分类分步原理导学案

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分类计数原理与分步计数原理导学案

课题：分类计数原理与分步计数原理（第一课时）一、学习目标（一）、知识目标1、归纳出分类计数原理和分步计数原理。

2、能根据具体问题的特征，选择分类计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际问题。

（二八能力目标培养学生归纳推理和抽象概括能力，培养学生由特殊到一般及类比联想的学习方法，培养学生分类讨论的思想方法。

（三）情感目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于自主探索和合作学习的精神，同时体会两个原理在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发学生求知欲望。

二、预习检查分类计数原理的定义：____________________________________________________________________ .分步计数原理的定义：____________________________________________________________________ ;分类计数原理与分步技术原理的共同点： ____________________________________________________ .分类计数原理与分步技术原理的不同点： ____________________________________________________ .问题1:某校运动场有6条跑道，现要安排6名同学进行100米比赛，规则是一人一条道次，问一共有多少种不同的安排方案？问题2:暑假期间，某同学想去宜州旅游，一天中快巴客车有2班，普通客车有3班，那么他要乘这些交通工具从南丹到宜州共有多少种不同的走法？引申：如果他还有4辆出租车可以选择呢？推广：如果该同学从南丹到宜州的交通工具有n类，第一类ml种不同的方法，第二类有m2种不同的方法，…，第n类有mn种不同的方法，那么他从南丹到宜州共有多少种不同的方法？问题3:某同学临时接到任务，必需先到金城江办事，办完事再从金城江去宜州，从南丹到金城江他能选用的汽车有5班，从金城江到宜州能选用的火车有2列。

分类计数原理和分步计数原理教案

10.1分类计数原理和分步计数原理松四中赵芹【教学目标】1.了解学习本章的意义，激发学生的兴趣；2.理解分类计数原理和分步计数原理，培养学生归纳概括的能力；3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题【教学重点】理解分类计数原理和分步计数原理，培养学生归纳概括的能力【教学难点】会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题【教学方法】类比、探究、讲练结合及多媒体教学【教学课时】一课时【教学过程】先观察课题“分类计数原理和分步计数原理”，发现这两个原理只有一字之差，一个“分类”，一个“分步”，我们要带着这样三个问题开始进入学习：1、这两个原理是用来干什么的？2、这两个原理应该怎样区别？3、这两个原理应该怎样去使用？引入新课引例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。

一天中，火车有3班, 汽车有2班。

那么一天中乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问：这个引例要解决的问题是什么？答：计算从甲地到乙地的方法总数。

（确定事件）问：完成从甲地到乙地的关键是什么？答：选择不同交通工具。

（确定完成该事件的关键）问：从甲地到乙地方法总数是多少？答：5种。

（确定方法总数）变题1：若从甲地到乙地还有4班飞机可乘，此时又有多少种不同走法？变题2：若完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同方法，在第2类中有2m 种不同方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同方法。

每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有多少种不同方法？分类计数原理（加法原理）：若完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同方法，在第2类中有2m 种不同方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同方法。

每一类方法中的每一种方法均可直接完成这件事，那么完成这件事情共有n m m m N +++= 21种不同方法。

引例 2：从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。

一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?问：这个引例要解决的问题又是什么？答：计算从甲地到乙地的方法总数。

分类计数原理和分步计数原理教案1

分类计数原理和分步计数原理教案1第一篇：分类计数原理和分步计数原理教案1分类计数原理和分步计数原理教案1教学目标正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：分类计数原理和分步计数原理．难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用．教学用具投影仪．教学过程设计(一)引入新课师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．今天我们先学习两个基本原理．(这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课．讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础) 师：(板书课题)(二)讲授新课1．介绍两个基本原理师：请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1)．问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？师：(启发学生回答后，作补充说明)因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4＋2＋3=9种不同的走法．这个问题可以总结为下面的一个基本原理．(打出片子——分类计数原理)分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．(教师放慢速度读一遍分类计数原理)师：请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2)．问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见图9－1)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？师：(启发学生回答后加以说明)这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法．一般地，有如下基本原理：(找出片子——分步计数原理)分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．(教师要读一遍分步计数原理)2．浅释两个基本原理师：两个基本原理是干什么用的呢？生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．(如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示)师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢？(学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘．)两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．师：请看下面的分析是否正确．(打出片子——题1，题2)题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．生乙：从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力)师：为什么会出现错误呢？生：题1的分类可能有问题吧，题2都走北路不符合要求．师：(教师归纳)进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用分类计数原理，否则不可以．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用分步计数原理．也就是说：类类互斥，步步独立．(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)(三)应用举例师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．请看例题1．(板书)例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法)师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据分类计数原理，得到的取法种数是N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．师：(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．师：请大家再来分析和解决例题2．(板书)例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？师：每一个三位整数是由什么构成的呢？生：三个整数字．师：023是一个三位整数吗？生：不是，百位上不能是0．师：对！百位的数字不能是0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、个位三位数字组成的，其中最高位不能是0．那么要组成一个三位数需要怎么做呢？生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字；第二步确定十位上的数字；第三步确定个位上的数字．师：很好！怎样表述呢？(教师巡视指导、并归纳)解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．答：可以组成100个三位整数．(教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础)(四)归纳小结师：什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？生：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理．师：应用两个基本原理时需要注意什么呢？生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．(五)课堂练习P222：练习1～4．(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)(六)布置作业P222：练习5，6，7．补充题：1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数)2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．(提示：需要按三个志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)种填写方式)3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9＋9×9＋9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数)4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法？(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？(提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．(1)N=5＋2＋3；(2)N=5×2＋5×3＋2×3)课堂教学设计说明两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头．中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分步计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键．所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题．对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的．基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题．正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件．而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立．教学过程中的题1和题2，就是为了解决这一问题而提出的．分类用分类计数原理，分步用分步计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练．教学中给出了例题1、例题2．这两个题目都是在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯．为了帮助学生在今后能正确运用两个基本原理解决其它排列组合问题，特别给出了4个补充习题，为下面将要进行的课打下一个基础．考虑到这节课无论是两个基本原理，还是例题都是文字较多的，因此特别设计了使用教具——投影仪．要是有实物投影仪那就更方便了．第二篇：分类计数原理与分步计数原理教案课题: 分类计数原理与分步计数原理授课教师:孙琼芳班级:高二(2)班时间:第十二周星期四第二节◆教学目标1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容.2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题.3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用.4.提高分析问题、解决问题的能力.◆ 教学重点分类计数原理与分步计数原理.◆ 教学难点正确运用分类计数原理与分步计数原理.◆ 教学方法启发引导式◆ 教学准备多媒体课件◆ 教学过程一.由实际问题引入课题2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理．二.讲授新课问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？图示：（分析略）引伸1:若甲地到乙地一天中还有4班轮船可乘,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 引伸2:若完成一件事,有n类办法.在第1类办法中有m1种不同方法,在第2类办法中有m 2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同方法,每一类中的每一种方法均可完成这件事,那么完成这件事共有多少种不同方法?分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。

