初中数学中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解
一次方程与方程组
一元一次一元二次方程及应用考点一 等式及方程的有关概念1．等式及其性质用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．等式的性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式，叫做方程．(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解，也叫做根)．(3)求方程解的过程，叫做解方程． 考点二 一元一次方程 1．一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，叫做一元一次方程．ax ＋b ＝0(a ≠0)是一元一次方程的标准形式．2．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 考点三 二元一次方程组及解法1．二元一次方程组几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组； 2．解二元一次方程组的基本思路：消元3．二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法； 考点四 列方程(组)解应用题1．列方程(组)解应用题的一般步骤：审、设、列、解、检验、答 2．列方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系．一元二次方程及应用考点一 一元二次方程的定义在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．考点二 一元二次方程的常用解法1．直接开平方法：如果x 2＝a(a ≥0)，则x ＝±a ，则x 1＝a ，x 2＝－ a. 2．配方法3．公式法：方程ax 2＋bx ＋c ＝0且b 2－4ac ≥0，则x ＝－b±b 2－4ac 2a.4．因式分解法考点三 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．考点四 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac.1．b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则x 1,2＝－b±b 2－4ac2a；2．b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a ；3．b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根；考点五 一元二次方程根与系数之间的关系若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝c a经典例题例一(1)已知⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧mx ＋ny ＝8nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ．4B ．2 C.2 D ．±2(2)已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．3例二(1)解方程：2x ＋13－10x ＋16＝1. (2)解方程组：⎩⎨⎧3x ＋4y ＝19，x －y ＝4.(2)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.例三如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC 边的长．考点训练题 一、选择题1．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝12x －y ＝5的解是( )A.⎩⎨⎧ x ＝－1y ＝2B.⎩⎨⎧ x ＝－2y ＝3C.⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1D.⎩⎨⎧x ＝2y ＝－12、方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝－1D ．x ＝3或x ＝03．以方程组⎩⎨⎧y ＝－x ＋2y ＝x －1的解为坐标的点(x ，y)在平面直角坐标系中的位置是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若|3a ＋b ＋5|＋(2a －2b －2)2＝0，则2a 2－3ab 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－45、．已知⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1和⎩⎨⎧x ＝1y ＝1是方程y ＝kx ＋b 的解，则k 、b 的值分别是( )A ．k ＝－2，b ＝1B ．k ＝2，b ＝3C ．k ＝－2，b ＝－1D ．k ＝2，b ＝－16．一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两根分别是x 1、x 2，则x 1＋x 2等于( ) A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－67．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是( )A ．168(1＋a%)2＝128B ．168(1－a%)2＝128C ．168(1－2a%)＝128D ．168(1－a 2%)＝1288．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( ) A ．(x ＋2)2＝1 B ．(x －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＝9 D ．(x －2)2＝99．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<1 B ．a<1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠010．在一幅长80 cm 、宽50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸要制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )A ．x 2＋130x －1 400＝0B ．x 2＋65x －350＝0C ．x 2－130x －1 400＝0D ．x 2－65x －350＝011．若方程组⎩⎨⎧ 2m －3n ＝133m ＋5n ＝30.9的解是⎩⎨⎧ m ＝8.3n ＝1.2，则方程组⎩⎨⎧2(x ＋2)－3(y －1)＝133(x ＋2)＋5(y －1)＝30.9的解是( )A.⎩⎨⎧ x ＝8.3y ＝1.2B.⎩⎨⎧ x ＝10.3y ＝2.2C.⎩⎨⎧ x ＝6.3y ＝2.2D.⎩⎨⎧x ＝10.3y ＝0.212．若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5k x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43 二、填空题13．1．方程(x －1)2＝4的解是__________14．方程x 2－3x ＋1＝0的解是__________．15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．16．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是__________．17．设x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则x 21＋3x 1x 2＋x 22的值为________18、已知x ＝－1是方程x 2＋mx －5＝0的一个根，则m ＝________，方程的另一根为________．20．如图，在宽为20 m 、长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540 m 2，求道路的宽．21．解方程(组)．(1)当m 取什么值时，代数式5m ＋14与5(m －14)的值互为相反数；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1＝y ，2(x ＋1)－y ＝6.(3) x 2－6x －6＝0；（配方法）(4)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.（因式分解法）22、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元23．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1 228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%.(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？ (2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元，根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1 228台汽车用户共补贴了多少万元？答案1—5 DDADD 6-10ABDBB 11-12CB 13、【答案】120(1－x)2＝10014、【答案】x 1＝3＋52，x 2＝3－5215、【解析】∵x 1、x 2是x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，∴x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3，∴x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10.16、【解析】∵方程有实数根，∴b 2－4ac>0，∴12－4(m －1)≥0,4m ≤5，m ≤54.∵方程是关于x 的一元二次方程，∴m －1≠0，∴m ≠1，∴m ≤54且m ≠1.17、【解析】由题意得x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－2，所以x 21＋3x 1x 2＋x 22＝x 21＋2x 1x 2＋x 22＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2＋x 1x 2＝33＋(－2)＝9－2＝7. 18、【答案】－4 x ＝519、【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－220、解：设道路的宽为x m ，根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，∴x 2－52x ＋100＝0，∴x 1＝2，x 2＝50(不合题意，舍去)21、解：(1)由题意得5m ＋14＋5(m －14)＝0,5m ＋14＋5m －54＝0, ∴10m ＝1，m ＝110.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1＝y ①2(x ＋1)－y ＝6 ②原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－3 ①2x －y ＝4 ②，①×2得2x －6y ＝－6 ③，②－③得5y ＝10，∴y ＝2，把y ＝2代入②，得x ＝3，∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2. 3、【解答】(1)x 2－6x －6＝0 移项，得x 2－6x ＝6，配方，得(x －3)2＝15，∴x －3＝±15. ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. 4、(x －3)2＋4x(x －3)＝0换公因式，得(x －3)(x －3＋4x)＝0，(x －3)(5x － 3)＝0.∴x －3＝0或5x －3＝0.∴x 1＝3，x 2＝35.22、解：(1)设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x 台、y 台，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝960x (1＋30%)＋y (1＋25%)＝1 228，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝560y ＝400.。
中考数学复习考点知识与考点题型专题讲解48---一次方程组
较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．
【举一反三】
1.（山东东营第 19 题，7 分）
解方程组
：
x y 6， 2x y 9．
x 5，
【答案】：
y
1．
【解析】
试题分析：利用加减消元法即可。 试题解析：解：①+②得：3x=15，③，∴x=5，将 x=5 代人①，得：5+y=6，∴y=1，∴
的解是 ．
【点睛】(1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中一个 未知数的系数的绝对值是 1 或一个方程的常数项为 0 时，用代入法较方便；当两个方 程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中 同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方程的两边 同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法比 较简便 ；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数
，
解得：x=2k-3，y=2-k，
代入 x+y=-12 中，得：2k-3+2-k=-12，
解得：k=-11．
考点：二元一次方程组的解．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. （2016 海南省第 2 题）若代数式 x+2 的值为 1，则 x 等于（ ）
A．1 B ．﹣1 C．3 D．﹣3
【答案】B.
