八年级(上)第一次月考数学试卷(含答案) (1)

八年级（上）月考数学试卷（10 月份）1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（）A. 2B. 2.5C.3D.53.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A.两点之间线段最短B.矩形的对称性C.矩形的四个角都是直角D.三角形的稳定性4.在△ABC 中，①若AB=BC=CA，则△ABC 为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个5.如图，等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D，交AC 于E，连接BE，则∠CBE 等于（）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°6.已知AB=AC=BD，则∠1 与∠2 的关系是（）A. ∠1=2∠2B. 2∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D. 3∠1-∠2=180°二、填空题（本大题共10 小题，共30.0 分）7.线段、角、三角形、圆中，其中轴对称图形有个．8. 若△ABC≌△DEF，∠B=40°，∠C=60°，则∠D= °．9.等腰三角形的两边长分别是3 和7，则其周长为．10.直角三角形有两条边长分别为6 和8，则第三条边的平方为．11.已知直角三角形两直角边分别为3，4，则其斜边上的中线长为．12.如图，∠BAC=108°，若MP 和NQ分别垂直平分AB 和AC，则∠PAQ 的度数是．13.如图是4×4 正方形网络，其中已有3 个小方格涂成了黑色．现在要从其余13 个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个．14.如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，AD=3，BC=8，则△BDC 的面积是．15.如图，在△ABC 中，AB=7，AC=9，BC=8cm，BP、CP 分别是∠ABC和∠ACB 的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE 的周长是cm．16.已知，直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，在直线AC 上找一点P，使△ABP 是等腰三角形，则∠APB 的度数为．三、计算题（本大题共 2 小题，共22.0 分）17.已知某开发区有一块四边形的空地ABC D，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？18.如图，在△ABC 中，AB=AC，点D、E、F 分别在BC、AB 、AC 边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数；（3）△DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？四、解答题（本大题共8 小题，共80.0 分）19.如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△A1B1C1；（2）在DE 上画出点Q，使QA+QC 最小；（3）求△ABC 的面积．20.如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P 离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）21.如图，已知AB=DC，AC=DB，AC 和DB 相交于点O．求证：OB=OC．22.如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC 的顶点都在格点上．（1）判断△ABC 是什么形状，并说明理由．（2）求△ABC 的面积．23.如图，△ABC 中，AD 是高，C E是中线，点G 是CE 的中点，DG⊥CE，点G 为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=66°，求∠BCE 的度数．24.如图，长方形纸片ABCD，AD∥BC，将长方形纸片折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C'处，折痕为EF．（1）求证：BE=BF．（2）若∠ABE=18°，求∠BFE 的度数．（3）若AB=4，AD=8，求AE 的长．25.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是AB 的中点，点E 是边AC 上的一动点，点F 是边BC 上的一动点．（1）若AE=CF，试证明DE=DF；（2）在点E、点F 的运动过程中，若DE⊥DF，试判断DE 与DF 是否一定相等？并加以说明．（3）在（2）的条件下，若AC=2，四边形ECFD 的面积是一个定值吗？若不是，请说明理由，若是，请直接写出它的面积．26.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P 从点C 出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t 秒．（1）当t=1 时，求△ACP 的面积．（2）t 为何值时，线段AP 是∠CAB 的平分线？（3）请利用备用图2 继续探索：当t 为何值时，△ACP 是以AC 为腰的等腰三角形？（直接写出结论）答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，故A 符合题意；B、不是轴对称图形，故B 不符合题意；C、不是轴对称图形，故C 不符合题意；D、不是轴对称图形，故D 不符合题意．故选：A．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5，∵AE=2，∴EC=AC-AE=5-2=3，故选：C．根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案．本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．3.【答案】D【解析】解：加上EF 后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△EAF，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：D．用木条EF 固定矩形门框ABCD，即是组成△AEF，故可用三角形的稳定性解释．本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．4.【答案】D【解析】解：①根据等边三角形的定义可得△ABC 为等边三角形，结论正确；②根据判定定理1 可得△ABC 为等边三角形，结论正确；③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1 可得△ABC 为等边三角形，结论正确；④根据判定定理2 可得△ABC 为等边三角形，结论正确．故选：D．根据等边三角形的判定判断即可．本题考查了等边三角形的判定，等边三角形的判定方法有三种：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．注意：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1 来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2 来证明．5.