高三年级数学扩优训练题(七)——三角恒等变形

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高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)

高中数学三角恒等变换精选题目（附答案）1、cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为（）A 0 B12 C 2 D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（） A 、3365-B 、6365C 、5665D 、1665-3. tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++的值为（）A 1 B3C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（）A 47-B 47C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（）A 、3365B 、1665C 、5665D 、63656.,)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（）A 、725-B 、2425-C 、2425D 、7257. 函数44sin cos y x x =+的值域是（）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（） A1010 B 1010- C 10103 D 10103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位 10.函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是（）A 、x =113πB 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 11. 已知1cos sin 21cos sin x xx x -+=-++，则x tan 的值为（）A 、34B 、34-C 、43D 、43-12.若0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,则=-βα2 （） A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π- 13. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为。

新高考数学计算题型精练三角恒等变换(解析版)

新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。

三角函数恒等变换含答案及高考题

三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值．解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2，所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ，所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证．法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域．解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象，得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值．数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

三角恒等变换(知识、题型、训练及答案)

三角恒等变换知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.tan 2α＝2tan α1－tan α. 3.辅助角公式函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ).（其中，ab =ϕtan ）注意：1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4.在三角求值时，往往要借助角的范围求值.基础自检测1.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.792.若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.453.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.4.sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.题型解析题型一三角函数式的化简【例1】(1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.【训练1】 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β)B.sin αC.cos(α＋2β)D.cos α题型二三角函数式的求值【例2】(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.(2)若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝14，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23＝________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________.【训练2】 (1)已知x ∈(0，π)，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22πx ＝sin 2x ，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ＝( )A.13B.－13C.3D.－3(2)已知α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πα＝－23，则cos α＝________.题型三三角变换的简单应用【例3】 △ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量.(1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B 2的最大值.【训练3】已知函数f (x )＝3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx －2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ时，f (x )≥－12.答案诊断自测1.A2.D3.34.22【例1】 (1)sin(α＋γ) (2)cos α 【训练1】 D 【例2】(1)6 (2)－78 (3)－3π4【训练2】(1)A (2)15－26【例3】解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A－cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.(2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，B ＋A >π2，所以π6<B <π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值，此时B ＝π3，y max ＝2.【训练3】 (1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12. ∴f (x )≥－12成立.。

高三数学三角恒等变换试题

高三数学三角恒等变换试题1.已知，则的值为( )A．18B．C．16D．【答案】D【解析】，选D【考点】三角函数恒等变形2.在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）a=3，c=2；（2）.【解析】（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.解，即可求出a，c；（2）在中，利用同角基本关系得由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果.（1）由得，，又，所以ac=6.由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在中，由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.于是=.【考点】1.解三角形；2.三角恒等变换.3.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．【答案】－π【解析】解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<．又tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1．∵tanβ＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－π．4.（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．【答案】﹣【解析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5.（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【答案】C【解析】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C6.已知，且，则= ．【答案】-【解析】tan()=tan= -∴sin2===-cos2===又tan= -cos2==又,所以cos=∴sin=-∴cos(-)=cos+sin=∴==-7.计算1﹣2sin222.5°的结果等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原式=，故选B．8.已知，则tan为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，解得，，所以，选A9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.命题P：实数x满足其中a<0，命题q：实数x满足或且是的必要不充分条件，求a的取值范围【答案】或【解析】本试题主要是考查了充分条件的判定和运用。