【解析】
2x 3y k 已知方程组 3x 5y k 1 的解 x，y 的和为-12，求 k 的值. 【答案】-11． 【解析】 试题分析：把 k 看做已知数求出方程组的解表示出 x 与 y，代入 x+y=-12 计算即可求出
中考数学总复习考点知识讲解课件5---一次方程(组)及其应用
❹等式的基本性质 (1)等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．即如果a＝b，那
么a±c＝__b_±__c__．
(2)等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即如果
b
a＝b，那么ac＝__b_c__， a ＝__c__(c≠0)．
c
❺解一元一次方程时，目标是把原方程化为x＝c的形式，一般步骤为： (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为1.
命题角度❶ 列一次方程(组) 例2 (2018·江西)中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一， 其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八 两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2 头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金 x两、y两，依题意，可列出方程组为 ．
中考数学总复习考点知识讲解课件 一次方程(组)及其应用
知识点一 一元一次方程及其解法
❶方程：含有__未__知__数___的等式叫做方程．
❷方程的解：使方程左、右两边的值相等的__未__知__数___的值，叫做方程的 解．
❸一元一次方程：只含有_一__个__个未知数(元)，未知数的次数都是__1__， 等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
选择代入消元法或加减消元法的技巧
知识点三 一次方程(组)的应用
❶常见问题及基本关系式
实际问题巧设未知数 (1)题设中给出A是B的倍数或A比B多(少)时，常设B，再表示A； (2)题干中给出a个甲和b个乙；m个甲和n个乙时，常设甲为x，乙为y； (3)题干中给出甲与乙的和，a个甲和b个乙，可分别设甲为x，乙为y.
例1 (2015·河北)利用加减消元法解方程组 法正确的是( ) A．要消去y，可以将①×5＋②×2 B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5) C．要消去y，可以将①×5＋②×3 D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
中考数学知识考点一次方程
中考数学知识考点一次方程
中考数学知识考点:一次方程
算术解法与代数解法
方程的解与解方程的根据
未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后，就使方程变成一个恒等式
能是方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，也叫做根
求方程解的过程，叫做解方程
解方程的根据是运算通性及等式性质
可以由表及里地去掉括号，并将含有相同未知数且含未知数的次数也相同的各项结合起来，合并在一起这叫做合并同类项
把方程一边的任一项改变符号后，移到方程的另一边，叫做移项简单说就是移项变号
把方程两边各同除以未知数的系数(或同乘以系数的倒数)，就得到未知数应取的值
综上所述，得到解方程的方法、步骤：去括号、移项变号、合并同类项，使方程化为最简形式ax=b(a!=0)、除以未知数的系数，得出x=b/a(a!=0)
两种解法的分析、对比
未知数和方程
用字母x、y、等，表示所要求的数量，这些字母称为未知数用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子，叫做代数式
含有未知数的等式，叫做方程
在一个方程中，所含未知数，又成为元;
被+、-号隔开的每一部分称为一项在一项中，数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数
某一项所含有的未知数的指数和，成为这一项的次数
不含未知数的项，成为常数项当常数不为零时，它的次数是0，因此常数项也称为零次项。
一次方程组知识点七年级
一次方程组知识点七年级一次方程组是指同时含有两个及以上未知数，每个未知数的最高次数都是1的方程组。
在七年级数学中，我们需要学习一次方程组的基本概念、解法以及应用。
一、基本概念一次方程组的一般形式为：{ax + by = c{dx + ey = f其中，a,b,c,d,e,f均为常数，且(a,b)≠(0,0)，(d,e)≠(0,0)。
这个方程组表示的是在两个平面坐标系中，有两条直线，分别为：ax+by=c和dx+ey=f二、解法方法1：消元法我们可以通过消元法将两个方程中某一个未知数的系数抵消，从而得到一个只含有一个未知数的方程：将第一个方程中的x消去，得到by = c - ax将第二个方程中的x消去，得到ey = f - dx然后我们再将这两个方程相加即可消去y，得到(ae - bd)x = ce - af最后得到x的值，在带入原来的方程组中求出y的值，即可求出方程组的解。
方法2：代入法代入法是指，我们可以将一个方程中的未知数用另一个方程中的未知数来表示，再带入到另一个方程中求解。
以方程组为例：{2x + y = 5{x - y = 1我们可以用第二个方程中的x来表示y：x - 1 = y然后再将这个式子带入到第一个方程中，得到2x + (x - 1) = 5解方程可得x = 2，再带回去求得y = 1，即可求出方程组的解。
三、应用一次方程组可以用来描述很多实际场景，比如解决两个未知数的问题，或者计算平面上两条直线的交点坐标等。
例如，如果知道一个数加上另一个数等于10，且这两个数的比为3：2，我们可以列出如下的方程组：{x + y = 10{x:y = 3:2然后通过解方程组可以得到x = 6，y = 4，即这两个数分别为6和4。
又比如，如果知道两条直线的方程分别为y = 2x + 1和y = -0.5x + 3，我们可以列出如下的方程组：{2x - y = -1{0.5x + y = 3然后通过解方程组可以得到x = 1，y = 3，即这两条直线的交点为(1,3)。
初中一元一次方程知识点归纳
初中一元一次方程知识点归纳
初中一元一次方程知识点归纳如下：
1. 一元一次方程的定义：一元一次方程是指方程中只有一个变量，且变量的最高次数为1的方程。
2. 方程的基本形式：一元一次方程的基本形式为ax+b=0，其
中a和b是已知实数，且a≠0。
3. 解方程的步骤：解一元一次方程的步骤主要包括去括号、合并同类项、移项、合并同类项、化简等。
4. 解方程的性质：一元一次方程的解具有唯一性，即要么无解，要么有唯一解。
5. 方程的解表示形式：一元一次方程的解有三种表示形式，即唯一解、无解和无穷多解。
6. 解方程的方法：解一元一次方程的方法主要包括正向代入、逆向代入、等式交换等。
7. 使用方程解实际问题：一元一次方程可以应用于实际问题中，通过建立方程并解方程可以求解实际问题。
8. 方程的应用领域：一元一次方程在代数、几何、物理等领域中都有广泛的应用。
9. 方程的相关概念：一元一次方程与方程的根、方程的系数、方程的次数等相关概念有着密切的联系。
10. 方程的扩展：一元一次方程是一元线性方程的特殊情况，线性方程还有更高次数的形式，如二次方程、三次方程等。
【聚焦中考】中考数学总复习课件：第6讲 一次方程与方程组
(3)7x－12[x－21(x－1)]＝23(x－1)； (3)7x－12(12x＋12)＝23(x－1)，7x－14x－41＝23x－23，去分母， 得 84x－3x－3＝8x－8，73x＝－5，∴x＝－753 (4)3[2x－1－3(2x－1)]＝5.
(4)设 y＝2x－1，则 3(y－3y)＝5，－6y＝5，y＝－65， 即 2x－1＝－56，x＝112
二元一次方程(组)的解法
3x－5y＝3， 【例 2】 (2014·威海)解方程组：x2－y3＝1.
解：方程组整理，得33xx－ －52yy＝ ＝36① ②， ， ②－①，得 3y＝3，即 y＝1，将 y＝1 代入①，得 x＝83，则方程组
的解为x＝38 y＝1
【点评】用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的 系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运 算量较小，提高准确率．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
两个方法 (1)代入消元法；(2)加减消元法．
一元一次方程的解法
人教版九年级数学下 第5讲 一次方程(组) 中考知识点梳理
第5讲一次方程(组)
一、知识清单梳理
知识点一：方程及其相关概念
关键点拨及对应举例
1.等式的基本性质
(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c.
(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc， (c≠0)．
(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.
例：判断正误.
(1)若a=b,则a/c=b/c. (×)
