平方根与算术平方根
平方根与算数平方根——区别与联系
解：
x 25
2
解：
x 81 0
2 2
x 25 x 5
x 81 x 81 x 9
2.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由 120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 多少？
解：设每块地砖的边长为a米。
答：每块地砖的边长为0.3米。
在实际问题 中，利用平方 根的知识去解 决问题时，一 定要注意未知 数的实际意义！
0的平方根也是0 没有平方根 开平方
负 数
求法 表 示
被开方 数a的取 值范围
Hale Waihona Puke a，其中a是被开方数 ，2是根指数（省略）
a≥0
a≥0
例题解析
1、求下列各式的X。
本题实际是利用了平 方根的定义解方程，为 我们后续学习开平方法 解一元二次方程内容奠 定了基础！
(1) x 25
2
(2) x 81 0
负数没有算术平方根.
平方根的概念及性质
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数 叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
即：a的平方根表示为± 其中a叫做被开方数。
a （读做“正、负根号a” ）
练一练：口算下列各数的平方根： 正数有正负两个平方根,它们互为相反数; 性质 (1)9 (2)1.21 (3) 0 (4) -3 0的平方根是0;
负数没有平方根.
归纳总结：平方根和算术平方根的异同点。
算术平方根
定 义
如果一个正数的平方等于a，那么 这个正数就叫a的算术平方根。
平方根
如果一个数的平方等于a，那么 这个数就叫a的平方根。
性 质
正 有一个算术平方根并且还是正 有两个平方根，它们互为相 反数 数 数 0
平方根与算术平方根的区别
平方根和算术平方根的区别(1)．定义不同．如果x2 =a,那么x叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如果x2 =a,并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根．一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．(2)表示方法不同．正数a的平方根，表示为 a．正数a的算术平方根为a．(3)平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1．2．平方根和算术平方根的联系．(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个．(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根．(3)零的平方根和零的算术平方根都是零．平方根、算术平方根指导老师：锋行天下班级__________ 姓名___________1、64的平方根记作，等于，即 = ；64的算术平方根记作，等于，即 = ；2、25的平方根记作，等于，即 = ；25的算术平方根记作，等于，即 = ；3、36的平方根记作，等于，即 = ；36的算术平方根记作，等于，即 = ；4、16的平方根记作，等于，即 = ；16的算术平方根记作，等于，即 = ；5、15的平方根记作，等于，即 = ；15的算术平方根记作，等于，即 = ；6、9的平方根记作，等于，即 = ；9的算术平方根记作，等于，即 = ；7、4的平方根记作，等于，即 = ；4的算术平方根记作，等于，即 = ；8、2的平方根记作，等于，即 = ；2的算术平方根记作，等于，即 = ；9、1的平方根记作，等于，即 = ；1的算术平方根记作，等于，即 = ；10、0.81的平方根记作，等于，即 = ；0.81的算术平方根记作，等于，即 = ；11、0.64的平方根记作，等于，即 = ；0.64的算术平方根记作，等于，即 = ；12、0.49的平方根记作，等于，即 = ；0.49的算术平方根记作，等于，即 = ；13、0.36的平方根记作，等于，即 = ；0.36的算术平方根记作，等于，即 = ；14、0.25的平方根记作，等于，即 = ；0.25的算术平方根记作，等于，即 = ；15、0.16的平方根记作，等于，即= ；0.16的算术平方根记作，等于，即= ；16、0.09的平方根记作，等于，即= ；0.09的算术平方根记作，等于，即= ；17、0.04的平方根记作，等于，即= ；0.04的算术平方根记作，等于，即= ；18、0.01的平方根记作，等于，即= ；0.01的算术平方根记作，等于，即= ；19、0的平方根记作，等于，即= ；0的算术平方根记作，等于，即= ；20、-1的平方根存在吗？（填“存在”或“不存在”）；-4呢？-9？-16？-25？……这是为什么呢？答：原来，所有的数，它们的平方都是，反过来也就是说：比小的数没有平方根，所以我们说：“一个正数有个平方根；0只有个平方根，它是0本身；数没有平方根。
算术平方根与平方根
平方根与算术平方根的概念：
若x
a 的平方根，记为： x a ，其中 x a 叫做 a 的算术平方根。
2
a a 0 ，则 x 叫
基础练习
算术平方根 ， 3 表示3的_____________ 平方根 1、3表示3的 _______________ 。 负的平方根 ________。 － 3表示3的 ____________ 2、
a ____________。
）
x 4 7 ，则
B. 53
x 的算术平方根是（
C.7 D.
