Euler图和Hamilton图
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欧拉图与哈密顿图
哈密顿回路。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.21
图G称为可2-着色（2-chromatic），
如果可用两种颜色给G的所有顶点着色， 使每个顶点着一种颜色，而同一边的两端点 必须着不同颜色。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.16
设图G是可2-着色的。如果G是哈密顿 图，那么着两种颜色的顶点数目相等；如 果G有哈密顿通路，那么着两种颜色的顶点 数目之差至多为一。
✓定理8.14
设图G为具有n个顶点的简单无向图，如果G的 每一对顶点的度数之和都不小于n – 1 ，那么G中有 一条哈密顿通路；如果G的每一对顶点的度数之和 不小于n，且n≥3，那么G为一哈密顿图。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.15
当n为不小于3的奇数时，
Kn上恰有 n 1 条互相均无任何公共边的 2
离散数学导论
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
➢ 定义8.19
图G称为欧拉图（Euler graph），
如果图G上有一条经过G的所有顶点、所有
边的闭路径。图G称为欧拉路径（Euler
walk），如果图G上有一条经过G 所有顶点、所有边的路径。
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
✓ 定理8.11
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.20
无向图G称为哈密顿图（Hamilton graph），
如果G上有一条经过所有顶点的回路
（也称这一回路为哈密顿回路）。称无向图有哈密顿 通路(非哈密顿图)，如果G上有一条经过所有顶点的
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.21
图G称为可2-着色（2-chromatic），
如果可用两种颜色给G的所有顶点着色， 使每个顶点着一种颜色，而同一边的两端点 必须着不同颜色。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.16
设图G是可2-着色的。如果G是哈密顿 图，那么着两种颜色的顶点数目相等；如 果G有哈密顿通路，那么着两种颜色的顶点 数目之差至多为一。
✓定理8.14
设图G为具有n个顶点的简单无向图，如果G的 每一对顶点的度数之和都不小于n – 1 ，那么G中有 一条哈密顿通路；如果G的每一对顶点的度数之和 不小于n，且n≥3，那么G为一哈密顿图。
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欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.15
当n为不小于3的奇数时，
Kn上恰有 n 1 条互相均无任何公共边的 2
离散数学导论
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欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
➢ 定义8.19
图G称为欧拉图（Euler graph），
如果图G上有一条经过G的所有顶点、所有
边的闭路径。图G称为欧拉路径（Euler
walk），如果图G上有一条经过G 所有顶点、所有边的路径。
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欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
✓ 定理8.11
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欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.20
无向图G称为哈密顿图（Hamilton graph），
如果G上有一条经过所有顶点的回路
（也称这一回路为哈密顿回路）。称无向图有哈密顿 通路(非哈密顿图)，如果G上有一条经过所有顶点的
7-4欧拉图与汉密尔顿图
证明（略）。
定理4. 5 设G是具有n个结点的简单图，如果G中每一对结点度数之和大 于等于n，则在G中存在一条汉密尔顿回路。 证明（略）。
（3）充要条件
定义4. 4 设给定图G=<V，E>有n个结点，若将图G中度数之和至少是n的 非邻接结点连接起来得图G’，对图G’重复上述步骤，直到不再有这样的结 点对存在为止，所得到的图，称为原图G的闭包，记作C(G)。 定理4. 6 当且仅当一个简单图的闭包是汉密尔顿图时，这个简单图是汉密尔顿图。 证明:略。
证明: 设C是G的一条汉密尔顿回路，则对于V的任何一个非空子集S在C中 删去S中任一结点a1，则C－a1是连通的非回路，若再删去S中另一结点a2， 则W(C- a1- a2)≤ 2，由归纳法可得： W(C-S)≤ |S| 同时C-S是G-S的一个生成子图（包含G的每个结点的子图），因而 W(G-S)≤ W（C-S） 所以 W(G-S)≤ |S|。 证毕。
证明：
推论 无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并 且所有结点度数全为偶数。
定理4. 1 证明
必要性 设G具有欧拉路，即有点边序列v0e1v1e2…eiviei+1…ekvk，其中
结点可能重复出现，但边不重复，因为欧拉路经过图G的所有结点， 故图G必是连通的。 对任意一个不是端点的结点vi，在欧拉路中每当vi出现一次，必 关联两边，故vi虽可重复出现，但deg(vi)必是偶数。对于端点，若 v0=vk，则d(v0)为偶数，即G中无奇数度结点；若端点v0与vk不同， 则d(v0)为奇数，d(vk)为奇数，G中就有两个奇数结点。 充分性 若图G连通,有零个或两个奇数结点,我们构造一条欧拉路如下：
二、汉密尔顿图
1、正十二面体问题 2、汉密尔顿图的定义 3、汉密尔顿图的判别条件
图论讲义第4章-欧拉图与hamilton图
[1] E. Lucas，Récréations Mathématiques IV, Paris, 1921.