(2)若a/c=b/c，则a=b. (√)
2.关于方程的基本概念
(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．
知识点二：解一元一次方程和二元一次方程组
3.解一元一次方程的步骤
(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；
(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；
(3)移项：移项要变号；
(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)；
(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.
(2)加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.
知识点三：一次方程(组)的实际应用
5.列方程(组)
解应用题的一般步骤
(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
(2)设未知数；
(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；
(4)解方程(组)；
(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；
初中数学知识归纳一次方程的解法与应用
初中数学知识归纳一次方程的解法与应用初中数学知识归纳：一次方程的解法与应用一次方程作为数学中最基础、最常见的方程之一，具有广泛的应用。
它在实际生活中用于解决很多实际问题，如物品价格计算、运动速度计算等。
本文将归纳总结一次方程的解法与应用。
一、一次方程的基本形式一次方程是指方程中的未知数的最高次数为1的方程。
它的基本形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
二、解一次方程的基本方法1. 逆运算法解一次方程的最常用方法是逆运算法。
对于一次方程ax + b = 0，我们可以先对方程两边同时进行某种运算，以消去b，然后继续逆向进行其他运算，最终得到未知数x的解。
2. 移项法移项法是解一次方程的另一种常见方法。
该方法通过将方程中的项移到等式的另一侧，从而得到未知数x的解。
例如，对于方程ax + b = c，我们可以将b移到等式的右侧，得到ax = c - b，再进一步化简求解。
3. 系数法系数法是一种解一次方程的便捷方法，它通过对方程的系数进行运算，得到未知数x的解。
例如，对于方程(3a + 2b)x = 3c + 4d，我们可以先将等式两边都除以(3a + 2b)，得到x = (3c + 4d)/(3a + 2b)，从而求得解。
三、一次方程的应用一次方程在实际问题中有着广泛的应用。
下面以两个例子来说明一次方程的应用。
1. 物品价格计算假设某商店举行打折活动，一种物品原价为p元，打八折后的价格为0.8p元。
若购买n件该物品共花费c元，如何求解打折前的原价p 呢？根据题目条件，我们可以建立如下的一次方程：0.8p × n = c根据移项法，我们可以将式子改写为：p = c/(0.8n)通过计算c和n的数值，即可得出原价p的解。
2. 运动速度计算假设一个人以恒定的速度v米/秒骑自行车行驶d米，行驶时间为t 秒。
如何求解这个人的速度v呢？根据题目条件，我们可以建立如下的一次方程：v × t = d根据移项法，我们可以将式子改写为：v = d/t通过计算d和t的数值，即可得出速度v的解。
中考知识点一元一次方程
中考知识点一元一次方程一元一次方程，是中学数学中最基础的代数方程之一，也是中考数学中必考的知识点。
学好一元一次方程，对于理解代数方程的基本概念和解题方法，以及培养逻辑思维和数学推理能力至关重要。
本文将从一元一次方程的定义、解题步骤和应用领域三个方面探讨中考知识点一元一次方程。
一、一元一次方程的定义一元一次方程是指一个未知数（通常用x表示）的系数为常数、次数为一的代数方程。
它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，a ≠ 0。
在方程中，a称为方程的系数，b称为常数项。
二、一元一次方程的解题步骤解一元一次方程的基本步骤如下：1. 将方程化简为形如ax = b的等式。
此时，通过变量的移项和合并同类项，将方程转化为最简形式。
2. 通过系数互除，将方程化简为x = k的形式，其中k是一个已知的数。
这一步的目的是为了让未知数x的系数变为1。
3. 检验解的正确性。
将求解得到的x值代入原方程，检验方程是否成立。
如果成立，则该解是方程的真解；如果不成立，则需重新检查求解过程，并找到错误之处。
三、一元一次方程的应用领域1. 实际问题中的应用：一元一次方程常常被应用于解决实际生活中的问题，如货币兑换、比例关系、运动问题等。
通过设置未知数和方程来建立实际问题与数学模型的联系，进而求解未知数的值。
2. 几何问题的应用：几何问题中的长度、面积、体积等关系，常可转化为一元一次方程求解。
通过代数方程的建立和求解，可以解决诸如平面几何和立体几何等问题。
3. 经济学中的应用：一元一次方程可以应用于经济学中的成本、收益、价格等变量之间的关系。
通过建立方程，可以分析经济问题，并求解相关的未知数。
综上所述，一元一次方程在中考数学中是一个重要的知识点。
掌握一元一次方程的定义、解题步骤和应用领域，对于学生理解代数方程的基本概念和解题方法，以及培养逻辑思维和数学推理能力都具有重要的意义。
因此，在复习阶段要重点加强对一元一次方程的学习和掌握，以提高数学解题能力和应用能力。
中考数学知识点梳理第5讲 一次方程(组)
(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；
(3)移项：移项要变号；
(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)；
(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.
第二单元方程(组)与不等式(组)
第5讲一次方程(组)
一、知识清单梳理
知识点一：方程及其相关概念
关键点拨及对应举例
1.等式的基本性质
(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c.
(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc， (c≠0)．
(2)加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.
知识点三：一次方程(组)的实际应用
5.列方程(组)
解应用题的一般步骤
(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
(2)设未知数；
(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；
(4)解方程(组)；
(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；
(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．
(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．
(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．
在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.
例：若(a-2) 是关于x的一元一次方程，则a的值为0.
(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
【数学中考一轮复习】一次方程(组) (含答案)
第三章 方程（组）与不等式（组）3.1 一次方程（组）考点突破考点一 一元一次方程及其解法 典例1 解方程:131223=+--x x . 思路导引方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上.规律总结解一元一次方程的一般步骤是:①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化1.注意:在去分母时，应该将分子用括号括上.切勿漏乘不含有分母的项. 跟踪训练11.一元一次方程2x ＋1＝3的解是x ＝___________.2.解方程:312122-+=--x x x .3.以下是圆圆解方程13321=--+x x 的解答过程. 解:去分母，得3（x ＋1）-2（x-3）＝1. 去括号，得3x ＋1-2x ＋3＝1. 移项，合并同类项，得x ＝-3.圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.考点二 一元一次方程的应用典例2为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？思路导引设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进x-2米.根据“甲工程队独立工作2天的工作量＋甲乙合作1天的工作量＝26米”列出方程，然后求工作时间.规律总结本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. 跟踪训练21.