【答案】C【解析】解：∵等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC==80°，∵DE 是线段AB 垂直平分线的交点，∴AE=BE，∠A=∠ABE=20°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°．故选：C．先根据△ABC 中，AB=AC，∠A=20°求出∠ABC 的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=20°即可解答．此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．6.【答案】D【解析】解：∵AB=AC=BD，∴∠B=∠C=180°-2∠1，∴∠1-∠2=180°-2∠1，∴3∠1-∠2=180°．故选：D．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1 和∠C 之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1 和∠2 之间的关系．本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中．7.【答案】3【解析】解：角，线段，圆均为轴对称图形．故答案为：3．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．8.【答案】80【解析】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠A=180°-∠B-∠C=80°，∵△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=80°，故答案为：80．根据三角形内角和定理求出∠A，根据全等三角形的性质得出∠D=∠A，即可得出答案．本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．9.【答案】17【解析】解：分两种情况：当3 为底时，其它两边都为7，3、7、7 可以构成三角形，周长为17；当3 为腰时，其它两边为3 和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为17．故答案为：17．因为边为3 和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．10.【答案】10 或2√7【解析】解：当8 是直角边时，第三条边长为：=10，当8 是斜边时，第三条边长为：，故答案为：10 或2．根据勾股定理计算即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．11.【答案】2.5【解析】解：由勾股定理得，斜边==5，所以，斜边上中线长=2.5．故答案为：2.5．利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．12.【答案】36°【解析】解：∵MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC，∴PA=PB，QA=QC，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=108°，∴∠B+∠C=72°，∴∠PAB+∠QAC=72°，∴∠PAQ=36°，故答案为：36°．根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13.【答案】4【解析】解：如图所示，有4 个位置使之成为轴对称图形．故答案为：4．根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．本题考察了利用轴对称设计图案的知识，此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4 种画法．14.【答案】12【解析】解：过 D 作DE⊥BC 于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD 平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC 的面积是×DE×BC= ×8×3=12 ，故答案为：12．过D 作DE⊥BC 于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．15.【答案】8【解析】解：∵BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，∴△PDE 的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm．故答案是：8．分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP 和△ECP 为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE 的周长就转化为BC 边的长，即为8cm．此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE 的周长就转化为BC 边的长．16.【答案】10°或20°或80°或140°【解析】解：∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=20°，∴当AB=BP1 时，∠BAP1=∠BP1A=20°，当AB=AP3 时，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC= ×20°=10°，当AB=AP4 时，∠ABP4=∠AP4B= ×（180°-20°）=80°，当AP2=BP2 时，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°-20°×2=140°，∴∠APB 的度数为：10°、20°、80°、140°．故答案为：10°或20°或80°或140°．分四种情况：①AB=BP1 时，②当AB=AP3 时，③当AB=AP2 时，④当AP4=BP4 时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．此题主要考查了等腰三角形的判定，分类讨论思想的运用是解题关键．17.【答案】解：连接BD，在Rt△ABD 中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在△CBD 中，CD2=132BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，1⋅⋅ + 1⋅，S =S +S =四边形ABCD △BAD△DBC 2 2=1 × 4 × 3 + 1 × 12 × 5=36．2 2所以需费用36×200=7200 （元）．【解析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC 的长度关系可得三角形DBC 为一直角三角形，DC 为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC 构成，则容易求解．通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．18.【答案】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，=在△BDE 与△CEF 中{∠ = ∠=∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF 是等腰三角形．（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B ∴∠DEF=∠B（9 分）2∵AB =AC ，∠A =40°∴∠DEF =∠B =180°−40° = 70°．