高中数学选修2-3导学案

（ 1）
例 4、用 4 种不同颜色给下图示的地图上色，同的颜色，共有多少种不同的涂法？解：
要求相邻两块涂不
（ 2）
（ 3）
（ 4）
三、学生反思总结 1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础 . 2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是 “ 分类 ” 还是 “ 分步 ” ，也就是说 “ 分类 ” 时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而 “ 分步 ” 时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事 . 四、当堂检测课本 P10：练习 1—5 五、作业课本 p12 习题 1.1 A 组 1 、 2、 3 题
六、教学反思
2
课后练习与提高
一、选择题 1．将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投பைடு நூலகம்共有（ A．种 B．种 C．种）． D．种）．
2．将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ A．种 B．种 C ． 18 种 D． 36 种
3．已知集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）． A． 18 B． 10 C ． 16 D ． 14
n! ( n m 1)!
（ B） n(n － 1)(n － 2) ,,
(n － m) （ C） (34 － n) 等于（（ D） A34
8 n
nAn n
m 1 m 1 （ D） A1 nA n 1
m 1
3．若 n ∈ N 且 n<20 ，则 (27 － n)(28 － n) ,, （ A） A27

数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》导学案

数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》导学案导学案：分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学目标：通过本节课的学习，学生能够了解和运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决实际问题。

导学过程：第一步：导入新知1.老师向学生介绍本节课的学习内容：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

2.老师出示一道实际问题，例如：“小明去商场买衣服，他看中了4件T恤衫、3件牛仔裤、2件外套和5条裙子。

他决定买其中一件或两件，那么他可以有多少种选择？”3.学生思考问题，并做出回答。

第二步：引入概念1.在学生回答问题的基础上，老师引导学生思考问题的解决方法。

2.老师向学生解释分类加法计数原理的概念：当一个事件可以通过若干个互不相交的子事件表达时，可以将每个子事件的数量相加，得出总事件的数量。

3.老师以示例来说明分类加法计数原理的应用：对于小明购买衣服的问题，我们可以将其分解为分别选择一件、两件不同类型衣物的情况，然后将每种情况的数量相加，得到总的选择数量。

第三步：学习规律1.老师进一步解释分类加法计数原理的适用范围：此原理适用于以分步的方式进行计数的情况，即将复杂的问题分解为简单的子问题求解。

2.老师出示一道类似的问题：“在一家餐厅，有3种主食（米饭、面条、馒头）和4种配菜（鸡蛋、番茄、青菜、黄瓜），如果顾客选择一种主食和一种配菜，那么他有多少种选择？”3.学生尝试使用分类加法计数原理解决问题。

第四步：引入新方法1.老师向学生介绍分步乘法计数原理的概念：当一个事件可以通过若干个子事件相继发生来完成时，可以将每个子事件的数量相乘，得出总事件的数量。

2.老师以示例来说明分步乘法计数原理的应用：对于上述餐厅选择问题，我们可以将其分解为选择主食的情况和选择配菜的情况，然后将两个子问题的数量相乘，得到总的选择数量。

第五步：总结规律1.老师向学生总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的异同点：分类加法计数原理适用于将一个事件分解为互不相交的子事件进行计数，而分步乘法计数原理适用于将一个事件分解为相继发生的子事件进行计数。

分类分步处理问题教案设计

分类分步处理问题教案设计教案标题：分类分步处理问题教案设计教案目标：1. 学生能够理解分类分步处理问题的概念和重要性。

2. 学生能够运用分类分步处理的方法解决实际问题。

3. 学生能够合作与他人分享他们的解决方案。

教材和资源：1. 课本和教学资料。

2. 白板和标记笔。

3. 分组活动所需的材料。

教学步骤：引入：1. 引入问题：请学生举一个他们在生活中遇到的问题，并让他们描述他们是如何解决这个问题的。

2. 引导学生思考：学生是否在解决问题时进行了分类和分步处理？这样做有什么好处？讲解：1. 讲解分类分步处理问题的概念：解释分类分步处理是将一个大问题分解成小问题，并按照一定的顺序逐步解决每个小问题的过程。

