安徽省宿松县2016-2017学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关
【精品】安徽省宿松县2016_2017学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位
同理b、c确定一个平面β，l β,
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
∵两条相交直线确定一个平面,
∴α与β重合.故l与a、b、c共面.
变式训练
已知a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，
求证：PQ α.
证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.
∴P∈β，a β，P a.又P∈α，a α，P a,
A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD,所以命题③不正确；
l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.
答案：B
变式训练
请讨论下列问题：
若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.
图3
解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.
③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.
④直线与面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
⑤
直线在平面内
a α
直线与平面相交
a∩α=A
直线与平面平行
a∥α
应用示例
思路1
例1下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
例2已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求证：l与a、b、c共面.
证明：如图4,∵a∥b,
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-1 2-1-
④直线
AB
与直线
B1C
的位置关系是________． 图 2-1-13
上一页
返回首页
下一页
第十二页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【精彩点拨】 判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．
【自主解答】 根据题目条件知道直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中， 且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点 A1、B、B1 在一个 平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直线 B1C “异面”．同 理，直线 AB 与直线 B1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线 D1D 与 直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填“相交”．
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
上一页
返回首页
下一页
第十五页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【解析】 (1)若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，那么 a、c 可以平行， 可以相交，可以异面．
(2)若 a∥b，a、c 是异面直线，那么 b 与 c 不可能平行，否则由公理 4 知 a∥c.
D．以上结论都不对
【解析】 因为 AB∥PQ，BC∥QR，
所以∠PQR 与∠ABC 相等或互补． 因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或 150°.
【答案】 B
上一页
返回首页
下一页
第八页，编辑于星期五：十六点 十四分。
教材整理 3 异面直线所成的角 阅读教材 P46 下面的两个自然段至 P47“探究”以上的内容，完成下列问题． 1．定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b， 我们把 a′与 b′所成的锐锐角角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． 2．异面直线所成的角 θ 的取值范围：00°<θ ≤90° °. 3．当 θ＝ 90° 时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b .
【中小学资料】安徽省宿松县2016-2017学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
直二面角的画法：如图5.
图5
④两个平面垂直的判定定理.
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为： α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.
图6
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.
两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.
即∠AOB=∠A′O′B′.
从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.
由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.
③直二面角的定义.
证明如下：
已知AB⊥β，AB∩β=B，AB α.
求证：α⊥β.
分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.
证明：设α∩β=CD，则由AB α,知AB、CD共面.
∵AB⊥β，CD β,∴AB⊥CD，垂足为点B.
图7
求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明：设⊙O所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC α,∴PA⊥BC.
[配套k12学习]安徽省宿松县2016_2017学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面教案新人教A版必
![[配套k12学习]安徽省宿松县2016_2017学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面教案新人教A版必](https://img.taocdn.com/s3/m/0fdcf2ac71fe910ef12df8e6.png)
2.1.1 平面
图1
长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成
图2 图3
）在一个希腊字母α、β、γ
图4 图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：
在直线a上（或直线
6 图
7 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.
如图（图7）.
图8
图10
学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价
图11
根据下列条件，画出图形.
∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线
图12
图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：
根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来
图13
图14
b=A,∴直线a和直线b确定平面设为。
-高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末知识整合 新人教A版必修2
【金版学案】2015-2016高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末知识整合新人教A版必修2专题一公理的应用1．证明共面问题．证明共面问题，一般有两种方法．一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．2．证明三点共线问题．证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．3．证明三线共点问题．证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．例1 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC ，BD 交于点M ，求证：C 1，O ，M 三点共线．证明：如图，∵AA 1∥CC 1，∴AA 1，CC 1确定一个平面A 1C ， 显然有A 1C ⊂平面A 1C ， 又∵A 1C ∩平面BC 1D ＝O ， AC ∩BD ＝M ，∴点C 1，O ，M 三点在平面A 1C 内，也在平面BC 1D 内，从而C 1，O ，M 三点都在这两个平面的交线上，即C 1，O ，M 三点共线．►跟踪训练1．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC ，CC 1，C 1D 1的中点．证明：FE ，HG ，DC 三线共点．证明：连接C 1B ，由题意知，HC 1綊EB ，∴四边形HC 1BE 是平行四边形．∴HE∥C 1B. 又∵C 1G ＝GC ，CF ＝BF ，故GF 綊12C 1B.∴GF ∥HE ，且GF≠HE.∴HG 与EF 相交．设交点为K ，则K∈HG，又∵HG ⊂平面D 1C 1CD ， ∴K ∈平面D 1C 1CD. ∵K ∈EF ，EF ⊂平面ABCD. ∴K ∈平面ABCD.∵平面D 1C 1CD ∩平面ABCD ＝DC. ∴K ∈DC.∴FE ，HG ，DC 三线共点．2．如图所示，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中 ，E 是CC 1的中点，画出平面AED 1与正方体有关各面的交线．解析：如图所示，设D 1E 与DC 的延长线交于G ，连接AG ，设AG 与BC 交于F ，连接EF ，则AD 1，D 1E ，EF 和AF 为所求作的交线．(注：画截面与正方体有关的交线，必须作出它与有关棱的交点，根据“同一平面内两直线不平行必相交”和公理1去画直线确定交点)专题二 空间中的位置关系 1．空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧相交平行异面2．空间中直线与平面的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交3．两个平面的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧相交平行求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交． 已知：直线a∥b，a ∩平面α＝P ， 求证：直线b 与平面α相交．证明：∵a∥b，∴a 和b 确定平面设为β.∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过点P的直线，设为l.∵在平面β内l与两条直线a，b中的一条直线a相交，∴l必与b相交于Q，即b∩l＝Q，又因为b不在平面α内(若b在α内，则a∥b，∴a ∥α，与a与α相交矛盾)，故直线b和平面α相交．►跟踪训练3．已知直线a与b不平行，且a⊥平面α，b⊥平面β，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．解析：平面α与平面β相交．下面用反证法证明：假设α与β不相交，则α∥β.∵a⊥α，∴a⊥β.又b⊥β，∴a∥b，这和a与b不平行矛盾．∴假设不成立，故平面α与平面β一定相交．4．求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线那么这条直线在此平面内．已知：l∥α，P∈α，P∈m，m∥l，求证：m⊂α.证明：设l与P确定平面为β，且α∩β＝m′，∵l∥α，∴l∥m′.又∵l∥m，m，m′都经过点P，∴m，m′重合，∴m⊂α.专题三空间中的平行和垂直关系1．空间中的平行关系有三类：一是线线平行，由平行线的传递性和平面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行，根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等．二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行．三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行．由面面平行可以得出线面平行和线线平行，平行关系的转化是：2．空间中的垂直关系有三类：一是线线垂直，空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形，由两直线所成的角是直角或者由线面垂直推出线线垂直．二是线面垂直，利用线面垂直的定义、判定定理、平面与平面垂直的性质定理来判定线面垂直．三是面面垂直，利用直二面角和面面垂直的判定定理判定两平面垂直．垂直关系的转化：如图所示，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AC ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2，凸多面体ABCED 的体积为12，F 为BC 的中点．(1)求证：AF∥平面BDE ； (2)求证：平面BDE⊥平面BCE.证明：(1)∵AD⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，∴四边形ACED 为梯形，且平面ABC⊥平面ACED ，∵BC 2＝AC 2＋AB 2，∴AB ⊥AC ， ∵平面ABC∩平面ACED ＝AC ， ∴AB ⊥平面ACED ，即AB 为四棱锥BACED 的高，∵V BACED ＝13·S ACED ·AB ＝13×12×(1＋CE )×1×1＝12，∴CE ＝2，取BE 的中点G ，连接GF ，GD ， ∴GF 为三角形BCE 的中位线，∴GF ∥EC ∥DA ，GF ＝12CE ＝DA ，∴四边形GFAD 为平行四边形，∴AF ∥GD ，又GD ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE.(2)∵AB＝AC ，F 为BC 的中点， ∴AF ⊥BC ，又GF⊥AF，BC ∩GF ＝F ， ∴AF ⊥平面BCE ， ∵AF ∥GD ， ∴GD ⊥平面BCE ， 又GD ⊂平面BDE ， ∴平面BDE⊥平面BCE. ►跟踪训练5．如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．求证：(1)EF∥平面A 1BC 1； (2)平面D 1DBB 1⊥平面A 1BC 1.证明：(1)连接AC ，则AC∥A 1C 1，而E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF∥AC， 则EF∥A 1C 1，又∵EF ⊄平面A 1BC 1，A 1C 1⊂平面A 1BC 1，故EF∥平面A 1BC 1. (2)因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥A 1C 1，又A 1C 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1＝B 1， 则A 1C 1⊥平面D 1DBB 1， 又A 1C 1⊂平面A 1BC 1，所以平面D1DBB1⊥平面A1BC1.6．某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图．(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.(1)解析：该几何体的直观图如图甲所示．(2)证明：如图乙，①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图可得到，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.7．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点，将△ABC沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝ 2.(1)求证：A′O⊥平面BCDE ；(2)求二面角A′CDB 的平面角的余弦值． 解析：因为在等腰直角三角形ABC 中， ∠B ＝∠C＝45°，CD ＝BE ＝2，CO ＝BO ＝3. 所以在△COD 中，OD ＝CO 2＋CD 2－2CO·CD cos 45°＝5，同理得OE ＝ 5. 因为AD ＝A′D＝A′E＝AE ＝22，A ′O ＝3，所以A′O 2＋OD 2＝A′D 2，A ′O 2＋OE 2＝A′E 2，所以∠A ′OD ＝∠A ′OE ＝90°. 所以A′O⊥OD，A ′O ⊥OE.又OD∩OE＝O ， 所以A′O⊥平面BCDE.(2)过点O 作OF⊥CD 的延长线于点F ，连接A′F.因为A′O⊥平面BCDE ，根据三垂线定理，有A ′F ⊥CD ， 所以∠A′FO 为二面角A′CDB 的平面角． 在Rt △COF 中，OF ＝CO·cos 45°＝322，在Rt △A ′OF 中，A ′F ＝AO 2＋OF 2＝302. 所以cos ∠A ′FO ＝OF A′F ＝155， 所以二面角A′CDB 的平面角的余弦值为155.。
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与
教学
目标
1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.
2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力.
教学重、
难点
直线与平面垂直的性质定理及其应用.
教学
准备
多媒体课件
教学过程
复习
直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
作业
课本习题2.3 B组1、2.
板书设计
教学反思
证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，
∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴PA=PB=PC.取AB的中点D,
连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB.
图1
如图1，表示方法为：a⊥α.
由直线与平面垂直的定义不难得出： b⊥a.
导入新课
如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
图2
提出问题
①回忆空间两直线平行的定义.
②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？
直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为： b∥a.
直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.
⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 章末分层突破
上一页
返回首页
下一页
第三十一页，编辑于星期五：十六点 十四分。
在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD， PD＝DC，E 是 PC 的中点，过 E 作 EF⊥PB 于点 F.
(1)求证：PA∥平面 EDB； (2)求证：PB⊥平面 EFD； (3)求二面角 C-PB-D 的大小．
【解】 ∵E 为 SC 的中点，且 SB＝BC， ∴BE⊥SC.又 DE⊥SC， BE∩DE＝E，∴SC⊥平面 BDE， ∴BD⊥SC.又 SA⊥平面 ABC， 可得 SA⊥BD，SC∩SA＝S， ∴BD⊥平面 SAC，从而 BD⊥AC，BD⊥DE， ∴∠EDC 为二面角 E-BD-C 的平面角．
上一页
返回首页
下一页
第二十一页，编辑于星期五：十六点 十四分。
②求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影． ③求二面角关键是作出二面角的平面角，而作二面角的平面角时，首先要 确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平星期五：十六点 十四分。
如图 2-5，正方体的棱长为 1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO 与 A′C′所成角的度数； (2)AO 与平面 ABCD 所成角的正切值； (3)平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数.
25，∴tan∠OAE＝OAEE＝
5 5.
