2.2.1一、二次函数的性质与图象(一)

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二次函数的图象与性质(一)【八大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)

专题1.2 二次函数的图象与性质（一）【八大题型】【浙教版】【题型1 二次函数的顶点式与一般式的互化】 (1)【题型2 根据二次函数的解析式判断其性质】 (2)【题型3 五点法绘二次函数的图象】 (3)【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】 (4)【题型5 二次函数图象的平移变换】 (5)【题型6 二次函数图象的对称变换】 (6)【题型7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】 (7)【题型8 利用二次函数的增减性求参数范围】 (7)【知识点1 二次函数的图象和性质】二次函数的图象是一条抛物线。

当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。

|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。

【题型1 二次函数的顶点式与一般式的互化】【例1】（2023春·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）抛物线y=ax2+2ax+a2+a的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）将二次函数y=x2−4x+3化为y=a(x−m)2+k的形式，下列结果正确的是（）A．y=(x+2)2+1B．y=(x−2)2+1C．y=(x+2)2−1D．y=(x−2)2−1【变式1-2】（2023春·河北承德·九年级统考期末）学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x−ℎ)2+k 的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数y=x2−4x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式如下：两位同学做法正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都正确D．甲、乙都不正确【变式1-3】（2023·广东·九年级专题练习）用配方法把二次函数y=2x2−3x+1写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为________【题型2 根据二次函数的解析式判断其性质】【例2】（2023春·九年级单元测试）在函数①y=3x2；①y=12x2+1；①y=−43x2−3中，图象开口大小按题号顺序表示为（）A．①>①>①B．①>①>①C．①>①>①D．①>①>①【变式2-1】（2023春·九年级单元测试）二次函数y=−x2+4x+3，当0≤x≤12时，y的最大值为（）A．3B．7C．194D．214【变式2-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列二次函数的图象，对称轴是y轴的二次函数的表达式是（）A．y=3x2+2x B．y=3x2+2C．y=x2+2x−7D．y=−2(x−4)2+7【变式2-3】（2023春·江西南昌·九年级期中）关于抛物线y1=2+3x2与y2=2−3x2的论述，不正确的是（）A．两条抛物线的顶点相同B．两条抛物线的形状相同C．两条抛物线与y轴的交点相同D．两条抛物线的增减性相同【题型3 五点法绘二次函数的图象】【例3】（2023春·江苏徐州·九年级统考期末）已知二次函数y=x2−2x−3．(1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；(2)根据图象，完成下列填空：①当x>1时，y随x的增大而___________①当y<0时，x的取值范围是____________【变式3-1】（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标___________．（2）对称轴为___________．（3）当 x = ___________时，y 有最大值是___________．（4）当___________时，y 随着 x 得增大而增大．（5）当___________时，y >0．【变式3-2】（2023春·河南安阳·九年级校考阶段练习）已知抛物线y =−2x 2+4x +6．(1)请用配方法将y =−2x 2+4x +6化为y =a (x −ℎ)2+k 的形式，并直接写出对称轴； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y =−2x 2+4x +6的图象；(3)该抛物线沿x 轴向左或向右平移m （m >0）个单位长度后经过原点，求m 的值．【知识点2 二次函数解析式的表示方法】(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ，b ，c 是常数，a≠0)； (2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)； (3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2是图象与x 轴交点的横坐标．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】【例4】（2023春·北京海淀·九年级期末）已知二次函数y =ax 2+bx +c 经过A (0,5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x =3，求这个二次函数解析式．【变式4-1】（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知一条抛物线的对称轴是直线x =1，函数的最大值是y =2，且该抛物线经过坐标原点(0,0)．求此抛物线的函数关系．