2006年全国初中数学联合竞赛试卷

合集下载

2006年全国初中数学竞赛试题

2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21+=m ，21-=n ，且)763)(147(22--+-n n a m m =8，则a 的值等于（）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >2 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007 5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（）（A ）132-（B ）32 （C ）23+ （D ）23+（第5题图）二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bca -的值等于．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a a ，则[]a 10的值等于．([]x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知abx =，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312-<<-x ．（1）试写出一个满足条件的x ；（2）求所有满足条件的x ．（第7题图）ABD G12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ① 542--=a a bc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．（第13题）C14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

2006年全国初中数学竞赛决赛试题参考答案1

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）.（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 答：C ．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C ．预初整除2．已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 答：C ．解：由已知可得 122=-m m ，122=-n n ．又8)763)(147(22=--+-n n a m m ，所以 ()()8737=-+a ，解得 9-=a ．故选C ．初一二次根式3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（）（A ）1<h （B ）1=h （C ）21<<h （D ）2>h 答：B ．解：设点A 的坐标为),(2a a ，点C 的坐标为),(2c c （c a <），则点B 的坐标为),(2a a -，由勾股定理，得22222)()(a c a c AC -+-=， 22222)()(a c a c BC -++=，222AB BC AC =+，所以 22222)(c a c a -=-．由于22a c >，所以221a c -=，故斜边AB 上高=h 221a c -=．故选B ．勾股定理或射影定理4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007答：B ．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得（k ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k ＋1）×360°．因为这（k ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k ＋1）－34＝k －33（个），而这些多边形的内角和不少于（k －33）×180°．所以（k ＋1）×360°≥34×60×180°＋（k －33）×180°，解得k ≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B ．多边形内角和5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC的值为（）（A ）132- （B ）32（C ）23+ （D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，m QO =，则m QP =，m r QC +=，m r QA -=．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QD QP QC QA ⋅=⋅．即 QD m m r m r ⋅=+-))((，所以 mm r QD 22-=．连结DO ，由勾股定理，得222QO DO QD +=，即 22222m r m m r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=．所以，231313+=-+=-+=m r m r QA QC ．故选D ．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，a c -＝2005．若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为．答：5013．解：由a ＋b ＝2006，a c -＝2005，得a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以，a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．（第5题图）7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bca -的值等于 . 答：320-．解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则342=m ．由△ADG ∽ △ABC ，可得m xm m x 2323-=，解得m x )332(-=．于是48328)332(222-=-=m x ，由题意，a ＝28，b ＝3,c ＝48，所以320-=-b c a . 8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了x x3685040046=⨯米．于是400)1(400800)1(368>--+-x x ，且 x x 400)800368(-+≤400，所以，5.12≤x ＜5.13．故x =13，此时1045013400=⨯=t ． 9．已知<01a <，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于．答：6．解：因为 122902303030a a a <+<+<<+<，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝1130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝0， 1230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1330a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1，所以 130110<+<a ， 1≤3012+a ＜2．故18≤a 30＜19，于是6≤a 10＜319，所以[]10a =6． 10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdef a 82．根据题意，有81×abcdef ＝bcdef a 82．记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+，于是5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+，解得)71208(1250a x -⨯=．因为0≤x ≤510，所以0≤)71208(1250a -⨯＜510，故71128＜a ≤71208．因为a 为整数，所以a ＝2．于是82500)271208(1250=⨯-⨯=x ．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知abx =，a ,b 为互质的正整数，且a ≤8，1312-<<-x ．（1）试写出一个满足条件的x ；（2）求所有满足条件的x ．解：（1）12x =满足条件． ……………………5分（2）因为abx =，a ,b 为互质的正整数，且a ≤8，所以ab<-121<，即1)a b <1)a <．当a ＝1时，1)13(1)12(⨯-<<⨯-b ，这样的正整数b 不存在．当a ＝2时，2)13(2)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝1，此时12x =．当a ＝3时，3)13(3)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝2，此时23x =．当a ＝4时，4)13(4)12(⨯-<<⨯-b ，与a 互质的正整数b 不存在．当a ＝5时， 5)13(5)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝3，此时35x =．当a ＝6时， 6)13(6)12(⨯-<<⨯-b ，与a 互质的正整数b 不存在．当a ＝7时， 7)13(7)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝3，4，5，此时73=x ，74，75．当a ＝8时， 8)13(8)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝5，此时58x =．所以，满足条件的所有分数为12，23，35，73，74，75，58．…………………15分 12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ①及 542--=a a bc ， ② 求a 的取值范围．解法1：由①－2×②得2()24(1)0b c a -=+>，所以1->a ．当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分又当a ＝b 时，由①，②得221614c a a =++， ③245ac a a =--， ④将④两边平方，结合③得()()2222161445a a a a a ++=--，化简得3224840250a a a +--=，故 2(65)(425)0a a a +--=，解得65-=a ，或4211±=a ．所以，a 的取值范围为1->a 且65-≠a ，4211±≠a ．……………15分解法2：因为14162222++=+a a c b ，542--=a a bc ，所以)54(214162)(222--+++=+a a a a c b ＝4842++a a ＝2)1(4+a ，所以 )1(2+±=+a c b ．又542--=a a bc ，所以b ，c 为一元二次方程054)1(222=--++±a a x a x ⑤的两个不相等实数根，故0)54(4)1(422>---+=∆a a a ，所以1->a ．当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分另外，当a ＝b 时，由⑤式有054)1(222=--++±a a a a a ，即05242=--a a ，或056=--a ，解得4211±=a ，或65-=a ．所以，a 的取值范围为1->a 且65-≠a ，4211±≠a ．…………………15分13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE AC CE KB ⋅=⋅．证明：因为AC ∥PB ，所以KPE ACE ∠=∠．又P A 是⊙O 的切线，所以KAP ACE ∠=∠．故K P E K A P∠=∠，于是△KPE ∽△KAP ，所以K P K EK A K P=，即 2K P K E K A =⋅．………………5分由切割线定理得2KB KE KA =⋅，所以， KP ＝KB ．…………………10分因为AC ∥PB ，所以，△KPE ∽△ACE ，于是PE KPCE AC =，故 P E K BC E A C =，即 P E A C C E K B ⋅=⋅．…………………15分14．2006个都不等于119的正整数200621,,,a a a 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值．解：首先证明命题：对于任意119个正整数12119,,,b b b，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数1b ，12b b +，…，12119b b b +++， ①若①中有一个是119的倍数，则结论成立．若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为1i b b ++和j b b ++ 1（1≤i ＜j ≤119），于是1119i j b b +++，从而此命题得证．…………………5分对于200621,,,a a a 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为102119162006+⨯=，所以200621a a a +++ ≥391010223816=+⨯． ②…………………10分取1201904238119====a a a ，其余的数都为1时，②式等号成立．所以，200621a a a +++ 的最小值为3910．…………………15分。

