因式分解中的数学思想_(2)
因式分解中数学思想
因式分解中的数学思想摘要:在因式分解中蕴含着丰富的思想方法,有转化思想、整体思想、类比思想、数形结合思想、分类思想等,结合教学中遇到的实例来进行阐述,让数学思想活学活用,不要进行贴标签式的教育。
只有在因式分解教学中加强思想方法的教学,让学生在失败中反思,才能不断优化学生的思维品质。
关键词:数学思想;活学活用;因式分解新课程标准指出:“教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”。
笔者在教初一下因式分解时,虽然本章只有短短的5课时,但却能深切地感受到本章蕴含着丰富的思想方法。
因此,教师在教学过程中不但要落实,还要能让学生活学活用。
一、转化思想转化思想在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题。
在“6.1因式分解”这一节教学中,对因式分解的定义要掌握,更要掌握因式分解与整式乘法互为逆运算。
例1.检验下列因式分解是否正确:(1)m2+nm=m(m+n);(2)a2-b2=(a+b)(a-b);(3)x2-x-2=(x+2)(x-1)【点评】第一节课还没有介绍因式分解的具体做法,因此检验因式分解,只能根据因式分解与整式乘法互为逆运算来进行检验。
达到将“新知”转化为“旧知”的作用。
例2.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1,x2=3,则x2+bx+c分解因式的结果是。
【点评】本题要理解因式分解解方程的本质过程。
有两根为x1=1,x2=3,就一定有两个一元一次方程x-1=0,x-3=0,原方程左边可分解为(x-1)(x-3),即x2+bx+c分解因式的结果是(x-1)(x-3)。
二、整体思想整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理。
因式分解教案_2
因式分解教案因式分解教案篇1教学目标1.知识与技能了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系.2.过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程,掌握因式分解的概念,感受因式分解在解决问题中的作用.3.情感、态度与价值观在探索因式分解的方法的活动中,培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,培养积极的进取意识,体会数学知识的内在含义与价值.重、难点与关键1.重点:了解因式分解的意义,感受其作用.2.难点:整式乘法与因式分解之间的关系.3.关键:通过分解因数引入到分解因式,并进行类比,加深理解.教学方法采用“激趣导学”的教学方法.教学过程一、创设情境,激趣导入【问题牵引】请同学们探究下面的2个问题:问题1:720能被哪些数整除?谈谈你的想法.问题2:当a=102,b=98时,求a2-b2的值.二、丰富联想,展示思维探索:你会做下面的填空吗?1.ma+mb+mc=()();2.x2-4=()();3.x2-2xy+y2=()2.【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.三、小组活动,共同探究【问题牵引】(1)下列各式从左到右的变形是否为因式分解:①(x+1)(x-1)=x2-1;②a2-1+b2=(a+1)(a-1)+b2;③7x-7=7(x-1).(2)在下列括号里,填上适当的项,使等式成立.①9x2(______)+y2=(3x+y)(_______);②x2-4xy+(_______)=(x-_______)2.四、随堂练习,巩固深化课本练习.【探研时空】计算:993-99能被100整除吗?五、课堂总结,发展潜能由学生自己进行小结,教师提出如下纲目:1.什么叫因式分解?2.因式分解与整式运算有何区别?六、布置作业,专题突破选用补充作业.板书设计15.4.1 因式分解1、因式分解例:练习:15.4.2 提公因式法教学目标1.知识与技能能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.2.过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程,依据数学化归思想方法进行因式分解.3.情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想,增进学生的合作交流意识,主动积极地积累确定公因式的初步经验,体会其应用价值.重、难点与关键1.重点:掌握用提公因式法把多项式分解因式.2.难点:正确地确定多项式的最大公因式.3.关键:提公因式法关键是如何找公因式.方法是:一看系数、二看字母.•公因式的系数取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低次幂.教学方法采用“启发式”教学方法.教学过程一、回顾交流,导入新知【复习交流】下列从左到右的变形是否是因式分解,为什么?(1)2x2+4=2(x2+2);(2)2t2-3t+1= (2t3-3t2+t);(3)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2;(4)m(x+y)=mx+my;(5)x2-2xy+y2=(x-y)2.问题:1.多项式mn+mb中各项含有相同因式吗?2.多项式4x2-x和xy2-yz-y呢?请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式,并说明理由.【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式,如在mn+mb中的公因式式是m,在4x2-x中的公因式是x,在xy2-yz-y 中的公因式是y.概念:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.二、小组合作,探究方法【教师提问】多项式4x2-8x6,16a3b2-4a3b2-8ab4各项的公因式是什么?【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式,找公因式一看系数、二看字母,公因式的系数取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低次幂.三、范例学习,应用所学【例1】把-4x2yz-12xy2z+4xyz分解因式.解:-4x2yz-12xy2z+4xyz=-(4x2yz+12xy2z-4xyz)=-4xyz(x+3y-1)【例2】分解因式,3a2(x-y)3-4b2(y-x)2【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式(y-x)2或(x-y)2,于是有两种变形,(x-y)3=-(y-x)3和(x-y)2=(y-x)2,从而得到下面两种分解方法.解法1:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2=-3a2(y-x)3-4b2(y-x)2=-[(y-x)23a2(y-x)+4b2(y-x)2]=-(y-x)2 [3a2(y-x)+4b2]=-(y-x)2(3a2y-3a2x+4b2)解法2:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2=(x-y)23a2(x-y)-4b2(x-y)2=(x-y)2 [3a2(x-y)-4b2]=(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)【例3】用简便的方法计算:0.84×12+12×0.6-0.44×12.【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便.解:0.84×12+12×0.6-0.44×12=12×(0.84+0.6-0.44)=12×1=12.【教师活动】在学生完全例3之后,指出例3是因式分解在计算中的应用,提出比较例1,例2,例3的公因式有什么不同?四、随堂练习,巩固深化课本P167练习第1、2、3题.【探研时空】利用提公因式法计算:0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69五、课堂总结,发展潜能1.利用提公因式法因式分解,关键是找准最大公因式.•在找最大公因式时应注意:(1)系数要找最大公约数;(2)字母要找各项都有的;(3)指数要找最低次幂.2.