第14章点的复合运动-习题
带电粒子在复合场中的运动习题全集(含答案).
图11-4-1例1．如图11-4-1绝缘直棒上的小球，其质量为m 、带电荷量是＋q ，小球可在棒上滑动．将此棒竖直放在互相垂直且在水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度是E ，磁感应强度是B ，小球与棒间的动摩擦因数为 ，求小球由静止沿棒下滑的最大加速度和最大速度（小球带电荷量不变）例2．如图11-4-3所示，水平放置的平行金属板，长为l =140cm ，两板之间的距离d =30cm ，板间有图示方向的匀强磁场，磁感应强度的大小为B =1.3×10-3T ．两板之间的电压按图所示的规律随时间变化（上板电势高为正）．在t =0时，粒子以速度v =4×103m/s 从两板（左端）正中央平行于金属板射入，已知粒子质量m =6.64×10-27kg ，带电量q =3.2×10-19C ．试通过分析计算，看粒子能否穿越两块金属板间的空间，如不能穿越，粒子将打在金属板上什么地方？如能穿越，则共花多少时间？【益智演练】1．一个质量为m ，电量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，作用在负电荷上的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是：( )A ．4qBmB ．3qBmC ．2qBmD ．qB m2．如图11-4-5所示，足够长的光滑三角形绝缘槽，与水平面的夹角分别为α和β（α＜β），加垂直于纸面向里的磁场．分别将质量相等、带等量正、负电荷的小球 a 、b 依次从两斜面的顶端由静止释放，关于两球在槽上运动的说法正确的是（ ） A ．在槽上，a 、b 两球都做匀加速直线运动，且a a ＞a b B ．在槽上，a 、b 两球都做变加速运动，但总有a a ＞a bC ．a 、b 两球沿直线运动的最大位移是s a ＜s bD ．a 、b 两球沿槽运动的时间为t a 和t b ，则t a ＜t b3．一带正电的小球沿光滑水平桌面向右运动，飞离桌面后进入匀强磁场，如图11-4-6所示，若飞行时间t 1后落在地板上，水平射程为s 1，着地速度大小为v 1，撤去磁场，其他条件不变，小球飞行时间t 2，水平射程s 2，着地速度大小为v 2，则（ ） A ．s 2＞s 1 B ．t 1＞t 2 C ．v 1＞v 2 D ．v 1=v4．用绝缘细线悬挂一个质量为m 、带电量为+q 的小球，让它处于右图11-4-7所示的磁感应强度为B 的匀强磁场中．由于磁场的运动，小球静止在如图位置，这时悬线与竖直方向夹角为α，并被拉直，则磁场运动的速度和方向是（ ）A ．v =mg /Bq ，水平向右B ．v =mg /Bq ，水平向左C ．v =mg tan α/Bq ，竖直向上D ．v =mg tan α/Bq ，竖直向下5．如图11-4-8所示，有一电量为q ，质量为m 的小球，从两竖直的带等量 异种电荷的平行板上方高h 处自由下落，两板间有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，那么带电小球在通过正交电磁场时( )图11-4-6图11-4-5B 图11-4-7t/10s3 54 1．图11-4-3C ．可能做匀速直线运动D ．可能做匀加速直线运动 6．如图11-4-9所示，带电平行板间匀强电场竖直向上，匀强磁场方向垂直纸面向里，某带电小球从光滑轨道上的a 点自由下落，经轨道端点P 进入板间后恰好沿水平方向做直线运动．现使小球从稍低些的b 点开始自由滑下，在经过P 点进入板间后的运动过程中，以下分析中正确的是( )A ．其动能将会增大B ．其电势能将会增大C ．小球所受的洛伦兹力将会逐渐增大D ．小球受到的电场力将会增大7．如图11-4-4-10所示，在长方形abcd 区域内有正交的电磁场，ab =bc /2=L ，一带电粒子从ad 的中点垂直于电场和磁场方向射入，恰沿直线从b c 边的中点P 射出，若撤去磁场，则粒子从C点射出；若撤去电场，则粒子将（重力不计）( ) A ．从b 点射出 B ．从b 、P 间某点射出 C ．从a 点射出 D ．从a 、b 间某点射出8．如图11-4-11所示，在真空中，匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场的方向垂直纸面向里，三个油滴a 、b 、c 带有等量同种电荷，已知a 静止，b向右匀速运动，c 向左匀速运动，比较它们的质量应有（ ）A ．a 油滴质量最大B ．b 油滴质量最大C ．c 油滴质量最大D ．a 、b 、c 质量一样9．如图11-4-12中所示虚线所围的区域内，存在电场强度为E 的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，已知从左侧水平射入的电子，穿过这一区域时未发生偏转，设重力忽略不计，则在这个区域中的E 和B 的方向可能是（ ） A ．E 和B 都沿水平方向，并与电子运动方向相同 B ．E 和B 都沿水平方向，并与电子运动方向相反C ．E 竖直向上，B 垂直于纸面向外D ．E 竖直向上，B 垂直于纸面向里10．设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向内的匀强磁场，如图11-4-13所示．已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A 点沿曲线ACB 运动，到达B 时速度为零．C 是曲线的最低点，不计重力．以下说法正确的是（ ）A ．离子一定带正电B ．A 、B 两点位于同一高度C ．离子在C 点速度最大D ．离子到达B 点后将沿曲线返回A 点11．如图11-4-14所示，在真空中一个光滑的绝缘的水平面上，有直径相同的两个金属球A 、C ．质量m A =0.01 kg ，m C =0.005 kg ．静止在磁感应强度B =0.5 T 的匀强磁场中的C 球带正电，电量q C =1×10-2 C ．在磁场外的不带电的A 球以速度v 0=20 m/s 进入磁场中与C 球发生正碰后，C 球对水平面压力恰好为零，则碰后A 球的速度为 ( )A ．10 m/sB ．5 m/sC ．15 m/sD ．-20 m/s12．三种粒子（均不计重力）：质子、氘核和 粒子由静止开始在同一匀强电场中加速后，从同一位置沿水平方向射入图11-4-15中虚线框内区域，虚线框内区域加有匀强电场或匀强磁场，以下对带电粒子进入框内区域后运动情况分析正确的是：( )A ．区域内加竖直向下方向的匀强电场时，三种带电粒子均可分离B ．