计算机算法设计与分析基础(第六章变治法)
计算机算法设计与分析课程设计
计算机算法设计与分析课程设计成绩评定表课程设计任务书算法分析是对一个算法需要多少计算时间和存储空间作定量的分析。
算法（Algorithm）是解题的步骤，可以把算法定义成解一确定类问题的任意一种特殊的方法。
在计算机科学中，算法要用计算机算法语言描述，算法代表用计算机解一类问题的精确、有效的方法。
分治法字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
在一个2^k*2^k的棋盘上，恰有一个放歌与其他方格不同，且称该棋盘为特殊棋盘。
回溯法的基本做法是深度优先搜索，是一种组织得井井有条的、能避免不必要重复搜索的穷举式搜索算法。
数字拆分问题是指将一个整数划分为多个整数之和的问题。
利用回溯法可以很好地解决数字拆分问题。
将数字拆分然后回溯，从未解决问题。
关键词：分治法，回溯法，棋盘覆盖，数字拆分1分治法解决期盼覆问题 (1)1.1问题描述 (1)1.2问题分析 (1)1.3算法设计 (1)1.4算法实现 (2)1.5结果分析 (3)1.6算法分析 (4)2回溯法解决数字拆分问题 (6)2.1问题描述 (6)2.2问题分析 (6)2.3算法设计 (7)2.4算法实现 (7)2.5结果分析 (8)参考文献 (9)1分治法解决期盼覆问题1.1问题描述在一个2k×2k（k≥0）个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。
显然，特殊方格在棋盘中出现的位置有4k中情形，因而有4k中不同的棋盘，图（a）所示是k=2时16种棋盘中的一个。
棋盘覆盖问题要求用图（b）所示的4中不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且热河亮哥L型骨牌不得重复覆盖1.2问题分析用分治策略，可以设计解决棋盘问题的一个简介算法。
当k>0时，可以将2^k*2^k棋盘分割为4个2^k-1*2^k-1子棋盘。
计算机算法设计与分析基础(第六章变治法)
★ 变治策略
★ 预排序
★ 高斯消去法 ★ 平衡查找树（略）
★ 堆与优先队列（略）
★ 堆排序（略） ★ 霍纳法则和二进制幂 ★ 问题化简 ★ 本章习题
★ 变治策略
通用的算法设计方法，基于变换的思想
变：变换问题更容易求解 治：对变换后的问题求解
3 种主要类型
实例化简：问题求解变得更简单，如预排序
while ( i≤n-1 )
runlength←1，runvalue←A[i] // 行程长度 = 等值元素个数 while ( i+runlength≤n-1 and A[i+runlength] = runvalue )
runlength ++ // 与下一个元素相等则行程长度+1
if ( runlength > ModeFrequency ) ModeFrequency←runlength，modeValue←runvalue i←i+runlength // 跳过本行程，i 始终指向行程的第一个元素 return ( ModeValue, ModeFrequency )
需要与辅助列表中已加入的 k-1个元素比较，共 k-1 次。
最差效率：
T ( n) ( k 1) 1 ... n 1 (n2 )
k 1
n
变治法 —— 预排序（nlogn型），排序后 等值元素一定相邻 扫描统计：模式具有最多的相邻元素，需比较 n -1 次。 PresortMode_1(A[0...n-1]) // 行程算法 对数组A排序 // 排序结果 { 1, 5, 5, 5, 6, 7, 7 } i←0，ModeFrequency←0 // 最大频率，最大行程长度
计算机算法设计与分析
计算机算法设计与分析计算机算法设计与分析在计算机科学领域扮演着重要的角色。
它是研究和开发高效算法的过程，以解决各种计算问题。
在本文中，我们将探讨算法设计与分析的基本原理、常见算法类型以及算法分析的重要性。
一、算法设计与分析的基本原理算法设计的目标是开发一种能够解决特定问题的步骤序列。
这些步骤应该是明确的、非歧义的，并且能够在有限的时间内产生预期的结果。
为了实现这一目标，算法设计需要考虑以下几个主要原理：1. 问题抽象：将实际问题转化为计算机能够理解和处理的抽象形式。
这涉及到定义输入和输出，以及建立问题的数学模型。
2. 分解与合成：将复杂问题分解为更简单的子问题，然后将子问题的解合并成原始问题的解。
这种分解与合成的过程可以提高算法的可读性和效率。
3. 数据结构选择：选择适当的数据结构来存储和操作问题的输入和输出。
不同的数据结构对于不同的问题具有不同的性能和效率。
4. 控制结构设计：设计算法控制结构，如循环、条件语句和递归等，以实现预期的计算过程。
二、常见的算法类型在算法设计与分析中，有各种各样的算法类型可供选择。
以下是一些常见的算法类型：1. 排序算法：排序算法用于按照一定的规则对数据进行排序。
常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、归并排序和快速排序等。
2. 搜索算法：搜索算法用于查找指定数据的位置或者判断数据是否存在。
常见的搜索算法包括线性搜索、二分搜索和哈希搜索等。
3. 图算法：图算法用于处理图数据结构上的问题。
常见的图算法包括最短路径算法、最小生成树算法和拓扑排序算法等。
4. 动态规划算法：动态规划算法用于解决一些最优化问题，它通过将问题分解为子问题，并利用已解决的子问题的解来解决原始问题。
