数值分析课程设计

附件1：课程设计题目非线性方程的数值解法研究学院专业班级姓名指导教师2010 年7 月8 日课程设计任务书学生姓名：专业班级：指导教师：工作单位：题目: 非线性方程的数值解法研究初始条件：非线性方程的求根通常分为两个步骤,一是根的搜索,找出有根区间;二是根的精确化,求得根的足够精确近似值.找出有根区间的方法通常采用定步长搜索法. 用这一办法可以粗略进行根的隔离.要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）编制用一般迭代法、牛顿法、弦截法求解方程0xf的计算机程序，并就计算结()果分析它们的特点。

时间安排：选题:2天查资料:4天写论文:4天指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日非线性方程的数值解法研究摘要: 本文主要通过借助非线性方程求解,通过对一般迭代法、牛顿迭代法和弦截法求解过程进行比较研究，通过程序改进得出分析结果。

它对处理科学、工程问题的数值计算问题有一定的启发意义。

Abstract: This article mainly through the help of nonlinear equations by general iterative method, Newton iteration method for solving the process of closing chords comparative study, the results obtained through process improvement. It deal with science, engineering problems have some numerical problems enlightening.关键词:程序，非线性方程，迭代，收敛Keywords: program, nonlinear equations, iterative, convergence引言：非线性现象广泛存在于物质世界与社会生活中,很多科学理论和工程技术问题都最终化成非线性方程或非线性方程组的求解.在工程和科学技术领域中，经常会遇到求解一元非线性方程的问题。

对于次数大于等于5的代数方程，一般不能用代数方法求其准确根。

而在实际问题中，只要能获得满足一定精确度的近似根即可。

所以研究一元非线性方程近似根的数值解法，具有重要的现实意义。

非线性方程求根最为常用的是迭代法，迭代法是计算方法中的一种基本方法。

非线性方程求根常用的迭代法主要有简单迭代法，牛顿迭代法和弦截法等。

本文主要通过对一般迭代法、牛顿迭代法和弦截法进行比较研究，通过程序改进得出分析结果。

1 现有的方法1.1非线性方程的求根通常分为两个步骤,一是根的搜索,找出有根区间;二是根的精确化,求得根的足够精确近似值.找出有根区间的方法通常采用定步长搜索法:从a出发,以小步长h探索,即计算f(a),f(a+h),…,f(a+kh),一旦出现变号,例如在第m步变号,则知有根区间为[a+(m-1)h,a+mh].用这一办法可以粗略进行根的隔离.当然,步长h取得过大,根可能漏掉,而取得太小则运算量太大.实际中根据具体问题估计一个h值,并可在计算过程中调整.1.2 MATLAB牛顿法的源程序(newteq.m)function r=newteq(fun,x0,xtol,ftol,verbose)if nargin<3,xtol=5*eps;endif nargin<4,ftol=5*eps;endif nargin<5,verbose=0;endxeps=max(xtol,5*eps);feps=max(ftol,5*eps);%smallest tols are 5*eps if verbosefprintf(…\nNewton iteraions for % s.m\n‟,fun); fprintf(…k f(x) dfdx x(k+1)\n‟); endx=x0;k=0;maxit=15; %Initial guess,current and max iterations while k<=maxit k=k+1;[f,dfdx]=feval(fun,x); %Returns f(x(k-1)) and f‟(x(k -1)) dx=f/dfdx; x=x-dx;if verbose, fprintf(‟%3d %12.3e %12.3e %18.14f \n‟,k,f,dfdx,x);end if (abs(f)<feps)|(abbs(dx)<xeps),r=x;return;end endwarning(sprintf(…root not found within tolerance after %d iterations \n‟,k));2 新思想新方法2.1一般迭代法2.1.1 基本思想：若方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x *,将方程变形为同解方程x=φ（x ），且φ（x ）连续，则建立迭代公式x n+1=φ（x n ）(n=0,1,…,)。