由于不等式的解集的关系可知q是P的必要不充分条件，然后利用集合的包含关系得到参数a的范围。

2.已知的图象与直线的两个交点的最短距离是，要得到的图象，只需要把的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】由于的图象与直线的两个交点的最短距离是，，，即，将的图象向左平移个单位得到，故答案为A．【考点】函数图象的平移．3.在中，若，则此三角形形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由得则原式可化为，整理得即此三角形为直角三角形【考点】解三角形4.在中，角的对边分别为，，，，则_______．【答案】【解析】由正弦定理得：即，∴，∵，∴．【考点】正弦定理．5.已知，，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设函数，所以．显然，时，，即此时函数为增函数．易知函数为偶函数，所以在时，函数单调递减．又因，所以即，所以，故．选D．【考点】构造函数法并利用单调性解不等式．【方法点睛】题目中条件，启发我们构造函数，而选项从整体上看，是比较与的大小关系的．以上两点结合考虑，应判断函数的单调性，而函数是偶函数，由及单调性直接判断变量与的大小比较难，应利用偶函数的性质得到，从而得到．这样显然答案选D．本题综合性较强、难度较大，要有构造函数的意识，同时要灵活运用函数性质．6.（本题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）【解析】三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．试题解析：（1）函数的最小正周期为，函数的最大值为（2）由得函数的单调递增区间为【考点】三角函数的周期、最值、单调区间．7.如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意有，即，整理得：，构造函数，因为，，且函数在定义域内为增函数，所以函数有唯一零点在区间上，即方程的解在区间上，所以的值所在区间为，故选C．【考点】1．诱导公式；2．函数与方程；3．零点存在定理．【名师】本题主要考查零点存在定理、函数与方程思想以用诱导公式，属难题．求方程解所在区间通常转化为求函数零点所在区间问题求解，解决函数零点所在区间是通过零点存在定理来实现的，需要注意的是零点存在定理只能解决变号零点的问题．本题由求一个数的了以值区间问题转化为求一个方程的近似解的问题，进一步转化为求函数零点所在区间，体现数学中的转化转化思想．8.已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在△中，角的对边分别是，若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）观察图像可知函数的一条对称轴为，进而求出其最小正周期，于是运用公式可求出的值，再将点代入的解析式即可求出，即可求出函数的解析式；（Ⅱ）运用正弦定理并结合已知，可得，再由三角形的内角和为可得出角的值，进而得出的大小，即可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由的一条对称轴为，从而的最小正周期，故.将点代入的解析式得，又，故，将点代入的解析式得，所以.（Ⅱ）由得，所以，因为，所以，，，，.【考点】1、由函数的图像求函数的解析式；2、正弦定理的应用；3、三角函数的图像及其性质.【易错点睛】本题主要考查了由函数的图像求函数的解析式、正弦定理的应用和三角函数的图像及其性质，属中档题.其解题过程中容易出现以下两处错误：其一是不能仔细观察函数图像，并结合已知条件求出函数的解析式，尤其是求的时候不知道怎么合理取点代值计算，不知道怎么舍去增根，导致出现增根；其二是未能将正弦定理与三角恒等变换结合起来综合运用并准确地进行化简求值.9.设函数，则该函数的最小正周期为，在的最小值为．【答案】，【解析】由题意可知，；，所以，所以在的最小值为．【考点】函数的性质．10.在锐角中，角的对边分别为，已知依次成等差数列，且求的取值范围．【答案】．【解析】由三角形内角和定理和等差中项易求，，根据正弦定理把边，用角的三角函数表示出来，通过三角恒等变换构造正弦型函数，把问题转化为求正弦型函数在给定区间上的值域问题，求角的取值范围时，不要忽略为锐角三角形．试题解析：解：角成等差数列根据正弦定理的又为锐角三角形，则【考点】等差中项、正弦定理、三角恒等变换及正弦型函数值域．11.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，，从C，D两点测得A点仰角分别是，则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，即，即．故选A．【考点】解三角形．12.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位得，又是一个偶函数，所以，根据选项可知的一个可能取值为，故选B.【考点】三角函数的图像.13.在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为．【答案】【解析】由余弦定理得：，代入得解得，那么根据三角形面积公式所以当时，面积取得最大值．【考点】1．余弦定理；2．三角形面积公式．【方法点睛】考察到了解三角形的最值问题，属于中档题型，解决此问题的关键是面积的表达公式，，将这样的三个量用一个量表示，尤其是，但不可用正弦定理，而要用余弦定理，用表示出，再转化为，最后代入面积公式，将面积表示为的函数关系求最值．14.同时具有性质“①最小周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故A不正确．对于选项B，如果为对称轴．则但在上是减函数不满足题意，对于选项C，因为为对称轴．所以，在上是增函数满足题意，故选C．【考点】正弦函数的图像15.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，从而，因此，选B.【考点】同角三角函数关系16.若点在角的终边上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，故选D．【考点】任意角的三角函数值．17.中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是【答案】B【解析】，而，∴．，故为钝角．【考点】平面向量的运算及余弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的线性运算和数量积运算及利用余弦定理判断三角形的形状问题,属于中档题.解答本题的关键是:选择三角形的两边表示的向量作为平面的基底，通过向量的线性运算把转化为基底的关系，结合平面向量数量积的运算律得到，进而利用余弦定理得到问题的答案.18.若点在直线上，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，所以，故选B．【考点】三角函数的化简求值．19.已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原函数向右平移个单位后所得函数为其与原函数关于轴对称，则必有，由三角函数诱导公式可知的最小正值为，故本题的正确选项为D.【考点】函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.20.若、，且，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数，，，所以函数是偶函数，，当时，，所以在上是增函数，由知，所以，即，故选D．【考点】1、函数的奇偶性；2、利用导数研究函数的单调性．21.已知中，，，分别是角，，的对边，且，是关于的一元二次方程的两根.（1）求角的大小；（2）若，设，的周长为，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据韦达定理得到三边所满足的一个关系式，进而利用余弦定理的变式求解；（2）利用正弦定理得到的解析式，再利用三角恒等变形将其化简，利用三角函数的性质求其最值.试题解析：（1）在中，依题意有：，∴，又∵，∴；（2）由，及正弦定理得：，∴，，故，即，由得：，∴当，即时，. .【考点】1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.韦达定理；4.三角函数的性质．22.已知函数f(x)=（sin x+ cos x）cos x一（x R，>0）．若f(x)）的最小止周期为4．( I)求函数f(x)的单调递增区间；(II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)．【解析】( I)先利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，再利用三角函数的周期公式确定参数值和函数的解析式，进而利用整体思想求其单调递增区间； (II)先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式进行求解．（I）．，．由，得．∴的单调递增区间为（Ⅱ）由正弦定理得，，∴．∵，∴或：，，∴．又，．．【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理．23.已知函数，．（1）求函数的图像的对称轴方程；（2）求函数的最小正周期和值域．【答案】（1）;（2），值域.【解析】（1）用二倍角公式将函数降幂,根据余弦函数的对称轴公式可求得此函数的对称轴方程. （2）根据（1）中所得函数的解析式与相加,用化一公式将其化简变形可得,根据周期公式可得其周期,根据正弦的值域可得其值域.试题解析：（1）由题设知．令，所以函数图像对称轴的方程为．（2）．所以最小正周期是，值域．【考点】1三角函数的化简;2三角函数的周期,对称轴,值域.24.已知是锐角三角形，则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】是锐角三角形,则，，同理可得,故选B.【考点】诱导公式.25.关于函数（），下列命题正确是（）A．由可得是的整数倍；B．的表达式可改写成；C．的图象关于点对称；D．的图象关于直线对称.【答案】C【解析】，，，因此，A错；，但时，，B错，事实上；，，时，，因此是其对称中心，C正确；，，不含，D错．故选C．【考点】函数的性质．26.已知函数, 先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．故选A．【考点】三角函数图象变换，三角函数的对称轴．27.已知函数对称，现将的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设上一点与上点关于对称，则有，，，，，现将的图象向左平移个单位后，得到再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，故选B.【考点】三角函数图象的变换.28.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．29.在中，内角的对边边长分别为，且．若，则的面积最大值为________.【答案】【解析】设三角形面积为，所以，又，两式相除得，同理，因为，所以，化简得，故，，，，故．【考点】解三角形.【思路点晴】本题属于一个综合性的题目背景是解三角形，设计三角形面积公式、余弦定理，同脚三角函数关系，基本不等式的知识.已知条件中关键的突破口在，我们由同角三角函数关系，结合余弦定理，就可以求出，然后代入三角形的面积公式，最后利用基本不等式来求面积的最大值.注意运算不要出错.30.在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求再利用正弦定理求AB的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求，然后求试题解析：解（1）因为，，所以由正弦定理知，所以（2）在中，，所以，于是又故因为，所以因此【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.31.