山东省菏泽市高考数学(人教版A版)一轮配套题库：24函数的奇偶性与周期性

第四节 函数的奇偶性与周期性
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A ．y ＝1x
B ．y ＝e －x
C ．y ＝－x 2＋1
D ．y ＝lg|x |
解析 y ＝1
x 是奇函数，选项A 错；y ＝e －x 是指数函数，非奇非偶，选项B 错；y ＝lg|x |是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D 错；只有选项C 是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减．
答案 C
2．(2013·湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析 由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3，故选B.
答案 B
3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )
A ．－2
B ．2
C ．－98
D ．98
解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数． ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)．又∵f (x )在R 上是奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )．∴f (－1)＝－f (1)．而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)
＝2×12＝2.∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A.
答案 A
4．(2013·湖北卷)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．增函数
D ．周期函数
解析 当x ∈[0,1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知f (x )为周期函数．故选D.
答案 D
5．若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )
A.12
B.23
C.34
D ．1
解析 ∵f (x )＝x
(2x ＋1)(x －a )是奇函数，
∴f (－1)＝－f (1)．
∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1
(2＋1)(1－a ). ∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 答案 A
6．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )
A ．{x |－3<x <0，或x >3}
B ．{x |x <－3，或0<x <3}
C ．{x |x <－3，或x >3}
D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}
解析 由x ·f (x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>0，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，
f (x )<0.
而f (－3)＝0，f (3)＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>f (－3)，或⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，
f (x )<f (3).
所以x ·f (x )<0的解集是{x |－3<x <0， 或0<x <3}． 答案 D
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2014·东城区期末)若函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ，则f (－2)的值为________．
解析 f (－2)＝－f (2)＝－(4＋2)＝－6. 答案 －6
8．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x
＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.
答案 －1
9．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.
解析 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝1
2f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.
答案 －x (x ＋1)
2
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知函数f (x )＝x 2
＋a
x (x ≠0)．
(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2
＋a
x (x ≠0)，
取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1， 这时f (x )＝x 2
＋1x .
任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 22＋1x 2
＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1
x 1x 2
＝(x 1－x 2)⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.
由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1
x 1x 2，
所以f (x 1)<f (x 2)．
故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．
11．(2014·曲阜师大附中质检)定义域为[－1,1]的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x －2)，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ＋x .
(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)求函数f (x )的值域．
解 (1)当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，故f (0)＝0.
当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， f (x )＝－f (－x )＝－(－2x ＋－x ) ＝2x －－x .
若x ＝－1时，f (－1)＝－f (1)．
又f (1)＝f (1－2)＝f (－1)，故f (1)＝－f (1)，得f (1)＝0，从而f (－1)＝－f (1)＝0.
综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －－x ，x ∈(－1，0)，0， x ＝0，±
1，2x ＋x ， x ∈(0，1).
(2)∵x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ＋x ，
∴f ′(x )＝2＋1
2x ＞0，故f (x )在(0,1)上单调递增． ∴f (x )∈(0,3)．
∵f (x )是定义域为[－1,1]上的奇函数，且f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )∈(－3,3)． ∴f (x )的值域为(－3,3)．
12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．
解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，
∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，
∴f (－1)＝1
2f (1)＝0.
令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．
(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。