高考数学分类专题复习之24 25 空间角与距离

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《空间角与距离》课件

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在这个PPT课件中，我们将探讨空间角与距离的概念、度量方法和应用。这些是三维空间中重要的数学基础，对于物理、工程和计算机等领域有着重要的意义。
空间角的概念
1 夹角定义
空间中两个射线之间的夹角被称为空间角。
2 计算方法
3 度量单位
空间角可以通过向量的内积和模长求得。
空间角的大小通常用弧度制来表示。
不同距离的应用
欧几里得距离
广泛应用于几何问题中的距离计算，例如点之间的最短路径。
曼哈顿距离
常用于衡量城市街道间的距离，尤其在导航和路径规划中得到广泛应用。
向量的模长
被用于求解向量之间的距离，例如判断两个向量的相似程度。
结语
空间角与距离的概念与应用是三维空间中重要的数学基础，对于物理、工程、计算机等领域都有着重要的意义。掌握这些概念将有助于深入理解和解决相关问题。
空间角的度量方法
球面角
用于度量球面上两条射线之间的夹角。
平面角
用于度量平面上两条射线之间的夹角。
二面角
用于度量空间中两个平面的夹角。
空间中的距离
1Hale Waihona Puke 欧几里得距离用于测量空间中两点之间的直线距离。
2 向量的模长
用于计算向量的长度，也可以看作是起点与终点之间的欧几里得距离。
3 曼哈顿距离
用于衡量城市街道等不规则环境下的距离。

高三数学空间角与空间距离的计算通用版知识精讲

高三数学空间角与空间距离的计算通用版【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1. 空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X 围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，2π） ②直线与平面所成的角θ∈[0，2π] ③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； ③求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法：（ⅰ）根据定义；（ⅱ）过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB （垂足为B ），或棱l 的垂线AC （垂足为C ），连结AC ，则∠ACB ＝θ或∠ACB ＝π－θ（图2）；（ⅳ）设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S ‘，则cos θ＝SS '．2. 空间的距离问题（1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1. 三棱锥P-ABC 中，∠ABC ＝90，PA ＝1，AB ＝3，AC ＝2，PA ⊥平面ABC.（1）求直线AB 与直线PC 所成的角；（2）求PC 和面ABC 所成的角；（3）求二面角A-PC-B 的大小．PA BC解：（1）作矩形ABCD.∴AB 和PC 所成角即为CD 和PC 所成角，且CD ⊥PD ．CD ＝3，AD ＝1，PD ＝2，tanPCD ＝3632=.故AB 和PC 所成角为arctan 36（2）∵PA ⊥面ABC ，PC 和面ABC 所成角即为∠ACP ，求得tanACP ＝21， ∴∠ACP ＝arctan21 （3）∵PA ⊥面ABC ，∴面PAC ⊥面ABC ，过B 作BG ⊥AC 于G ，则BG ⊥面PAC.过G 作GH ⊥PC 于H ，连接BH ，则BH ⊥PC ． ∴∠BHG 为二面角A-PC-B 的平面角．在Rt △ABC 与Rt △PBC 中，PB ＝2，BC ＝1，AC ＝2，AB ＝3∴PC ＝5∴BH ＝52，BG ＝23． ∴sinBHG ＝4155223==BH BG ∴∠BHG ＝arcsin 45．故二面角A-PC-B 的大小为arcsin 45．例2. 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点，（1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小；（3）求点1C 到平面AEC 的距离．解：（1）取AC 中点F ，连接DF ．∵ D 是1AC 的中点，F∴DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点， ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，DE ＝BF ．∵1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，∴1BB ⊥BF ．又∵F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，∴BF ⊥AC ，a BF 23=． ∵1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，∴BF ⊥1CC ，∴BF ⊥面11A ACC ，又∵⊂1AC 面11A ACC ，∴BF ⊥1AC ， ∵DE ∥BF ，∴DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，∴DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=．（2）∵11//CC BB ，DE ⊥1BB ， ∴DE ⊥1CC ，又∵为DE ⊥1AC ，∴DE ⊥面11A ACC ．又⊂DE 面1AEC ，∴面1AEC ⊥面1ACC ， ∴二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅，所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 23【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念．它是空间图形中的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视．【典型例题分析】例1. （2003全国卷文）如图，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解法1：（1）连结AC 交BD 于点O ，则点O 为BD 中点，连OF ，则可证OCEF 为矩形，故EF ⊥CC 1 ，EF ∥AC ．又可证AC ⊥平面BD 1 ∴AC ⊥BD 1，∴EF ⊥BD 1，故 EF 为BD 1与CC 1的公垂线．O（2）连结D 1E ，则有三棱锥D1-DBE 的高d 即为点1D 到平面BDE 的距离．由已知可证三角形DBE 为边长为2的正三角形，故2331311⋅⋅=⋅⋅=∆-d S d V DBE DBE D ；又31311111=⋅===∆---DBD DBD C DBD E DBE D S CO V V V∴3123=d ∴332=d ，即1D 到平面BDE 的距离为332解法2：解（1）以D 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(D ，)2,0,0(1D)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)1,1,0(E ，)1,21,21(F ，∴)0,21,21(-=EF ，)2,1,1(1--=BD ，)2,0,0(1=CC∴01=⋅BD EF ，01=⋅CC EF ；∴1BD EF ⊥，1BD EF ⊥ 又EF 与CC 1、BD 1分别交于E 、F ，故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （2）由（1）)0,1,1(--=BD ，)1,0,1(-=BE ，)2,1,1(1--BD ，设平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =，则BD n ⊥，BE n ⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ， ∴⎩⎨⎧=+-=--00z x y x ，即 ⎩⎨⎧=-=z x y x ，∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为33232||1===n n BD d ，即为所求．例2. （2006全国卷Ⅲ文20）如图，12l l ，是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A B ，在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==．（Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．Ｃ1l2解法一：（Ⅰ）由已知221l MN l l ⊥⊥，，1MNl M =，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN ⊥==，，可知AN NB =且AN NB ⊥．又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， AC NB ∴⊥．（Ⅱ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB ∠=︒，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ∠===．N1l l解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -．1l令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，．（Ⅰ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥， 2l ∴⊥平面ABN ．2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，．于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， ∵0011=+-=⋅NB AC AC NB ∴⊥．（Ⅱ）(11)AC m =，，，(11)BC m =-，，，AC BC ∴=．又已知60ACB ∠=︒，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===．在Rt CNB △中，NB =NC =(0C ．连结MC ，作NH MC ⊥于H ，设(0)(0)H λλ>，．(012)(01HN MC λλ∴=--=，，，，，．∵021=--=⋅λλMC HN ，∴31=λ1033H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，，可得2033HN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，连结BH ，则1133BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，∵092920=-+=⋅BH HN ，HN BH ∴⊥，又MC BH H =， HN ∴⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．又(110)BN =-，，， ∴3623234cos =⨯=⋅=∠BN BH BN BH NBH【综合测试】一、选择题1、已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 与b 成30°，在直线a 上取AP ＝4，则点P 到直线b 的距离是（）A 、22B 、25C 、142D 、5 2、将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（）A 、a 43B 、a 43C 、a 23 D 、64a 3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角（）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 4、二面角α-AB-β大小为θ（0°≤θ≤90°），AC ⊂α，∠CAB ＝45o ，AC 与平面β所成角为30o ，则θ角等于（）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 5、（2005某某卷文4）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（）A 、23 B 、22C 、21 D 、336、已知直线a 及平面α，a 与α间的距离为d ．a 在平面α内的射影为a '，l 为平面α内与a '相交的任一直线，则a 与l 间的距离的取值X 围为（）A 、[),d +∞B 、(),d +∞C 、(]0,dD 、{}d二、填空题 7、（2005某某卷理12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于____________．8、已知∠60o ，则以OC三、解答题：9. C 点到AB 1ABC DA 1E B 1C10.（2006理17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ；（Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．B[参考答案]一、选择题1. 选A 提示：过P 做直线b 的垂线2. 选A 提示：用异面直线距离公式求解3. 选D 提示：过A 1做OP 的平行线4. 选B 提示：过C 做平面β的垂线5. 选B. 提示：转化为求B 1到平面AB C 1D 1的距离6. 选D 提示：转化为a 与α间的距离二、填空题7.2. 提示：将三角形ABC 补成正方形ACBD. 8. 33- 提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：9. 解：由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1，∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE ＝23，AC ＝1 ，∴CD ＝.22∴21)()(22=-=CD CE DEABC DA 1E B 1C 110. 解法一：（Ⅰ）（Ⅱ）（略解见第45讲【达标测试】第9题）（Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．CDAB AC ⊥，OG AC ∴⊥．又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥． EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，1122EF PA FO AB ==，，word11 / 11 又PA AB EF FO =，⊥，45135EOF EOG ∴∠=∠=，，∴二面角E AC B --的大小为135．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图．y 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==-，，，，，，从而0=⋅PB AC ，AC PB ∴⊥．（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222ab b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴=，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ， PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，00=⋅=⋅∴AC OG AC OE ，．OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．22cos -=⋅<OGOE OG OE ．135EOG ∴∠=． ∴二面角E AC B --的大小为135．。