因式分解应注意分解彻底,也就是说,分解到不能再分解为止.六、布置作业,专题突破课本P170习题15.4第1、4(1)、6题.板书设计15.4.2 提公因式法1、提公因式法例:练习:15.4.3 公式法(一)教学目标1.知识与技能会应用平方差公式进行因式分解,发展学生推理能力.2.过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,感受数学知识的完整性.3.情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯,体会数学在实际问题中的应用价值.重、难点与关键1.重点:利用平方差公式分解因式.2.难点:领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.3.关键:应用逆向思维的方向,演绎出平方差公式,•对公式的应用首先要注意其特征,其次要做好式的变形,把问题转化成能够应用公式的方面上来.教学方法采用“问题解决”的教学方法,让学生在问题的牵引下,推进自己的思维.教学过程一、观察探讨,体验新知【问题牵引】请同学们计算下列各式.(1)(a+5)(a-5);(2)(4m+3n)(4m-3n).【学生活动】动笔计算出上面的两道题,并踊跃上台板演.(1)(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25;(2)(4m+3n)(4m-3n)=(4m)2-(3n)2=16m2-9n2.【教师活动】引导学生完成下面的两道题目,并运用数学“互逆”的思想,寻找因式分解的规律.1.分解因式:a2-25; 2.分解因式16m2-9n.【学生活动】从逆向思维入手,很快得到下面答案:(1)a2-25=a2-52=(a+5)(a-5).(2)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2=(4m+3n)(4m-3n).【教师活动】引导学生完成a2-b2=(a+b)(a-b)的同时,导出课题:用平方差公式因式分解.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).评析:平方差公式中的字母a、b,教学中还要强调一下,可以表示数、含字母的代数式(单项式、多项式).二、范例学习,应用所学【例1】把下列各式分解因式:(投影显示或板书)(1)x2-9y2;(2)16x4-y4;(3)12a2x2-27b2y2;(4)(x+2y)2-(x-3y)2;(5)m2(16x-y)+n2(y-16x).【思路点拨】在观察中发现1~5题均满足平方差公式的特征,可以使用平方差公式因式分解.【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解,请5位学生上讲台板演.【学生活动】分四人小组,合作探究.解:(1)x2-9y2=(x+3y)(x-3y);(2)16x4-y4=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y);(3)12a2x2-27b2y2=3(4a2x2-9b2y2)=3(2ax+3by)(2ax-3by);(4)(x+2y)2-(x-3y)2=[(x+2y)+(x-3y)][(x+2y)-(x-3y)] =5y(2x-y);(5)m2(16x-y)+n2(y-16x)=(16x-y)(m2-n2)=(16x-y)(m+n)(m-n).三、随堂练习,巩固深化课本P168练习第1、2题.【探研时空】1.求证:当n是正整数时,n3-n的值一定是6的倍数.2.试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除.连续偶数的平方差能被一个奇数整除.四、课堂总结,发展潜能运用平方差公式因式分解,首先应注意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数,然后再确定公式.如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因式可提,应先提取公因式,而且还要“提”得彻底,最后应注意两点:一是每个因式要化简,二是分解因式时,每个因式都要分解彻底.五、布置作业,专题突破课本P171习题15.4第2、4(2)、11题.板书设计15.4.3 公式法(一)1、平方差公式:例:a2-b2=(a+b)(a-b)练习:15.4.3 公式法(二)教学目标1.知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法,发展推理能力.2.过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.3.情感、态度与价值观培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力.重、难点与关键1.重点:理解完全平方公式因式分解,并学会应用.2.难点:灵活地应用公式法进行因式分解.3.关键:应用“化归”、“换元”的思想方法,把问题进行形式上的转化,•达到能应用公式法分解因式的目的.教学方法采用“自主探究”教学方法,在教师适当指导下完成本节课内容.教学过程一、回顾交流,导入新知【问题牵引】1.分解因式:(1)-9x2+4y2;(2)(x+3y)2-(x-3y)2;(3) x2-0.01y2.因式分解教案篇2教学目标:1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式.教具准备:多媒体课件(小黑板)教学方法:活动探究法教学过程:引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如:(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式?知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解?为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.典例剖析师生互动例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a化成-(a-b),然后再提取公因式.小结运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。
因式分解中的数学思想
因式分解中的数学思想数学思想是数学的精髓,是连接知识和能力的桥梁,是解题的灵魂。
因式分解这一章用到的数学思想有:一、 整体思想例1 分解因式(x+2)(x+4)+x 2-4分析:分解因式时,此题如把括号展开整理后再分解很费事,若把x 2-4x 先分解成(x+2)(x -2),把(x+2)看成一个整体提出后即可分解因式。
解:(x+2)(x+4)+x 2-4=(x+2)(x+4)+ (x+2)(x -2)=(x+2)(x+4+x -2)=(x+2)(2x+2)=2(x+2)(x+1)点评:从整体的角度出发,通过观察思考,寻求解题的途径。
二、 换元思想例2 分解因式()()()()12341x x x x +++++分析:可考虑把()()()()1423x x x x ++++及分别结合相乘,将原式恒等变形为()()2254561x x x x +++++,视其中相同的部分()25x x +为一个整体,并用字母y 来代换,则原式变为()()461y y +++,展开整理后再用公式法分解既可。
解:设x 2+5x=y ,则原式=()()()()14231x x x x +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ =()()2254561x x x x +++++=()()461y y +++=y 2+10y+25=()25y +=()2255x x ++点评:换元法实质是整体求解法,只是将某一整体用另一个字母来代换,将多元化少元,高次转低次。
三、转化思想例3分解因式x3+6x2-27x分析:x3+6x2-27x提出x后剩下x2+6x-27不能直接分解因式,想法转化为平方差公式分解。
给x2+6x加9减9即可。
解:x3+6x2-27x=x(x2+6x-27)=x(x2+6x+9-9-27)=x[(x+3)2-62]=x(x+3+6)(x+3-6)=x(x+9)(x-3)点评:转化思想是指把待解决或未解决的问题,通过转化,归结到已经解决或比较容易解决的问题中去的一种思想方法。
专题14 因式分解(2)八年级数学下册强化巩固专题知识(北师大版)