【变式4-2】（2023春·河北承德·九年级承德市第四中学校考阶段练习）在二次函数y =x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m的值为（）A．−1B．1C．2D．−2【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线与x轴交点的横坐标为−3和2，且过点(1,−8)，它对应的函数解析式为（）A．y=x2+x−6B．y=−x2−x+6C．y=−2x2−2x+12D．y=2x2+2x−12【知识点3 二次函数的平移】方法一：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：方法二：①y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m）①y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c）【题型5 二次函数图象的平移变换】【例5】（2023·陕西榆林·统考一模）把抛物线y=x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y=x2−4x+3，则b、c的值分别为（）A．b=−12，c=32B．b=4，c=−3C．b=0，c=6D．b=4，c=6【变式5-1】（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）将二次函数y=x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为__________．【变式5-2】（2023·山西运城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=−2x2+bx+c经过平移后得到抛物线y2，则抛物线y2的表达式为（）A．y=−2x2−4x B．y=−2x2−4x+1C．y=−2x2+4x D．y=−2x2+4x+1【变式5-3】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x 轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（）A．y=3(x−5)2+5B．y=3(x−5)2−5C．y=3(x+5)2+5D．y=3(x+5)2−5【题型6 二次函数图象的对称变换】【例6】（2023·陕西·统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线C:y=x2−(m+1)x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C′，在抛物线C′上，当x<1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m⩾1B．m⩽1C．m⩾−3D．m⩽−3变式6-1】（2023·浙江·九年级假期作业）先将抛物线y=(x−1)2+2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）A．y=−(x−1)2+2B．y=−(x+1)2+2C．y=−(x−1)2−2D．y=−(x+1)2−2【变式6-2】（2023春·江苏·九年级专题练习）将二次函数y=(x−1)2−4的图象沿直线y=1翻折，所得图象的函数表达式为（）A．y=−(x−1)2+4B．y=(x+1)2−4C．y=−(x+1)2−6D．y=−(x−1)2+6(x−4)2+2【变式6-3】（2023春·北京朝阳·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12可以看作是抛物线y=12x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y=12x2+2得到抛物线y=−12(x−4)2+2的过程：_______．【题型7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】【例7】（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）已知二次函数y=mx2−2mx+2(m≠0)，当−1≤x≤2时，函数的最大值为y=4，则m的值是______．【变式7-1】（2023春·九年级单元测试）已知抛物线y=x2+(m−1)x−14的顶点的横坐标是2，则m的值是________．【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）若抛物线y=x2+(m−1)x+(m+3)的顶点在y轴上，则m= ____．【变式7-3】（2023·浙江温州·校考三模）抛物线y=x2−2ax+b的顶点落在一次函数y=−2x+4的图象上，则b的最小值为__________．【题型8 利用二次函数的增减性求参数范围】【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知抛物线y=x2−4mx+m，当−2<x<1时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式8-1】（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）二次函数y=−(x+3)2+ℎ(t≤x≤t+2)的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为______．【变式8-2】（2023·福建厦门·统考一模）已知二次函数y=−x2+2ax+a+1，若对于−1<x<a范围内的任意自变量x，都有y>a+1，则a的取值范围是________．【变式8-3】（2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考二模）已知二次函数的表达式为y=−x2−2x+3，将其图像向右平移k(k>0)个单位，得到新的二次函数y1的图像，使得当−1<x<3时，y1随x增大而增大；当4<x<5时，y1随x增大而减小．则实数k的取值可以是（）A．4B．5C．6D．7。