2006年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：答案：２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案答案：2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设1a =，则32312612a a a +--= （ AA.24.B. 25.C. 10.D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（ C ）A. B. 10.C.D.3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（ C ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ B A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则s i n ∠CBE ＝（ D ） B. 23. C. 13. D.6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ B ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是_____3-_______.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为___DC3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=__1-____.4．已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有___7__对. 第二试一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解（1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====. 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-.又12AB x x =-===，所以1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±.二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.N M AB解因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =.又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆. 又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上.同理可证，点E 在CH 的中垂线上.因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=② .解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=，即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc-+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc-+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++= ③ 又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为（ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则（ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，12320092010a a a a a +++++= （ D ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球. 第二试（A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值. NC A（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积. 解点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试（B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+．又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）.（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 答：C ．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C ．2．已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 答：C ．解：由已知可得 122=-m m ，122=-n n ．又8)763)(147(22=--+-n n a m m ，所以 ()()8737=-+a ，解得 9-=a ．故选C ．3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（）（A ）1<h （B ）1=h （C ）21<<h （D ）2>h 答：B ．解：设点A 的坐标为),(2a a ，点C 的坐标为),(2c c （c a <），则点B 的坐标为),(2a a -，由勾股定理，得22222)()(a c a c AC-+-=，22222)()(a c a c BC-++=，222ABBCAC =+，所以 22222)(c a c a -=-．由于22a c >，所以221a c -=，故斜边AB 上高=h 221a c -=．故选B ．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007答：B ．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得（k ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k ＋1）×360°．因为这（k ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k ＋1）－34＝k －33（个），而这些多边形的内角和不少于（k －33）×180°．所以（k ＋1）×360°≥34×60×180°＋（k －33）×180°，解得k ≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B ．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC 的值为（）（A ）132- （B ）32 （C ）23+ （D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，m QO =，则m QP =，mr QC +=，m r QA -=．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QD QP QC QA ⋅=⋅．即 QDm m r m r ⋅=+-))((，所以 mm r QD 22-=．连结DO ，由勾股定理，得222QODOQD+=，即22222m r m m r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得rm 33=．所以，231313+=-+=-+=mr m r QAQC ．故选D ．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，a c -＝2005．若a ＜b ，则a ＋b＋c 的最大值为．答：5013．解：由a ＋b ＝2006，a c -＝2005，得 a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以，a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 .答：320-．解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则342=m ．由△ADG ∽ △ABC ，可得mx m m x 2323-=，解得m x )332(-=．于是48328)332(222-=-=m x ，由题意，a ＝28，b ＝3,c ＝48，所以320-=-bc a .8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了x x 3685040046=⨯米．于是400)1(400800)1(368>--+-x x ，且 x x 400)800368(-+≤400，所以，5.12≤x ＜5.13．故x =13，此时1045013400=⨯=t ．9．已知<01a <，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于．答：6．解：因为 122902303030a a a <+<+<<+< ，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝1130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝0，1230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1330a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1，所以 130110<+<a ，1≤3012+a ＜2．故18≤a 30＜19，于是6≤a 10＜319，所以[]10a =6．10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdef a 82．根据题意，有81×abcdef ＝bcdef a 82．记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+，于是5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+，解得)71208(1250a x -⨯=．因为0≤x ≤510，所以≤)71208(1250a -⨯＜510，故71128＜a ≤71208．因为a 为整数，所以a ＝2．于是82500)271208(1250=⨯-⨯=x ．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11（A ）．已知ab x =，a ,b 为互质的正整数，且a ≤8，1312-<<-x ．（1）试写出一个满足条件的x ；（2）求所有满足条件的x ．解：（1）12x =满足条件． ……………………5分（2）因为ab x =，a ,b 为互质的正整数，且a ≤8，所以ab <-121<，即1)a b <1)a<．当a ＝1时，1)13(1)12(⨯-<<⨯-b ，这样的正整数b 不存在．当a ＝2时，2)13(2)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝1，此时12x =．当a ＝3时，3)13(3)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝2，此时23x =．当a ＝4时，4)13(4)12(⨯-<<⨯-b ，与a 互质的正整数b 不存在．当a ＝5时， 5)13(5)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝3，此时35x =．当a ＝6时， 6)13(6)12(⨯-<<⨯-b ，与a 互质的正整数b 不存在．当a ＝7时， 7)13(7)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝3，4，5，此时73=x ，74，75．当a ＝8时， 8)13(8)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝5，此时58x =．所以，满足条件的所有分数为12，23，35，73，74，75，58．…………………15分 12（A ）．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式 14162222++=+a a c b ① 及 542--=a a bc ， ② 求a 的取值范围．解法1：由①－2×②得2()24(1)0b c a -=+>，所以1->a ．当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分又当a ＝b 时，由①，②得221614c a a =++，③ 245ac a a =--，④将④两边平方，结合③得()()2222161445aa a a a ++=--，化简得3224840250a a a +--=，故 2(65)(425)0a a a +--=，解得65-=a ，或4211±=a ．所以，a 的取值范围为1->a 且65-≠a ，4211±≠a ．……………15分解法2：因为14162222++=+a a c b ，542--=a a bc ，所以)54(214162)(222--+++=+a a a a c b ＝4842++a a ＝2)1(4+a ，所以 )1(2+±=+a c b ．又542--=a a bc ，所以b ，c 为一元二次方程54)1(222=--++±a a x a x ⑤的两个不相等实数根，故0)54(4)1(422>---+=∆a a a ，所以1->a ．当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分另外，当a ＝b 时，由⑤式有054)1(222=--++±a a a a a ，即05242=--a a ，或056=--a ，解得4211±=a ，或65-=a ．所以，a 的取值范围为1->a 且65-≠a ，4211±≠a ．…………………15分13（A ）．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：P E A C C E K B ⋅=⋅．证明：因为AC ∥PB ，所以K PE AC E ∠=∠．又PA 是⊙O 的切线，所以K A P A C E ∠=∠．故K PE K AP ∠=∠，于是△KPE ∽△KAP ，所以K P K E K AK P=，即 2K P K E K A =⋅．………………5分由切割线定理得2KB KE KA =⋅，所以， KP ＝KB ．…………………10分因为AC ∥PB ，所以，△KPE ∽△ACE ，于是P E K P C E A C =，故 P E K B C EA C=，即 P E A C C E K ⋅=⋅．…………………15分14（A ）．2006个都不等于119的正整数200621,,,a a a 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值．解：首先证明命题：对于任意119个正整数12119,,,b b b ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数1b ，12b b +，…，12119b b b +++ ， ① 若①中有一个是119的倍数，则结论成立．若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为1i b b ++ 和j b b ++ 1（1≤i ＜j ≤119），于是1119i jb b +++ ，从而此命题得证．…………………5分对于200621,,,a a a 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为102119162006+⨯=，所以200621a a a +++ ≥391010223816=+⨯． ②…………………10分取1201904238119====a a a ，其余的数都为1时，②式等号成立．所以，200621a a a +++ 的最小值为3910．…………………15分11（B ）．已知△ABC 中，B ∠是锐角．从顶点A 向BC 边或其延长线作垂线，垂足为D ；从顶点C 向AB 边或其延长线作垂线，垂足为E ．当BCBD 2和ABBE 2均为正整数时，△ABC 是什么三角形？并证明你的结论．解：设,2m BCBD =nABBE =2，,m n 均为正整数，则244cos 4B D B E m n B A BB C=⋅⋅=<，所以，mn ＝1，2，3．…………………5分（1）当mn ＝1时，1cos 2B =，60B ∠=︒，此时1==n m ．所以AD 垂直平分BC ，CE 垂直平分AB ，于是△ABC 是等边三角形．（2）当mn ＝2时，cos 2B =，45B ∠=︒，此时2,1==n m ，或1,2==n m ，所以点E 与点A 重合，或点D 与点C 重合．故90B A C ∠=︒，或90B C A ∠=︒，于是△ABC 是等腰直角三角形．（3）mn ＝3时，cos 2B =，30B ∠=︒，此时3,1==n m ，或1,3==n m ．于是AD 垂直平分BC ，或CE 垂直平分AB ．故30A C B ∠=︒，或30B A C ∠=︒，于是△ABC 是顶角为120 的等腰三角形．…………………15分12（B ）．证明：存在无穷多对正整数(),m n ，满足方程2225107()m n m n m n +=++．证法1：原方程可以写为22(107)2570m n m n n -++-=，于是 ()221074(257)16849n n n n ∆=+--=+是完全平方数．…………………5分设21684949(121)n k +=+，其中k 是任意一个正整数，则2427n k k =+．…………………10分于是210710(427)77(121)22n k k k m +±++±+==22107k k=-，或2210777k k ++．所以，存在无穷多对正整数(),m n ()222107,427k k k k =-+（其中k 是正整数）满足题设方程．…………………15分证法2：原方程可写为()()257m n m n -=+，所以可设27m n x+=（x 是正整数）， ①取 57m n x -=． ②…………………5分① －②得67(1)n x x =-．令6x y =（y 是任意正整数），则2427n y y =-．…………………10分于是()2227364272107m y y y y y=⋅--=+．所以，存在无穷多对正整数(),m n ()222107,427y y y y =+-（其中y 是任意正整数）满足题设方程．…………………15分13（B ）．如图，已知锐角△ABC 及其外接圆⊙O ，AM 是BC 边的中线．分别过点B ，C 作⊙O 的切线，两条切线相交于点X ，连结AX ．求证：BACAXAM ∠=cos ．证明：设AX 与⊙O 相交于点1A ，连结OB ，OC ，1O A ．又M 为BC 的中点，所以，连结OX ，它过点M ．因为,OB BX OX BC ⊥⊥，所以2XB XM XO=⋅． ①又由切割线定理得21XB XA XA =⋅．②…………………5分由①，②得1X A X M X AX O=，于是△XMA ∽△1X A O ，所以1OA AM OB AXOXOX==．…………………10分又2B O C B A C ∠=∠，所以B O X B A C ∠=∠，于是BACOXOB AXAM ∠==cos ．…………………15分14（B ）．10个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n 的最小值为6．证明：设10个学生为1210,,,S S S ，n 个课外小组为12,,,n G G G ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为1S ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．…………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设1S 恰好参加12,G G ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与1S 没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组12,,,n G G G的人数之和不小于310⨯＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组12,,,n G G G 的人数不超过5n ，故n5≥30，所以n ≥6．…………………10分下面构造一个例子说明6n =是可以的．{}112345,,,,G S S S S S =， {}212678,,,,G S S S S S =，{}3136910,,,,G S S S S S =，{}4247910,,,,G S S S S S =，{}535789,,,,G S S S S S =，{}6456810,,,,G S S S S S =．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6．…………………15分。