Fleury 算法的步骤如下：
输入：欧拉图 G 输出：G 的欧拉闭迹。
step1. 任取 v0 ∈V (G) ，令 w0 := v0 ， i := 0 。 step2. 设迹 wi = v0e1v1 eivi 已取定。从 E \ {e1, e2 , , ei }中选取一条边 ei+1 ，使得 （1） ei+1 和 vi 相关联； （2） ei+1 不选 Gi = G \ {e1, e2 , , ei }的割边，除非没有别的选择。
个顶点都是偶度顶点。从而 G +e 有 Euler 闭迹。故 G 有 Euler 迹。证毕。
一个图 G 如果有一条欧拉迹或欧拉闭迹，则我们可以沿着欧拉迹或欧拉闭迹连续而不 重复地把 G 的边画完。因此存在欧拉迹或欧拉闭迹的图通常称为可一笔画的图，或者说它 可一笔画成。如果图 G 可分解为两条迹或闭迹的并，则 G 的边可用两笔不重复地画完。同 样地，如果图 G 可分解为 k 条迹或闭迹的并，则 G 可 k 笔画成。
获得 2k 个同类 u−v 迹。这种分类构成一个等价关系，因此形成了对有重复点的 u−v 迹集合
的划分。划分出的每一个等价类有偶数个条 u−v 路。这说明有重复点的 u−v 迹总共有偶数条。
有以上两方面知， G′ = G − e 中共有奇数条顶点不重复的 u−v 迹（即 u−v 路），因此，
G 中共有奇数个含有边 e 的圈。
step3. 当 step2 不能再执行时，停止。
定理 4.1.3 若 G 是 Euler 图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的 Euler 闭迹。
Fleury 算法的步骤如下：
输入：欧拉图 G 输出：G 的欧拉闭迹。
step1. 任取 v0 ∈V (G) ，令 w0 := v0 ， i := 0 。 step2. 设迹 wi = v0e1v1 eivi 已取定。从 E \ {e1, e2 , , ei }中选取一条边 ei+1 ，使得 （1） ei+1 和 vi 相关联； （2） ei+1 不选 Gi = G \ {e1, e2 , , ei }的割边，除非没有别的选择。
个顶点都是偶度顶点。从而 G +e 有 Euler 闭迹。故 G 有 Euler 迹。证毕。
一个图 G 如果有一条欧拉迹或欧拉闭迹，则我们可以沿着欧拉迹或欧拉闭迹连续而不 重复地把 G 的边画完。因此存在欧拉迹或欧拉闭迹的图通常称为可一笔画的图，或者说它 可一笔画成。如果图 G 可分解为两条迹或闭迹的并，则 G 的边可用两笔不重复地画完。同 样地，如果图 G 可分解为 k 条迹或闭迹的并，则 G 可 k 笔画成。
获得 2k 个同类 u−v 迹。这种分类构成一个等价关系，因此形成了对有重复点的 u−v 迹集合
的划分。划分出的每一个等价类有偶数个条 u−v 路。这说明有重复点的 u−v 迹总共有偶数条。
有以上两方面知， G′ = G − e 中共有奇数条顶点不重复的 u−v 迹（即 u−v 路），因此，
G 中共有奇数个含有边 e 的圈。
step3. 当 step2 不能再执行时，停止。
定理 4.1.3 若 G 是 Euler 图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的 Euler 闭迹。
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
欧拉图与哈密顿图
Fleury算法示例
例15.2
下图是给定的欧拉图G。某人用Fleury算法求G中的欧拉回路时 ，走了简单回路v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的 错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误? 解答 此人行遍v8时犯了能不走桥就不走桥 的错误，因而他没行遍出欧拉回路。 当他走到v8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8} 为下图所示。 此时e9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥， 他不应该走e9，而应该走e7或e11，他没 有走，所以犯了错误。注意，此人在行 遍中，在v3遇到过桥e3，v1处遇到过桥 e8，但当时除桥外他无别的边可走，所 以当时均走了桥，这是不会犯错误的。
≤ p(G -V1)+1 ≤ |V1|+1
例15.3
例15.3 在下图中给出的三个图都是二部图。它们中的哪些是 哈密顿图？哪些是半哈密顿图？为什么？ 易知互补顶点子集 V1＝{a,f} V2＝{b,c,d,e} 设此二部图为G1，则G1＝<V1,V2,E>。 p(G1-V1)＝4>|V1|＝2， 由定理15.6及其推论可知，G1不是哈 密顿图，也不是半哈密顿图。
因为Г只有两个端点且不同，因而G中只有两个奇数顶点。
另外，G的连通性是显然的。
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的，且G中恰有两 个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0，
对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一条欧拉通路，
哈密顿回路是生成的初级回路。
欧拉图和哈密而顿图
17
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
证明： 证明： 是图的一条哈密尔顿回路， 设 C是图的一条哈密尔顿回路， 则对于 的任一 是图的一条哈密尔顿回路 则对于V的任一 非空真子集S可知 可知： 非空真子集 可知： w(C-S) ≤|S| w(C-S)表示 删去 顶点集后得到的图的连通分 表示C删去 表示 删去S顶点集后得到的图的连通分 图的个数。由于G是由 和一些不在C中的边构 是由C和一些不在 图的个数。由于 是由 和一些不在 中的边构 成的， 的生成子图， 成的，C-S是G-S的生成子图，所以 是 的生成子图 w(G-S) ≤ w(C-S) ≤|S|
11
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当 是连通 是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通 定理 是非平凡的欧拉图当且仅当 的且为若干个边不重的圈的并。 的且为若干个边不重的圈的并。
12
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
Fleury算法： 算法： 算法 1) 任取 0∈V(G)，令P0=v0; 任取v ， 2) 设 Pi=v0e1v1e2…eivi 已经行遍 ， 按下面方法 来从E(G)-{e1,e2…ei}中选取 i+1： 中选取e 来从 中选取
4
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图 现从G’中取二个顶点 中取二个顶点v 现从 中取二个顶点 i和vj，且vi和vj没有直接联 之间加一根联线变为图G， 现在v 线，现在 i和vj之间加一根联线变为图 ，则变 为奇数点，则从v 一定存在一条欧拉通路 通路。 为奇数点，则从 i到vj一定存在一条欧拉通路。
欧拉图和哈密尔顿图
欧拉回路是指不重复地走过所有路 径的回路，而哈密尔顿环是指不重复地
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。具 有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次且仅 一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈密尔 顿图。
f：说法语、日语和俄语；
g：说法语和德语.
c f
g
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边
(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为
G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以
G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
解二
c
英
意
e
a
例
半哈密尔顿图
哈密尔顿图 哈密尔顿图
N
周游世界的游戏——的解
哈密顿图
哈密顿图
无哈密顿 通路
哈密顿图
存在哈密 顿通路
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;
实例
已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息
a：说英语；
b：说英语或西班牙语；
c；说英语，意大利语和俄语；
a：说英语； b：说英语或西班牙语；
英
德
c；说英语，意大利 语和俄语；
b
g
d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
西
d
日
法
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与
他身边的人交谈？
解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。具 有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次且仅 一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈密尔 顿图。
f：说法语、日语和俄语；
g：说法语和德语.
