第5章(5.3回溯算法)

例5－5： n皇后问题
2、问题分析
该问题可用一个n元数组x[ ]来表示n皇后问题的解； x[ i]表示皇后i放在棋盘的第i行，第x[ i]列； 皇后i与皇后j之间互相不攻击的条件： ①不再同一行： i≠j ②不再同一列： i≠j，且 x[ i] ≠ x[ j] ③不再同一斜线(对角线)上： （i, x[ i]）与 （j, x[ j]） 主对角线及其平行线特点：斜率为-1 或 (行号-列号) 相等; 不在主对角线： i - x[ i] ≠ j - x[ j] 负对角线及其平行线特点：斜率为1 或 (行号+列号) 相等; 不在负对角线： i + x[ i] ≠ j + x[ j] ③ 等价于| i- j | ≠ | x[ i] - x[ j] |
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=t;i<=n;i++) { swap(x[t], x[i]); if (legal(t)) backtrack(t+1); swap(x[t], x[i]); } }
补充： 0－1背包问题
x[4]=2
x[4]=3 x[4]=4 x[4]=1 x[4]=3
x[4]=1
17
21
23
26
28
31
33
例5－5： n皇后问题
4、算法描述
double nqueen(int nn) { int n=nn; int sum=0; // 放置皇后的方案数 int x[ n]; // x[ i]表示皇后i放在棋盘的第i行，第x[ i]列 for (int i=0;i<=n; i++;) x[ i]=0; // 初始化 backtrack(1); return sum; } // 回溯搜索解空间
例5－5： n皇后问题
4、算法描述 对于n皇后问题的解空间共有nn个叶子节点，最多 有n* nn个节点； 最坏的情况下每个节点都要用place函数判断是否 可行，每一个节点判断时间为O(n)； 故该算法的时间复杂度记为O(n* n*nn)＝ O(nn+2)
5.3.4 满m叉树
• 当所给问题的n个元素中每一个元素均有m种选择， 要求确定其中的一种选择，使得对这n个元素的选择 结果组成的向量满足某种性质，即寻找满足某种特性 的n个元素取值的一种组合。 这类问题的解空间树称为满m叉树。 • 解的形式为n元组（x1,x2,……,xn），分量 xi(i=1,2,……,n)表示第i个元素的选择为xi
2、基本思路 ①确定问题的解空间，并将解空间组织成易于查找的 子集树的形式；
1 1 2 1 3 0 9
0
6
1 10 0 8
0 13
1
4
0
5
1 7
1 11
0 12
Hale Waihona Puke 1 14015
②以深度优先的方式搜索整个解空间，遇到不满足 要求的节点就回溯，沿另一个分支继续搜索；
3、举例 背包载重：M＝10 物品重量：w1＝6、w2＝5、w3＝5 物品价值：p1＝42、p2＝25、p3＝30 首先，定义问题的解空间（子集树）； 然后，深度优先搜索解空间(无剪枝函数)；
x[2]=1 19
x[2]=4 x[2]=3 24 29
13
x[3]=2 x[3]=3
…
… …
x[3]=4 9 11
x[3]=3 x[3]=1 x[3]=1 x[3]=3 x[3]=4 x[3]=4
14
16
20
x[3]=4
22
25
27
30
32
x[4]=4
x[4]=3 x[4]=4 x[4]=3 x[4]=3
1、问题提出 已知n个物体重量为：w1、w2… n个物体价值为：p1、p2… 背包载重为：M
两类背包问题：
①普通背包问题（贪心算法） 物体i可以部分的装入背包，若物体i的一部分xi装入 背包，则装入的重量为wi*xi，装入的价值为pi*xi； ②0－1背包问题（回溯算法） 每一件物体不能分割，要么全部放入，要么全部不 放入，称为0－1背包问题；
void backtrack ( int t) { if( t>n ) // 搜索到叶子节点，方案数＋1，t是层数 sum++; else for( int i=1; i<=n; i++) // 第t个皇后行号t，i列号 { x[ t]=i; // 将第t个皇后放在t行，i列 if( place(t) ) // 判断是否有冲突 backtrack (t+1); // 放下一个皇后 } } void place( int k) { for( int j=1;j<k; j++ ) //k之前的皇后1…k-1是否与k冲突 if( math.abs(k-j)=math.abs(x[ k]-x[ j]) ) return false; else return true; }
A1=4 A2=5
A3=4
A4=4
A5=5
A6=4
A7=5
A8=3
Step1：按照节点度数，先用第一种颜色对A7着色，与A7不相邻节点A2用 同一颜色着色； Step2：按节点度，用第二种颜色对A5着色，与A5不相邻节点A1用同一颜 色着色； Step3：按节点度，用第三种颜色对A4着色，与A4不相邻节点A3， A8用同 一颜色着色； Step4：按节点度，用第四种颜色对A6着色；
例5－11： 图的着色问题
1、问题提出
给定无向连通图G和m种不同的颜色； 用这m种颜色为图G的各个顶点着色，是否有一种方法使得 图G中每一条边的两个顶点着不同颜色； 典型的应用： 地图着色，在一个平面或球面的地图，使用4种颜色进行着 色，可以使相邻国家的颜色不一致。 例： 如左图表示一张地图，把该地图转换成平面图如右图.
