平面向量数量积的物理背景及其含义教学案例25

合集下载

平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计)

2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1．掌握平面向量的数量积的物理背景及几何意义；2．掌握平面向量数量积的运算律；二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]向量的数量积的定义及性质．[教学难点]对向量数量积的定义及性质的理解和应用．一、复习回顾，新课引入1．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=，把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)问题：如图一个力F 作用于一个物体上，使该物体位移S ，（1）如何计算这个力所做的功？W =|S||F|cos θ.（2）如何从数学的角度来理解这个公式呢？○1θ的意义是什么？ ○2|F|cos θ的意义是什么？○3|S|cos θ 的意义是什么？二、师生互动，新课讲解：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a |·|b |·cos θ叫做a 和b 的数量积（或内积）。

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案

平面向量数量积的物理背景及其含义教案章节：一、向量数量积的定义及计算公式【教学目标】1. 了解平面向量数量积的定义及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用向量数量积解决实际问题。

【教学内容】1. 向量数量积的定义：两个向量相乘的结果称为向量数量积，记作a·b，其中a、b为平面向量。

2. 向量数量积的物理意义：表示两个向量在空间中的投影长度乘积。

3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|、|b|分别为向量a、b的长度，θ为向量a、b之间的夹角。

【教学过程】1. 引入新课：通过讲解物理中力的作用效果，引导学生思考力的方向和大小对作用效果的影响，从而引出向量数量积的概念。

2. 讲解向量数量积的定义：结合图形，解释向量数量积的含义，让学生理解它是两个向量在空间中的投影长度乘积。

3. 推导向量数量积的计算公式：引导学生利用向量的长度和夹角，推导出向量数量积的计算公式。

4. 应用实例：让学生运用向量数量积的计算公式，解决实际问题，如力的合成与分解。

【课堂练习】1. 已知两个向量a、b，长度分别为|a|=3，|b|=4，夹角为θ=60°，求向量a与向量b的数量积。

2. 如图，在直角坐标系中，向量OA=(2,3)，向量OB=(4,6)，求向量OA与向量OB的数量积。

教案章节：二、向量数量积的性质及运算规律【教学目标】1. 掌握向量数量积的性质；2. 熟悉向量数量积的运算规律。

【教学内容】1. 向量数量积的性质：（1）交换律：a·b = b·a；（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c；（3）数乘律：k·a = a·k（k为实数）。

2. 向量数量积的运算规律：（1）结合律：(a·b)·c = a·(b·c)；（2）分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案

平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用平面向量数量积解决实际问题。

教学重点：1. 平面向量数量积的概念及其物理意义；2. 平面向量数量积的计算公式。

教学难点：1. 平面向量数量积的理解和应用；2. 平面向量数量积的计算公式的推导和运用。

教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量数量积的物理背景和计算公式；2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用向量数量积解决实际问题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT或黑板，展示一些物理场景，如力的作用、位移等，引导学生思考向量数量积的物理背景；2. 学生分享自己对向量数量积的理解和疑问。

二、向量数量积的概念及其物理意义（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，介绍向量数量积的概念，即两个向量的点积；2. 教师解释向量数量积的物理意义，如力的作用、位移等；3. 学生跟随教师一起回顾向量数量积的定义和物理意义。

三、向量数量积的计算公式（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，推导出向量数量积的计算公式，即两个向量的点积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积；2. 教师解释计算公式的推导过程和含义；3. 学生跟随教师一起推导计算公式，并理解其含义。

四、向量数量积的运用（15分钟）1. 教师提出一些实际问题，如力的合成、位移的计算等，引导学生运用向量数量积解决实际问题；2. 学生分组讨论，尝试解决实际问题；3. 各组汇报解题过程和结果，教师进行点评和指导。

2. 学生分享自己的学习收获和反思。

教学延伸：1. 教师可以引导学生进一步学习向量数量积的应用，如力的分解、动量的计算等；2. 教师可以组织学生进行小组讨论或研究，深入研究向量数量积的性质和应用。

教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，包括教学内容的掌握情况、学生的参与程度、教学方法的适用性等，以便于改进教学策略，提高教学质量。

