(全国卷数学2017年高考一轮)命题及其关系、充分条件与必要条件
2017版新课标全国卷地区专用一轮数学(文)复习第1单元集合与常用逻辑用语 (共163张PPT)
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真题再现
2．[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知集合 A＝{－ 2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则 A∩B＝( ) A． B．{2} C．{0} D．{－2}
[答案]
B
[解析] 因为 B＝{－1， 2}， 所以 A∩B＝{2}．
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真题再现
3 ． [2013· 新课标全国卷 Ⅱ ] 已知集合 M ＝ {x| － 3<x<1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，则 M∩N ＝( ) A．{－2，－1，0，1} B．{－3，－2，－1，0} C．{－2，－1，0} D．{－3，－2，－1}
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第1讲
课 前 双 基 巩 固
集合及其运算
►
通性通法
6．解决集合问题的两个方法：列举法；图示法． (1)若集合 A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则 A∩B 的子集的 个数为________． (2)[2015·北京卷改编] 若集合 A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－ 3<x<3}，则 A∩B＝________．
第1讲
课 前 双 基 巩 固
集合及其运算
—— 正本清源 ——
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1．[教材改编] 已知集合 A＝{1，3，7，9，10}，集合 B＝ {3，5，7，8，10}，则 A∩B＝________．
[答案] {3，7，10}
[解析] A∩B 指既属于集合 A 又属于集合 B 的元素组成的集合， 即 A 与 B 的公共元素组成 的集合，所以 A∩B＝{3，7，10}．
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课 前 双 基 巩 固
2．集合的基本关系
表示 关系 子 集 基 真 本 子 关 集 系 相 等 空集 文字语言 集合 A 的________ 都 元素 是集合 B 的元素 集合 A 是集合 B 的子 集，但集合 B 中 ________ 有一个元素 至少 不属于 A 集合 A，B 的元素完全 ________ 相同 不含 ________ 任何元素的 集合． 空集是任何集合 子集 的________ 符号语言 x∈A⇒x∈B 记法 则 A ⊆ B _______ B⊇A 或
高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。
2017届高三一轮：1.2《命题及其关系、充分条件与必要条件》课件
(3)|aa|，|bb|分别是与 a，b 同方向的单位向量，由|aa|＝|bb|，得 a 与 b 的方向相同。 而 a∥b 时，a 与 b 的方向还可能相反。故选 C。
答案：A
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5．给定两个命题 p，q，若綈 p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是綈 q 的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由 q⇒綈 p 且綈 pA⇒/ q 可得 p⇒綈 q 且綈 qA⇒/ p，所以 p 是綈 q 的充分不
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2．命题“若 α＝π4，则 tanα＝1”的逆否命题是( )
A．若 α≠π4，则 tanα≠1
B．若 α＝π4，则 tanα≠1
C．若 tanα≠1，则 α≠π4
D．若 tanα≠1，则 α＝π4
解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 α＝π4，则 tanα＝1”的逆否命题是“若 tanα≠1，则 α≠π4”，故选 C。
答案：(1)B (2)A (3)C
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考点四
充分条件、必要条件的应用
【例 4】 (1)已知 p：x－1 1＜1，q：x2＋(a－1)x－a＞0，若 p 是 q 的充分不必
要条件，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－2，－1]
解析：(1)“存在集合 C 使得 A⊆C，B⊆∁UC”⇔“A∩B＝∅”。选 C。 (2)构造函数 f(x)＝x|x|， 则 f(x)在定义域 R 上为奇函数。
新高考数学一轮复习教师用书：第1章 2 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且⇒/ pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．( )(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则﹁q”．( )(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件．( )(5)q不是p的必要条件时,“p ⇒/q”成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[教材衍化]1．(选修2－1P12A组T2改编)命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是________,是________命题(填“真”或“假”)解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”．答案：若x≤y,则x2≤y2假2．(选修2－1P12A组T3改编)设x∈R,则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．解析：2－x≥0,则x≤2,(x－1)2≤1,则－1≤x－1≤1,即0≤x≤2,据此可知,“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．答案：必要不充分[易错纠偏](1)命题的条件与结论不明确；(2)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0,a,b∈R,则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2＋b2≠02．条件p：x>a,条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________；(2)若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a},B＝{x|x≥2},(1)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,所以a≥2；(2)因为p是q的必要不充分条件,所以B A,所以a<2.答案：(1)a≥2(2)a<2四种命题的相互关系及真假判断(1)(2020·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”,命题q：“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定(2)(2020·温州模拟)命题“若x2＋y2＝0,x,y∈R,则x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0,x,y∈R,则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0【解析】 (1)命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题,故选B.(2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可．由x ＝y ＝0知x ＝0且y ＝0,其否定是x≠0或y≠0. 【答案】 (1)B (2)D(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写． ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可．②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．1．命题“若a 2>b 2,则a>b”的否命题是( ) A ．若a 2>b 2,则a≤b B ．若a 2≤b 2,则a≤b C ．若a≤b ,则a 2>b 2D ．若a≤b ,则a 2≤b 2解析：选B.根据命题的否命题若“﹁p,则﹁q”知选B. 2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1,则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y,则x ＞|y|”的逆命题 C ．命题“若x ＝1,则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1,则x ＞1”的逆否命题解析：选B.对于A,命题“若x ＞1,则x 2＞1”的否命题为“若x≤1,则x 2≤1”,易知当x ＝－2时,x2＝4＞1,故为假命题；对于B,命题“若x ＞y,则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|,则x ＞y”,分析可知为真命题；对于C,命题“若x ＝1,则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x≠1,则x 2＋x －2≠0”,易知当x ＝－2时,x2＋x －2＝0,故为假命题；对于D,命题“若1x ＞1,则x ＞1”的逆否命题为“若x≤1,则1x ≤1”,易知为假命题,故选B.充分条件、必要条件的判断(高频考点)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面．主要命题角度有：(1)判断指定条件与结论之间的关系； (2)与命题的真假性相交汇命题． 角度一 判断指定条件与结论之间的关系(1)(2019·高考浙江卷)设a>0,b>0,则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α,直线m,n 满足m ⊄α,n ⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)通解：因为a>0,b>0,所以a ＋b≥2ab,由a ＋b≤4可得2ab ≤4,解得ab≤4,所以充分性成立；当ab≤4时,取a ＝8,b ＝13,满足ab≤4,但a ＋b>4,所以必要性不成立,所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同一坐标系内作出函数b ＝4－a,b ＝4a 的图象,如图,则不等式a ＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4a 及其左下方(第一象限中的部分),易知当a ＋b≤4成立时,ab ≤4成立,而当ab≤4成立时,a ＋b≤4不一定成立．故选A.(2)若m ⊄α,n ⊂α,m ∥n,由线面平行的判定定理知m ∥α.若m∥α,m ⊄α,n ⊂α,不一定推出m∥n ,直线m 与n 可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.【答案】 (1)A (2)A角度二 与命题的真假性相交汇命题(2020·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 B ．p ：A∩B＝A ；q ：AB,则p 是q 的充分不必要条件C ．已知数列{a n },若p ：对于任意的n∈N *,点P n (n,a n )都在直线y ＝2x ＋1上；q ：{a n }为等差数列,则p 是q 的充要条件D ．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件【解析】 选项A ：当x ＝－1时,x 2－5x －6＝0,所以x ＝－1是x 2－5x －6＝0的充分条件,故A 错． 选项B ：因为A∩B＝A ⇒/AB(如A ＝B),而A B ⇒A ∩B ＝A,从而p ⇒/ q,q ⇒p,所以p 是q 的必要不充分条件,故B 错． 选项C ：因为P n (n,a n )在直线y ＝2x ＋1上． 所以a n ＝2n ＋1(n∈N *),则a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2,又由n 的任意性可知数列{a n }是公差为2的等差数列,即p ⇒q.但反之则不成立,如：令a n ＝n,则{a n }为等差数列,但点(n,n)不在直线y ＝2x ＋1上,从而q ⇒/ p. 从而可知p 是q 的充分不必要条件,故C 错．选项D ：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x<0,所以“x<0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．故D 正确．【答案】 D判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与﹁B ⇒﹁A,B ⇒A 与﹁A ⇒﹁B,A ⇔B 与﹁B ⇔﹁A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B,则A 是B 的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时,可举出反例说明．1．(2020·杭州市富阳二中高三开学检测)若a,b 为实数,则“ 3a <3b”是“1|a|>1|b|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.根据题意,若“3a <3b”,则有a<b,而“1|a|>1|b|”不一定成立,如a ＝－3,b ＝1；若“1|a|>1|b|”,则有|a|<|b|,“3a <3b ”不一定成立,如a ＝1,b ＝－3,故“3a <3b”是“1|a|>1|b|”的既不充分也不必要条件．2．(2020·“超级全能生”高考浙江省联考)已知函数f(x)＝sin x,x ∈[0,2π),则“f(x)≥0”是“f(x 2)≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由f(x)≥0⇒x ∈[0,π],由f(x 2)≥0⇒x 2∈[0,π]⇒x ∈[0,π], 因为[0,π]⊆[0,π],由集合性质可知为必要不充分条件．充分条件、必要条件的应用(1)已知p ：|x ＋1|＞2,q ：x ＞a,且﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≤－3 C ．a ≥－1D ．a ≥1(2)已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0},非空集合S ＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件,则m 的取值范围为________．【解析】 (1)由|x ＋1|＞2,解得x ＞1或x ＜－3,因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,所以q 是p 的充分不必要条件, 从而可得(a,＋∞)是(－∞,－3)∪(1,＋∞)的真子集, 所以a≥1,故选D.(2)由x 2－8x －20≤0,得－2≤x≤10, 所以P ＝{x|－2≤x≤10},由x∈P 是x∈S 的必要条件,知S ⊆P. 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时,x ∈P 是x∈S 的必要条件, 即所求m 的取值范围是[0,3]． 【答案】 (1)D (2)[0,3](变问法)本例(2)条件不变,若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件,求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x|－2≤x≤10},因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件, 所以P ⇒S 且S ⇒/ P.所以[－2,10][1－m,1＋m]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m≥10.所以m≥9,即m 的取值范围是[9,＋∞)．利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍．[提醒] 含有参数的问题,要注意分类讨论．