2. 提供示例：给学生一个实际问题，并引导他们一起思考如何使用分类分步处理的方法解决这个问题。

3. 讲解分类的重要性：解释分类的作用是将问题分解成更容易处理的部分，有助于学生更好地理解问题和找到解决方案。

实践：1. 分组活动：将学生分成小组，每组给出一个实际问题。

要求学生使用分类分步处理的方法来解决问题，并记录下他们的解决步骤。

2. 分享和讨论：每个小组向全班展示他们的解决方案和解决步骤。

其他学生可以提出问题或提供改进意见。

3. 整理总结：引导学生总结分类分步处理问题的方法和技巧，并将其记录在白板上或教学资料中。

巩固：1. 练习题：提供一些练习题，要求学生使用分类分步处理的方法解决问题。

2. 个人实践：要求学生在日常生活中尝试使用分类分步处理的方法解决问题，并在下节课分享他们的经验。

评估：1. 观察学生在小组活动中的参与程度和解决问题的能力。

2. 收集学生在练习题中的答案和解决步骤，评估他们对分类分步处理方法的理解和应用能力。

拓展：1. 鼓励学生在解决问题时尝试不同的分类和分步处理方法，培养他们的创新思维和解决问题的能力。

2. 引导学生思考如何将分类分步处理的方法应用到其他学科或领域中。

教案总结：本教案通过引入、讲解、实践、巩固和评估等环节，帮助学生理解和掌握分类分步处理问题的方法。

郑：2-31.1分类计数原理与分步计数原理导学案--001

课题 1.1分类计数原理与分步计数原理课时 1学习目标①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；重点难点分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)。

分类计数原理与分步计数原理的准确理解学习流程一、知识链接：1：从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？2：一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？自主习：分类计数原理【学法指导】预习教材2页--4页完成以下内容问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？分析：给座位编号的方法可分____类方法?第一类方法用，有___ 种方法;第二类方法用，有___ 种方法;∴能编出不同的号码有__________ 种方法.问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析：从甲地到乙地的方法可分____类方法?第一类方法坐，有___ 种方法;第二类方法坐，有___ 种方法;∴从甲地到乙地共有__________ 种方法根据以上两问题共同特征，归纳新知1、分类计数原理--：完成一件事有_____类不同方案，第1类方案中有种不同的方法，第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N =种不同的方法，这一原理叫做分类加法计数原理.2、加法原理一般归纳：完成一件事情，有n类不同办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法……在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法. 3、理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是分类问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法要相互_______，各类中的各种方法也相对_______，用任何一类中的任何一种方法都可以_______完成这件事.要计算方法种数,只需将各类方法数________,因此分类计数原理又称加法原理独立考：分步计数原理【学法指导】预习教材4页--6页完成以下内容问题3：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以,,,,,2121BBAA⋅⋅⋅…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析：每一个编号都是由个部分组成，第一部分是，有____种编法，第二部分是，有种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个.问题4：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有条.分析：每一个路线都是由个部分组成，第一部分是，有____种走法，第二部分是，有种走法；要从A村经B村去C村，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个.根据以上两问题共同特征，归纳新知1、分步计数原理－乘法原理：完成一件工作需要_____个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方法，那么，完成这件工作共有_____种不同方法。

高中数学第一章计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)导学案新人教A版选修

湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）导学案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）导学案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）【学习目标】1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理;2了解分类、分步的特征，合理分类、分步；3.体会计数的基本原则:不重复,不遗漏.重点:归纳地得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理.能应用它们解决简单的实际的问题.难点：正确的理解“完成一件事情"的含义。

根据实际问题的特征,正确地区分“分类”与“分步”。

【使用说明与学法指导】1。

课前用20分钟预习课本P2-5内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。

2。

独立思考,认真限时完成，规范书写。

课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1。

分类加法计数原理（1）分类加法计数原理:如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m种方法,在第2类方案中有n种不同的方法，那么,完成这件工作共有N= 种不同的方法.（2）分类加法计数原理针对的是“分类"问题,其中各种方法相互独立．．．．．．．．．．．．．．．．．．，用其中任何一种方法都可以做完这件事．．．．．．．．．。

2.分步乘法计数原理（1）分步乘法计数原理：完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方法，那么,完成这件工作共有N= 种不同方法。

高二数学分类计数原理与分步计数原理教案

高二数学分类计数原理与分步计数原理教案教学目标:掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题.教具准备：投影胶片(两个原理).教学过程：［设置情境]先看下面的问题:２002年夏季在韩国与日本举行的第１7届世界杯足球赛共有３2个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛?要回答上述问题,就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法,粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时,一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时,经常要用到分类计数原理与分步计数原理,下面我们举一些例子来说明这两个原理.[探索研究]引导学生看下面的问题.（出示投影）从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有３种走法，乘汽车有２种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3＋2＝５种不同的走法,如图所示.一般地,有如下原理:(出示投影)分类计数原理完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有种不同的方法,…,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法．再看下面的问题．(出示投影)从甲地到乙地,要从甲地选乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班.那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法(如图）?这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中,采用乘火车或汽车中的任何一种方式,都可以从甲地到乙地；而在这个问题中,必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤,才能从甲地到乙地.这里,因为乘火车有３种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6 种不同的走法．(让学生具体列出6种不同的走法）于是得到如下原理:(出示投影)分步计数原理完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法，做第２步有种不同的方法,…,做第种不同的方法.教师提出问题：分类计数原理与分步计数原理有什么不同?学生回答后，教师出示投影:分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．(出示投影)例1 书架的第1层放有４本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书，第３层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取１本书,有多少种不同的取法？(２)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法？(解答略)教师点评:注意区别“分类”与“分步”．例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共1０个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?（解答略）例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法?（解答略）［演练反馈]１.有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本.从其中取出不是同一国文字的书2本,问有多少种不同的取法？（由一名学生板演后,教师讲评)２.集合 , .从、中各取1个元素作为点的坐标．(１）可以得到多少个不同的点?（2）这些点中，位于第一象限的有几个？(由一名学生板演后,教师讲评)３．某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯,问从１楼到5楼共有多少种不同的走法？4.某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选法？[参考答案］1.解:取出不是同一国文字的书2本,可以分为三类：中英、中日、英日，而每一类中又都可分两步来取，因此有种不同的取法．注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的,而要将“分类”“分步"结合起来运用．一般是先“分类”,然后再在每一类中“分步",综合应用分类计数原理和分步计数原理.2.解：（１)一个点的坐标有、两个元素决定,它们中有一个不同则表示不同的点．可以分为两类：中的元素为,中的元素为或中的元素为 ,中的元素为,共得到３×4+４×３=24个不同的点.(２）第一象限内的点，即、均为正数，所以只能取、中的正数,共有2×2+2×2=８个不同的点.3.解:由于1、２、３、４层每一层到上一层都有3处楼梯,根据分步计数原理4.解:由题意可知,在艺术组９人中,有且仅有一人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手＂），只会钢琴的有6人,只会小号的有2人,把会钢琴、小号各1人的选法分为两类:第一类:多面手入选,另一人只需从其他8人中任选一个,故这类选法共有８种．第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出,会小号的1人也只能从只会小号的2人中选出,放这类选法共有6×2＝12种，因此有种.故共有20种不同的选法.注意:像本题中的“多面手"可称为特殊“对象＂,本题解法中按特殊“对象”进行“两分法分类”是常用的方法.[总结提炼］分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据,而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终．要注意“类”间互相独立,“步”间互相联系.布置作业:课本P８7习题10。