2006年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

GFE ABCD P2006年全国初中数学联赛试卷1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )(A) 36 (B) 37 (C) 55 (D) 902、已知m ＝1＋2，n ＝1－2，且(7m 2－14m ＋a ) (3n 2－6n －7)＝8，则a 的值等于( )(A) －5 (B) 5 (C) －9 (D) 93、Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y ＝x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴. 若斜边上的高为h ，则( )(A) h ＜1 (B) h ＝1 (C) 1＜h ＜2 (D) h ＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( )(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ，若QP ＝QO ，则QCQA的值为( )(A) 23－1 (B) 23 (C) 3＋2 (D) 3＋2二、填空题6、已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，c －a ＝2005. 若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为___________.7、如图，面积为a b －c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则 a －c b的值等于________.8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米. 甲、乙两分分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么出发后经过________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9、已知0＜a ＜1，且满足[a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋ 29 30]＝18 ([x ]表示不超过x 的最大整数)，则[10a ]的值等于__________.10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码. 小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是_________.三、解答题 11、已知x ＝b a，a 、b 为互质的正整数，且a ≤8，2－1＜x ＜3－1.(1)试写出一个满足条件x ； (2)求所有满足条件的x .12、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+54141622222a a bc a a c b 求a 的取值范围.13、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B. 过点A做PB的平行线，交⊙O于点C. 连结PC，交⊙O于点E；连结AE，延长AE交PB于点K. 求证：PE •AC＝CE •KB14、有2006个都不等于119的正整数a1，a2，…，a2006排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求a1＋a2＋…＋a2006的最小值.参考答案（1）解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．故选C ．（2）解：由已知可得m 2－2m ＝1，n 2－2n ＝1．又(7m 2－14m ＋a )(3n 2－6n －7)＝8，所以 (7＋a )(3－7)＝8，解得a ＝－9 故选C ．（3）解：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（|c|＜|a|），则点B 的坐标为（－a ，a 2），由勾股定理，得AC 2＝(c －a ) 2＋(c 2－a 2) 2，BC 2＝(c ＋a ) 2＋(c 2－a 2) 2， AC 2＋BC 2＝AB 2，所以 (a 2－c 2) 2＝a 2－c 2 .由于a 2＞c 2，所以a 2－c 2＝1，故斜边AB 上高h ＝a 2－c 2＝1 故选B ．（4）解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得(k ＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k ＋1)³360°．因为这(k ＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34³(62－2)³180°＝34³60³180°，其余多边形有(k ＋1)－34＝k －33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k －33)³180°．所以(k ＋1)³360°≥34³60³180°＋(k －33)³180°，解得k ≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33³58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33³58＝2005（刀）．故选B ．（5）解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO ＝m ，则QP ＝m ，QC ＝r ＋m ，QA ＝r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ²QC ＝QP ²QD 即 (r －m )(r ＋m )＝m ²QD ，所以 QD ＝r 2－m 2m ．连结DO ，由勾股定理，得QD 2＝DO 2＋QO 2，即 ( r 2－m 2 m )2＝r 2＋m 2 ，解得m ＝33r所以，QC QA ＝r ＋mr －m ＝3＋13－1＝3＋2 故选D ．（第7题图）ABCD GFE （6）解：由a ＋b ＝2006，c －a ＝2005，得a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．（7）解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则m 2＝43，由△ADG ∽△ABC ，可得x m＝32 m －x3 2m ，解得x ＝(23－3)m于是：x 2＝(23－3)m 2＝283－48，由题意，a ＝28，b ＝3, c ＝48，，所以 a －c b＝－20 3．（8）解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了46³400x 50＝368x 米．于是368(x －1)＋800－400(x －1)＞400，所以，12.5≤x ＜13.5．故x ＝13，此时 t ＝ 400³1350＝104．（9）解：因为0＜a ＋ 1 30 ＜a ＋230＜……＜a ＋29 30＜2，所以[a ＋130]，[a ＋230]，…，[a ＋ 29 30]等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以 [a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋11 30]＝0，[a ＋12 30]＋[a ＋13 30]……＋[a ＋29 30]＝1，所以 0＜a ＋ 11 30＜1 ，1≤a ＋12 30＜2．故18≤30a ＜19，于是6≤10a ＜ 19 3，所以 [10a ]＝6．（10）解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 2a 8bcdef ．根据题意，有81³abcdef ＝2a 8bcdef ．记x ＝b ³104＋c ³103＋d ³102＋e ³10＋f ，于是81³a ³105＋81x ＝208³105＋a ³106＋x 解得x ＝1250³(208－71a ) ．因为0≤x ＜105，所以0≤1250³(208－71a )＜105，故128 71＜a ≤208 71．因为a 为整数，所以a ＝2．于是x ＝1250³(208－71³2)＝82500．所以，小明家原来的电话号码为282500．（11）解：（1）x＝12满足条件．（2）因为x＝ba，a，b为互质的正整数，且a≤8，所以2－1＜ba＜3－1，即(2－1)a＜b＜(3－1)a．当a＝1时，(2－1)³1＜b＜(3－1)³1，这样的正整数b不存在．当a＝2时，(2－1)³2＜b＜(3－1)³2，故b＝1，此时x＝12．当a＝3时，(2－1)³3＜b＜(3－1)³3，故b＝2，此时x＝23．当a＝4时，(2－1)³4＜b＜(3－1)³4，与a互质的正整数b不存在．当a＝5时，(2－1)³5＜b＜(3－1)³5，故b＝3，此时x＝35．当a＝6时，(2－1)³6＜b＜(3－1)³6，与a互质的正整数b不存在．当a＝7时，(2－1)³7＜b＜(3－1)³7，故b＝3，4，5此时x＝37，47，57．当a＝8时，(2－1)³8＜b＜(3－1)³8，故b＝5，此时x＝5 8 .所以，满足条件的所有分数为12，23，35，37，47，57，58.（12）解：由①－2³②得(b－c) 2＝24(a＋1)＞0，所以a＞－1．当a＞－1时，b2＋c2＝2a2＋16a＋14＝2(a＋1)(a＋7)＞0．又当a＝b时，由①，②得c2＝a2＋16a＋14，③ac＝a2－4a－5④将④两边平方，结合③得a2 ( a2＋16a＋14)＝(a2－4a－5) 2化简得24a3＋8a2－40a－25＝0，故(6a＋5)(4a2－2a－5)＝0，解得a＝－56，或a＝1±214．所以，a的取值范围为a＞－1且a≠－56，a≠1±214．（13）证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE ＝∠ACE ．又P A 是⊙O 所以∠KAP ＝∠ACE ，故∠KPE ＝∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以KP KA ＝KE KP，即 KP 2＝KE ²KA ．由切割线定理得 KB 2＝KE ²KA 所以KP ＝KB ．因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是PE CE ＝KP AC 故 PE CE ＝KB AC，即 PE ²AC ＝CE ²KB（14）解：设10个学生为S 1，S 2，…，S 10 ，n 个课外小组G 1，G 2，…，G n ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为S 1，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设S 1恰好参加G 1，G 2，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S 1没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数之和不小于3³10＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数不超过5n ，故5n ≥30，所以n ≥6．下面构造一个例子说明n ＝6是可以的．G 1＝｛S 1，S 2，S 3，S 4，S 5｝，G 2＝｛S 1，S 2，S 6，S 7，S 8｝，G 3＝｛S 1，S 3，S 6，S 9，S 10｝， G 4＝｛S 2，S 4，S 7，S 9，S 10｝，G 5＝｛S 3，S 5，S 7，S 8，S 9｝，G 6＝｛S 4，S 5，S 6，S 8，S 10｝．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6．。