(2020·金华一模)已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0),命题q：实数m满足方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆．若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为________．解析：由a>0,m2－7am＋12a2<0,得3a<m<4a,即命题p：3a<m<4a,a>0.由x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2－m>m－1>0,解得1<m<32,即命题q：1<m<32.因为p是q的充分不必要条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥14a≤32,解得13≤a≤38,所以实数a的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38[基础题组练]1．下列命题是真命题的是( )A．若1x＝1y,则x＝y B．若x2＝1,则x＝1C．若x＝y,则x＝y D．若x＜y,则x2＜y2解析：选A.由1x＝1y得x＝y,A正确；由x2＝1得x＝±1,B错误；由x＝y,x,y不一定有意义,C错误；由x＜y不一定能得到x2＜y2,如x＝－2,y＝－1,D错误,故选A.2．命题“若x＞1,则x＞0”的逆否命题是( )A．若x≤0,则x≤1 B．若x≤0,则x＞1C．若x＞0,则x≤1 D．若x＜0,则x＜1解析：选A.依题意,命题“若x＞1,则x＞0”的逆否命题是“若x≤0,则x≤1”,故选A.3．设a,b 是实数,则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：当a ＝10,b ＝－1时,a ＋b ＞0,ab ＜0,故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2,b ＝－1时,ab ＞0,但a ＋b ＜0,所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a＋b ＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2020·金华市东阳二中高三调研)若“0<x<1”是“(x－a)[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞,0]∪[1,＋∞)D ．(－∞,－1]∪[0,＋∞)解析：选A.由(x －a)[x －(a ＋2)]≤0得a≤x≤a＋2,要使“0<x<1”是“(x－a)[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件,则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥1a≤0,所以－1≤a≤0.5．(2020·杭州中学高三月考)已知a,b ∈R,条件p ：“a>b”,条件q ：“2a >2b－1”,则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由条件p ：“a>b”,再根据函数y ＝2x是增函数,可得2a>2b,所以2a>2b－1,故条件q ：“2a>2b－1”成立,故充分性成立．但由条件q ：“2a>2b－1”成立,不能推出条件p ：“a>b”成立,例如由20>20－1成立,不能推出0>0,故必要性不成立．故p 是q 的充分不必要条件,故选A.6．已知a,b ∈R,则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a|＋|b|≥4 B ．|a|≥4C ．|a|≥2且|b|≥2D ．b<－4解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4,但由|a|＋|b|>4得不到b<－4,如a ＝1,b ＝5. 7．已知直线l,m,其中只有m 在平面α内,则“l∥α”是“l∥m”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当l∥α时,直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能,所以l∥m 不一定成立；当l∥m 时,根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α,即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件,故选B.8．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“sin A＞sin B”是“a＞b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R,若sin A＞sin B,则2Rsin A＞2Rsin B,即a＞b；若a＞b,则a2R＞b2R,即sin A＞sin B,所以在△ABC中,“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件,故选C.9．设向量a＝(1,x－1),b＝(x＋1,3),则“x＝2”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意,注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1),即x＝±2.因此,由x＝2可得a∥b,“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2,“x＝2”不是“a∥b”的必要条件,故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件,选A.10．下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )A．p：x＝1,q：x2＝xB．p：|a|>|b|,q：a2>b2C．p：x>a2＋b2,q：x>2abD．p：a＋c>b＋d,q：a>b且c>d解析：选D.A中,x＝1⇒x2＝x,x2＝x⇒x＝0或x＝1⇒/ x＝1,故p是q的充分不必要条件；B中,因为|a|>|b|,根据不等式的性质可得a2>b2,反之也成立,故p是q的充要条件；C中,因为a2＋b2≥2ab,由x>a2＋b2,得x>2ab,反之不成立,故p是q的充分不必要条件；D中,取a＝－1,b＝1,c＝0,d＝－3,满足a＋c>b ＋d,但是a<b,c>d,反之,由同向不等式可加性得a>b,c>d⇒a＋c>b＋d,故p是q的必要不充分条件．综上所述,故选D.11．对于原命题：“已知a、b、c∈R,若ac2＞bc2,则a＞b”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,真命题的个数为________．解析：原命题为真命题,故逆否命题为真；逆命题：若a＞b,则ac2＞bc2为假命题,故否命题为假命题,所以真命题个数为2.答案：212．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称,则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：m＝－213已知α：x≥a,β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________．解析：α：x≥a,可看作集合A＝{x|x≥a},因为β：|x－1|<1,所以0<x<2,所以β可看作集合B ＝{x|0<x<2}． 又因为α是β的必要不充分条件． 所以BA,所以a≤0.答案：(－∞,0]14．设平面α与平面β相交于直线m,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b⊥m ,则“a⊥b”是“α⊥β”的________条件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要,既不充分也不必要)．解析：因为α⊥β,b⊥m ,所以b⊥α,又直线a 在平面α内,所以a⊥b；又直线a,m 不一定相交,所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题,则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立,当a ＝0时,－3≤0成立；当a≠0时,得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝4a 2＋12a≤0，解得－3≤a<0,故－3≤a≤0.答案：[－3,0]16．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,q ：1－m≤x≤1＋m(m>0),且綈p 是綈q 的必要而不充分条件,则实数m 的取值范围为________．