《分类导学案》

《分类》导学案
一、导学目标
1. 了解分类的定义和作用；
2. 掌握分类的基本原则和方法；
3. 能够运用分类的知识解决实际问题。

二、导学内容
1. 什么是分类？
2. 分类的作用是什么？
3. 分类的基本原则和方法有哪些？
三、导学步骤
1. 导入：通过举例引入分类的观点，让学生了解分类在生活中的应用和重要性。

2. 进修：介绍分类的定义和作用，引导学生思考为什么需要分类以及分类的意义是什么。

3. 探究：分析不同事物之间的相似性和差别性，引导学生探讨分类的基本原则和方法。

4. 实践：设计一些实际问题，让学生运用分类的知识进行解答，加深对分类的理解和掌握。

四、导学要点
1. 分类是将事物按照一定的标准和规则进行划分和归类的过程。

2. 分类的作用包括简化认知、提高效率、增进思维和交流等。

3. 分类的基本原则包括同类相属、异类相异、全面性和独立性等。

4. 分类的方法包括按照属性、功能、结构、用途等方面进行分类。

五、导学延伸
1. 分类在各个领域中的应用：如生物学中的生物分类、图书馆中的图书分类、商业中的产品分类等。

2. 分类对于认知和进修的重要性：通过分类可以更好地理解和掌握知识，提高进修效率。

3. 分类在解决问题和创新中的作用：分类可以帮助我们更好地分析问题、寻找解决方案和创造新的理念。

六、导学总结
通过本节课的进修，我们了解了分类的定义和作用，掌握了分类的基本原则和方法，同时也认识到分类在生活中的重要性和广泛应用。

希望同砚们能够在平时进修和生活中灵活运用分类的知识，提高自己的认知水平宁解决问题的能力。

人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册导学案6.1分类计数原理和分步计数原理(1)

6.1分类计数原理和分步计数原理（1）一、学习目标正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．二、学习重点和难点重点：分类计数原理和分步计数原理．难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用．三、自主学习1、分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法．2、分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法．四、典型例题例题1：书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？(五)课堂练习1．一个口袋内装满5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内任取一个小球，共有种不同的取法2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有个？3．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，则该生填写志愿的方式有种数．4．从3个元素的集合到4个元素的集合的映射有个。

六、合作探究1、有91个乒乓球运动员进行冠军赛，采取每输一场即淘汰出局的淘汰制，问决出冠军1人，需要比赛多少场?（）A、88B、89C、90D、912、用1，5，9，13种任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造多少个不同的真分数七、巩固提高1、从甲地到乙地有3趟火车，从乙地到丙地有2班轮船，另外，从甲地直接到丙地有1趟飞机，则从甲地到丙地可选择的旅行方式的种类是（）A、6B、7C、8D、92、某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.(1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法?(2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法?（选题意图：本例旨在让学生理解两个基本原理.）2、求证：（a1＋a2＋…＋a m）·（b1＋b2＋…＋b n）·（c1＋c2＋…＋c k）展开式的项数是m·n·k （m，n，k∈N）．八、归纳小结1、什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？2、应用两个基本原理时需要注意什么呢？答案三、自主学习1、N=m1＋m2＋…＋m n2、N＝m1×m2×…×m n四、典型例题例题1：书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据分类计数原理，得到的取法种数是N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．答：可以组成100个三位整数．(五)课堂练习1．一个口袋内装满5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内任取一个小球，共有种不同的取法（5＋4=9）2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有个？(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数)3．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，则该生填写志愿的方式有种数．(提示：需要按三个志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)种填写方式)4．从3个元素的集合到4个元素的集合的映射有个。