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.【答案】【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．32.如图，平面四边形中，，则的面积为_____________．【答案】【解析】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得：，所以．因为，所以．因为．所以．故答案为.【考点】1、正弦定理、余弦定理的应用；2、两角和的正弦公式及三角形面积公式.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，此外，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式能简化计算过程，.33.函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则其解析式为__________________．【答案】【解析】由图象可知：A=1，…可得：T=2×（﹣）=π=，∴解得：ω=2，…∵函数的图象经过（，1），∴1=sin（2×+φ），∵φ=2kπ+，|φ|＜，∴φ=…∴函数的解析式y=sin（2x+）．34.设的内角的对边分别为，且，则____．【答案】【解析】，.【考点】解三角形、正余弦定理.35.等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D.【考点】两角和的余弦公式及运用.36.已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．左平移个单位【答案】B【解析】函数，所以函数，所以将函数函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到，故选B．【考点】函数的图象变换．37.已知，则 .【答案】【解析】.【考点】三角恒等变换．38.函数的部分图象如图所示，则 .【答案】【解析】,，，即，，又，∴.【考点】函数的图象与性质.39.设当时，函数取得最大值，则__________．【答案】【解析】,其中，故当函数取得最大值时，【考点】辅助角公式，三角函数的最值和值域【名师】本题考查三角函数的辅助角公式以及取得最大值时的值，属中档题．解题时正确确定函数在取得最大值时的值是解题的关键40.如图，在凸四边形中，，，，．设．（1）若，求的长；（2）当变化时，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由余弦定理可得，解得．从而，解得；（2）设，，由余弦定理得，再由正弦定理得．从而．再由得：当，时取到最大值．试题解析：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴．（2）设，，在中，，．∵，∴．在中，．∵，∴，当，时取到最大值．【考点】解三角形．41.已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】B【解析】依题, ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴，，故选B．【考点】三角函数的图象与性质．42.海上有三个小岛，，，则得，，，若在，两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，两岛距离相等，则，间的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设由余弦定理可得,，故选B．【考点】解三角形．43.已知角为第四象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,又,得出．因为角为第四象限角, ,;．故选A．【考点】同角三角函数的运算．44.如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【答案】当时，总路径最短.【解析】借助题设条件建立函数关系,再运用三角变换的公式求解和探求.试题解析：连接, 过作垂足为 , 过作垂足为设，…………………2分若，在中，若则若则…………………………4分在中，…………………………6分所以总路径长……………………10分………………12分令，当时，当时，…………………………14分所以当时，总路径最短.答：当时，总路径最短. ……16分【考点】解三角形及三角变换的公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】应用题是高考必考的重要题型之一,也是检测数学知识在实际问题中的的运用的一种重要题型之一.求解这类问题的一般步骤是先仔细阅读题设中的文字信息.再将问题中的数量关系找出来,通过构造数量关系构建数学模型.最后运用数知识求解数学模型,依据题设写出答案.本题是以绿化过程中的一个实际问题为背景设置了一道最值问题,求解时,先,然后建立以为变量的函数关系式从而将问题进行转化求函数的最值问题.最后通过求该函数的最值,从而使得问题简捷巧妙获解.45.已知，则__________．【答案】【解析】试题分析: ,故应填答案.【考点】诱导公式及同角关系的综合运用．46.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以，故选C.【考点】1、诱导公式的应用；2、同角三角函数之间的关系.47.方程在区间内的解是．【答案】【解析】因为，所以，，即或，，，故答案为.【考点】1、特殊角的三角函数；2、简单的三角方程.【思路点睛】本题主要考查特殊角的三角函数、简单的三角方程，属于中档题.由于近年来高考对三角函数考查难度的降低，对三角方程的考查也以容易题和中档题为主，该题型往往根据特殊角的三角函数解答.本题首先将原方程变形为，然后根据的余弦值为，确定或，再根据确定方程的解．48.若，则的值为______．【答案】【解析】由，解得，又．【考点】三角函数的化简求值．49.在中，角的对边分别是，若，，则面积是_______.【答案】1【解析】在中，，,当且仅当时取等号, ,又，故,则面积是1【考点】正弦定理，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.50.已知函数（，，）的最大值为3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为（）A．2468B．3501C．4032D．5739【答案】C【解析】∵已知函数的最大值为，故．的图象与轴的交点坐标为，∵，∴，，即．再根据其相邻两条对称轴间的距离为，可得，，故函数的周期为．∵，∴，故选C．【考点】（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）余弦函数的图象.51.在△中，，，所对的边分别是，，，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即．又∵，∴，∴，即，解得，故选B．【考点】余弦定理.52.若，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】.【考点】三角恒等变换.53.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，化简题设条件得，求得，即可求解角的值；(2)由余弦定理得，得到，再由条件，可化简求得，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）∵，由，得，∴，整理得，解得，∵，∴．（2）由余弦定理得，即，∴，由条件，得，解得，∴．【考点】余弦定理及三角恒等变换．54.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】∵函数的最小正周期为，∴，得，，故将的图象向左平移个单位长度可得，故选C.【考点】三角函数图象的变换.55.在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）已知两边一角求第三边，一般利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入条件即得，（Ⅱ）同（Ⅰ）可先利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入，可得，再利用余弦定理求，也可先利用正弦定理，将边的条件转化为角的关系，再根据正弦定理求的值试题解析：（1）由余弦定理，，…………………3分将，代入，解得：．…………………6分（2）由正弦定理，，化简得：，则，…………………8分因为，，所以，，所以或（舍去），则．………………10分由正弦定理可得，，将，代入解得．……………………14分【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.56.已知函数．⑴求的最小正周期和单调递增区间;⑵求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)，增区间为；(2) 最大值为，最小值为．【解析】(1)借助题设条件余弦二倍角公式及余弦函数单调性求解；(2)依据题设运用余弦函数的有界性进行探求．试题解析：⑴由已知，有,所以的最小正周期,当时，单调递增，解得：，所以的单调递增区间为,⑵由⑴可知，在区间上是减函数，在区间上是增函数，而，，所以在区间上的最大值为，最小值为．【考点】余弦二倍角公式及余弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．57.已知，，分别为的三个内角，，所对边的边长，且满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理将条件中的边换为角的正弦，利用三角变换公式，化简可得，从而可求得角的值；（Ⅱ）由余弦定理及三角形面积公式列出关于的方程组，解之即可.试题解析：（Ⅰ），由正弦定理得：，…（2分），，…………（3分），，…（5分），…（6分）（Ⅱ），所以，……（7分），，则（或），……（8分）解得：．………（10分）【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.【名师】本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换，属中档题；解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.58.已知函数与函数的部分图像如右图所示，则____________．【答案】【解析】令.【考点】1、三角函数的图象与性质；2、一次函数.59.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】由题意得，，因此只需要将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象，故选C.60.已知函数相邻两条对称轴之间的距离为.（I）求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）已知分别为中角的对边，且满足，，求的面积.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）利用降幂公式将函数化为，再由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求出，结合三角函数的单调性可得其单调区间；（Ⅱ）将代入函数解析式，结合的范围可求出的值，由正弦定理和余弦定理可求出边，故而可得三角形的面积.试题解析：解：（Ⅰ）.因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以.所以.令，解得.所以的单调递减区间为.（Ⅱ）由得，因为.所以,.已知及正弦定理得.由余弦定理得，代入得，解得，所以.61. (江淮十校2017届高三第一次联考文数试题第7题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半。