专题14 因式分解(2)教师讲义64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1) 方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)例5 解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2.例6 解方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)例7 解方法一方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3).例8 解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b).例9 解(1)x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)(2)x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)例10 解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1).例11 解(1)a2+2ab+b2+2a+2b+1=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2.(2)a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3=(a+b)2+2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1).(3)a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3).例12 证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0,所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0,(2x+y-1)2=0.所以2x+y-1=0.又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1).而2x+y-1=0,所以2x2+3xy+y2-x-y=0.例13 解设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab.对应项系数相等,所以由(1)(2)解得a=-2,b=5.将a=-2,b=5代入(3),得m=-10,所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5).例14 解因为|x-3y-1|+x2+4y2=4xy,所以|x-3y-1|+x2-4xy+4y2=0即|x-3y-1|+(x-2y)2=0所以解这个方程组,得x=-2,y=-1.例15 解(1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2).(2)x3+5x-6=x3-x+6x-6=(x3-x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)例16 解因为x2-2xy-3y2=5,所以(x-3y)(x+y)=5.依题意x,y为整数,所以x-3y和x+y都是整数,于是有:解上述方程组得:例17 证明因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49=(x2-x-6)(x2-x-20)+49=(x2-x)2-26(x2-x)+169=(x2-x-13)2所以A是一个完全平方数.五、课堂练习A卷:基础题A、选择题1.下列各式从左到右的变形是分解因式的是()A.a(a-b)=a2-ab B.a2-2a+1=a(a-2)+1C.x2-x=x(x-1) D.xy2-x2y=x(y2-xy)2.(x-5)(x-3)是多项式x2-px+15分解因式的结果,则p的值是()1-2004 = 100123456689。
初中数学_因式分解——公式法(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
14.3 因式分解(第三课时)14.3.2 公式法(2)一、教学目标(一)学习目标1.掌握完全平方公式的特点.2.会运用完全平方公式因式分解.3.能熟练运用公式法和提公因式法分解因式.(二)学习重点掌握完全平方公式的特点,运用完全平方公式分解因式.(三)学习难点灵活运用公式分解分解因式.二、教学设计(一)课前设计1.自学反馈请同学们根据爱作业在线预习的情况组内交流,有困惑的地方组长帮忙解决。
公式法:把乘法公式的等号两边 互换位置 ,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫公式法. 如:利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.(二)课堂展示探究一 剖析完全平方公式活动1 剖析完全平方公式问题 :我们将形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.完全平方式有哪些特点呢?学生思考后分小组讨论,再归纳总结:完全平方式的特点是:①完全平方式是一个二次三项式;②首末两项是两个数(或整式)的 平方,而且符号相同,中间相是这两个数(或整式)的积的2倍 ,符号正负均可. 口诀:首平方,末平方,首末积的2倍中间放.追问:平方差公式中的a 、b 可代表多项式,类似地,完全平方公式中的a 、b 是否也可以代表一个多项式呢?【设计意图】类比平方差公式分解因式的学习过程,剖析完全平方式的特点,为熟练运用完全平方公式分解因式奠定基础.●活动2 辨析完全平方公式问题 :下列多项式中,哪些是完全平方式?若是完全平方式,请指出谁相当于公式中的a 、b .(1)224129x xy y ++ ;(2)244x x -++ ;(3)2269x xy y -+- ;(4)221x x +- 学生独立思考后,集体订正.【设计意图】通过辨析完全平方式,为运用完全平方式分解因式作准备.尤其是对于(2)、(3)这种形式的完全平方式,学生辨析较困难,关键是掌握:完全平方式首末两项是两个数(或整式)的平方,而且符号相同,各项的位置是可以调换的,为本节课突破难点奠定基础.探究二 直接运用完全平方公式因式分解●活动1 公式中的a 、b 代表单项式的因式分解例1 分解因式:(1)216249x x ++ ;(2)2244x xy y -+- 【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解:(1)222216249(4)2433(43)x x x x x ++=++=+;(2)222222244(44)22(2)(2)x xy y x xy y x x y y x y ⎡⎤-+-=--+=--+=--⎣⎦ 【思路点拨】(1)先将原多项式变形为22(4)2433x x ++,认清谁是公式中的a 、b ,再进行因式分解 ;(2)可将负号提出是本题的关键,变形为2222(44)22(2)x xy y x x y y ⎡⎤--+=--+⎣⎦,再因式分解. 【答案】 (1)2(43)x +;(2)2(2)x y --.练习:因式分解(1)2242025x xy y -+ (2)221294xy x y -- 【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解:(1)2222242025(2)225(5)(25)x xy y x x y y x y -+=-+=-;(2)22222221294(9124)(3)232(2)(32)xy x y x xy y x x y y x y ⎡⎤--=--+=--+=--⎣⎦【思路点拨】(1)先将原多项式变形为22(2)225(5)x x y y -+,辨析公式中的a 、b ,再进行因式分解 ;(2)将负号提出是本题的关键,变形为22(3)232(2)x x y y ⎡⎤--+⎣⎦,再因式分解.【答案】 (1)2(25)x y -;(2)2(32)x y --.●活动2 公式中的a 、b 代表多项式的因式分解例2 分解因式:(1)2()12()36a b a b +-++ ;(2)22()4()4m n m m n m +-++ . 