安徽省铜都双语学校高考数学总复习 导数在研究函数中的应用学案
安徽省铜都双语学校高考数学总复习 抛物线学案
安徽省铜都双语学校高考数学总复习抛物线学案一、复习目标：1、掌握抛物线的定义，能灵活利用定义解题；2、掌握抛物线的标准方程及其求法，熟练掌握抛物线的几何性质；【考点3】直线与抛物线及其综合应用 学法指导：认真自研，在解决有关直线与抛物线、圆的位置关系的问题时，从中找出关系，除运用代数法外，还应考虑平面几何知识的应用，思路将会更加开阔．结合书本解决以下问题： 1、直线l:y=x+b 与抛物线C ：y x 42相切于点A（1）求实数b 的值； （2）求以A 为圆心，并且与抛物线C 的准线相切的圆的方程；2、(2012·杭州模拟)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53.(1)求C 1的方程；(2)平面上的点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．等级评定：【议题3】（方案提示：①分析题目运用的知识点，②归纳解题目中的注意点③通过解题再分析此类问题的解题步骤有哪些）2.已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点 A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出此抛物线的方程．3.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A （1，-2）（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于0A （O 为坐标原点）的直线L ，使的直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA与L 的距离等于55？若存在，求出直线L 的方程，若不存在，说明理由 三、当堂反馈（时段：晚自习）1．(2010·北京崇文)已知点M(1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线3．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是________米．4.如图所示，已知点A (2,8)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)均在抛物线y 2＝2px (p >0)上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合． (1)写出该抛物线的方程及焦点F 的坐标； (2)求线段BC 的中点M 的坐标； (3)求BC 所在直线的方程．(文)(2010·全国Ⅱ理)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM→＝MB →，则p ＝________.2．(2010·东北师大附中模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y24＝1的渐近线的距离为( ) A ．1 B. 3 C.33 D.365.设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点． (1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．四、【培辅课】（附培辅单）疑惑告知： 效果描述： 五、【反思课】： 今日心得： 今日不足： 【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功s ………今天你展示了吗！。
高考数学新版一轮复习教程学案：第20课__导数在研究函数中的应用(1)
高考数学新版一轮复习教程学案____第20课__导数在研究函数中的应用(1)____1. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题．2. 理解数形结合思想，转化思想在导数中的应用．3. 理解函数在某点取得极值的条件.1. 阅读：选修11第86～92页．2. 解悟：①教材第86页中间的关于函数的导数和单调性关系的结论怎么理解？它的逆命题是否成立，试举例说明．你会利用导数说明(或证明)函数在给定区间上的单调性吗？②函数的极值是怎么定义的？一个函数是否一定有极大值和极小值？有极大值或极小值的函数的极值是否唯一？函数的极值和导数具有怎样的关系？教材第88页的两张表格中的内容你理解吗？给你一个具体函数你会求它的极值点吗？③我们知道函数的最大值和最小值是函数定义域内的性质，函数的极值是对函数定义域内某一局部而言的，它们之间的关系为：最大值可能在极值点或函数的端点取到极值不一定是最值，最值也不一定是极值．④会做教材第87页的例2，例3，第89页的例2，第90页的例2，并能总结下列问题类型解题的一般步骤：一是利用导数判断或证明函数在给定区间上的单调性；二是利用导数求函数的单调区间；三是利用导数求函数的极值；四是利用导数求函数的最值．3. 践习：在教材的空白处完成第87页练习第1(2)、3(2)题，第89页练习第1(2)、4题，第91～92页练习第4、5题，习题第2(2)(4)、3(2)(3)、4(3)、8(4)题.基础诊断1. 函数f(x)＝3x 2－6ln x 的单调减区间是__(0，1)__．解析：由题意得，f′(x)＝6x －6x ，令f′(x)<0，则6x －6x <0.因为x>0，解得0<x<1，故函数f(x)的单调减区间是(0，1)．2. 函数f(x)＝2x x 2＋3(x>0)有极__大__值3．解析：由题意得，f′(x)＝6－2x 2（x 2＋3）2.令f′(x)＝0，即6－2x 2（x 2＋3）2＝0，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)．当0<x<3时，f′(x)>0；当x>3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0，3)上单调递增；在区间(3，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在x ＝3处取得极大值为33. 3. 函数f(x)＝x ＋2cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是6． 解析：由题意得，f′(x)＝1－2sin x.令f′(x)＝0，即1－2sin x ＝0，解得sin x ＝12，即x ＝π6∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，f′(x)>0，函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫0，π6上单调递增；当x ∈⎝⎛⎦⎤π6，π2时，f′(x)<0，函数f(x)在区间⎝⎛⎦⎤π6，π2上单调递减，所以函数f(x)在x ＝π6处，取得极大值，且是最大值为π6＋ 3.4. 若函数f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)，在[]－2，2上有最大值3，则此函数在[]－2，2上的最小值为__－37__．解析：因为f′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)，由f′(x)＝0得x ＝0或x ＝2.因为f(0)＝m ，f(2)＝－8＋m ，f(－2)＝－40＋m ，显然f(0)>f(2)>f(－2)，故m ＝3，最小值为f(－2)＝－37.范例导航考向❶ 利用导数研究函数的最值问题例1 已知函数f(x)＝ax 2＋1(a>0)，g(x)＝x 3＋bx.(1) 若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求实数a ，b 的值．(2) 当a ＝3，b ＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k ，2]上的最大值为28，求实数k 的取值范围．解析：(1) 由题意得，f′(x)＝2ax ，g′(x)＝3x 2＋b.因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1) 且f′(1)＝g′(1)，即a ＋1＝1＋b 且2a ＝3＋b ，解得a ＝3，b ＝3. (2) 记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a ＝3，b ＝－9时，h(x)＝x 3＋3x 2－9x ＋1， 所以h′(x)＝3x 2＋6x －9.令h′(x)＝0得x 1＝－3，x 2＝1.h′(x)，h(x)在x ∈(－∞，2]上的变化情况如下表所示：由表可知当k ≤－3时，函数h(x)在区间[k ，2]上的最大值为28；当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k ，2]上的最大值小于28.因此实数k 的取值范围是(－∞，－3]．已知y ＝f(x)是奇函数，当x ∈(0，2)时，f(x)＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a>12，当x ∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则实数a 的值为__1__．解析：因为y ＝f(x)是奇函数，且当x ∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，所以当x ∈(0，2)时，最大值为－1.令f′(x)＝1x －a ＝0，得x ＝1a .当0<x<1a 时，f′(x)>0；当x>1a 时，f′(x)<0，所以f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 考向❷ 利用导数研究单调性、极值问题例2 已知函数f(x)＝x 3－ax 2＋3x.(1) 若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2) 若x ＝3是f(x)的极值点，求函数f(x)在区间[1，a]上的最小值和最大值．解析：(1) f′(x)＝3x 2－2ax ＋3.由题设知x ∈[1，＋∞)时f′(x)≥0. 因为x ≥1，所以a ≤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ， 所以a ≤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x max＝3(当且仅当x ＝1时取等号)， 而当a ＝3，x ＝1时，f′(x)＝0，所以a ≤3.故实数a 的取值范围为(－∞，3]．(2) 由题设知f′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，解得a ＝5，所以f(x)＝x 3－5x 2＋3x. 令f′(x)＝3x 2－10x ＋3＝0， 解得x ＝3或x ＝13(舍去)．当1<x<3时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当3<x<5时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 所以当x ＝3时，f(x)有极小值，f(3)＝－9. 又f(1)＝－1，f(5)＝15，所以函数f(x)在[1，5] 上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.设x ＝1与x ＝2是函数f(x)＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1) 试确定常数a 和b 的值；(2) 试判断x ＝1，x ＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解析：(1) 由题意得，f′(x)＝ax＋2bx ＋1.因为x ＝1与x ＝2是函数f(x)＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝0，f′（2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16，所以a 的值为－23，b 的值为－16.(2) 由(1)得f′(x)＝－23x －13x ＋1＝－（x －1）（x －2）3x，所以由f′(x)>0得1<x<2；由f′(x)<0，得0<x<1或x>2，所以函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(0，1)和(2，＋∞)上单调递减， 所以x ＝1是函数f(x)的极小值点，x ＝2是函数f(x)的极大值点. 考向❸ 利用导数求解不等式的恒成立问题例3 已知函数f(x)＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1) 求证：函数f(x)是R 上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在区间(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1) 函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称；又因为f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以函数f (x )是R 上的偶函数．