区域内加竖直向上方向的匀强电场时，三种带电粒子不能分离 A B 图11-4-13图图11-4-8图11-4-12d 图11-4-10v 图11-4-11图11-4-15aD ．区域内加垂直纸面向里的匀强磁场时，三种带电粒子均不可以分离13．在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴O 在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动，磁场方向竖直向下，其俯视图如图11-4-16所示，若小球运动到A 点时，由于某种原因，绳子突然断开，关于小球在绳断开后可能的运动情况，以下说法正确的是（ ）A ．小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变B ．小球仍做逆时针匀速圆周运动，但半径减小C ．小球做顺时针匀速圆周运动，半径不变D ．小球做顺时针匀速圆周运动，半径减小14．质量为m ，带正电为q 的小物块放在斜面上，斜面倾角为α，物块与斜面间动摩擦因数为μ，整个斜面处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，如图11-4-17所示，物块由静止开始沿斜面下滑，设斜面足够长，物块在斜面上滑动能达到的最大速度为多大？若物块带负电量为q ，则物块在斜面上滑动能达到的最大速度又为多大？15．如图11-4-18所示，套在很长的绝缘直棒上的小圆环，其质量为m ，带电量是+q ，小圆环可在棒上滑动，将此棒竖直放在互相垂直，且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度是E ，磁感应强度是B ，小圆环与棒的动摩擦因数为μ，求小圆环由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度．E 图11-4-18图11-4-1716．如图11-4-19所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中运动，已知电场强度的大小为E ，方向竖直向下，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里．若此液滴在垂直于磁感应强度的平面内做半径为R 的匀速圆周运动，设液滴的质量为m ，求：（1）液滴的速度大小和绕行方向；（2）若液滴运行到轨迹最低点A 时，分裂成大小相同的两滴，其中一个液滴仍在原来的平面内做半径为3R 的圆周运动，绕行方向不变，且此圆周的最低点也是A ，另一滴将如何运动？17．质量为m ，带电量为q 的液滴以速度v 沿与水平成45 角斜向上进入正交的匀强电场和匀强磁场叠加区域，电场强度方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，如图11-4-20所示．液滴带正电荷，在重力、电场力及磁场力共同作用下在场区做匀速直线运动．试求：（1）电场强度E 和磁感应强度B 各多大？（2）当液滴运动到某一点A 时，电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，不考虑因电场变化而产生的磁场的影响，此时液滴加速度多少？说明此后液滴的运动情况．18．如图11-4-21所示，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度B =1T ，匀强电场水平向右，电场强度E =103N/C ，有一带正电的微粒m =2×10－6kg ，电量q =2×10－6C ，在纸面内做匀速直线运动．g 取10m/s 2，问： （1）微粒的运动方向和速率如何？（2）若微粒运动到P 电时突然撤去磁场，经过时间t 后运动到Q 点，P 、Q 连线与电场线平行，那么t 为多少？图11-4-19 P图11-4-2019．如图11-4-22所示，一质量为m ，带电量为+q 的粒子以速度v 0从O 点沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E 、方向沿与x 轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b 点正下方的c 点，如图15-76所示．粒子的重力不计，试求： （1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c 点到b 点的距离s ．20．如图11-4-23所示，置于光滑水平面上的绝缘小车A 、B 质量分别为m A =3kg 、m B =0.5kg ，质量为m C =0.1kg 、带电量为q =+1/75 C 、可视为质点的绝缘物体C 位于光滑小车B 的左端．在A 、B 、C 所在的空间有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度B =10T ，现小车B 静止，小车A 以速度v 0=10m/s 向右运动和小车B 碰撞，碰后物体C 在A 上滑动．已知碰后小车B 的速度为9m/s ，物体C 与小车A 之间有摩擦，其他摩擦均不计，小车A 足够长，全过程中C 的带电量保持不变，求：（1）物体C 在小车A 上运动的最大速率和小车A 运动的最小速度．（g 取10m/s 2） （2）全过程产生的热量．21．如图11-4-24所示，在空间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里，在磁场中有一长为L 、内壁光滑且绝缘的细筒MN 竖直放置，筒的底部有一质量为m 、带电荷量为+q 的小球，现使细筒MN 沿垂直磁场的方向水平向右匀速运动，设小球带电荷量不变．（1）若使小球能沿筒壁上升，则细筒运动速度v 应满足什么条件？（2）当细筒运动速度为v 0（v 0>v ）时，试求小球在沿细筒上升高度h 时小球的速度大小．v 图11-4-22图11-4-2322．如图11-4-25所示，一质量为0.4kg 的足够长且粗细均匀的绝缘的细管置于水平地面上，细管内表面粗糙，外表面光滑；有一质量为0.1kg ，电量为0.1C 的带正电小球沿管的水平向右的速度进入管内，细管内径略大于小球直径，已知细管所在处有沿水平方向且与细管相垂直的匀强磁场，磁感应强度为1T ，g 取10m/s 2． （1）当细管被固定时，小球在管内运动的末速度的可能值为多少？（2）若细管未被固定时，带电小球以20m/s 的初速度进入管内，且整个运动过程中细管没有离开水平地面，则系统最终产生的内能是多少？23．如图11-4-26所示，水平方向的匀强电场的场强为E （场区宽度为L ，竖直方向足够长），紧挨着电场的是垂直纸面向外的两个匀强磁场区，其磁感应强度分别为B 和2B ．