【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解:(1)2222()12()36()2()66(6)a b a b a b a b a b +-++=+-++=+-;(2)222222()4()4()2()2(2)(2)()m n m m n m m n m n m m m n m n m +-++=+-++=+-=-.【思路点拨】此类题的关键是整体思想的运用,(1)中将a+b 看成一个整体,设a+b =m ,则原多项式就化为21236m m -+ ,可用完全平方公式分解因式;(2)类似,注意分解后有同类项还需合并同类项.【答案】 (1)2(6)a b +-;(2)2()n m -.练习:因式分解(1)222()()a a b c b c -+++ ;(2)2222(1)4(1)4x x x x ++++【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解:(1)[]22222()()()()a a b c b c a b c a b c -+++=-+=--; (2)22222222224(1)4(1)4(1)2(21)(1)(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++=++=+=+⎣⎦⎣⎦. 【思路点拨】解此类题的关键是整体思想的运用,(1)中将b+c 看成一个整体,设b+c =m ,则原多项式就化为222a am m -+ ,可用完全平方公式分解因式;(2)类似,注意分解后还需继续利用完全平方公式分解彻底.【答案】 (1)2()a b c --;(2)4(1)x +.探究三 综合应用●活动1例3 分解因式: 22363ax axy ay ++ ;【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式【解题过程】解:222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y ++=++=+;3. 课堂总结知识梳理(学生自己总结梳理)(1)完全平方式:形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.(2)用完全平方公式分解因式:文字语言:两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.符号语言:2222()a ab b a b ++=+;2222()a ab b a b -+=-.(3)公式法:把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫公式法. 如:利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.重难点归纳(1)完全平方公式使用的条件是:①多项式是一个二次三项式;②首末两项是两个数(或整式)的平方,而且符号相同,中间项是这两个数(或整式)的积2倍,符号正负均可.(2)分解因式的一般步骤:一提,二套,三检查①观察多项式的各项是否有公因式,若有,应先提公因式;②再观察多项式是否可以用平方差公式或完全平方公式进行分解因式;③检查每个多项式是否分解彻底,每个多项式都不能分解时,分解因式就结束了.(3)有时多项式既不能提公因式,也不能运用平方差或完全平方公式分解,则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.(三)课后作业基础型 自主突破1.下列多项式是完全平方式的是( )A .244a a --B .23216a a -+C .224a a ++D .2816a a -+2.已知224x mx -+ 是完全平方式,则m 的值为( )A .1B .2C .±1D .±23. 计算x =156,y =144,则221122x xy y ++ 的值是( ) A .150 B .450 C .45000 D .900004.分解因式2(1)2(1)1a a ---+ 的结果是( )A .(1)(2)a a --B .2(1)a -C .2(1)a +D .2(2)a -5. 计算:222172173417-⨯+ =_____________.能力型 师生共研7. 若224222()8()160x y x y +-++= ,则22x y + 的值为( ).A .4B .2C .± 2D .± 48. 已知△ABC 三边a 、b 、c 满足等式2220a ab b bc c ac -+-+-=,则△ABC 是 三角形.学情分析两班共有学生110人,两班中绝大部分同学都能跟上现有的进度,上课发言积极,部分同学表现的比较出色,但也有个别同学的理解能力和接受能力不尽人意。
[数学]-专题08 因式分解的八种思路全攻略(原版)
专题08 因式分解的八种思路全攻略题型一、提取公因式法例.因式分解:()()11x m y m -+-=____________.【变式训练1】已知22,3a b ab +==,则2224a b ab +=_________.【变式训练2】因式分解:()()32232x a a a x -+-.【变式训练3】把下列各式因式分解:(1)()()a x y b y x -+-;(2)326()12()m n n m ---.【变式训练4】已知251m n -=-,则24105m mn n -+的值是_____________.题型二、公式法例.分解因式:32214a ab ab -+=______.【变式训练1】因式分解:1﹣a 2﹣4b 2+4ab .【变式训练2】因式分解:21222a b ab b -+=_________.【变式训练3】因式分解:(1)24ab a -;(2)()()22258516x x +--+.【变式训练4】因式分解:421881m m -+【变式训练5】把()()2221a a a ---因式分解.题型三、十字相乘法例.分解因式:(1)2710x x -+;(2)2918x x -+;(3)256x x --(4)2922x x --;(5)232x x +-;(6)234x x +-(7)2122512x x -+-;(8)2310x x --+;(9)22x y x y ---(10)321x x x +++;(11)22494a a b +-+;(12)22424a b a b --+【变式训练】用十字相乘法分解下列因式.(1)276x x -+(2)2215y y --(3)231110x x -+(4)226a ab b --(5)22121115x xy y --(6)()()2310x y x y +-+-题型四、分组法例.因式分解:22421x y y -+-=________.【变式训练1】分解因式:22xy y x y ++--【变式训练2】分解因式:32a a b a b --+=_________.【变式训练3】分解因式: 2221a b b ---【变式训练4】因式分解:2291839x xy y x y -++-.题型五、添项、拆项法例.分解因式;.x 3﹣3x 2﹣6x +8=_______.【变式训练1】把多项式分解因式:x 3﹣2x 2+1=_________________.【变式训练2】因式分解:a a a 32+3+3+2【变式训练3】因式分解:(1)x 4+4 (2)x y 441+4 (3)x x 42-3+1(4)x x 42-23+1 (5)x x 84++1题型六、换元法(整体思想)例.分解因式:()()2221872x x x x ---+例2.如若21x x +=,则431x x x +++的值为__________.【变式训练1】分解因式:()()()222241211y x y x y +--+-【变式训练2】因式分解:(1)()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++ (2)()()()333222x y z y z x z x y -+-+-【变式训练3】(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++【变式训练4】因式分解:()()2223242410x x x x ----题型七、待定系数法例.因式分解:()()()333222x y z y z x z x y -+-+-【变式训练1】分解因式613622-++-+y x y xy x【变式训练2】分解因式x 4-x 3+6x 2-x +15题型八、主元法例.分解因式:2222372x y z xy yz xz --+++.【变式训练1】因式分解:(1)a b c ab ac bc abc 1+++++++(2)()()a a b b b 6+11+4+3-1-2(3)()()()y y x x y y 22+1+1+2+2+1【变式训练2】因式分解:(1)a b ab bc ac 222--++2(2)()x a b x a ab b 222+2+-3+10-3【变式训练3】因式分解:a b ab a c ac abc b c bc 222222-+--3++。