怎样求空间角、空间距离

nPMdab2图npMdα1图MdP nβα4图MdP nα3图怎样求空间角、空间距离求空间角、空间距离高考的重点热点之一，属必考内容，同时也是最重要的得分点。

既是必考，就须反复操练，烂熟于心。

一、求空间距离方法方法一：用定义法做出相应的距离，转化为两点间的距离问题求解（通常转化为解三角形问题，有时也用等面积、等体积法求之）方法二：向量坐标法则d=||||n MP n ⋅（公式一）1、点P 到平面α的距离.如图1（M 为α内的点，n 为平面的法向量）2、异面直线a 与b 的距离如图2（P 为a 上一点，M 为b 上一点，n 为与两异面直线都垂直的向量）3、平行于平面α的直线l 到平面α的距离如图3（P 为线上一点，M 为面α内一点，n 为平面的法向量）4、平行平面α 、β间的距离如图4（P 为α内一点，M 为β内一点，n 为平面的法向量）二、求空间角的方法方法一：用定义法作角，转化为相交直线所成的角，然后求解. 1、异面直线a 与b 所成的角θ在一条直线上找一点作另一直线的平行线，构成三角形，或在具体图形中找另一点，过此点作两直线的平行线，构成三角形. 2、直线l 与平面α所成的角ϕ斜线上选点P ，过P 作PM ⊥α于M ，连 AM, ϕ=AMP ∠为所求;利用公式cos θb nam5图mαMPn6图=cos 1θ cos ϕ （θ为斜外角，1θ为面平角）3、二面角ϕ过二面角棱上一点分别在两个半平面内做垂线，从而得到所求的二面角（通常利用特殊图形法、两垂一连法既三垂线定理去做）也可用射影面积公式求之 S ′=S cos ϕ方法二：向量法利用公式cos θ =||||||n m n m ⋅（公式二）求出θ= arccos||||||n m n m ⋅1、异面直线a 与b 所成的角θ如图5分别求出两条直线a 与b 的方向向量m 、n，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅2、直线l 与平面α所成的角ϕ如图6求与l 的方向向量m ,再求平面α的法向量n , m 与n 所在直线所成的角为θ，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅则ϕ＝2π－θ 3、求二面角ϕ如图7、8求两平面的法向量m 与n 或如图9、10找分别与两半平面平行且都垂直于棱的两向量m 与n .利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅，当ϕ为锐角时如图7、9ϕ=θ，当ϕ为钝角时如图8、10 ϕ= π－θ三.、用向量求角，求距离典型例题分析（对我们而言，不能求出角和距离许多时候是因为我们不能找到或作出角和距离。