由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（）A.230元B.250元C.270元D.300元2.暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图所示，请你为广告牌填上原价.原价:___________元.3.课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？考点三二元一次方程组的解法典例3 解二元一次方程组:⎩⎨⎧=+=+.93822y x y x ，思路导引方程组利用加减消元法或代入消元法求出解即可.规律总结此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 跟踪训练3解方程组⎩⎨⎧7.＝y ＋3x ，1＝y -x考点四 二元一次方程组的应用典例4 某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？ 思路导引设改进加工方法前用了x 天，改进加工方法后用了y 天，根据6天共加工竹笋22吨，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论.规律总结本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键. 跟踪训练41.我国古代数学名著《孙子算经》中记载:“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是:用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳长y 尺，那么可列方程组为（ ）A.⎩⎨⎧-=+=15.05.4x y x yB.⎩⎨⎧-=+=125.4x y x yC.⎩⎨⎧-=-=15.05.4x y x yD.⎩⎨⎧-=-=125.4x y x y 2.某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名. 3.一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时.（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？中考真题1.（2020·重庆）解一元一次方程x x 311)1(21-=+时，去分母正确的是（ ）A.3（x ＋1）＝1-2xB.2（x ＋1）＝1-3xC.2（x ＋1）＝6-3xD.3（x ＋1）＝6-2x2.（2020·嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组⎩⎨⎧②1＝y -2x ①，4＝3y ＋x 时，下列方法中无法消元的是（ ）A.①×2-②B.②×（-3）-①C.①×（-2）＋②D.①-②×3 3.（2020·内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子去量竿，却比竿子短一托”其大意为:现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x 尺.则符合题意的方程是（ ） A.21x ＝（x-5）-5 B.21x ＝（x ＋5）＋5 C.2x ＝（x-5）-5 D.2x ＝（x ＋5）＋54.（2020·鸡西）若⎩⎨⎧1＝b 2＝a 是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2523by ax by ax 的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ）A.3B.3，-3C.3D.3，-35.（2020·齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支2元，百合每支3元小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ）A.3种B.4种C.5种D.6种6.（2020·绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210 km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105 km.现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地.则B 地最远可距离A 地（ ） A. 120 km B. 140 km C. 160 km D.180 km7.（2020·株洲）关于x 的方程3x-8＝x 的解为x ＝___________.8.（2020·北京）方程组⎩⎨⎧7＝y ＋3x ，1＝y -x 的解为___________.9.（2020·沈阳）二元一次方程组⎩⎨⎧1＝y -2x 5,＝y ＋x 的解是__________.10.（2020·南京）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧，3＝y ＋2x ，1-＝3y ＋x 则x ＋y 的值为__________.11.（2020·绍兴）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧0＝A 2＝y ＋x 的解为⎩⎨⎧，1＝y ，1＝x 则多项式A 可以是______________（写出一个即可）.12.（2020·江西）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10.在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位.根据符号记数的方法，右下图符号表示一个两位数，则这个两位数是____________.13.（2020·常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定:每人每次限购5只.李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只.已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只.请问李红出门没有买到口罩的次数是__________次.14.（2020·湖北）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场.15.（2020·淄博）解方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.22128213y x y x ，16.（2020·广东）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=+431032y x y ax 与⎩⎨⎧=+=-152by x y x ，的解相同.（1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解.试判断该三角形的形状，并说明理由.17.（2020·山西）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）.某品牌电饭煲按进价提高50％后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元.求该电饭煲的进价.18.（2020·黄冈）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元，如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？参考答案考点突破典例1 解:去分母得:3（x—3）—2（2x＋1）＝6，去括号得:3x-9-4x-2-6，移项得：-x＝17，系数化为1得:x＝-17.跟踪训练11.12.解:去分母，得:6-3（x-2）＝6＋2（2x-1），去括号，得:6x-3x＋6＝6＋4x-2，移项，得:63.x-4x-6-6-2，合并同类项，得:-x＝-2，系数化为1，得:x-2.3.解:圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下:去分母，得3（x ＋1）-2（x-3）＝6. 去括号，得3x ＋3-2x ＋6＝6. 移项，合并同类项，得x ＝-3.典例2 解:设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进（x-2）米， 由题意，得2x ＋（x ＋x-2）＝26，解得:x-7. 所以乙工程队每天掘进5米，5726146+-＝10（天）， 答:甲乙两个工程队还需联合工作10天. 跟踪训练 2 1. D 2. 2003，解:设这些学生共有x 人，根据题意得286=-xx ，解得x ＝48.答:这些学生共有48人.典例3 解:⎩⎨⎧=+=+，②，①93822y x y x ，法1:②-①×3，得2x ＝3，解得:23=x ，把23=x 代入①，得y ＝-1， ∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-==123y x .法2:由②得:2x ＋3（2.x-y ）＝9， 把①代入上式，解得:23=x .把23=x 代入①，得y ＝-1， ∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-==123y x .