A. 49
53
9. 3 a 的算数平方根是
5
，求a的值。
10.已知a、b满足等式 求ab的值.
a2 +
b 3 =0，
拓展延伸
1.已知 x 3 y 1 z 2 0, 求
2
－0.4
2
5
２ － ７
0.6
基础练习
3 ＜ 15＜ ______ 4 5、估计与 15 最接近的两个整数是多少？______
6、比较大小:
< 8 5 _____
5+1 １1 > ______ 8 2
< 6 2 _____
2
> _____ 2
升级演练
7.若 a 1+ 1 a 有意义，则 8.若
2
2 xy z的平方根。
解:依题意得: x 3 0 y 1 0 z 2 0
解得：x 3, y 1,1 2 2
即2 xy z的平方根为 2。
若x, y都是实数，且y 求x y的算术平方根。 解:依题意得:
平方根和算术平方根
平⽅根和算术平⽅根平⽅根和算术平⽅根1、什么叫做平⽅根？如果⼀个数的平⽅等于9，这个数是⼏？±3是9的平⽅根；9的平⽅根是±3。
⼀般地，如果⼀个数的平⽅等于a ，那么这个数叫做的a 平⽅根,也称为⼆次⽅根。
数学语⾔：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平⽅根。
4的平⽅根是；149的平⽅根是。
的平⽅根是0.81。
如果225x =，那么x = 。
2的平⽅根是？2、平⽅根的表⽰⽅法：⼀个正数a 的正的平⽅根，记作“a ”，正数a 的负的平⽅根记作“a -”。
这两个平⽅根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.表⽰，= 。
2的平⽅根是；如果22x =，那么x = 。
3、平⽅根的性质：⼀个正数的平⽅根有2个，它们互为相反数；0只有1个平⽅根，它是0本⾝；负数没有平⽅根。
求⼀个数的平⽅根的运算叫做开平⽅。
4、算术平⽅根：正数有两个平⽅根,其中正数的正的平⽅根,叫的算术平⽅根. 例如，4的平⽅根是2±，2叫做4的算术平⽅根，记作4=2；2的平⽅根是2±，2叫做2的算术平⽅根，记作22=。
5、算术平⽅根的性质：（双重⾮负性）⑴ 0≥0a ≥。
⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a⼆、【题型分类讲解】题型⼀、求平⽅根1、36的平⽅根是；2、的算术平⽅根是；3、下列计算正确的是（）A 2B = C.636=± D.992-=-4、下列说法中正确的有。
①只有正数才有平⽅根；②-2是4的平⽅根；③的平⽅根是；④的算术平⽅根是；⑤的平⽅根是-6 ⑥5、如果a 是b 的⼀个平⽅根，则b 的算术平⽅根是；6平⽅根是； 25 的平⽅根是___，4的算术平⽅根是_____，7、2)8(-= ；2)8(= ；若72=x ，则=x _____。
8、22)4(+x 的算术平⽅根是（）A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+x D 、42+x 9、⼀个⾃然数的算术平⽅根是a ，则下⼀个⾃然数的算术平⽅根是（）A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a10、若9,422==b a ，且0A. 2-B.5±C. 5D. 5-题型⼆、运⽤算术平⽅根进⾏运算计算下列各式的值1、811441691+-；2、()3616512522?--??-题型三、平⽅根性质的运⽤1、⼀个正数x 的平⽅根分别是a+1和a-3，则a= ；x= 。
第二章平方根、算术平方根和立方根
第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。
2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。
②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。
③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。
④写法不同。
在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2） 联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。
②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有 （ a ）2＝ a 2 。
3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42． （2014 。
东营 ） 的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港） 计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。
厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（ 典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门 ）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（ ） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下 列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数的平 方根有两个，B. 一个有理数的 立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（ ） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是 ）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州） 若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。
初中数学人教版 平方根与算术平方根 人教版
0的平方根只有一个，即 0 0
三、平方根与算术平方根的联系与区别
1) 平方根包含算术平方根，算术平方
联
根是平方根中的一个；
系： 2) 平方根和算术平方根都只有非负数才有
3) 0的平方根、算术平方根都是0
1）定义不同： 平方根为 a
区 2）表示方法不同 别： 3）个数不同
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
平方根与算术平方根
一、平方根与算术平方根定义
如果一个数的平方等于a，那么这个数 就叫做a的平方根；其中 a称为被开方数 正数a 的正平方根是数a 的算术平方根
表示为 a 读作“根号 a” 正数a 的负平方根表示为 a 读作“负根号a”
a 因此，正数a的平方根可记做
二、性质： 一个正数有两个平方根；它们互为相反数；
2. 求使 x1 x1有意义x
的取值范围. 解：要使式子有意义，必须满足：
x 1 0
x
1
0
解得xx
Байду номын сангаас
1 1
所以，x 的取值范围是. x1
算术平方根和平方根的区别例题
算术平方根和平方根的区别例题算术平方根和平方根的区别例题一、引言在数学中，我们经常会碰到算术平方根和平方根这两个概念。
但是很多人可能会混淆它们之间的区别。
今天，我们就来深入探讨一下算术平方根和平方根的区别，并通过例题来加深理解。