上一页
返回首页
下一页
第二十六页，编辑于星期五：十六点 十四分。
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O， ∴OC⊥平面 AOB. 又∵OC⊂平面 AOC，∴平面 AOB⊥平面 AOC， 即平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数为 90°.
上一页
返回首页
上一页
返回首页
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-1 2-1-
[再练一题] 2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
【导学号：09960043】 【解】 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线 a，b，c，l 共面．
上一页
返回首页
下一页
第二十二页，编辑于星期五：十六点 十四分。
证明：法一 ∵a∥b，∴a，b 确定一个平面 α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故 l⊂α. 又∵a∥c，∴a，c 确定一个平面 β. 同理可证 l⊂β，∴α∩β＝a 且 α∩β＝l. ∵过两条相交直线 a、l 有且只有一个平面， 故 α 与 β 重合，即直线 a，b，c，l 共面． 法二 由法一得 a、b、l 共面 α，也就是说 b 在 a、l 确定的平面 α 内． 同理可证 c 在 a、l 确定的平面 α 内． ∵过 a 和 l 只能确定一个平面，∴a，b，c，l 共面．
表示．
【答案】 B
上一页
返回首页
下一页
第三十四页，编辑于星期五：十六点 十四分。
2．下列说法中正确的个数为( )
①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边
形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定
上一页
返回首页
下一页
第三十二页，编辑于星期五：十六点 十四分。
[构建·体系]
上一页
返回首页
下一页
第三十三页，编辑于星期五：十六点 十四分。
1．用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面 α 外”，正确的是( )
A．A∈l，l∉α
B．A∈l，l⊄α
C．A⊂l，l⊄α
D．A⊂l，l∉α
【解析】 点与直线，直线与平面间的关系分别用“∈或∉”和“⊂或⊄”
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-1 2-1-
上一页
返回首页
下一页
第三十页，编辑于星期五：十六点 十四分。
学业分层测评（九）
点击图标进入…
上一页
返回首页
下一页
第三十一页，编辑于星期五：十六点 十四分。
上一页
返回首页
下一页
() () () ()
第四页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【解析】 (1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面 平行．
(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故 (2)错．
(3)错误．由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直 的直线有无数条，故(3)错．
上一页
返回首页
下一页
第十七页，编辑于星期五：十六点 十四分。
已知下列说法： ①两平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b； ②若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线； ③若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 一定不相交； ④若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 平行或异面； ⑤若两个平面 α∩β＝b，a⊂α，则 a 与 β 一定相交． 其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)． 【精彩点拨】 由平面间的位置关系逐一判断．
阶
阶
段
段
一
三
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
上一页
返回首页
下一页
第一页，编辑于星期五：十六点 十四分。
1．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重 点、易错点)
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-2 2-2-
上一页
返回首页
下一页
第五页，编辑于星期五：十六点 十四分。
教材整理 2 平面与平面平行的性质定理
阅读教材 P60“思考”以下至 P61“练习”以上的内容，完成下列问题. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的
自然语言 交线 平行
符号语言
α∥β ，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
【解】 (1)如图所示， 取 D1 为线段 A1C1 的中点，此时DA11DC11＝1.连接 A1B，交 AB1 于点 O，连接 OD1.由棱柱的性质知，四边形 A1ABB1 为平行四 边形，所以点 O 为 A1B 的中点．在△A1BC1 中，点 O，D1 分 别为 A1B，A1C1 的中点，所以 OD1∥BC1.又因为 OD1⊂平面 AB1D1，BC1⊄平面 AB1D1，所以 BC1∥平面 AB1D1.所以当DA11DC11＝ 1 时，BC1∥平面 AB1D1.
图 2-2-19
上一页
返回首页
下一页
第二十四页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【精彩点拨】 用判定定理证明较困难，可通过证明过 MN 的平面与平面 AA1B1B 平行，得到 MN∥平面 AA1B1B.
上一页
返回首页
下一页
第二十五页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【自主解答】 如图，作 MP∥BB1 交 BC 于点 P，连接 NP， ∵MP∥BB1， ∴MCMB1＝CPBP. ∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN， ∴MCMB1＝DNBN， ∴CPBP＝DNNB， ∴NP∥CD∥AB.