分类计数原理与分步计数原理教案

分类计数原理与分步计数原理教案●教学目标（一）教学知识点1.分类计数原理.2.分步计数原理.（二）能力训练要求1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容.2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题.3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用.4.提高分析问题、解决问题的能力.（三）德育渗透目标要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力，从而认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性.●教学重点分类计数原理与分步计数原理.●教学难点正确运用分类计数原理与分步计数原理.●教学方法启发引导式在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，而且在基本原理的语言叙述上，也采用了生活化的语言，使学生易于理解.其次，要引导学生通过寻求两个原理的区别来理解原理.其一，认识到理解分类计数原理的关键是分类标准的确定，然后在确定的标准下分类，而完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.其二，分步计数原理应根据问题的特点先确定一个分步的标准，还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这n个步骤后这件事才算完成.●教学准备投影片三张第一张：问题一及图示（记作§10.1.1 A）第二张：问题二及图示（记作§10.1.1 B）第三张：本节例题（记作§10.1.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］从引言部分大家了解到，排列组合是完成某项工作的方法种数的知识，在实际生产生活中有着十分广泛的应用，而学习排列组合知识，首先要熟悉分类计数原理与分步计数原理这两个关于计数的基本原理，它们是在人们大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律.它们不仅是指导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终.下面，我们将通过实例给出两个基本原理，并结合实例进一步熟悉两个原理.Ⅱ.讲授新课［师］首先，我们来看问题一.（给出投影片§10.1.1 A）问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？图示：［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，从交通工具上可以有两类选择，即乘火车或者乘汽车，无论乘坐哪一类都可达到目的.若乘火车有3种走法，若乘汽车有2种走法.由于每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法，如图所示.［师］在上述的分析过程中，就体现了分类计数原理.（板书原理内容）分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+m2+…+m n种不同的方法.1［师］对于分类计数原理，我们应注意以下几点.（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.［师］接下来，我们再看问题二.（给出投影片§10.1.1 B）问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？［师］问题二与问题一同是研究从甲地到乙地的不同走法，但是，我们要注意找出这两个问题的不同之处.［生］在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地.而在这个问题中，必须经过先乘火车，后乘汽车两个步骤，才能从甲地到达乙地.［师］很好，下面我们就按照上述思路来完成问题二的解答.［师生共析］要完成从甲地到乙地这件事，需要分成两个步骤，即第一步乘火车，第二步乘汽车.因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，并且两步依次完成后才能达到目的，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法.［师］从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法.图示：所有走法火车1——汽车1火车1——汽车2火车2——汽车1火车2——汽车2火车3——汽车1火车3——汽车2［师］在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理.（板书原理内容）分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×m2×…×m n种不同的方法.1［师］对于分步计数原理，我们还应注意以下几点.（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；（2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；（3）分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成n个步骤后这件事才算完成.［师］下面，我们结合例题来一起体会两个基本原理的正确运用.［例1］电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？分析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑.解：分两大类：（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有：30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果，因此共有不同结果17400+11400=28800种.［师］大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步.［例2］4张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？分析：分三步确定百位、十位、个位，注意到首位不能为0，且正反两面可用.解：分三个步骤：第一步：首位可放8－1=7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数.根据分步计数原理，可以组成N=7×6×4=168个数.［师］分类计数原理和分步计数原理是排列组合的理论基础，这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.用分类计数原理的关键在于恰当分类，分类要做到“不重不漏”，应用分步计数原理的关键在于分步，要正确设计分步程序.［师］下面我们通过课堂练习来进一步熟悉基本原理的应用.Ⅲ.课堂练习练习：课本P861.解：（1）分两类：第一类：从5人中选1人，有5种选法；第二类：从4人中选1人，有4种选法；根据分类计数原理，共有不同选法：N=5+4=9种.（2）分两步：第一步：从A村去B村，有3种走法；第二步：从B村去C村，有2种走法；根据分步计数原理，共有不同走法：N=3×2=6种.2.解：（1）分三类：第一类：从高一学生中选，有3种选法；第二类：从高二学生中选，有5种选法；第三类：从高三学生中选，有4种选法.根据分类计数原理，共有：N=3+5+4=12种.（2）分三步：第一步：从高一学生中选，有3种选法；第二步：从高二学生中选，有5种选法；第三步：从高三学生中选，有4种选法.根据分步计数原理，共有：N=3×5×4=60种.3.解：分三步：第一步：从第一个括号中选，有3种选法；第二步：从第二个括号中选，有4种选法；第三步：从第三个括号中选，有5种选法；根据分步计数原理，共有：N=3×4×5=60种不同项.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家正确理解分类计数原理与分步计数原理，并能正确运用两个基本原理分析、解决生产、生活中的实际应用.Ⅴ.课后作业（一）课本习题10.11.解：分两类：第一类：选本地产品有4种选法；第二类：选外地产品有7种选法；根据分类计数原理有：N=4+7=11种选法.2.解：分两大类：第一大类：由甲地经乙地到丁地，又可分为两步：第一步：甲到乙有2种走法；第二步：由乙到丁有3种走法；由分步计数原理，第一类共有2×3=6种走法；第二大类：由甲地经丙地到丁地，又可分为两步：第一步：甲到丙有4种走法；第二步：由丙到丁有2种走法；由分步计数原理，第二类共有4×2=8种走法；再根据分类计数原理，从甲到丁共有：N=6+8=14种不同走法.3.解：构造分数分两步：第一步：分子从1，5，9，13中选取，有4种选法；第二步：从4，8，12，16中选分母，有4种选法.由分步计数原理，有不同分数N=4×4=16种.构造真分数分四类：第一类：1作分子，分母有4种选法；第二类：5作分子，分母有3种选法；第三类：9作分子，分母有2种选法；第四类：13作分子，分母有1种选法.由分类计数原理，共有N=4+3+2+1=10个不同真分数.（二）1.预习课本P例1～例3.852.预习题纲：（1）熟悉基本原理应用；（2）各例题中分类或分步的标准是什么.。

分类计数原理和分步计数原理教案.doc

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坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
__ ___ 火车
中地
三尹乙地
轮船2
（三）比较
概念:
2、这两个原理应该怎样区别和使用？（学生冋顾，教师提示、补
充）
3、应用两个原理的注意点：（1）加法原理屮的“分类”要全面，不能遗漏；但也不能重复；
“类”与“类” Z 间是并列的、互斥的、独立的。