专题24 空间角和距离计算策略-名师揭秘高考数学(理)命题热点全覆盖

专题24 空间角和距离计算策略一．【学习目标】1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式．2．理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．4．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．5.会找直线的方向向量和平面的法向量，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.6.能用向量法证明有关直线和平面关系的一些定理.7.会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角及二面角，会用向量法计算空间距离.8.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及二面角的平面角等概念，能依题设条件选择恰当的方法求解空间角和距离．特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系二解题方法归纳1.同时要重视空间向量基本定理的运用，要注意空间向量基底的选取，用基向量表示出已知条件和所需解决问题的所有向量，将几何问题转化为向量问题.2.用空间向量处理某些立体几何问题时，除要有应用空间向量的意识外，关键是根据空间图形的特点建立恰当的空间直角坐标系.若坐标系选取不当，计算量就会增大.总之，树立用数解形的观念，即用数形结合的思想解决问题.3.利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量(注意量的集中)，然后利用向量运算解决该向量问题，从而原问题得解.4.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立恰当、正确的空间坐标系.表示出已知点(或向量)的坐标.难点是通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数解法.5.向量法求空间角与距离一般在易建系而又不易直接作出求角与距离时使用事半功倍.6.向量法证明线面关系时恰当的推理和必要的空间想象是必需的.7.求异面直线所成的角，要注意角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，斜线与平面所成的角关键是找斜线在平面内的射影；求二面角的大小方法多、技巧性强，但一般先想定义法，再想构造法.8.实施解题过程仍要注意“作、证、指、求”四环节，计算一般是放在三角形中，因此，“化归”思想很重要.9.应用向量法求空间角要注意：①恰当正确的建立空间直角坐标系；②求得相关向量的夹角的三角函数值后一定要注意相应空间角的取值范围及问题情境确定所求角的三角函数值或大小. 三．【典例分析及训练】（一）空间坐标系例1．已知点，且该点在三个坐标平面yOz，xOz，xOy上的投影的坐标依次为，和，则（）A．B．C．D．以上结论都不对【答案】B【解析】点在平面上的射影的坐标，；在平面上的射影的坐标，；在平面上的射影的坐标，．所以．选B.【点睛】本题考查空间直角坐标系点的坐标投影，考查基本分析求解能力，属基础题.练习1．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意＝(＋)＝，＝－＝，||＝.故答案为：D练习2．在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到三角形ABC重心G的距离为()A．2 B．C．1 D．【答案】D【解析】以P点为坐标原点，PA、PB、PC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系。