二、算术平方根和平方根的定义1. 算术平方根的定义算术平方根是指对于一个非负数a，其算术平方根记作√a，即一个非负数b，使得b²=a。
√16=4，因为4²=16。
2. 平方根的定义平方根是指对于一个数x，若存在一个数y，使得y²=x，则y称为x 的平方根。
与算术平方根不同的是，平方根可以是负数。
-3的平方是9，所以-3是9的平方根。
从上面的定义可以看出，算术平方根强调的是非负数的平方根，而平方根包括了正负数的情况。
这也是它们最本质的区别所在。
三、例题分析为了更好地理解算术平方根和平方根的区别，我们来看几个例题：1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) 9b) 16c) -252. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4和-4b) 25和-25c) 36和-36四、解题过程及讨论1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) √9=3，因为3²=9；9的平方根为±3，因为3²=9，(-3)²=9，所以9的平方根为±3。
b) √16=4，因为4²=16；16的平方根为±4。
c) -25的算术平方根不存在，因为算术平方根要求被开方数为非负数；-25的平方根为±5，因为5²=25，(-5)²=25，所以-25的平方根为±5。
2. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4的算术平方根为2，平方根为±2，-4的算术平方根不存在，平方根为±2。
可见，当涉及到正负数的情况时，平方根会比算术平方根多出来一个负数解。
平方根与算术平方根
平方根与算术平方根1.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，即±=9±3.2.算数平方根： 若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0. 9的算术平方根只有一个是3.即39=.3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.4.算数平方根的性质：非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根. 即用式子表示为a (a ≥0)一定为非负数4.平方根与算术平方根的区别与联系1、联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.2、区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。
练 习1．9的平方根是（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．32．下列说法中正确的是（ ）A ．任何数都有平方根B ．一个正数的平方根的平方就是它的本身C ．只有正数才有算术平方根D ．不是正数没有平方根3．下列各式正确的是（ ）A ．1691=45B ．414=221 C ．25.0=0.05 D ．－49-=－（－7）=7 4.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.－6是（－6）2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根5．下列各式无意义的是（ ）A ．－5B ．25-C ．51- D ．2)5(- 6．3－2的算术平方根是（ ） A ．61 B ．31C ．3D ．6 7．（－23）2的平方根是（ ） A ．±8 B ．8 C ．－8D ．不存在 8．使x -有意义的x 的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．非正数9．一个自然数的算术平方根是n ，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（ ）A.n +1B.n 2+1C.12+n D.n +110．若x 2=2,则x 的准确值是多少? 如何表示?请填写下列各空：（1）∵42=16，∴16的算术平方根是 ，用符号表示出来为 ； （2）∵94)32(2=，∴94的算术平方根是 ；用符号表示出来为 ； （3）∵( )2=6，∴6的算术平方根是 .11．若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.12．8116的平方根是____________，（21-）2的算术平方根是____________． 13．y =x x -+-33+2，则x =__________，y =__________．14．一个数的算术平方根是它本身，这个数是______________．15．252－242的平方根是__________，0.04的负的平方根是____________．16．若2-a +|b －3|=0，则a +b －5=____________．17．若4x 2=9，则x =____________．18．81的算术平方根为_________.16的平方根是____________19． (－π)2的算术平方根为_____.20．求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.1)2； (2)(－3.5)2； (4)241.21、求各式的值－01.0 2)5(- 610-22、计算32÷（－3）2+|－61|×（－6）+49．23、求下列各式中x 的值.(1) 25x 2－36=0； (2) (x +1)2－81=0；24、12-x +（y +2）2=0，求x －3+y 3的值．25、 |2a －5|与2+b 互为相反数，求ab 的值．26、已知x ，y 满足x x y 211121-+-=+3，求x y27、请你在数轴上画出表示5的点，并简要说出你的画法．。
平方根算术平方根和立方根
4.已知2a ? 1和3a ? 6是一个正数的两个 平方根.试求出a的值以及这个正数 .
5.已知 x ? 4? | y ? 7 |? 0，试求代数式 2x ? 3 y ? xy的值.
立方根
1.定义：如果一个数的立 方等于 a ,那么 这个数叫做 a的立方根；
表示方法：3 a 立方根的特性：一个正 数有一个正的立
平方根和算术平方根
定义： 1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么
这个数叫做a的平方根； 表示方法：? a
2. 算术平方根：正数的正平方根和0 的平方 根，叫做算术平方根；
表示方法： a
平方根和算术平方根的区别与联系
平方根
算术平方根
个数
正数有两个平方根， 它们互为相反数；0的 平方根是0.负数没有 平方根.
方根小.( ) (4).若x的立方根是它本身，则 x的值
? 1或0.( )
方根；一个负数有一个 负的立方 根；0的立方根是 0；
典型例题
1.求下列各数的立方根：
8
- 27
0 （- 8）2
-8
8 -
125Leabharlann 2.计算下列各式的值 3 - 64 ? 64 3 27 - 9
3.判断正误
(1).有理数一定有立方根 .( ) (2). ? 27的立方根是 ? 3.( ) (3).一个数的立方根总比这 个数的平
正数的算术平方根是正数； 0的算术平方根是0.负数
没有算术平方根.