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）.（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 答：C ．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C ．2．已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 答：C ．解：由已知可得 122=-m m ，122=-n n ．又8)763)(147(22=--+-n n a m m ，所以 ()()8737=-+a ，解得 9-=a ．故选C ．3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（）（A ）1<h （B ）1=h （C ）21<<h （D ）2>h 答：B ．解：设点A 的坐标为),(2a a ，点C 的坐标为),(2c c （c a <），则点B 的坐标为),(2a a -，由勾股定理，得22222)()(a c a c AC-+-=，22222)()(a c a c BC-++=，222ABBCAC =+，所以 22222)(c a c a -=-．由于22a c >，所以221a c -=，故斜边AB 上高=h 221a c -=．故选B ．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007答：B ．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得（k ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k ＋1）×360°．因为这（k ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k ＋1）－34＝k －33（个），而这些多边形的内角和不少于（k －33）×180°．所以（k ＋1）×360°≥34×60×180°＋（k －33）×180°，解得k ≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B ．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC 的值为（）（A ）132- （B ）32 （C ）23+ （D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，m QO =，则m QP =，mr QC +=，m r QA -=．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QD QP QC QA ⋅=⋅．即 QDm m r m r ⋅=+-))((，所以 mm r QD 22-=．连结DO ，由勾股定理，得222QODOQD+=，即22222m r m m r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得rm 33=．所以，231313+=-+=-+=mr m r QAQC ．故选D ．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，a c -＝2005．若a ＜b ，则a ＋b＋c 的最大值为．答：5013．解：由a ＋b ＝2006，a c -＝2005，得 a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以，a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 .答：320-．解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则342=m ．由△ADG ∽ △ABC ，可得mx m m x 2323-=，解得m x )332(-=．于是48328)332(222-=-=m x ，由题意，a ＝28，b ＝3,c ＝48，所以320-=-bc a .8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了x x 3685040046=⨯米．于是400)1(400800)1(368>--+-x x ，且 x x 400)800368(-+≤400，所以，5.12≤x ＜5.13．故x =13，此时1045013400=⨯=t ．9．已知<01a <，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于．答：6．解：因为 122902303030a a a <+<+<<+< ，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝1130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝0，1230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1330a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1，所以 130110<+<a ，1≤3012+a ＜2．故18≤a 30＜19，于是6≤a 10＜319，所以[]10a =6．10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdef a 82．根据题意，有81×abcdef ＝bcdef a 82．记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+，于是5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+，解得)71208(1250a x -⨯=．因为0≤x ≤510，所以≤)71208(1250a -⨯＜510，故71128＜a ≤71208．因为a 为整数，所以a ＝2．于是82500)271208(1250=⨯-⨯=x ．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知△ABC 中，B ∠是锐角．从顶点A 向BC 边或其延长线作垂线，垂足为D ；从顶点C 向AB 边或其延长线作垂线，垂足为E ．当BCBD 2和ABBE 2均为正整数时，△ABC 是什么三角形？并证明你的结论．解：设,2m BCBD =nABBE =2，,m n 均为正整数，则244cos 4B D B E m n B A BB C=⋅⋅=<，所以，mn ＝1，2，3．…………………5分（1）当mn ＝1时，1cos 2B =，60B ∠=︒，此时1==n m ．所以AD 垂直平分BC ，CE 垂直平分AB ，于是△ABC 是等边三角形．（2）当mn ＝2时，cos 2B =，45B ∠=︒，此时2,1==n m ，或1,2==n m ，所以点E 与点A 重合，或点D 与点C 重合．故90B A C ∠=︒，或90B C A ∠=︒，于是△ABC 是等腰直角三角形．（3）mn ＝3时，cos 2B =，30B ∠=︒，此时3,1==n m ，或1,3==n m ．于是AD 垂直平分BC ，或CE 垂直平分AB ．故30A C B ∠=︒，或30B A C ∠=︒，于是△ABC 是顶角为120 的等腰三角形．…………………15分12．证明：存在无穷多对正整数(),m n ，满足方程2225107()m n m n m n +=++．证法1：原方程可以写为22(107)2570m n m n n -++-=，于是 ()221074(257)16849n n n n ∆=+--=+是完全平方数．…………………5分设21684949(121)n k +=+，其中k 是任意一个正整数，则2427n k k =+．…………………10分于是210710(427)77(121)22n k k k m +±++±+==22107k k=-，或2210777k k ++．所以，存在无穷多对正整数(),m n ()222107,427k k k k =-+（其中k 是正整数）满足题设方程．…………………15分证法2：原方程可写为()()257m n m n -=+，所以可设27m n x+=（x 是正整数）， ①取 57m n x -=． ②…………………5分① －②得67(1)n x x =-．令6x y =（y 是任意正整数），则2427n y y =-．…………………10分于是()2227364272107m y y y y y=⋅--=+．所以，存在无穷多对正整数(),m n ()222107,427y y y y =+-（其中y 是任意正整数）满足题设方程．…………………15分13．如图，已知锐角△ABC 及其外接圆⊙O ，AM 是BC 边的中线．分别过点B ，C 作⊙O 的切线，两条切线相交于点X ，连结AX ．求证：BACAXAM ∠=cos ．证明：设AX 与⊙O 相交于点1A ，连结OB ，OC ，1O A ．又M 为BC 的中点，所以，连结OX ，它过点M ．因为,OB BX OX BC ⊥⊥，所以2XB XM XO=⋅． ①又由切割线定理得21XB XA XA =⋅．②…………………5分由①，②得1X A X M X AX O=，于是△XMA ∽△1X A O ，所以1OA AM OB AXOXOX==．…………………10分又2B O C B A C ∠=∠，所以B O X B A C ∠=∠，于是BACOXOB AXAM ∠==cos ．…………………15分14．10个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n 的最小值为6．证明：设10个学生为1210,,,S S S ，n 个课外小组为12,,,n G G G ．（第13（B ）题图）首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为1S ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．…………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设1S 恰好参加12,G G ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与1S 没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组12,,,n G G G 的人数之和不小于310⨯＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组12,,,n G G G 的人数不超过5n ，故n5≥30，所以n ≥6．…………………10分下面构造一个例子说明6n =是可以的．{}112345,,,,G S S S S S =， {}212678,,,,G S S S S S =，{}3136910,,,,G S S S S S =，{}4247910,,,,G S S S S S =，{}535789,,,,G S S S S S =，{}6456810,,,,G S S S S S =．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6．…………………15分。