设x 0是方程的一个近似根, 将它代入迭代公式进行迭代，求出的一系列近似根，直到满足精度要求为止。

2.1.2 迭代公式: ),,1,0()(1 ==+n x x n n ϕ 2.1.3 计算机程序: 法一(MATLAB 程序):n=0; eps=EPS; x=x0; %n 为迭代次数,eps 为容许误差,x0为初值 while abs(x-φ(x))>eps %φ(x)为迭代式 x=φ(x); n=n+1;endx, n %输出迭代次数法二:#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;double f(double t0){ double t=t0+1;return (f(x)); //求解函数f(x)}int main(){double a,b,x0,x1,e;static int count=1;cout<<"请输入a，b的值"<<endl; //求解区间cin>>a>>b;cout<<"请输入e的值"<<endl; //绝对误差cin>>e;x0=(a+b)/2;x1=f(x0);while((x1-x0)>e||(x0-x1)>e){count+=1;x0=x1;x1=f(x0);}cout<<"方程的根为："<<x1<<endl;cout<<"迭代次数"<<count<<endl;return 0;}2.2 牛顿法2.2.1基本思想：假设方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x *,过曲线y= f(x)上的一点（x 0,f(x 0)），作曲线的切线，用此切线与x 轴的交点的横坐标x 1作为方程的根x *的新的近似值, 再过点（x 1,f(x 1)），作曲线的切线，则又得到新的近似值,按此方法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。

2.2.2迭代公式: ,...)1,0()()(1='-=+n x f x f x x n n n n 2.2.3 计算机程序: 法一:#include<stdio ．h> #include<math ．h>#define eps 0.0000l /*容许误差*/ float f(float x) /*定义函数f(x)*/ {return(f(x)}float fl(float x) /*定义函数f(x)的导数*/ {return(g(x)} main(){float x0，xl=x 0 do{x0=xl; /*准备下一次迭代的初值*/ x1=x0一f(x0)／fl(x0); /*牛顿迭代*/}whne(fabs(x1一x0)>eps); /*满足精度,输出近似根*/ printf(“x=％f ＼n”，x1); }法二(MATLAB 编程):f=inline('f(x)'); %f(x)为待求函数format long %数据显示格式设为长型；b=b0;a=a0;k=0; %求解区间； y0=f(b);y=f(a); while abs(b-a)>0.0001 t=a-y*(a-b)/(y-y0);b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序； a=t;y=f(a); k=k+1;disp([b,a]);k %显示各个区间值和迭代次数； end2.3 弦截法2.3.1 基本思想: 假设方程f(x)=0在区间[a,b]上有唯一根x *,在区间[a,b]内的曲线y=f(x)上任取两点作弦，用此弦与x 轴的交点横坐标作为方程根的近似值。

按此方法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。

2.3.2 迭代公式:,...)1,0()()()(1=---=+n x f x f c f x c x x n n nn n,...)1,0()()()(111=---=--+n x f x f x f x x x x n n n n n n n 2.3.3 计算机程序:法一:f=inline('f(x)'); %f(x)为待求函数format long %数据显示格式设为长型； b=b0;a=a0; %求解区间； x(1)=b; x(2)=a; for k=2:1000x(k+1)=x(k)-f(x(k))*(x(k)-x(k-1))/(f(x(k))-f(x(k-1))); %弦截法求解程序； if abs(x(k+1)-x(k))<0.0001breakenddisp([x(k),x(k+1)]);k %显示各个区间值和迭代次数；end法二:#include <iostream>using namespace std;static int count=1;double f(double x){return (f(x)); //求解函数f(x)}int main(){double x0,x1,x2;double e=0.00001;cout<<"请输入两个初值X0，X1"<<endl;cin>>x0>>x1;x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));while(x2-x1>e||x1-x2>e){x0=x1;x1=x2;x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));count+=1;}cout<<"方程的根为："<<x2<<endl;cout<<"迭代的次数为："<<count<<endl;return 0;}3数值试验利用上述各MATLAB程序求解方程x3-x-1=0在(1,1.5)内的解,要求精确到10e-4,计算可得:牛顿法迭代4次,近似区间为(1.32471388581831,1.32471795536290);弦截法迭代5次,近似区间为(1.32471388581831,1.32471795536290);一般迭代法(x=(x+1)1/3)迭代5次,近似解为1.3246.4结论牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，方法是用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。