高三数学三角恒等变换试题答案及解析

高三数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方得，，可得，故选B.【考点】同角基本关系以及二倍角公式.2.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是()A．－B．C．－D．【答案】C【解析】cos(α－)＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．3.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C 的大小．【答案】（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．∵T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)∵f()＝sin(A＋)＝，角A为△ABC的内角且a<b，∴A＝．又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinB＝＝×＝．∵b>a，∴B＝或B＝，当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．4.已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．5.在中，若分别为的对边，且，则有（）A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由已知得，，故，又，而，故，所以，故，从而a、b、c成等比数列．【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。

高三数学理科三角恒等变形复习测试题（含答案）

高三数学理科三角恒等变形复习测试题(含答案)考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高三数学理科三角恒等变形复习测试题，请认真复习!高三数学理科三角恒等变形复习测试题及答案解析第一节同角三角函数的基本关系A组1.已知sinα=55，sin(α-β)=-1010，α、β均为锐角，则β等于________.解析：∵α、β均为锐角，∴-π2<α-β<π2，∴cos(α-β)=1-sin2(α-β)=31010.∵sinα=55，∴cosα= 1-(55)2=255.∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=22.∵0<β<π2，∴β=π4.答案：π42.已知0<α<π2<β<π，cosα=35，sin(α+β)=-35，则cosβ的值为________.解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α+β<32π.∴sinα=45，cos(α+β)=-45，∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-45)×35+(-35)×45=-2425.答案：-24253.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，则sin(α+β)cos(α-β)=________.解析：tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3，则sin(α+β)cos(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=tanα+tanβ1+tanαtanβ=31-3=-32.答案：-324.已知cos(α-π6)+sinα=453，则sin(α+7π6)的值是___.解析：由已知得32cosα+12sinα+sinα=453，即12cosα+32sinα=45，得sin(α+π6)=45，sin(α+76π)=-sin(α+π6)=-45.答案：-455.(原创题)定义运算a?b=a2-ab-b2，则sinπ12?cosπ12=________.解析：sinπ12?cosπ12=sin2π12-sinπ12cosπ12-cos2π12=-(cos2π12-sin2π12)-12×2sinπ12cosπ12=-cosπ6-12sinπ6=-1+234.答案：-1+2346.已知α∈(π2，π)，且sinα2+cosα2=62.(1)求cosα的值;(2)若sin(α-β)=-35，β∈(π2，π)，求cosβ的值.解：(1)因为sinα2+cosα2=62，两边同时平方得sinα=12.又π2<α<π.所以cosα=-32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以-π<-β<-π2，故-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-35，得cos(α-β)=45.cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=-32×45+12×(-35)=-43+310.B组1.cos2α1+sin2α•1+tanα1-tanα的值为________.解析：cos2α1+sin2α•1+tanα1-tanα=cos2α-sin2α(sinα+cosα)2•1+tanα1-tanα=cosα-sinαsinα+cosα•1+tanα1-tanα=1-tanα1+tanα•1+tanα1-tanα=1.2.已知cos(π4+x)=35，则sin2x-2sin2x1-tanx的值为________.解析：∵cos(π4+x)=35，∴cosx-sinx=352，∴1-sin2x=1825，sin2x=725，∴sin2x-2sin2x1-tanx=2sinx(cosx-sinx)cosx-sinxcosx=sin2x=725.3.已知cos(α+π3)=sin(α-π3)，则tanα=________.解析：cos(α+π3)=cosαcosπ3-sinαsinπ3=12cosα-32sinα，sin(α-π3)=sinαcosπ3-cosαsinπ3=12sinα-32cosα，由已知得：(12+32)sinα=(12+32)cosα，tanα=1.4.设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α-π4)=35，sin(3π4+β)=513，则sin(α+β)=________.解析：α∈(π4，3π4)，α-π4∈(0，π2)，又cos(α-π4)=35，∴sin(α-π4)=45.∵β∈(0，π4)，∴3π4+β∈(3π4，π).∵sin(3π4+β)=513，∴cos(3π4+β)=-1213，∴sin(α+β)=-cos[(α-π4)+(3π4+β)]=-cos(α-π4)•cos(3π4+β)+sin(α-π4)•sin(3π4+β)=-35×(-1213)+45×513=5665，即sin(α+β)=5665.5.已知cosα=13，cos(α+β)=-13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α-β)的值等于________.解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π).∵cosα=13，∴cos2α=2cos2α-1=-79，∴sin2α=1-cos22α=429，而α，β∈(0，π2)，∴α+β∈(0，π)，∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223，∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(-79)×(-13)+429×223=2327.6.已知角α在第一象限，且cosα=35，则1+2cos(2α-π4)sin(α+π2)=________.解析：∵α在第一象限，且cosα=35，∴sinα=45，则1+2cos(2α-π4)sin(α+π2)=1+2(22cos2α+22sin2α)cosα=2cos2α+2sinαcosαc osα=2(sinα+cosα)=2(45+35)=145.7.已知a=(cos2α，sinα)，b=(1,2sinα-1)，α∈(π2，π)，若a•b=25，则tan(α+π4)的值为________.解析：a•b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα=25，∴sinα=35，又α∈(π2，π)，∴cosα=-45，tanα=-34，∴tan(α+π4)=tanα+11-tanα=17.8.tan10°tan70°tan70°-tan10°+tan120°的值为______.