一个质量为m 、电量为q 的带正电粒子（不计重力），从电场的边界MN 上的a 点由静止释放，经电场加速后进入磁场，经过ｔ＝qBm6π时间穿过中间磁场，进入右边磁场后能按某一路径再返回到电场的边界ＭＮ上的某一点b （虚线为场区的分界面）．求： （1）中间磁场的宽度d ；（2）粒子从a 点到b 点共经历的时间t ab ；（3）当粒子第n 次到达电场的边界ＭＮ时与出发点a 之间的距离S n ．24．汤姆生用来测定电子的比荷（电子的电荷量与质量之比）的实验装置如图11-4-27所示．真空管内的阴极K 发出的电子（不计初速、重力和电子间的相互作用）经加速电压加速后，穿过A '中心的小孔沿中心轴O 1O 的方向进入到两块水平正对放置的平行金属极板P 和P '间的区域．当极板间不加偏转电压时，电子束打在荧光屏的中心O 点处，形成了一个亮点；加上偏转电压U 后，亮点偏离到O '点，O '与O 点的竖直间距为d ，水平间距可以忽略不计．此时，在P 点和P '间的区域，再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场．调节磁场的强弱，当磁感应强度的大小为B 时，亮点重新回到O 点．已知极板水平方向的长度为L 1，极板间距为b ，极板右端到荧光屏的距离为L 2（如图所示）．（1）求打在荧光屏O 点的电子速度的大小．（2）推导出电子比荷的表达式．2B图11-4-26图11-4-2525．如图11-4-28所示，在直角坐标xoy 的第一象限中分布着指向-y 轴方向的匀强电场，在第四象限中分布着垂直纸面向里方向的匀强磁场，一个质量为m 、带电+q 的粒子（不计重力）在A 点（0，3）以初速v 0＝120m/s 平行x 轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，并且只通过x 轴上的P 点（6，0）和Q 点（8，0）各一次，已知该粒子的荷质比为q/m =108C/kg ．（1）画出带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹．（2）求磁感强度B 的大小．26．如图11-4-29所示，oxyz 坐标系的y 轴竖直向上，在坐标系所在的空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向与x 轴平行．从y 轴上的M 点（0，H ，0）无初速释放一个质量为m 、电荷量为q 的带负电的小球，它落在xz 平面上的N （c ，0，b ）点（c >0，b >0）．若撤去磁场则小球落在xy 平面的P （l ，0，0）点（l >0）．已知重力加速度为ｇ． （1）已知匀强磁场方向与某个坐标轴平行，试判断其可能的具体方向；（2）求电场强度E 的大小；（3）求小球落至N 点时的速率v ．图11-4-29f图11-4-21.分析与解：在带电小球下滑的过程中，小球受重力、电场力、支持力、摩擦力和f 洛，受力分析如图11-4-2所示． 在y 方向 ma =f mg 摩擦力N μ=f ，压力Eq +Bqv =N 解得：m )qE +qvB (μmg =a随着小球速度v 增加时，小球加速度减小．所以，小球向下做加速度逐渐减小的加速运动，最后加速度减小到零，小球做匀速直线运动．开始时0=v 时，此时加速度最大，mqEμg=a m ； 匀速时，0=a 时，速度最大，m mg (qv B qE)0-m += 所以BE qB μmg=v m ． 2分析与解：根据题意可知，两金属板间的匀强电场是间断存在的．有电场时，电场方向由上板指向下板，场强大小为E =U /d =1.56V/0.3m=5.2V/m ．粒子进入板间在0～1.0×104s 内受向下的电场力Eq 和向下的磁场力Bqv 作用，由于电场力与磁场力之比1=10×4×10×3.12.5=Bqv qE 33 粒子作匀速直线运动，它的位移34s vt 410110m 0.4m -==创?在接着的1.0×104s ～2.0×10－4s 时间内，电场撤消，α粒子只受磁场力作用，将作匀速圆周运动，轨道半径为273319mv 6.6410410R cm 6.38cm Bq 1.310 3.210---创?===创? 轨道直径d ′＝2R =12.76cm<d /2， 可见，粒子在作圆周运动时不会打到金属板上，粒子作匀速圆周运动的周期为2432r 2 3.14 6.3810T s 1.010s v 410--p 创?¢===?´由于粒子作匀速圆周运动的周期恰好等于板间匀强电场撤消的时间，所以粒子的运动将是匀速直线运动与匀速圆周运动交替进行，其运动轨迹如图11-4-4所示，经过时间443l 3s 1.430.4t 3T 3210 6.510s v 410----?=+=创+=?´从两板的正中央射离． 【参考答案】1．AC 2．ACD 3．BD 4．BC 5．A 6．ABC 7．C 8．C 9．ABC 10．ABC 11．A 12．B 13．ACD 14．qB μ)αcos μα(sin mg ，qB αcos mg ． 15．g ；qB μEq μ+mg ． 16．（1）ERB，顺时针方向；（2）顺时针方向，R ′=R17．（1）qvmg 2=B ,q /mg =E ；（2）a ，2v R a ==，gvπ2=v R π2=T 18．（1）v =20m/s ，θ=60°；（2）t =23s 19．（1）22202q B 4v m π3；（2）Eqmv 2034 20．（1）7.5m/s 和8.25m/s ；（2）24.84J 21．v >Bq m g；v ′=20v +m )mg B qv (h 2 22．（1）v 0≥10m/s 时，v =10m/s ， v 0<10m/s 时，v =0；（2）Q =13.75J 23．d =qmEL B 21，t ab =2qE L m2+qB 3m π2，s n =q 2mEL B n )34( 24．Bb U ，m e =)2/L +L (bL B Ud 1212 25．（1）略；（2）1.2×1010T 26．（1）图11-4-4mgl=E；（3）v=磁场方向为－x方向或－y方向；（2）qH。
点的复合运动
点的合成运动
y’
o’
x’
例2、直升飞机在匀速前进的军舰上降落
y
y’
o’
x’
x
o
点的合成运动
y’ x’
o’
物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的 参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、 加速度等）。
相对运动：未知
3、
va ve vr
大小 v1 v2
?