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案

平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 了解平面向量数量积的物理背景；2. 掌握平面向量数量积的定义及其计算公式；3. 理解平面向量数量积的几何意义；4. 能够运用平面向量数量积解决实际问题。

教学重点：1. 平面向量数量积的物理背景；2. 平面向量数量积的定义及其计算公式；3. 平面向量数量积的几何意义。

教学难点：1. 平面向量数量积的计算公式的推导；2. 平面向量数量积的几何意义的理解。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 教学用具（如直尺、三角板等）；3. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入物理背景：以力的合成与分解为例，说明平面向量数量积的重要性；2. 引导学生思考：如何量化两个力的合力的大小和方向？二、平面向量数量积的定义及其计算公式（15分钟）1. 介绍平面向量数量积的定义：两个向量的数量积是它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；2. 推导平面向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ；3. 讲解计算公式的含义：数量积表示两个向量共线的程度，正值表示共线同方向，负值表示共线反方向，零值表示不共线。

三、平面向量数量积的几何意义（15分钟）1. 解释平面向量数量积的几何意义：数量积等于两个向量夹角的余弦值，表示两个向量之间的夹角的余弦值；2. 绘制图示：通过图示解释数量积的计算公式及几何意义；3. 讲解数量积的性质：交换向量a和b，数量积不变；数量积为零，表示两个向量垂直。

四、平面向量数量积的运算律（15分钟）1. 介绍平面向量数量积的运算律：交换律、分配律、结合律；2. 通过示例讲解运算律的应用：解决实际问题，如力的合成与分解。

五、练习与巩固（10分钟）1. 出示练习题：让学生独立完成，检验对平面向量数量积的理解；2. 讲解答案：解析学生答案，解答疑问，巩固知识点。

教学反思：本节课通过引入物理背景，引导学生了解平面向量数量积的重要性，接着讲解其定义、计算公式、几何意义、运算律，通过练习题进行巩固。

平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计讲课教案

平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。

2、过程与方法：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。

三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算:W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a·b=b·a(交换律);②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.图3(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a·b=b·a(交换律);(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.1°e·a=a·e=|a|cosθ.2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a •. 4°cosθ=||||b a b a •. 5°|a ·b |≤|a ||b |. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动). ②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.（三）应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1, |CA |=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠AC B=90°,从而sin ∠ABC=23,sin ∠BAC=21. ∴∠ABC =60°,∠BAC =30°.∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°.故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB=2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直?解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0. ∴k=±43. 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2例 1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,=c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵AB +BC +CD +DA =0,即a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA,∴ABCD 是平行四边形. 故= ,即a =-c .又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,ABCD 是矩形. 点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角. 活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若=a ,CB =b ,则CA =a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC =60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --•作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --• 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=•b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m,n ∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n.∴n=-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·(21 )=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m-4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.（五）作业。

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案

平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 了解平面向量数量积的物理背景；2. 掌握平面向量数量积的定义及其计算方法；3. 理解平面向量数量积的性质及其在几何中的应用。

教学重点：1. 平面向量数量积的物理背景；2. 平面向量数量积的定义及其计算方法；3. 平面向量数量积的性质及其在几何中的应用。

教学难点：1. 平面向量数量积的计算方法；2. 平面向量数量积的性质及其在几何中的应用。

教学准备：1. 教学PPT；2. 教学黑板；3. 教学素材（如图片、实例等）。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用PPT展示一些与向量相关的物理现象，如力的合成与分解、速度与加速度等；2. 引导学生思考这些现象与向量有何关系；3. 提问：同学们是否了解向量的数量积？如果有，请简要介绍一下。

1. 讲解平面向量数量积的物理背景，如力的合成与分解、速度与加速度等；2. 引导学生理解平面向量数量积的概念及其在物理中的意义。

三、平面向量数量积的定义及其计算方法（10分钟）1. 讲解平面向量数量积的定义；2. 引导学生掌握平面向量数量积的计算方法，如三角形法则、平行四边形法则等；3. 举例讲解平面向量数量积的计算方法。

四、平面向量数量积的性质及其在几何中的应用（10分钟）1. 讲解平面向量数量积的性质，如交换律、分配律等；2. 引导学生理解平面向量数量积在几何中的应用，如求解三角形、平行四边形等问题。