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x≤10, 所以綈p 对应的集合为{x|x>10或x<－2}, 设A ＝{x|x>10或x<－2}． 1－m≤x≤1＋m(m>0),所以綈q 对应的集合为{x|x>m ＋1或x<1－m,m>0}, 设B ＝{x|x>m ＋1或x<1－m,m>0}． 因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件,所以B A,所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m≥10，且不能同时取得等号．解得m≥9,所以实数m 的取值范围为[9,＋∞)． 法二：因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件, 所以q 是p 的必要而不充分条件． 即p 是q 的充分而不必要条件,因为q 对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m,m>0}, 设M ＝{x|1－m≤x≤1＋m,m>0},又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x≤10, 所以p 对应的集合为{x|－2≤x≤10},设N ＝{x|－2≤x≤10}．由p 是q 的充分而不必要条件知N M,所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m≥10，且不能同时取等号,解得m≥9.所以实数m 的取值范围为[9,＋∞)．答案：[9,＋∞)17．给出下列命题：①已知集合A ＝{1,a},B ＝{1,2,3},则“a＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件；②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f(x)＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a＝3”可以推出“A ⊆B ”,但“A ⊆B ”不能推出“a＝3”,所以“a＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件,故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”,但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x＜0”,所以“x＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件,故②正确；③f(x)＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax,若其最小正周期为π,则2π2|a|＝π⇒a ＝±1,因此“函数f(x)＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件,故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”,但由“a·b＜0”,得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”,所以“a·b＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件,故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②[综合题组练]1．设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6, sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z,⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z, 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ,B ＝{x|－1<x<m ＋1,x ∈R},若x∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A,则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x|－1<x<3},x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x∈A , 所以A B,所以m ＋1>3,即m>2.答案：m ＞23．已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,对命题“若a ＋b≥0,则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论；(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,若a ＋b<0,则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题,证明如下：因为a ＋b<0,所以a<－b,b<－a.又因为f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数．所以f(a)<f(－b),f(b)<f(－a),因此f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),所以否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),则a ＋b<0.真命题,可通过证明原命题为真来证明它．因为a ＋b≥0,所以a≥－b,b ≥－a,因为f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,所以f(a)≥f(－b),f(b)≥f(－a),所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题．4．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程,所以m≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,且两方程都要有实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，解得m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z. 所以m 为4的约数．又因为m∈错误!,所以m ＝－1或1.当m ＝－1时,第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时,两方程的根均为整数,所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.5．已知p ：x 2－7x ＋12≤0,q ：(x －a)(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a,使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,若存在,求实数a 的取值范围；若不存在,请说明理由．(2)是否存在实数a,使p 是q 的充要条件,若存在,求出a 的值；若不存在,请说明理由．解：因为p ：3≤x≤4,q ：a≤x≤a＋1.(1)因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,所以﹁p ⇒﹁q,且﹁q ⇒/﹁p,所以q ⇒p,且p ⇒/ q,即q 是p 的充分不必要条件,故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x ≤4},所以⎩⎪⎨⎪⎧a>3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解, 所以不存在实数a,使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件．(2)若p 是q 的充要条件,则{x|a≤x≤a＋1}＝{x|3≤x ≤4},所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4， 解得a ＝3.故存在实数a ＝3,使p 是q 的充要条件．。
高三第一轮复习课件命题及其关系充分条件与必要条件
a2－b2＝0， ab＝1，
解得a＝b＝1
或a＝b＝－1，即必要性不成立，故选A.