2.2二次函数的图象与性质(1)(1)

6
2
②作出y= x 的图象

4
-4
·2 ·
0
-2 ·
2
1、在下列平面直角坐标系中
①作出y=2x2的图象
2、它们有什么相同点和不同点？
x
③作出y=-x2和y=-2x2的图象
10 y
归纳：
8
6
抛物线y=ax2的对称轴是y轴；
顶点坐标
a的符号决定开口方向：
当a＞0时,开口向上,有最小值；
(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( C )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
变式训练3：如图，从y＝－x2的图象上
可看出当－3<x≤1时，函数y的取值范
－9＜y≤0
围是_________．
二、y=ax2 的图象
y=2x²10 y
·
8
· y=x2
并且抛物线开口向上.
是轴对称图形，
对称轴是y轴.
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，
它是图象的最低点.
当x=0 时，y的值最小, 最小值是y=0 .
二次函数y
=-x2的图象是什么形状？
它的图象与二次函数y = x2的图象有什么关系？
y
当a＜0时,开口向下,有最大值；
决定开口大小，
越大,开口越小．
例2．
m=2或m= -3
变式训练4：如图，四个二次函数的图象
中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；
③y=cx2；④y=dx2，则a，b，c，d的大小

《二次函数的图象与性质》.2.1二次函数的图象与性质(1)

x
－3 －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1
y 1 x2 4.5 3.125 2 2
0.5 0.125 0 0.125 0.5
2 2.5 3 2 3.125 4.5
列表
x －3 －2.5 －2 －1 －0.5 0 0.5 1
y 1 x2 2
4.5
3.125
2
0.5 0.125 0 0.125 0.5
2 2.5 3 2 3.125 4.5
描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图
连线：
－4 －3 －2－1
5 4 3 2 1
1 2 34
观察和分析：从图（1）看出，点A和点A' ，点B和点B ' ，……，它们有什么关系？
点A和点A'关于y轴对称，点B 和点B '也是……
(3) 二次函数的图象是什么形状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．
画二次函数
y 1 x2 2
的图象．
列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取0和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：
2.2二次函数图象和性质（1）
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y x x2 ④ y x2 x 1
⑤ y 1 x2 2x 4
3
回顾知识:

22.1.2 二次函数的图象和性质(1)教案

列表：表略
描点，并连线
图略
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质。回忆一下如何研究一次函数的图象和性质的？
2、类比探究二次函数
y＝ax2的图象与性质。
问题1：类比一次函数的研究内容和研究方法，画二次函数y＝x2的图象，你能说说它的图像特征和特性吗？你是如何描点画图的？你打算从哪些角度去观察、概括特征？
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
2．难点、关键：用描点法画二次函数y＝ax2的图象、探索其性质及二次函数y＝ax2的灵活运用
教学准备
教科书、多媒体课件
教学时间
1课时
教学过程
第（2）课时
教学环节
教师活动预设
学生活动预设
设计意图
备注
情境导入
如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5，然后准确落入篮筐内。已知，篮圈中心离地面距离为3.05m
（2）已知抛物线y=-2x2,在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而
通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和特性，如位置、形状、函数随自变量的增大如何变化。

二次函数的图象与性质第1课时二次函数yx2与yx2的图象与性质课件北师大版数学九年级下册

解：∵二次函数y=x2， ∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0， ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0．
课堂小结
图象位置开口方向
对称性顶点最值
增减性
y＝x2
y
O x
y＝－x2
yx O
开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
-4 -2 0 2 4 x -3 -6 -9
y x2
思考
观察下列图象，抛物线y=x2与y=-x2的关系是什么？
y y=x2
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x 轴对称.
O
x
y=-x2
归纳
图象位置开口方向
对称性顶点最值
增减性
y＝x2
y
O x
y＝－x2
yx O
开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递增
在对称轴右侧递减
随堂练习
1.两条抛物线 y x2与y x2 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ C ） A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C. 开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值
2. 已知点A（－1 ，y1），B（－ 2 ，y2 ），C（ 2，y3）都在函数
y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__y_1_＜__y_2_＜__y_3_____.
（用“<”连接）

二次函数的图像和性质(共48张PPT)

即当 x＜－2ba时，当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最抛物线有最
3
问题思考
（1） y a x 2的图像及性质
4
（1） y a x 2的图像及性质
5
由以上图形知：
• a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 • 函数图象顶点坐标（0,0）
6
（2）y ax2 c 的图像及性质
7
（2）y ax2 c 的图像及性质
函数图象顶点坐标（0,c）注意：c为y轴截距
A．
B．
C．
D．
26
解析
A、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故不合题意，图形错误；
B、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，对称轴 x= ＜0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误；
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 b
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
18
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c
c＜0
与y轴负半轴相交
19
b2－4ac
b2－4ac＝0 与 x 轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与 x 轴有两个交点与 x 轴没有交点

第1讲二次函数的图像及性质

第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象（1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答：（1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。

九年级数学下册第二章二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.1 二次函数y=±x2的图象与性质课件 (新版