跟踪训练 3解:⎩⎨⎧，②7＝y ＋3x ，①1＝y -x①＋②得:4x ＝8，解得:x ＝2， 把x ＝2代入①得:y ＝1，则该方程组的解为⎩⎨⎧1＝y 2＝x .典例4 解:设改进加工方法前用了x 天，改进加工方法后用了y 天，依题意，得:⎩⎨⎧，22＝5y ＋3x ，6＝y ＋x 解得:⎩⎨⎧ 2.＝y ，4＝x答:该合作社改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天. 跟踪训练4 1.A 2. 233.解:（1）设该轮船在静水中的速度是x 千米/小时，水流速度是y 千米/小时，依题意，得:⎩⎨⎧==，90）y -x ）4＋6，90）y ＋6x （（解得:⎩⎨⎧ 3.＝y ，12＝x答:该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时. （2）设甲、丙两地相距a 千米，则乙、丙两地相距（90-a ）千米，依题意，得:31290312--=+a a ，解得:a ＝4225. 答:甲、丙两地相距4225千米.中考真题1.D2.D3.A4.C5. B6. B7.4 8. ⎩⎨⎧==12y x 9.⎩⎨⎧==32y x 10.1 11，答案不唯一，如x-y12. 25 13.4 14. 915.解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+②，①.22128213y x y x①＋②，得:5x-10，解得x=2，把x ＝2代入①，得：6＋21y ＝8，解得y ＝4， 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==42y x .16.解:（1）由题意列方程组；⎩⎨⎧=-=+24y x y x ，解得⎩⎨⎧==13y x .将x ＝3，y ＝1分别代入31032-=+y ax 和x ＋by ＝15，解得34-=a ，b ＝12， ∴34-=a ，b ＝12.（2）012342=+-x x ，解得322484834=-±=x .这个三角形是等腰直角三角形. 理由如下:∵（23）2＋（23）2＝（26）2， ∴该三角形是等腰直角三角形. 17.解:设该电饭煲的进价为x 元.根据题意，得（1＋50％）x ·80％-128＝568.解得 ＝580. 答:该电饭煲的进价为580元.18.解:设每盒羊角春牌绿茶需要 元，每盒九孔牌藕粉需要y 元，依题意，得: ⎩⎨⎧，300＝3y ＋x ，960＝4y ＋6x 解得:⎩⎨⎧60.＝y ，120＝x答:每盒羊角春牌绿茶需要120元，每盒九孔牌藕粉需要60元.。
2022年中考数学一元一次方程、一元二次方程、一次函数知识点(学习)
中考数学知识点（一元一次方程、一元二次方程、一次函数）1.一元一次方程一、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800，2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.3.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b ±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么ca=cb三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.四、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=a(b).六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法)3. 列：根据题意列方程.4. 解：解出所列方程.5. 检：检验所求的解是否符合题意.6. 答：写出答案(有单位要注明答案)一元二次方程1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
(完整版)初三中考总复习-方程专题(免费的,很全)
方程复习一、一元一次方程归纳1：有关概念一元一次方程的概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程．2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项．基本方法归纳：判断一元一次方程时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳：未知数的系数必须不能为零．【例1】（2017湖南省永州市）x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1归纳2：一元一次方程的解法1、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式．2、解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．基本方法归纳：根据解一元一次方程的步骤计算即可．注意问题归纳：利用等式的性质2时注意：除数不能是零；解方程去分母时应该每项都乘；去括号时注意应该变号．【例2】解方程：305 64x x--=．归纳3：一元一次方程的应用1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】（2017湖南省常德市）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？练习题：1．（2017浙江省杭州市）设x ，y ，c 是实数，（ ）A ．若x =y ，则x +c =y ﹣cB ．若x =y ，则xc =ycC ．若x =y ，则cy c x = D ．若c y c x 32=，则2x =3y 2．（2016内蒙古包头市）若2（a +3）的值与4互为相反数，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．72-C ．﹣5D ．12 3.（2017丽水）若关于x 的一元一次方程x ﹣m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤24.（2017云南省）已知关于x 的方程2x +a +5=0的解是x =1，则a 的值为 ．5.（2016内蒙古赤峰市）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动43周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．6.（2017安徽省）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？二、二元一次方程归纳1：二元一次方程的有关概念1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．3、二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．4二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．基本方法归纳：判断一个方程是不是二元一次方程关键看未知数的个数和未知项的最高次数；判断方程组的解只需带入方程组组看是不是成立即可．注意问题归纳：判断一个方程是不是二元一次方程特别注意是：未知项的最高次数而不是未知数的次数．【例1】（2017四川省眉山市）已知关于x，y的二元一次方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，则a﹣2b的值是（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3归纳2：二元一次方程的解法基础知识归纳：解一元二次方程组的方法（1）代入法（2）加减法基本方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元．当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时，一般采用代入法；当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为2时，一般采用加减消元．注意问题归纳：根据题意选择适当的方法快速求解，注意计算中的错误．【例2】（2017广东省广州市）解方程组：5 2311x yx y+=⎧⎨+=⎩．归纳3：二元一次方程组的应用基础知识归纳：1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程组，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程组．（4）解方程组．（5）检验，看方程组的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程组→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程组再解方程组最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600﹣500）=87元】（1）甲定制了600MB 的月流量，花费48元；乙定制了2GB 的月流量，花费120.4元，求a ，b 的值．（注：1GB =1024MB ）（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB 的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB 的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m 的值．