（2）乘法原理中的“分步”程序要正确。

“步”与“步” 之间
是连续的，不间断的，缺…不可；但也不能重复、交 Xo 描述分类计数原理和分步计数原理的诗：
两大原理妙无穷，解题应用各不同；多思慎密最重要，茫茫数理此中求。

1、习题册69、70页。

2、课后拓展（选做题）：如图，一蚂蚁沿着长方体的棱，从它的
一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
（五）总结反思,
加深理解: （六）
布置作业, 分层练习：。

【新教材精创】 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)导学案- (人教A版选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理;2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.重点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用难点：准确应用两个计数原理解决问题一、分类加法计数原理完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.利用分类加法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎么才算是完成这件事.(2)完成这件事的n类办法,无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“完成这件事的办法”进行分类,要求每一种方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法不同,也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类办法,则A∩B=⌀,A∪B=I(I表示全集).二、分步乘法计数原理完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.利用分步乘法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事需要几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,无论缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐一去做,才能完成这件事,各步之间既不能重复也不能遗漏.(4)对于同一个题目,标准不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事,必须且只需连续做完几步,既不漏步也不重步;二是不同步骤的方法不能互相替代.一、问题导学计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.问题1. 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？问题2.你能说说这个问题的特征吗？你能举出一些生活中类似的例子吗？二、典例解析例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;(2)计数:求出每一类中的方法数;(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.问题3. 如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m 1种不同的方法，在第二类方案中有m 2种不同的方法，在第三类方案中有m 3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N 类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？跟踪训练1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )A ．18B ．36C ．72D ．48问题4. 用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A 1， A 1，…A 9，B 1，B 2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？问题5.你能说说这个问题的特征吗？你能举出一些生活中类似的例子吗？例2.设某班有男生30名，女生24名。

教案(分类计数原理与分步计数原理)

1.分类计数原理如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.3.分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(√)(3)在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.(√)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法.(√)(5)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(√)1.(教材改编)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有________种.答案 2解析传递方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲.2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________.答案 5解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种.答案48解析按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48种.4.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，则这样的四位数共有________个.(用数字作答)答案14解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4个四位数.“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6个四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4个四位数.综上所述，共可组成14个这样的四位数.5.(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种.答案32解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).题型一分类计数原理的应用例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人.(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解(1)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法.根据分类计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法.(2)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法.综上知，共有30＋30＋20＝80种选法.思维升华分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个.答案120解析由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个.题型二分步计数原理的应用例2(1)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种.(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.答案(1)12(2)120解析(1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6种不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有6×2×1＝12种不同的排列方法.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种.引申探究1.本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729种.2.本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216种.(1)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花________元.(2)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为________.答案(1)8 640(2)100解析(1)从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选1个号有6种选法，根据分步计数原理，得共有8×9×10×6＝4 320种，所以至少需花4 320×2＝8 640(元).(2)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法.根据分步计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100. 题型三两个计数原理的综合应用例3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论.由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法.当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有3＋2＋2＝7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种.方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色.第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步、分类计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种.方法三按所用颜色种数分类.第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法.由分类计数原理，得不同的染色方法种数为A55＋2×A45＋A35＝420.思维升华(1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键.(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成.(4)较复杂的问题可借助图表完成.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种.答案30解析由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况.如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情况.所以方法共有3×(2×2＋2×3)＝30种.13.对两个基本计数原理认识不清致误典例(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有________种.(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种.易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算.解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算.解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步计数原理可得共有43种方法，即64种.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7种.答案(1)64(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择.(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.[方法与技巧]1.分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.2.分类标准要明确，做到不重复不遗漏.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.[失误与防范]1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________.答案18解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇.对于(1)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(2种选择)，共12种；对于(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12＋6＝18.2.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有________种.答案 5解析记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212,21212121两种；有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共5种摆法.3.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为________.答案240解析分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个.故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个.4.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________.答案14解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点.5.从－2、－1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c 的系数a、b、c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为________.答案 6解析分三步：第一步c＝0只有1种方法；第二步确定a，a从－2、－1中选一个，有2种不同方法；第三步确定b，b从1、2、3中选一个，有3种不同的方法.根据分步计数原理得1×2×3＝6种不同的方法.6.2015北京世界田径锦标赛上，8名女运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种. 答案 2 880解析分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.所以安排方式有4×3×2＝24种.第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种.所以安排这8人的方式有24×120＝2 880种.7.如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相接的三角形，则三条线段一共至少需要移动________格.答案9解析如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，根据平移的基本性质知：左边的线段向右平移3格，中间的线段向下平移2格，最右边的线段先向左平移2格，再向上平移2格，此时平移的格数最少为3＋2＋2＋2＝9，其他平移方法都超过9格，∴至少需要移动9格.8.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有________种.答案9解析编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法.于是由分类计数原理，得共有3＋3＋3＝9种不同的填法.9.有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加，(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？解(1)只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17种.(2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6＋8＝14种选法，由分步计数原理知，总方法数为3×14＝42种.(3)教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种.由分步计数原理知总方法数为3×6×8＝144种.10.为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法.B 组专项能力提升(时间：30分钟)11.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种.答案 12解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2种选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6种选派方法.由分步计数原理，不同选派方案共有2×6＝12种.12.已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f (1))、B (2，f (2))、C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且 DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有________种.答案 12解析由DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，说明△ABC 是等腰三角形，且BA ＝BC ，必有f (1)＝f (3)，f (1)≠f (2).当f (1)＝f (3)＝1时，f (2)＝2、3、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝2，f (2)＝1、3、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝3，f (2)＝2、1、4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝4，f (2)＝2、3、1，有三种情况.因而满足条件的函数f (x )有12种.13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.答案(1)90(2)9×10n解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个.(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合分步计数原理，知有9×10n种填法.14.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3种，此时共有6×3＝18种；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2种；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法.15.将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同涂色方法？解方法一本题利用了分步计数原理求涂色问题.给出区域标记号A，B，C，D，E(如图)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有1种.因此应先分类后分步.①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种；②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种.故共有48＋24＝72种不同的涂色方法.方法二按用3种或用4种颜色分两类，第一类用3种，此时A与E，B与D分别同色，于是涂法种数为A34＝24；第二类用4种，此时A与E，B与D有且只有一组同色，涂法种数为2A44＝48.由分类计数原理知涂法总数为24＋48＝72种.。