2006年全国初中数学竞赛

B C （第2题） N2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．答案：D解：解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.526,543a y a x 只需⎩⎨⎧>-<-;026,043a a 或⎩⎨⎧<->-.026,043a a 即a ＜34或a ＞3． 2．答案：B解：连结BE ，分别过E ，F 作A C 的平行线交BC 于点M 和N ，则EM =1，BM =3，MN =33134-=--．∴ 小三角形的周长是632=++MN MN MN cm ．3．答案：C解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种．4．答案：D解：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线1)1(22-+=x y 向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线2)1(22--=x y ，而抛物线2)1(22--=x y 关于x 轴对称的抛物线是2)1(22+--=x y ．5．答案：A解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是3264=． 6．答案：A解：经实验或按下述方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是()121321+=++++k k k ，应停在第()p k k 7121-+格，这里p 是整数，且使0≤()p k k 7121-+≤6，分别取k =1，2，3，4，5，6，7，时，()p k k 7121-+=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋．若7＜k ≤10，设t k +=7（t =1，2，3）代入可得，()p k k 7121-+=()1217++t t m ，由此可知，停棋的情形与t k =时相同．故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．7．答案：B解：假设有整数根，不妨设它的根是2k 或2k +1（k 为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A ；若a ，b ，c 分别取4，8，3则排除C ，D ．8．答案：C解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2×2 小方格图形共有12个，故画出不同位置的L 形图案个数是12×4=48．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．答案：512 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h )，则5h =3×4，h =512． 10．答案：35％或65％（答对一个给3分）解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％．11．答案：10解：不难验证，a 2=b 2+c 2．所以△ABC 是直角三角形，其中a 是斜边．b sin B +c sin C =a b b ⋅+ac c ⋅=a b c 22+=a a 2=a =10． 12．答案：00720031 解：方程组()⎩⎨⎧++=-+=k x k y k kx y 1,1的解为⎩⎨⎧-=-=.1,1y x 直线的交点是()1,1--．直线1y kx k =+-，1y k x k =++（）与x 轴的交点分别是（kk -1，0）、（1+-k k ，0）．11121+---⨯-⨯=k k k k S k =11121+-k k ．所以 1232006S S S S ++++ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-00721006214131312121121 =0072003100721121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯． 13．答案：22 解：连结DM 并延长交EF 于N ，则△ADM ≌△ENM ，∴FN =1，则FM 是等腰直角△DFN 的底边上的E (第8题)高，所以FM =22． 14．答案：463 解：设这个等腰三角形的腰为x ，底为y ，分为的两部分边长分别为n 和2n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+;22,2n y x n x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.2,22n y x n x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==;35,32n y n x 或⎪⎩⎪⎨⎧==.3,34n y n x ∵ 35322n n <⨯(此时不能构成三角形，舍去)，∴ 取⎪⎩⎪⎨⎧==,3,34n y n x 其中n 是3的倍数．三角形的面积2223663)6()34(321n n n n S =-⨯⨯=∆．对于23663n S =∆，当n ≥0时，∆S 随着n 的增大而增大，故当n =3时，463=∆S 取最小．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．(12分)解：将b a 24+=代入210ab c +-=，得2b 2+4b +c 21-=0， ……………2分 ∴ 22622c b -±-=． …………………………………2分 ∵ b ，c 都是整数，∴ 只能取⎩⎨⎧==;1,011c b ⎩⎨⎧-==;1,022c b ⎩⎨⎧=-=;1,233c b ⎩⎨⎧-=-=1,244c b ，…4分相对应a 1=4，a 2=4，a 3=０，a 4=0．故所求a b c ++的值有4个：5，3，1-，3-． ……………………………4分16．(12分)解：设分配给甲店铺A 款式服装x 件(x 取整数，且5≤x ≤30)，则分配给甲店铺B 款式服装(30x -)件，分配给乙店铺A 款式服装(35－x )件，分配给乙店铺B 款式服装[25－(30x -)]= (x 5-)件，总毛利润(设为y 总)为：y 总=30x +40(30x -)+27(35x -)+36(x 5-)= x -+1 965．………………………4分乙店铺的毛利润(设为y 乙)应满足：y 乙=27(35x -)+36(x 5-)≥950，得x ≥9520．…………………………………3分对于y 总=x -+1 965，y 总随着x 的增大而减小，要使y 总最大，x 必须取最小值，又x ≥9520，故取x =21．即分配给甲店铺A ，B 两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A ，B 两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大， ………………………………………3分其最大的总毛利润为：y 总最大=21-+1 965=1 944(元)．…………………………2分n -1 （第17题）17．(12分)解：(1) 一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=(线段的长度÷圆的周长)圈．因此若不考虑⊙O 滚动经过n 个顶点的情况，则⊙O 自身恰好转动了一圈． ……………………………………………3分现证明，当⊙O 在某边的一端，滚动经过该端点(即顶点)时，⊙O 自身转动的角度恰好等于n 边形在这个顶点的一个外角．如图所示，设∠A 2 A 1 A n 为钝角，已知A n A 1是⊙O 的切线，⊙O 滚动经过端点A 1后到⊙O '的位置，此时A 1A 2是⊙O '的切线，因此OA 1⊥A n A 1，O 'A 1⊥A 1 A 2．当⊙O 转动至⊙O '时，则∠γ 就是⊙O 自身转动的角度．∵∠γ +∠β =90º，∠α+∠β =90º，∴∠γ =∠α ．即⊙O 滚动经过顶点A 1自身转动的角度恰好等于顶点A 1的一个外角． ………………………3分对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证．（注：只证明直角的情况，只给2分） ∵ 凸n 边形的外角和为360º，∴ ⊙O 滚动经过n 个顶点自身又转动了一圈．………………………………3分 ∴ ⊙O 自身转动了两圈．(2) ⊙O 自身转动的圈数是)1(+ab 圈． …………………………………………3分 18．(14分)解：(1) 该二次函数图象的顶点P 是在某条抛物线上． ……………………2分求该抛物线的函数表达式如下：利用配方，得y =(x +m +1)2m m 32--，顶点坐标是P (1--m ，m m 32--)．……………………2分方法一：分别取m =0，1-，1，得到三个顶点坐标是P 1(1-，0)、P 2(0，2)、 P 3(2-，4-)，过这三个顶点的二次函数的表达式是y =2x -+x +2． …………3分将顶点坐标P (1--m ，m m 32--)代入y =－x 2+x +2的左右两边，左边=m m 32--，右边=(-1--m )2+(1--m )+2=m m 32--，∴ 左边=右边．即无论m 取何值，顶点P 都在抛物线y =2x -+x +2上．即所求抛物线的函数表达式是y =2x -+x +2．…3分（注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分）方法二：令1--m =x ，将m =1--x 代入m m 32--，得(-1--x )2－3(1--x )=2x -+x +2．………………………………………………3分即所求抛物线的函数表达式是y =2x -+x +2上． ………………………………3分(2) 如果顶点P (1--m ，m m 32--)在直线y =x +1上，则m m 32--=1--m +1， …………………………………2分即m m 22-=． ∴ m =0或 m =2-．∴当直线y =x +1经过二次函数y =x 2+2(m +1)x m -+1图象的顶点P 时，m 的值是2-或0． ………………2分。

