方程为

mg -kv 2=0 （2）

将v = 4.0 m/s代入（2）式得

k =mg （3） 2v max

v v =42 由（1）、（3）式 a v =4=g (1-2v m a x ) =10⨯(1-16) =3.6m /s 2 25

9．一人在平地上拉一个质量为M 的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6. 设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h ＝1.5 m，不计箱高，问绳长l 为多长时最省力? 解: 由牛顿第二运动定律有