答案：A
第一章 第2讲
第29页
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3. 设a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
答案：C
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判断充分、必要条件时应注意的问题 (1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能 推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A 能推出B，且B不能推出A； (2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正 确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．
() A. x>1 C. x>3
B. x<1 D. x<3
解析：x>2⇒x>1，但x>1⇒/ x>2. 答案：A
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5. [课本改编]已知下列命题：
①已知集合A，B，若a∈A，则a∈(A∩B)；
考点3 充分条件与必要条件
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高考数学一轮复习讲义第一章命题和其关系充分条件与必要条件
例 1 以下关于命题的说法正确的有_______ (填写所有正确
命题的序号)．
①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax (a>0，a≠1)在其定义 域内是减函数”是真命题；
②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则
ab≠0”；
③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命
一轮复习讲义
命题及其关系、充 分条件与必要条件
高考数学一轮复习讲义第 一章命题与其关系充分条
要点梳理
忆一忆知识要点
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够 判断真假 的
陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假
的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题
表述形式
原命题
高考数学一轮复习讲义第 一章命题与其关系充分条
对于①，若 log2a>0＝log21，则 a>1，所以函数 f(x) ＝logax 在其定义域内是增函数，因此①是假命题，故①不 正确；
对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；
对于③，原命题的逆命题是“若 x＋y 是偶数，则 x、y 都 是偶数”，是假命题，如 1＋3＝4 是偶数，但 3 和 1 均为 奇数，故③不正确；
对于④，不难看出，命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④ 正确．
综上可知正确的说法有②④.
答案 ②④
高考数学一轮复习讲义第 一章命题与其关系充分条
探究提高
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判四种命题真假 的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与 否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进 行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题， 必要时举特例．
高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件
第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二 走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 题组三 走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ． 方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5， 将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断 记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调． 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10， 所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然． 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。
(通用版)高考数学一轮复习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件讲义理
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3．充分条件、必要条件的判定⇐充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必 p 成立的对象的集合为 A，q 成立的对象要条件的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件p⇒q 且 q⇒/ pA 是 B 的真子集p 是 q 的必要不充分条件p⇒/ q 且 q⇒ pp 是 q 的充要条件p⇔qB 是 A 的真子集 A＝B集合与充要条件 的关系⇐p 是 q 的既不充分也不必 要条件p⇒/ q 且 q ⇒/ pA，B 互不包含否命题对题设和结论都进行否定．在判断充分、必要条件的时候，一定要从 p 能否推出 q，q 能否推出 p 两方面去判断：对于 q⇒p，要能够证明，而对于 p⇒/ q，只需举一反例即可．小可以推大，大不可以推小，如 x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围)． [熟记常用结论]1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q 且 q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得： (1)p⇒q 等价于綈 q⇒綈 p； (2)q⇒/ p 等价于綈 p ⇒/ 綈 q.[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)“x2＋2x－8＜0”是命题．( ) (2)一个命题非真即假．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、选填题 1．已知命题 p：若 x≥a2＋b2，则 x≥2ab，则下列说法正确的是( ) A．命题 p 的逆命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” B．命题 p 的逆命题是“若 x＜2ab，则 x＜a2＋b2” C．命题 p 的否命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” D．命题 p 的否命题是“若 x≥a2＋b2，则 x＜2ab” 解析：选 C 命题 p 的逆命题是“若 x≥2ab，则 x≥a2＋b2”，故 A、B 都错误；命题 p 的否命题是“若 x＜ a2＋b2，则 x＜2ab”，故 C 正确，D 错误． 2．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 A 因为 cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以 sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选 A.3．原命题“设 a，b，c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1C．2D．4解析：选 C 当 c＝0 时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设 a，b，c∈R，若 ac2>bc2，则 a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有 2 个．4．(2019·青岛模拟)命题“若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数”的逆否命题为______________________．答案：若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数5．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：x(x－1)＝0⇒x＝0 或 x＝1，即 x(x－1)＝0 不一定有 x＝1 成立；但 x＝1 能推出 x(x－1)＝0 成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一[基础自学过关] 命题及其关系[题组练透]1．