因式分解中数学思想
同学们通过学习《因式分解》这一节内容,已经初步了解、掌握因式分解的四种常用方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。
但同学们在学习过程中是否注意到其中所包含的数学思想呢?笔者根据多年的教学经验以及精心研究,借本文剖析“数学思想”在因式分解中的应用,供同学们学习时参考。
1、类比思想根据《数学课程标准》的要求,本章教材介绍了最基本的常用分解因式的方法:提公因式法和应用公式法(平方差公式、完全平方公式)。
从全章的引入到每一节课的引入,都立足渗透类比这种重要的数学思想。
因此如果同学们掌握了类比的思想方法,那么在学习因式分解时,就会将因式分解与因数分解作如下类比:从因式分解的形式上类比,把整数60因数分解是3×4×5,类似地,整式a 2-b2是a+b与a-b乘积的结果,因而多项式a2-b2因式分解为(a+b)(a-b),那么a+b与a-b都是a2-b2的因式。
这样类比,不仅有利于领会因式分解的意义,而且为因式分解的方法指明了思路。
从因式分解的结果上类比,算术里把一个整数分解为质因数幂的形式,如2 4=23×3,类似地,把一个多项式分解因式,要分解到每一个因式都不能再分解为止,即分解后的因式必须是质因式。
这样的类比,能使学生认识到因式分解是数到式的发展过程,是特殊与一般的思维体现,由此产生对概念的迁移,正确辨别出数、式分解的相同点和不同点,从而达到真正理解因式分解。
2、分类思想很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解,但是,进行分组后,就可以先在局部上,进而在整体上运用这两种方法进行分解,使问题迎刃而解。
所以,“分组”步骤的作用,在于促进了提公因式法和公式法的应用,使多项式从不能分解的形态向能分解的状态转化。
我们可以看到,分组的过程,实质是通过添括号的方式,把有公因式的各项归为一组,并使组之间产生新的公因式,如因式分解6ax-3ay+2bx-by时,可将6ax与-3ay,2bx与-by各分一组或将6ax与2bx,-3ay与-by各分一组;也可把能运用公式的各项归为一组,如因式分解9m2-6m-4n2+1时,可将9m2,-6m与1这三项归为一组(注:这三项可运用完全平方公式来分解),而-4n2单独为一组,然后再运用平方差公式分解等等。
因式分解技巧讲解002
七、综合运用及技巧
1、换元(即整体法)
因式分解时可以用一个字母代替一个整式,也可以将原式中的某个部分变形后的式子用
一个字母代替,(一般都是既约多项式),分解完后再将其带入。
2、主次分清
我们在处理一个项数多的多项式的时候,可以按照一个主要字母(任选)的降幂整理后,
然后分解。
十字相乘法解决。
[例]分解因式:6x2-7x+2
解:采用类似的办法:把6分解成2×3,写在第一列;把2分解成(-1)×(-2),写在第二
列;然后交叉相乘,把积相加,最后把得到的和写在横线下面。如下:
2 -1
3 -2
-7
这个和恰好是一次项的系数,于是有:
上面的算式称之为长十字相乘,式子中的三个十字,就是上面所说的三个十字相乘,我
们省略了横线及其底下的数。
如果二次式中的缺少一项或几项,长十字相乘仍然可用。
[例]分解因式:x2-y2+5x+3y+4[缺少含有字母的项]
解:由如下算式
(x) (y) (1)
1 1 1
=2a2b(x+y)(b+c)[(x+y)+3a3b3(b+c)]
=2a2b(x+y)(b+c)(x+y+3a3b4+3a3b3c)
其实这是一种整体的思想,在因式分解中应用广泛。
3、切勿漏1
4、注意符号
在提出的公因式为负的时候,注意各项符号的改变。
5、化“分”为整
数学论文——因式巧分解
史虓
◎综述
所谓多项式的因式分解,是把一个多项式写成几个整式的积的形式。因式分解并不复杂,
因式分解 (2)
第四章因式分解1.因式分解江西省九江市同文中学贾朝霞总体说明因式分解是代数的重要内容,它与整式和它在分式有密切联系,因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的,它为今后学习分式运算,解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。
因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义.本节是因式分解的第1小节,它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程,让学生体会数学思想——类比思想,分解的思想,逆向思考的作用,体会数学思维之间的整体联系。
一、学生知识状况分析学生的技能基础:学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算,并且学习了整式的乘法运算,因此,对于因式分解的引入,学生不会感到陌生,它为今天学习分解因式打下了良好基础.学生活动经验基础:由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程,而逆向思维对于八年级学生还比较生疏,接受起来还有一定的困难,再者本节还没有涉及因式分解的具体方法,所以对于学生来说,寻求因式分解的方法是一个难点.二、教学任务分析基于学生在小学已经接触过因数分解的经验,但对于因式分解的概念还完全陌生,因此,本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上,应有意识地培养学生知识迁移的数学能力,如:类比思想,逆向运算能力等。
因此,本课时的教学目标是:1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念.2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法.3.通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识。
4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化与化归的能力,培养学生的分析问题能力与综合应用能力.情感与态度:培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考,勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点:因式分解的概念难点:难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系,并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节:复习回顾,比较探究(数→形→式)概念,引出概念(确认概念属性),类比练习,反馈练习,小结第一环节复习回顾:活动内容:下题简便运算怎样进行问题1:736×95+736×52,-2.67× 132+25×2.67+7×2.67设计意图:观察实例,分析共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生的,但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉.引入这一步的目的旨在设计问题情景,复习知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上,从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。
第10讲:因式分解(二)
第十讲 因式分解(二)七.中级方法1.添项、拆项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原 式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
1.1拆开中项前面已经说过,在分组分解时,常常将项数平均分配,但是,像443x x -+这样的式子,只有三项,怎么才能平均分成两组呢?方法是先将一项拆为两项,如果这个整式是按某一字母的升幂或降幂排列的,那么以拆开中项为宜。
例1:分解因式:443x x -+ 解:443x x -+433x x x =--+[拆开中项] 2(1)(1)3(1)x x x x x =-++-- [分组分解]32(1)(3)x x x x =-++-[提公因式]注:在这道题中,分解的结果有一个因式为x 的一次多项式,在后面的因式定理中将讨论求一次因式的一般方法。