上一页
返回首页
下一页
第十六页，编辑于星期五：十六点 十四分。
1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使 这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一 个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-3 2-3-
【提示】 需要 PA⊥α，A 为垂足，OA 为斜线 PO 的 射影，这样∠POA 就是斜线 PO 与平面 α 所成的角．
图 2-3-4
上一页
返回首页
下一页
第二十三页，编辑于星期五：十六点 十四分。
探究 2 根据线面角的定义，我们可以如何求线面角的大小？ 【提示】 作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角转化为平面角，放在 三角形内求解． 探究 3 求线面角的关键是什么？ 【提示】 确定斜线在平面内的射影．
(1)求证：CD⊥平面 PAB； (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角．
图 2-3-5
上一页
返回首页
下一页
第二十五页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【精彩点拨】 (1)利用线面垂直的判定定理在平面 PAB 内找两条相交的直 线与 CD 垂直．
(2)确定出 PC 与平面 PAB 所成的角，放到三角形中，求得即可．
它们唯一的公共点 P 叫做垂足
上一页
返回首页
下一页
符号语言 l⊥α
第三页，编辑于星期五：十六点 十四分。
直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不可能( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
【解析】 由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l 与 m 可能相交或异面， 但不可能平行．
【答案】 A
上一页
返回首页
下一页
第二十六页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【自主解答】 法一 (1)证明：连接 CO.由 3AD＝DB 知，点 D 为 AO 的中 点．
又∵AB 为圆 O 的直径，
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-2 2-2-
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
() (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．
(3)平行于同一平面的若 α∥β，且直线 a∥α，则直线 a∥β.( )
上一页
返回首页
下一页
上一页
返回首页
下一页
第十六页，编辑于星期五：十六点 十四分。
【自主解答】 (1)连接 B1D1， ∵E、F 分别是边 B1C1、C1D1 的中点， ∴EF∥B1D1. 而 BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E、F、B、D 四点共面．
上一页
返回首页
下一页
第十七页，编辑于星期五：十六点 十四分。
(2)易知 MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. 又 MN⊄平面 EFDB，BD⊂平面 EFDB. ∴MN∥平面 EFDB. 连接 MF.∵M、F 分别是 A1B1、C1D1 的中点， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1. ∴MF∥AD，MF＝AD. ∴四边形 ADFM 是平行四边形，∴AM∥DF. 又 AM⊄平面 BDFE，DF⊂平面 BDFE， ∴AM∥平面 BDFE. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面 MAN∥平面 EFDB.
第十九页，编辑于星期五：十六点 十四分。
[再练一题] 2．如图 2-2-4 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形．点 M，N，Q 分别在 PA，BD，PD 上，且 PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平 面 MNQ∥平面 PBC.
【导学号：09960060】
上一页
图 2-2-4
上一页
返回首页
下一页
第十八页，编辑于星期五：十六点 十四分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
教学
目标
1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系.
2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.
3.进一步培养学生的空间想象能力.
教学
重、
难点
正确判定直线与平面的位置关系.
教学
准备
多媒体课件
教学过
程
导入新课
观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B 所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置
关系？
图1
提出问题
①什么叫做直线在平面内？
②什么叫做直线与平面相交?
③什么叫做直线与平面平行?
④直线在平面外包括哪几种情况?
⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.
活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生
及时表扬.
讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.
②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.
③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.
④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
⑤
直线在平面内a⊂α
直线与平面相交a∩α=A
直线与平面平行a∥α
应用示例
思路1
例1 下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A.0
B.1
C.2
D.3
分析：如图2,
图2
我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；
A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；
A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD,所以命题③不正确；
l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.
答案：B
变式训练
请讨论下列问题：
若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.
图3
解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求证：l与a、b、c共面.
证明：如图4,∵a∥b,
图4
∴a、b确定一个平面，设为α.
∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l,∴AB⊂α，即l⊂α.
同理b、c确定一个平面β，l⊂β,
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
∵两条相交直线确定一个平面,
∴α与β重合.故l与a、b、c共面.。