(2) 由mf (x )≤e －x ＋m －1得m (e x ＋e －x )≤e －x ＋m －1，即m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1， 令t ＝e x (t >0)，因为e x ＋e －x －1＝t ＋1t －1≥2－1＝1，当且仅当t ＝1时，等号成立，故m ≤1t －1t ＋1t －1＝1－t t 2－t ＋1，令h (t )＝1－tt 2－t ＋1.h ′(t )＝t （t －2）（t 2－t ＋1）2.则当t >2时，h ′(t )>0；当0<t <2时，h ′(t )<0， 所以当t ＝2时，h (t )min ＝h (2)＝－13，则m ≤－13.综上可知，实数m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－13.注：分离参数后，也可利用基本不等式去处理m 的范围． 【变式题】 设函数f (x )＝12a x 2－ln x ，其中a 为大于零的常数．(1) 当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2) 当x ∈[1，2]时，不等式f (x )>2恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝1时， f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x(x >0)，令f ′(x )>0得x >1，令f ′(x )<0得0<x <1.故函数f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)．从而函数f (x )在区间(0，＋∞)上的极小值为f (1)＝12，函数f (x )无极大值．(2) 由题意得，f ′(x )＝1a x －1x ＝x 2－aax(x >0)．不等式f (x )>2在[1，2]上恒成立等价于函数f (x )在区间[1，2]上的最小值f (x )min >2. 因为a >0，所以令f ′(x )＝0得x ＝a .当0<a ≤1，即0<a ≤1时，函数f (x )在区间[1，2]上递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝12a >2，解得0<a <14； 当a ≥2，即a ≥4时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (2)＝2a－ln2>2，无解；当1<a <2，即1<a <4时，函数f (x )在区间[1，a ]上单调递减，在区间[a ，2]上单调递增，所以f (x )min ＝f (a )＝12－12ln a >2，无解．综上所述，所求实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，14. 自测反馈1. 若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则实数a ＝__3__．解析：f′(x)＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，所以f′(1)＝0，即1＋2－a（1＋1）2＝0，解得a ＝3.2. 已知a>0，b>0，若函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于__9__．解析：f′(x)＝12x 2－2ax －2b ，因为函数f(x)在x ＝1处有极值，f′(1)＝12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6.又a>0，b>0，所以a ＋b ≥2ab ，所以2ab ≤6，所以ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值为9.3. 已知f(x)＝x 3－3x －1，若对于在区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是__20__．解析：对于在区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤t ，等价于对于在区间[－3，2]上的任意x ，都有f(x)max －f(x)min ≤t.因为f(x)＝x 3－3x －1，所以f′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，因为x ∈[－3，2]，所以函数f(x)在区间[－3，－1)和(1，2]上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以f(x)max ＝f(2)＝f(－1)＝1，f(x)min ＝f(－3)＝－19，所以f(x)max －f(x)min ＝20，所以t ≥20，故实数t 的最小值为20.4.分别在曲线y ＝e x 与直线y ＝e x －1上各取一点M ，N ，则MN 的最小值为1＋e ． 解析：要想求MN 的最小值，则需过曲线上一点的切线与直线y ＝e x －1平行，设切点为(x 0，y 0)．曲线y ＝e x 的导数y′＝e x ，所以在点(x 0，y 0)的切线的斜率k ＝e x 0，所以e x 0＝e ，即x 0＝1，所以切点为(1，e )，所以切线的方程为y －e ＝e (x －1)，即e x －y ＝0，所以切线e x －y ＝0与直线y ＝e x －1的距离＝1e 2＋1＝1＋e 21＋e2，故MN 的最小值为1＋e 21＋e 2.1. 导数的正负可以判断函数的单调性，但反过来未必．2. 极值与导数的关系，极值点附近左右两侧的导数是否异号可以判断函数是否有极值的．3. 求函数在给定区间上的最值时，需要注意区间端点的开闭对答案的影响．4. 你还有哪些体悟，写下来：。
高考数学一轮复习专题教案—第二课时 导数在函数中的应用
① 确定函数 f (x) 的
；
② 求 f (x) ，令
，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③ 把函数 f (x) 的间断点（即 f (x) 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的
顺序排列起来，然后用这些点把函数 f (x) 的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定 f (x) 在各小开区间内的
2
2
2
2
2
2
两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
cos cos cos cos sin sin
2
2
2
2
2
2
cos
cos
cos
cos
sin
1 tan tan tan( ) tan tan
1 tan tan
五、二倍角公式
sin 2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 … ()
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高中数学精品教学教案
⑴ 设 y＝ f (x) 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝ f (x) 在(a ,b )内有导数，则函数 y
＝ f (x) 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内
(2) 求最值可分两步进行：
① 求 y＝ f (x) 在(a ,b )内的
值；
有最大值与最小值．
② 将 y＝ f (x) 的各
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第二课时 导数在函数中的应用
【学习目标】
2024新高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用第四课时导数与函数的零点学案
2024新高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用第四课时导数与函数的零点学案2024新高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用第四课时导数与函数的零点学案导数是微积分中非常重要的概念之一，可以用来研究函数的变化趋势和特性。
在函数中，零点是指函数取零值的点，也就是函数的解。
导数与函数的零点之间存在着紧密的关系，在研究函数中的应用时，导数可以帮助我们找到函数的零点，从而解决实际问题。
一、知识复习1. 导数的定义：函数f(x)在点x0处的导数定义为f'(x0) = lim (h→0) (f(x0+h)-f(x0))/h2.导数与函数的图像的关系：-如果函数在点x0处导数存在且大于0，说明函数在此点附近单调递增；-如果函数在点x0处导数存在且小于0，说明函数在此点附近单调递减；-如果函数在点x0处导数存在且等于0，说明函数在此处可能存在极值点或拐点。
二、问题解决以一个具体的实际问题作为例子来解决。
【例题】一辆汽车以40km/h的速度直线行驶，汽车停下来需要多长时间？分析：题目要求我们求解汽车停下来所需要的时间，我们可以假设汽车从起点出发，任意时刻的位置可以表示为函数f(t)，t为时间，f(t)为位置。
假设起点的位置为0，汽车的初始速度为40km/h，即f'(0)=40。
我们知道速度的单位时间里程等于位移，所以根据导数的定义可以得到函数f(t)的导数：f'(t) = lim (h→0) (f(t+h)-f(t))/h根据题目中的条件可得：f'(0) = 40 = lim (h→0) (f(h)-f(0))/h令h→0，可得f(0)=0。
所以汽车停下来所需要的时间就是函数f(t)的零点，即f(t)=0。
三、例题解答【例题】已知函数y=f(x)的导函数为y=2x-3，且函数的零点是x=2，求函数f(x)。
解析：根据题目中已知的信息，我们知道f'(x)=2x-3，那么我们需要求解f(x)。
导数在函数中的应用(一轮复习听课导学案)
导数在函数中的应用一、总体要求【学习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
【重点难点】1、利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的极值；利用导数求函数的最值；2、利用导数证明函数的单调性；数在实际中的应用；3、导数与函数、不等式、方程等知识相融合的问题；二、考点梳理知识点一 函数的导数与单调性的关系函数y ＝)(x f 在某个区间内可导, (1)若)(x f '＞0，则()x f 在这个区间内_____________;(2)若)(x f '＜0，则()x f 在这个区间内_____________;(3)若0)(='x f ，则()x f 在这个区间内_____________;知识点 二 函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点:若函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值____，且f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧________，右侧________，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点:若函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值____，且f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧________，右侧________，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值，______和______统称为极值．3．函数的最值与导数：(1) 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的连续函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值.(2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值； ② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 .三.考点应用 典例解析考点一 利用导数研究函数的单调性例1．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )．A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)归纳总结----求单调区间的一般步骤:容易忽视的问题:________________________________________________________ 例2.已知函数()R b a b ax x x f ∈++-=,)(23，若函数()x f 在区间[]2,0上单调递增。
