2019-2020年数学选修2-1同步课件讲义应用案巩固提升：第3章章末复习提升课(苏教版)

章末复习提升课
1．空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)重要结论
a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
2．空间向量的运算与线面位置关系的判定
(1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，
则l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，
l⊥α⇔u∥v⇔u＝k v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
l∥m⇔a∥b⇔a＝k b，k∈R；
l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；
l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；
l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u，k∈R；
α∥β⇔u∥v⇔u＝k v，k∈R；
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.
1．正确理解数量积的概念和运算性质
(1)a·b＝a·c(a≠0)的本质是向量b，c在向量a方向上的投影相等，b与c不一定相等．
(2)求两个向量的夹角是求数量积的关键，也是易错点，如等边三角形ABC 中，AB →与BC →
的夹角为120°而不是60°.
(3)两个非零向量a 和b 的夹角θ是锐角(或钝角)的充要条件是a ·b >0(或<0)且a 与b 不同向(或反向)．
2．弄清立体几何中的“空间角”与向量“夹角”的联系与区别
(1)利用直线的方向向量求异面直线所成的角，若方向向量的夹角是锐角或直角，则可直接将该结果作为所求角，若方向向量的夹角是钝角，则应将钝角的补角作为所求的角．
(2)利用直线的方向向量和平面的法向量求线面角，若两个向量的夹角是锐角，则该锐角的余角为所求的线面角，若两个向量夹角是钝角，则该钝角减去90°为所求的线面角．
(3)利用平面的法向量求二面角时，若法向量的夹角与二面角的平面角同为锐角或钝角，则法向量的夹角就是所求的二面角，否则法向量的夹角的补角才是所求的二面角．
空间向量的线性运算
选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量做新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求．
(1)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14
A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (A
B →＋AD →
)，则
x ＝________，y ＝________．
(2)空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量GH →
.
[解] (1)
由题知AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →
)，
从而有x ＝1，y ＝1
4.
故填1和1
4
.
(2)取BC 中点D ，连结AD 、OD ，则G 、H 分别在AD 、OD 上．所以OD →＝12
(OB →＋OC →
)，
又OG →＝OA →＋AG →，而AG →＝23
AD →，AD →＝OD →－OA →，
所以OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →
)＝a ＋23×12(b ＋c )－23a ＝13(a ＋b ＋c )，
又因为OH →＝23OD →＝13(OB →＋OC →
)＝13(b ＋c )，
所以GH →＝OH →－OG →＝1
3(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13
a .
共线向量、共面向量
利用空间向量的共线定理、共面定理可以解决立体几何中的线线、线面、面面平行问题，及三点共线、四点共面的问题．
已知四点A (1，0，1)，B (4，4，6)，C (2，2，3)，D (10，14，17)，求证：四点A 、
B 、
C 、
D 在同一平面上．
[证明] 因为A (1，0，1)，B (4，4，6)，C (2，2，3)，D (10，14，17)，所以AB →
＝(3，4，5)，AC →＝(1，2，2)，AD →
＝(9，14，16)．
设AD →＝xAB →＋yAC →， 则⎩⎪⎨⎪
⎧3x ＋y ＝94x ＋2y ＝145x ＋2y ＝16
， 解之得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，
所以AD →＝2AB →＋3AC →， 所以AD →，AB →，AC →
共面，
即四点A ，B ，C ，D 在同一平面上．
用向量法解决平行与垂直问题
用向量法解决平行与垂直问题，可以不添加辅助线，不作辅助面，将几何问题代数化，能很方便地解决问题，不过要注意直线的方向向量与平面的法向量的求法．
如图所示，已知P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：
(1)MN ∥平面P AD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .
[证明] (1)法一：如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz .
设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b ，则有P (0，0，a )，A (0，0，0)，D (0，a ，0)，C (b ，a ，0)，B (b ，0，0)，
因为M ，N 分别为AB ，PC 的中点， 所以M ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，N ⎝⎛⎭
⎫b 2，a 2，a 2. 所以MN →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，AP →＝(0，0，a )，AD →
＝(0，a ，0)， 所以MN →＝12AD →＋12AP →
.又因为MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .
法二：易知AB →
为平面P AD 的一个法向量．
AB →＝(b ，0，0)，又MN →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，所以AB →·MN →＝0，所以AB →⊥MN →
.又MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .
(2)由(1)可知：P (0，0，a )，C (b ，a ，0)，M ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，D (0，a ，0)．所以PC →
＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝⎛⎭
⎫b 2，0，－a ，PD →
＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0⇒bx 1＋ay 1－az 1＝0，
n 1·PM →＝0⇒b 2x 1－az 1＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．
设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0⇒bx 2＋ay 2－az 2＝0，n 2·PD →＝0⇒ay 2－az 2＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2，
令z 2＝1，则n 2＝(0，1，1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥
平面PDC .
利用空间向量求空间角
角这一几何量在本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想非常重要，三种空间角都可以化为平面角来计算，因此可进一步转化为空间向量的夹角求解．
(1)若两条异面直线的方向向量分别为a ，b ，所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|. (2)直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|.
(3)二面角的平面角为θ，两个半平面的法向量分别为n 1，n 2，则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，根据情况确定．
已知单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是棱B 1C 1和C 1D 1的中点．试求： (1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值； (3)二面角C 1­DB ­B 1的正切值． [解]
建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0，0，0)，A (1，0，1)，B (0，0，1)，D 1(1，1，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，0，F ⎝⎛⎭
⎫1
2，1，0，D (1，1，1)． (1)因为AD 1→＝(0，1，－1)，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，
所以cos 〈AD 1→，EF →
〉＝（0，1，－1）·⎝⎛⎭⎫12，12，02×
2
2
＝12，
即AD 1与EF 所成的角为60°.
(2)由图可得BA →
＝(1，0，0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈BA →，F A →
〉
＝
（1，0，0）·⎝⎛⎭
⎫12，－1，11×
⎝⎛⎭
⎫122
＋（－1）2＋12
＝13，所以cos θ＝223
. (3)设平面D 1DBB 1的一个法向量n 1＝(x ，y ，z )，。