【例4】（2017四川省遂宁市）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？练习题：1．（2016贵州省毕节市）已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ）A ．m =1，n =﹣1B ．m =﹣1，n =1C ．m =13，n =43-D ．m =13-，n =432．（2017浙江省嘉兴市）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==b y a x ，则a ﹣b =（ ） A ．1 B ．3 C ． 41-D ．47 3.（2017内蒙古包头市）若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay +=⎧⎨-=⎩的解是1x b y =⎧⎨=⎩，则b a 的值为 ．4.（2016广西钦州市）若x ，y 为实数，且满足2(2)0x y +=，则y x 的值是 ．5.（2016四川省达州市）已知x ，y 满足方程组52251x y x y -=-⎧⎨+=-⎩，求代数式2()(2)(2)x y x y x y --+-的值． 6.（2017四川省乐山市）二元一次方程组2322+=-=+x y x y x 的解是 7.（2017内蒙古呼和浩特市）某专卖店有A ，B 两种商品，已知在打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元，A ，B 两种商品打相同折以后，某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？8.（2017四川省南充市）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？9.（2016湖南省长沙市）2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？三、分式方程☞考点归纳归纳 1：分式方程 的有关概念1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根． 基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳： 未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．【例1】（2017四川省成都市）已知x =3是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【例2】（2017四川省泸州市）若关于x 的分式方程2322x m m x x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．归纳 2：分式方程的解法 1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．【例3】（2017上海市）解方程：231133x x x -=--．归纳 3：分式方程的应用 1、分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例4】（2017内蒙古通辽市）一汽车从甲地出发开往相距240km 的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min 到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．练习题：1.（2017四川省凉山州）若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a=+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或32．（2017山东省聊城市）如果解关于x 的分式方程2122m x x x-=--时出现增根，那么m 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．4 D ．﹣43．（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤14.（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．165.（2016重庆市）如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ）A ．﹣3B ．0C ．3D ．96.（2017内蒙古赤峰市）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．四、一元二次方程五、一元一次不等式（组）归纳 1：有关概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3．用数轴表示不等式的方法4．一元一次不等式：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5．一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．归纳2：不等式基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】（2017江苏省常州市）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0B．x﹣y＞0C．x+y＜0D．x﹣y＜0归纳3：一元一次不等式（组）的解法1．解一元一次不等式的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．2．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【例3】（2017四川省乐山市）求不等式组21312052x x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩的所有整数解． 【例4】已知关于x 的不等式组523(1)138222x x x x a +>-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解，求实数a 的取值范围． 归纳 4：一元一次不等式（组）的应用1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）．（5）检验，看解集是否符合题意．（6）写出答案．2．解应用题的书写格式：设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．【例5】（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y （单位：元），购进篮球的个数为x （单位：个），请写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？练习题：1.（2017湖南省株洲市）已知实数a ，b 满足a +1＞b +1，则下列选项错误的为（ ）A ．a ＞bB ．a +2＞b +2C ．﹣a ＜﹣bD ．2a ＞3b篮球 排球 进价（元/个） 80 50 售价（元/个）105 702．（2017山东省泰安市）不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为x ＜2，则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞1 B ．k ＜1 C ．k ≥1 D ．k ≤13.（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤14.（2017辽宁省鞍山市）在平面直角坐标系中，点P （m +1，2﹣m ）在第二象限，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜2C ．m ＞2D ．﹣1＜m ＜25.（2016内蒙古包头市）不等式1123x x --≤的解集是（ ） A ．x ≤4 B ．x ≥4 C ．x ≤﹣1 D ．x ≥﹣16.（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，直线l 经过第一、二、四象限，l 的解析式是y =（m ﹣3）x +m +2，则m 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7.（2017内蒙古通辽市）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-->+1312112x x x 的整数解是 ． 8.（2017内蒙古呼和浩特市）已知关于x 的不等式21122m mx x ->-． （1）当m =1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．。
中考总复习一次方程及方程组--知识讲解
中考总复习一次方程及方程组--知识讲解一、一次方程1.1一次方程的定义一次方程是指未知数的最高次数为1的方程，可以用下面的形式表示：ax + b = 0其中，a和b为已知数，a≠0，x为未知数。
1.2方程的解求解一次方程的过程，就是要确定使等式成立的未知数的值。
将未知数的值代入等式，若等式成立，则该值为方程的解。