方向 √ √
?
vr va2 ve2 2vave cos60 3.6 m s
arcsin(ve sin 60o ) 46o12
点的合成运动
vr
求解合成运动的速度问题的一般步骤为(P180):
① 选取动点，动系和静系。
B
曲柄－滑块机构
点的合成运动
思考题 动 点：杆上A点。 动系：固连于滑块B。 定系：固连于墙面。 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
点的合成运动
A Bv
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
练习题1
点的合成运动
点的合成运动
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
定系的速度。
点的合成运动
基本概 念
牵连点的概念
（1）、定 义 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，
这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。 （2）、进一步说明
牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起 着“牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬 时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。 （3）、注 意
理论力学4复合运动
va v e v r
原则：
@ 动点动系在不同刚体上；
@ 保证有尽量多的已知量。
选法一：动点：套筒上A点 动系：摇杆O1B
动点、动系选好后，三种运动都清晰， 特别是相对运动轨迹。
12
选法一：动点：套筒上A点 动系：摇杆O1B 运动分析 绝对运动： 圆周运动
相对运动： 直线运动
在某瞬时,动系所在刚体上与动点重合的点。 牵连点具有瞬时性特点。
ve
•牵连(加)速度：
动点：M 动系：凸轮
动点：M 动系：带滑槽摇杆
ve
牵连点相对静系的(加)速度
10
观察动点M的牵连点M’
动系刚体可以进行延拓！
例：已知OA在图示瞬时水 平，其角速度为w0，O1B与 铅垂向夹角300。求 O1B杆的 角速度。
用几个简单的运动合成一个复杂的运动
？
3
点的复合运动
目的：
合成运动
不同坐标系描述同一点运动时，各运动之间关系； 利用运动关系求解刚体系的运动学问题。
内容：
点的合成运动概念； 点的速度合成定理；
点的加速度合成定理；
点的合成运动概念
z
x'
z'
o'
M
一点 二系 三 运动
动点：P
研究运动的点为动点 O x y z 为静参考系 O’x’y’z’为动参考系
30
r xi yj zk r ' x ' i ' y ' j ' z ' k ' ro ' xo ' i yo ' j zo ' k
点的运动合成习题参考解答
解：用点的复合运动求解，取重物 B 为动点，动系与水平悬臂固连，则牵连运
动为定轴转动，相对运动为直线运动。
由于
vr
=
dx dt
=
−0.5 m/s
( ←)
方向与轴 x 的正向相反。
当 t = 10 s 时， ve = x ⋅ω = 15 × 0.1 = 1.5 m/s , 方向指向轴 z 的正向。速度图见上
2. 图示曲柄滑道机构中，曲柄长 AB = r，绕轴 O 以ω作匀速转动，滑槽 DΕ与水 平线成60°角。求当ϕ =0、30°、60°时，杆 BC 的速度。
解：本题机构 BC 作平动，可以用点的运动学方法求解。这里应用点的合成运动 求解，以滑块 A 为动点，动系与构件 BC 固结，考虑一般位置速度图如下图所示。
可得
aa = ae + ar
aBC = ae = va sinθ = OA⋅ω 2 sinθ = 0.4 × 0.25sin 30o = 0.05 m/s2 (↓)
6. 小车的运动规律为 x = 50 t2，x 以 cm 计，t 以 s 计。车上摆杆 OM 在铅垂面内
绕轴 O 转动，其转动规律为ϕ = π sin πt 。如 OM = 60 cm。求 t = 1 s 时摆杆端
由 va = ve + vr 和速度三角形，以及正弦定理有
ve sin(30o
−ϕ)
=
va sin60o
⇒
v BC
= ve
=
va sin60 o
sin(30o
−ϕ)
将 va = rω 及ϕ =0、30°、60° 分别代入上式解得当ϕ =0、30°、60° 时，
vBC =
3 rω, 3
理论力学第18讲(运动学习题课)
x
定系－固连于机座。 因为
O'
OO ut , OM y a sin( kt ),
所以，笔尖 M 的相对运动方程:
x OO ut , y OM a sin( kt ).
kx y a sin u
消去时间t 得笔尖在纸带上所描绘出的轨迹:
牵连运动－直线平动 。
23
例题
3. 速度分析
A M 绝对速度va： va＝v1 ，方向已知。
v2
B
v1
30
牵连速度ve： ve＝v2 ，方向水平向左 。 相对速度vr：大小和方向未知。
ve
60
应用速度合成定理
M β
va ve v r
vr
24
va
例题
va ve v r
A M v2 B 由几何关系
2
例题
例 题 1
振动仪中纪录振动的笔尖 M 沿铅直固定轴 Oy 作间谐振动
y=asin(kt+α)。纸带以水平匀速u向左运动，求笔尖在纸带上所描 绘出的轨迹。
y'
y u
x'
M
O
M
y'
x'
x
O'
O
3
例题
y' x' M
O
y
u
M O
解：
动点－笔尖M 。
动系－O´x´ y´，固连于工件上。
x'
y'
v1
x' x
v2
相对运动－沿AB的直线运动。
20
例题
O φ
y
3. 速度分析。 绝对速度va： va =v2，大小待求，方向沿OB。 牵连速度ve： ve = v1 ，方向沿轴Ox正向。
点的合成运动
点的合成运动一、是非题1. 在研究点的合成运动问题时，所选的动点必须相对地球有运动。
（ × ）2. 牵连速度是动参考系相对于静参考系的速度。
（ × ）3. 牵连运动为定轴转动时，科氏加速度始终为零，动点在空间里一定作直线运动。
（ × ）4. 如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。
（ √ ）5. 用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度00≠ω，相对速度0≠r v ，则一定有不为零的科氏加速度。
（ × ）6. 牵连速度是动参考系相对于固定参考系的速度。
（ × ）7. 当牵连运动为定轴转动时，牵连加速度等于牵连速度对时间的一阶导数。
（ × ）8. 当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。
（ √ ）9. 在点的复合运动中，下述等式是否一定成立（式中各导数均为相对静系求导）：A. t d d e e v a =， ( × ) B. t d d r rv a =， ( × ) C. t v a d d e e=， ( × ) D. t v a d d r r=， ( × ) E.t v d d a a =a ， ( √ ) F. tv a a d d a =。