命题“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若 x≠y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2＝0B．若 x＝y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0C．若 x≠0 且 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0D．若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0解析：选 D x2＋y2＝0 的否定为 x2＋y2≠0；x＝y＝0 的否定为 x≠0 或 y≠0.故“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题为“若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0”．2．有以下命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题；④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①② B．②③C．④D．①②③解析：选 D ①“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”是真命题；②“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题；③若 m≤1，则 Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由 A∩B＝B，得 B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选 D.3．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3B．2C．1D．0解析：选 C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．[名师微点]1．由原命题写出其他 3 种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[提醒] (1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断命题真假的 2 种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．考点二[师生共研过关] 充分条件、必要条件的判定[典例精析]| | (1)(2018·天津高考)设 x∈R，则“ x－12＜1”是“x3＜1”的( ) 2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件| | | | [解析] (1)由 x－12＜12，得 0＜x＜1，则 0＜x3＜1，即“ x－12＜1”⇒“x3＜1”； 2| | 由 x3＜1，得 x＜1，当 x≤0 时， x－12≥1， 2| | 即“x3＜1”⇒/ “ x－12＜1”． 2| | 所以“ x－12＜1”是“x3＜1”的充分而不必要条件． 2(2)a，b，c，d 是非零实数，若 a＜0，d＜0，b>0，c>0，且 ad＝bc，则 a，b，c，d 不成等比数列(可以假设 a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若 a，b，c，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(3)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 a＝0 时，f(x)＝sin x－1x，f(－x)＝sin(－x)－－1x＝－sin x( ) ＋1x＝－ sin x－1x ＝－f(x)，故 f(x)为奇函数；反之，当 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又 f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－－1x＋a＋sin x－1x＋ a＝2a，故 a＝0，所以“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选 C.[答案] (1)A (2)B (3)C[解题技法]充分、必要条件的判断 3 种方法利用定义判 直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结断论是什么从集合的角 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，度判断 即可解决充分必要性的问题利用等价转 化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假[过关训练]1．(2018·衡阳模拟)对于函数 y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B 若 y＝f(x)为奇函数，则 y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称，反过来不成立，因为当 y＝f(x)为偶函数时，y＝|f(x)|的图象也关于 y 轴对称．故选 B.2．(2018·北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即 a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又 a，b 均为单位向量，所以 a2＝b2＝1，所以 a·b＝0，能推出 a⊥b.由 a⊥b 得|a－3b|＝ 10，|3a＋b|＝ 10， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．3．设 a，b 是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 D a>b 不能推出 a2>b2，例如 a＝－1，b＝－2；a2>b2 也不能推出 a>b，例如 a＝－2，b＝1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．考点三[师生共研过关] 充分条件、必要条件的探求与应用[典例精析](1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥9B．a≤9C．a≥10D．a≤10(2)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 m 的取值范围为________．[解析] (1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1,3]，x2≤a”⇔9≤a.则 a≥10 是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．(2)由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P，∴Error!解得 0≤m≤3，故 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件．[答案] (1)C (2)[0,3][变式发散] 1．(变条件)本例(2)中条件“若 x∈P 是 x∈S 的必要条件”变为“綈 P 是綈 S 的必要不充分条件”，其他条件不变．求实数 m 的取值范围．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件，∴P⇒S 且 S⇒/ P. ∴[－2,10]⇐[1－m,1＋m]．∴Error!或Error!∴m≥9，则 m 的取值范围是[9，＋∞)．2．(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件？并说明理由．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，∴Error!∴Error!这样的 m 不存在．[解题技法]根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[过关训练]1．使 a>0，b>0 成立的一个必要不充分条件是( )A．a＋b>0B．a－b>0C．ab>1 D.ab>1 解析：选 A 因为 a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由 a>0，b>0 不能推出 a－b>0，ab>1，ab>1， 故选 A.2．已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q：x>a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]解析：选 A 由 x2＋2x－3>0，得 x＜－3 或 x>1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件，故 a≥1.故选 A.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤bC．若 a＋c>b＋c，则 a>bD．若 a>b，则 a＋c≤b＋c解析：选 A “若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”，所以原命题的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”，故选 A.2．命题“若 α＝π，则 tan α＝1”的逆否命题是( ) 4A．若 α≠π，则 tan α≠1 4B．若 α＝π，则 tan α≠1 4C．