三、算法分析的重要性算法分析是评估算法性能和效率的过程，它对于算法设计与分析至关重要。
通过对算法进行分析，我们可以了解算法的时间复杂度、空间复杂度和性能边界等关键指标。
这些指标可以帮助我们选择最适合特定问题的算法，并预测算法在不同输入情况下的表现。
最新计算机算法设计与分析6第六章动态规划ppt课件
条路径肯定比v2,v3,,vk1,t路径短，这与假设矛盾， 因此最优性原理成立。
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0/1背包问题
背包问题中的xj限定只能取0或1值，用KNAP(l, j, X) 来表示这个问题。
2
7
1
7
4 11
11
8
5
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4 3
5 6
V4
V5
9 4
t
10 2 12
5 11
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多段图向前处理的计算过程
7
例：多段图问题(multistage graph problem)
V1
9 7
s1 3
2
V2
V3
24 6
26 5
3
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V4
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t
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5
11
8
多段图问题的最优性原理证明
假设s,v2,v3,,vk1,t是一条由s到t的最短路径。 再假设从证源明点满s开足最始优，性已原作理出: 了到结点v2的决策，因 此如v果2就把是v2初看①②③始成设确初决是最定始优初决策原决始策所问策状所产题序态产生的列和生的一的初的状个形始状式决态态子策。问题的初始状态，解
向后处理法(backward approach) 从初始阶段开始，以逐步向后递推的方式，列出求 解后一阶段决策值的递推关系式，即根据x1, , xi1 的那些最优决策序列来列出求取xi决策值的关系式。
计算机算法设计与分析(第3版) 第6章
16
6.3 装载问题
4. 构造最优解
找到最优值后，可以根据parent回溯到根节点，找到最优解。
// 构造当前最优解 for (int j = n - 1; j > 0; j--) { bestx[j] = bestE->LChild; bestE = bestE->parent; }
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6.3 装载问题
2. 队列式分支限界法
while (true) { // 检查左儿子结点 if (Ew + w[i] <= c) // x[i] = 1 EnQueue(Q, Ew + w[i], bestw, i, n); // 右儿子结点总是可行的 EnQueue(Q, Ew, bestw, i, n); // x[i] = 0 Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结点 if (Ew == -1) { // 同层结点尾部 if (Q.IsEmpty()) return bestw; Q.Add(-1); // 同层结点尾部标志 Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结点 i++;} // 进入下一层 } }
找到目标位置后，可以通过回溯方法找到这条最短路径。
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6.5
算法的思想
0-1背包问题
首先，要对输入数据进行预处理，将各物品依其单位 重量价值从大到小进行排列。 在下面描述的优先队列分支限界法中，节点的优先级 由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品 装满剩余容量的价值和。 算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。 如果该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活 结点优先队列中。当前扩展结点的右儿子结点一定是可行 结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树 和活结点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。
算法设计与分析(第六章)详解演示教学
2020/7/2
计算机算法设计与分析
8
分支限界法的一般算法
• ⑴初始化：计算起点s的f(s); [s, f(s), nil]放入Open;
• 若⑵结wh点iled(已Op被en考≠察) {，则说明这次是通过另一 • 条⑶路从径O到pen达中到取d出。[p,设f(pd)原, x]来(f(评p)为价最为小f()d; )’，将其 • 与⑷新if的(f(评p)价< Uf()d{)将比[较p, f。(p)若, x新]放评入价Clo更se好d; ，则删 • 去⑸旧if的(p是，目将标新) {的成插功入返到回}Oeplseen中；否则丢弃。
计算机算法设计与分析