K12课件
16
K12课件
12
第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质
解：(1)图略．把点(2，n)代入 y＝－x2 中，得 n＝－22， ∴n＝－4.把点(2，－4)代入 y＝3x＋m 中，得－4＝3×2＋m，∴m＝－10. (2)由题意，得yy＝＝－3xx－2，10，解得xy＝＝2－，4或xy＝＝－－52， 5. ∴抛物线 y＝－x2 与直线 y＝3x＋m 存在另一个交点，其坐标为(－5，－25)．
K12课件
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第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质
3．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( D ) A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴 B．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2和y＝－x2既关于x轴对称，又关于原点对称 C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反 D．点A(－3，9)既在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上
[点评] 判断两个函数图象的交点个数就是看这两个函数表达式所组成的方程组的解的个数．
K12课件
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第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质
素养提升
规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2上，点B0， B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn 都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，则△A2018B2017B2018的腰长等于__2_0_1_8___2 __．
[解析] ∵线段AB⊥y轴，且AB＝6，∴由抛物线的对称性可知，点B的横坐标为3.当x＝3时，y＝x2＝32＝9， ∴直线AB的表达式为y＝9.
K12课件
图K－9－2
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第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质

人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(1)》教学设计

人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（1）》是本册教材的重要内容，主要介绍二次函数的一般形式、图象特点以及一些基本性质。

通过本节内容的学习，学生可以掌握二次函数的基本知识，为后续学习二次函数的应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，具备一定的函数知识基础。

但二次函数相对复杂，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、思考、探索等方式，自主发现和总结二次函数的性质。

三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式和图象特点。

2.掌握二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的概念。

3.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。

四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特点。

2.二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的理解与应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探索等方式自主学习。

2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。

3.注重数学语言的训练，引导学生规范表达。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来描述这些问题。

例如，抛物线运动、物体抛掷等。

从而引出二次函数的概念。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，呈现二次函数的一般形式和图象特点。

引导学生观察并总结二次函数的性质。

3.操练（10分钟）让学生通过计算器或者绘图软件，自己动手绘制一些二次函数的图象，并观察其性质。

同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用所学的二次函数知识解决问题。

教师及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，例如抛物线射门、跳水运动等。

北师九下数学2.2.1二次函数的图象与性质1二次函数y=x2图象和性质九年级下册第二章二次函数第二节课件北师版

解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. （2）∵当x=-1时,y=-2· (-1)2 ≠ -4, ∴点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
（3）当 y=-6 时，-6=-2x2 ,得 x2=3, x=± 3, ∴纵坐标为-6 的点有两个，它们分别是( 3,-6)与(3,-6)
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练习与提高
2、已知点A(1，a)在抛物线y = x2 上。（1）求A的坐标；（2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在， y 说明理由。
A o
x
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练习与提高
3. y=x2图象可知，无论x取何值，y ≥ 0． y=－x2图象可知，无论x取何值，y ≤ 0．
第13页 2018.11
课堂小结
二次函数y=±x2的性质１.顶点坐标 2.对称轴 3.位置 4.开口方向 5.增减性 6.最值 y=x2
y x2
抛物线
（ 0， 0）顶点坐标对称轴 y轴 y轴位置在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
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2 -4 -3 -2 -1
-1 -2
-4 -6 -8 -10
y
2
（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. ? （3）当x<0时,随着x的值增大 -4,y 的值如何变化？当x>0呢？（4）当x取什么值时,y的值最大?最大值是什么？
-6
1 2 3 4 x -1 （2）图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么 -2 -4 -3 -2 -1

2.2 二次函数的图象与性质(1)

函数
y＝ax2(a>0)
y＝ax2(a<0)
图象
开口方向
_向__上__
_向__下__
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顶点坐标
(0，0)
__(_0_，__0_)___
对称轴
___y_轴__(_直__线__x_＝__0_) __
y 轴(直线 x＝0)
当 x>0 时，y 随 x 的增大而_增__大_；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减__小__；函数值变化
当 x<0 时，y 随 x 的增大而_减__小_ 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增__大__
最大(小)值
当 x＝0 时，y 最小值＝_0_
当 x＝0 时，y 最大值＝_0_
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3.(1)a 的正负可以确定抛物线的开__口__方__向__，反之，抛物线的开__口__方__向__也可以确定 a 的正负；
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解：(1)将 x＝1，y＝b 代入 y＝2x－3，得 b＝－1， ∴ 交点坐标是(1，－1)．再将 x＝1，y＝－1 代入 y＝ax2，解得 a＝－1， ∴a＝－1，b＝－1； (2)B( 2，－2)、C(－ 2，－2)； (3)S△OBC＝2 2.
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13．【易错】如图，根据图象提供的信息，下列结论正确的是( A )
A．a1>a2>a3>a4 C．a4>a1>a2>a3
B．a1<a2<a3<a4 D．a2>a3>a1>a4
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14．如图，二次函数 y＝x2 与一次函数 y＝－x－1 的图象在同一直角坐标系中，大致应为( D )