安徽省铜都双语学校高考数学总复习 导数在研究函数中的应用学案
安徽省铜都双语学校高考数学总复习 导数在研究函数中的应用学案 课题： 导数在研究函数中的应用 课型设置： 自研 60分钟+互动·展示 60分钟 一、复习目标：1、会利用导数研究导数的单调性，并会求函数的单调区间；2、理解函数的极大值、极小值、极值、极值点的意义并掌握导数求极值的方法； 自研自探环节合作探究环节 展示提升环节·质疑提升环节 自学指导（内容·学法·时间） 互动策略 展示方案 （内容·方式·时间）【考点1】函数的单调性学法指导：认真自研选修2-2第22至26页，选修1-1第88至92页结合资料的有关知识，分析导数与函数的单调性，解决以下问题： 1、通过书本，自己举例，作图，分析导数与函数的单调性有什么关系（即如何判断函数的单调性）探究：在某个区间内，()0>'x f 是()x f 为增函数的充要条件？追踪练习：1．f (x )＝3x －x 3的单调减区间为____ _______。
2．函数y ＝3x 2－6ln x 的单调增区间为_______，单调减区间为__________．3、已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c的图象如图所示，则f (x )的图象可能是()①两人对子间相互批改自学指导内容，并用红笔予 以等级评定，针对批改中存在的疑惑 对子间相互交流，进行初步解决： ②六人共同体先解决对子间存在的疑惑，并结合议题中的具体问题探讨疑难，重点交流【议题1】（方案提示：①分析下列问题，回顾运用知识点，②先展示本组在解决题目是时遇到的困惑，在展示你们是如何解决困惑的；③归纳解决此类问题的方法及其注意点） 1．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C ．(－∞，3) D ．(－∞，3]2.已知函数f (x )＝x ·ln x 和g (x )＝x ·a x(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求证：f (x ＋1)＞2x －1；（构造函数） (3)求g (x )的单调区间．3.已知f (x )＝e x－ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．（3）是否存在a ，使f(x)在(]0,∞-上单调递减，在[)+∞,0单调递增？若存在，求出a 的值，若不存在，试说明理由。
高考数学总复习 导数在研究函数中的应用学案 理 北师大版
学案14导数在研究函数中的应用0导学目标：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．自主梳理1．导数和函数单调性的关系：(1)若f′(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(2)若f′(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(3)若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程________的根；③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．自我检测1.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则()A．f(x)在x＝1处取得极小值B．f(x)在x＝1处取得极大值C．f(x)是R上的增函数D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数2．(2009·广东)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)3．(2011·济宁模拟)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值4．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2011·福州模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________.探究点一 函数的单调性例1 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )能否为R 上的单调函数，若能，求出a 的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1 (2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点二 函数的极值例2 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．变式迁移2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三 求闭区间上函数的最值 例3 (2011·六安模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．分类讨论求函数的单调区间例 (12分)(2009·辽宁)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ，a >1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：若a <5，则对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.多角度审题 (1)先求导，根据参数a 的值进行分类讨论；(2)若x 1>x 2，结论等价于f (x 1)＋x 1>f (x 2)＋x 2，若x 1<x 2，问题等价于f (x 1)＋x 1<f (x 2)＋x 2，故问题等价于y ＝f (x )＋x 是单调增函数．【答题模板】(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x ＝(x －1)(x ＋1－a )x .[2分]①若a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝(x －1)2x .故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a －1<1，而a >1，故1<a <2时，则当x ∈(a －1,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，a －1)及x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(a －1,1)上单调递减，在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增．③若a －1>1，即a >2时，同理可得f (x )在(1，a －1)上单调递减， 在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增．[6分] (2)证明 考虑函数g (x )＝f (x )＋x ＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ＋x . 则g ′(x )＝x －(a －1)＋a －1x≥2x ·a －1x－(a －1)＝1－(a －1－1)2.由于1<a <5，故g ′(x )>0， 即g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 从而当x 1>x 2>0时，有g (x 1)－g (x 2)>0， 即f (x 1)－f (x 2)＋x 1－x 2>0， 故f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[10分]当0<x 1<x 2时，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>－1.综上，若a <5，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[12分]【突破思维障碍】(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准；(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题．1．求可导函数单调区间的一般步骤和方法： (1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．2．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0时，x 1不一定是极值点．如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．3．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．4．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·大连模拟)设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有 ( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )2.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2011·嘉兴模拟)若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <14．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <325．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13题号 1 2 3 4 5 答案 6．(2009·辽宁)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.7．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论： ①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数； ③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)．8．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(共38分)9．(12分)求函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极值．10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．答案 自主梳理1．(1)增 增 (2)减 减 (3)增 减 2.(1)①f ′(x )>0 f ′(x )<0 ②f ′(x )<0 f ′(x )>0 (2)②f ′(x )＝0 ③f ′(x )＝0 极大值 极小值 自我检测1．C 2.D 3.C 4.C 5．18解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3.但当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3≥0，故不存在极值， ∴a ＝4，b ＝－11，f (2)＝18. 课堂活动区例1 解题导引 (1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解．函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0在定义域内有解．这样就可以把问题转化为解不等式问题．(2)已知函数在某个区间上单调求参数问题，通常是解决一个恒成立问题，方法有①分离参数法，②利用二次函数中恒成立问题解决．(3)一般地，可导函数f (x )在(a ，b )上是增(或减)函数的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零．特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意“等号”是否可以取到．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0， ∵e x >0，∴－x 2＋2>0，解得－2<x < 2. ∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)． (2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增， ∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立． ∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立． ∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立， 即x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立． 