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评价函数的构造
• 评价函数要能够提供一个评定候选扩展结 点的方法，以便确定哪个结点最有可能在 通往目标的最佳路径上。
• 一个评价函数f(d)通常由两个部分构成： • ⑴从开始结点到d的已有耗损值g(d)，和 • ⑵再从d到达目标的期望耗损值h(d)。即：
f(d) = g(d) + h(d)。 • 通常g(d)的构造较易，h(d)的构造较难。
2020/7/2
计算机算法设计与分析
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分支限界法基本思想
• 分支限界法就是最佳优先(包括广度优先)的 搜索法。其基本思想是：将要待考察的结 点按其优劣排序，优先搜索好结点。
• 于是便有了两个要点： • (1)需要构造评价结点优劣的评价函数。 • (2)需要能够重新构造解的路径，也就是搜
索的路径。
2020/7/2
计算机算法设计与分析
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Open表与Closed表
• 搜索中，表L用来保存准备扩展的结点，即 下一步的结点。把表L称为Open表。
• 此外，为了构造解的路径，还需要一个表
计算机科学导论第6章程序设计与算法分析
• (7) 字符串表达式：该表达式的运算结果是 字符串。
6．语句
• 语句是构成高级语言源程序的基本单位，是由 基本元素、运算符、表达式等组成。
• (3)特殊字符
• ＋(加)，－(减)，*(乘)，/(除)，∧(乘方)， ＝(等号)，((左括号)，)(右括号)，＞(大 于)，＜(小于)，，(逗号)，(空格)等。
• 在高级语言中的多字符基本符号由两个或两 个以上的字符组成，例如GoTo(转移)、＜＝ (小于或等于)、AND(与)等等。
2．高级语言的基本元素
• 高级语言中的运算符大致包括以下几个方面： • (1) 逻辑运算：与、或、非、异或。 • (2) 算术运算：加、减、乘、除、取模。 • (3) 数据比较：大于、小于、等于、不等于。
• (ห้องสมุดไป่ตู้) 数据传送；输入、输出、赋值。
• (5) 算术表达式：该表达式的运算结果是数， 它非常近似于日常的数学公式。
C++、Delphi、Power Builder、Java等等。
高级语言的特点
• 优点：语句的功能强，源程序比较短，容易学 习，使用方便，通用性较强，便于推广和交流。
• 缺点：编译程序比汇编程序复杂，而且编译出 来的目标程序往往效率不高，目标程序的长度 比有经验的程序员所编的同样功能的汇编语言 程序要长—半以上，运行时间也要长一些。
第六章 程序设计与 算法分析
本章要点
◆初步了解程序设计的基础知识 ◆掌握结构化程序设计和面向对象程序设计的基
本方法 ◆掌握数据结构中的基本数据类型及其实现 ◆掌握程序设计算法的基本思想及几种经典的算
算法设计与分析基础
算法设计与分析基础算法设计与分析是计算机科学中的核心内容之一，它涉及到算法的设计、实现和分析等方面。
在计算机科学的领域中，算法是解决问题的一系列有序步骤的描述。
本文将介绍算法设计与分析的基础知识，并探讨一些常见的算法设计思想。
一、算法设计与分析的基础知识1.1 算法的定义算法是指解决特定问题的一系列步骤或指令。
它可以输入一些数据，并按照一定规则对数据进行处理，最终得到输出结果。
算法可以用自然语言、伪代码或者编程语言来描述。
1.2 算法的性能度量在进行算法设计与分析时，我们需要考虑算法的性能。
常用的性能度量指标包括时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是衡量算法执行时间的度量，通常用大O符号表示。
空间复杂度是衡量算法所需存储空间的度量。
1.3 常见的基本算法在算法设计与分析中，有一些常见的基本算法需要掌握。
例如，排序算法（如冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序等）、查找算法（如顺序查找、二分查找等）以及递归算法等。
二、常见的算法设计思想2.1 贪心算法贪心算法是一种基于局部最优选择的算法设计思想。
在每一步都做出当前看来最好的选择，并且不回退。
贪心算法通常简单高效，但不一定能得到全局最优解。
2.2 分治算法分治算法将原问题划分成多个子问题，然后将子问题的结果合并得到原问题的解。
分治算法通常采用递归的方式实现，它能够减小问题的规模，从而简化求解过程。
2.3 动态规划动态规划是一种将复杂问题分解成简单子问题的算法设计思想。
它通常需要用一个表格来存储子问题的解，以避免重复计算。
动态规划算法适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。
2.4 回溯算法回溯算法是一种通过不断试探和回溯来求解问题的算法设计思想。
在问题求解过程中，当发现当前选择不合适时，回溯算法会退回到上一个状态，并进行其他选择。
回溯算法往往需要穷举所有可能的解空间。
三、算法分析对于一个算法，我们需要对其进行正确性和效率两个方面的分析。
正确性分析是指证明算法可以按照预期解决问题。
算法分析与设计基础
算法分析与设计基础（清华版）Taken from "Introduction to The Design and Analysis of Algorithms" by Anany Levitin节选自《算法设计与分析基础》潘彦译蛮力法就像宝剑不是撬棍一样，科学也很少使用蛮力。