二次函数的图像与性质(第一课时)优质课件

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学科组长组织组员针对疑难问题及小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能够y=x2比较出与的图像的异同，初步建立二次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min）【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容展示小组
14组小2源自2组组合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)

初三数学下册(北师大版)《2. 2 二次函数的图象与性质(1)》【教案匹配版】最新中小学课程

是(
)
A. = 2 和 = − 2 有共同的顶点和对称轴
B. = 2 和 = − 2 开口方向相反
C. = 2 和 = − 2 都是关于轴成轴对称
D. 点A（-3，9）在 = 2 ，也在 = − 2
1.二次函数y=x²的图象顶
（0，0）
点是___________，对称
【复习引入】
你还记得学习过哪些函数吗？
一次函数、反比例函数
怎么研究这些函数？
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
1.解析式
一次函数：
y=kx+b
（k,b为常数， k≠0）
反比例函数：

y=

（k为常数，k≠0）
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
2.图象
一次函数的图象是一条直线，
反比例函数的图象是双曲线.
y
y
0
一次函数图象
x
0
反比例函数图象
x
二次函数的解析式：
y=ax²+bx+c （a,b,c为常数，a ≠0）
【讲授新课】
想一想，动手画一画：
能否用描点法，画出二次函数y=x²的图象呢？
y=x²的图像
描点法：列表→描点→连线
1.列表：选择适当的x值，并计算相应的y值.
…
5 25
( , )
2 4
y=x²
顶点：抛物线的对
称轴与抛物线的交
点是抛物线的顶点.
y=x²
归纳：
1.一条抛物线
2.开口向上
3.关于y轴（直线x=0）对称
4.有顶点（0，0），

二次函数的图象和性质（1）教案

湘教版数学九年级二次函数的图象与性质（1）教学设计课题二次函数的图象与性质(一) 单元第一单元学科数学年级九年级学习目标1.学生会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念.2.使学生经历、探索二次函数图象性质的过程.3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象.难点用描点法画出二次函数的图象以及探索二次函数性质教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图复习导入师：同学们，回忆一下1、二次函数的一般形式是怎样的？2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还记得吗，请列出来。