设h (x )＝x 2－(a －2)x －a只须满足⎩⎨⎧h (－1)≤0h (1)≤0，解得a ≥32.(3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立． ∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立． ∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的． 故函数f (x )不可能在R 上单调递减．若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈R 都成立．∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立． 而x 2－(a －2)x －a ≤0不可能恒成立， 故函数f (x )不可能在R 上单调递增． 综上可知函数f (x )不可能是R 上的单调函数．变式迁移1 解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12.所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)．例2 解题导引 本题研究函数的极值问题．利用待定系数法，由极值点的导数值为0，以及极大值、极小值，建立方程组求解．判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4 故所求的函数解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2，x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数的大致图象如图， 故实数k 的取值范围为 (－43，283)． 变式迁移2 解 (1)f ′(x )＝ax＋2bx ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a ＋2b ＋1＝0f ′(2)＝a 2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16. (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x3)＋1＝－(x －1)(x －2)3x .x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减极小值单调递增极大值单调递减例3 解题导引 设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0， 可得4a ＋3b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝－4， 又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5.(2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23，∴f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，23，即为f (x )的减区间． [－3，－2)、⎝⎛⎦⎤23，1是函数的增区间．又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，f (1)＝4，∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.变式迁移3 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b . 因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ， 有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.课后练习区1．C 2.A 3.A 4.A 5.B 6．3解析 ∵f ′(x )＝(x 2＋ax ＋1)′＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)′(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又∵x ＝1为函数的极值，∴f ′(1)＝0. ∴1＋2×1－a ＝0，即a ＝3.7．②④解析 观察函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断． 8．(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，则Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0，∴m >6或m <－3.9．解 f ′(x )＝(2x ＋1x 2＋2)′＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2，由f ′(x )＝0得x ＝－2,1.………………(4分) 当x ∈(－∞，－2)时f ′(x )<0，当x ∈(－2,1)时f ′(x )>0，故x ＝－2是函数的极小值点，故f (x )的极小值为f (－2)＝－12；…………………………………………………………………(8分)当x ∈(－2,1)时f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时f ′(x )<0， 故x ＝1是函数的极大值点，所以f (x )的极大值为f (1)＝1.……………………………………………………………(12分) 10．解 (1)由f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4.…………………………………………………………………(4分)11 (2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12， 所以f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4. 又f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1. 又f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－1)＝92， f (－2)＝0，f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.………(12分) 11．解 (1)由函数f (x )图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3. ① 由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0. 所以m ＝－3，代入①，得n ＝0.…………………………………………………………(4分) 于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )>0，得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)；由f ′(x )<0，得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是(0,2)．…………………………………………………………(8分)(2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. Z ] Z 由此可得：当0<a <1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极大值f (0)＝－2，无极小值；当a ＝1时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．……………………………………………(12分) 综上得：当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值；当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ＝1或a ≥3时，f (x )无极值．………………………………………………………(14分)。
高考数学总复习教案：导数在研究报告函数中应用
个人资料整理仅限学习使用第二章函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文>、(理>30～32页>考情分析考点新知①导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势，应引起足够的重视.②以导数为研究函数的重要工具来解决函数理解函数的单调性与导数的关系，能利用导的单调性与最值问题是高考的热点，同时解数研究函数的单调性.答题侧重于导数的综合应用，即导数与函掌握利用导数求函数极值与最值的方法.数、数列、不等式的综合应用．③会利用导数解决某些实际问题.,1.(选修22P28例1改编>函数f(x>＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为______________．b5E2RGbCAP答案：(－1，11>解读：f′(x>＝3x2－30x－33＝3(x－11>(x＋1>，由(x－11>(x＋1><0，得单调减区间为(－1，11>．亦可填写闭区间或半开半闭区间．p1EanqFDPw(选修22P34习题3改编>假设函数f(x>＝ex－ax在x＝1处取到极值，那么a＝________．DXDiTa9E3d答案：e解读：由题意，f′(1>＝0，因为f′(x>＝ex－a，所以a＝e.(选修22P34习题8>函数y＝x＋sinx，x∈[0，2π]的值域为________．答案：[0，2π]解读：由y′＝1＋cosx≥0，所以函数y＝x＋sinx在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]．RTCrpUDGiT4.(原创>函数f(x>＝－错误!x2＋blnx在区间[错误!，＋∞>上是减函数，那么b的取值范围是________．5PCzVD7HxA答案：(－∞，4]解读：f′(x>＝－x＋错误!≤0在[2，＋∞>上恒成立，即b≤x2在[2，＋∞>上恒成立．jLBHrnAILg(选修22P35例1改编>用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，那么该容器的高为________cm时，容器的容积最大．xHAQX74J0X答案：10解读：设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，那么V＝(90－2x>(482x>x＝4(x3－69x2＋1080x>，0<x<12，V′＝12(x2－46x＋360>＝12(x－10>(x－36>，当0<x<10时，V′>0；当10<x<12时，V′<0.所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12>上是减函数，故当x＝10时，V最大．LDAYtRyKfE1.函数的单调性与导数个人资料整理仅限学习使用在区间(a，b>内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f′(x>>0，那么函数y＝f(x>为该区间上的增函数；如果f′(x><0，那么函数y＝f(x>为该区间上的减函数．2.函数的极值与导数(1>函数极值的定义假设函数f(x>在点x＝a处的函数值f(a>比它在点x＝a的极小值．Zzz6ZB2Ltk假设函数f(x>在点x＝b处的函数值f(b>比它在点x＝b的极大值，极小值和极大值统称为极值．dvzfvkwMI1附近其他点的函数值都要小，附近其他点的函数值都要大，f(a>叫函数f(b>叫函数(2>求函数极值的方法解方程f′(x>＝0，当f′0>(x＝0时，①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0>是极大值．f(x0>是极小值．3.函数的最值(1>最大值与最小值的概念如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x>≤f(x0>，那么称f(x0>为函数f(x>在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x>≥f(x0>，那么称f(x0>为函数f(x>在定义域上的最小值．rqyn14ZNXI(2>求函数y＝f(x>在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x>在(a，b>内的极值．②将函数y＝f(x>的各极值与f(a>、f(b>比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．EmxvxOtOco生活中的优化问题解决优化问题的根本思路是：错误!?错误!?错误!?错误!SixE2yXPq5题型1导数与函数的单调性例1函数f(x>＝x3－ax－1.(1>假设a＝3时，求f(x>的单调区间；(2>假设f(x>在实数集(3>是否存在实数R上单调递增，求实数a的取值范围；a，使f(x>在(－1，1>上单调递减？