表示 方法
?a
a
联系
被开方数都必须是非负数；
典型例题
1.求下列各数的平方根和算术平方根
2.计算下列各式
? 36
49
(? 5)2 ? (? 7)2 ? 121
平方根、算术平方根和立方根
唯一性
对于非负实数$a$，其算 术平方根是唯一的。
递增性
随着$a$的增大， $sqrt{a}$也增大。
算术平方根的运算规则
乘法运算
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$b geq 0$）。
加法运算
$sqrt{a} + sqrt{b} = sqrt{(a + b)^2 - ab}$（$a geq 0$，$b geq 0$）。
能够正确计算各种平 方根、算术平方根和 立方根的值。
02 平方根的概念和性质
平方根的定义
平方根
如果一个数的平方等于给定的数， 则这个数称为给定数的平方根。
算术平方根
非负数的平方根称为算术平方根， 表示为√。
立方根
如果一个数的立方等于给定的数， 则这个数称为给定数的立方根。
平方根的性质
01
02
03
平方根、算术平方根和立方根
目 录
• 引言 • 平方根的概念和性质 • 算术平方根的概念和性质 • 立方根的概念和性质 • 平方根、算术平方根和立方根的应用 • 总结与回顾
01 引言
主题简介
平方根
平方根是数学中的一个概念，它表示一 个数的平方等于给定值。例如，4的平方 根是±2，因为2^2=4和-2^2=4。
例如
如果 $a^3 = b$，则 $a$ 是 $b$ 的立 方根。
立方根的性质
非负性
01
一个数的立方根总是非负的。
奇偶性
02
如果一个数是奇数，那么它的立方根也是奇数；如果一个数是
偶数，那么它的立方根也是偶数。
连续性
03
在实数范围内，任何两个不相等的实数都有唯一的介于它们之
第一讲 平方根与算术平方根
是 49 的平方根，即±
都有意义，则 a 的值是(
(A)a≥0 (B)a≤0 4、求下列各式 x 中的取值范围： (1) x 1 (2)
(C)a＝0
3 x 2x 4
(3) x 2 1
(4) 9 x 2 5、求下列各式的平方根： （1）
(5) 3 x
x3
(6) x 4
-2-
3. 性质： （1） ( a ) 2 a (a 0) （2） a 2 a ：①当 a 0 时， a 2 a ； ②当 a＜0 时， a 2 a 。 4、开平方：①求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫被开方数； ②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算； ③平方与开平方互为逆运算. 例 6、求下列各数的平方根： （1）121； （2）
5 3 x 18
144 ； 49
（2） 10 12 ；
（3）
1 ； 16
（4） 17 2 152
6、求 x 值： ① x 2 24 25 ② 4 x 2 25 ③ ( x 0.7 ) 3 0.027
B 组：能力提升
1、若数轴上的点 A，B，C，D 表示数－2，1，2，3，则表示 (A) AB 上 (B) BC 上 (C) CD 上 (D) OB 上 的点 P 应在线段( ).
3
x x 有意义，则 x 1 的值是
；
；若
x
1 1 ＋ x 有意义，则 8 8
x=
5． （ 2012 江苏）已知 x 、 y 都是实数，且 y 是 . 6. .若 4a 1 有意义，则 a 能取得最小整数是（ A、0 B、1 C、 5 D、 4
第一讲 平方根与算术平方根(解析版)
第一讲平方根与算数平方根目录必备知识点 (1)考点一平方根与算术平方根 (1)考点二算术平方根的双重非负性 (6)考点三平方根的性质 (7)必备知识点1.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根，从定义可知，a≥0。
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。
从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。
3.正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
4.算术平方根的双重非负性①a≥0，②a≥05.平方根的性质①2(0)a a=≥aaaì==í-î()()aa<≥考点一平方根与算术平方根1．64的平方根是（ ）A．±4B．4C．±8D．8【解答】解：∵±8的平方都等于64；∴64的平方根是±8．故选：C．2．已知实数a的一个平方根是4，则它的另一个平方根是（ ）a知识导航A．2B．﹣2C．﹣4D．±2【解答】解：∵数a的一个平方根是4，∴a＝16，∴a的另一个平方根是﹣4，故选：C．3．已知2a﹣1和﹣a+4是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）A．9B．1C．7D．49或【解答】解：∵2a﹣1和﹣a+4是一个正数的平方根，∴①2a﹣1+4﹣a＝0，解得a＝﹣3，把a＝﹣3代入4﹣a得7，∴这个正数的值是49；②2a﹣1＝4﹣a，解得a＝，把a＝代入4﹣a得＝，∴这个正数的值是；故选：D．