3、二次函数图象是什么形状呢？是否可以借鉴一次函数的图像画法呢？学生回顾．通过回顾所学知识为本节课的学习做好铺垫．讲授新课一、探究二次函数y=ax2(a>0）的图象和性质1.探究：画二次函数的图象.（1）列表：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么？观察表格中的数据，你有什么发现？（2）描点：描点时应以哪些数值作为点的坐标？在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点．（3）连线：光滑的曲线顺次连接学生填表．在教师的引导启发学生观察表达式的特点．通过学生思考和点A与点A′，点B与点B′，…，它们有什么关系？由此你能作出什么猜想?从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？y=x2的图象在y轴右边所有点都具有这样的性质吗？图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小．简称为“左降”．当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大．简称为“右升”．抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象看出的其他一些性质（除了上面已知的关于y轴对称和“右升”外），还有哪些性质？对称轴与图象的交点是___________；图象的开口向_________；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称“左降；当x=_______时，函数值最_____．一般地，当a>0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2（a>0）的图象时，可以下观察图像，引导学生自主探究，让学生讨论、交流，达成共识．交流对函数性质的认识，并积累从图象的角度研究函数性质的经验．先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．例 1 画二次函数212y x =的图象．二、探究二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质探究：我们已经会画212y x =的图象，能不能从它得出二次函数212y x =-的图象呢？分析：把212y x =的图象沿着x 轴翻折并将图象 “复制”出来，就可以得到212y x =-的图象.画二次函数212y x =-的图象．在212y x =的图象上任取一点21(,)2P a a ，它关于x 轴的对称点Q 的坐标是21(,)2P a a -．如图所示，从点Q 的坐标看出，点Q 在212y x =-的图象上．由此可知，212y x =-的图象与 212y x =的图象关于x 轴对称．因此只要把212y x = 的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到212y x =-的图象．如图的绿色曲线．观察图象，归纳与总结：一般地，抛物线y =ax 2的对称轴是_____，顶点是________．当a >0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_____，在对称轴的右学生动手画图象．对比画图．归纳二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性培养学生画图能力．体会二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．掌握y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．侧，y 随x 的增大而_____．当a <0时，抛物线的开口向___，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________．例2 画二次函数214y x =-的图象．观察函数2y x =和212y x =图象的开口大小，你能得出什么结论？观察函数2y x =-和212y x =-图象的开口大小，你又能得出什么结论？三、抛物线的概念在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y =x 2的图象相像吗？以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y =ax 2（a <0）的图象的一段．由此受到启发，我们把二次函数y =ax 2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y =ax 2．一般地，二次函数y =ax 2的图象关于y 轴对称，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫作抛物线y =ax 2的顶点．质．通过实际问题理解抛物线的概念．帮助学生理解二次函数是具有广泛应用价值的，重要的数学模型．巩固练习 1、直接运用性质填空： (1)图象的对称轴是，顶点是 ,图象的开口向； (2)图象的对称轴是，顶点是 ,图象的开口向 . 2、如图所示，已知二次函数y =ax 2的图象经过点A ．（1）求a 的值；（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．3、已知函数221m m y mx --=的图象是开口向下的抛物线．（1）求m 的值；（2）当x =3时，函数值是多少？当y =-6时，求x 的值；（3）试说明当x <3时，函数值的变化情况，并求当x 为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 4、底面是边长为x （cm ）的正方形，高为0.5 cm 的长方体的体积为y （cm 3）．（1）求y 关于x 的函数关系式，并画出函数图象；（2）根据图象求出y =8 cm 3时，底面边长x 的值；（3）根据图象，求出x 为何值时，y ≥4.5 cm 3．学生独立完成并展示．巩固学习，让学生用自己的方法展示出来，并且让学生得到进一步的锻炼．让学生建立自己对本节内容的认知．课堂小结学生自主交流、归纳、总结．培养学生的归纳、总结能力．板书1.2 二次函数的图象与性质（1）1.探究：画二次函数的图象. （1）列表：（2）描点：（3）连线：。

22.1《二次函数的图象和性质》课件(共5课时)

2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳：一般地，当 a＞0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空：（1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_；（2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2 m 1 n2 1 n
2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？（2）抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 的区别与联系是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
九年级上册
22.1 二次函数的图象和性质（第4课时）
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2，y = ax2+ k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函数图象和性质研究的延续．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图象和性质

二次函数的图像与性质1(含作业和拔高题)

2.1二次函数（一）复习回顾：1.函数的概念：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有__________的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是叫_____， y叫______．2.函数的表示方法：__________、__________、__________（二）合作探究：【探究一】设人民币定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式（）．（不考虑利息税）【探究二】某果园有100棵橙子树，平均每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）问题中有哪些变量？哪些是自变量？哪些是因变量？变量：____________________________________________________________自变量：______________________________因变量：______________________________（2）假设果园增种．．x棵橙子树，那么果园共有棵_______橙子树，这时平均每棵树结_______个橙子。