5.3
回溯算法
1、回溯算法基本思想 回溯算法是一种搜索算法，其基本思想是在搜索尝试中找问 题的解，当不满足求解条件就”回溯”返回，尝试别的路径。 通俗地讲：回溯法是一种“能进则进，进不了则换，换不了 则退”的基本搜索方法 基本思想： 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出 发搜索解空间树。 算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含 问题的解。 如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层 向其祖先结点回溯； 否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
5、算法分析
该算法计算上界函数bound时间复杂度为O(n); 在最坏的情况下，有2n/2个右孩子节点需要计算上界； 故该算法的时间复杂度记为O(n*2n-1)
例5－5： n皇后问题
1、问题提出
在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际 象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一 斜线上的棋子。 令n＝8； 8皇后问题：等价于在8×8格的棋盘上放置8个 皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 Q 8 Q 1 2 3 4 5 6 7 8
x[3]=2
x[1]=2
x[1]=3 18
x[1]=4
x[2]=1 19
x[2]=4 x[2]=3
24 29
13 x[3]=4 11
x[3]=2 x[3]=3
…
32
x[3]=1 x[3]=1 x[3]=3 x[3]=3 x[3]=4 x[3]=4
14
16
20 x[4]=4
22
25
27
30
… …
x[4]=3 x[4]=4 x[4]=3 x[4]=3 x[4]=4 5 7 10 12 15
解空间树：子集树与排列树
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); } }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
x1=1
x1=2
x1=3
x2=1 x3=1 2 3
2 1 2
3 3 1 2 3 1 2
x2=1 3 1
2 2 3
3 3 1
x2=1 3 1
2 2 3
3 1 3
2
2
2
满3叉树
树的根结点：初始状态 中间结点：某种情况下的中间状态 叶子结点：结束状态 分支：从一个状态过渡到另一个状态的行为 从根结点到叶子结点的路径：一个可能的解（n个元素 值的一个组合） 子集树的深度：等于问题的规模。
4 1 3 5 2 2 5 3
1
4
2、解决方法
法1：well—powell算法 step1：将图的节点按度数递减排序； step2：用第1种颜色给第1个节点着色； 并按节点排列顺序，用同一种颜色给对不相邻的节 点 着色； step3：按节点度数，顺序选择下一个节点用step2方法着 色，直到所有节点全部着色；
1 0 1 2
(当前价值+剩余价值) 0+55>42故进入右子树
9
1 3
0
6
1
(当前价值+剩余价值) 0+30<55,不进入右子树 0 13
10 0
1
4
0
5
1
7
1
8
0
1
0 15
11
12
14
bestp=55
4、算法描述
double knaspack(double p[ ], double w[ ], double c) //c是背包载重 {double cw=0; //当前重量 double cp=0; //当前价值 double bestp=0; //当前最优装载价值 backtrack(1); //回溯搜索解空间 return bestp; }