——Edward Lytton (1830 - 1873)，leila，第二卷，第一章认真做事常常是浪费时间。
——Robert Byrne，撞球大师，台球选手和作家人们是这样描述它的：蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。
这里的“力”是指计算机的能“力”，而不是人的智“力”。
我们也可以用“直接做吧！”来描述蛮力法的策略。
而且一般来说，蛮力策略也常常是最容易应用的方法。
虽然巧妙和高效的算法很少来自于蛮力法，但我们不应该忽略它作为一种重要的算法设计策略的地位。
第一，和其他某些策略不同，我们可以应用蛮力法来解决广阔领域的各种问题（实际上，它可能是惟一一种几乎什么问题都能解决的一般性方法）。
具体来说，蛮力法常常用于一些非常基本、但又十分重要的算法，比如计算n个数字的和，求一个列表的最大元素，等等。
第二，对于一些重要的问题来说（比如：排序、查找、矩阵乘法和字符串匹配），蛮力法可以产生一些合理的算法，它们多少具备一些实用价值，而且并不限制实例的规模。
第三，如果要解决的问题实例不多，而且蛮力法可以用一直能够接受的速度对实例求解，那么，设计一个更高效算法所花费的代价很可能是不值得的。
第四，即使效率通常很低，仍然可以用蛮力算法解决一些小规模的问题实例。
最后，一个蛮力算法可以为研究或教学目的服务，例如，它可以作为准绳，来衡量同样问题的更高效算法。
下列这些著名的算法可以看作是蛮力法的例子：基于定义的矩阵乘法算法；选择排序；顺序查找；简单的字符串匹配算法。
穷举查找是解组合问题的一种蛮力方法。
6第六章 变治法
3
预排序(Presorting)
如果列表是有序的话，许多关于列表的问题更容易解决。 例1：检查数组中元素的唯一性
T(n)=Tsort(n)+Tscan(n) ∈ Θ(nlogn)+ Θ(n)= Θ(nlogn)
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堆(Heap)的构造
删除堆中的根键
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堆排序(Heap Sort)
第一步：构造堆 第二步：删除最大键
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把一棵不平衡二叉树转换为平衡的形式——AVL树。 允许一棵查找树的单个节点中不止包含一个元素。 特例是：2-3树、2-3-4树、B树。 2
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AVL树(AVL Trees)
掌握变治法的基本思想及在常见问题中的应用。
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变治法(Transform and Conquer)
减治是基于变换 变换的思想。 变换 分两个阶段工作，即“变”阶段和“治”阶段. 变 治 变治法的三种类型：
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AVL树(AVL Trees)
AVL树的效率
包含n个节点的AVL树的高度h都满足 [log2n]≤h<1.4405log2(n+2)-1.3277 在最差情况下，查找和插入操作的效率属于Θ(logn) 在平均情况下，查找一棵AVL树需要的比较次数和 用折半查找一个有序数组几乎是相同的。 AVL数的缺点是频繁的旋转，需要维护树节点的平 衡以及总体上的复杂性。
算法设计和分析变治法
6.4 堆和堆排序 • 6.4.1 堆旳概念
• 看书p170-p173回忆及了解 • 1 堆旳定义 • 2 堆旳构建措施 • 3 自底向上构造法旳时间效率 • 4 自顶向下构造法旳时间效率 • 5 堆中删除元素旳算法
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• 1 堆旳定义 • 堆是一棵二叉树，树中节点包括键，满足下
面两个条件： • 树旳形状：二叉树 • 父母：每个节点旳键都要不小于或等于它子
1 5
x1 x2 x3 0
2 1 1 1 r22r1 2 1 1 1
2 1 1 1
4 1 1 5 r3r1/20 3 3 3 r3r2/20 3 3 3
1 1 1 0
0
3 2
1 2
1 2
0 0 2 2
回代后得
x3 1，x2 0，x1 1
11
高斯消元法旳伪代码
GaussElimination(A[1..n], b[1..n]) // 输入：系数矩阵A及常数项 b // 输出：方程组旳增广矩阵等价旳上三角矩阵 for i=1 to n do
半查找一种有序数组是几乎相同旳。 • 在最差情况下查找和插入旳效率属于Θ(logn) • 缺陷： • 频繁旳旋转，维护平衡以及总体上旳复杂性
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6.3.2 2-3树
2-3树是一种特殊旳高度平衡树，允许结点最多包括两个 关键字。两类结点：2-node、3-node。 树中全部叶子必须位于同一层。
k
k1,k2
• 2 LU分解不需要额外旳存储空间
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3、计算矩阵旳逆
逆矩阵旳定义：
a11 a12
a1n x11 x12
x1n 1 0
0