( × ) 10. 在点的复合运动中，请选出正确的说法：A. 若0,0e =≠v r ，则必有0=C a ， ( × )B. 若0,0e =≠a r ，则必有0=C a ， ( × )C. 若0≠e n a ，则必有0=C a ， ( × )D. 若0,0r ≠≠v ϕ，则必有0≠a ， ( × )E. 若0,0r ≠≠a ω，则必有0≠a ( × )这里r 为动点的绝对矢径，上面所指皆为某瞬时。
11. 在点的复合运动中，下述说法是否成立：A. 若v r 为常量，则必有0r =a ， （ × ）B. 若ω为常量，则必有0e =a ， （ × ）C. 若ω||r v ，则必有0c =a 。
谢传峰《理论力学》课后习题及详解
1－3 解：运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。
将运动方程对时间求导并将030=θ代入得34cos cos 22lk lk l y v ====θθθ938cos sin 2232lk lk y a =-==θθ1－6证明：质点做曲线运动，所以质点的加速度为：n t a a a +=,设质点的速度为v ，由图可知:a a v v yn cos ==θ，所以: yv va a n =将c v y =，ρ2n va =代入上式可得 ρc v a 3=证毕 1－7证明：因为n2a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n所以：va ⨯=3v ρ证毕1－10 解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度为s ,则有关系式：t v L s 0-=，并且 222x l s +=将上面两式对时间求导得：0v s-= ，x x s s 22= xyoan avy vθθtayzoan aθxovovF N Fg myθ由此解得：xsv x 0-= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得：2002v v s x x x=-=+ (b)将(a)式代入(b)式可得：3220220xlv x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上）取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：g F F a m m N ++=将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：N F F ym F mg xm +-=-=θθsin cos其中：2222sin ,cos l x l lx x +=+=θθ0,3220=-=yx l v x将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：23220)(1)(x lxl v g m F ++=1－11解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即：θcos A B v v = （a ） 因为x R x 22cos -=θ （b ）将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为：22R x xRv A -=ω （c ）由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得：222222)(x R R x xω=-将上式两边对时间求导可得：x x R x x R x xx 2232222)(2ω=--将上式消去x 2后，可求得：22242)(R x xR x--=ω (d)由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 22242)(R x xR a A -=ω取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：g F F a m m N ++=将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：mg F F ym F xm N -+=-=θθsin cos其中：x R x xR22cos ,sin -==θθ, 0,)(22242=--=y R x x R x ω将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2525)(,)(225222242R x x R m mg F R x x R m F N --=-=ωω1－13解：动点：套筒A ；动系：OC 杆；定系：机座；xθ AvAω ONF BRg mFyavevr v运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。
理论力学8、点的复合运动
3、动点、动系不能取在同一物体上。动点相对于动 系的相对轨迹要明显、简单（如直线、圆）。
对于机构传动问题，动点多选在主动件与从动件的 连接点和接触点。静系一般固定在不动的物体上。
§10-2 点的速度合成定理
B
MM / MM1 M1M /
υr
υa
υr
M
/
B/
MM / MM1 M 1M / lim lim lim M t 0 t t 0 t t 0 t
第十章
一、两个参考系
点的复合运动
§10-1 基本概念 定参考系：把固定在地面上的坐标系称为定参考系。
简称定系或静系。用oxyz坐标系表示。
动参考系：把固定在其它相对于地球运动的参考系上
的坐标系称为动参考系。以o’x’y’z’表
示。 二、三种运动 绝对运动：动点相对于定参考系的运动。（点） 相对运动：动点相对于动参考系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。（刚体）
牵连速度ve：方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆O1B 。
va ve v r
va ve vr
ve va sin
va r ，
sin r l2 r2 ,
所以
ve
r 2 l 2 r2
因为
设摇杆在此瞬时的角速度为 ω1， 则
ve O1 A 1
τ r
一般用投影式求解。
x
例:凸轮半径为R，沿水平面向右运动，当φ=600时凸轮的速度为u, B 加速度为a，求此时杆AB的加速度。 解： 动点: A (AB上) 动系: 凸轮
3 0 va ctg60 ve v0 v r v e 0 2 v 0 3 sin 60 3
工程力学学习资料 点的复合运动2
aa ae ar ak
点的合成运动2种类型的问题： 1、带有滑套的机构。
2、运动中，物体相互接触 的机构，接触点不变。
例题：已知：OA杆匀速转动 w，OA=r，该 瞬时已知，求：BC杆的加速度。
解： 动点：滑块A 动系：杆BCDE
绝对运动－
O
D w B C A
以O为圆心的圆周运动
v v v
a e
vr
va
r
ve
即在任一瞬时点的绝对速度等于其牵连速度与相对 速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
选择动点、动系的原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是 已知的，或者能直接看出的。
(相对轨迹、
动 点
速度与加速度)