c f
g
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边
(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为
G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以
G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
解二
c
英
意
e
a
例
半哈密尔顿图
哈密尔顿图 哈密尔顿图
N
周游世界的游戏——的解
哈密顿图
哈密顿图
无哈密顿 通路
哈密顿图
存在哈密 顿通路
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;
实例
已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息
a：说英语；
b：说英语或西班牙语；
c；说英语，意大利语和俄语；
a：说英语； b：说英语或西班牙语；
英
德
c；说英语，意大利 语和俄语；
b
g
d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
西
d
日
法
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与
他身边的人交谈？
解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造
欧拉图与哈密顿_OK
转化为图论问题：以城市为结点，两城市之间 的路为边，路程长度为边上的权，则问题转化为 在带权无向图G=<V,E,W>中找一个权和最小的 哈密尔顿回路。
37
例15.7 下图为4阶完全带权图，求出它的不同的哈密顿 回路，并指出最短的哈密顿回路。
解：求哈密顿回路可以从任何顶点出发。下面从a点出发， 并考虑顺时针与逆时针顺序不同的哈密顿回路。
解：将这8个人看为平面上的8个点，设为v1,v2,v3,v4,v5, v6,v7,v8。
如果vi和vj有共同语言，就在vi和vj之间连无向边（vi,v j）。
这样得到一个8阶无向简单图G。 viV，d(vi)为与vi有共同语言的人数。 由已知条件可知，vi,vjV且ij，均有d(vi)+d(vj)8。 由定理15.7的推论可知，G中存在哈密顿回路， 的设顺C序=v安i1v排i2座…次vi7即vi8可为。G中一条哈密顿回路，按这条回路
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
6
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
7
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
定理15.3 （有向欧拉图的判定）有向图D是欧拉图当且 仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。
定理15.4（有向半欧拉图的判定）有向图D是半欧拉图 当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点， 其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1， 而其余顶点的入度都等于出度。
这样可以得到另一可行方案：
这一方案中，重复边的权和为15，并且图中每个圈的 重复边的权和不大于该圈权和的一半。
35
课后练习：求下图所示的中国邮递员问题。
37
例15.7 下图为4阶完全带权图，求出它的不同的哈密顿 回路，并指出最短的哈密顿回路。
解：求哈密顿回路可以从任何顶点出发。下面从a点出发， 并考虑顺时针与逆时针顺序不同的哈密顿回路。
解：将这8个人看为平面上的8个点，设为v1,v2,v3,v4,v5, v6,v7,v8。
如果vi和vj有共同语言，就在vi和vj之间连无向边（vi,v j）。
这样得到一个8阶无向简单图G。 viV，d(vi)为与vi有共同语言的人数。 由已知条件可知，vi,vjV且ij，均有d(vi)+d(vj)8。 由定理15.7的推论可知，G中存在哈密顿回路， 的设顺C序=v安i1v排i2座…次vi7即vi8可为。G中一条哈密顿回路，按这条回路
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
6
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
7
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
定理15.3 （有向欧拉图的判定）有向图D是欧拉图当且 仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。
定理15.4（有向半欧拉图的判定）有向图D是半欧拉图 当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点， 其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1， 而其余顶点的入度都等于出度。
这样可以得到另一可行方案：
这一方案中，重复边的权和为15，并且图中每个圈的 重复边的权和不大于该圈权和的一半。
35
课后练习：求下图所示的中国邮递员问题。
第三章 哈密顿图
其中, k(G-V1)为从G中删除V1(删除V1中各顶点及
在拓扑学中人们感兴趣的只是图形的位置而不是它的
大小。有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学是很恰当的。
因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、 面积等等都将发生变化。不过，在橡皮膜几何里也有一些
图形的性质保持不变。例如点变化后仍然是点；线变化后
依旧为线；相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不 相交!拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不
欢迎 同学们！
邢台学院数学系
第三章 欧拉图和哈密顿图
欧拉（L.Euler,1707.4.151783.9.18）著名的数学家。 生于瑞士的巴塞尔，卒于彼 得堡。大部分时间在俄国和 德国度过。他早年在数学天
才贝努里赏识下开始学习数
学, 17岁获得硕士学位，毕 业后研究数学,是数学史上最 高产的作家。在世发表论文 700多篇,去世后还留下100多
E G F D I
H
J
K
A
B
C
例(蚂蚁比赛问题) 甲A
甲、乙两只蚂蚁分别位
于如下图中的结点A，B
处，并设图中的边长度
乙B
C 是相等的。甲、乙进行
比赛：从它们所在的结 点出发，走过图中的所 有边最后到达结点C处。 如果它们的速度相同，
问谁先到达目的地？
例4 下图是某展览厅的平面图，它由五个展室 组成，任两展室之间都有门相通，整个展览 厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一 次不重复地穿过所有的门，并且从入口进， 从出口出？
变性质的几何学
请大家思考：“串”、“田”两字， 在橡皮膜上可变为什么图形
拓扑学是在19世纪末兴起并在20世纪蓬
勃发展的数学分支，与近世代数、近代分析共
离散数学--第十五章 欧拉图和哈密顿图
13
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
04
欧拉图与哈密顿图的应用 场景
欧拉图的应用场景
路径规划
欧拉图可以用于表示从一 个点到另一个点的路径， 常用于物流、交通和旅行 等领域。
网络流问题
欧拉图可以用于解决最大 流和最小割等问题，在网 络优化、资源分配和计划 制定等方面有广泛应用。
组合优化
欧拉图可以用于表示组合 优化问题，如旅行商问题、 排班问题等，是求解这些 问题的常用工具。
一个图存在哈密顿回路当且仅当其所有顶点的度都大于等于2 。
哈密顿图的性质
哈密顿图中的所有顶点的度都 大于等于2。
一个图存在哈密顿回路当且仅 当其所有顶点的度都大于等于2。回 路。
哈密顿图的构造方法
添加边法
在所有顶点的度都大于等于2的图 中，不断添加边，直到所有顶点的 度都大于等于2，最后得到的图就 是哈密顿图。