假设存在，求出a的取值范围；假设不存在，说明理由．6ewMyirQFL解：(1>当a＝3时，f(x>＝x3－3x－1，∴f′(x>＝3x2－3，令f′(x>>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，f(x>的单调增区间为(－∞，－1>∪(1，＋∞>，同理可求f(x>的单调减区间为(－1，1>．(2>f′＝(x>3x2－a.∵f(x>在实数集R上单调递增，f′(x>≥0恒成立，即3x2－a≥0恒成立，∴a≤(3x2>min.∵3x2的最小值为0，∴a≤0.个人资料整理仅限学习使用(3>假设存在实数a使f(x>在(－1，1>上单调递减，f′(x>≤0在(－1，1>上恒成立，即a≥3x2.又3x2∈[0，3>，∴a≥3.∴存在实数 a使f(x>在(－1，1>上单调递减，且错误!a≥3.(1>函数f(x>＝错误!x2－mlnx＋(m－1>x，当m≤0时，试讨论函数f(x>的单调性；kavU42VRUs(2>假设函数f(x>＝－错误!错误!错误!＋blnx在(1，＋∞>上是减函数，求实数b的取值范围．y6v3ALoS89解：(1>函数的定义域为错误!，f′(x>＝x－错误!＋(m－1>＝错误!＝错误!.M2ub6vSTnP①当－1<m≤0时，令f′(x>>0，得0<x<－m或x>1，令f′(x><0，得－m<x<1，∴函数f(x>的单调递增区间是错误!和错误!，单调递减区间是错误!；0YujCfmUCw②当m≤－1时，同理可得，函数f(x>的单调递增区间是错误!和错误!，单调递减区间是错误!.eUts8ZQVRd(2>由f(x>＝－错误!错误!错误!＋blnx，得f′(x>＝－(x－2>＋错误!，sQsAEJkW5T由题意，知 f′(x>≤0即－错误!＋错误!≤0在错误!上恒成立，∴b≤错误!错误!，GMsIasNXkA当x∈错误!时，错误!∈错误!，∴b≤1.TIrRGchYzg题型2导数与函数的极值、最值例2设函数f(x>＝(x2＋ax＋b>ex(x∈R>．(1>假设a＝2，b＝－2，求函数f(x>的极大值；(2>假设x＝1是函数f(x>的一个极值点．①试用a表示b；②设a＞0，函数g(x>＝(a2＋14>ex＋4.假设ξ1、ξ2∈[0，4]，使得求a的取值范围．7EqZcWLZNX |f(ξ1>－g(ξ2>|＜1成立，解：(1>∵f′(x>＝(2x＋a>ex＋(x2＋ax＋b>ex＝[x2＋(2＋a>x＋(a＋b>]ex，lzq7IGf02E当a＝2，b＝－2时，f(x>＝(x2＋2x－2>ex，那么f′(x>＝(x2＋4x>ex，令f′(x>＝0得(x2＋4x>ex＝0，∵ex≠0,∴x2＋4x＝0，解得x＝－4或x＝0，列表如下：x(－∞，－4>－4(－4，0>0(0，＋∞>f′(x>＋0－0＋f(x>Z极大值]极小值Z ∴当x＝－4时，函数f(x>取极大值，f(x>极大值＝错误!.∵(2>①由(1>知f′(x>＝[x2＋(2＋a>x＋(a＋b>]ex.x＝1是函数f(x>的一个极值点，∴f′(1>＝0，即e[1＋(2＋a>＋(a＋b>]＝0，解得b＝－3－2a.②由①知f′(x>＝ex[x2＋(2＋a>x＋(－3－a>]ex(x－1>[x＋(3＋a>]，当a＞0时，f(x>在区间(0，1>上的单调递减，在区间(1，4>上单调递增，∴函数f(x>在区间[0，4]上的最小值为f(1>＝－(a＋2>e.f(0>＝b＝－3－2a＜0，f(4>＝(2a＋13>e4＞0，∴函数f(x>在区间[0，4]上的值域是[f(1>，f(4>]，即[－(a ＋2>e ，(2a ＋13>e4]．又g(x>＝(a2＋14>ex ＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a2＋14>e4，(a2＋14>e8]，zvpgeqJ1hk∴ (a2＋14>e4－(2a ＋13>e4＝(a2－2a ＋1>e4＝(a －1>2e4≥0， ∴存在ξ1、ξ2∈[0，4]使得|f( ξ1>－g(ξ2>|＜1成立只须(a2＋14>e4－(2a ＋13>e4＜1T(a －1>2e4＜1T(a －1>2＜错误!T1－错误!＜a ＜1＋错误!.NrpoJac3v1错误!函数f(x>＝ax3＋bx2－3x(a 、b ∈R>在点x ＝－1处取得极大值为2. (1>求函数f(x>的解读式；(2>假设对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值 x1、x2，都有|f(x1>－f(x2>|≤c，求实数c 的最小值．1nowfTG4KI 解：(1>f′＝(x>3ax2＋2bx －3.由题意，得错误!即错误!解得错误!fjnFLDa5Zo 所以f(x>＝x3－3x.(2>令f ′(x>＝0，即3x2－3＝0，得x ＝±1.x－2(－2，－1> －1(－1，1>1(1，2> 2f ′(x>＋ － ＋f(x>－2 增极大值 减极小值 增2因为f(－1>＝2，f(1>＝－2，所以当x ∈[－2，2]时，f(x>max ＝2，f(x>min ＝－2.tfnNhnE6e5那么对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1>－f(x2>|≤|f(x>max －f(x>min|4，所以c ≥4HbmVN777sL .所以c 的最小值为 4.题型3 导数在实际问题中的应用例3 请你设计一个包装盒，如下列图， ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点 P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE ＝FB ＝xcm.V7l4jRB8Hs(1>某广告商要求包装盒侧面积 (2>某厂商要求包装盒容积S(cm2>最大，试问 V(cm3>最大，试问 xx 应取何值？应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：(1>S ＝602－4x2－(60－2x>2＝240x －8x2(0<x<30>，所以x ＝15 cm 时侧面积最大．83lcPA59W9(2>V ＝(错误!x>2错误!(60－2x>＝2错误!x2(30－x>(0<x<30>，mZkklkzaaP所以V ′＝6错误!x(20－x>，令V ′＝0，得x ＝20， 当0<x<20时，V 递增；当20<x<30时，V 递减． 所以，当x ＝20时，V 最大，此时，包装盒的高与底面边长的比值为 错误!＝错误!.AVktR43bpw错误!某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距mM，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩>．经预测，一个桥墩的费用为256万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1＋错误!>x万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y万元．ORjBnOwcEd(1>试写出y关于x的函数关系式；(2>当m＝1280M时，需要新建多少个桥墩才能使y最小？解：根据题意，需要建错误!个桥墩和错误!段桥面工程．2MiJTy0dTT(1>y＝gIiSpiue7A256错误!＋错误!(1＋错误!>xm错误!＋m＋256错误!.uEh0U1YfmhIAg9qLsgBX(2>当m＝1280时，y＝1280错误!＋1536，y′＝1280错误!，令y′＝0，得x＝64，WwghWvVhPE当0<x<64时，y′<0；当x>64时，y′>0.所以当x＝64时，y有最小值16896，此时要建21个桥墩．答：需要建21个桥墩才能使y最小．【例如】(此题模拟高考评分标准，总分值14分>函数f(x>＝lnx－ax(a∈R>．(1>求函数f(x>的单调区间；(2>当a>0时，求函数f(x>在[1，2]上的最小值．审题引导：①知函数解读式求单调区间，实质是求f′(x>>0，f′(x><0的解区间，并注意定义域；asfpsfpi4k②先研究f(x>在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值；③由于解读式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论．标准解答：解：(1>f′＝(x>错误!－a(x>0>．(1分>①当a≤0时，f′(x>＝错误!－a≥0，即函数f(x>的单调增区间是(0，＋∞>．(3分>ooeyYZTjj1②当a>0时，令f′(x>＝错误!－a＝0，得x＝错误!，当0<x<错误!时，f′(x>＝错误!>0，当x>错误!时，f′(x>＝错误!<0，所以函数f(x>的单调增区间是错误!，单调减区间是错误!.(6分>BkeGuInkxI(2>①当错误!≤1，即a≥1时，函数f(x>在区间[1，2]上是减函数，所以f(x>的最小值是f(2>＝ln2－2a.(8分>②当错误!≥2，即0<a≤错误!时，函数f(x>在区间[1，2]上是增函数，PgdO0sRlMo所以f(x>的最小值是f(1>＝－a.(10分>③当1<错误!<2，即错误!<a<1时，函数 f(x>在区间错误!上是增函数，在区间错误!上是减函数，3cdXwckm15又f(2>－f(1>＝ln2－a，所以当错误!<a<ln2时，最小值是f(1>＝－a；当ln2≤a<1时，最小值是f(2>＝ln2－2a.(12分>综上可知，当0<a<ln2时，最小值是－a；当a≥ln2时，最小值是ln2－2a.(14分>1.(2021新·课标Ⅱ>假设存在正数x使2x(x－a><1成立，那么a的取值范围是________．答案：(－1，＋∞>解读：因为2x(x－a><1，所以a>x－错误!，令f(x>＝x－错误!，所以f′(x>＝1＋2－xln2>0，所以f(x>在(0，＋∞>上单调递增，所以f(x>>f(0>＝0－1＝－1，所以a的取值范围是(－1，＋∞>．h8c52WOngM2.(2021·大纲>假设函数f(x>＝x2＋ax＋错误!在错误!上是增函数，那么a的取值范围是________．v4bdyGious答案：a≥3解读：f′(x>＝2x＋a－错误!≥0在错误!上恒成立，即a≥错误!－2x在错误!上恒成立．令g(x>＝错误!－2x，求导可得g(x>在错误!上的最大值为3，所以a≥3.J0bm4qMpJ93.(2021扬·州期末>函数f(x>＝lnx－错误!(m∈R>在区间[1，e]上取得最小值4，那么m ＝________．XVauA9grYP答案：－3e4.解读：f′(x>＝错误!＋错误!＝错误!，令f′(x>＝0，那么x＝－m，且当x<－m时，f′(x><0，f(x>单调递减，当x>－m时，f′(x>>0，f(x>单调递增．假设－m≤1，即m≥－1时，f(x>min＝f(1>＝m≤1，不可能等于4；假设1<－m≤e，即－e≤m<－1时，f(x>min＝f(－m>＝ln(－m>＋1，令ln(－m>＋1＝4，得m＝－e3(－e，－1>；假设－m>e，即m<－e时，f(x>min＝f(e>＝1－错误!，令1－错误!＝4，得m＝－3e，符合题意．综上所述，m＝－3e.bR9C6TJscw(2021南·京二模>设函数f(x>＝x2－(a－2>x－alnx.(1>求函数f(x>的单调区间；(2>假设函数f(x>有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；(3>假设方程f(x>＝c有两个不相等的实数根x1、x2，求证：f错′误!>0.pN9LBDdtrd(1>解：f′(x>＝2x－(a－2>－错误!＝错误!＝错误!(x>0>．DJ8T7nHuGT当a≤0时，f′(x>>0，函数f(x>在(0，＋∞>上单调递增，所以函数f(x>的单调增区间为(0，＋∞>．当a>0时，由f′(x>>0，得x>错误!；由f′(x><0，得0<x<错误!.QF81D7bvUA所以函数f(x>的单调增区间为错误!，单调减区间为错误!.4B7a9QFw9h(2>解：由(1>得，假设函数f(x>有两个零点，那么a>0，且f(x>的最小值f错误!<0，即－4aln错误!<0.ix6iFA8xoXa2＋4a－因为a>0，所以a＋4ln错误!－4>0.令h(a>＝a＋4ln错误!－4，显然h(a>在(0，＋∞>上为增函数，且错误!－1＝ln错误!－1>0，wt6qbkCyDE所以存在a0∈(2，3>，h(a0>＝0.当a>a0时，h(a>>0；当0<a<a0时，h(a><0.所以满足条件的最小正整数a＝3.h(2>＝－2<0，h(3>＝4ln又当a＝3时，f(3>＝3(2－ln3>>0，f(1>＝0，所以a＝3时，f(x>有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3.(3>证明：因为x1、x2是方程f(x>＝c的两个不等实根，由 (1>知a>0.不妨设0<x1<x2，那么x错误!－(a－2>x1－alnx1＝c，x错误!－(a－2>x2－alnx2＝c.Kp5zH46zRk两式相减得x错误!－(a－2>x1－alnx1－x错误!＋(a－2>·x2＋alnx2＝0，Yl4HdOAA61即x错误!＋2x1－x错误!－2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2>．ch4PJx4BlI所以a＝错误!.qd3YfhxCzo因为f′错误!＝0，当x∈错误!时，f′(x><0，当x∈错误!时，f′(x>>0，E836L11DO5故只要证错误!