若 tan α≠1，则 α≠π 4D．若 tan α≠1，则 α＝π 4解析：选 C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 α＝π，则 tan α＝ 41”的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π”． 43．有下列几个命题：①“若 a>b，则1a>1b”的否命题； ②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是( )A．① B．①②C．②③D．①②③解析：选 C ①原命题的否命题为“若 a≤b，则1a≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反 数，则 x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设 A，B 是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C 由 A∩B＝A 可得 A⊆B，由 A⊆B 可得 A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.5．(2019·西城区模拟)设平面向量 a，b，c 均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B 由 b＝c，得 b－c＝0，得 a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．6．(2019·抚州七校联考)A，B，C 三个学生参加了一次考试，A，B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65分．已知命题 p：若及格分低于 70 分，则 A，B，C 都没有及格．则下列四个命题中为 p 的逆否命题的是( )A．若及格分不低于 70 分，则 A，B，C 都及格B．若 A，B，C 都及格，则及格分不低于 70 分C．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分D．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分解析：选 C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分．故选 C.7．(2019·湘东五校联考)“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A．m>14 C．m>0B．0＜m＜1 D．m>1解析：选 C 若不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立，则 Δ＝(－1)2－4m＜0，解得 m>1，因此当不等式 4x2－x＋m>0 在 R 上恒成立时，必有 m>0，但当 m>0 时，不一定推出不等式在 R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m>0.8．(2019·安阳模拟)设 p：f(x)＝ex＋2x2＋mx＋1 在[0，＋∞)上单调递增，q：m＋5≥0，则 p 是 q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝e x＋4x＋m≥0在[0，＋∞)上恒成立，又因为f′(x)＝e x＋4x＋m在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(0)＝1＋m≥0，即m≥－1，故p是q的充分不必要条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立，∴α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选A.”的( )2．(2019·太原模拟)“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵当函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π时，m＝±2，∴“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m2”的充分不必要条件．∈R)的最小正周期为π23．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_______________________________．解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．答案：周期函数不是单调函数(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．都不对解析：选C 根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”，显然，B与C是互为逆否命题．故选C.5．[逻辑推理]若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是( )A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a>1且b>1解析：选B ∵a＋b>ab，∴(a－1)(b－1)＜1.∵a，b∈N*，∴(a－1)(b－1)∈N，∴(a－1)(b－1)＝0，∴a＝1或b＝1.故选B.6．[数学运算]圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是( )A．k≤－22或k≥22B．k≤－22C．k≥2D．k≤－22或k>2≤1，即k2＋1解析：选B 若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝|－3|k2＋1≥3，∴k2＋1≥9，即k2≥8，∴k≥22或k≤－22，∴圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－22，故选B.7．[数学运算]方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( )A．a＜0 B．a＜－1C．－1＜a＜0 D．a>－1解析：选B ∵方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，∴Error!解得a＜－1.故选B.8．[数学抽象]能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在[0，π2]上是增函数，在[π2，2]上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。
优化探究2017届高考数学一轮复习第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件课件理新人教A版
考点二
典题悟法 演练冲关
试题
解析
1．(2015·高考湖南卷)设 A，B 是两 个 集 合 ， 则 “A∩B ＝ A” 是 “A ⊆ B”的( C ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
结合韦恩图(图略)可知， A∩B＝A，得 A⊆B，反之， 若 A⊆B，即集合 A 为集合 B 的子集，故 A∩B＝A， 故 “A∩B ＝ A” 是 “A ⊆ B”的充要条件，选 C.
考点三
典题悟法
充要条件的应用|
已知 p：x2－2mx － 15m2≤0(m>0) ； q ： x2 － 3x－10≤0，若綈 p 是綈 q
演练冲关
的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为__0_，_23____．
试题
解析
本题考查充分必要条件、一元二次不
等式等基础知识．
若 p 真，则－3m≤x≤5m； 若 q 真，则－2≤x≤5；
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题及其关系 (1)理解命题的概念． (2)了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命 题与逆否命 题，会分析四种命题的相互关系． 2．充分条件与必要条件 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
知识点一
知识点一 知识点二
命题、四种命题及相互关系
A．“若 x＝－4，则 x2＋3x－4＝0”为真 命题 B．“若 x≠－4，则 x2＋3x－4≠0”为真 命题 C．“若 x≠－4，则 x2＋3x－4≠0”为假 命题 D．“若 x＝－4，则 x2＋3x－4＝0”为假 命题
根据逆否命题的定义可 以排除 A，D，因为 x2 ＋3x－4＝0，所以 x＝－ 4 或 1，故选 C.
2017届一轮复习全国通用 命题及其关系、充分条件与必要条件 课件
【答案】 C 【解析】“若 p,则 q”的逆命题是“若 q,则 p”,否命题是“若 p,则 q”.观察知 C 项正确.
第一章
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
主干知识回顾 名师考点精讲 综合能力提升
-12-
考点 2 充分条件与必要条件的判定
典例2 (2015· 天津高考)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
)
2.(2015· 湖南高考)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.C 【解析】由交集运算及子集的概念知,若A∩B=A,则A⊆B,若A⊆B,则A∩B=A,故为充要条件.