a21 a22
a2n
x21
《计算机算法设计与分析基础》
《计算机算法设计与分析基础》计算机算法设计与分析基础近年来，随着计算机技术的飞速发展，算法已成为计算机领域中的一个重要分支。
在这个以信息为重的时代里，数据挖掘、机器学习、自然语言处理等技术的不断涌现，更加需要高效、准确的算法来支持和驱动。
因此，掌握计算机算法设计与分析技术已成为计算机科学专业学生必须掌握的知识之一。
一、算法概述算法是指一种有限的、明确的、无歧义的操作序列，用于解决某一问题或完成某一任务。
一个算法必须满足以下要求：1.有限性：算法必须在有限的步骤内完成。
2.确定性：算法中每一步的计算过程必须明确而无歧义。
3.可行性：算法必须是可实现的，能够在计算机上编写程序来实现。
4.正确性：算法必须能够在所有输入数据上正确解决问题，并给出正确的输出。
在计算机领域中，算法的重要性不言而喻。
计算机程序就是一系列指令的集合，执行的效率和准确性取决于所使用的算法。
二、算法设计算法设计就是指在解决一个问题时，需要设计一种操作序列，这个序列需要满足上述算法的要求。
1.贪心算法贪心算法是一种贪心思想的应用，它根据当前状态选择当前最优解，而不考虑未来可能出现的情况。
贪心算法通常用于求解一些最优化问题，例如：-活动选择问题-背包问题-最小生成树问题2.分治算法分治算法是一种把问题分解成多个子问题进行处理的算法。
适用于以下问题：-排序问题-矩阵乘法问题-快速排序问题3.动态规划算法动态规划算法是一种基于分治思想和递归思想的算法，它主要用于刻画一个问题的最优解，适用于以下问题：-最长公共子序列问题-背包问题三、算法分析算法分析是指在设计算法之后，需要进行对算法运行时间和空间需求的评估，这可以帮助我们选择最优算法，从而提高程序的执行效率。
1.时间复杂度时间复杂度是指算法在处理规模为n的问题时，所需要的时间的增长速度。
常见的时间复杂度有：-常数复杂度O(1)-线性复杂度O(n)-对数复杂度O(logn)-平方复杂度O(n^2)-指数复杂度O(2^n)2.空间复杂度空间复杂度是指算法在执行过程中需要占用的空间大小。
算法设计与分析讲义算法分析基础
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总结与展望
算法设计与分析的未来发展方向
算法复杂度优化
随着大数据和人工智能的发展，对算法的执行效率和内 存使用效率的要求越来越高，未来将有更多的研究关注 于设计具有更低复杂度的算法。
混合算法设计
目前算法设计已经发展出了多种不同的方法和技术，未 来将会有更多的研究工作在混合使用这些方法和技术上 展开，以实现更高效的算法设计。
0-1背包问题算法设计
总结词
0-1背包问题是一类经典的动态规划问题， 旨在在给定容量的背包中装入最大价值的物 品。
详细描述
0-1背包问题可以通过动态规划进行求解， 时间复杂度为O(n^2)，其中n为物品数量。 在物品数量较多的情况下，需要使用更高效 的算法进行优化，如记忆化搜索和自顶向下
的动态规划。
实践编程
通过编程实践，可以更好地理解和 掌握算法设计与分析的基本原理和 方法。
阅读和研究论文
阅读和研究最新的算法设计和分析 论文，可以帮助你了解最新的研究 方向和技术进展。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
贪心算法在解决优化问题时，通过每一步局部最优的选择，从而达到全局最优。这种算法在每一步选择时，都 采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是最好或最优的。贪心算法不适用于所 有问题，但它在一些经典问题中表现出色，如背包问题、霍夫曼编码等。
分治算法
总结词
分治算法是一种将问题划分为若干个子问题，然后将子问题的解组合成原问题的 解的算法。
算法的特性
有穷性
算法必须在有限的时间内执行完毕。
可行性
算法必须在理论上是可行的，即可以通过 计算机或其他计算设备实现。
确定性
算法的每个步骤都必须清晰明确，没有歧 义。
计算机算法设计与分析方法与应用复习
计算机算法设计与分析方法与应用复习计算机算法是计算机科学中一项重要的基础知识，它涉及到了计算机程序的设计与实现。
在计算机算法设计与分析方法与应用的学习中，我们需要掌握各种不同的算法以及它们的应用场景和分析方法。
本篇文章将对计算机算法设计与分析方法与应用进行复习，包括以下几个方面的内容：分治法、动态规划、贪婪算法、回溯法、图算法等。
一、分治法分治法是一种将问题分解成更小规模子问题的方法，然后将子问题的解组合起来得到原问题的解。
在分治法中，我们需要考虑如何将问题划分成子问题、如何求解子问题和如何将子问题的解合并成原问题的解。
分治法常用于解决一些复杂的计算问题，例如快速排序、合并排序等。
快速排序是一种常用的排序算法，它的基本思想是通过选取一个基准元素，将待排序的序列划分成两部分，一部分小于基准元素，一部分大于基准元素。
然后对两部分分别进行递归排序，最终得到有序序列。
快速排序的时间复杂度为O(nlogn)，是一种效率较高的排序算法。