五、课堂练习与总结（5分钟）1. 布置一些有关平面向量数量积的练习题，让学生独立完成；2. 对学生的练习情况进行点评，解答学生的问题；3. 总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的物理背景、定义、计算方法和性质等。

教学反思：本节课通过讲解平面向量数量积的物理背景、定义、计算方法和性质等内容，使学生了解了平面向量数量积的概念及其在几何中的应用。

在教学过程中，要注意引导学生主动思考、积极参与，提高学生的学习兴趣和动手能力。

结合实例和练习题，让学生更好地理解和掌握平面向量数量积的相关知识。

2022年精品《平面向量数量积的物理背景及其含义》优秀教案

平面向量数量积平面向量数量积的物理背景及其含义〔刘季梅〕一、教学目标〔一〕核心素养由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想、类比思想，体验法那么学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯〔二〕学习目标1会算一个向量在另一个向量上的投影，会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义2以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数和形两个方面引导学生对向量数量积的定义进行探究通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别〔三〕学习重点1平面向量数量积的概念和几何意义2平面向量数量积的性质及运算律〔四〕学习难点1平面向量数量积的概念及运算律的理解2平面向量数量积的应用二、教学设计〔一〕课前设计1预习任务〔1〕读一读：阅读教材第103页至105页，填空：①两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即②|a| |b|叫做向量a在b方向上〔b在a方向上〕的投影③；a与b同向；a与b反向④平面向量数量积的运算律：；= ；〔1〕假设，那么a与b的夹角为〔〕B C D【答案】B〔2〕，，a与b的夹角为，那么a与b的数量积为〔〕B C D【答案】C〔3〕a与b的数量积为，且，a与b的夹角为，那么b的长度为〔〕B C D【答案】D〔二〕课堂设计1知识回忆〔1〕两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即〔2|a||b|叫做向量a在b方向上〔b在a方向上〕的投影〔3〕当a与b同向时，；当当a与b反向时，；；；；〔4〕平面向量数量积的运算律：；= ；2问题探究探究一平面向量数量积的概念和几何意义●活动①引出并理解向量数量积的概念如图，如果一个物体在力F的作用下产生位移，其中是F与的夹角，请答复以下问题：〔抢答〕〔1〕力F所做的功W=F〔2〕公式中的F、、W是矢量还是标量？，F、是矢量，W是标量这给我们一个启示，我们可以把“功〞看成是F与这两个向量的一种运算的结果为此，我们引入向量“数量积〞的概念：两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即规定：零向量与任一向量的数量积为0，即【设计意图】以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，感受数学的实用性，体会概念的得出过程●活动②探究向量数量积的几何意义对于，是a 与b 的夹角，其中〔〕叫做向量a 在b 方向上〔b 在a 方向上〕的投影如图，按照投影的定义，非零向量b 在a 方向上的投影为，其具体情况，请借助下面的图形进行分析并填空〔举手答复〕；≠；<；≠ ；；0【设计意图】从图形的角度引导学生对投影的概念和向量数量积的几何意义进行探究通过数形结合，使学生明确向量的数量积的概念探究二平面向量数量积的性质 ●活动①归纳总结数量积的简单性质a 与b 是两个非零向量，是a 与b 的夹角，请按要求填空〔集体口答〕 ________；a 与b 同向________；a 与b 反向________ 0；；特别地：，从而有【设计意图】结合向量数量积的概念和几何意义，引导学生总结当两个向量具有特殊位置关系时，向量数量积的特征，从而让学生掌握本节课的重点 ●活动②公式变形，提炼性质由向量数量积公式易得：，当且仅当a 与b 共线且同向时，等号成立那么通过数量积公式变形，可以来求哪些量？