4．若x+3是9的一个平方根，则x的值为（ ）A．0B．﹣6C．0或﹣6D．±6【解答】解：∵x+3是9的一个平方根，∴x+3＝3或x+3＝﹣3，解得：x＝0或x＝﹣6．故选：C．5．下列说法正确的是（ ）A．4的平方根是2B．﹣4的平方根是﹣2C．（﹣2）2没有平方根D．2是4的一个平方根【解答】解：A、4的平方根是±2，故A错误；B、﹣4没有平方根，故B错误；C、（﹣2）2＝4，有平方根，故C错误；D、2是4的一个平方根，故D正确．故选：D．6．下列判断正确的是（ ）A．0.25的平方根是0.5B．﹣7是﹣49的平方根C．只有正数才有平方根D．a2的平方根为±a【解答】解：A、0.25的平方根是±0.5，故此选项错误；B、﹣7是49的平方根，故此选项错误；C、正数和0都有平方根，故此选项错误；D、a2的平方根为±a，正确．故选：D．7．下列说法中不正确的个数是（ ）①（﹣5）2的平方根是±5；②﹣a2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负；⑤0和1的平方根等于本身．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①（﹣5）2的平方根是±5，故①正确；②a＝0时，﹣a2有平方根，故②错误；③非负数a的平方根是互为相反数，故③错误；④负数没有平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数，故④错误；⑤0的平方根等于它本身，1的平方根是±1，故⑤错误；故选：D．8．若（x+2）2＝2，则x的值是（ ）A．+4B．﹣2C．+2或﹣2D．﹣2或﹣﹣2【解答】解：因为（x+2）2＝2，所以x+2＝±，所以x＝﹣2，或x＝﹣﹣2．故选：D．9．7的平方根是（ ）A．±B．C．D．14【解答】解：7的平方根是：±．故选：A．10．“的平方根是±”用数学式子可表示为（ ）A．＝±B．C．±＝±D．﹣＝【解答】解：，故选：C．11．“的平方根是±”用数学式表示为（ ）A．＝±B．＝C．±＝±D．﹣＝﹣【解答】解：“的平方根是±”用数学式表示为±＝±．故选：C．12．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（ ）A．±（m+1）B．（m2+1）C．D．【解答】解：由题意得：这个自然数a为：m2，比这个自然数大1的数为m2+1，即a+1＝m2+1故a+1的平方根用m表示为：±，故选：D．13．81的算术平方根是（ ）A．3B．9C．﹣3D．﹣9【解答】解：∵81＝92，∴81的算术平方根是9，故选：B．14．10的算术平方根是（ ）A．10B．C．﹣D．±【解答】解：∵10的平方根为±，∴10的算术平方根为．故选：B．15．的值是（ ）A ．﹣3B ．3或﹣3C ．3D ．9【解答】解：＝3．故选：C ．16．下列运算正确的是（ ）A ．＝4B ．﹣|﹣2|＝2C ．＝±3D ．23＝6【解答】解：A ．根据算术平方根的定义，，那么A 正确，故A 符合题意．B ．根据绝对值的定义，﹣|﹣2|＝﹣2，那么B 错误，故B 不符合题意．C ．根据算术平方根的定义，＝3，那么C 错误，故C 不符合题意．D ．根据有理数的乘方，23＝8，那么D 错误，故D 不符合题意．故选：A ．17．的平方根是（ ）A ．B ．C ．±2D ．2【解答】解：∵＝2，∴的平方根是±．故选：B ．18．的平方根是（ ）A ．B ．﹣C ．±D ．±【解答】解：＝，的平方根是±．故选：D ．19．下列叙述中，正确的是（ ）A ．a 的平方根是B ．（﹣a ）2的平方根是﹣aC ．一个数总有两个平方根D ．﹣a 是a 2的一个平方根【解答】解：A 、a 的平方根是±．故本选项错误；B 、（﹣a ）2的平方根是a 故本选项错误；C 、负数没有平方根．故本选项错误；D 、﹣a 是a 2的一个平方根．故本选项正确．故选：D ．考点二算术平方根的双重非负性20．已知|a﹣5|+＝0，那么a﹣b＝（ ）A．2B．3C．﹣2D．8【解答】由题意可得a﹣5＝0，b﹣3＝0，故a＝5，b＝3，所以a﹣b＝5﹣3＝2故选：A．21．若实数m，n满足（m﹣6）2+＝0，则的值是（ ）A．2B．2C．2D．4【解答】解：∵实数m，n满足（m﹣6）2+＝0，∴m﹣6＝0，n+2＝0，∴m＝6，n＝﹣2，∴＝＝＝2．故选：B．22．若y＝﹣6，则xy的值为（ ）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解答】解：由题意，得x﹣≥0且﹣x≥0，所以x﹣＝0．所以x＝，则y＝﹣6，故xy＝×（﹣6）＝﹣3，故选：C．23．计算：（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简+|c﹣a|+；（2）已知x、y满足y＝，求5x+6y的值．【解答】解：（1）原式＝|a|+|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a+c﹣a+c﹣b＝﹣2a﹣b+2c；（2）由题意得：，解得：x＝±3，∵x﹣3≠0，解得：x≠3，∴x＝﹣3，则y＝﹣，∴5x+6y＝﹣16．