高考一轮复习资料空间角与空间距离

9.6 空间角与空间距离知识要点1.异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a 、b ，经过空间任意一点O ，作a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（2）范围：.2π,0⎥⎦⎤ ⎝⎛ 2.斜线与平面所成的角（1）定义：斜线与平面所成的角是斜线和它在平面内的射影所成的角.当直线和平面平行时，称直线和平面成 0°角.当直线和平面垂直时，称直线和平面成 90°角.（2）范围： )2π,0( .3.二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 .（2）二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 .(3)求作二面角的方法二面角的大小是用它的平面角来度量的.找（或作）出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性.②三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.④射影法：利用面积射影公式 S 射=S 原cos θ ，其中S 原为原斜面面积，S 射为射影面积， θ为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来.（4）范围：［0，π］.4.三种空间角的向量法计算公式(1)异面直线a，b所成的角θ：cosθ＝|cos〈a，b〉|；其中a，b分别为直线a，b的方向向量．(2)直线a与平面α(法向量n)所成的角θ：sinθ＝|cos〈a，n〉|；其中a为直线a的方向向量．(3)锐二面角θ：cosθ＝|cos〈m，n〉|，其中m，n为两个面的法向量．5.异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的公垂线段的长度.6.求距离的常用方法与一般步骤（1）求距离的常用方法①直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解.②等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离.（2）求距离的一般步骤“一作”：即先作出表示距离的线段（要符合作图规则，避免随意性）；“二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段（证明要符合逻辑且推理正确）；“三计算”：即将所求线段放置在三角形中，解三角形求取或利用等积法求取.7、用向量法求距离的公式(1)异面直线a，b之间的距离：d，其中n⊥a，n⊥b，A∈a，B∈b.(2)直线a与平面α之间的距离：d，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量．(3)两平行平面α，β之间的距离：d，其中A∈α，B∈β.n是平面α的法向量．(4)点A到平面α的距离：d，其中B∈α，n是平面α的法向量．(5)点A到直线a 的距离：其中B∈a，a是直线a的方向向量．(6)两平行直线a ，b 其中A ∈a ，B ∈b ，a 是a 的方向向量．典型范例例1．如图所示，已知∠BOC 在平面α内，OA 是平面α的斜线，且∠AOB=∠AOC =60°，OA=OB=OC=a,BC=2a ，求OA和平面α所成的角.分析：首先应确定A 点在平面α内射影的位置,这样就可得到OA 与平面α所成的角,进而求之.解：∵OA=OB=OC=a，∠AOB=∠AOC=60°,∴△AOB、△AOC 为正三角形. ∴AB=AC=a.∵BC=2a ，∴AB 2+AC 2=BC 2， ∴△BAC 为直角三角形.同理△BOC 也为直角三角形.过A 作AH 垂直平面α于H ，连结OH ，∵AO=AB=AC ，∴OH=BH=CH ，H 为△BOC 的外心.∴H 在BC 上，且H 为BC 的中点. ∴∠AOH 为直线OA 与平面α所成的角.︒=∠∴==∠∴=∆45,22sin ,22,Rt AOH AO AH AOH a AH AOH 中在即AO 和平面α所成的角为45°.点评：（1）确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解.（2）求斜线与平面所成角的步骤：①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得出射影，确定出所求角；③把该角放入三角形中计算.（3）直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面角时，应想到以上两种特例.变式1：如图所示，AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC.求AD 与平面ABC 所成角的大小.解：∵AB ⊥平面BCD, ∴∠ADB=30°.∵CD ⊥CB,由三垂线定理得DC ⊥CA,∵AC ∩CB=C ，∴DC ⊥平面ABC,即∠CAD 是AD 与平面ABC 所成角.设AB=BC=a,则AC=2a, BD=3a, AD=2a.在Rt △ACD 中,∠CAD=45°,即AD 与平面ABC 所成的角为45°.例2．如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°,PA ⊥平面ABCD ，PA=3，AD=2，AB=23，BC=6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P —BD —A 的大小.分析：对于问题（2），由（1）知棱BD ⊥平面PAC ，则可找到二面角的平面角.（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA.,3tan ,33tan ==∠==∠ABBC BAC AB AD ABD 又 ∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即BD ⊥AC ，又PA ∩AC=A ，∴BD ⊥平面PAC.（2）解：如图所示，连结PE ，∵BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PE ，BD ⊥AE ，∴∠AEP 为二面角P —BD —A 的平面角.在Rt △AEB 中，AE=AB ·sin ∠ABD=3，,3tan ==∠∴AEAP AEP ∴∠AEP=60°,∴二面角P —BD —A 的大小为60°.点评：利用垂面法找出平面角再转化到直角三角形中求解.变式2：如右图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=a,AA 1=2a,D 为BC 的中点，E 为CC 1上的点，且.411CC CE =（1）求证：BE ⊥平面ADB 1；（2）求二面角B —AB 1—D 的大小.（1）证明：由AB=AC ，D 是BC 的中点，得 AD ⊥BC ，从而AD ⊥平面B 1BCC 1.又BE ⊂平面B 1BCC 1，所以AD ⊥BE.由已知∠BAC=90°,AB=AC=a,得BC=2a,在Rt △BB 1D 中，,4221tan 111===∠BB BC BB BD D BB ,4222tan ,Rt ===∠∆aaBC CE CBE CBE 中在于是∠BB 1D=∠CBE, 设EB ∩DB 1=G,∠BB 1D+∠B 1BG=∠CBE+∠B 1BG=90°，则DB 1⊥BE.又AD ∩DB 1=D,故BE ⊥平面ADB 1.（2）解：如右图，过点G 作GF ⊥AB 1于F ，连结BF.由（1）及三垂线定理可知∠BFG 是二面角B —AB 1—D 的平面角.在Rt △ABB1中，由BF ·AB 1=BB 1·AB ，.552a BF =得在Rt △BDB 1中，由BB 1·BD=BG ·DB 1，.32a BG =得所以在Rt △BFG 中，,35sin ==∠BF BG BFG 故二面角B —AB 1—D 的大小为.35arcsin例3．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1,AB=CC 1=a,BC=b.（1）设E,F 分别为AB 1,BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC;（2）求证：A 1C 1⊥AB;（3）求B 1到平面ABC 1的距离.分析：（1）线线平行或面面平行线面平行；（2）线面垂直⇒线线垂直；（3）求垂线段长或用等积法.（1）证明：分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连结EM ，MN ，FN ，从而EM FN ，即四边形EFNM 是平行四边形，∴EF ∥MN.而EF ∥平面ABC,MN ⊂平面ABC ，故EF ∥平面ABC.（2）证明：连结A 1B,∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AA 1⊥AB.又AB=CC 1=AA 1,∴ABB 1A 1是正方形，从而AB 1⊥A 1B.∵AB 1⊥BC 1,∴AB 1⊥平面A 1BC 1,∴A 1C 1⊥AB 1,而A 1C 1⊥AA 1,∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 又AB ⊂平面ABB 1A 1,∴A 1C 1⊥AB.（3）解： ∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1,于是B 1到平面ABC 1的距离等于A 1到平面ABC 1的距离，过A 1作A 1H ⊥AC 1于H.由（2）知，BA ⊥平面ACC 1A 1，∴BA ⊥A 1H ，于是A 1H ⊥平面ABC 1.在Rt △A 1AC 1中，AA 1=CC 1=a ，,222211a b AB BC AC C A -=-==.,,)(221122111112222211ba b a ABC B ba b a AC C A A A H A b a b a AC C C AC -∴-=⋅=∴=-+=+=的距离为到平面点评：求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离. 如本题（3）的如下解法即用等积法=-11ABB C V ,11ABC B V -即,2131********AC AB h BB AB C A ⋅⋅⋅=⋅⋅将各数据代入可得h 的值.变式3 ：如右图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，若AB=a ，PD=a ，求：（1）P 到正方形各顶点的距离；（2）P 到正方形各边的距离；（3）P 到两条对角线的距离.解：（1）P 到各顶点的距离分别为PA 、PB 、PC 、PD 的长.∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，PD ⊥BD ，∴△PAD 、△PCD 、△PBD 是直角三角形.∵PD=a ，AB=a ，四边形ABCD 为正方形， ∴PA=2a ，PB=3a ，PC=2a ，PD=a.（2）由图形易知P 到AD 、CD 的距离都是PD=a.P 到BC 的距离为PC ，即为 2a,P 到AB 的距离为PA ，即为 2a.（3）∵AC ⊥BD ，∴DO ⊥AC.又∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC,∴PO ⊥AC.故PO 的长就是P 到对角线AC 的距离.26)22(22a a a PO =+=而P 到对角线BD 的距离为PD 的长，PD=a.故P 到BD 的距离为a ，到AC 的距离为.26a 例4．设ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，AA 1=1 cm ，AB=4 cm ，BC=3 cm ，∠ABC=90°，设过A 1、B 、C 1的平面与平面ABC 的交线为l .（1）判断直线A 1C 1与l 的位置关系，并加以证明；（2）求点A 1到直线l 的距离；（3）求点A 到平面A 1BC 1的距离；（4）作CH ⊥BC 1，垂足为H ，求异面直线AB 与CH 之间的距离.分析：（1）利用线面平行的性质定理可知 A 1C 1∥l ;（2）点A 1到l 的距离可借助三垂线定理来寻求；（3）关键是找出点A 到平面A 1BC 1的距离，注意运用图形中垂直关系，特别是面面垂直的关系；（4）关键是找出异面直线AB 与CH 的公垂线段.解：（1）A 1C 1∥l 证明如下：∵A 1C 1∥平面ABC ，A 1C 1⊂平面A 1C 1B ，平面A 1C 1B ∩平面ABC=l ， ∴A 1C 1∥l（2）如右图所示，作AD ⊥l ，垂足为D ，连结A 1D.∵A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥l ， ∴A 1D 为所求，又∵l ∥AC ，而B 到AC 距离等于cm,512543=⨯ ∴.cm 512=AD 在Rt △A 1AD 中, .cm 513)512(1221=+=D A ∴点A 1到直线l 的距离为.cm 513 (3)由(2)知l ⊥平面AA 1D, l ⊂平面A 1C 1B,平面A 1AD ⊥平面A 1BC 1,作AG ⊥A 1D,垂足为G. ∴AG ⊥平面A 1BC 1..cm 13125135121=⨯=AG ∴点A 到平面A 1BC 1距离为.cm 1312 (4)∵AB ⊥BC,而BC 为BC 1在平面ABC 上的射影, ∴AB ⊥BC 1.又∵CH ⊥BC 1, ∴AB 与CH 的公垂线段是BH..cm 101091093.cm 10103131322222=-=-=∴=+⨯=CH BC BH CH ∴AB 与CH 之间的距离为.cm 10109 点评：1、求异面直线的距离有以下几种方法：（1）定义法：一般应先找出两异面直线的公垂线段，再通过解三角形求解.（2）转化法：若不能直接找出公垂线，则可考虑用线面平行法或面面平行法转化成求直线和平面的距离或平行平面的距离.（3）函数极值法：依据两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上的两点距离中的最小值.2、求空间的距离时，都是通过作辅助线、辅助面等方法将空间问题转化为平面问题来解决的.本例中通过辅助面A 1AD ，将点A 1到l 的距离及A 到面A 1BC 1的距离转化为求A 1D 和AG 两线段的长.。