（3）如果果园橙子的总产量为y个，请你写出y与x之间的关系式。

【探究三】在上述两个关系式中，y是x的函数吗？y是x的一次函数？是反比例函数？与以前学过的函数有什么不同？（三）归纳总结：1．一般的，形如 ( ，）的函数，叫做y是x的二次函数．其中，叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项，a叫做，b叫做注:①a,b,c为常数，且②b,c 为0（填“可以”或“不可以”）③正方形面积S与边长x的关系，S x的二次函数（“是”或“不是”）（四）课堂练习：1.在下列函数中(x，t为自变量),哪些是二次函数?①y ＝-21+3x 2 ②y ＝23x 2-x 3+25 ③xy=1.5 ④y ＝32-2x ⑤y ＝1+t-5t 2 ⑥y=22x⑦y ＝ax 2+bx+c ⑧y ＝-2t +5t 2 ⑨y=πx 2 ⑩y=8x 2+x(1-8x) ⑾y=2(x+1)2-2 答：二次函数有它们的二次项分别是：，二次项系数分别是：它们的一次项分别是：，一次项系数分别是：它们的常数项分别是：2、用16m 长的篱笆围成长方形的生物园养小兔，长方形的面积y （cm 2）与长方形的长x （cm ）之间的关系式是__________________.3、某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= ．y ＝ax 2+bx+c （a,b,c 为常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数；2.2二次函数y=ax 2的图象和性质（1）（三）二次函数y=ax 2的性质1. 二次函数y=ax 2的图象的形状是2. 二次函数y=ax 2是对称图形，对称轴是。

二次函数图像及性质(1)

九年级数学教学教案2.2 二次函数的图像及性质第一课时§2.2.1 二次函数的图像及性质教学目标【知识与技能】1、能够利用描点法作出函数y=x2的图像.能够根据图像认识和理解二次函数y=x2的性质.2、猜想并能作出y=-x2的图像，能比较它与y=x2的图像的异同.【过程与方法】1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．【情感、态度与价值观要求】1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．学情分析教学重点、难点重点： 1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x2的性质．2．能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同．难点：经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程．关键：利用描点法作正确出函数y=x2和y＝-x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y＝x2和y＝-x2的性质．突破方法：通过学生自主动手列表、描点、连线等操作，正确作出函数图像，对图像进行观察、总结.最后得出2ax y 的性质.教法与学法导航教学方法：采用“探索--总结--运用法”为主线的教学方法.通过设置活动，引导学生动手、分析、类比，得出二次函数y=x 2的图像和性质.学习方法：由学生自己思考，动手操作，合作交流得出结论.教学准备教师准备：幻灯片4张第一张：(记作§2．2 A)第二张：(记作§2．2 B)第三张：(记作§2．2 C)第四张：(记作§2．2 D)．学生准备：两张直角坐标纸．画图工具。