1.2旧事重提在很早以前,我们就学习过了关于配方的方法,在添项、拆项时它的应用比较广泛。
比如4224a ab b ++,12324+-x x ,148++x x 等都是采用配方法进行因式分解。
例2:分解因式:4224a ab b ++ 解:首先注意到42242a a b b ++是一个完全平方和公式,为了把4224a ab b ++配成完全平方,可以把22a b 拆成两项的代数和,即2222222a b a b a b =-于是4224a a b b ++4224222a a b b a b =++-[拆项] 2222()()a b ab =+-[完全平方和]2222()()a b ab a b ab =+++-[平方差公式]1.3 无中生有例3:证明:在m n 、都是大于1的整数时,444m n +是合数。
证明: 这个问题的实质是将444m n +因式分解,仍然采用例2中的配方法。
可是,发现444m n +只有两项,所以要配成完全平方就得在中间添上一个交叉项224m n ,然后在后面再减去224m n ,即444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22)m n mn m n mn =+++-由于在m n 、都是大于1时,两个因数中较小的那个2222m n mn +-222()1m n n n =-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数,所以444m n +是合数。
因式分解教案_2
因式分解教案因式分解教案篇1整式乘除与因式分解一.回顾知识点1、主要知识回顾:幂的运算性质:aman=am+n(m、n为正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.=amn(m、n为正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘.(n为正整数)积的乘方等于各因式乘方的积.=am-n(a≠0,m、n都是正整数,且m>n)同底数幂相除,底数不变,指数相减.零指数幂的概念:a0=1(a≠0)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l.负指数幂的概念:a-p=(a≠0,p是正整数)任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)指数幂,等于这个数的p指数幂的倒数.也可表示为:(m≠0,n≠0,p为正整数)单项式的乘法法则:单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法则:单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式:对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.2、乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言叙述:两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差.②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言叙述:两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解:因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点:(1)分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式,这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式.二、熟练掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式,公因式的构成一般情况下有三部分:①系数一各项系数的最大公约数;②字母——各项含有的相同字母;③指数——相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点:①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式:①平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2因式分解教案篇2教学目标:1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式.教具准备:多媒体课件(小黑板)教学方法:活动探究法教学过程:引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如:(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式?知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解?为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.典例剖析师生互动例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a 化成-(a-b),然后再提取公因式.小结运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。
人教版数学八年级上册14.3因式分解中的数学思想
因式分解中的数学思想因式分解是中学数学的重要内容之一,它的应用具有广泛性和延展性,因式分解的方法灵活多样,但方法离不开数学思想的指导。
一、 换元思想换元思想:即把某个代数式当作一个新的变元来实行变量替换的一种数学思想。
例1 分解因式()()()xy y x y x xy 2212-+-++-。
分析:显然去括号分解不可取,但x 、y 的和与积对称式为辅助元求解,情况就大不一样。
解:设a y x =+,b xy =,则原式()()()b a a b 2212--+-= =()()122222+--+-b a b ab a=()()122+---b a b a =()()2211--+=--xy y x b a =()()2211--y x 。
例2 分解因式()()()()1204321-----x x x x 。
分析:若先去括号再分解显然很麻烦,但注意到原式=()()120654522-+-+-x x x x , 故以()()[]55654521222+-=+-++-x x x x x x 为辅助元进行转化、均值、换元就很简单。
解:设552+-=x x y ,则原式()()()()()()()()1656165111112112011222+--+=--=-+=-=-+-=x x x x x x y y y y y 二、 整体思想整体思想:就是将待求问题中的某个代数式视为一个整体,合理地转化其条件及结论的形式、结构,将问题转化到熟识的知识范围内来解决的数学思想。
例3 分解因式2222---++y x y xy x 。
解:原式=()()22-+-+y x y x (视x+y 为整体)=()()12++-+y x y x 。
例4分解因式35692--x x 。
解:原式=()()353232-∙-x x (视3x 为整体)=()()5373+-x x三、 方程思想方程思想:与我们常见的列方程(组)是完全不同的,它是一些看上去似乎与方程无明显关系的数学问题,从问题的数学关系入手,运用数学语言将问题转化为数学模型(如方程等),然后求解,使问题得以解决的一种数学思想。
因式分解的方法与技巧
解:
四、换元思想
所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换,通过换元可以将复杂的多项式
转变成简单的,将陌生的转换成熟悉的,使之得以顺利地分解因式
例5把多项式(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy—1)分解因式.
分析 这个多项式形式上比较复杂,但考虑x+y与xy重复出现,利用这一特点,可以这两
例
解:
例4.生产一批高为200mm勺圆柱形容器,底面半径的合格尺寸为(50±1)mm任取两个
这样的产品,它们的容积最多相差多少(二取3.14)?