24．已知a为实数，且b2++9＝6b；（1）若a、b为△ABC的两边，求第三边c的取值范围；（2）若a、b为△ABC的两边，第三边c＝5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵b2++9＝6b，∴b2﹣6b+9+＝0，即（b﹣3）2+＝0，∴b﹣3＝0，a﹣4＝0，解得a＝4，b＝3，∵a、b为△ABC的两边，∴第三边c的取值范围为：1＜c＜7；（2）∵a＝4，b＝3，c＝5，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积为：×3×4＝6．考点三平方根的性质25．计算的结果是 4 ．【解答】解：＝＝4．故答案为：4．26．计算＝ π﹣3 ，＝ π﹣3 ．【解答】解：＝π﹣3，＝π﹣3．故答案π﹣3．27．求下列各式的值．（1）±＝ ±11 ；（2）﹣＝ ﹣0.8 ；（3）﹣＝ ﹣3 ；（4）﹣＝ ﹣14 ；（5）＝ 0.04 ；（6）＝ 0.04 ．【解答】解：（1）±＝±11；（2）﹣＝﹣0.8；（3）﹣＝﹣3；（4）﹣＝﹣14；（5）＝0.04；（6）＝0.04．故答案分别为±11，﹣0.8，﹣3，﹣14，0.04，0.04．28．若实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简＝ c ．【解答】解：由数轴可得出：a＜b＜0＜c，∴a+b＜0，b﹣c＜0，∴＝﹣a+（a+b）+c﹣b，＝c．故答案为：c．29．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图，化简：＝ ﹣3a ．【解答】解：由题得，c＞0＞b＞a，∴＝﹣a﹣a﹣b+c﹣a+b﹣c＝﹣3a．故答案为﹣3a．。
平方根与算术平方根的应
平方根与算术平方根的应用xx年xx月xx日•平方根与算术平方根的基础知识•平方根的应用•算术平方根的应用•平方根与算术平方根在科学计算中的应用目•平方根与算术平方根在生活中的应用•总结与展望录01平方根与算术平方根的基础知识平方根的定义与性质平方根的定义：对于任何一个非负数x，它的平方根记作√x，即若a²=x，则a为x的平方根。
•非负性：对于任何实数x，它的平方根有2个，记作±√x。
平方根的性质•对于正数a，它的算术平方根记作√a，即√a≥0。
算术平方根的定义与性质算术平方根的定义：对于任何一个正数x，它的算术平方根记作√x。
•正数a的算术平方根记作√a，即√a>0。
算术平方根的性质•对于非负数x，它的算术平方根记作√x，即若√x²=x，则√x≥0。
平方根与算术平方根的异同•相同点•都是用来求解x的方程的方法。
•对于正数a，它们的结果相同，即√a=a。
•不同点•定义范围不同：平方根定义在实数范围内，而算术平方根定义在正数范围内。
•结果的符号不同：平方根有正负两个值，而算术平方根只有一个正值。
•处理方式不同：求解方程ax²=b时通过平方根来求解，求解方程ax=b时通过算术平方根来求解。
02平方根的应用利用平方根的性质对一元二次方程进行求解，例如将方程$ax^2+bx+c=0$ 转化为 $x^2=(b^2-4ac)/4a$，再利用平方根求得方程的根。
代数方程的求解利用平方根进行等式的变换，例如将 $x^2-9=0$ 转化为$(x+3)(x-3)=0$，从而简化计算。
等式变换利用平方根进行等式变换计算面积和体积利用平方根可以计算矩形、正方形和圆形等形状的面积，以及圆柱体、圆锥和球体等形状的体积。
测量和计算利用平方根可以测量和计算一些实际生活中的问题，例如通过测量房间的面积来计算需要多少平方米的壁纸。
利用平方根解决实际问题统计学在统计学中，平方根常被用于计算标准差等指标。
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别在数学的世界里，平方根和算术平方根是两个容易被混淆，但又有着明显区别的概念。
理解它们的差异对于我们正确解决数学问题、深入掌握数学知识至关重要。
首先，让我们来看看什么是平方根。
平方根，简单来说，如果一个数 x 的平方等于 a，那么 x 就叫做 a 的平方根。
用数学式子表示就是，如果 x²＝ a，那么 x ＝±√a 。
这里的“±”表示正负两个值。
例如，因为4²＝ 16，同时（－4)²＝ 16，所以 16 的平方根是 ±4 。
而算术平方根呢，它是平方根中的非负根。
也就是说，如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 就叫做 a 的算术平方根，记为√a 。
例如，4 的算术平方根是 2，因为 2²＝ 4 ，且算术平方根只取正值。
从符号上来看，平方根的符号是±√ ，而算术平方根的符号是√ ，没有“±”。
这是一个非常直观的区别，在看到符号的时候就能立刻判断出是在求平方根还是算术平方根。
从取值范围来说，平方根可以是正的，也可以是负的，还可以是0 。
而算术平方根一定是非负的，即大于等于 0 。
比如，0 的平方根和算术平方根都是 0 ，因为 0²＝ 0 。
但对于正数，如 9 ，它的平方根是 ±3 ，而算术平方根是 3 。
在实际计算中，平方根的计算结果通常有两个值，一正一负。