其具体实现如下：```void quickSort(int arr[], int low, int high){if (low < high){int i = low, j = high, base = arr[low];while (i < j){while (i < j && arr[j] >= base){ j--;}if (i < j){arr[i] = arr[j];i++;}while (i < j && arr[i] <= base){ i++;}if (i < j){arr[j] = arr[i];j--;}}arr[i] = base;quickSort(arr, low, i - 1);quickSort(arr, i + 1, high);}}```二、动态规划动态规划是一种通过把问题分解成相互重叠的子问题，并保存子问题的解来求解原问题的方法。
算法分析第六章答案精选全文
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P136 算法6.5
P(i) P(1)=1/20, P(2)=1/5, P(3)=1/10, P(4)=1/20
Q(i) Q(0)=1/5, Q(1)=1/10, Q(2)=1/5, Q(3)=1/20, Q(4)=1/20
化简为整数形式
P(i) P(1)=1, P(2)=4, P(3)=2, P(4)=1
Call CreateTree(m, r-1, root, w)
Call CreateTree(r, n, root, w)
endif
endif
End BuildTree
26
P151-6
设(w1,w2,w3,w4)=(10, 15, 6, 9), (p1,p2,p3,p4)=(2, 5, 8, 1)。
7
5
3
3
9 6
3
3
P151-1
Ak(i,j) = min{Ak-1(i,j), Ak-1(i,k)+Ak-1(k,j)} , k1 ①成立，不包含负长度环. P130 ②可以使结点间的长度任意小。
4
P151-2
修改过程ALL_PATHS，使其输出每对 结点（i,j）间的最短路径，这个新算法 的时间和空间复杂度是多少？
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实现思想： 1：令(P,W)为最优解所对应的序偶,i=n-1 2：如果i>0，重复下列操作：
时间复杂性分析：T(n)=c+T(k)+T(n-k-1)，此递推式保证算法
的时间复杂性为O(n)，也可从递归的角度出发，递归的次数正
是结点的个数，而每次递归时间复杂性为常数，所以算法的时
间复杂度也为O(n)。
19
② Procedure BuildTree(m, n, R, Root) integer R(n,n), k TreeNode Root, LR, RR if (mn) then k←R(m,n) if k≠0 then data(Root)←k //内结点 BuildTree(m, k-1, R, LR) BuildTree(k, n, R, RR) left(Root)←LR right(Root)←RR else Root←null //外结点 endif endif
算法分析与设计多媒体课件
很多算法的效率都取决于输入的组织
最坏情况: Cworst(n) – 对于规模为n的输入，最大的消 耗
最好情况: Cbest(n) –对于规模为n的输入，最小的消耗 平均情况: Cavg(n)–对于规模为n的输入，“平均”的消
耗
基本操作执行的次数体现在典型输入中
不是最好最坏情况的平均
将规模n的实例划分为几种类型，同种实例所需要的基 本操作执行次数一样，然后我们得到或者假设各种输入 的概率分布，以推导出我们的平均次数
2021/3/31
算法设计与分析
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输入规模与基本操作举例
问题
输入规模的度量
基本运算
在长度为n的列表中 列表节点数目，例如 n 按关键字查找
关键字比较
两个矩阵相乘
矩阵的维度或者元素的 个数
两个数相乘
对 于 给 定 的 数 n， 判 断是否为素数
n的大小（经常转化为 二进制表示，即为二进 制的位数）
f1(n) + f2(n) O(max{g1(n), g2(n)})
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算法设计与分析
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使用极限比较增长次数
0 order of growth of T(n) < order of growth of g(n)
lim T(n)/g(n) =
n→∞
c > 0 order of growth of T(n) = order of growth of g(n)
Θ(g(n)):增长率与g(n)相同的一类函数f(n)
Ω(g(n)):增长至少与g(n)相同的一类函数f(n)
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算法设计与分析
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Big-oh
成立的条件是对于足够大的n>n0，存在大于0的常数c ，使得以上图形满足,后面符号的两个条件相同
算法设计与分析-变治法共62页文档
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽 的。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
计算机算法设计与分析知识点整理
算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对符合一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