2006年全国初中数学竞赛试题及答案 (1)-推荐下载

面积为 1 的正三角形 ABC，其中 a，b，c 为整数，
且 b 不能被任何质数的平方整除，则 a c 的值 b
等于
．
．
8．正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米．甲、乙两人分别从 A、C 两点同时
出发，沿 A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为 50 米/分，乙的
速度为 46 米/分．那么出发后经过
（B）37
（C）55
解：因为 4 和 9 的最小公倍数为 36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千
米数是在 55 千米处．
故选 C．
2．已知 m 1 2 ， n 1 2 ，且 (7m2 14m a)(3n2 6n 7) =8，则 a 的值
等于（）（A）－5 答：C．
BE
D
A
（第 7 题图）
分钟，甲、乙两人第一次行走在同一
a
29 30
18
，则
G
FC
10a的值等
（1）试写出一个满足条件的 x；（2）求所有满足条件的 x． 12．设 a ， b ， c 为互不相等的实数，且满足关系式
b2 c 2 2a 2 16a 14
bc a 2 4a 5
（C）2006
D
A
（D）90
（D）9
Q
P
（D）h>2
（D）2007
（第 5 题图）
O
C
B
（C） 3 2
（D） 3 2
二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）
6．已知 a，b，c 为整数，且 a＋b=2006，c－a=2005．若 a<b，则 a＋b＋c 的最
大值为

