第七章整群抽样

V（y） V（ y M
）
1 M2
V（y）
V（y） V（ y M
）
1 M2
V（y）
1 f nM 2
1 N 1
N
（Yi
i 1
Y）2 1 f n
1 N 1
N
（Yi
i 1
Y）2
1 f nM
M N 1
N
（Yi
i 1
Y）2 1 f nM
Sb2
v（y）
v（ y M
）
1 M2
v（y）
1 f nM 2
解：
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
yi
s
2 i
宿舍1 宿舍2 宿舍3 宿舍4 宿舍5 宿舍6 宿舍7 宿舍8 58 91 123 99 110 111 120 96 83 83 89 105 99 100 115 80 74 79 94 98 132 116 117 63 82 111 109 107 87 99 99 130 66 101 79 129 99 107 106 105 87 69 80 90 124 105 120 86 75.00 89.00 95.67 104.67 108.50 106.33 112.83 93.33 125.60 233.60 299.07 177.87 287.50 42.27 72.57 527.87
y
i 1
yi ，且是Y的无偏估计。
n
V（y） 1 f
n
S
2 y
1 f n
1 N 1
N
（Yi
i 1
Y）2
v（y） 1 f
n
s
2 y
1 f n
1 n 1
n
（yi y）2是V（y）的无偏估计。
i 1
又 Y Y / M , y y / M，并且y是Yˆ的无偏估计
Yˆ Yˆ / M y / M y且是Y的无偏估计。
1 n 1
n
（yi
i 1
y）2
1 f nM
M n 1
n
（yi
i 1
y）2 1 f nM
sb2
是V（y）的无偏估计。
(1)Y
的估计为:
ˆ Y
y且E( y)
Y。
V（y） 1 f n
1 N 1
N
（Yi
i 1
Y）2 1 f nM
Sb2
其中Sb2
M N 1
N
（Yi
i 1
Y）2
v（y） 1 f n
n i 1
pi
nM
nM
n
n
E( y) Y E( p) P即p是P的无偏估计。
V（p） 1 f n
1 N 1
N
（Yi
i 1
Y ）2
1 f n
1 N 1
N
（Pi
i 1
P）2
v（p） 1 f n
1 n 1
n
（yi
i 1
y）2
1 f n
1 n 1
n
（pi
i 1
p）2，且E(v（p）) V（p）。
123 99 110 111 120 96 89 105 99 100 115 80 94 98 132 116 117 63
109 107 87 99 99 130 79 129 99 107 106 105 80 90 124 105 120 86
试估计该学校平均每个学生每周的零花钱，并给出置信 度为95%的置信区间。
NM
Yij
总体均值Y i1 j1 NM
总体的群间方差:
Sb2
M N 1
N
（Yi
i 1
Y）2
总体的群内方差:
Sw2
1 N (M 1)
N i 1
M
(Yij
j 1
Yi )2
1 N
N
Si2
i 1
样本
M
样本第i群的群和yi yij j 1
n
yi
样本群和的均值y i1 n
nM
yij
样本均值y i1 j1 nM
三、整群抽样的设计效应： 1.群内、群间差异的定量刻划：
总体
样本
n 8, N 315
Yˆ
y
1 n
n i 1
yi
98.17
sb2
M n 1
n
（yi
i 1
y）2
928.6648
v（y） 1 f nM
sb2
18.8558
s（y） v（y） 4.3423
Y 的置信度为95%的置信区间为：
y 0.975s（y），y 0.975s（y）
即89.66，106.68
样本的群间方差:
sb2
M n 1
n
（yi
i 1
y）2
样本的群内方差:

sw2
1 n(M 1)
n i 1
M
( yij
j 1
yi )2
1 n
n i 1
si2
二、估计量：
1.群规模相等时，对群的抽样采取简单随机抽样，将群和Yi作为群 的指标值 则总体看作Y1， ，YN
样本：y1， ，yn
n
Y的估计为：Yˆ
N2 1 f n
1 n 1
n
（yi
i 1
y）2且E(v（Yˆ）) V（Yˆ）。
(3)P的估计: 总体小单元的指标值Yij只能取0或1。
Y
P
N i 1
M
Yij
j 1
N
Ai
i 1
N Ai M
i 1
N
Pi
i 1
NM
NM
N
N
y
p
n i 1
M
yij
j 1
n
ai
i 1
n ai M
i 1
1 n 1
n
（yi
i 1
y）2 1 f nM
sb2
且E(v（y）) V（y）。
(2)Y的估计为:Yˆ NMy且E(Yˆ) Y。
V（Yˆ） V（NMy） (NM )2 1 f n
1 N 1
N
（Yi
i 1
Y）2
N2 1 f n
1 N 1
N
（Yi
i 1
Y）2
v（Yˆ） v（NMy） (NM )2 v（y）
7.2 群规模相等情形，对群进行简单随 机抽样时的估计量及其方差
一、符号： 总体群数：N 每群含有的单元数：M 总体第i群第j个单元的指标值：Yij 总体中单元总数：M0=NM
样本群数：n 样本第i群第j个单元的观测值：yij
总体
M
总体第i群的群和Yi Yij j 1
N
Yi
总体群和的均值Y i1 N
例：在一次对某寄宿中学在校生零花钱的调查中，以宿 舍作为群进行整群抽样。每个宿舍有6个学生。用简单 随机抽样在全部315间宿舍中抽取8间宿舍。样本数据 如下：
宿舍1 宿舍2 宿舍3 宿舍4 宿舍5 宿舍6 宿舍7 宿舍8
学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6
58 91 83 83 74 79 82 111 66 101 87 69
第七章 整群抽样
7.1 概述
一、整群抽样（cluster sampling）的定义： 由若干个基本单元所组成的集合称为群。将总体划分为若干群，
然后以群为抽样单元，从总体中随机抽取一部分群，对抽中的群 中的所有基本单元进行调查的一种抽样技术。
严格来讲也称为单阶整群抽样。 二、特点：
1.可以简化抽样框的编制。 2.实施调查便利，节省费用。 3.但通常比简单随机抽样的抽样误差大。 三、分群的原则：群内单元差异大，群间差异小。 这样，被抽到的群代表性好，整群抽样的效率就高。