哈密顿图的应用场景
社交网络分析
哈密顿图可以用于表示社交网络 中的路径，分析人际关系和信息
传播路径。
生物信息学
哈密顿图可以用于表示基因组、蛋 白质组等生物信息数据，进行基因 序列比对、蛋白质相互作用分析等。
推荐系统
哈密顿图可以用于表示用户和物品 之间的关系，进行个性化推荐和智 能推荐。
欧拉图与哈密顿图在计算机科学中的应用
欧拉图的构造方法
欧拉图的构造方法1
总结词
通过添加一条边将所有顶点连接起来， 从而形成一个欧拉图。
详细描述了两种构造欧拉图的方法， 为实际应用中构造欧拉图提供了思路。
欧拉图的构造方法2
通过将两个欧拉图合并，并连接它们 的所有顶点，从而形成一个新的欧拉 图。
02
哈密顿图
哈密顿图的定义
哈密顿图（Hamiltonian Graph）是指一个图存在一个遍历其 所有边且每条边只遍历一次的路径，这个路径称为哈密顿路径， 如果该路径的起点和终点是同一点，则称这个路径为哈密顿回 路。
《离散数学》 第八章 欧拉图与哈密尔顿图
1 10 1
8.1 欧拉图
8.1.4 欧拉图的应用
欧拉图的应用，计算机旋转鼓轮的设计原理。
现在构造一个有向图G，G有8个顶点，每个顶点分别表示 000～111的一个二进制数。设α i∈{0，1}，从顶点α 1α 2α 3 引出两条有向边，其终点分别为α 2α 30和α 2α 31，这两条边 分别为α 1α 2α 30以及α 1α 2α 31，按照此种方法，对于八个 顶点的有向图共有16条边，在这个图的任意一条通路中，其 邻接的边必是α iα jα kα t和α jα kα tα s的形式，即前一条有 向边的后3位与后一条有向边的前3位相同。因为图中的16条 边被记成不同的4位二进制信息，即对应于图中的一条欧拉 回路。
推论 无向连通图中顶点与间存在欧拉通路，当且仅当中 与的度数为奇数，而其他顶点的度数为偶数。
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
b
a
d
c
图8.1-2
v1
v2
v1
v3
v4
v5
v6
v2
(a)
图8.1-3
v4
v3 (b)
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
定理8.1.3 有向图是欧拉图，当且仅当是强连通的，且 中每个顶点的入度都等于出度。
8.2 哈密尔顿图
8.2.1 哈密尔顿图
在图8.2-2中，（a）、（b）中存在哈密尔顿回路，是哈密 尔顿图，（c）中存在哈密尔顿通路，但不存在哈密尔顿回 路，是半哈密尔顿图，（d）中既无哈密尔顿回路，也无哈 密尔顿通路，不是哈密尔顿图。
（ a）
（ b）
（ c）
（ d）
8.2 哈密尔顿图
8.2.2 哈密尔顿图的判定
图论及其应用—典型图
定理4.3.1：若G是Hamilton图，则对V(G)的每 一个非空真子集S，均有w（G\S）≤|S|(必要条 件)
4.3Hamilton图
定理4.3.2：设G是p(G)≥3的图，如果G中任意 两个不相邻的顶点u和v，均有 dG(u)+dG(v)≥p(G)， 则G是若G是Hamilton图。
推论4.3.3：若G是具有p(≥3)个顶点的简单图， 且每个顶点的度至少是p/2,则G是Hamilton图 。
定理5.2.5：对k≥1,2k-正则图G有2-因子。 注：若H是G的k-正则生成子图，则称H是G的 k-因子。
5.3二分图最大对集算法
匈牙利算法。
k
w(C)定 义 为 w(ei)。 i 1
w(C)包 含 两 部 分 权 和 ，
一 部 分 是 w(C),即 每 条 边 的 和 ； eE (G)
另 外 一 部 分 是 重 复 走 的街 道E E(G),即 w(e)。 eE
因 此 ， 对 于G的 人 一 个 环 游C, w(C) w(C), eE (G )
图论及其应用—典型图
4.1Euler环游 4.2中国邮路问题 4.3Hamilton图 4.4旅行售货员问题 5.1对集 5.2二分图的对集 5.3二分图最大对集算法
4.1Euler环游
定义4.1.1：经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如
果这条迹是闭的，则称这条迹为G的Euler环游。 一般情况下，我们把不是Euler环游的迹称为G的Euler 通路，而把含有Euler环游的图称为Euler图。
推论4.3.9：设图G的度序列为（d1,d2,…,dp） ,d1≤d2≤…≤dp,p≥3。若对任何k，1≤k<(p-1)/2 ，均有dk>k，若p为奇数，更有d(p+1)/2>(p-1)/2, 则G是Hamilton图。
4.3Hamilton图
定理4.3.2：设G是p(G)≥3的图，如果G中任意 两个不相邻的顶点u和v，均有 dG(u)+dG(v)≥p(G)， 则G是若G是Hamilton图。
推论4.3.3：若G是具有p(≥3)个顶点的简单图， 且每个顶点的度至少是p/2,则G是Hamilton图 。
定理5.2.5：对k≥1,2k-正则图G有2-因子。 注：若H是G的k-正则生成子图，则称H是G的 k-因子。
5.3二分图最大对集算法
匈牙利算法。
k
w(C)定 义 为 w(ei)。 i 1
w(C)包 含 两 部 分 权 和 ，
一 部 分 是 w(C),即 每 条 边 的 和 ； eE (G)
另 外 一 部 分 是 重 复 走 的街 道E E(G),即 w(e)。 eE
因 此 ， 对 于G的 人 一 个 环 游C, w(C) w(C), eE (G )
图论及其应用—典型图
4.1Euler环游 4.2中国邮路问题 4.3Hamilton图 4.4旅行售货员问题 5.1对集 5.2二分图的对集 5.3二分图最大对集算法
4.1Euler环游
定义4.1.1：经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如
果这条迹是闭的，则称这条迹为G的Euler环游。 一般情况下，我们把不是Euler环游的迹称为G的Euler 通路，而把含有Euler环游的图称为Euler图。
推论4.3.9：设图G的度序列为（d1,d2,…,dp） ,d1≤d2≤…≤dp,p≥3。若对任何k，1≤k<(p-1)/2 ，均有dk>k，若p为奇数，更有d(p+1)/2>(p-1)/2, 则G是Hamilton图。
欧拉图和汉密尔顿图
生物信息学
在生物信息学中，欧拉图 和汉密尔顿图可以用于表 示和分析基因组、蛋白质 组等生物分子网络。
社会学
在社会学中，欧拉图和汉 密尔顿图可以用于表示和 分析社会关系、社交网络 等方面的问题。
05
总结与展望
对欧拉图和汉密尔顿图的总结
01
欧拉图和汉密尔顿图是 图论中的重要概念，分 别由数学家欧拉和汉密 尔顿提出。
人工智能
汉密尔顿图在人工智能领域也有应用，例如在知识表示和推理中，可以利用汉密尔顿路径 来表示和推理复杂的逻辑关系。
机器学习
汉密尔顿图还可以应用于机器学习中，特别是在图神经网络（GNN）中，可以利用汉密尔顿 路径进行节点间的信息传递和传播。
欧拉图与汉密尔顿图在其他领域的应用
01
02
03
交通运输
欧拉图和汉密尔顿图在交 通运输领域有广泛应用， 例如在路线规划、物流配 送和交通控制等方面。
汉密尔顿图是指一个图中存在一条遍历其所有顶点的路径，且每条边只遍 历一次。
当一个汉密尔顿图的起点和终点是同一点时，该路径就成为欧拉路径，此 时汉密尔顿图也就是欧拉图。
欧拉图与汉密尔顿图的判定问题
欧拉图的判定问题
给定一个图，判断是否存在一条遍历 其所有边且每条边只遍历一次的路径。
汉密尔顿图的判定问题
02
欧拉图是指存在一条或 多条路径能够遍历图的 所有边且每条边只遍历 一次的图。
03
汉密尔顿图是指存在一 条路径能够遍历图的所 有顶点且每条边只遍历 一次的图。
04
欧拉图和汉密尔顿图在 计算机科学、运筹学、 电子工程等领域有广泛 的应用。
对欧拉图和汉密尔顿图未来的研究方向
寻找更高效的算法来判断一个图是否为欧拉图或汉密尔 顿图，以及寻找更多的应用场景。
离散数学15 欧拉图与哈密顿图
穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
第13节欧拉图与哈密顿图
18/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
若顶点vir-1,(r=2,3,...,k)与顶点vp相邻， 则G 有哈密顿圈v1v2...vi(r-1)vpvp-1...virv1.