〔举手答复〕；也就是可以求向量的模长和向量夹角的余弦值A OBba O探究三平面向量数量积的运算律●活动①探究平面向量数量积的运算律你能证明以下平面向量数量积的运算律吗？〔举手答复〕〔1〕；〔2〕=；〔3〕证明：〔1〕∵，又∵，∴〔2〕∵，，又∵∴=〔3〕如图，任取一点，作，，∵〔即〕在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即：∴∴∴注：指向量a与b的夹角提示：，如当时，就不成立不一定等于，因为表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线【设计意图】以向量数量积的概念和几何意义为根底探究向量数量积的运算律●活动②简单应用数量积的运算律证明例1 对任意，恒有，对任意向量，是否也有成立？【知识点】向量数量积的运算律的应用【解题过程】【思路点拨】按照向量数量积的分配律翻开，再使用交换律化简【答案】成立同类训练对任意，恒有，对任意向量，是否也有成立？【知识点】向量数量积的运算律的应用BOAC abc【思路点拨】按照向量数量积的分配律翻开，再使用交换律化简【答案】成立【设计意图】简单应用向量数量积的运算律●活动③稳固根底，检查反应例2〔1〕，a与b的夹角，求；〔2〕，且，求a与b的夹角【知识点】向量数量积的定义和性质【解题过程】〔1〕；〔2〕∵，又∵，∴【思路点拨】熟悉向量数量积公式以及公式变形【答案】〔1〕；〔2〕a与b的夹角为同类训练填空：〔1〕，且，那么a与b的夹角为___________；〔2〕，a在b方向上的投影为，那么___________【知识点】向量数量的性质【解题过程】〔1〕∵，又∵，∴；〔2〕【思路点拨】明确向量数量积的几何意义和性质【答案】〔1〕；〔2〕【设计意图】掌握向量数量积的相关计算、投影的计算、向量数量积的性质的相关计算●活动④强化提升，灵活应用例3 ，a与b的夹角，求【知识点】向量数量积的运算律【解题过程】【思路点拨】借助向量数量积运算律【答案】同类训练设m与n是两个单位向量，其夹角，求的模长【知识点】向量数量积的性质和运算律【思路点拨】借助向量数量积的性质和运算律【答案】7【设计意图】掌握并熟悉向量数量积的运算律所涉及的相关应用例4 ，且a与b不共线为何值时，向量与互相垂直【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】∵向量与互相垂直，∴，即：，，∴，解得：【思路点拨】两向量垂直其数量积为【答案】时，向量与互相垂直同类训练，，且，那么向量a与b的夹角为多少？【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】∵，∴，又∵，∴，解得：又∵，∴【思路点拨】两向量垂直其数量积为【答案】【设计意图】向量垂直的相关应用3课堂总结知识梳理〔1〕两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|叫做a与b的数量积或〔内积〕，记作ab，即〔2|a||b|叫做向量a在b方向上〔b在a方向上〕的投影〔3〕当a与b同向时，；当当a与b反向时，；；；；〔4〕平面向量数量积的运算律：；= ；〔1〕掌握数量积的定义、重要性质及运算律；〔2〕能应用数量积的重要性质及运算律解决问题；〔3〕了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直、共线等问题〔三〕课后作业根底型自主突破，b满足，，且，那么a与b的夹角为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的性质【解题过程】∵，又∵，∴【思路点拨】根据数量积公式的变形求向量夹角【答案】C2假设，那么为〔〕A锐角三角形B钝角三角形C等边三角形D直角三角形【知识点】向量数量积的运算律和性质【解题过程】∵，∴，故为直角三角形【思路点拨】数量积分配律的逆运算和数量积的性质【答案】D3，a在b方向上的投影为，那么〔〕A B C