解:
因式分解中的数学思想
众所周知,数学思想是我们数学解题的灵魂,因式分解也不例外,在因式分解过程中也蕴含 着许多的数学思想,如果能灵活的加以运用,往往能更好地解决因式分解问题,下面就因式分解 中的常见的思想方法举例说明:
因式分解应具有四种意识
一、优先意识
按因式分解的一般步骤和思考程序,要树立优先提多项式公因式的意识
2
例
2
解:
二、换元意识
通过换元,可以达到化繁为简、化难为易的目的
例2.分解因式:5(x-y)2-7(x- y) -6
解:
三、完整意识
依分解因式的步骤,因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止
例
解:
四、应用意识
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1)x -4xy+4y -4;(2)4a+12ab+9b-c;(3)x -y -x-y;(4)x +10xy+25y +3x+15y.
二、十字相乘法
例2、因式分解(二次项系数为1,二次项系数不为1)
因式分解方法与技巧
因式分解方法与技巧因式分解是数学中非常重要的运算方法之一,它在代数中扮演着重要的角色。
因式分解是将代数表达式分解成可被进一步约简的乘积形式,从而使问题更易求解。
因式分解的方法与技巧可以帮助我们更高效地进行因式分解。
下面将介绍一些常用的因式分解方法与技巧。
一、提取公因式法:提取公因式是因式分解中最常用的方法之一、它适用于多项式中有公因式的情况。
具体步骤如下:1.将多项式中的每一项提取出公因式。
例如:对于多项式5x+10y,我们可以提取出公因式5,得到5(x+2y)。
2.将提取出的公因式与括号中的表达式相乘。
例如:对于5(x+2y),我们可以将5与(x+2y)相乘,得到5x+10y。
提取公因式法的关键在于寻找多项式中的公因式,这需要观察多项式中的项是否有共同的因子。
二、平方差公式:平方差公式是一种特殊的因式分解方法,用于分解具有特定形式的差的平方。
平方差公式的一般形式如下:(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)根据这个公式,我们可以将一个差的平方分解为两个乘积的形式。
例如,将a^2-b^2分解为(a+b)(a-b)。
三、配方法:配方法是一种适用于二次三项式(quadratic trinomial)的因式分解方法。
它的基本思想是构造一个合适的二次三项式,使得它可以被分解成两个一次二项式的乘积。
配方法的步骤如下:1.将二次三项式的二次项系数提取出来,记为a。
2.根据a,构造一个新的二次三项式,使得它的首项和末项的乘积等于a的两倍,中间项的系数等于二次项系数的相反数。
3.将新构造的二次三项式进行因式分解。
4.根据新构造的二次三项式的因式分解结果,将原二次三项式进行因式分解。
例如,对于二次三项式x^2+7x+12,我们可以进行配方法的求解。
1.提取二次项系数,得到a=12.构造新的二次三项式,使得首项和末项的乘积等于1的两倍,中间项的系数等于1的相反数。
我们可以得到(x+4)(x+3)。
3.因式分解新的二次三项式,我们得到(x+4)(x+3)。
《因式分解》说课稿7篇
《因式分解》说课稿7篇(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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整式乘法与因式分解中的数学思想
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整式乘法与因式分解中的数学思想
作者:赵国瑞
来源:《初中生之友·中旬刊》2013年第12期
数学思想是数学的灵魂和精髓,是解决数学问题的指明灯和金钥匙。
在整式的乘法与因式分解这部分内容中渗透着一些重要的数学思想。
下面举例说明。
一、字母代数思想
课本中在得出同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方法则时,都是通过具体的数值计算结果,然后再运用字母代替具体的数值,从而得出这些法则。
这种用字母代替具体数值进行思考的方法,就是字母代数思想。
点评通过字母代替数,不仅使原式的形式变得非常简单,更主要的是将繁杂的乘法计算
变成简单的单项式与二项式的积。
点评本题设正方形EFGB的边长为a,这个看似不起眼的字母,其实起着“牵线搭桥”的作用,这样可以表示出正方形EFGB的面积、△CEF的面积和△AGF的面积,从而顺利表示出
阴影部分的面积,进而求出其大小。
二、对应思想
根据单项式与多项式相乘的法则可知,结果的项数与多项式的项数对应相等;根据多项式与多项式相乘的法则可知,在合并同类项之前,结果的项数与两个多项数的项数之积对应相等,这里面就蕴含着一种对应思想。
解中间空的部分是一个边长为a-b的正方形,其面积为(a-b)2,故答案选C。
点评求正方形的面积,也可利用大正方形的面积减去4个矩形的面积,即(a+b)2-4ab,然后再进行因式分解,可以得到一个等式(a-b)2=(a+b)2-4ab。
因式分解的相关概念
因式分解的相关概念在代数学中,因式分解是一种将一个多项式拆解为其因子的过程。
它是解决多项式的各种问题的重要方法之一。
因式分解可以帮助我们简化表达式,找到多项式的根和观察多项式的特征。
因式分解的基本原理是根据多项式的特征和性质,将其拆解为乘积形式。
在因式分解过程中,我们将多项式中的公因子提取出来,并将其余部分分解为更简单的因子,直到无法再进行进一步的分解为止。
1.公因子法公因子法是因式分解中最基本的方法之一。
它的思想是将多项式中的公因子提取出来,然后将剩余部分按照相同的方法再次进行分解。
例如,对于多项式$3x^2 + 9x$,我们可以提取公因子3,得到$3(x^2 + 3x)$,然后再将$(x^2 + 3x)$继续分解为更简单的因子。
特殊因式分解法是根据一些特定的模式进行分解的。
常见的特殊因式分解模式包括平方差公式、完全平方公式和差平方公式等。
例如,对于多项式$x^2 - 4$,我们可以使用差平方公式进行分解成$(x + 2)(x - 2)$。
组合因式分解法是将多项式分解为两个或多个较简单的因子的乘积形式。
这种方法通常适用于多项式无法直接分解的情况。
例如,对于多项式$x^2 + 5x + 6$,我们可以将其分解为$(x + 2)(x + 3)$。
因式分解在数学和物理学中有广泛的应用。
它可以帮助我们简化复杂的多项式表达式,得到更简洁的结果。
在代数方程的求解中,因式分解可以帮助我们找到方程的解。
此外,在图像的绘制和分析中,因式分解可以帮助我们发现曲线的特性。