因此vp至少与v1,v2,...,vp-1中的k个顶点不相邻. vp的度数为h，于是h≤p-1-k，从而k+h≤p-1， 因此k与h中至少有一个小于p/2，G 中有一个顶 点的度小于p/2.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如 此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两 两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个 圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个 圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 6/25 共顶点的圈构成.
19/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之二
定理3 设G是有p(p≥3)个顶点的图，如果 对G的任意一对不相邻的顶点u和v，均有 degu+degv≥p， 则G是一个哈密顿图. 只需证明p(p≥3)个顶点的每个非哈密顿图中至少 有两个不相邻的顶点u和v，有degu+degv≤p-1即可. 刚才的证明中的v1，vp就满足这个性质.
22/25
集合与图论
实 例
例4：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7 人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在 同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？ 解 做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}， E={{u,v} | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为无向图且vV, deg(v)4，于是，u,vV, 有 deg(u)+deg(v) 8，可知G为哈密顿图. 服务员在G中 找一条哈密顿圈C，按C中相邻关系安排座位即可.
集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
若顶点vir-1,(r=2,3,...,k)与顶点vp相邻， 则G 有哈密顿圈v1v2...vi(r-1)vpvp-1...virv1.
因此vp至少与v1,v2,...,vp-1中的k个顶点不相邻. vp的度数为h，于是h≤p-1-k，从而k+h≤p-1， 因此k与h中至少有一个小于p/2，G 中有一个顶 点的度小于p/2.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如 此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两 两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个 圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个 圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 6/25 共顶点的圈构成.
19/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之二
定理3 设G是有p(p≥3)个顶点的图，如果 对G的任意一对不相邻的顶点u和v，均有 degu+degv≥p， 则G是一个哈密顿图. 只需证明p(p≥3)个顶点的每个非哈密顿图中至少 有两个不相邻的顶点u和v，有degu+degv≤p-1即可. 刚才的证明中的v1，vp就满足这个性质.
22/25
集合与图论
实 例
例4：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7 人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在 同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？ 解 做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}， E={{u,v} | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为无向图且vV, deg(v)4，于是，u,vV, 有 deg(u)+deg(v) 8，可知G为哈密顿图. 服务员在G中 找一条哈密顿圈C，按C中相邻关系安排座位即可.
数学建模——Euler图和Hamilton图
第四讲 Euler图和Hamilton图
1. Euler图和中国邮递员问题 2. Fleury算法
3. Hamilton图和旅行售货商问题 回
4. 改良圈算法
停 下
一、Euler图和中国邮递员问题
1973年瑞典数学家欧拉解决的柯尼斯堡问题， 实质就是在图中寻找一条经过每条边一次且仅一 次的闭迹，推广这个问题进行Euler图的研究。 经过图的每条边至少一次的闭迹称为图的环 游；经过每条边仅一次的环游称为图的Euler环 游。包含Euler环游的图称为Euler图。
【算法的Matlab程序】见word文档
例：给定四个点 (0,0),(100,1000),(0,2),(1000,0),用改良圈算 法计算经过这四个点的Hamilton圈。
V=[ 0 0 ;100 1000; 0 2; 1000 0]
For i=1：4
for j=1:4
W(i,j)=sqrt((V(i,1)-V(j,1))^2+(V(i,2)-V(j,2))^2);
{e1,e2,….ei}的桥
3. 直到步骤2不能进行为止。
二、【Fleury算法：见word文档】
三、Hamilton圈和旅行售货商问题
1859年，数学家Hamilton发明了一种周游世界 的游戏。把一个12面体的20个顶点分别标上北京、 东京、华盛顿等20个大都市的名字，要求玩的人 从某城市出发，沿着12面体的棱通过每一个城市 恰好一次，再回到出发的城市。这种游戏在欧洲 曾经风靡一时，Hamilton以25个金币的高价把该 项专利卖给了一个玩具商。 用图论的语言来讲，此游戏本质就是在一个12 面体上寻找经过每一个顶点一次且恰好一次的特殊 的圈，即Hamilton回路。
图论及其应用6
第四章Euler环游和Hamilton圈§4.1 Euler环游°Euler迹：经过图G的每条边的迹称为G的Euler迹。
°Euler环游：经过图G的每条边恰好一次的闭迹。
（图G的环游是指经过G的每条边至少一次的闭途径）。
*一笔画问题：°Euler图：一个图若包含Euler环游，则这个图称为Euler图。
°半Euler图：一个图若包含Euler迹，但不包含Euler环游，则这个图称为半Euler图。