（3） 解：△DEF 不可能是等腰直角三角形．∵AB =AC ，∴∠B =∠C ≠90°∴∠DEF =∠B ≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形．【解析】（1） 由 SAS 可得△BDE ≌△CEF ，得出 DE=EF ，第一问可求解；（2） 由（1）中的全等得出∠BDE=∠CEF ，再由角之间的转化，从而可求解∠DEF 的大小；（3） 由于 AB=AC ，∴∠B=∠C≠90°=∠DEF ，所以其不可能是等腰直角三角形． 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定和性质问题，能够熟练掌握三角形的性质求解一些简单的计算、证明等问题． 19. 【答案】解：（1）的△A 1B 1C 1 如图所示；（2）连接 AC 1 交直线 DE 于点 Q ，连接 CQ ，点 Q 即为所求；（3）S1 1 ABC 1 7．△ 【解析】=3×3 -2×3×2 -2×3×1 -2×1×2= 2（1） 分别作出 A ，B ，C 的对应点 A 1，B 1，C 1 即可；（2） 连接 AC 1 交直线 DE 于点 Q ，连接 CQ ，点 Q 即为所求；（3） 利用分割法求三角形的面积即可；本题考查作图-轴对称变换，最三角形的面积，短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解；如图，点P 为所作．【解析】分别作线段CD 的垂直平分线和∠AOB 的角平分线，它们的交点即为点P．本题考查了作图-应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．21.【答案】证明：连接BC，∵在△ABC 和△DCB 中∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OC．【解析】= { ==连接BC，根据SSS 推出△ABC≌△DCB，推出∠ACB=∠DBC，根据等角对等边推出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．22.【答案】解：（1）△ABC 是直角三角形，理由如下：由勾股定理可得：AC2=12+82=65，BC2=42+62=52，AB2=32+22=13，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC 是直角三角形．（2）△ABC 的面积=1 ⋅ = 1×√52 × √13 = 13．2 2【解析】（1）根据勾股定理求出AB、BC 及AC 的长，再根据勾股定理的逆定理来进行判断即可．（2）用直角三角形的面积，即可得出结果；本题考查了勾股定理、三角形面积的计算、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题（1）的关键．23.【答案】（1）证明：连接DE．∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AE=EB，∴DE=EB=EA，∵DG⊥EC，EG=GC，∴DE=CD，∴DC=BE．（2）设∠BCE=x．∵EB=DE=DC，∴∠DCE=∠DEC=x，∴∠EBD=∠BDE=∠DEC+∠DCE=2x，∵∠AEC=∠EBD+∠ECD，∴66°=3 x，∴x=22°，∴∠BCE=22°．【解析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质以及线段的垂直平分线的性质即可解决问题；（2）设∠BCE=x，想办法构建方程即可解决问题；本题考查直角三角形斜边中线的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：（1）由题意得：∠BEF=∠DEF；∵四边形ABCD 为矩形，2 =57°∴DE∥BF，∴∠BFE=∠DEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF；（2）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABF=90°；而∠ABE=24°，∴∠EBF=90°-24°=66°；又∵BE=BF，∴∠BFE 的度数=180°−66°；（3）由题意知：BE=DE；设AE=x，则BE=DE=8-x，由勾股定理得：（8-x）2=42+x2，解得：x=3．即AE 的长为3．【解析】（1）根据翻折变换的性质，结合矩形的性质证明∠BEF=∠BFE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据矩形的性质及等腰三角形的性质即可解决问题；（3）根据勾股定理列出关于线段AE 的方程即可解决问题；该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、勾股定理等几何知识点来解题．25.【答案】解：（1）∵△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是AB的中点，∴∠A=∠DCF=45°，1，CD=2AB=AD在△DAE 和△DCF 中，={∠ = ∠ ，=∴△DAE≌△DCF（SAS），∴DE=DF；（2）DE 与DF 一定相等．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是AB 的中点，∴∠A=∠DCF=45°，1，CD⊥AB，CD=2AB=AD∴∠ADC=∠EDF=90°，2∴∠ADE =∠CDF ，在△DAE 和△DCF 中，∠ = ∠ { = ， ∠ = ∠∴△DAE ≌△DCF （ASA ），∴DE =DF ；（3） 四边形 ECFD 的面积是一定值1． 由（2）可得，△DAE ≌△DCF ，∴△ADE 的面积=△DCF 的面积，∴四边形 ECFD 的面积=△DCF 的面积+△CDE 的面积=△ADE 的面积+△CDE 的面积 =△ACD 的面积，又∵∠ACB =90°，AC =BC =2， ∴△ABC 的面积 1 ， =2×2×2=2又∵D 是 AB 的中点， ∴△ACD 的面积 1 △ABC 的面积=1， =2×即四边形 ECFD 的面积=1．【解析】（1） 根据已知条件，运用 SAS 判定△DAE ≌△DCF ，即可得出对应边 DE=DF ；（2） 根据已知条件，运用 ASA 判定△DAE ≌△DCF ，即可得出 DE 与 DF 一定相等；（3） 根据△DAE ≌△DCF ，可得△ADE 的面积=△DCF 的面积，进而得出四边形ECFD 的面积=△DCF 的面积+△CDE 的面积=△ADE 的面积+△CDE 的面积 =△ACD 的面积，再根据△ACD 的面积= ×△ABC 的面积=1，即可得出四边形 ECFD 的面积是一定值 1．本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．26.【答案】解：（1）把 t =1 得出 CP =2，所以△ACP 的面积=1 × 2 × 6 = 6 2 ； （2）过 P 作 PE ⊥AB ，如图 1：2CP=2t，BP=（8-2t）cm，AE=AC=6cm，PE=CP=2t，BE=10-6=4，可得：（8-2t）2=（2t）2-42解得：t=3 ；（3）如图2，3，4：因为△ACP 是以AC 为腰的等腰三角形，当AC=CP=6 时，t1=6÷2=3 s；当AC=CP=6 时，2 = 4 + 7当AC=AP=6 时，3 = 4 + 4=27 ；5= 6s．【解析】（1）把t=1 代入得出CP=2，利用三角形的面积进行解答即可；（2）过P 作PE⊥AB，设CP=2t，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可；（3）根据AC=CP，利用等腰直角三角形的性质解答即可．本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．52。