2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之空间角和空间距离

形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝＜，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
⁠
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
⁠
[0，π] .
⁠
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－；如图1(2)，θ＝－＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.

空间几何中的角度与距离计算

空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。

通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。

本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。

一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。

常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。

在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。

余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。

2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。

通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。

常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。

（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。

可以通过点乘法计算向量之间的夹角。

（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。

可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。

3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。

通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。

三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。

二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。

常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。

对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。

欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。

空间角与距离的计算

由△PAD 为等腰直角三角形得 PN⊥AD. 由 DC⊥AD，BC∥AD，BC＝12AD，N 是 AD 的中点得 BN⊥AD.所以 AD⊥平面 PBN. 由 BC∥AD 得 BC⊥平面 PBN，则平面 PBC⊥平面 PBN. 过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH，易知 QH⊥平面 PBC，所以 MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角．
令 y＝1，则 n＝(0,1，－1)，
BF＝1，EPPF＝2，所以 EP＝233，设 D 到面 PEA 的距离为 d，
因为 VA－EDP＝VD－AEP，即13·AD·S△EDP＝13·d·S△AEP，所以 d＝
AD·S△EDP＝ S△AEP
1×
3 3
＝
33× 2
2 2.
【通法指导】诚如上文所说，求点面距问题可以采用等积转换和向量法求解，除此之外个别问题也可采用垂面法(利用面面垂直性质定理)和等价转移法(利用线面平行)求解．当然，一些求几何体体积问题，也是对点面距问题的相应考查．
因为A→P＝－1，2
3
3，1，A→E＝(－1,0,1)
，
所以xy＝＝z0，，令 z＝1，则 n＝(1,0,1)．因为D→A＝(1,0,0)，
所以
D
到面
APE
的距离为
d＝|D→|An·|n|＝
|1| ＝ 2
2 2.
解法二：由(1)知，AD⊥平面 BFED，所以 AD⊥EP，
AD⊥ED.又因为 EP⊥ED，所以 EP⊥平面 ADE.BD＝ 3，
【题型分析】如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1， ∠BCD＝120°，四边形 BFED 为矩形，平面 BFED⊥平面 ABCD，BF＝1.

高中数学专题复习空间角和距离的求法知识点例题精讲

空间角和距离的求法[高考能力要求]空间的角和距离，是定量刻划立体几何点线面位置关系的主要“指数”。

空间角和距离的计算，是立体几何学习的主要内容，也是高考必考的热点问题。

通常所说的“空间角和距离”主要是指1．三种角，包括两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角。

解决角的计算问题，必须分两步走，首先根据概念，通过定理转化为平面角表示，然后再借助于平面图形求解。

应当重视角度的范围：两条异面直线所成的角的范围是]90,0(0，直线和平面所成的角的范围是]90,0[00，二面角的范围是]180,0[00。

2．七种距离，包括两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离及球面距离等。

求解距离问题也分两步走，第一步，根据概念，运用定理指出哪是所求的距离，第二步，转化为平面图形中的线段长。

其中线面距离，点面距离是高考考查的重点内容，并且距离求解常与体积计算联系在一起。

[例题精讲]【例1】在0120的二面角N l M --中，N B M A ∈∈,，已知点A ，Ｂ到棱l 的距离分别为２和４，且ＡＢ＝10。

求：（1）直线AB 与棱l 所成的角的正弦值；（2）直线AB 与平面N 所成的角。

分析：本题以二面角为载体设计问题，既考查钝二面角的画法，又考查线线角、线面角。

分析与解：如图，分别在平面M 、N 内，作AC l ⊥，BD l ⊥，垂足为C 、D ，再在N 内过C 作CE//DB且CE=DB ，连BE ，从BD l ⊥知CE l ⊥，则∠ACE 是二面角N l M --的平面角，即∠ACE=0120。

连AE ，则ABE ∠为AB 与棱l 所成的角。

在ACE ∆中，由余弦定理得AE=27。

在AEB Rt ∆中，571072sin ==∠ABE 对于（2）的解决中，首先要作出直线ＡB 在平面N 上的射影，从⊥l 平面ACE 知，平面ACE ⊥平面N 和M ，从点A 作到N 上的射影，其垂足必然在平面ACE 与N 的交线上，由于ACE ∆中，ACE ∠为0120是一个钝角，作AA ′CE ⊥，其射影A ′一定落在CE 的反向延长线上，所以AA ′=AC 360sin 0=。

高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法

高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。

在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。

本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。

一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。

空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。

2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。

设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。

接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。

2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。

设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。

三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。

比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。

在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。

在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。

高考数学专题—立体几何(空间向量求空间角与空间距离)

高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|；（2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值非正常考你余弦值，需要再算一步。

直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。

注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。

平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。

二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。

一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量）（4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。