而算术平方根只有一个正值。
这在解决方程问题时需要特别注意。
比如，当方程 x²＝ 25 时，x 的值为 ±5 ，这是求平方根；但如果是√x ＝ 5 ，那么 x ＝ 25 ，这里的√x 表示的就是算术平方根。
再从几何意义上来理解。
假设一个正方形的面积是 a ，那么这个正方形的边长就是a 的平方根。
但如果我们说这个正方形的边长是正数，那么这个边长就是 a 的算术平方根。
在数学运算中，平方根和算术平方根的性质也有所不同。
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别在数学的世界里，平方根和算术平方根是两个重要的概念，虽然它们之间有着密切的联系，但也存在着明显的区别。
理解这两个概念的差异对于我们正确地解决数学问题至关重要。
首先，让我们来明确一下平方根的定义。
一个数的平方根，是指能够使得这个数平方后等于原来的数的数值。
例如，对于数字 9 来说，因为 3 的平方是 9，同时－3 的平方也是 9，所以 9 的平方根是 ±3 。
也就是说，一个正数如果有平方根，那么它有两个，且互为相反数。
而 0 的平方根则是 0 ，负数在实数范围内是没有平方根的。
接下来，再看看算术平方根。
算术平方根则是一个非负的平方根。
还以 9 为例，9 的算术平方根就只是 3 ，而不是－3 。
也就是说，对于一个非负数来说，它的算术平方根一定是非负的。
从符号表示上来看，平方根通常用“ ± ”来表示，例如 9 的平方根记作±√9 ＝ ±3 ；而算术平方根则只用“ √ ”表示，且结果为非负，比如 9 的算术平方根记作√9 ＝ 3 。
从取值范围来说，平方根可以是正的、负的或者是 0 ；但算术平方根一定是非负的，即大于等于 0 。
在实际的计算中，这两个概念的应用场景也有所不同。
当我们需要考虑一个数的所有可能的平方根时，就会用到平方根的概念。
比如在求解某些方程，如 x²＝ 16 时，我们就需要考虑 16 的两个平方根 ±4 ，从而得到 x ＝ ±4 。
而算术平方根更多地出现在涉及长度、面积等实际问题中，因为这些量通常是正的。
比如一个正方形的面积是 25 平方米，求它的边长，这里就需要用到算术平方根，因为边长不能是负数，所以边长就是√25 ＝ 5 米。
另外，从数学性质上来说，平方根具有双重性，一正一负；而算术平方根具有唯一性和非负性。
在数学运算中，如果混淆了平方根和算术平方根，就很容易得出错误的结果。
例如，如果把一个数的算术平方根当作平方根来处理，或者反过来，都会导致计算的偏差。
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别在数学的世界里，平方根和算术平方根是两个重要的概念。
虽然它们听起来相似，但实际上存在着显著的区别。
首先，让我们来明确一下平方根的定义。
对于一个非负数 a ，如果存在一个数 x ，使得 x²＝ a ，那么 x 就被称为 a 的平方根。
例如，因为 2²＝ 4 ，（－2）²＝ 4 ，所以 4 的平方根是 ±2 。
这意味着一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
而 0 的平方根是 0 ，负数在实数范围内没有平方根。
接下来，我们看看算术平方根。
一个非负数 a 的非负平方根被称为它的算术平方根。
还拿 4 举例，4 的算术平方根就只是 2 。
也就是说，算术平方根一定是非负的。
从符号表示上来看，平方根用“±√a ”表示，而算术平方根用“√a ”表示。
例如，4 的平方根表示为±√4 ＝ ±2 ，4 的算术平方根表示为√4 ＝2 。
在计算过程中，这两个概念的运用也有所不同。
比如，在求解方程x²＝ 9 时，我们需要考虑 9 的平方根，即 x ＝ ±3 ；但如果是求一个正方形的边长，已知其面积为9 ，那么这里要求的就是9 的算术平方根，即边长为 3 。
再从几何意义上讲，假设一个正方形的面积为 a ，那么其边长就是a 的算术平方根。
而如果要考虑这个正方形的边长可能的取值，那就是a 的平方根。
在实际生活中，平方根和算术平方根也有不同的应用场景。
比如，在测量物体的长度时，如果计算得到的长度的平方等于某个数值，那么我们需要求出这个数值的平方根来得到可能的长度。
但如果是计算平均增长率或者速度等，通常用到的是算术平方根。
此外，平方根的性质与算术平方根也有所不同。
平方根的平方等于被开方数，即（±√a ）²＝a ；而算术平方根的平方同样等于被开方数，（√a ）²＝ a 。
对于初学者来说，很容易混淆这两个概念。
第4讲 平方根和算术平方根
第4讲 平方根和算术平方根平方根：思考：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？观察并填表:定义：一般的，如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或者二次方根。
即如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根，记为±a 。
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