(绝对轨迹、
速度与加速度)
动 系
牵连运动 (刚体运动)
定 系 (牵连速度与加速度)
E
相对运动－ 沿DE的直线运动
牵连运动－
水平直线平移
aa ae ar
大小： 方向： ？
2
？
D
ae
O
w
A
aa rw
aa
ar B
E
C
加速度向水平方向投影
aa cos＝ae
ae rw cos
2
aBC w r cos（）
2
作业：17－7，8
12（a）
ve v0
0＝ve vr sin
v0 2 vr v0 o sin 60 3
4v v a R 3R
n r
2 r
2 0
aa ae a r ar
加速度向AC方向投影
0 0
带点离子在复合场中的运动含答案详解
NO M P Q B B 复合场计算题专题1.如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，左侧匀强电场的场强大小为E 、方向水平向右，其宽度为L ；中间区域匀强磁场的磁感强度大小为B 、方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感强度大小也为B 、方向垂直纸面向里.一个带正电的粒子(质量m ，电量q ，不计重力)从电场左边缘a 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了a 点，然后重复上述运动过程.求：(1)中间磁场区域的宽度d .(2)带电粒子从a 点开始运动到第一次回到a 点时所用的时间t .2.如图所示，水平放置的两块长平行金属板a 、b 相距d=0.10m ，a 、b 间的电场强度为E=5.0×105N/C ，b 板下方整个空间存在着磁感应强度大小为Ｂ=6.0T ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，今有一质量为m=4.8×10-25kg ，电荷量为q=1.6×10-18C的带正电的粒子（不计重力），从贴近a 板的左端以v 0=1.0×106m/s 的初速度水平射入匀强磁场，刚好从狭缝Ｐ穿过b 板而垂直进入匀强磁场，最后粒子回到b 板的Ｑ（图中未标出）处，求Ｐ、Ｑ之间的距离Ｌ．3. 如图所示，直线MN 下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R 的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B ．现有一质量为m 、电荷量为q 的带负电微粒从P 点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q 点，不计微粒的重力．求： （1）微粒在磁场中运动的周期．（2）从P 点到Q 点，微粒的运动速度大小及运动时间．（3）若向里磁场是有界的，分布在以Ｏ点为圆心、半径为R 和2R 的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P 点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q 点，求其速度的最大值．θBv 0 v Pab d4、如图所示，一带电的小球从P 点自由下落，P 点距场区边界MN 高为h ，边界MN 下方有方向竖直向下、电场场强为E 的匀强电场，同时还有匀强磁场，小球从边界上的a 点进入电场与磁场的复合场后，恰能作匀速圆周运动，并从边界上的b 点穿出，已知ab=L ，求：（1）该匀强磁场的磁感强度B 的大小和方向；（2）小球从P 经a 至b 时，共需时间为多少？5.如图所示，竖直放置的两块很大的平行带电金属板a 、b 相距为d ，a 、b 间的电场强度为E ，今有一带正电的液滴从a 板下边缘（贴近a 板）以初速度v 0竖直向上射入电场，当它飞到b 板时，速度大小仍为v 0，而方向变为水平，且刚好从高度也为d 的狭缝穿过b 板上的小孔进入匀强磁场，若磁场的磁感应强度大小为B =E /v 0，方向垂直纸面向里，磁场区域的宽度为L ，重力加速度为g.（1）试通过计算说明液滴进入磁场后做什么运动？ （2）求液滴在电场和磁场中运动的总时间.6.如图所示，直线MN 上方有垂直纸面向外的足够大的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B ，正、负电子同时从O 点以与MN 成300角的相同速度v 射入该磁场区域(电子质量为m ，电量为e)，经一段时间后从边界MN 射出。
高二物理专题练习-习题课--带电粒子在复合场中的运动
考点四霍尔效应6.据报道，我国最近实施的“双星”计划所发射的卫星中放置一种磁强计，用于测定地磁场的磁感应强度等研究项目。
磁强计的原理如图所示，电路中有一段金属导体，它的横截面是宽为a 、高为b 的长方形，放在沿y 轴正方向的匀强磁场中，导体中通有沿x 轴正方向、电流强度为I 的电流。
已知金属导体单位体积中的自由电子数为n ，电子电量为e 。
金属导电过程中，自由电子所做的定向移动可视为匀速运动。
测出金属导体前后两个侧面间的电势差为U 。
（1）金属导体前后两个侧面哪个电势较高？ （2）求磁场磁感应强度B 的大小。
考点五 带电体在复合场中的运动7.如图所示，在矩形ABCD 区域内，对角线BD 以上的区域存在有平行于AD 向下的匀强电场，对角线BD 以下的区域存在有垂直于纸面的匀强磁场（图中未标出），矩形AD 边长为L ，AB 边长为2L 。
一个质量为m 、电荷量为+q 的带电粒子（重力不计）以初速度v 0从A 点沿AB 方向进入电场，在对角线BD 的中点P 处进入磁场，并从DC 边上以垂直于DC 边的速度离开磁场（图中未画出），求：（1）电场强度E 的大小和带电粒子经过P 点时速度v 的大小和方向；（2）磁场的磁感应强度B 的大小和方向。
8.如图所示的平面直角坐标系xOy ，在第Ⅰ象限内有平行于y 轴的匀强电场，方向沿y 正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc 区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy 平面向里，正三角形边长为L ，且ab 边与y 轴平行．一质量为m 、电荷量为q 的粒子，从y 轴上的p （0，h ）点，以大小为v 0的速度沿x 轴正方向射入电场，通过电场后从x 轴上的a （2h ，0）点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y 轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y 轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力．求：（1）电场强度E 的大小；（2）粒子到达a 点时速度的大小和方向； （3）abc 区域内磁场的磁感应强度B 的最小值．电场的方向竖直向下，有一正离子恰能以速率从右向左飞入，则该电子将向从右向左飞入，则该电子将向取＝方向两两垂直，如图所示。
机械原理各章问答答案
机械原理问答题1。
什么是机构、机器和机械？答：机构:在运动链中，其中一个件为固定件（机架），一个或几个构件为原动件，其余构件具有确定的相对运动的运动链称为机构。
机器：能代替或减轻人类的体力劳动或转化机械能的机构。
机械:机器和机构的总称。
2.机器有什么特征？答：⑴经过人们精心设计的实物组合体。