解析：由tan(70°-10°)=tan70°-tan10°1+tan70°•tan10°=3，故tan70°-tan10°=3(1+tan70°tan10°)，代入所求代数式得：tan70°tan10°3(1+tan70°tan10°)+tan120°=tan70°tan10°3(1+ tan70°tan10°)-3=tan70°tan10°3tan70°tan10°=33.9.已知角α的终边经过点A(-1，15)，则sin(α+π4)sin2α+cos2α+1的值等于________.解析：∵sinα+cosα≠0，cosα=-14，∴sin(α+π4)sin2α+cos2α+1=24cosα=-2.10.求值：cos20°sin20°•cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°.解：原式=cos20°cos10°sin20°+3sin10°sin70°cos70°-2cos40°=cos20°cos10°+3sin10°cos20°sin20°-2cos40°=cos20°(cos10°+3sin10°)sin20°-2cos40°=2cos20°(cos10°sin30°+sin10°cos30°)sin20°-2cos40°=2cos20°sin40°-2sin20°cos40°sin20°=2.11.已知向量m=(2cosx2，1)，n=(sinx2，1)(x∈R)，设函数f(x)=m•n-1.(1)求函数f(x)的值域;(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)=513，f(B)=35，求f(C)的值.解：(1)f(x)=m•n-1=(2cosx2，1)•(sinx2，1)-1=2cosx2sinx2+1-1=sinx.∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[-1,1].(2)∵f(A)=513，f(B)=35，∴sinA=513，sinB=35.∵A，B都为锐角，∴cosA=1-sin2A=1213，cosB=1-sin2B=45.∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=513×45+1213×35=5665.∴f(C)的值为5665.12.已知：0<α<π2<β<π，cos(β-π4)=13，sin(α+β)=45.(1)求sin2β的值;(2)求cos(α+π4)的值.解：(1)法一：∵cos(β-π4)=cosπ4cosβ+sinπ4sinβ=22cosβ+22sinβ=13，∴cosβ+sinβ=23，∴1+sin2β=29，∴sin2β=-79.法二：sin2β=cos(π2-2β)=2cos2(β-π4)-1=-79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β-π4<3π4，π2<α+β<3π2，∴sin(β-π4)>0，cos(α+β)<0.∵cos(β-π4)=13，sin(α+β)=45，∴sin(β-π4)=223，cos(α+β)=-35.∴cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)=-35×13+45×223=82-315.第二节两角和与差及二倍角的三角函数A组1.若sinα=35，α∈(-π2，π2)，则cos(α+5π4)=________.解析：由于α∈(-π2，π2)，sinα=35得cosα=45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α+5π4)=-22(cosα-sinα)=-210.2.已知π<θ<32π，则12+12 12+12cosθ=________.解析：∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π8.12+12 12+12cosθ= 12+12 cos2θ2= 12-12cosθ2=sinθ4.3.计算：cos10°+3sin10°1-cos80°=________.解析：cos10°+3sin10°1-cos80°=2cos(10°-60°)2sin240°=2cos50°2sin40°=2.4.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是__________________.解析：y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π4)+1≥1-2.5.函数f(x)=(sin2x+12010sin2x)(cos2x+12010cos2x)的最小值是________.解析：f(x)=(2010sin4x+1)(2010cos4x+1)20102sin2xcos2x=20102sin4xcos4x+2010(sin4x+cos4x)+120102sin2xcos2x =sin2xcos2x+201120102sin2xcos2x-22010≥22010(2011-1).6.已知角α∈(π4，π2)，且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0.(1)求tan(α+π4)的值;(2)求cos(π3-2α)的值.解：∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0，又α∈(π4，π2)，∴tanα=43，sinα=45，cosα=35，(1)tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=43+11-43=-7.(2)co s2α=2cos2α-1=-725，sin2α=2sinαcosα=2425，cos(π3-2α)=cosπ3cos2α+sinπ3sin2α=12×(-725)+32×2425=243-750.B组1.若tan(α+β)=25，tan(β-π4)=14，则tan(α+π4)=_____.解析：tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=25-141+25×14=322.2.若3sinα+cosα=0，则1co s2α+sin2α的值为________.解析：由3sinα+cosα=0得cosα=-3sinα，则1cos2α+sin2α=sin2α+cos2αcos2α+2sinαcosα=9sin2α+sin2α9si n2α-6sin2α=103.3.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=62，则a、b、c 的大小关系是解析：a=2sin59°，c=2sin60°，b=2sin61°，∴a<c<b.或a2=1+sin28°<1+12=32，b2=1+sin32°>1+12=32，c2=32，∴a<c<b.4.2+2cos8+21-sin8的化简结果是________.解析：原式=4cos24+2(sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4.5.若tanα+1tanα=103，α∈(π4，π2)，则sin(2α+π4)的值为_________.解析：由题意知，tanα=3，sin(2α+π4)=22(sin2α+cos2α)，而sin2α=2tanα1+tan2α=35，cos2α=1-tan2α1+tan2α=-45.∴sin(2α+π4)=22(35-45)=-210.6.若函数f(x)=sin2x-2sin2x•sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________.解析：f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x=12sin4x，所以T=2π4=π2.7. 2cos5°-sin25°cos25°的值为________.解析：由已知得：原式=2cos(30°-25°)-sin25°cos25°=3cos25°cos25°=3.8.向量a=(cos10°，sin10°)，b=(cos70°，sin70°)，|a-2b|=________________.解析：|a-2b|2=(cos10°-2cos70°)2+(sin10°-2sin70°)2=5-4cos10°cos70°-4sin10°sin70°=5-4cos60°=3，∴|a-2b|=3.9.已知1-cos2αsinαcosα=1，tan(β-α)=-13，则tan(β-2α)=________.解析：因为1-cos2αsinαcosα=1，即1-1-tan2α1+tan2α=12×2tanα1+tan2α，所以2tanα=1，即tanα=12，所以tan(β-2α)=tan(β-α-α)=tan(β-α)-tanα1+tan(β-α)tanα=- 1 3 - 1 2 1 - 1 6 = - 1 . / p >。