简单的说，就是解决问题的一种方法或过程。
算法－特征：（1）确定性（2）多样性（3）有穷性（4）输出所需资源越少，该算法越好，计算机最重要的资源是时间和空间把基本操作（最重要的操作）次数作为算法运行时间的度量单位。
•T(n)≈c op C(n)基本操作的执行时间基本操作次数算法输入规模n为时间效率的参数算法的时间效率和空间效率都用输入规模的函数进行度量O(g(n)) 是增长次数小于等于g(n)(以及其常数倍，n趋向于无穷大)的函数集合。
符号О成立条件：对于所有足够大的n，t(n) 的上界由g(n)的常数倍数所确定。
即，存在大于0的常数c和非负的整数n0，使得：对于所有的n≥ n0来说，t(n) ≤c g(n)Ω(g(n))代表增长次数大于等于g(n)(以及其常数倍,n趋向于无穷大)的函数集合符号Ω成立条件：对于所有足够大的n，t(n)的下界由g(n)的常数倍所确定，即，存在大于0的常数c和非负的整数n0，使得：对于所有的n≥ n0来说，t(n) ≥c g(n)Θ(g(n))是增长次数等于g(n) (以及其常数倍,n趋向于无穷大)的函数集合。
符号Θ成立条件：对于所有足够大的n，t(n) 的上界和下界都由g(n)的常数倍数所确定，即，存在大于0的常数c1，c2和和非负的整数n0，使得：对于所有的n≥ n0来说，c2g(n) ≤t(n) ≤ c1g(n)算法的整体效率是由具有较大的增长次数的部分所决定的，即它的效率较差的部分。
动态规划算法的基本要素（1）最优子结构性质（2）重叠子问题性质矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。
这种性质称为最优子结构性质递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。
这种性质称为子问题的重叠性质动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长动态规划算法的步骤(1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
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需要与辅助列表中已加入的 k-1个元素比较，共 k-1 次。
最差效率：
T ( n) ( k 1) 1 ... n 1 (n2 )
k 1
n
变治法 —— 预排序（nlogn型），排序后 等值元素一定相邻 扫描统计：模式具有最多的相邻元素，需比较 n -1 次。 PresortMode_1(A[0...n-1]) // 行程算法 对数组A排序 // 排序结果 { 1, 5, 5, 5, 6, 7, 7 } i←0，ModeFrequency←0 // 最大频率，最大行程长度
a1n a2 n ann
2 x1 x2 x3 1 4 x1 x2 x3 5 x x x 0 1 2 3
2 1 1 1 r 2 2r1 2 1 1 1 2 1 1 1 r 3 r 2 / 2 r 3 r 1 / 2 4 1 1 5 0 3 3 3 0 3 3 3 0 3 1 1 1 1 1 0 0 0 2 2 2 2 2
易得：
2 x1 x2 x3 1 3x2 3x3 3 2 x3 2
(y1,y2,y3)=(1,3,-2),
(x1,x2,x3)=(1,0,-1)
一旦得到矩阵A的LU分解，无论对于什么样的右边向量b，我们都可 以对方程组Ax=b求解，每次求一个。
LU分解不需要额外的存储空间
6.2.2 矩阵求逆
★逆矩阵的定义：
★如何求逆矩阵？
a11 a 21 an1
a12 a1n x11 a22 a2 n x21 an 2 ann xn1
x12 x1n 1 x22 x2 n 0 xn 2 xnn 0
for k = i to n+1 do
A[j][k] = A[j][k] – A[i][k]*A[j][i]/A[i][i]
效率分析：
基本操作：乘法
★ 执行次数：易见，三重循环 C(n)∈Θ(n3)
6.2.1 Gauss消去法-LU分解
★高斯消去法的现代商业实现是以LU分解为基础的。
2 x1 x2 x3 1 4 x1 x2 x3 5 x x x 0 1 2 3
有利用高斯消元的直接法以及迭代法。
★体现的变治的思想：
将方程组变成一个具有特殊性质的方程组(上三角矩阵)
★一般的线性方程组是指如下形式的方程组：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
数学家的笑话 X 教授是一个著名数学家，他注意到每当他妻子烧开水泡茶时，先把 水壶从厨柜里拿出来，装上水后放在炉子上。一次，他妻子外出了， 他只能自己烧开水。他看到水壶已经在炉台上，X 教授怎么做呢？
做法：先把水壶放进橱柜里，然后，遵循他妻子的烧开水程序。
策略：把问题转化为另一个算法已知的问题。 问题化简策略 化简 算法A
1 L 2 1 2 0 1 1 2
2 1 1 4 1 1 A 1 1 1
1 3 0
2 由主对角线上的1 0 以及在高斯消去过程 U 0 0 中行的乘数构成 0 1
1消去的结果 3 2
改变表现：改变问题的表现形式，如AVL树，2-3树，堆
问题化简：问题变为另一个问题。如பைடு நூலகம்学建模，将具体应用问题用 变量、函数、方程等数学对象表达
更简单方便 问题
另一种表现
另一个问题
求解
★ 预排序