第一章
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
-3-
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,可写成“若p,则q”的形式.其中判断为真的语 句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其关系
注意:原命题与其逆否命题的真假性相同,原命题的否命题与原命题的逆命题的真假性也相同.
第一章
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1 ,3 2
C.x∈[1,2] 【答案】C
D.x∈[1,3)
1 2 5 2
【解析】由 4[x]2-12[x]+5<0,可得 < [������ ] < ,又由于[x]表示不大于 x 的最大整数,所以 1≤[x]≤2,则可得 x∈ [1,3),对比选项知 x∈[1,2]为不等式成立的一个充分不必要条件.
学生版第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 (经典练习及答案详解)
课时作业A组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数3．已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题4．“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤06．(2018·惠州市调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．(2018·南昌十校模拟)命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．38．(2018·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．(2018·武汉市模拟)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是＋a2n＜0”的()“对任意的正整数n，a2n－1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．(2018·南昌市模拟)a2＋b2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．(2018·洛阳统考)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B ＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的__________条件．14．“x＞1”是“”的__________条件．15．命题“若x>1，则x>0”的否命题是__________．16．如果“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为__________．B组——能力提升练1．(2018·湖南十校联考)已知数列{a n}的前n项和S n＝Aq n＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{a n}是等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知函数f(x)＝3ln(x＋x2＋1)＋a(7x＋7－x)，x∈R，则“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若a ，b 为正实数，且a ≠1，b ≠1，则“a ＞b ＞1”是“log a 2＜log b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 3>0”是“数列{S n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．(2018·广州测试)已知命题p ：∃x ＞0，e x －ax ＜1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x 在R 上是减函数，则p 是q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的序号是__________．13．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的__________条件．14．(2018·江西九校联考)下列判断错误的是__________．①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题②命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x20－1＞0”③“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题④“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题15．下列四个结论中正确的个数是__________．①“x2＋x－2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件；②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0＞1”；③“若x＝π4，则tan x＝1”的逆命题为真命题；④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.。
高考数学统考一轮复习第一章1.2命题及其关系充分条件与必要条件课件文新人教版
D．5<m<9且m≠7
)
悟·技法
根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意事项
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为
集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式
(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其
是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够
其中为真命题的是________．(写出所有真命题的序号)
①③
解析：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，
y互为相反数，则x＋y＝0”，显然为真命题；②否命题为“不全等的
三角形的面积不相等”，而不全等的三角形的面积也可能相等，故为
假命题；③原命题为真，所以它的逆否命题也为真，故③为真命题；
－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
利用充分、必要条件求参数的取值范围
[分层深化型]
2
2
[202X·安徽合肥七校联考]“方程
＋
＝1表示的曲线
9− −5
[例3]
是椭圆”的一个必要不充分条件是(
A．m＝7
B．7<m<9
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
)
解析：由ln(x＋1)<0可得0<x＋1<1，即－1<x<0，而{x|－1<x<0}
{x|x<0}，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．故选B
高考数学一轮课件：命题及其关系、充要条件
故实数 m 的取值范围是[9，＋∞)．
法二 ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，
∴p 是 q 的充分而不必要条件， 由 q：x2－2x＋1－m2≤0， 得 1－m≤x≤1＋m， ∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 由 p：1－x－3 1≤2， 解得－2≤x≤10， ∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．
思想方法 1——等价转化思想在充要条件关系中的应用 【典例】 已知 p：1－x－3 1≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，
且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的取值范围．
解 法一 由 q：x2－2x＋1－m2≤0， 得 1－m≤x≤1＋m， ∴綈 q：A＝{x|x＞1＋m 或 x＜1－m，m＞0}，
②再证必要性：∵对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1， ∴f(1)≥－1，即a≥b－1； ∵对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1，而b>1， ∴f 1b≤1，即a≤2 b，必要性得证． 由①②可知，当b>1时，对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立的充 要条件是b－1≤a≤2 b.
【训练1】 (2013·吉林白山二模)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b ＝0”的逆否命题是________． 答案 若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
考点二 充分条件、必要条件的判断 【例2】 (1)(2013·福建卷改编)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是
“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的________条件． (2)(2013·济南模拟)如果a＝(1，k)，b＝(k,4)，那么“a∥b”是 “k＝－2”的________条件． 解析 (1)当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0， 但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1， ∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件． (2) 因 为 a∥b ， 所 以 1×4 － k2 ＝ 0 ， 即 4 ＝ k2 ， 所 以 k ＝ ±2. 所 以 “a∥b”是“k＝－2”的必要不充分条件． 答案 (1)充分而不必要 (2)必要不充分