数学课程三角恒等变换练习题及答案

数学课程三角恒等变换练习题及答案1. 练习题1.1 简单练习题1. 计算下列三角函数值，并化简为有理数：(1) sin 30°(2) cos 45°(3) tan 60°2. 利用三角恒等变换证明以下等式：(1) sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 1 + tan^2 x = sec^2 x3. 使用三角恒等变换求解以下方程：(1) sin 2x = 0.5(2) cos 2x - sin 2x = 01.2 提高练习题1. 利用三角恒等变换化简下列表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x2. 解下列方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0(2) tan^2 x + sec x = 22. 答案2.1 简单练习题答案1.(1) sin 30° = 1/2(2) cos 45° = 1/√2(3) tan 60° = √32. 证明以下等式：(1) 三角恒等变换：sin^2 x + cos^2 x = 1证明：根据三角恒等变换公式 sin^2 x + cos^2 x = 1代入 sin x = cos (90° - x)，可得：cos^2 (90° - x) + cos^2 x = 1sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 三角恒等变换：1 + tan^2 x = sec^2 x证明：根据三角恒等变换公式 1 + tan^2 x = sec^2 x代入 tan x = sin x / cos x，可得：1 + (sin x / cos x)^2 = (1 / cos x)^21 + sin^2 x / cos^2 x = 1 / cos^2 x(cos^2 x + sin^2 x) / cos^2 x = 1 / cos^2 x1 / cos^2 x = 1 / cos^2 x2.2 提高练习题答案1. 化简以下表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x= sin x + 1(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x= (cos^2 x / sin^2 x) + 1 - (1 / sin^2 x)= (cos^2 x + sin^2 x) / sin^2 x= 1 / sin^2 x2. 解以下方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0首先，利用三角恒等变换将方程中的 cos x 表示为 sin x：2 (1 - cos^2 x) - 3 cos x - 1 = 02 - 2 cos^2 x -3 cos x - 1 = 0-2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0然后，令 t = cos x，将方程转化为关于 t 的二次方程：-2 t^2 - 3 t + 1 = 0解这个二次方程可得 t = -1 或 t = 1/2。

三角函数恒等变换练习试题及答案解析详细讲解

两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知识点回顾1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β) 2．二倍角公式sin 2α＝ααcos sin 2；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．[难点正本疑点清源]三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．热身训练1．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为_______．2．函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．3．(2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝45，则 4．(2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于() A ．－34B.34C ．－43D.435．(2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于( ) A ．－79B ．－19 C.19 D.79典例分析题型一三角函数式的化简、求值问题例1 (1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2的值为________．题型二三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα＝－19，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2＝23，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β. 题型三三角变换的简单应用例3 已知f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+x tan 11sin 2x －2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．已知函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx ＋2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-12πx (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值时x 的集合．利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx －1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．总结方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a)有a 2＋b 2≥|y |.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．过手训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·山东)若θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35B.45C.74D.34 2．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πβ＝14，那么tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.163．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( ) A ．最大值是1，最小值是－1 B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α＝________. 5．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4＝1213，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 6．设x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．三、解答题7．(13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx (其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．课后习题(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( ) A.15B.14C.13D.122．(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( )A ．－53B ．－59 C.59D.533．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β等于( ) A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44．(2011·福建)若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C.2D. 3 二、填空题(每小题5分，共15分)5．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值为________． 6.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 7．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则α＋β＝____________. 三、解答题(共22分)8．(10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合． 9．(12分)已知α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，求cos β的值．。

高考真题与模拟训练专题07 三角恒等变换(解析版)