【K12学习】分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案第01课时1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；2．会利用两个原理分析和解决简单的应用问题.学习过程一、学前准备阅读课本P1内容，知道：现实生活中的计数问题普遍存在的；计算问题的思路；明确本章学习的主要内容。

二、新课导学◆探究新知问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？你能说说这个问题的特征吗？问题2：用前6个大写英文字母和九个阿拉伯数字，以的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？你能说说这个问题的特征吗？◆应用示例例1．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？例2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？◆反馈练习．填空：A.12种B.19种c.32种D.60种若x∈｛1，2，3｝，y∈｛５，7，9｝，则的不同值有A.2个B.6个c.9个D.3某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有A.3种B.6种c.7种D.9课后作业．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？．一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?。

分类分步处理问题教案大班

分类分步处理问题教案大班教案标题：分类分步处理问题教案（大班）教学目标：1. 学生能够理解问题解决的基本步骤。

2. 学生能够将问题分类，并按照步骤逐一解决。

3. 学生能够运用分类分步处理问题的方法解决实际生活中的问题。

教学内容：1. 问题解决的基本步骤：明确问题、收集信息、制定解决方案、实施方案、评估结果。

2. 问题分类：将问题分为不同的类型，如数学问题、语言问题、社交问题等。

3. 分步处理问题：根据问题的类型和解决步骤，逐一解决问题。

教学准备：1. 问题解决步骤的图表或海报。

2. 不同类型问题的示例。

3. 学生个人白板或纸张。

教学过程：引入活动：1. 引入问题解决的概念，与学生讨论他们在日常生活中遇到的问题，并询问他们是如何解决这些问题的。

讲解问题解决的基本步骤：1. 展示问题解决步骤的图表或海报，解释每个步骤的含义，并与学生一起讨论。

2. 通过示例问题演示如何运用这些步骤解决问题，确保学生理解每个步骤的具体操作。

分类问题：1. 引导学生思考不同类型的问题，并列举一些示例问题。

2. 将学生分成小组，要求他们讨论并分类这些问题。

3. 鼓励学生分享他们的分类结果，并与全班一起讨论。

分步处理问题：1. 选择一个具体的问题，例如一个数学问题。

2. 与学生一起讨论如何将该问题按照步骤解决，并将解决过程写在白板或纸张上。

3. 引导学生参与解决问题的每个步骤，确保他们理解每个步骤的操作方法。

4. 让学生尝试解决其他类型的问题，并按照分类和步骤进行解决。

巩固与评估：1. 给学生分发一些问题卡片，要求他们按照分类和步骤解决这些问题。

2. 观察学生在解决问题时的表现，并提供必要的指导和帮助。

3. 鼓励学生分享他们的解决方案，并与全班一起讨论。

拓展活动：1. 给学生提供更复杂的问题，让他们运用分类分步处理问题的方法进行解决。

2. 鼓励学生在日常生活中运用所学的方法解决问题，并分享他们的经验和成果。

教学反思：1. 回顾教学过程，评估学生对问题解决步骤和分类分步处理问题的理解程度。

《分类导学案-2023-2024学年科学苏教版2001》

《分类》导学案第一课时一、导学目标1. 了解分类的概念和作用。

2. 掌握常见的分类方法和原则。

3. 能够应用分类方法解决实际问题。

二、导学内容1. 什么是分类？2. 分类的作用是什么？3. 常见的分类方法和原则。

三、导学重点1. 分类的定义和意义。

2. 了解分类的常见方法。

3. 掌握分类的原则。

四、导学步骤第一步：导入新课老师通过引导学生观察周围的事物，让学生思考有哪些事物是可以分类的，如书籍、水果、动物等。

第二步：引入新知识1. 带领学生讨论分类的概念，并进行简单解释。

2. 讲解分类的作用，如有助于整理和归纳知识，方便查找和使用。

第三步：介绍分类方法和原则1. 按照性质分组：根据事物的共同特点将其分为几类，如动植物的分类。

2. 按照用途分类：根据事物的不同用途将其分为几类，如电子产品的分类。

3. 按照区域分布分类：根据事物在不同地区的分布情况将其分类，如气候带的分类。

第四步：习题训练1. 给学生几个实际问题，要求他们按照所学分类方法解决，如对一堆水果进行分类。

2. 让学生自行找到现实生活中的例子，进行分类讨论。

第五步：总结归纳1. 让学生总结本节课所学内容，并进行归纳。

2. 引导学生思考分类在生活中的重要性。

五、课后作业1. 完成课堂练习题。

2. 针对实际情况，找到更多的分类方法和实例，并进行分类。

六、拓展延伸1. 了解更多的分类方法和原则。

2. 研究一些复杂的分类问题，并尝试解决。

七、导学反思本节课主要讲解了分类的概念、作用和常见方法，希望学生通过学习能够增强逻辑思维能力，提高整理和归纳知识的能力。

未来的学习中，学生需要不断运用分类方法解决各种问题，提高解决问题的效率和准确率。

第二课时导学目的：帮助学生理解和掌握分类的基本概念，培养学生分类思维和观察分析能力。

一、概念导入1. 请学生观察周围的物体，让他们说出几个不同种类的物体。

2. 引导学生思考，在日常生活中为什么要对物体进行分类。

3. 介绍分类的定义：将具有相同特征或属性的事物归为一类的过程。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案02