古老思想：若列表有序，一些与列表有关的问题更容易求解。 —— 依赖于排序算法的时间效率
【例1】检验数组中元素的唯一性
if A[ i ] = A[ i+1] Current_F ++
1. A 元素全部唯一
2. A 元素全部相等
if Current_F > ModeFrequency
ModeFrequency ← Current_F ModeValue ← A[ i ]
return (ModeValue, ModeFrequency)
6.2.2 矩阵的行列式
★按照定义计算高阶行列式是不可能的。
★可利用高斯消元法：
矩阵A的行列式=消元后上三角矩阵的行列式 =对角线上元素之乘积。 例如，上式中 det A=2· · 3 2=12
2 1 1 4 1 1 1 1 1
2 1 1 0 3 3 0 0 2
第 6 章 变治法
★ 变治策略
★ 预排序
★ 高斯消去法 ★ 平衡查找树（略）
★ 堆与优先队列（略）
★ 堆排序（略） ★ 霍纳法则和二进制幂 ★ 问题化简 ★ 本章习题
★ 变治策略
通用的算法设计方法，基于变换的思想
变：变换问题更容易求解 治：对变换后的问题求解
3 种主要类型
实例化简：问题求解变得更简单，如预排序
for i←0 to n-2 do if A[i] = A[i+1] return false return true
T ( n) Tsort ( n) Tscan ( n) O( n log n) O( n) O( n log n)
【例2】模式统计
模式：列表中出现频率最高的元素。 如 { 5, 1, 5, 7, 6, 5, 7 } 的模式为 5，模式可能不止一个 问题：在列表中找出模式 蛮力策略：扫描列表，统计每个元素的频率，找出频率最高的元素 蛮力实现：（方法之一） 设一个辅助列表，扫描元素与辅助列表中的元素一一比较，结果： 若匹配（辅助列表中已有），该元素频率加1. 不匹配（辅助列表中没有），新元素加入辅助列表，其频率置1. 本例最终的辅助列表：{ 5(3), 1(1), 7(2), 6(1) } 括号内为频率。 —— 扫描辅助列表，找出最大频率（3）的元素（5） 最坏情况：扫描原始列表时，每个元素在辅助列表中都没有匹配， 作为新元素加入辅助列表，原列表的第 k 个元素加入辅助列表时，
while ( i≤n-1 )
runlength←1，runvalue←A[i] // 行程长度 = 等值元素个数 while ( i+runlength≤n-1 and A[i+runlength] = runvalue )
runlength ++ // 与下一个元素相等则行程长度+1
if ( runlength > ModeFrequency ) ModeFrequency←runlength，modeValue←runvalue i←i+runlength // 跳过本行程，i 始终指向行程的第一个元素 return ( ModeValue, ModeFrequency )
6.5 Horner法则和二进制幂
★Horner法则
计算n次多项式的值的算法。需要多少次乘法？
p( x) 2 x 4 x3 3x 2 x 5
4+3+2+1=10=n(n-1)/2次乘法，
用如下Horner需要多少次乘法？
4 3 2
p ( x) 2 x x 3 x x 5 (((2 x 1) x 3) x 1) x 5
0 0 1 0 0 1
转化为求n个线性方程AXj =bj
6.2.2 矩阵的行列式
n阶矩阵的行列式的计算由递归公式定义：
det A (1)1 j a1 j det Aj
j 1
n
例如n=3的情形如下：
a11 a12 a13 a22 a23 a21 a23 a21 a22 a21 a22 a23 a11 a12 a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33 a11a22 a33 a12 a23a31 a21a32 a13 a31a22 a13 a21a12 a33 a32 a23 a11
4=n次乘法
6.5.2 二进制幂
★ 计算an的
Horner法则有优势？
令n=bk*2k + bk-1*2k-1…. +b1，则可用horner法则（P178） 从左到右逐位扫描算法：例求a13, 13=1101
从右到左逐位扫描算法:例求a13, 13=1101
★ 问题化简
问题化简策略
非行程算法（比较次数 n-1）
PresortMode_2(A[0...n-1]) 数组A排序 // 结果 { 1, 5, 5, 5, 6, 7, 7 }
ModeFrequency←1 // 模式频率
ModeValue←A[0] for ( i←0 to n-2 ) // 模式值 【思考】
Current_F←1 // 当前频率
—— 许多处理点集的计算几何算法
例如：点集的排序 可根据它们的坐标，或者到某特定直线的距离，或者某种角度等等。
如在最近对、凸包问题的分治算法中，都曾采用了预排序技术。
6.2
Gauss消去法
★ 科学计算中通常需要解多个变量的方程组，这些方程组当中
最简单的是线性方程组，也就是变量的次数均为1次的。
★ 求解线性方程的方法
回代后得 x3 1，x2 0，x1 1
Gauss消去法-伪代码
GaussElimination(A[1..n], b[1..n]) // 输入：系数矩阵A及常数项 b // 输出：方程组的增广矩阵等价的上三角矩阵 for i=1 to n do A[i][n+1] =b[i] for j= i+1 to n do