勾股定理公开课课件(新)

问题：正方形C的面积要如何求呢？与同伴进行交流。
方法一：
“补”成一个边长为整数格 的大正方形，再减去四个 直角边为整数格的三角形
S正方形c
7 7 4 (1 3 4) 2
49 46 25（面积单位）
C A
B
方法二：
分割成四个直角边为 整数格的三角形，再 加上一个小方格。
S正方形c
4 1 431 2
下节课我们将重点介绍勾股定理的几种经典“无字”证明 。
图1-1
图1-2
勾股定理的由来
走 进 数 学
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉 斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世 纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录 着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四， 经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角 的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段话 的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4 （长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事 实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话 中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。
(1) 已知: a=5, b=12, 求c
(2) 已知: b=8,•c=10 , 求a
(3) 已知: a=7, c=25, 求b
A
bc CaB
解：由勾股定理得：
(1) c a2 b2
(2) a c2 b2 (3) b c2 a2
52 122 13
102 82 6
252 72 24
4.准备四张形状相同大小一样的直角三角形硬纸片， 试着拼一拼，看看能拼成哪些图形？
问题五 台风袭击中，一棵大树在离地面9米 处断裂，树的顶部落在离树根底部12米 处。这棵树原来有多高？
问题五 台风袭击中，一棵大树在离地面9米 处断裂，树的顶部落在离树根底部12 米处。这棵树原来有多高？
B
9 米
A
直角三角形三边的关系
这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票 上的图案是根据一个著名的数学定理设计的。
这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票 上的图案是根据一个著名的数学定理设计的。
想一想：
小明妈妈买了一部29
英寸（74厘米）的电视
机，小明量了电视机的
屏幕后，发现屏幕只有
58厘米长和46厘米宽，
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五 世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几 里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》 时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个 定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一 定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这 个定理又有人叫做“百牛定理”．）
C A
B
25（面积单位）
综上：
我们得出：SA+SB=SC
即：a2+b2=c2
Aa
C c
b B
也就是说：在一般的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
概括：
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学语言描述：
如图，在Rt△ABC中，若a、b 为直角边，c为斜边，则有 a2+b2=c2
辛卜松证明、
陈杰证明。
（三）应用新知，解决问题
例1：求出下列直角三角形中未知边x的长度
（1）
4
分析：由勾股定理得：
32 42 x2
解：由勾股定理得：
x
x2 9 16
x2 32 42
3
即 x2 25
∴ x 25 （舍去负的）
∴ x 32 42
=5
∴ x 25 5
（2） x
6 10
他觉得一定是售货员搞
错了。你同意他的想法
58厘米
吗？你能解释这是为什 么吗？
46厘米
忆一忆：
如图：在Rt△ABC中，∠C=90°
A
b
c
∠C所对的边AB：斜边 c
∠A所对的边BC：直角边 a
C a B ∠B所对的边AC：直角边 b
问题：在直角三角形中，a、b、c三条边之间 到底存在着怎样的关系呢？
看一看
了二十多种精彩的证法。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简
洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还
有:
欧几里得证明、
利用相似三角形性质证明、
杨作玫证明、
李锐证明、
利用切割线定理证明、
利用多列米定理证明、
作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明、
c
12米
练习：
补充： 1、求下列直角三角形中未知边的长:
A
B
2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下， 树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
A
B
再见
方法总结：
用直角三角形三边表示三个正方形面积——观察归 纳发现勾股定理——任意画一个直角三角形，再验 证自己的发现。
课后作业：
1.边长为2cm的正方形的对角线为
cm。
2.矩形房间的周长为14米，长是4米，则此矩形
房间的对角线长度为
米。
3.等腰三角形的腰是6米,底是8米,则此等腰三角形
底边上的高为
米。
勾股定理的证明方法
证 法 一
走
证
进
法 二
数
学
证 法
史
三
（邹元治证明）
（赵爽证明） 赵爽:我国古代数学家
勾股定理的证明方法
证 法 四
走证
进
法 五
数
学
证 法
史六
（加菲尔德证明） 加菲尔德:第二十任总统
（梅文鼎证明） 梅文鼎:清代天文、数学家
（项明达证明） 项明达:清代数学家
勾股定理的证明
走 进 数 学 史
小试牛刀
2的、长若度一个直角三角形的三边长分别为x3，4， ，求x 第三边
（精确到0.1）
（1）如图
（2）如图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4x
x4
3
解：由勾股定理得：
x2 32 42
∴ x 32 42
5
3
解：由勾股定理得：
x2 42 32 ∴ x 42 32
2.6
∴ x 5 或 x 2.6
例2
请同学们利用这节课学到的勾股定理及 变形公式解决我们课前提出的问题：
（1）若已知a，b，由勾股定理得： c2 a2 b2
则求c的公式为： c a2 b2
A
（2）若已知a，c，由勾股定理得： b2 c2 a2
则求b的公式为： b c2 a2
（3）若已知b，c,由勾股定理得： a2 c2 b2
b
c
CaB
则求a的公式为： a c2 b2
小试牛刀
1. 如图，在直角三角形ABC中, ∠C=900,
解：如图，在Rt△ABC中， AB=46厘米，BC=58厘米
46厘米
58厘米
A
46厘米
?厘米
由勾股定理得：AC= AB2 BC2
462 582
≈74（厘米）
D
∴不同意小明的想法。
B
C
58厘米
内容总结：
（1）运用勾股定理的条件是什么？
（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？
（3）勾股定理有什么用途？
B AⅡ
C D
Ⅲ
Ⅰ
“勾股树”
“勾股树”
勾股定理的“无字”证明
勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的 证明方法很多．1940年卢米斯（E.S. Loomis）专门编 辑了一本证明勾股定理的小册子——《毕氏命题》，作 者收集了这个著名定理的370种证明。勾股定理在我国 最早是由三国时期的数学家赵爽在《周髀算经》中证明 的，他附有一张“弦图”（图1-1）.图1-2是在北京召开 的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图 案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就。
A
bc CaB
勾 股
我国是最早了解勾股定理的国家之一。在古代，人们把 弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为 "股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 “勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ， 斜边称为弦 。
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千
百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学
家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵
的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既
重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人
炒作，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证
明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供
解：由勾股定理得：
x2 102 62
∴ x 102 62 =8
注意：要根据图形找出未知边是斜边还是直角边，勾 股定理要用对。
从上面这两道例题，我们知道了在直角三角形中， 任意已知两边，可以求第三边。
已知直角三角形的其中两边，可以用勾股定理求出第三边 即勾股定理的三个变形公式：
如图，在Rt△ABC中，
相传二五OO年 前，有一次毕达哥拉 斯去朋友家作客，发 现朋友家用砖铺成的 地面反映了等腰直角 三角形三边的某种数 量关系。我们也来观 察右边的图案，看看 你能发现什么？