高考数学分类专题复习之空间角与距离

1 / 10O ab 60第二十四、二十五讲空间角与距离★★★高考在考什么【考题回放】1．如图，直线a 、b 相交与点O 且a 、b 成600，过点O 与a 、b 都成600角的直线有（ C ）A ．1 条B ．2条C ．3条D ．4条2．（江苏?理）正三棱锥P-ABC 高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC的距离是（ B ）A ．54 B．56 C．6 D．643．（全国Ⅰ?理）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD 中，AB AA 21，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ D ）A ．51B．52C ．53D．544．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于3．5．（四川?理）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC 1A 1所成的角是6．6．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， E 、F 分别为BC 与A 1D 1的中点，(1) 求直线A 1C 与DE 所成的角；(2) 求直线AD 与平面B 1EDF 所成的角；(3) 求面B 1EDF 与面ABCD 所成的角。

【专家解答】(1)如图，在平面ABCD 内，过C 作CP//DE 交直线AD 于P ，则CP A 1（或补角）为异面直线A 1C 与DE 所成的角。

在ΔCP A 1中，易得a PA a DECPa C A 213,25,311，由余弦定理得1515cos 1CPA 。

故异面直线A 1C 与DE 所成的角为1515arccos。

（2）ADF ADE ，∴AD 在面B 1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上。

而B 1EDF 是菱形，∴DB 1为∠EDF 的平分线。

故直线AD 与面B 1EDF 所成的角为∠ADB 1．在Rt ΔB 1AD 中，,3,2,11a D B a AB a AD则33cos 1ADB 。

高三总复习数学课件空间向量与空间角、距离问题

(2)以点 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，平面 ABCD 内垂直于 AB|n |源自＝____|n_|____
线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离
(1)最小角定理cos θ＝cos θ1cos θ2 如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面 α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. (2)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|. (3)平面与平面所成的角和二面角的概念不同．
即 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为13.
答案：13
重难点——逐一精研(补欠缺) 重难点(一) 直线与平面所成的角
[典例] (2021·深圳二模)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AB∥CD，DC＝2，AA1＝3，AB＝BC＝AD＝1，点E和F分别在侧棱 AA1，CC1上，且A1E＝CF＝1.
是 C1D1 的中点，则异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为________.
答案：
10 10
3．(人教A版选择性必修第一册P44·T15改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E 为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为________. 答案：23
4．(北师大版选择性必修第一册 P129·T4 改编)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB ＝2，BC＝AA1＝1，则 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，由于 AB＝2， BC＝AA1＝1，所以 A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，所以A―1→C1＝(－1,2,0)， ―BC→1 ＝(－1,0,1)，D―1→C1＝(0,2,0)．设平