>错误!即可，即证明x1＋x2>错误!，S42ehLvE3M即证明x错误!－x错误!＋(x1＋x2>(lnx1－lnx2><x错误!＋2x1－x错误!－2x2，501nNvZFis即证明ln错误!<错误!.设t＝错误!(0<t<1>．令g(t>＝lnt－错误!，那么g′(t>＝错误!－错误!＝错误!.jW1viftGw9因为t>0，所以g′(t>≥0当且仅当，t＝1时，g′(t>＝0，所以g(t>在(0，＋∞>上是增函数．又g(1>＝0，所以当t∈(0，1>，g(t><0总成立．所以原题得证．1.如果关于x的方程ax＋错误!＝3在区间(0，＋∞>上有且仅有一个解，那么实数a的取值范围为________．xS0DOYWHLP答案：a≤0或a＝2解读：由ax＋错误!＝3，得a＝错误!－错误!.LOZMkIqI0w令t＝错误!，那么f(t>＝3t－t3，t∈(0，＋∞>．用导数研究f(t>的图象，得 fmax(t>＝2，当x∈(0，1>时，f(t>递增，当x∈(1，＋∞>时，f(t>递减，所以a≤0或a＝2.ZKZUQsUJed2.函数f(x>＝lnx－错误!，假设函数f(x>在(0，＋∞>上为增函数，那么________．dGY2mcoKtT答案：a≤2解读：f′(x>＝错误!≥0在(0，＋∞>上恒成立，易得a≤2rCYbSWRLIA.3.设直线y＝a分别与曲线y2＝x和y＝ex交于点M、N，那么当线段MN a的取值范围是取得最小值时a的值为________．FyXjoFlMWh答案：错误!解读：由题意，M(a2，a>，N(lna，a>，故MN的长l＝|a2－lna|＝a2－lna(a>0>，TuWrUpPObX由l＝′2a－错误!＝错误!＝错误!，7qWAq9jPqE令l′>0，得l＝a2－lna在错误!上单调递增；llVIWTNQFk令l′<0，得l＝a2－lna在错误!上单调递减，所以当也是最小值．yhUQsDgRT1a＝错误!时，线段MN的长取得极小值，函数f(x>＝(ax2＋x>ex，其中e是自然数的底数，a∈R.(1>当a<0时，解不等式f(x>>0；(2>假设f(x>在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围；(3>当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x>＝x＋2在[k，k＋1]上有解．解：(1>因为ex>0，所以不等式f(x>>0即为ax2＋x>0.又a<0，所以不等式可化为x错误!<0，所以不等式f(x>>0的解集为错误!.MdUZYnKS8I(2>f′＝(x>(2ax＋1>ex＋(ax2＋x>ex[ax2＋(2a＋1>x＋1]ex，①当a＝0时，f′(x>＝(x＋1>ex，f′(x>≥0在[－1，1]上恒成立，当且仅当x＝－1时取等号，故a＝0符合要求；09T7t6eTno②当a≠0时，令 g(x>＝ax2＋(2a＋1>x＋1，因为＝(2a＋1>2－4a＝4a2＋1>0，所以g(x>＝0有两个不相等的实数根x1、x2，不妨设x1>x2，因此f(x>有极大值又有极小值．假设a>0，因为g(－1>·g(0>＝－a<0，所以f(x>在(－1，1>内有极值点，故f(x>在[－1，1]上不单调．假设a<0，可知x1>0>x2，因为 g(x>的图象开口向下，要使f(x>在[－1，1]上单调，因为g(0>＝1>0，必须满足错误!即错误!所以－错误!≤a≤0.综上可知，a的取值范围是错误!.e5TfZQIUB5个人资料整理仅限学习使用(3>当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等价于ex－错误!－1＝0.s1SovAcVQM令h(x>＝ex－错误!－1，因为h′(x>＝ex＋错误!>0对于x∈(－∞，0>∪(0，＋∞>恒成立，所以h(x>在(－∞，0>和(0，＋∞>内是单调增函数，又h(1>＝e－3<0，h(2>＝e2－2>0，h(－3>＝e－3－错误!<0，h(－2>＝e－2>0，所以方程f(x>＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数k的所有值为{－3，1}．GXRw1kFW5s1.在函数f(x>是增函数(或减函数>，求参数的取值范围时，应令f′(x>或≥0(f′(x>≤恒成0>立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解>，然后检验参数的取值能否使f′(x>恒等于0，假设能恒等于0，那么参数的这个值应舍去；假设f′(x>不恒为0，那么参数范围确定．UTREx49Xj9理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值．8PQN3NDYyP用导数求解实际问题中的最大(小>值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．mLPVzx7ZNw请使用课时训练(A>第12课时(见活页>．[备课札记]。
专题14 导数在函数研究中的应用(教学案)(解析版)
1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．高频考点一 不含参数的函数的单调性例1、已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值.(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 所以3a ·169＋2·⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x， 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0. 解之得－1<x <0或x <－4.所以g (x )的单调减区间为(－1，0)和(－∞，－4). 【方法规律】(1)确定函数单调区间的步骤： ①确定函数f (x )的定义域； ②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时，f ′(x )＝0)，但f (x )＝x 3在R 上是增函数.【变式探究】 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，(x >0).则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去.当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5). 高频考点二 含参数的函数的单调性例2、设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数.(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性. 解 (1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞). 此时f ′(x )＝2（x ＋1）2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋a x （x ＋1）2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1). ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减.②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减. ③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a .由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减. 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增.【方法规律】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.【变式探究】 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0.(1)解 由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. (2)证明 令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ， 从而g (x )＝1x －1ex －1>0.高频考点三 利用函数单调性求参数例3、已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，①所以h ′(x )＝1x －ax －2，由h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，②即a >1x 2－2x有解.设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可.而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，③即a ≥1x 2－2x 恒成立.设G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716. 【方法规律】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 (1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”. (2)函数f (x )在区间D 上递增(减).方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”. 【易错警示】对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于②：h (x )在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解即为h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，或h ′(x )＝0在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确；对于③：h (x )在[1，4]上单调递减，应等价于h ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h ′(x )<0在[1，4]上恒成立”.【变式探究】 (1)函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋2x ＋1的递减区间为(－2，－1)，则实数a 的值为________.(2)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是________.【解析】(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋2，由已知得－2，－1是f ′(x )的两个零点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－2）＝4＋2a ＋2＝0，f ′（－1）＝1＋a ＋2＝0，解得a ＝－3.(2)由已知得f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤(x ＋1)2－1在[－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤－1. 【答案】(1)－3 (2)(－∞，－1]【举一反三】已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R )．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1e x ＋1垂直，求a 的值；(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝(1x －a ＋ln x )e x ，f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e ＝－1，得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝(1x－a ＋ln x )e x ，若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0，在x >0时恒成立． 即1x －a ＋ln x ≤0，在x >0时恒成立． 所以a ≥1x ＋ln x ，在x >0时恒成立．令g (x )＝1x ＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2(x >0)，由g ′(x )>0，得x >1；由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在[1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (x )＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值)．故f (x )不可能是单调递减函数． 