*哥尼斯堡七桥问题：定理4.1：一个非空连通图是Euler图当且仅当它没有奇点。
证：设G是Euler图，C是G的Euler环游，其起点(也是终点)为u。
顶点v作为C的内部顶点每出现一次，就有两条与它关联的边出现，因为Euler环游包含G的每条边，所以对于所有的v≠u，d(v)都是偶数。
类似地，由于C开始并且终止于u，所以d(u)也是偶数。
于是，G没有奇点。
反之，假设G是一个非Euler连通图：它至少有一条边，而且没有奇点。
选择这样一个图G，使其具有尽可能少的边。
由于G的每个顶点的度至少是2，所以G包含一个闭迹。
设C是G中其长为最大的闭迹。
根据假设，C不是G的Euler环游，因而G−E(C)具有适合ε(G′)>0的某个分支G′。
由于C本身是Euler图，它没有奇点；于是连通图G′也没有奇点。
由于ε(G′)<ε(G), 根据G的选择可以推知：G′有一条Euler 环游C′。
因为G 是连通的，所以在V(C)∩V(C ′)中存在一个顶点v 。
不失一般性可以假设v 是C 和C′的起点和终点。
于是CC′就是G 的适合ε(CC ′)>ε(C)的一条闭迹，和C 的选择矛盾。
∎ 推论4.1：一个连通图有Euler 迹当且仅当它最多有两个奇点。
证：若G 有Euler 迹，则如定理4.1所证明的，这条迹除起点和终点外的每个顶点都是偶点。
反之，假设G 是最多有两个奇点的非平凡连通图。
欧拉图与汉密尔顿
欧拉图是满足每条边恰好出现一次的路径，而汉密尔顿图是满足每条边恰好出现一 次的回路。
欧拉路径是满足起点和终点相同，且每条边恰好出现一次的路径，而汉密尔顿回路 是满足起点和终点相同，且每条边恰好出现一次的回路。
欧拉图与汉密尔顿图的区别
欧拉图不一定是回路，而汉密尔顿图 一定是回路。
欧拉图可以有多条路径，而汉密尔顿 图只有一条路1
一个连通图存在欧拉回路当且仅当其 所有顶点的度均为偶数。
欧拉图的性质2
欧拉图的性质3
一个无向图存在欧拉回路当且仅当其 所有顶点的度都是偶数，或者只有一 个顶点的度是奇数，其余所有顶点的 度都是偶数。
如果一个连通图存在欧拉回路，那么 这个欧拉回路的长度一定是其边数的 两倍。
欧拉图与汉密尔顿
• 欧拉图 • 汉密尔顿图 • 欧拉图与汉密尔顿图的关系 • 欧拉图与汉密尔顿图的应用
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
欧拉图的定义：一个图如果存在一条路径，该路径经过图中的每条边恰好一次， 则称这条路径为欧拉路径，如果这个路径的起点和终点是同一点，则称为欧拉回 路。
欧拉回路是路径的子集，它从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一次，最 后回到起始顶点。
欧拉图与汉密尔顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图与汉密尔顿图在经 济学中用于研究市场均衡、 供需关系等问题。
社会学
欧拉图与汉密尔顿图在社 会学中用于研究社会网络、 人际关系等问题。
生物学
欧拉图与汉密尔顿图在生 物学中用于研究生物分子 结构、基因调控网络等问 题。
感谢观看
THANKS
欧拉图只要求路径上的边不重复，而 汉密尔顿图要求路径上的边和节点都 不重复。
04
欧拉图与汉密尔顿图的应用
欧拉路径是满足起点和终点相同，且每条边恰好出现一次的路径，而汉密尔顿回路 是满足起点和终点相同，且每条边恰好出现一次的回路。
欧拉图与汉密尔顿图的区别
欧拉图不一定是回路，而汉密尔顿图 一定是回路。
欧拉图可以有多条路径，而汉密尔顿 图只有一条路1
一个连通图存在欧拉回路当且仅当其 所有顶点的度均为偶数。
欧拉图的性质2
欧拉图的性质3
一个无向图存在欧拉回路当且仅当其 所有顶点的度都是偶数，或者只有一 个顶点的度是奇数，其余所有顶点的 度都是偶数。
如果一个连通图存在欧拉回路，那么 这个欧拉回路的长度一定是其边数的 两倍。
欧拉图与汉密尔顿
• 欧拉图 • 汉密尔顿图 • 欧拉图与汉密尔顿图的关系 • 欧拉图与汉密尔顿图的应用
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
欧拉图的定义：一个图如果存在一条路径，该路径经过图中的每条边恰好一次， 则称这条路径为欧拉路径，如果这个路径的起点和终点是同一点，则称为欧拉回 路。
欧拉回路是路径的子集，它从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一次，最 后回到起始顶点。
欧拉图与汉密尔顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图与汉密尔顿图在经 济学中用于研究市场均衡、 供需关系等问题。
社会学
欧拉图与汉密尔顿图在社 会学中用于研究社会网络、 人际关系等问题。
生物学
欧拉图与汉密尔顿图在生 物学中用于研究生物分子 结构、基因调控网络等问 题。
感谢观看
THANKS
欧拉图只要求路径上的边不重复，而 汉密尔顿图要求路径上的边和节点都 不重复。
04
欧拉图与汉密尔顿图的应用
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第四章 Euler图和Hamilton图
欧拉是历史上最多产的数学家.
他生前发表的著作与论文有560
余种,死后留下了大量手稿.欧
拉自己说他未发表的论文足够
彼得堡科学院用上20 年,结果
是直到1862 年即他去世80 年
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ， 1707年4月5日～1783年9月18日）
• 这个问题似乎不难，谁都想试着解决，但没有 人成功。人们的失败使欧拉猜想：也许这样的 解是不存在的，1936年他证明了自己的猜想。
• 为了证明这个问题无解，欧拉用A，B，C，D四 个顶点代表陆地，用连接两个顶点的一条弧线 代表相应的桥，从而得到一个由四个顶点、七 条边组成的图，七桥问题便归结成：在所示的 图中，从任何一点出发每条边走一次且仅走一 次的通路是否存在。
后,彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作.1911 年瑞士
自然科学协会开始出版欧拉全集,现已出版70 多卷,计划出
齐84 卷,都是大四开本.欧拉从18 岁开始创作,到76 岁逝
世,因此单是收进全集的这些文稿,欧拉平均每天就要写约
1.5 页大四开纸的东西,而欧拉还有不少手稿在1771 年的
彼得堡大火中化为灰烬.欧拉28 岁左眼失明,56 岁双目失
定理4.1.1 设G是连通图，G是欧拉图当且 仅当G的所有顶点均是偶度数点。
证明: 先证必要性。
设G中有欧拉回路： v0e1v1e2v2…eiviei+1…ekv0 ， 其 中 顶 点 可
重复出现，边不可重复出现。在序列中
，每出现一个顶点vi，它关联两条边， 而vi可以重复出现，所以d（vi）为偶数
5
e10
0
e9
e1
1
e3 e4
e2 e8
4
e6
e5
3
e7
2
(a)
(b)
(c)
当给定了一个欧拉图后，如何找出它的 一条欧拉回路？
???