高考数学易错题专项突破__易错点25空间角与空间距离含解析

易错点25 空间角与空间距离一、单选题1.如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值为A. √2B. √3C. √22D. 12.三棱柱aaa−a1a1a1中,aa=3,aa=1,aa1=2,∠a1aa=∠a1aa=60°,∠aaa=90°.则异面直线a1a与aa1所成角的余弦值为A. 0B. 15C. 13D. 253.在正方体aaaa−a1a1a1a1中,异面直线AC与a1a1所成的角是A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘4.在四面体a−aaa中,PA ,PB ,PC 两两垂直,M 是面ABC 内一点,M 到三个面PAB ,PBC ,PCA的距离分别是2,3,6,则M 到P 的距离是A. 7B. 8C. 9D. 105.在空间中,异面直线a,a所成的夹角为a,且sin a=12,则cos a=A. √32B. −√32C. √32或−√32D. −126.在底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱aaa−a1a1a1中,若aa=√2aa1,则aa1与a1a所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.在正方体aaaa−a1a1a1a1中,E为aa1的中点,则异面直线DE与a1a1所成角的正切值为A. √62B. √63C. √22D. √28.已知△aaa的三顶点坐标分别为a(10,−1,6),a(4,1,9),a(2,4,3),则a△aaa=A. 492B. 492√2 C. 494D. 494√2二、单空题9.在正方体aaaa−a1a1a1a1中,点M,N分别是aa1,aa1的中点,则CM和a1a所成角的余弦值为________．10.点S、A、B、C在半径为√2的同一球面上,点S到平面ABC的距离为12,aa=aa=aa=√3,则点S与aaaa中心的距离为________．11.如图,在平行六面体aaaa−a1a1a1a1中,aa=1,aa=2,aa1=3,∠aaa=90°,∠aaa1=∠aaa1=60°,则aa1=________．12.已知正四棱柱aaaa—a1a1a1a1中,aa=1,aa1=2,点E为aa1的中点,则点a1到平面BDE的距离为________．三、解答题13.如图,在正方体aaaa−a1a1a1a1中E,F分别是AD,aa1中点．(1)求直线aa1和aa1所成角的大小；(2)求直线aa1和EF所成角的大小．14.如图,在四棱锥a−aaaa中,四边形ABCD为平行四边形,aa⊥aa,aa⊥平面ABCD,且aa=aa=3,aa=2,点E是PD的中点．(1)求证：aa//平面AEC；(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角a−aa−a的余弦值为√10若存在,确定M的位置；若不存在,请说明理由．1015.如图所示的几何体中,aa⊥平面ABCD,aa//aa,四边形ABCD为菱形,aa=aa=2,点M,N分别在棱FD,ED上．=a,求a的值；(1)若aa//平面MAC,设aaaa(2)若∠aaa=60°,aaaa =12,直线BN与平面ABCD所成角的正切值为√63,求三棱锥a−aaa的体积．16.设四边形ABCD为矩形,点P为平面ABCD外一点,且aa⊥平面ABCD,若aa=aa=1,aa=2．(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G,使得点D到平面PAG的距离为√2,若存在,求出BG的值,若不存在,请说明理由；(3)若点E是PD的中点,在△aaa内确定一点H,使aa+aa的值最小,并求此时HB的值一、单选题1.如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°且PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值为A. √2B. √3C. √22D. 1【答案】A【解析】解：观察图形,可以将该图看成是正方体的一部分,因此可以通过补形来求异面直线的夹角的正切值,将此多面体补成正方体aaaa−a1a1a1a(如图所示),则PB 与AC 所成的角的大小即此正方体的体对角线PB 与棱BD 所成角的大小．故在aa △aaa 中,tan ∠aaa =aa aa=√2aa=√2.故选：A2. 三棱柱aaa −a 1a 1a 1中,aa =3,aa =1,aa 1=2,∠a 1aa =∠a 1aa =60°,∠aaa =90°.则异面直线a 1a 与aa 1所成角的余弦值为A. 0B. 15C. 13D. 25【答案】A【解析】解：a 1a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a 1a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−0+1×2×cos 60°−1×2×cos 60°+3×2×cos 60°−22 =1+3−4=0,∴a 1a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即异面直线a 1a 与aa 1所成角为90°, ∴cos 90°=0, 故选A ．3. 在正方体aaaa −a 1a 1a 1a 1中,异面直线AC 与a 1a 1所成的角是A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘【答案】D【解析】解：在正方体aaaa −a 1a 1a 1a 1中,a 1a 1//aa ,aa ⊥aa , ∴aa ⊥a 1a 1,∴异面直线a 1a 1与AC 所成的角为90°, 故选D ．4.在四面体a−aaa中,PA ,PB ,PC 两两垂直,M 是面ABC 内一点,M 到三个面PAB ,PBC ,PCA的距离分别是2,3,6,则M 到P 的距离是A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】解：由于PA,PB,PC两两垂直,M是面ABC内一点,作出长方体如图,M到三个面PAB,PBC,PCA的距离分别是2,3,6,则M到P的距离,就是长方体的体对角线的长：√22+32+62=7故选A．5.在空间中,异面直线a,a所成的夹角为a,且sin a=12,则cos a=A. √32B. −√32C. √32或−√32D. −12【答案】A【解析】解：∵异面直线a,a所成的夹角为a∴0<a⩽a2；∵sin a=12,∴cos a=√1−sin2a=√32．故选A．6.在底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱aaa−a1a1a1中,若aa=√2aa1,则aa1与a1a所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D【解析】解：如图,建立空间直角坐标系,设aa 1=1,则aa =√2,a (−√22,0,0),a (√22,0,0),a 1(√22,0,1),a 1(0,√62,1),则aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,1),aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√62,1),故aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·aa 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故AB 1与aa 1所成角为90°, 故选D ．7. 在正方体aaaa −a 1a 1a 1a 1中,E 为aa 1的中点,则异面直线DE 与a 1a 1所成角的正切值为 A. √62B. √63C. √22D. √2【答案】C【解析】解：如图所示, ∵aa //a 1a 1,aa ⊥a 1C .∴∠aaa 为异面直线DE 与a 1a 1所成角． ∴tan ∠aaa =aa aa=12a 1a aa=√22．故选：C ．8. 已知△aaa 的三顶点坐标分别为a (10,−1,6),a (4,1,9),a (2,4,3),则a △aaa =A. 492 B. 492√2C. 494D. 494√2【答案】A【解析】解：△aaa 的三顶点坐标分别为a (10,−1,6),a (4,1,9),a (2,4,3), 则|aa |=√(10−4)²+(−1−1)²+(6−3)²=7, |aa |=√(2−4)²+(4−1)²+(9−3)²=7, |aa |=√(2−10)²+(4+1)²+(6−3)²=7√2, 由于|aa |²=|aa |²+|aa |², 所以三角形ABC 为直角三角形, 所以a △aaa =12×7×7=492,二、单空题9. 