因式分解是代数学中重要的概念之一,它有助于我们理解和解决多项式及方程的问题。
掌握因式分解的基本原理和方法,可以提高我们在数学领域的问题解决能力,并为更高级的数学知识打下坚实的基础。
因式分解法的定义
因式分解法的定义因式分解法是一种数学方法,用于将一个多项式分解成若干个乘积的形式。
在因式分解中,我们将多项式中的每一项分解成一些因子的乘积,然后将这些因子组合成一个乘积,从而得到多项式的因式分解式。
因式分解法是数学中非常重要的一种方法,它在代数、几何、物理等领域都有广泛的应用。
在代数中,因式分解法可以用于求解方程、证明恒等式等问题;在几何中,因式分解法可以用于求解图形的面积、周长等问题;在物理中,因式分解法可以用于求解物理量之间的关系等问题。
因式分解法的基本思想是将多项式中的每一项分解成一些因子的乘积,然后将这些因子组合成一个乘积,从而得到多项式的因式分解式。
在因式分解中,我们需要注意以下几点:1. 首先,我们需要将多项式中的每一项分解成一些因子的乘积。
这些因子可以是数字、变量、常数项等。
2. 其次,我们需要将这些因子组合成一个乘积。
在组合因子时,我们需要注意因子之间的关系,例如是否可以合并、是否可以约分等。
3. 最后,我们需要将多项式的因式分解式写成乘积的形式。
在写成乘积的形式时,我们需要注意每个因子的次数,以及每个因子的位置。
因式分解法的应用非常广泛,它可以用于求解各种数学问题。
例如,在代数中,我们可以用因式分解法求解方程,例如x^2+5x+6=0,我们可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0,从而得到x=-2或x=-3。
在几何中,我们可以用因式分解法求解图形的面积、周长等问题,例如一个矩形的面积为24,周长为14,我们可以将其因式分解为(x+6)(x-4)=0,从而得到矩形的长为6,宽为4。
在物理中,我们可以用因式分解法求解物理量之间的关系,例如力的大小F与物体的质量m和加速度a之间的关系可以表示为F=ma,从而得到F与m 和a之间的关系。
因式分解法是数学中非常重要的一种方法,它可以用于求解各种数学问题,具有广泛的应用价值。
在学习因式分解法时,我们需要掌握其基本思想和方法,熟练掌握因式分解的技巧,从而能够灵活运用因式分解法解决各种数学问题。
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感知数学思想学好因式分解
一、整体思想
所谓用整体思想来分解因式,就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.
例1把多项式(x2-1)2+6(1-x2)+9分解因式.
分析:把(x2-1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解,最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的.
解:(x2-1)2+6(1-x2)+9
=(x2-1)2-6(x2-1)+9
=[(x2-1)-3]2
=(x2-4)2
=[(x+2)(x-2)]2
=(x+2)2(x-2)2.
例2把多项式(a+b)2-4(a+b-1)分解因式.
分析原式两项既无公因式可提,又无公式可套用,但由此结构特点可采取视a+b为一个整体,局部展开后或许能运用完全平方公式.
解:(a+b)2-4(a+b-1)=(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b-2)2.
二、类比思想
类比思想在因式分解中的运用很广泛,具体地表现在:一是因式分解与整式乘法的对比;二是因式分解与乘法的分配律的对比;三是因式分解与乘法公式的对比.
例3把多项式6x3y 2+12x2y3-6x2y2分解因式.
分析:对比整式的乘法和乘法的分配律可知,6、12、6的最大公约数是6,字母x、y的最低指数均为2,所以多项式6x3y2+12x2y3-6x2y2的公因式是6x2y2.解6x3y2+12x2y3-6x2y2=6x2y2(x+y-1).
例4分解因式:(1)x3y-xy3;(2)abx2-2abxy+aby 2.
分析:(1)对比平方差公式可先提取xy.(2)对比完全平方公式可先提取ab.
解:(1)x 3y-xy3=xy(x 2-y 2)=x y(x+y)(x-y);
(2)abx 2-2abxy+aby2=ab(x2-2xy+y2)=a b(x-y)2.
三、转化思想
转化思想就是对于某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的,必须通过适当的转化,如经过添项、拆项等变形,才能利用因式分解的有关方法进行.
例5把多项式6x(x-y)2+3(y-x)3分解因式.
分析考虑到(y-x)3=-(x-y)3,则多项式转化为6x(x-y)2+3(y -x)3,因此公因式是3(x-y)2.
解:6x(x-y)2+3(y-x)3
=6 x(x-y)2-3(x-y)3
=3(x-y)2[2 x-(x-y)]
=3(x-y)2(x+y).
例6把多项式x4+x2y2+y4分解因式.
分析:从表面上看此题不能直接分解因式,但仔细观察发现若x2y2转化成2x2y2,即可先运用完全平方公式,再利用平方差公式.
解:x4+x2y2+y4
=x4+2x2y2+y4-x2y2
=(x2+y2)2-x2y2
=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy)
=(x2+xy+y2)(x2-xy+y2).
四、换元思想
所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换,通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的,将陌生的转换成熟悉的,使之得以顺利地分解因式.
例7把多项式(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)分解因式.
分析:这个多项式形式上比较复杂,但考虑x+y与xy重复出现,利用这一特点,可以这两个因式通过换元后再分解因式.
解:设x+y=a,xy=b,则(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)
=a(a+2b)+(b+1)(b-1)
=(a2+2ab+b2)-1
=(a+b)2-1
=(a+b+1)(a+b-1)
=(x+y+xy+1)(x+y+xy-1)=(x+1)(y+1)(x+y+xy-1).。