1.3解一次方程的方法1.3.1移项法对于一次方程ax+b=0，可以通过移项来求解，具体步骤如下：- 将一次方程两边的常数项b移到方程的右边，得到ax = -b-再将一次方程两边的系数项a移到方程的右边（即除以a），得到x=-b/a1.3.2代入法代入法是指将一次方程的已知数代入方程，然后求解未知数的值。
具体步骤如下：-将方程的已知数代入未知数的位置，得到一个带有未知数的一次方程-再求解带有未知数的一次方程，得到未知数的值1.4解一次方程的注意事项当解一次方程时，需要注意以下几点：-方程的两边同时加上（或减去）相同的数，等号的两边仍然相等。
即可以将方程中的数移到等号的另一边。
-方程的两边同时乘以（或除以一个不为0的数），等号的两边仍然相等。
即可以将方程中的系数移到等号的另一边。
二、一次方程组2.1一次方程组的定义一次方程组是指多个一次方程组成的方程组，可以用下面的形式表示：a₁x+b₁y+c₁=0a₂x+b₂y+c₂=0其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知数，a₁、b₁、a₂、b₂≠0，x和y为未知数。
2.2方程组的解求解一次方程组的过程，就是要确定使所有方程都成立的未知数的值。
将未知数的值代入所有方程，若所有方程都成立，则该值为方程组的解。
2.3解一次方程组的方法2.3.1代入法代入法是指将一个方程的解代入其他方程中，然后求解代入后的方程，得到未知数的值。
具体步骤如下：-解一个方程，得到其中一个未知数的解-将这个未知数的解代入另一个方程中，得到一个只有一个未知数的一次方程-求解这个一次方程，得到另一个未知数的解2.3.2消元法消元法是指通过对一次方程组中的方程进行加、减、乘、除等运算，将方程组中的未知数逐渐消去，从而得到只含一个未知数的方程。
中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解
中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解【知识网络】【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠. （3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来).要点诠释：解一元一次方程的一般．．步骤说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 要点诠释：a 1、a 2不同时为0，b 1、b 2不同时为0，a 1、b 1不同时为0，a 2、b 2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值. 考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整. 要点诠释：列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等. 【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1．如果方程2n 731x 157--=是关于x 的一元一次方程，则n 的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x 的指数是1即可. 【答案】B ；【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4. 【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三：【变式1】已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=5，则m 的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m ＝2，∴m=6. 【变式2】若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2632=--+bxx x ka 无论k 为何值时，它的解总是1，求a ，b 的值．【答案】a=0,b=11.2．一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？【思路点拨】设这块麦田一共有x 公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x （1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x （1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可． 【答案与解析】解：设这块麦田一共有x 公顷， 根据题意得出：x （1﹣25%）（1﹣20%）=6， 解得：x=10，答：这块麦田一共有10公顷．【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键．举一反三：【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．()130%80%2080x +⨯= B ． 30%80%2080x ⋅⋅= C ． 208030%80%x ⨯⨯= D ．30%208080%x ⋅=⨯【答案】成本价提高30%后标价为()130%x +，打8折后的售价为()130%80%x +⨯．根据题意，列方程得()130%80%2080x +⨯=，故选A ．类型二、二元一次方程组及其应用3．解下列方程组． （1）（2）．【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】 解：（1），将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7， 去括号得：﹣4y+6+3y=7， 解得：y=﹣1，将y=﹣1代入②得：x=2+3=5， 则方程组的解；（2），①×4+②×3得：17m=34， 解得：m=2，将m=2代入①得：4+3n=13， 解得：n=3， 则方程组的解为．【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三：【变式1解方程组【答案】方程②化为，再用加减法解，答案：【变式2】解方程组⎩⎨⎧=++=.36,5:4:3::c b a c b a【答案】a=9,b=12,c=15.4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题：（1）写出用含x 、y 的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m 2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m 2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题. 【答案与解析】（1）地面总面积为：（6x ＋2y ＋18）m 2； （2）由题意，得6221,6218152.x y x y y -=⎧⎨++=⨯⎩解之，得4,3.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴地面总面积为：6x ＋2y ＋18＝6×4＋2×32＋18＝45（m 2）． ∵铺1m 2地砖的平均费用为80元，∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）． 【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图① ②②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则80,a=7570a b ca c b+-=⎧⎨+-=⎩解得.故选C.类型三、一次方程（组）的综合运用5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．【答案与解析】方法一：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000，解得：x=40，∴60-x =60-40=20答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.方法二：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，根据题意列出方程组：601000(10002000)100000 x yx y+=⎧⎨++=⎩解得：2040 yx=⎧⎨=⎩答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系. 举一反三：【变式】某公园的门票价格如下表所示：购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 票价10元／人8元／人5元／人某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？ 【答案】设甲班有x 人，乙班有y 人，由题意得：8109205()515x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：5548x y =⎧⎨=⎩． 答：甲班有55人，乙班有48人.6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”； 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”； 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：解得答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆. 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.。