⑵各部分之间具有确定的相对运动。
⑶能代替或减轻人的体力劳动，转换机械能.3.机构有什么特征？答：⑴经过人们精心设计的实物组合体。
⑵各部分之间具有确定的相对运动。
4.什么是构件和零件?答：构件：是运动的单元，它可以是一个零件也可以是几个零件的刚性组合。
零件：是制造的单元,加工制造不可再分的个体。
1.什么是平面机构？答：组成机构的所有构件都在同一平面或相互平行的平面上运动。
2。
什么是运动副？平面运动副分几类，各类都有哪些运动副？其约束等于几个?答：运动副:两个构件直接接触而又能产生一定相对运动的联接叫运动副.平面运动副分两类：（1）平面低副（面接触）包括：转动副、移动副,其约束为 2.（2)平面高副（点、线接触）包括：滚子、凸轮、齿轮副等，约束为 1.3。
什么是运动链，分几种？答：若干个构件用运动副联接组成的系统。
分开式链和闭式链。
4。
什么是机架、原动件和从动件？答：机架:支承活动构件运动的固定构件。
原动件：运动规律给定的构件.从动件：随原动件运动,并且具有确定运动的构件。
5.机构确定运动的条件是什么？什么是机构自由度？答：条件：原动件的数目等于机构的自由度数。
机构自由度：机构具有确定运动所需要的独立运动参数。
6 。
平面机构自由度的计算式是怎样表达的？其中符号代表什么？答：F ＝3n— 2P L—P H其中:n--—-活动构件的数目，P L-—-—低副的数目，p H—-——高副的数目.7.在应用平面机构自由度计算公式时应注意些什么？答:应注意复合铰链、局部自由度、虚约束。
8.什么是复合铰链、局部自由度和虚约束,在计算机构自由度时应如何处理?答：复合铰链：多个构件在同一轴线上组成转动副，计算时，转动副数目为m —1个局部自由度：与整个机构运动无关的自由度，计算时将滚子与其组成转动副的构件假想的焊在一起，预先排除局都自由度。
理论力学《点的合成运动》答案
va = ve + vr ve = v a sin 30 0 =
1 lω 0 2 1 = lω0 2
ve va
30
0
ve = O1 A ⋅ ωO1D
2l ⋅ ω O1D =
900
1 lω 0 2
vr
A
1 ω O1D = ω 0 4
动点：Ｂ。 动系：固连于 O1 D 杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
va = ve + vr v a = rω v BC va = 0 0 sin(180 − 120 − 90 + ϕ ) sin 120 0
0
vBC rϕ = 0 sin(ϕ − 30 ) sin 1200
v BC
sin( ϕ − 30 0 ) = ⋅ rω sin 120 0 1 sin( 0 − 30 ) 3 | ϕ =0 = ⋅ rω = 2 rω = − rω 0 sin 120 3 3 2
6
绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于 O1 D 杆的速度。 牵连速度： O1 D 杆相对于地面的速度。
→ → →
ve
900
va
30 0
B
va = ve + vr
1 ve = O1 B ⋅ ω O1D = 4l × ω 0 = lω 0 4
vr
va =
ve lω 0 = = 1.155lω 0 0 cos 30 0.866
[习题7-4] 砂石料从传送带Ａ落到另一传送带Ｂ的绝对速度为 v1 = 4m / s ，其方向与铅直线成
30 0 角。设传送带Ｂ与水平面成 15 0 角，其速度为 v 2 = 2m / s ，求此时砂石料对于传送带Ｂ的
点的复合运动的习题
共 2 页 第 1 页一、图示机构中连杆BC 与一固定直杆EF 相接触，在两者接触处套上一小环M ，设曲柄AB =CD =r ，连杆BC =AD =l ，已知AB 杆转动的角速度ω为常量，试求图示位置小环M 的速度和加速度。
（18分）解：小环M 相对于杆BC 有相对运动，选M 为动点，动系固连在杆BC 上。
绝对运动：在EF 杆上做铅垂直线运动；相对运动：在杆BC 上运动；牵连运动：杆BC 作平动； （1）速度分析及计算：根据速度合成定理，动点M 的绝对速度r e a v v v +=AB 杆定轴转动，杆BC 作平动，所以：ω⋅==r v v Ae（2 r e a a a a +=AB 杆匀角速转动，杆BC 作平动，所以：2n Be ω⋅==r a aBC 轴投影得：二、小环M 同时套在半径为R 的固定半圆CD 和铅直杆AB 上，当AB 杆移动时，小环M 沿半圆环CD 运动，已知AB 杆沿水平方向向右移动的速度v 等于常数，试求图示位置时，小环M 的绝对速度和绝对加速度。
解：小环M 相对于杆AB 有相对运动，选M 为动点，动系固连在杆A B 上。
绝对运动：在固定半圆CD 上做圆周运动；相对运动：在杆AB 上做铅直运动； 牵连运动：杆AB 作平动；（1）速度分析及计算：根据速度合成定理，动点M 的绝对速度r e a v v v +=杆AB 作平动，所以：v v =e作速度平行四边形如图。
由图中几何关系可得：45cos ae=v vCD 弧的切线方向） 2r e a a a a +=即：r e τa aa a a a n +=+AB 杆向右匀速运动，所以：0e =a绝对运动为圆周运动，所以：R v R v a a n a22== 作加速度矢量图如图。
取x 轴为投影轴，054cos 45cos =-τa na a aC C。
工程力学(运动学与动力学)14点的复合运动
绝对运动的分析方法
绝对运动
描述一个物体相对于绝对空间的运动， 是物体在固定参考系中的位置和速度。
VS
分析方法
通过绝对坐标系和相对坐标系之间的关系 ，分析物体的绝对运动。
复合运动的合成定理
合成定理
将相对运动和牵连运动结合起来，描述一个 物体在复合运动中的位置和速度。
应用范围
适用于分析复杂机械系统中的运动关系，如 机床、机器人等。
要点二
弹性体在振动时发生的形变
例如，振动的弦或振动的梁，在振动过程中发生的形变可 以通过动力学方程进行描述。这种形变是由于弹性体内部 分子之间的相互作用以及外力作用共同作用的结果。
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平面内两个旋转运动的复合
例如，搅拌机的搅拌叶片，既围绕中心轴做旋转运动 ，同时又围绕自身的轴线做旋转运动。这种复合运动 可以通过引入角速度和角加速度的概念进行描述。
空间内复合运动的实例分析
空间内旋转与直线运动的 复合
例如，直升机的螺旋桨，在围绕自身轴线旋 转的同时，直升机机体沿着垂直方向做直线 运动。这种运动可以通过三维坐标系进行描 述，并运用相应的运动学和动力学公式进行 分析。
空间运动
物体在三维空间中的运动，其轨迹位 于三维空间中。
定轴转动与定平台转动
定轴转动
物体绕固定轴线的转动，轴线位置固定不变。
定平台转动
物体绕固定平面上某点的转动，平面位置固定不变。
刚体运动与弹性体运动
刚体运动
物体在运动过程中形状和大小保持不 变。
弹性体运动
物体在运动过程中发生弹性形变，恢 复原状后继续运动。
工程力学（运动学与动力学 14点的复合运动
目录
• 复合运动的概述 • 复合运动的分类 • 复合运动的运动学分析 • 复合动力学的分析方法 • 复合运动的实例分析
工程力学-点的复合运动的矢量法求解
l
2
A
30º vAa
l
vBa vDr1 vAa vDAa
2l0 ？
3
2l0 ?