2006年全国各地九年制义务教育初三数学竞赛试题及参考答案解析决赛试卷

2006年全国九年级义务教育初中中考数学联赛决赛试卷一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形,E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,用S ,P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；1S ,1P 分别表示四边形EFGH 的面积和周长,设1S K S =,11PK P =,则下面关于K ,1K 的说法正确的是( ) A.K ,1K 均为常值B.K 为常值,1K 不为常值C.K 不为常值,1K 为常值D.K ,1K 均不为常值【解析】 B .如图,易知14AEH ABD S S =△△,14CFG CBD S S =△△,故14AEH CFG S S S +=△△.同理,14BEF DHG S S S +=△△.故112S S =,即K 2=为常值.又易知1P AC BD =+,特别的,若取邻边长分别为1、2的矩形,则1K =；再取邻边长分别为1、3的矩形,则1K ==故1K 不是常值.GHFEDCBA2.已知m 为实数,且sin α,cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根,则44sin cos αα+的值为( )A.29B.13C.79 D,1 【解析】 C .由根与系数的关系知1sin cos 3αα=,则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-⋅=.3.关于x 的方程21x a x =-仅有两个不同的实根,则实数a 的取值范围是( ) A.0a > B.4a ≥C.24a <<D.04a <<【解析】 D .当0a <时,无解；当0a =时,0x =,不合题意；当0a >时,方程化为21x a x =±-,整理得20x ax a -+=或20x ax a +-=.这两个方程的判别式分别为214a a =-△和224a a =+△.∵20>△,原方程仅有两个不同实根,所以2140a a =-<△,从而04a <<.4.设0b >,2220a ab c -+=,2bc a >,则实数a ,b ,c 的大小关系是( ) A.b c a >> B.c a b >> C.a b c >> D.b a c <<【解析】 A .由2bc a >及0b >,知0c >.由222ab a c =+及0b >,知0a >.由2220a ab c -+=,知()2220b c a b -=-≥,从而b c ≥.若b c =,由2220a ab c -+=知a b =,从而a b c ==与2bc a >矛盾,故b c >. 由22b bc a >>,知b a >；又由22222a c ab a +->,知c a >.5.设a ,b 为有理数,且满足等式a +则a b +的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 B .3==,所以3a +=+即()(310a b -+-. 由a 、b 为有理数,则3a =,1b =,即4a b +=.6.将满足条件“至少出现一个数字0,且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104,……,则这列数中的第158个数为( ). A.2000 B.2004 C.2008 D.2012 【解析】 C .在正整数中,是4的倍数的特征为末两位数字是4的倍数,其中包含数字0的7种情形:00,04,08,20,40,60,80和包括数字0的18种情形.显然,满足条件的两位数仅有4个；满足条件的三位数共有9763⨯=个；满足条件千千位数字为1的四位数共有71018188⨯+⨯=个.因为46388155++=,则从小到大的第155个满足条件的数为1980.下面满足条件的数依次为2000,2004,2008.故这列数中的第158个数为2008.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.函数220062008y x x =-+的图象与x 轴交点的横坐标之和等于 . 【解析】 0.原方程可转化为求方程2200620080x x -+=的所有实根之和.若实数0x 为方程的根,则其相反数0x -也为该方程的根,所以,方程的所有实根之和为0,即与x 轴交点的横坐标之和为0.2.在等腰Rt ABC △中,1AC BC ==,M 是BC 的中点,CE AM ⊥于E 交AB 于F ,则MBF S =△ .【解析】 112.如图,作BG BC ⊥交CF 的延长线于点G ,易证Rt Rt ACM CBG △≌△.故BG CM =,12CBG ACM ABC S S S =-△△△.由易证BFM BFG △≌△,故BGF BMF CMF S S S ==△△△.从而1113612MBF CBG ABC S S S ===△△△.MGF ECBA3.x 取值为 .【解析】 83.在直角坐标系xOy 中,设()0,2A -,()8,4B ,(),0P x ,有PAPB则10PA PB AB +=≥.当且仅当A 、P 、B 三点共线时,上式等号成立.因此,当且仅当A 、P 、B 三点共线时,原式取最小值.此时,易知BCP AOP △∽△,有2CP BCPO AO==.从而,1833OP OC ==.故原式取最小值时,83x =.4.在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点坐标分别为()00O ，、()1000A ，、()100100B ，、()0100D ，.若正方形OABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足:POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,就称格点P 为“好点”,则正方形OABC 内部“好点”的个数为 .(注:所谓“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.) 【解析】如图,过点P 分别作PD 、PE 、PF 、PG 垂直于点OA 、AB 、BC 、OC 于点D 、E 、F 、G .易知100PF PD +=,100PE PG +=.由POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,知PD PF PE PG ⋅=⋅,即()()100100PD PD PG PG -=-.化简为()()1000PD PG PD PG -+-=,故PD PG =或100PD PG +=,即PD PG =或PG PF =. 于是P 为对角线OB 上的点或P 为对角线AC 上的点.因此,当且仅当P 为对角线OB 或对角线AC 内部的格点时,点P 为好点.易知OB 内部有99个好点,AC 内部也有99个好点,又知对角线OB 与AC 的交点也为好点,于是满足条件的好点个数为99991197+-=个.三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)1.如图,D 为等腰ABC △底边BC 的中点,E 、F 分别为AC 及其延长线上的点.又已知90EDF ∠=o ,1ED DF ==,5AD =.求线段BC 的长.DEC FBA【解析】如图,过点E 作EG AD ⊥于点G ,过点F 作FH AD ⊥于点H ,则EDG DFH ∠=∠.故Rt Rt EDG DFH △≌△.设EG x =,DG y =,则DH x =,FH y =,且221x y +=.又Rt Rt AEG AFH △∽△,则EG AGFH AH=.即55x y y x -=+. 化简为()225x y y x +=-. 由上述两式解得35x =,45y =. 又因为Rt Rt AEG ACD △∽△,则CD EGAD AG=. 故35554755EG CD AD AG =⋅=⨯=-.所以,1027BC CD ==.FEDC B A2.在平行四边形ABCD 中,A ∠的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于E 、F ,点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心.⑴ 求证:O 、E 、1O 三点共线； ⑵ 求证:若70ABC ∠=o ,求OBD ∠的度数.【解析】 ⑴如图,连结OE 、OF 、1O A 、1O E .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以ABE ECF ∠=∠.又因为点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心,所以OE OF =,11O A O E =,122EOF ECF ABE AO E ∠=∠=∠=∠. 于是有1OEF O EA △∽△.故1OEF AEO ∠=∠,所以O 、E 、1O 三点共线.⑵连接OD 、OC .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以,CEF DAE BAF CFE ∠=∠=∠=∠. 故CE CF =.又因为点O 为CEF △的外心,所以OE OF OC ==. 则OCE OCF △≌△,有OEC OFC OCF ∠=∠=∠.故OEB OCD ∠=∠.又BAE EAD AEB ∠=∠=∠,则EB AB DC ==. 因此OCD OEB △≌△.所以,ODC OBE ∠=∠,OD OB =,ODC OBC ∠=∠,OBD ODB ∠=∠,OBD OBC CBD ∠=∠+∠ODC BDA =∠+∠ADC BDO =∠-∠ABC OBD =∠-∠.故12OBD ABC ∠=∠.DO 1O FEDCBA3.设p 为正整数,且2p ≥.在平面直角坐标系中,连结点()0A p ，和点()0B p ，的线段通过1p -个格点()111C p -，,…,()i C i p i -，,…,()111p C p --，. 证明:⑴ 若p 为索数,则在原点()00O ，与点()i C i p i -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点；⑵ 若在原点()00O ，与点()1i C i p -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点,则p 为索数.【解析】 ⑴用(),P a b 表示OAB △内的格点,a 、b 为正整数.假设结论不成立,则点P 位于某条线段1OC 内部(如图9).过点P 作PE OB ⊥于点E ,过点i C 作i C F OB ⊥于点F .由i OEP OFC △∽△,知b p ia i-=,其中11i p -≤≤. 易知1a i <≤,1b p i <-≤. 由b p ia i-=知()a b i ap +=,从而|i ap . 因为p 为质数,且11i p <-≤,则i 与p 互质.从而|i a ,故i a ≤,这与a i <矛盾. 所以,假设不成立,从而原结论成立. ⑵假设结论不成立,即p 为合数.故p xy =,其中x 、y ∈N ,且2,1x y p -≤≤.因为OAB △内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到1p -之间的任何整数,故必存在一格点(),P a b ,满足a b x +=,于是()a b y xy p +==,即ay by p +=.因此点(),ay by 必是()11,1C p -,()22,2C p -,…,()11,1p C p --中的一个点,设为(),i C i p i -.从而有ya i =,by p i =-,故b p ia i-=. 所以,点(),P a b 在线段i OC 内部,即在线段i OC 上除端点外还有其他格点,这与已知矛盾. 故原结论成立.。

2006-2010年全国初中数学联赛试题与答案

２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案2006年全国初中数学联赛第一试一、选择题1．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点用S 、p 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；S 1、p 1，分别表示四边形EFGH 的面积和周长．设111,p p k S S k ==．则下面关于1k k 、的说法中，正确的是( B )． (A) 1k k 、均为常值 (B)k 为常值，1k 不为常值(C)k 不为常值，1k 为常值 (D)1k k 、均不为常值2．已知m 为实数，且ααcos sin 、是关于x 的方程0132=+-mx x 的两根．则+⋅α4sin α4cos 的值为( C )． (A)92 (B)31 (C)97 (D)13．关于x 的方程a x x =-|1|2仅有两个不同的实根．则实数a 的取值范围是( D )． (A)a ＞0 (B)a≥4 (C)2＜a ＜4 (D)0＜a ＜44．设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是( A )．(A)a c b >> (B)b a c >> (C)c b a >> (D)c a b >>5．b a 、为有理数，且满足等式324163++⨯=+b a ,则b a +的值为( B )． (A)2 (B)4 (C)6 (D)86．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为( C )．(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012二、填空题7．函数2008||20062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和等于 0 ．8．在等腰ABC Rt ∆中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE⊥AM 于点E ，交AB 于点F ，则S △MBF ＝112。