专题7 三角恒等变换第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·浙江高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B【解析】过C作'CH BB ⊥，过B作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以1004''1)273A B ⨯⨯==≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．3．（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．2【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．3C ．23D ．2【答案】B【解析】由题意可得：1sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin cos 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.5.已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15B ．5C ．3D ．5【解析】2sin 2cos 21α=α+ ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．6.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=（）A ．15B ．5C ．5D ．1【答案】B 【解析】由,,O A B三点共线，从而得到2b a=，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即5a =，所以25a b a a -=-=，故选B.二、填空题8．（2020·全国高考真题（文））若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．【答案】19【解析】22281cos 212sin 12(1399x x =-=-⨯-=-=.故答案为：19.9．（2020·江苏高考真题）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1310．（2020·北京高考真题）若函数()sin()cos f x x xϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Zππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Zππ+∈均可）.11.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】10.【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2.410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭12.函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．【答案】4-.【解析】23()sin(23cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤ ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．三、解答题13．（2020·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a c ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A sin C =2，求C .【答案】（1；（2）15︒.【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.14.设常数R a ∈，函数()2sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解．【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-.【解析】（1）∵()2sin22cos f x a x x=+，∴()2sin22cos f x a x x-=-+，∵()f x为偶函数，∴()() f x f x-=，∴22 sin22cos sin22cosa x x a x x -+=+，∴2sin20 a x=，∴0 a=；（2）∵π14f⎛⎫=⎪⎝⎭，∴2ππsin2cos11 24a a⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，∴a=，∴()2π2cos cos212sin216f x x x x x x⎛⎫=+=++=++⎪⎝⎭，∵()1 f x=∴π2sin2116x⎛⎫++=⎪⎝⎭，∴πsin262x⎛⎫+=-⎪⎝⎭，∴ππ22π64x k+=-+，或π52π2πZ64x k k+=+∈，，∴5ππ24x k=-+，或13ππZ24x k k=+∈，，∵[]ππx∈-，，∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-15.已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【答案】（1）725-；（2）211-【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos 5αβ+=-，所以()sin 5αβ+==，因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+．16.已知函数()2sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3.【解析】（Ⅰ）()1cos211π1sin2sin2cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4C π=；（Ⅱ）sin 13A =；（Ⅲ）sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===及余弦定理得222cos 22a b c C ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以4C π=；（Ⅱ）在ABC中，由4C π=，a c ==及正弦定理，可得sin sin a C A c ⨯===13；（Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A ==13，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2cos cos2sin 444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26.第二部分模拟训练1．已知ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，若()3sin sin 5B αα+=+，则()sin 300α+︒=（）A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D【解析】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B A C=+，又180A B C ++=︒，∴60B =︒，由()3sin 60sin 5αα︒+=+得，13cos sin 225αα-=，∴()3cos 305α︒+=，则()()()3sin 300sin 27030cos 305ααα+︒=︒+︒+=-︒+=-，故选：D ．2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（）A ．1316,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1417,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1417,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】()2sin(),0cos 62f x x x x x ππωωω=-≤≤-=，6626x ππωππω∴-≤-≤-，1322635162623ωπππωωπππω⎧⎧-≥≥⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-<<⎪⎪⎩⎩，则ω的取值范围是1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.3．将函数()sin 22f x x x=+的图象沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()g x ，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．512π【答案】A【解析】函数sin 222sin(23y x x x π=+=+，将函数sin 22y x x =+的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到函数2sin(22)3y x πϕ=++，因为函数是偶函数，∴2()()32212k k k Z k Z ππππϕπϕ+=+∈∴=+∈．当0k =时，12πϕ=．故选：A 4．设ABC的内角A ，B ，C 满足2A C B+=，则函数()2sin()cos sin2f x x B x x=+-图象的对称轴方程是（）A ．ππ,32k x k =+∈Z B ．ππ,122k x k =+∈Z C ．5ππ,122k x k =+∈Z D ．ππ,62k x k =+∈Z 【答案】C【解析】因为()A C B π-+=，2A+C =B ，所以3B π=，()2sin cos sin 23f x x x xπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(sin )cos sin 2x x x x=+-1sin 2cos 2222x x =-++sin 232x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭.由232x kx ππ-=+，k ∈Z ，得5122k x ππ=+，k ∈Z .故选：C.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos b c A acosC -=.（1）求角A ；（2）若a =，5b c +=，求△ABC 的面积.【答案】（1）A 3π=；（2）.【解析】（1）在三角形ABC 中，()2cos acos b c A C-= ，由正弦定理得：()2sin cos sin cos B sinC A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B=+=+= ，三角形中sin 0B ≠，解得cos A12=，()0,A π∈，∴A 3π=.（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A=+-，a =5bc +=，()2213353b c cb bc ∴=+-=-，化为4bc =，所以三角形ABC 的面积S 12=sin bc A 12=⨯42=6．在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a ，b ，c ，且直线x A=为函数()222sin f x x x=+图象的一条对称轴.（1）求A ；（2）若4a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）.【解析】（1）()222sin 2cos 212sin 216πx x x x x f x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴直线x A =为函数()f x 图像的一条对称轴，∴262ππA kπ-=+(k ∈Z )，即132πA kπ=+(k ∈Z )，又02A π<<，∴当0k =时，3A π=.（2）∵3A π=，4a =，∴由余弦定理得，2222162cos23πb c bc b c bc bc bc bc=+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当b=c=4时等号成立∴111sin sin 1622322ABC πbc A bc S ==≤⨯⨯=△，故ABC 面积的最大值为7．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45b c B ==∠=.（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB Ð=，求sin DAC ∠的值.【答案】（1）3BC =；（2）25.【解析】在ABC 中，因为b =，c =，45B ∠= ，由余弦定理2222cos b a c ac B=+-，得25222a a =+-⨯所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 45sin C =.所以sin C =在ADC 中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-= ，所以ADC∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠=，所以C ∠为锐角故cos 5C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以35sin ADC ∠===，()sin sin 180sin()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ，sin cos cos sin ADC C ADC C =∠∠+∠∠34555525=⨯-⨯=8．已知函数2()cos cos 1f x x x x =++.（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥.【解析】解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133sin 21sin 2cos2sin 22222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴()f x 的为最小正周期22T ππ==，值域为15(),22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）记()f x t =，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立，即22kt t ≥-恒成立，∵0t >∴222t t t k t -=-≥.∵2()g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增max 55417()22510g t g ⎛⎫==-=⎪⎝⎭∴k 的取值范围是1710k ≥9．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()6f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan α的值；（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值域．【答案】（Ⅰ）9-；（Ⅱ）[]1,2-.【解析】解：（Ⅰ）2()2cos 12x f x x =-+cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()6f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 6παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin cos 22ααα-=，所以cos αα-=，所以tan 9α=-；（Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象，所以()g x 的解析式为()(2)2sin 26g x f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以1()2g x -≤≤故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.10．已知函数()2cos 2cos 1222x x x f x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间.【答案】（1）最小正周期2π；（2）单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）()2cos 2cos 1cos 2sin 2226x x x f x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2π；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()2sin 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左移动6π个单位得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z .函数()g x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.。