下面的Fleury（于1921年提出）算法 解决了这个问题，这个算法的实质是“避 桥”。
设G是欧拉图。
（1）任选G的一个顶点v0为起点，并设零 条边的通路为l0=v0。
）从一个奇度数顶点v0开始，取关联于v0 的边e1到v1……直到另一个奇度数顶点vk 为止，得一条简单通路l1。其他步骤与 定理10.1.1同。最后构造出一条行遍G中 所有边的简单通路，即为欧拉通路，G是
半欧拉图。
定理提供了判断欧拉图和半欧拉图的 方法，由此易知，哥尼斯堡七桥问题无 解。
例4.1，图中（a）是欧拉图，图（b）是半欧 拉图，图（c）既非欧拉图也非半欧拉图。
。
再证充分性。
若图G是连通的，则可以按下列步骤构
造一条欧拉回路：
（1）从任一顶点v0开始，取关联于v0的边 e1到v1，因为所有顶点为偶度数点，且G 是连通的，所以可继续取关联于v1的边e2 到v2……每条边均是前面未取过的，直 到回到顶点v0，得一简单回路l1： v0e1v1e2v2…eiviei+1…ekv0。
回
路
为
l1∪l2
：
v0e1v1e2v2…eivie′1u1e′2…viei+1vi+1…e
kv0，否则，重复步骤（2），直到构造一
条行遍G中所有边的回路为止，此回路即
为欧拉回路，G是欧拉图。
定理4.1.2 设G是连通图，则G是半欧拉图 当且仅当G中有且仅有两个奇度数顶点。
证明 证法类同定理4.1.1。只是步骤（1
明,他完全是依靠惊人的记忆和心算能力进行研究与写作.
§4.1 Euler图
欧拉图的概念是瑞士数学家 欧拉（Euler）在研究哥尼斯堡 （ Knigsberg ） 七 桥 问 题 时 形 成 的。在当时的哥尼斯堡城，有七 座桥将普莱格尔（Pregel）河中 的两个小岛与河岸连接起来，当 时那里的居民热衷于一个难题： 一个散步者从任何一处陆地出发 ，怎样才能走遍每座桥一次且仅 一次，最后回到出发点？
（2）若l1行遍G中所有的边，则l1就是G中 欧拉回路，即G为欧拉图，否则G-l1=G1不 是空集，G1中每个顶点均是偶度数点， 又G连通，G1与l1必有一个顶点vi重合， 在G1中从vi出发重复步骤（1），可得一 简单回路l2：vie′1u1e′2…vi。
（3）若l1∪l2=G，则G即为欧拉图，欧拉
设G=〈V,E,w〉是一带权图，l是G的一条 回路，称 (ei) 为l的权。中国邮递员问
题就是在带eil 非负权的连通图中找到一条 权最小的行遍所有边的回路，称此回路 为最佳周游。
若G是欧拉图，则G中的任何一条欧拉
回路均是最佳周游，而寻找欧拉回路的 Fleury算法为解决这一问题提供了切实 可行的方法。对于非欧拉图，也有相应 的算法，限于篇幅不再介绍。
l=v0e1v1e2v4e3v5e4v2e5v4e6v3e7v2e8v1e9v5e1 0v0
最后介绍一下“中国邮递员问题”（The Chinese Postman Problem）。我国数学 家管梅谷于1962年首先提出这个问题， 并得到一些结果，得到世界同行们的承 认。该问题是说：邮递员从邮局出发在 他的管辖区域内投递邮件，然后回到邮 局。自然，他必须走过他所辖区域内的 每一条街道至少一次。在此前提下，希 望找到一条尽可能短的路线。
例4.2 找出图（a）所示图G的一条欧拉回
路。
5
e10
0
e9
e1
1
e3 e4
e2 e8
4
e6
e5
3e7ຫໍສະໝຸດ 2(a)(b)
(c)
解 从v0出发，先找到l3=v0e1v1e2v4e3v5，
因为此时在G3=G-{e1，e2，e3}中，关联v5
的边e9和e10均是割边，所以只能选取e4
，继续下去，最后可得一条欧拉回路：
（2）设已选好的简单通路为
li=v0e1v1e2v2…eivi，则按下述方法从E-{e1 ，e2，…，ei}中选取边ei+1：
① ei+1与vi关联；
② 除非没有别的边可选择，否则
ei+1不是Gi=G-{e1，e2，…，ei}的割边（
桥）。
（3）当第(2)步不能继续进行时（所有的 边已走遍），算法终止。
A A
B
C
B
C
D D
(a)
(b)
§4.1.1 欧拉(无向)图
定义4.1.1 设G=〈V,E〉是连通图，
经过G中每一条边一次且仅一次的通路 （起点、终点不重合）称为欧拉通路（ 欧拉开迹），有欧拉通路的图称半欧拉 图；经过每一条边一次且仅一次的回路 称为欧拉回路（欧拉闭迹），有欧拉回 路的图称欧拉图。一条欧拉通路即为一 条行遍图中每条边的简单通路（迹）， 亦即一笔画问题。
欧拉是历史上最多产的数学家.