2020年编辑2006年全国初中数学竞赛试题及答案总结编辑

2006年全国初中数学竞赛试题2、解答书写时不要超过装订线.3、草稿纸不上交一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且仅有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )(A)36 (B)37 (C)55 (D)902、已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于( )(A)－5 (B)5 (C)－9 (D)93、Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴. 若斜边上的高为h ，则( )(A)h ＜1 (B)h ＝1 (C)1＜h ＜2 (D)h ＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( )GFE ABCD(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ，若QP ＝QO ，则QAQC的值为( )(A)132- (B) 32 (C)23+ (D)23+二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6、已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，c －a ＝2005. 若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为___________.7、如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bca -的值等于________. 8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米. 甲、乙两分分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么出发后经过________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9、已知0＜a ＜1，且满足+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+302301a a …183029=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++a ([x ]表示不超过x 的最大整数)，则[10a ]的值等于__________.10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码. 小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是_________.三、解答题（共4小题，每小题15分，满分60分）11、已知abx =，a 、b 为互质的正整数，且a ≤8，1312-<<-x .(1)试写出一个满足条件x ； (2)求所有满足条件的x .12、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+54141622222a a bc a a c b ，求a 的取值范围.13、如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B . 过点A 做PB 的平行线，交⊙O 于点C . 连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K . 求证：KB CE AC PE ⋅=⋅.14、2006个都不等于119的正整数1a ，2a ，…，2006a 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求++21a a …2006a +的最小值.2006年全国初中数学竞赛答案（非标准答案）由于时间仓促加上本人能力有限，下面的答案难免有错误之处，如发现错误，欢迎指正！一、选择题CCBBD 二、填空题6、5013，7、320-，8、104，9、1，10、282500三、解答题11、85，75，74，73，53，32，21.12、a ＞－1且a ≠2211±、65-. 13、两次相似，再加上切割线定理CAPKCE PE =，22KB KA KE PK =⋅=. 14、2×2006－33×2－1＝3945“1，2，2，…，2（58个2），1”； “1，2，2，…，2（58个2），1”； 33组 ……“1，2，2，…，2（58个2），1”；“1，2，2，…，2（25个2）.不知此解法是否正确，还请各位指正.。

2006-2015年全国初中数学联赛试题(无答案)

2006年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点用S 、p 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；S 1、p 1，分别表示四边形EFGH 的面积和周长．设111,p pk S S k ==．则下面关于1k k 、的说法中，正确的是( )． (A) 1k k 、均为常值(B)k 为常值，1k 不为常值 (C)k 不为常值，1k 为常值(D)1k k 、均不为常值2．已知m 为实数，且ααcos sin 、是关于x 的方程0132=+-mx x 的两根．则+⋅α4sin α4cos 的值为( )． (A)92(B)31 (C)97 (D)13．关于x 的方程a x x =-|1|2仅有两个不同的实根．则实数a 的取值范围是( )． (A)a ＞0(B)a≥4(C)2＜a ＜4 (D)0＜a ＜44．设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是( )． (A)a c b >> (B)b a c >>(C)c b a >>(D)c a b >>5．b a 、为有理数，且满足等式324163++⨯=+b a ,则b a +的值为( )．(A)2(B)4(C)6(D)86．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为( )． (A)2000(B)2004(C)2008(D)2012二、填空题7．函数2008||20062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和等于．8．在等腰ABC Rt ∆中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于点E ，交AB 于点F ，则S △MBF ＝．9．使16)8(422+-++x x 取最小值的实数x 的值为．10．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足PO C PAB PBC PO A S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅。

006年全国初中数学竞赛试题及答案

2006 年全国初中数学比赛试题考试时间2006年4月2日上午9∶30－11∶ 30满分120分一、选择题（共 5 小题，每题 6 分，满分 30 分。

以下每道小题均给出了代号为A， B， C， D 的四个选项，此中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填均得0 分）1．在高速公路上，从 3 千米处开始，每隔 4 千米经过一个限速标记牌；而且从10 千米处开始，每隔9 千米经过一个速度监控仪．恰幸亏19 千米处第一次同时经过这两种设备，那么第二次同时经过这两种设备的千米数是（）（A）36（B）37（C）55（D）902．已知m 1 2 ，n 1 2 ，且 (7m214m a)(3n26n 7) =8，则a的值等于（）（A）－5（B）5（C）－9（D）93．Rt△ABC 的三个极点 A，B，C 均在抛物线y x 2上，而且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为 h，则（）（A）h<1（B）h=1（C）1<h<2（D）h>24．一个正方形纸片，用剪刀沿一条可是任何极点的直线将其剪成两部分；取出此中一部分，再沿一条可是任何极点的直线将其剪成两部分；又从获得的三部分中取出此中之一，仍是沿一条可是任何极点的直线将其剪成两部分这样下去，最后获得了34个六十二边形和一些多边形纸片，则起码要剪的刀数是（）（A）2004（B）2005（C）2006（D）20075．如图，正方形ABCD 内接于⊙ O，点 P 在劣弧 AB 上，连接 DP，交 AC 于点 Q．若QP=QO，则QC的值为（）C QA D（A）2 31O （B）2 3Q（C）32A BP（D）32（第 5 题图）二、填空题（共5小题，每题6分，满分30分）6．已知 a，b，c 为整数，且a＋ b=2006，c－a=2005．若 a<b，则 a＋b＋c 的最大值A为．7．如图，面积为 a bc 的正方形DEFG内接于面积为1 的正三角形ABC ，此中 a ，b ，c 为整数，且 b 不可以被任何质数的平方整除，则a c 的值b等于．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000 米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿 A →B →C →D → E → A → 方向绕广场行走，甲的速度为50 米/分，乙的速度为 46 米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知 0<a<1，且知足1 2 a29 ，则 10a 的值等于aa18303030．( x 表示不超出 x 的最大整数 )10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字 8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，正是本来电话号码的六位数的 81 倍，则小明家本来的电话号码是．三、解答题（共 4 题，每题 15 分，满分 60 分）11．已知 xb，a ，b 为互质的正整数（即 a ，b 是正整数，且它们的最大条约数为 1），a且 a ≤ 8， 2 1 x 3 1 ．（ 1）试写出一个知足条件的 x ；（ 2）求全部知足条件的 x ．12．设 a ， b ， c 为互不相等的实数，且知足关系式b 2c 2 2a 2 16a 14①bc a24a 5②求 a 的取值范围．13．如图，点 P 为⊙ O 外一点，过点 P 作⊙ O 的两条切线，切点分别为 A， B．过点 A 作 PB 的平行线，交⊙ O 于点 C．连接 PC，交⊙ O 于点 E；连接 AE，并延伸 AE 交 PB 于点 K．求证： PE·AC=CE ·KB．PKEBAOC（第 13 题）14．10 个学生参加 n 个课外小组，每一个小组至多 5 个人，每两个学生起码参加某一个小组，随意两个课外小组，起码能够找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2006 年全国初中数学比赛试题参照答案一、选择题（共 5 小题，每题 6 分，满分 30 分。