在杆AD方向的轴上投影
vBe2vBa
2l0
3
cos
30
vDr1
cos
30
2l0
cos
求出 vDr1 0
60
动系2 O
60º 即套筒D相对 于杆 BC的速度为零。 故 vDa vDe1 vDr1 vDe1 vBa
而套筒B相对于杆OA的速度由B点速度合成关系(3) 求出 vBr 2 vBe2 tan 30 l0 3 / 3 (方向如图)故 vD,OA vBr 2
即套筒D相对于杆OA的速度大小为 l0 3 / 3，方向由B指向A
O
3. 速度分析
绝对速度va：大小未知，方向沿 杆AB，设为向上
牵连速度ve：ve= v0，方向水平
向右
v0
相对速度vr：大小未知，方向沿
x'
凸轮圆周的切线
n
例题
§3 复合运动
例题1
B
应用速度合成定理
方向 ✓ 大小 ？
✓✓
v0
?
vr
φ
va
A
R
ve
v0
φ
n
()
例题
例题1
§3 复合运动
讨论一
若取凸轮 上与顶杆的重 合点A1为动点， 动系固连顶杆 AB，则相对 运动轨迹是什 么曲线？
由于杆上总有一点与槽壁接触，相当于在槽壁上C点 处安有一可绕C点定轴转动的套筒，杆穿过套筒运动。 且套筒 C的角速度与杆的角速度、角加速度相同。
动点：杆上的A点 动系：固连于套筒C 动系的牵连运动：绕C轴的定轴转动
02点的复合运动例题
02点的复合运动例题一．如图所示机构，半径为m L R 12/==滚轮，在水平地面上滚动而不滑动。
CD 杆的角速度s rad CD /6.1=ω, 角加速度2/0.1s rad CD =α，已知：m L BC BG AG 2====,杆DC 垂直，杆BC 水平，EG 水平，角30=∠A 。
求E 点的速度和加速度。
解:（1）求B 点的速度和加速度刚体平面运动速度矢量方程：C B C B v v v /+= 沿X 方向投影：CD 23130cos ωL v v C B +==， 沿Y 方向投影：C B B v v /30sin = ， 解得：s m L v CD B /0475.5333=+=ω， s rad L vCD B AB/88261.16332=+==ωω s m L v CD C B /5238.2633/=+=ω ， s rad L v CD C B BC/88261.1633/=+==ωω刚体平面运动加速度矢量方程：t C B n C B t C n C t B n B a a a a a a //+++=+沿X 方向投影：n C B t C t B n B a a a a /30cos 30sin +=+− ，沿Y 方向投影：t C B n C t B n B a a a a /30sin 30cos −−=−− ，2223130cos 30sin 2BC CD t B AB L L a L ωαω++=+− 2288261.121223130cos 30sin 88261.122×+××+=+××−t B a 解得：2/4509.10s m a t B=， 2/6274.22s rad La t B AB==α（2）点的复合运动求G 点的速度和加速度点的复合运动速度矢量方程：r e Gy Gx v v v v +=+ 沿e v 方向投影：AB e Gy Gx L v v v ω=+=−030sin 30cos (1)沿r v 方向投影：r Gy Gx v v v +=−−030cos 30sin (2)点的复合运动加速度矢量方程：k t r te n e Gy Gx a a a a a a +++=+沿te a 方向投影：rAB AB kt e Gy Gx v L a a a a ωα20030sin 30cos −=−++=− （3）沿tr a 方向投影：0030cos 30sin +++=−−t r n e Gy Gx a a a a (4)（3）刚体平面运动求G 点的速度和加速度刚体平面运动速度矢量方程：E G E Gy Gx v v v v /+=+ 沿X 方向投影：E E E Gx R v v ωω==+=+00， 沿Y 方向投影：E E E G Gy R v v ωω−=−=−=+/00， 将上式解代入（1），（2）式得：26188.122030sin )(30cos ×==+=−−ABe E E v ωωω (5)sm v r E E /67624.0030cos )(30sin =+=−−− ωω (6)刚体平面运动加速度矢量方程：tE G n A G E Gy Gx a a a a a //++=+沿X 方向投影：2/0-0E E nA G E Gx R R a a a ωα−=+=+，沿Y 方向投影：E tE G Gy R a a α−=−+=+/000，将上式解及r AB AB E v ,,,ωαω代入（3），（4）式得：r AB AB E E E v ωααωα2230sin )(30cos )(2−=−−−222/76138.42/)13(2/384752.167624.026188.126274.2230sin 30cos 30cos 22s m v E r AB AB E =+×+××−×=++−=ωωααt r AB E E E a L +=−−−−2230cos )(30sin )(ωαωαt r a +×=−−−−2226188.1230cos )76138.4(30sin )84752.176138.4( 2/26477.0s m a t r =二．如图所示机构，轮C 定轴转动，滑块AB 沿水平地面平行移动。
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解：以铰链为动点，杆O1A为动系。有
， ，
故 (逆钟向) [6分]
又
[10分]
由
Байду номын сангаасx：
得
(逆钟向) [15分]
以滑块F为动点，动系固结于BD杆上，定系固结于地面，牵连运动为平动。动点的速度矢量合成图如图（a）所示，则有
而 ，所以
（顺时针转向）。
动点的加速度矢量合成图如图（b）所示。其中 ， ，
将 向水平方向投影得
（顺时针转向）
14.3圆盘的半径 ，以匀角速度 ，绕O轴转动，并带动杆AB绕A轴转动，如图。求机构运动到A、C两点位于同一铅垂线上，且 时，AB杆转动的角速度与角加速度。
14.1图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=r，在图示瞬时杆OA与铅垂线夹角 ，杆端A与凸轮相接触，点O与O1在同一铅直线上，凸轮的的速度为 ，加速度为 。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并求OA杆的角速度和角加速度。
14.2图示机构中AB＝CD=EF＝l，设在图示位置时 ，杆EF的角速度为 ，角加速度为0，求此时杆AB的角速度与角加速度。