他生前发表的著作与论文有560
余种,死后留下了大量手稿.欧
拉自己说他未发表的论文足够
彼得堡科学院用上20 年,结果
是直到1862 年即他去世80 年
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ， 1707年4月5日～1783年9月18日）
• 这个问题似乎不难，谁都想试着解决，但没有 人成功。人们的失败使欧拉猜想：也许这样的 解是不存在的，1936年他证明了自己的猜想。
• 为了证明这个问题无解，欧拉用A，B，C，D四 个顶点代表陆地，用连接两个顶点的一条弧线 代表相应的桥，从而得到一个由四个顶点、七 条边组成的图，七桥问题便归结成：在所示的 图中，从任何一点出发每条边走一次且仅走一 次的通路是否存在。
后,彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作.1911 年瑞士
自然科学协会开始出版欧拉全集,现已出版70 多卷,计划出
齐84 卷,都是大四开本.欧拉从18 岁开始创作,到76 岁逝
世,因此单是收进全集的这些文稿,欧拉平均每天就要写约
1.5 页大四开纸的东西,而欧拉还有不少手稿在1771 年的
彼得堡大火中化为灰烬.欧拉28 岁左眼失明,56 岁双目失
定理4.1.1 设G是连通图，G是欧拉图当且 仅当G的所有顶点均是偶度数点。
证明: 先证必要性。
设G中有欧拉回路： v0e1v1e2v2…eiviei+1…ekv0 ， 其 中 顶 点 可
重复出现，边不可重复出现。在序列中
，每出现一个顶点vi，它关联两条边， 而vi可以重复出现，所以d（vi）为偶数
5
e10
0
e9
e1
1
e3 e4
e2 e8
4
e6
e5
3
e7
2
(a)
(b)
(c)
当给定了一个欧拉图后，如何找出它的 一条欧拉回路？
???
下面的Fleury（于1921年提出）算法 解决了这个问题，这个算法的实质是“避 桥”。
设G是欧拉图。
（1）任选G的一个顶点v0为起点，并设零 条边的通路为l0=v0。
）从一个奇度数顶点v0开始，取关联于v0 的边e1到v1……直到另一个奇度数顶点vk 为止，得一条简单通路l1。其他步骤与 定理10.1.1同。最后构造出一条行遍G中 所有边的简单通路，即为欧拉通路，G是
半欧拉图。
定理提供了判断欧拉图和半欧拉图的 方法，由此易知，哥尼斯堡七桥问题无 解。
例4.1，图中（a）是欧拉图，图（b）是半欧 拉图，图（c）既非欧拉图也非半欧拉图。
。
再证充分性。
若图G是连通的，则可以按下列步骤构
造一条欧拉回路：
（1）从任一顶点v0开始，取关联于v0的边 e1到v1，因为所有顶点为偶度数点，且G 是连通的，所以可继续取关联于v1的边e2 到v2……每条边均是前面未取过的，直 到回到顶点v0，得一简单回路l1： v0e1v1e2v2…eiviei+1…ekv0。
回
路
为
l1∪l2
：
v0e1v1e2v2…eivie′1u1e′2…viei+1vi+1…e
kv0，否则，重复步骤（2），直到构造一
条行遍G中所有边的回路为止，此回路即
为欧拉回路，G是欧拉图。
定理4.1.2 设G是连通图，则G是半欧拉图 当且仅当G中有且仅有两个奇度数顶点。
证明 证法类同定理4.1.1。只是步骤（1
明,他完全是依靠惊人的记忆和心算能力进行研究与写作.
§4.1 Euler图
欧拉图的概念是瑞士数学家 欧拉（Euler）在研究哥尼斯堡 （ Knigsberg ） 七 桥 问 题 时 形 成 的。在当时的哥尼斯堡城，有七 座桥将普莱格尔（Pregel）河中 的两个小岛与河岸连接起来，当 时那里的居民热衷于一个难题： 一个散步者从任何一处陆地出发 ，怎样才能走遍每座桥一次且仅 一次，最后回到出发点？
（2）若l1行遍G中所有的边，则l1就是G中 欧拉回路，即G为欧拉图，否则G-l1=G1不 是空集，G1中每个顶点均是偶度数点， 又G连通，G1与l1必有一个顶点vi重合， 在G1中从vi出发重复步骤（1），可得一 简单回路l2：vie′1u1e′2…vi。
（3）若l1∪l2=G，则G即为欧拉图，欧拉
设G=〈V,E,w〉是一带权图，l是G的一条 回路，称 (ei) 为l的权。中国邮递员问
题就是在带eil 非负权的连通图中找到一条 权最小的行遍所有边的回路，称此回路 为最佳周游。
若G是欧拉图，则G中的任何一条欧拉
回路均是最佳周游，而寻找欧拉回路的 Fleury算法为解决这一问题提供了切实 可行的方法。对于非欧拉图，也有相应 的算法，限于篇幅不再介绍。
l=v0e1v1e2v4e3v5e4v2e5v4e6v3e7v2e8v1e9v5e1 0v0
最后介绍一下“中国邮递员问题”（The Chinese Postman Problem）。我国数学 家管梅谷于1962年首先提出这个问题， 并得到一些结果，得到世界同行们的承 认。该问题是说：邮递员从邮局出发在 他的管辖区域内投递邮件，然后回到邮 局。自然，他必须走过他所辖区域内的 每一条街道至少一次。在此前提下，希 望找到一条尽可能短的路线。
例4.2 找出图（a）所示图G的一条欧拉回
路。
5
e10
0
e9
e1
1
e3 e4
e2 e8
4
e6
e5
3e7ຫໍສະໝຸດ 2(a)(b)
(c)
解 从v0出发，先找到l3=v0e1v1e2v4e3v5，
因为此时在G3=G-{e1，e2，e3}中，关联v5
的边e9和e10均是割边，所以只能选取e4
，继续下去，最后可得一条欧拉回路：
（2）设已选好的简单通路为
li=v0e1v1e2v2…eivi，则按下述方法从E-{e1 ，e2，…，ei}中选取边ei+1：
① ei+1与vi关联；
② 除非没有别的边可选择，否则
ei+1不是Gi=G-{e1，e2，…，ei}的割边（
桥）。
（3）当第(2)步不能继续进行时（所有的 边已走遍），算法终止。
A A
B
C
B
C
D D
(a)
(b)
§4.1.1 欧拉(无向)图
定义4.1.1 设G=〈V,E〉是连通图，
经过G中每一条边一次且仅一次的通路 （起点、终点不重合）称为欧拉通路（ 欧拉开迹），有欧拉通路的图称半欧拉 图；经过每一条边一次且仅一次的回路 称为欧拉回路（欧拉闭迹），有欧拉回 路的图称欧拉图。一条欧拉通路即为一 条行遍图中每条边的简单通路（迹）， 亦即一笔画问题。