D【知识点】向量数量积的几何意义【解题过程】∵a在b方向上的投影为，∴，∴【思路点拨】投影的定义和数量积的几何意义【答案】B的夹角为，，那么向量的长度为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的运算律和数量积的概念【解题过程】由，，∴【思路点拨】向量数量积的运算律【答案】A满足，，且，那么与夹角的余弦值为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的性质【解题过程】【思路点拨】向量数量积公式变形求向量的夹角【答案】C满足，，，那么〔〕B C D【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】∵，∴又∵，∴【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律【答案】D能力型师生共研满足，，，那么〔〕B C D【知识点】向量数量积的性质和运算律数学思想：方程消元的思想【解题过程】由：，∴，即，又，∴【思路点拨】根据垂直向量的数量积为0和消元解方程组【答案】B8，，a与b的夹角是，，，问实数取何值时，【知识点】向量数量积的性质和运算律数学思想：方程的思想，即，解得：【思路点拨】根据垂直向量的数量积为0和消元解方程组【答案】探究型多维突破9，，a与b的夹角是，计算向量在向量方向上的投影【知识点】投影的概念和表示，数量积的运算律数学思想：方程的思想【解题过程】∵，，∴所求投影为：【思路点拨】表示出投影进而求值【答案】10平面内有四点，记假设且试判断△ABC的形状，并求其面积【知识点】数量积的运算律，三角形的面积数学思想：方程的思想，数形结合【解题过程】∵abc=0，∴aabc=0，∴｜a｜2a·ba·c=0又∵a·b=a·c=-1，∴| a |2=2，同理| b |2=| c |2，又，∴，∴同理，，∴△ABC为等边三角形【思路点拨】观察联想从而对式子进行合理处理【答案】△ABC为等边三角形，自助餐满足，那么〔〕B C D【知识点】向量数量积的性质和运算律【解题过程】由，得：，，解得：【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律【答案】A，b满足|b|＝4|a|，且a⊥2a＋b，那么a与b的夹角为〔〕A B C D【知识点】向量数量积的性质【解题过程】因为a⊥2a＋b，所以a2a＋b＝0，得到ab＝－2|a|2，设a与b的夹角为θ，那么＝错误!＝错误!＝－错误!，又0≤θ≤π，所以θ＝【思路点拨】根据数量积公式的变形表示向量的夹角【答案】C，b是向量那么“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的________条件【知识点】向量数量积的性质和运算律，充分条件与必要条件【解题过程】|a＋b|＝|a－b|⇔a＋b2＝a－b2⇔ab＝0，∴|a＋b|＝|a－b||a|＝|b|；|a|＝|b|ab＝0，从而得不到|a＋b|＝|a－b|，因此“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的既不充分又不必要条件【思路点拨】明确|a＋b|＝|a－b|的等价变形【答案】既不充分也不必要4，，且与的夹角，那么________【知识点】向量数量积的运算律和数量积的概念【解题过程】由，，∴【思路点拨】向量数量积的运算律【答案】5中，，，，求【知识点】向量数量积的概念【解题过程】由，【思路点拨】找准向量的夹角【答案】〔1〕求a与b的夹角θ；〔2〕求|a＋b|；〔3〕假设错误!＝a，错误!＝b，求△ABC的面积【知识点】向量数量积的性质、运算律，解三角形【解题过程】〔1〕∵2a－3b2a＋b＝61，∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，∴ab＝－6，∴＝错误!＝－错误!又，∴〔2〕|a＋b|2＝a＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×－6＋32＝13，∴|a＋b|＝〔3〕∵错误!与错误!的夹角，∴∠ABC＝＝错误!|错误!||错误!|in∠ABC＝错误!×4×3×错误!＝3错误!又|错误!|＝|a|＝4，|错误!|＝|b|＝3，∴S△ABC【思路点拨】依据向量的模长的公式、向量数量积的运算律，三角形面积公式解题【答案】〔1〕；〔2〕；〔2〕。