若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0，在x >0时恒成立，即1x －a ＋ln x ≥0，在x >0时恒成立，所以a ≤1x ＋ln x ，在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1]． 高频考点四、用导数解决函数极值问题 例4、求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 2－2x －4ln x ；(2)f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a (a ∈R 且a ≠0).解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x ，令f ′(x )＝0得x ＝2或－1(舍).随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )有极小值f (2)＝－4ln 2，无极大值. (2)由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎫x －2a . 令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ，f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝－4a 2－3a＋1. 当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ，f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1. 综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ，f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝－4a 2－3a＋1. 【方法规律】函数极值的两类热点问题 (1)求函数f (x )极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值.(2)由函数极值求参数的值或范围.讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.【变式探究】 (1)设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c .若f (x )在R 上无极值点，则实数a 的取值范围为________. (2)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A.a >－3 B.a <－3 C.a >－13D.a <－13【解析】(1)由题得f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.若f (x )在R 上无极值点，则f (x )在R 上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立. ①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. (2)y ′＝f ′(x )＝a e ax ＋3，当a ≥0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，∴f (x )无极值点； 当a <0时，令f ′(x )＝0得x ＝1a ln ⎝⎛⎭⎫－3a ， ∴1a ln ⎝⎛⎭⎫－3a >0得a <－3，故选B. 【答案】(1)⎣⎡⎭⎫43，＋∞ (2)B【方法技巧】(1)求函数f (x )极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．高频考点五、用导数求函数的最值例5、(2017·北京卷)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值. 解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令f ′(x )＝g (x )， 则g ′(x )＝－2sin x ·e x ≤0在⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立，∴g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， ∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 【变式探究】已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值. 解 (1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞). (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x，a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a10时，f (x )单调递增. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增. 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1时，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意.②当1＜－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0，不符合题意. ③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8， 由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意.综上有，a ＝－10.【方法规律】(1)求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.【变式探究】 已知函数f (x )＝(ax －2)e x 在x ＝1处取得极值. (1)求a 的值；(2)求函数在区间[m ，m ＋1]上的最小值. 解 (1)f ′(x )＝(ax ＋a －2)e x ， 由已知得f ′(1)＝(a ＋a －2)e ＝0， 解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意， 所以a 的值为1.(2)由(1)得f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝(x －1)e x . 令f ′(x )>0得x >1，令f ′(x )<0得x <1.所以函数f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增.当m ≥1时，f (x )在[m ，m ＋1]上递增，f (x )min ＝f (m )＝(m －2)e m ，当0<m <1时，f (x )在[m ，1]上递减，在(1，m ＋1]上递增，f (x )min ＝f (1)＝－e. 当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减， f (x )min ＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1. 综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值为 f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）e m，m ≥1－e ，0<m <1，（m －1）e m ＋1，m ≤0.高频考点六、用导数解决函数的优化问题例6、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6. 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6).于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值. 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【方法规律】函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为： 一设：设出自变量、因变量；二列：列出函数关系式，并写出定义域； 三解：解出函数的最值，一般常用导数求解； 四答：回答实际问题.【变式探究】 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为30 cm ，要使其体积最大，则其高应为( ) A.12 3 cm B.10 3 cm C.8 3 cmD.5 3 cm【解析】设圆锥的高为x cm ，则底面半径为900－x 2， ∴圆锥体积V ＝13π(900－x 2)·x (0<x <30)，∴V ′＝π(300－x 2)，令V ′＝0得x ＝10 3.当0<x <103时，V ′>0；当103<x <30时，V ′<0，∴当x ＝103时，V 取最大值. 【答案】B1.【2019年高考天津】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。
安徽省铜都双语学校中考数学次函数的实际应用复习学案
课题：二次函数的实质应用课型设置：自研 40 分钟 +互动·展现 60 分钟 一、复习目标与考大纲求：1、能依据实质问题成立二次函数模型，并解决较简单的实质问题；2、能解决较简单的二次函数综合题。
二、定导游学·互动展现合作研究 展现提高环节·怀疑提高环节环节自学指导（内容·学法·时间） 互动策略 展现方案 （内容·方式·时间） 【考点 1】利用二次函数解“拱桥问 1 、两人小 【议题 1】题”对子沟通 （ 2011 年中考）如图 17，某公路地道横截面为 学法指导：仔细阅读《九下》课本的 自研自探 抛物线， 其最大高度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 第 25 页的内容， 思虑下边问题， 记录环节中的米 . 现以 O 点为原点， 所在直线为 x 轴成立OM疑难，准备在互动中追求帮助 .问题，并给 直角坐标系 .【课本经典回首】出等级认(1) 直接写出点 及抛物线极点P 的坐标；M如下图，是抛物线形拱桥，当水面 定； (2) 求这条抛物线的分析式；在 1 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 2 、五人互 (3) 若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB ，米。
水面降落 1 米，水面宽度增添多助组联合使 、 点在抛物线上， 、C DA少？议题中的 B 点在地面 OM 上，则这详细问题 个“支撑架” 总长的最大 商讨疑难。
值是多少？①议题 1中 要点沟通 用二次函 数解拱桥 问题的一 般方法；如 何合理的 成立直角 坐标系。
②议题 2中 要点商讨 求最值问 题时的注 意点，以及 二次函数 模型的建立。
总结概括： 1、如何建系， 你还有其余 ③议题 3中 解决的方法吗？侧重商讨2、解此类问题的一般方法：【考点 2】利用二次函数求“最值问题”学法指导：仔细查阅《九下》课本的第22页的问题，并联合《当面》对应的考点清单.【课本经典回首】已知矩形的周长为 36cm，矩形绕他的一条边旋转形成圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？经济生活问题中的函数关系以及想法的问题。
安徽省高中数学第三章导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数教案
（1）求导函数 ；
（2）判断 在 内的符号；
（3）做出结论： 为增函数， 为减函数．
例5．已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．
解： ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，解之得：
所以实数 的取值范围为 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ；若函数单调递减，则 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．已知导函数 的下列信息：
当 时， ；
当 ，或 时， ；
当 ，或 时，
试画出函数 图像的大致形状．
解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增；
当 ，或 时， ；可知 在此区间内单调递减；
当 ，或 时， ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函数．相应地， ．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数 表示函数 在点 处的切线的斜率．