在正方体aaaa −a 1a 1a 1a 1中,点M ,N 分别是aa 1,aa 1的中点,则CM 和a 1a 所成角的余弦值为________．【答案】19【解析】解：取a 1a 的中点P ,连接a 1a ,∵a 1a //aa ,且a 1a =aa , ∴四边形a 1aaa 是平行四边形, ∴a 1a //aa ,∵a 1a 1= //aa = //aa ,∴a 1a 、a 1a 共面,设其交点为O ,则∠a 1aa 1是异面直线CM 与a 1a 所成的角, 设正方体的棱长为1,∴a 1a =aa =√aa 2+aa 2=√2+14=32,a 1a =a 1a =34,cos ∠a 1aa 1=(34)2+(34)2−12×34×34=19,即直线CM 与a 1a 所成角的余弦值是19．故答案为19．10. 点S 、A 、B 、C 在半径为√2的同一球面上,点S 到平面ABC 的距离为12,aa =aa =aa =√3,则点S 与aaaa 中心的距离为________．【解析】解：如图,∵点S、A、B、C在半径为√2的同一球面上,点S到平面ABC的距离为12,aa=aa=aa=√3,设△aaa的外接圆的圆心为M,过S作aa⊥平面ABC,交MC于D, 连结OD,OS,过S作MO的垂线SE,交MO于点E,∴半径a=aa=23√3−34=1,∴aa=√aa2−aa2=√2−1=1,∵aa⊥aa,aa⊥aa,∴aaaa是矩形,∴aa=aa=12,∴aa=aa=√aa2−aa2=√2−14=√72,∴aa=√aa2+aa2=√14+74=√2．故答案为√2．11.如图,在平行六面体aaaa−a1a1a1a1中,aa=1,aa=2,aa1=3,∠aaa=90°,∠aaa1=∠aaa1=60°,则aa1=________．【答案】√23【解析】解：由题意,如图所示,作a1a⊥底面于O,作OE垂直AB于E,OF垂直AD于F,连接a1a,a1a,由于,∠aaa1=∠aaa1=60°,∴△a1aa≌△a1aa,∴a1a=a1a∴有△a1aa≌△a1aa,∴aa=aa,由作图知,O 在角DAB 的角平分线上, 又∵底面是矩形,∴∠ aaa =∠ aaa =45°,又∵aa =1,aa =2,aa 1=3,∠aaa 1=∠aaa 1=60°, ∴a 1a =a 1a =3√32,aa =aa =32,∴aa =3√22,∴在直角三角形a 1aa 中,解得a 1a =3√22,在图中作a 1a 垂直底面于H ,作HR 垂直DC 延长线与R ,由几何体的性质知,aa =aa =32,a 1a =a 1a =3√22,连接AH ,得如图的直角三角形ASH ,直角三角形aaa 1, 由已知及上求解得aa =52,aa =72,∴aa 12=aa 2+a 1a 2=aa 2+aa 2+a 1a 2=254+494+184=924=23,∴aa 1=√23 . 故答案为√23 ．12. 已知正四棱柱aaaa —a 1a 1a 1a 1中,aa =1,aa 1=2,点E 为aa 1的中点,则点a 1到平面BDE 的距离为________．【答案】2√33【解析】解：易知aa //a 1a 1,又BD 在平面BDE 内,a 1a 1不在平面BDE 内, ∴a 1a 1//平面BDE ,则点a 1到平面BDE 的距离等于点a 1到平面BDE 的距离,设为h ． △aaa 中,aa =aa =aa =√2,∴a △aaa =√32, 由a a 1−aaa =a a −aa 1a ,可得13×√32a =13×12×1×2×1,∴a =2√33．故答案为：2√33．三、解答题13. 如图,在正方体aaaa −a 1a 1a 1a 1中E ,F 分别是AD ,aa 1中点．(1)求直线aa1和aa1所成角的大小；(2)求直线aa1和EF所成角的大小．【答案】解：(1)如图,连接aa1,∵aa1//aa1,∴aa1和aa1所成的锐角∠aa1a就是aa1和aa1所成的角．∵∠aa1a=45°,∴aa1和aa1所成的角是45°．(2)连接aa1、a1a1,∵aa//a1a,aa1///aa1,∴∠a1aa1是直线aa1和EF所成的角．∵△aa1aa1是等边三角形,∴∠a1aa1=60°,即直线aa1和EF所成的角是60°．14.如图,在四棱锥a−aaaa中,四边形ABCD为平行四边形,aa⊥aa,aa⊥平面ABCD,且aa=aa=3,aa=2,点E是PD的中点．(1)求证：aa //平面AEC ；(2)在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ,使得二面角a −aa −a 的余弦值为√1010若存在,确定M 的位置；若不存在,请说明理由．【答案】(1)证明：连接BD 交AC 于点O ,连接OE , 显然O 为BD 的中点,又∵点E 是PD 的中点．∴aa 为三角形PBD 的中位线, ∴aa //aa ,又aa ⊂平面AEC ,aa ⊄平面AEC , 所以aa //平面AEC ；(2)由已知以A 为原点,分别以AC ,AB 和AP 为x 轴,y 轴和z 轴建立空间直角坐标系a −aaa , 则有a (0,0,3),a (0,3,0),a (2,0,0),a (1,−32,32), 假设在PB 上存在点a (0,a ,3−a ),0<a <3, 则aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−32,32),aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,3−a ), 设平面ACE 的法向量为a ⃗⃗⃗⃗ =(a 1,a 1,a 1), 则{2a 1=0a 1−32a 1+32a 1=0,可取a⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1), 设平面ACM 的法向量为a ⃗⃗⃗⃗ =(a 2,a 2,a 2), 则{2a 2=0aa 2+(3−a )a 2=0,可取a⃗⃗⃗⃗ =(0,a −3,a ), 由二面角a −aa −a 的余弦值为√1010, 可得|a ⃗⃗⃗⃗ ·a ⃗⃗⃗⃗ ||a⃗⃗⃗⃗ |·|a ⃗⃗⃗⃗ |=|a −3+a |√2·√2a 2−6a +9=√1010,解得a =1或2,由于二面角a −aa −a 的余弦值为正,故舍去a =2,即a=1,∴存在一点M,使得二面角a−aa−a的余弦值为√1010,该点为PB上靠近P点的三等分点．15.如图所示的几何体中,aa⊥平面ABCD,aa//aa,四边形ABCD为菱形,aa=aa=2,点M,N分别在棱FD,ED上．(1)若aa//平面MAC,设aaaa=a,求a的值；(2)若∠aaa=60°,aaaa =12,直线BN与平面ABCD所成角的正切值为√63,求三棱锥a−aaa的体积．【答案】解：(1)连接AC,BD,设aa∩aa=a,因为四边形ABCD为菱形,所以P为AC与BD的中点,连接MP,因为aa//平面MAC,aa⊂平面BFD,且平面aaa∩平面aaa=aa, 所以aa//aa,因为P为BD的中点,所以M为FD的中点,即aaaa =12.(2)因为∠aaa=60∘,四边形ABCD为菱形,aa=aa=2, 所以aa=2√3,过N作aa//aa,且aa∩aa=a,因为aaaa =12,所以aa=2√33, 设aa=a,则aa=23a,因为直线BN与平面ABCD所成角的正切值为tan∠aaa=a√3=√63,所以a=√2,所以三角形ABD的面积a1=a梯形aaaa−a▵aaa=√2,而点N到平面BEF的距离即点G到平面BEF的距离为a=√33,由a a−aaa =a a−aaa=13a1⋅a=√69,所以三棱锥a−aaa的体积为√69.16.设四边形ABCD为矩形,点P为平面ABCD外一点,且aa⊥平面ABCD,若aa=aa=1,aa=2．(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G,使得点D到平面PAG的距离为√2,若存在,求出BG的值,若不存在,请说明理由；(3)若点E是PD的中点,在△aaa内确定一点H,使aa+aa的值最小,并求此时HB的值．【答案】解：(1)因为平面,aa⊂平面,所以,又因为底面是矩形,所以,又aa∩aa=a,aa,aa⊂平面APD,所以平面,所以与平面所成角为,又由题意可得：,,所以tan∠aaa=√55．所以与平面所成角的正切值为√55．(2)假设边上存在一点G满足题设条件,作,又aa⊥平面ABCD,所以aa⊥aa,因为aa∩aa=a,所以平面,所以．因为a△aaa=12×2×1=12×aa×√2,所以aa=√2,所以aa=1<2,故存在点G,当时,使点D到平面的距离为．(3)延长CB到,使,因为平面,平面,所以,又因为底面是矩形,所以,因为aa∩aa=a,所以平面,则a′是点C关于面的对称点,连接a′a,交面于H,则点H是使的值最小时,在面上的一点．作于M,则点M是AD的中点,连接交AB于N,连接HN, 则,所以,又,所以,而,所以．所以．。