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标：1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。

（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。

3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。

（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。

教学过程：一、情景导入、引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义二、合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。

平面向量数量积的物理背景及其含义教案

平面向量数量积的物理背景及其含义教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 引导学生了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义。

3. 培养学生运用数量积解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量数量积的物理意义，数量积的计算公式。

2. 教学难点：数量积在坐标系中的表示，数量积的性质。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生从实际问题中提炼出向量数量积的概念。

2. 利用多媒体课件，直观展示向量数量积的物理背景。

3. 运用实例分析，让学生体会向量数量积在实际问题中的应用。

四、教学内容1. 向量的概念及表示方法：向量的大小、方向，向量的几何表示。

2. 向量数量积的物理背景：力的合成与分解，功的计算。

3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。

4. 数量积的性质：交换律、分配律、共线向量的数量积为零。

5. 数量积在坐标系中的表示：利用坐标计算向量的数量积。

五、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的物理问题，引导学生思考向量数量积的必要性。

2. 讲解向量的概念及表示方法：结合图形，解释向量的大小、方向及几何表示。

3. 阐述向量数量积的物理背景：以力的合成与分解为例，说明向量数量积的含义。

4. 推导向量数量积的计算公式：引导学生从物理意义出发，推导出公式。

5. 讲解数量积的性质：通过实例，演示交换律、分配律、共线向量的数量积为零。

6. 数量积在坐标系中的表示：利用坐标计算向量的数量积，让学生理解坐标与向量数量积的关系。

7. 课堂练习：布置一些有关向量数量积的题目，让学生独立完成。

8. 总结与拓展：回顾本节课所学内容，引导学生思考向量数量积在实际问题中的应用。

六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对向量概念、数量积物理背景的理解程度。

2. 课堂练习：检查学生运用数量积解决实际问题的能力。

3. 课后作业：评估学生对数量积计算公式、性质的掌握情况。

平面向量数量积的物理背景及其含义教案

数学与信息科学学院教案课题平面向量数量积的物理背景及其含义专业指导教师班级姓名学号2011年5月22日课题：§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义教学目标(一)知识目标1、理解平面向量的数量积、投影的定义．2、掌握平面向量数量积的性质．3、了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题．(二)能力目标通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神.(三)情感目标通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态．教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质.教学难点：平面向量数量积性质的探究.教学方法：导学讲评法,探究式,讲练结合法.教学准备：多媒体、彩色粉笔、直尺.课型：新授课.教学过程(一)复习引入通过回忆物理中物体做功，已知一个物体放在水平面上（如下图）(图1) (图2 )用两个不同方向的力拉着物体移动，根据物理知识知道(图1)中力所做的功W=S F ，(图2)中力所做的功θcos S F W =，在物理中功是一个标量，是由F 和S 这两个向量来确定的，如果我们把功看成是由F 和S 这两个向量的一种运算结果，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理背景及其含义”.(二)合作探究结合物理学中功大小的定义θcos S F W =和前面我们说的把功看成是F 和S 两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把F 和S 这两个向量推广到一般的向量，就引出数量积的定义．1、数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，把数量θcos b a 叫做a 与b 数量积（或内积），记作ba ⋅（注意：两个向量的运算符号是用“∙”表示的，且不能省略），用数学符号表示即θcos b a b a =⋅,（）︒≤≤︒1800θ .2、分析数量积的定义，得出一个特殊的规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即()为任意向量a a 00=⋅.3、θcos b a b a =⋅是由θcos S F W =的引出来的，而θcos S F W =是1F 所做的功，θcos 1F F =是F 在S 方向上的分力，那么在数量积中θcos a 叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“投影” ：a cosθ（b cosθ）叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上）的投影.4、根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：数量积与的长度等于a a b a ⋅b 在a 方向上的投影θcos b 的乘积．5、接下来，请同学们思考一个问题：根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？我们前面已经提到两个向量的夹角在[]︒︒1800，，根据余弦函数的知识我们可以知道:当[)︒︒∈90,0θ时，0cos >θ，0>⋅b a ；当(]︒︒∈180,90θ时，0cos <θ，0<⋅b a .6、我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:ba b a b a =⋅︒=同向，与，0θ;0,,90=⋅⊥︒=b a b a θ; b a b a b a -180=⋅︒=反向，与，θ.我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢? 根据定义ba b a b a b a ⋅=⇒=⋅θθcos cos ．由此我们就可以得出θ的值.当0=⋅b a时,︒=⇒=900cos θθ．总结0=⋅⇔⊥b a b a . 特别地，22,a a a a a a a a a 常记为这里或⋅⋅==⋅. 7、请判断的大小关系与b a b a ⋅．解：因为1cos ,cos ≤=⋅θθb a b a ，所以b a b a b a ≤=⋅θcos ．（三）例题讲解，巩固知识例1已知4,5==b a ，b a 与的夹角θ=120度，求b a ⋅．解：根据数量积的定义:θcos b a b a =⋅=︒⨯⨯120cos 45 =5⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯214 =-10.（四）课堂练习练习在边长为2的菱形ABCD 中，已知︒=∠60ABC ，求DC DB ⋅（注意它们的夹角）．解：根据数量积的定义有：θDC DB =⋅，由题意可知：︒=∠︒=∠=301202BDC BCD ，，；所以= =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-⨯2122244 =32.所以︒=⋅30DC DB=23322⨯⨯=6．（五）课堂小结1 向量数量积的定义及投影的定义．2 向量数量积的几何意义．3 数量积的性质．（六）布置作业，反复练习(1)复习今天所讲的知识，预习下节课所讲内容；(2)必做题：教科书P108，习题2.4 A组 2、6题；(3)选做题:教科书P108，习题2.4 B组 5题.（七）板书设计§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1、复习引入 1、数量积的定义1、判断数量积的 1、例题2、规定的正负 2、练习题3、投影的定义 2、三个性质的探究4、数量积的几何 3、布置作业意义。