在 处， ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单调递增；
在 处， ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单调递减．
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一、导入新课：
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．
高中数学一轮复习导数在函数研究中的应用导学案
导数在函数研究中的应用一、考纲要求1．函数的单调性了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．函数的极值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．二、知识回顾：知识点一利用导数研究函数的单调性1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增加的．(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减少的．(3)若f__′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求f__′(x)．(2)在定义域内解不等式f__′(x)>0或f__′(x)<0.(3)根据结果确定f(x)的单调区间．易误提醒1．在某个区间(a，b)上，若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．[自测练习]1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．知识点二利用导数研究函数的极值1．函数的极大值 在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．易误提醒 f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的非充分非必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．[自测练习]3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5三、考点研究：考点一 利用导数研究函数的单调性已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．利用导数研究函数的单调性应注意两点(1)在区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是：∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零．考点二 已知单调性求参数范围已知函数ax ee xf x x --=12)((a ∈R )． (1)当23=a 时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在[－1,1]上为单调函数，求实数a 的取值范围．已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．提醒：f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．考点三 利用导数研究极值设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .讨论函数f (sin x )在]2,2[ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．题型专练1．设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(其中k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2)当k ∈[0，＋∞)时，证明函数f (x )在R 上有且只有一个零点．2．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在34-=x 处取得极值． (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．2．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝(x ＋r ax (a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性；(2)若r a ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．3．函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．。
高考数学一轮复习教案第21课导数在研究函数中的应用(2)
一、教学目标1、理解导数的意义，熟练运用导数求解函数的单调区间、极值、最值.2、应用导数解决一些综合问题，如恒成立及含参问题等.二、知识梳理1、已知函数32()3(0)f x x a x a a =-+>；（1）若)(x f 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22.(2)若)(x f 在（-1,1）上是减函数，则实数a 的取值范围是1≥a . 【教学建议】第一问帮助学生复习极值的概念，通过此题，学生应了解极大值、极小值的判定和求法。
前面第25讲对极值的概念已进行了解析，所以该题一定要让学生自己动手去做。
并引导学生在下列问题的指引下解决。
（1）求函数极值的解题步骤是什么？（2）若把条件0a >改为0a <，解题过程作何改动？提醒学生搞清楚在0x x =处左右两侧导数值的符号。
第二问，利用导数判断函数的单调性和已知函数单调性处理问题的区别是什么？归纳：可导函数()f x 在I 上递增（减）⇔对任意的x I ∈，有'()0f x ≥（0)(≤'x f ）。
'()f x 在I 的任意子区间上不能恒等于零。
2、如果函数()y f x =的图象如图所示，那么导函数的图象可能是 （1） ．原函数 （1） （2） （3）【教学建议】图象始终是解决函数问题的重要工具和手段，对原函数的图象教师要指导学生分析其单调区间，对导函数的图象教师要指导学生分析其函数值的正、负。
故应有结论：由()y f x =的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数'()y f x =的函数值依次为正负正负．由排除法，排除（2）、（3）.3、方程326940x x x -+-=的实根的个数为．【教学建议】本题实际上就是要画出三次函数32()694f x x x x =-+-的简图，观察函数图象与x 轴焦点的个数。
如何得出简图，告诉学生先要解决下列问题：（1）函数32()694f x x x x =-+-的单调区间有哪些？（2）函数32()694f x x x x =-+-的极大值、极小值分别是什么？在坐标系中标出极值点(1,0)(3,4)-。
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安徽省铜都双语学校高考数学总复习 导数在研究函数中的应用学案 课题： 导数在研究函数中的应用 课型设置： 自研 60分钟+互动·展示 60分钟 一、复习目标：
1、会利用导数研究导数的单调性，并会求函数的单调区间；
2、理解函数的极大值、极小值、极值、极值点的意义并掌握导数求极值的方法； 二、定向导学·互动展示
自研自探环节 合作探究环
节
展示提升环节·质疑提升环节
自学指导（内容·学法·时间） 互动策略 展示方案 （内容·方式·时间） 【考点1】函数的单调性 学法指导：认真自研选修2-2第22至26页，选修1-1第88至92页结合资料的有关知识，分析导数与函数的单调性，解决以下问题：
1、通过书本，自己举例，作图，分
析导数与函数的单调性有什么关系（即如何判断函数的单调性）
探究：在某个区间内，()0>'x f 是()x f 为
增函数的充要条件？
追踪练习：1．f (x )＝3x －x 3
的单调减区间为____ _______。
2．函数y ＝3x 2－6ln x 的单调增区
间为_______，单调减区间为__________． 3、已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( ) ①两人对子间相互批改自学指导内容，并用红笔予 以等级评定，针对批改中存在的疑
惑 对子间相互交流，进行初步解决： ②六人共同体先解决对子间
存在的疑惑，并结合议题中的具体问题
探讨疑难，【议题1】（方案提示：①分析下列问题，回顾运用知识点，②先展示本组在解 决题目是时遇到的困惑，在展示你们是如何解决困惑的；③归纳解决此类问题的方法及其注意点）
1．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是
( )A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C ．(－∞，3)
D ．(－∞，3] 2.已知函数f (x )＝x ·ln x 和g (x )＝x ·a x (a ＞0
且a ≠1)．
(1)求f (x )在x ＝1处的切线方程；
(2)求证：f (x ＋1)＞2x －1；（构造函数） (3)求g (x )的单调区间．
3.已知f (x )＝e x
－ax －1.
(1)求f (x )的单调增区间；
(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．
（3）
是否存在a ，使f(x)在(]0,∞-上单调递减，在[)+∞,0单调递增？若存在，求出a 的值，若不存在，试
说明理由。
【考点2】函数的极值
学法指导：认真自研选修2-2第26至29页，选修1-1第93至95页，从书本中提取如何求导数的极值的步骤并结合自己的图形予以合理的解释，从而解决以下问题：
1、再次完成27页的探究，先分析a,b,c,d,e,f,g,h 这些点的特征，在概括极大值，极小值，极值点及极值的含义。
2、分析课本中的例4，通过例题的求极值概括如何求函数的极值(或者求极值的步骤）.
自我巩固：
2、（1）求函数f (x )＝x 3－3x 2
－9x ＋5的极值
（2）求函数f (x )＝ln x
x
的极值
重点交流 议题一：“交流如何用导数来表示函数的单调性”；
议题二：“重点交流如何用导数求函数的极值的步骤”；
议题三：“探讨交流如何利用导数求函数的最值”
③针对本组抽到的展示任务在组长的主持下进行展示任务分工，做好展示前的准备。
【议题2】（方案提示：①组代表从分析下列题目运用的知识点②针对题目归纳解决此类问题的方法，进行展示）
1、若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2
在x ＝1处取得极值10，试求a ，b 的值．
2、设函数f (x )＝x 3＋bx 2
＋cx (x ∈R)，已知g (x )＝f (x )－f ′(x )是奇函数． (1)求b 、c 的值；
(2)求g (x )的单调区间与极值
3、(2010·全国)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2
＋3x ＋1.
(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；
(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．
归纳解决此类问题的方法及其注意点：
例1 f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图15－1所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( ) A ．1个B ．2个
C ．3个
D ．4个
1.已知函数 f(x)＝2
2
33m
nx
mx
x+
+
+在 x＝－1 时有极值0，则 m＝_______，n＝________. 2．设函数 f(x)＝kx
xe (k≠0)．
(1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；（2)求函数 f(x)的单调区间；(3)若函数 f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求 k 的取值范围
3、已知函数
)
(x
f
＝－x3＋ax2＋bx＋c图象上的点P(1，f (1))处的切线方程为y＝－3x＋1，函数g(x)＝f (x)－ax2＋3是奇函数．
(1)求函数f (x)的表达式；(2)求函数f (x)的极值．
4、已知函数
)
(x
f ＝ln x－
a
x
.
(1)若a>0，试判断
)
(x
f
在定义域内的单调性；
(2)若
)
(x
f 在[1，e]上的最小值为
3
2
，求a的值；
(3)若
)
(x
f
<x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
四、【培辅课】（附培辅单）疑惑告知：
效果描述：
五、【反思课】：今日心得：
今日不足：
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！。