【学习目标】1．在简单的实际问题中体会两个原理的使用.【重点难点】重点：能根据具体问题的特征选择两个原理解决一些简单的实际问题.难点：具体问题的特征的分析.模块一: 自主学习，明确目标一.知识链接分类加法计数原理与分步乘法计数原理的特征二.阅读教材：第6页例5---第7页,例7,这三个例题如何使用两个原理的？2．练习：教材第10页1－4模块二：问题探究1.在具体的问题中，分析所要“完成的事”是“分类”问题还是“分步”问题；“分类”要做到“不重不漏”，“分步”要做到“步骤完整”,为什么要“不重不漏”，“步骤完整”？例用两个计数原理解释下列问题：（1）两位数共有多少个？(2) 在所有的两位数中，各位数字比十位数字大的两位数有多少个？变式训练（1）5名同学报名参加4项体育比赛，每人限报一项，报名方法有多少种？若这5名同学都参加了这4项比赛，则4项冠军的可能性有多少种？（2）从1到200的自然数中，有多少个不含数字5的数？（实验班）(3)十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有（）种种种种(4)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )种种种种模块三：巩固训练，整理提高一．通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3．反思二．巩固训练题1．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（）A． B.2．某城市的电话号码，由七位升为八位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（）×8×7×6×5×4×3×2 ×97×107 ×106（实验班）4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲,乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4.位同学不同得分情况的种数是（）A．48B．36C．24D．18。

北师大版高中数学导学案分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理【学习目标】1．正确理解分类计数原理与分步计数原理．2．明确分类计数原理与分步计数原理的区别与联系．3．能运用这两个原理解决一些实际问题．【课前温习】温故——会做了，学习新课才会有保障1．小明去公园游玩，湖中有电动船7条，脚踏船5条，手摇船6条，那么小明有_______种搭船的方式．2．从A村去B村需翻过一座山，上山有两条路，下山有3条路，则从A村去B村共有几种不同的走法？答案：＋5＋6＝18×3＝6知新——先看书，再来做一做1．分类计数原理：做一件事，完成它共有_______办法，在第一_______办法中有m1种不同的方式，在第二_______办法中有m2种不同的方式，……在第n_______办法中有m n种不同的方式．那么完成这件事共有N＝_______种不同的方式．2．分步计数原理：做一件事，完成它需分n个_______，做第一_______有m1种不同的方式，做第二_______有m2种不同的方式，……做第n_______有m n种不同的方式．那么完成它共有N＝_______种不同的方式．【问题全解】1．如何进一步理解两个大体原理？先看下面的问题：［例1］一个盒内装有4个不同的彩球，另一个盒内装有3个不同的彩球，所有小球颜色互不相同．（1）从两个盒内任取一个彩球，有多少种不同的取法？（2）从两个盒内各取一个彩球，有多少种不同的取法？2．何时“分步”，何时“分类”？请看下面的问题：［例2］由0，1，2，3能够组成多少个数（数字能够重复，最多只能是四位数）？【学习方式指导】按照题意，想清此题是要完成一件什么情形，这是“分步”“分类”之前必需做好的工作．［例1］王平的书架上有5本不同的语文书，4本不同的数学书和3本不同的英语书．（1）王平若是从书架上取一本书，有多少种不同的取法？（2）王平若是从书架上的三种书中各取一本书，有多少种不同的取法？［例2］将数字1，2，3，4填入标有1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则方格标号与所填的数字不相同的填法有_______种．对于“涂色”类问题可按题中给定的顺序分步（其中可能夹杂分类）进行，固然也能够自己制定顺序．［例3］有n种不同颜色为下列两块广告牌着色，要求在①、②、③、④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色：（1）若n＝6，则为甲着色时共有多少种不同方式？（2）若为乙着色时共有120种不同方式，求n．【同步达纲训练】一、选择题1．集合A＝{0，2，3，5，7}，B＝{x|x＝ab，a、b∈A，a≠b}，则集合B的子集个数为（）A．15 B．16 C．127 D．1282．1800的正约数个数为（）A．7 B．12 C．36 D．33．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时刻内能够通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息能够分开沿不同的线路同时传递，则单位时刻内传递的最大信息量是（）A ．26B ．24C ．20D ．194．集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e ，f ，g }，从集合A 到集合B 的不同映射个数是（）A ．24B ．81C ．6D ．64 二、填空题5．（1）若a ∈{1，2，3，5}，b ∈{1，2，3，5}，则方程y ＝ba x 表示的不同的直线条数为_______．（2）已知a ∈{3，4，5}，b ∈{0，2，7，8}，r ∈{1，8，9}，则方程（x －a ）2＋（y－b ）2＝r 2能够表示_______个不同的圆．6．设a 、b 为异面直线，a 上有5点，b 上有6点，则过a 、b 上的点可肯定的不同的平面的个数为_______．7．乘积（a 1＋a 2＋a 3）（b 1＋b 2＋b 3＋b 4）（c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5）展开后共有_______项．三、解答题8．设集合m ＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P （a ，b ）是坐标平面上的点，a 、b ∈M ，P 能够表示（1）多少个平面上不同的点？（2）多少个第二象限内的点？（3）多少个不在直线y ＝x 上的点？。