平面向量数量积的物理背景及其含义教案

平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学目标 1、知识与技能：理解平面向量数量积的含义及其物理意义；应用数量积的性质和运算律进行相关的判断和运算。

2、过程与方法：通过物理中功的计算方式引入向量数量积的概念；通过对定义的理解与拓展，得到向量数量积的性质及运算律；应用“引”“动”“展”“评”“考”的教学方法对向量数量积的习题的灵活掌握。

3情感、态度与价值观：培养学生类比迁移的能力。

二、教学重难点1、重点：向量数量积德相关运算2、难点：向量数量积的性质和运算律的综合应用三、教学过程（一）、复习引入。

两个非零向量和，作OA a,OB b ==，则AOB ∠=θ叫做向量和的夹角注意：向量的夹角，两向量必需共起点。

（二）、新课讲解1、物理中，一个物体在力的作用下产生位移，则力所做的功w 计算，cos w F S θ=，其中θ是与的夹角。

像这样功w ，由力和位移，和夹角θ确定的数量称为力与的数量积。

2、数量积的定义！已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作a b ⋅。

cos a b a b θ⋅=即，其中，θ为与的夹角。

规定：零向量与任一向量的数量积为0，注意：向量的数量积为一个实数，不是向量。

（老师提示，学生完成）.5,4,120.a b a b a b θ===⋅练习已知与的夹角，求 cos 54cos120154()10.2a b a b θ⋅==⨯⨯=⨯⨯-=-解： a b a b ,.a b <>记作b aA B O θF s F sF s F s a b cos a b θab a b a b3、向量数量积的性质设与是非零向量@2||||.a a a a a a ⋅==⋅(1)或 (2)0.a b a b ⊥⇔⋅= 4、投影的概念（1）cos b θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影.（2）数量积的几何意义a 与b 的数量积等于 a 与b 在a 方向上投影 cos b θ的积.'5、向量数量积的运算律 12()()()(3)().a b b a a b a b a b a b c a c b c λλλ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅（）；（）；注意：()(),=a b c a b c a c b c a b ⋅⋅≠⋅⋅⋅=⋅(1) ；(2)不能得2222.||6,||4,60,(2)(-3).236||6||||||||cos606||36129672.a b a b a b a b a b a b a a a b b ba ab b a a b b ==+⋅+⋅-=⋅-⋅-⋅=-⋅-=--=--=-例1已知与的夹角为°求解：（）（）°（注：教师讲解，重点强调易错点）（三）课堂训练：（注：学生小组完成，让学生“动”“展”，教师完成“评”） cos a b a b θ⋅=o22||3,||2,()(2).·223cos302933224217oa b a b a b a ba b a b a a a b a b b ba ab b==+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=++=+⨯⨯⨯+⨯=+已知与的夹角为30，求解：（+）(+2)=2222234,()()0.39,416,9160.3.43.4a b a b ka kb a kba kb a kba kb a kba bkkk a kb a kb==+-+⊥-∴+⋅-=====∴-=∴=±=±+-例2：已知，，且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？解：（）（）又即时，与互相垂直（教师提示：向量的垂直可以转化为向量的数量积为零，由学生小组共同完成）（四）、课堂检测：（提示：由学生独立完成，限时5分钟，学生上交检测题，教师批改）…o22||1,||2,()(2).·22cos602111122482oa b a ba b a ba b a b a a a b a b b ba ab b==+⋅-⋅⋅-⋅+⋅-⋅=--=-⨯⨯⨯-⨯=-已知与的夹角为60，求解：（+）(-2)=（五）、课堂小结1.向量的数量积的定义cosa b a bθ⋅=2.向量数量积的性质2||||0.(2).a a a a a a b a b a ⋅==⋅⊥⇔⋅=(1)，或3.向量数量积的运算律、（六）、作业布置：课本108页 A 组第1题、五、课后思考题 ()()48.1|42|2k (2)(k )?o a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→⊥已知＝，＝，与的夹角是120计算－；当为何值时，＋－六、教学反思：我作为高一数学组的代表,非常荣幸能够参加这次赛课，通过这次活动,我收获很多,在教学上进步很多.著名教育家布卢姆说:“教会学生思考,我们就给了他们自己教育自己的能力.”在新课标课程背景下衡量课堂教学效果好坏的一个重要标志就是学生的思维能力在多大程度上得到挖掘和培养.下面我将正式上课的主要环节做个反思：1、问题情景引入如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力所做的功是多少能否把“功”看成是两个向量的一种运算的结果呢为此,我们可以引入“向量数量积”的概念.但由于高一学生在物理上还没有学习到力与位移夹角不为零时功的计算公式，所以这里有一定的遗憾。