练习：下列数字的平方根是多少？ 36 _______ 0.01________ 2516________ 0________ -9_________ 3______ 5_________ 13________ 41________ 57________注意：1.负数没有平方根；2. 正数有两个平方根，她们互为相反数，0的平方根是0.练习：一个正数的平方根分别是2a-1和-a+2，这个数是多少？例1.（1）9的平方根是（ ）A.3B.±3C.-3D.81（2）3的平方根是（ ） A.3 B.±3 C.-3 D.9练1--1.（1）16的平方根是（ ）A.4B.±4C.-4D.256（2）6的平方根是（ ） A.6 B.±6 C.- 6 D.36例2.（1）下列各数中没有平方根的是（ ）A.0B.-82C.2)41( D.-（-3）（2）下列说法正确的是（ ）A.±0.02是0.4的平方根B.非负数的平方根都不大于本身C.因为32=9，所以9的平方根是3D.平方根等于本身的数是0练2--1.（1）下列各数中没有平方根的是（）A.（-1）2B.1C.-|-1|D.|-7|（2）下列说法正确的是（）A.4的平方根是2B.非负数的平方根都不大于本身C.若x是a的平方根，则x2=aD. 平方根等于本身的数是0和1练2--2.（1）下列各数中没有平方根的是（）A. -12B.0C.（-1）2D.|-（-3）-7|（2）下列说法正确的是（）A.数a的平方根是正数B.数a的绝对值是正数C.16的平方根等于4D.3是9的平方根例3.（1）若x2=(-3)2，则x为_______;2x2-50=0，则x为_______;（x+1）2-9=0，则x为_______.（2）已知：一个正数的两个平方根分别为2a-2和a-4，求a的值。
算术平方根和平方根有什么区别
索罗学院
算术平方根和平方根有什么区别?
疑点：算术平方根和平方根有什么区别?
解析：一个正数的平方根有两个，一正一负，且这两个平方根互为相反数，我们把正的那一个平方根叫做算术平方根。
如16的平方根为：，而是16的算术平方根。
例：求25的算术平方根解：25的平方根为：=，所以算术平方根是：
结论：算术平方根是平方根中正的那一个平方根。
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教案用纸
编号： 1-1 授课时间：2006-2-20 课题 16.1 平方根与立方根（一）—平方根与算术平方根
教学 目标 在实际问题中,感受平方根的意义，了解平方根、算术平方根的概念。
了解平方与开方的互逆运算；体验数学的发展源于生活，又作用于生活
的辩证关系。
重点 难点 通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系；会用计算器求任意正数的算术平方根。
手段 方法 问题探究,分组讨论
教 学 过 程
学生活动
探索：要剪出一个面积为9的正方形纸片，边长为多少？
一个数的平方是9，那么这个数是什么数？
因为 32＝9，(-3)2＝9， 所以这个数是3或-3．
又如，一个数的平方是，因为4
25
25425
25425
2
2
⎛⎝ ⎫
⎭⎪=⎛⎝ ⎫
⎭⎪=，－，
所以这个数是或－．2525
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根．
求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方．
学生回顾什么数的平方为9
教 学 过 程 学生活动
一个正数的正的平方根，用符号“”表示，叫做，a a a 2被开方数
2a 叫做．正数的负的平方根，用符号“－”表示．这两个平
根指数a 2
方根合起来可以记作“±”．这里，符号“”读作“二次根号”，
a 22
省略不写，如，
时，通常将这个”．根指数是读作“二次根号22a 2
a a a a a a 2
2记作，读作“根号”；±记作±，读作“正、负根号”．a
例1 求下列各数的平方根（将下列各数进行开平方）：
解：(1)∵(±9)2=81，∴81的平方根是±9，即
其中的一个正根．
学生思考开方，并同平方比较；
通过亲身实践得到规律
教学过程学生活动我们知道，正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫
做的，记作．
a算术平方根a
0的平方根也叫做0的算术平方根．由此可知，0的算术平方根是0，即．
0=0注意 非负数
a0a a
当是正数或（又叫做）时，表示的算术平方根．例3 求下列各数的算术平方根：
解：(1)∵102＝100，∴100的算术平方根是10，即
(3)∵0.92＝0.81，∴0.81的算术平方根是0.9，即
注意：100的平方根是10和-10，而它的算术平方根是10．思考为什么负数没有平方根
板书设计与课后记：
教学过程学生活动例4 求下列各式的值：
解：(1)∵1002＝10000，
(2)∵122=144，
(4)∵(0.01)2=0.0001，
(5)∵252=625，
注意由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它共同总结；
正确理解对于开平方、求平方根、求算术平方根、求各式的值的正确含义。