2.2.2.1-二次函数y=a-x2的图像与性质

2.2.2.1-二次函数y=a-x2的图像与性质Dy=2x2……y=4x2……(2)在直角坐标系（右图）中描点，(3)用光滑的曲线连接各点，得到函数y＝x2，y=2x2和y=4x2的图象，分析它的相同点与不同点相同点：它们的图象都是一条，开口都向，对称轴都是，顶点坐标都是，增减性规律都一致，函数都有最值，当x＝0时，y最小= ．不同点：函数图象开口大小不同，|a|越大，函数图象开口越,函数值的增长速度越．【小结】：二次函数y=ax2（a＞0）图象的开口大小与有关．若|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越．2、类比y=x2与y＝－x2图象性质的联系，试一试不画出二次函数y=－x2、y=－2x2 和y=－4x2的图象，分析它的特征．相同点：它们的图象都是一条，开口都向，对称轴都是，顶点坐标都是，增减性规律都一致，函数都有最值，当x＝0时，y最大= ．不同点：函数图象开口大小不同，|a|越大，函数图象开口越,函数值的增长速度越．【总结】：二次函数y=ax2图象的开口大小与有关．若|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越．四、课堂小结，归纳新知1、比较二次函数2（a ＞0）与2的性质：2、二次函数y=ax 2图象的开口大小与|a|有关，若|a|越，函数图象开口越．五、学以致用，运用新知1、刹车距离与二次函数的关系．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车抛物线 2ax y = 2ax y -= 对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值1v2确定，雨天行驶时，距离s(m)可以由公式s＝1001v2．这一公式为s＝501v2的图象，根据（1）下图的坐标系中是s＝100画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一1v2的图象．直角坐标系内作出函数s=50（2）如果车速是60km/h，那么在雨天和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？六、运用新知，巩固新知1．抛物线y＝3x2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x_________时，抛物线上的点都在x轴的上方．2．二次函数y=－2x2的图象开口，当x＞ 0时，y随x的增大而；当x＜ 0时，y随x的增大而；当x＝ 0时，函数y有最值是．1，b）是抛物线y=4x2上的一点，则3．点A（2b=；点A关于y轴的对称点B 是，它在函数上；点A关于原点的对称点C是，它在函数上．4．已知抛物线2=经过点(1，3)，求当4=y时，y axx=________．5．已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a ＋1，y3）都在函数y=3x2的图象上，则y1，y2，y 3之间的大小关系为（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 36.抛物线221x y -=不具有的性质是（） A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．当x ＞ 0时，y随x 的增大而减小 D ．函数有最小值7．抛物线2228,5,41x y xy x y =-==共有的性质是（）A ．开口方向相同B ．开口大小相同C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而增大D ．都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点8．抛物线y=41x 2，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（）A ．y=41x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．如图，A 、B 分别为y=x 2上两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB=6，则直线AB 的表达式为（）A ．y=3B ．y=6C ．y=9D ．y=3610．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（）11．（选做）设直线y1=ax+b与抛物线y2=x2的交点 A ，B的横坐标分别为3，－1．(1) 求a，b的值；(2) 设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积．§2.2.2.2二次函数y=a x2＋c的图像与性质一、合作探究，发现新知1、在同一坐标系中作二次函数y=2x2、y=2x2+1和y=2x2－1的图象，并分析它的特征．(1)列表：x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=2x2…18 8 2 0 2 8 18 ………y=2x2+1y=2x2……－1(2)在直角坐标系（右图）中描点，(3)用光滑的曲线连接各点，得到函数y＝2x2，y=2x2 +1和y=2x2－1的图象，分析它的相同点与不同点相同点：它们的图象都是一条形状完全相同的，开口都向，开口大小都，对称轴都是，增减性规律都一致，函数都有最值．不同点：图象顶点坐标不同，为，函数的最小值不同，当x＝0时，y= ．最小【小结】：二次函数y=ax2 +c的图象,它可由二次函数的图象向上或向下平移得到．【归纳】：二次函数y=ax2 +c的图象,它可由二次函数的图象向上或向下平移得到．当c＞0时，把y=ax2（a≠0）的图象向平移个单位长度得到y=ax2＋c（a≠0）的图象，它的顶点坐标是．当c＜0时，把y=ax2（a≠0）的图象向平移个单位长度得到y=ax2＋c（a≠0）的图象，它的顶点坐标是．思考：你能描述函数y＝－2x2，y=－2x2 +1和y=－2x2－1的图象的关系吗？二、运用新知，巩固新知1．抛物线y=－4x2－4的开口向，当x=时，y 有最值，y= ．2．抛物线y=－2x 2+8，y=4x 2，y=3x 2的图象，开口最大的是（）A ．y=3x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2+8D ．无法确定3．二次函数y=5x 2+8的图像是，它的开口方向、对称轴，顶点坐标最值，增减性：在对称轴左侧，在对称轴右侧．4．抛物线y=－3x 2+2可以看成是由抛物线y=－3x 2－4向平移个单位得到的． 5．将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标、．6．将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是，当x= 时，该抛物线有最（填大或小）值，是．7．二次函数y=－5x 2 和y=5x 2的图像关于对称，y=－5x 2+2 和y=5x 2-2的图像是关于对称． 8．将函数y=2x 2+4的图象沿x 轴对折,得到图象的函数解析式为．9．写出一个开口向上，对称轴是y 轴，最值是y=－8的二次函数关系式． 10．已知点（－7，y 1）、（3，y 2）、（－1，y 3）都在函数y=ax 2＋c （a ＞0）的图象上，则y 1，y 2，y 3之间的大小关系为（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 311．（选做）已知二次函数y =－ax2，下列说法错误的是（）A. 当a＞0，x≠0时，y总取负值B. 当a＜0，x＜0时，y随x的增大而减小C. 当a＜0时，图象有最低点，y最小=0D. 当x＜0时，y = －ax2图象的对称轴是y轴12．（选做）如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象在第一象限内相交于点C．求：（1）△AOC的面积；（2）二次函数图象顶点D与点A、B组成的三角形的面积．三、课堂小结第 11 页共 11 页。