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)

（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。

《平面向量的数量积的物理背景及其含义》教学设计与反思 .doc

《平面向量的数量积的物理背景及其含义》教学设计与反思一．教学内容与内容解析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．教学目标与目标解析1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.三．教学问题诊断分析本节课的教学重点是平面向量的数量积定义，难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用，特别是夹角的选取是学生易存在错误的地方。

四．教学支持条件分析学生在学习本节课之前，已经熟知了实数运算体系，掌握了向量概念及其线性运算。

由特殊模型抽象出概念，然后再从概念出发学习向量，为本节课学习做好了铺垫。

因此本节课学习，学生将感觉亲切不陌生。

五．教学过程设计一、复习引入：1．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. （1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量C|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.注意：（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b 。

平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计一．教学目标：1.知识与技能⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律；⑶平面向量数量积几何意义应用。

2.过程与方法本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习数量积概念，随后探究数量积的性质，通过让学生练习计算数量积及公式变形应用并引导学生由力在位移上的分力值得出投影的概念及数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，设置例题与变式，夯实基础，提升能力。

3.情感态度与价值观通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。

二、教学重难点重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角。

难点：平面向量数量积概念，平面向量数量积的性质及平面向量数量积的几何意义的应用。

三．教学过程（一）导入新课前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加、减、数乘运算,并且两个向量的和、差、数乘仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？情景:观察小车的运动，讨论功的计算公式．提问：（1）力对小车有没有做功？能不能用初中所学的W=FS，为什么？（2）如何解决力不在位移方向时功的计算？分别考虑力F的两个分力做功的情况？（3）力F在位移方向的分力是什么？功的计算公式是什么？（二）新课讲授1.物理背景：如图，物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功W =||||cos W F S F S θ=⋅= .其中，力F 在位移S 方向分力的大小为||cos F θ （请在下图中画出来），力是向量，位移是向量，功是数量，θ是F S 与的夹角.提问：类比功的计算公式，数学中两个向量乘法的计算公式是什么？2.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把||||cos a b θ 称为a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅ ，即a b ⋅ =||||cos a b θ ，其中，|b |cos θ叫做b 在a 方向的投影（请在下图中画出来），规定：0 ⋅a =0.3.回归物理背景，归纳几何意义提问：物理中，力所做的功=力在位移方向的分力大小×位移大小，类比猜想，平面向量数量积的几何意义是什么？预设互动回答：a b ⋅ =b 在a 方向的投影||cos b θ ×||a 平面向量数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向的投影||cos b θ 的乘积.4.回顾向量的夹角，强调前提条件问题：投影也是一个数量还是向量？是否为正？当[0,)2πθ∈时，投影为正；当(,]2πθπ∈时，投影为负；当2πθ=时，投影为零。

平面向量数量积的物理背景及其含义教学案例25

平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计)

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案

平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计讲课教案

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案

2022年精品 《平面向量数量积的物理背景及其含义》优秀教案

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)

平面向量数量积的物理背景及其含义教案

平面向量数量积的物理背景及其含义教案

平面向量数量积的物理背景及其含义教案

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)

《平面向量的数量积的物理背景及其含义》教学设计与反思 .doc

平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计讲课教案

2022年精品《平面向量数量积的物理背景及其含义》优秀教案