高三数学三角恒等变换试题

高三数学三角恒等变换试题1.已知，则的值为( )A．18B．C．16D．【答案】D【解析】，选D【考点】三角函数恒等变形2.已知sinα＝＋cosα，且α∈(0，)，则的值为________．【答案】－【解析】由得2cos2α＋cosα－＝0，∴cosα＝－＋(α∈(0，))，∴sinα＝＋，∴＝＝－(sinα＋cosα)＝－．3.设α∈(0，)，β∈(，)，且5sinα＋5cosα＝8，sinβ＋cosβ＝2，则cos(α＋β)的值为________．【答案】－【解析】由5sinα＋5cosα＝8得，sin(α＋)＝，∵α∈(0，)，∴cos(α＋)＝．又β∈(，)，由已知得sin(β＋)＝，∴cos(β＋)＝－．∴cos(α＋β)＝sin[＋(α＋β)]＝sin[(α＋)＋(β＋)]＝sin(α＋)cos(β＋)＋cos(α＋)sin(β＋)＝－．4.已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A．B．－C．－2D．2【答案】A【解析】由＝5，得＝5，即tanα＝2．所以sin2α－sinαcosα＝＝＝．5.已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R，则函数f(x)在区间[，]上的最大值和最小值分别为________．【答案】－1【解析】f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，由≤x≤，得0≤2x－≤，即－≤sin(2x－)≤1，－1≤f(x)≤，故f(x)的最大值为，最小值为－1．6.已知函数f(x)＝－sin(2x＋)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．【答案】（1）π（2）最大值为2，最小值为－2【解析】解：(1)f(x)＝－sin2x·cos－cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2sin(2x－)．∴f(x)的最小正周期T＝＝π．(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin(2x－)≤1，∴－2≤f(x)≤2，故函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－2．7.已知函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝，且x∈(－，)，求f(x＋1)的值．【答案】（1）函数f(x)的值域为[－2，2]．（2）【解析】解：(1)由已知可得f(x)＝6cos2＋sinωx－3＝3cosωx＋sinωx＝2sin(ωx＋)，又正三角形ABC的高为2，则|BC|＝4，所以函数f(x)的最小正周期T＝4×2＝8，即＝8，得ω＝，函数f(x)的值域为[－2，2]．(2)因为f(x)＝，由(1)得)＝2sin(＋)＝，f(x即sin(＋)＝，∈(－，)，得＋∈(－，)，由x即cos(＋)＝＝，＋1)＝2sin(＋＋)故f(x＝2sin[(＋)＋]＝2 [sin(＋)cos＋cos(＋)sin]＝2×(×＋×)＝．8.计算1﹣2sin222.5°的结果等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原式=，故选B．9.已知，则tan为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，解得，，所以，选A10.若，且，则的值为（）A．或B．C．D．或【答案】A【解析】原式可化解为,,当时，等式成立，此时，,当时，等式可化解为, ,.故选A.【考点】三角函数求值11.若，则_________．【答案】.【解析】将两式平方相加得：.【考点】三角恒等变换.12.设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．【答案】【解析】由条件可得cos＝2ccs2－1＝，sin＝，所以sin＝sin＝＝.13.若，则可化简为 .【答案】【解析】当时，，则，且，，故.【考点】1.辅助角公式；2.同角三角函数的基本关系；3.二倍角14.由y=f(x)的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象，则 f(x)为A．2sin B．2sinC．2sin D．2sin【答案】B【解析】图像上所有点的横坐标缩短为原来的得，将图像向右平移个单位得【考点】三角函数图像平移伸缩变化点评：三角函数的图像变化与y轴上的伸缩有关，B与y轴上的平移有关，与x轴上的伸缩有关，与x轴上的平移有关15.若，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以。

三角函数恒等变换含答案与高考题

三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab 确定。

1．已知tanx=2，求sinx ，cosx 的值．解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x=1，联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-=.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sinxcosx 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx x x所以sinx －cosx=2(sinx ＋cosx)，得到sinx=－3cosx ，又sin 2x ＋cos 2x=1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sinx －cosx=2(sinx ＋cosx)，所以(sinx －cosx)2=4(sinx ＋cosx)2，所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx ，所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x·sin 2x=tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x=tan 2x －(tan 2x·cos 2x)=tan 2x(1－cos 2x)=tan 2x·sin 2x ，问题得证．法二：左边=tan 2x·sin 2x=tan 2x(1－cos 2x)=tan 2x －tan 2x·cos 2x=tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，上的值域．解：因为0≤x≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象，得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cosx+2； (2)y ＝2sinxcosx －(sinx ＋cosx)．解：(1)y=sin 2x －cosx ＋2＝1－cos 2x －cosx ＋2=－(cos 2x ＋cosx)＋3，令t=cosx ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t ty t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y(2)y ＝2sinxcosx －(sinx ＋cosx)=(sinx ＋cosx)2－1－(sinx ＋cosx)，令t=sinx ＋cosx 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y 7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T=16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f(x)=cos 4x －2sinxcosx －sin 4x ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f(x)的最大值、最小值．数xx y cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f(x)=cos 4x －2sinxcosx －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x)(cos 2x ＋sin 2x)－sin2x)4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x=0时，f(x)取最大值为;1)4πs i n (2=--当8π3=x 时，f(x)取最小值为.2- 1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221c o s s i n 2c o s s i n c o s s i n 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

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