初中数学：一次方程(组)和一次不等式(组)章节知识清单
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元初中数学：一次方程（组）和一次不等式（组）章节知识清单一、一元一次方程1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程．2、解方程：求方程的解的过程叫做解方程．3、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成ax b =（0a ≠）的形式；（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解b x a =．二、二元一次方程1、二元一次方程：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．3、二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集．三、二元一次方程组1、二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组．2、二元一次方程组的解：在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解．3、代入消元法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．4、加减消元法：通过两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法．四、三元一次方程组1、三元一次方程组：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组．2、解三元一次方程组的思想：五、不等式1、不等式的概念：用不等号“>”、“<”、“≤”或“≥”表示的关系式，叫做不等式．2、不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或用一个含字母的式子，不等号的方向不变．即：如果a>b，那么a+m>b+m；如果a<b，那么a+m<b+m．3、不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．即：已知m>0，如果a>b，那么am>bm（或a bm m>）；如果a<b，那么am<bm（或a bm m<）．4、不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．即：已知m<0，如果a>b，那么am<bm（或a bm m<）；如果a<b，那么am>bm（或a bm m>）．六、一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不为零的不等式，称为一元一次不等式．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成ax b>（或ax b<等）的形式（其中0a≠）；（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．七、一元一次不等式组1.一元一次不等式组：有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．2、不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．3、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组．4、解一元一次不等式组的一般步骤：（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．1.方程的解和解方程⎧⎨⎩方程的解：使方程的左右两边的叫方程的解；解方程：求方程的解的过程知数的值；相等未2.一元一次方程(0)0(0)(0).ax b a ax b a b ax b a x a ⎧⎪=≠⎧⎪⎨⎪⎪+=≠⎩⎨⎪⎪⎪=≠=⎪⎩定义：只含有，并且未知数的次数是的；最简形式：表示形式标准形式：解一元一次方程步骤：去分母；去括号；移项； 化成一个未知数一次方程；① ②③④⑤3.等式的性质⎧⎨⎩等式两边同时加上（减去）或，所得结果仍是等式；等式两同一个数同一个代数式同一个不等于零边同时乘以同一个数（或除以的数），所得结果仍是等式；①②4.一元一次方程的应用:==+=1+=+====.=1a b ⎧⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⎪⎪⨯⨯⨯⎪⨯⎪⎩步骤分配ax bx 利率本金利率期数折扣:审题；设元；列方程；解方程；检验；作答.问题：两个量之比为，则设这两个量为和;问题：利息；本利和本金利息本金（利率期数）问题：售价成本价；新售价原售价折扣.问题：路程速度时间；相遇路程时间；追及路程追及时间问题：工作时间（工作总量）利润行程速度和速度差工程工作效率①②③④⑤⑥5.不等式的概念><≥≤≠⎧⎪>≥≠⎧⎨⎨⎪<≤⎩⎩不等关系大于大于或等于不(1)概念：用不等号“”、“”、“”、“”、“”表示的式子；； 表示“”或“”小于不等于小于小于； 表；(2)常见不等号：； 表示“”或”不大于“或等于6.不等式的基本性质1;002;.3;.a b a b a b a b am bm m m a b a b a m m bm m m m mm ⎧⎪>⇒>⎪⎪>⇒±±>>><<⎨⎪⎪>⇒⎪⎩<(1)不等式的基本性质：(2)不等式的基本性质：且(3)不等式的基本性质：且7.一元一次不等式的解法(0);ax b a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩>≠(1)不等式的解：能使不等式成立的；(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的解集；(3)解不等式：求不等式解集的过程；(4)解一元一次不等式未知数的值所有解去分母去括号移项未知数的系的步骤：；；；化成两边同除以数.① ②③④⑤8.一元一次不等式组(1)(2),;;;(3)x a x x a x a x a x a a b x b x b x b x b x a b b ><<>⎧⎧⎧⎧>⎨⎨⎨⎨><>><⎩⎩<<<⎩⎩同一个未知数几个一元一次不等式公定义：关于的合在一起组成一个元一次不等式组；解集：各个不等式的解集的叫这个一元一次不等式组的解集； 设的解集的解集的解集的解集；解法：一般步骤求各不等式的；在表示各不等式解集； 共部分无解解 确集轴上定数 ①②③⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩各不等式解集的.公共部分9.二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程；具备两个条件：1 1.⎧⎨⎩①含有未知数；②所含的次数两个未知数的的项未知数都是，而不是的次数都是10.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解；二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，它们的解的全体叫二元一次方程的解集.11.二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次；注意：.⎧⎪⎨⎪⎩①方程的个数可以；②组成方程组的方程的，也可以是一元的；③保证超过两个不一定都是二元方程组有两个未知数中二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值.二元一次方程组的解法⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭代入代入一元一次加减相消元法：通过“”消去一个未知数，将方程组转化为方程.消元法：通过将两个方程（）消去一个未知数加减12.三元一次方程组.⎧⎪⎨−−−−→−−−−→⎪⎩加减或代入加减或代入消元消元三个未知定义：如果方程组中含有，且的次数都是.解法：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方数含未知数的项程一次。
中考数学知识考点一次方程
中考数学知识考点一次方程
中考数学知识考点:一次方程
算术解法与代数解法
方程的解与解方程的根据
未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后，就使方程变成一个恒等式
能是方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，也叫做根
求方程解的过程，叫做解方程
解方程的根据是运算通性及等式性质
可以由表及里地去掉括号，并将含有相同未知数且含未知数的次数也相同的各项结合起来，合并在一起这叫做合并同类项
把方程一边的任一项改变符号后，移到方程的另一边，叫做移项简单说就是移项变号
把方程两边各同除以未知数的系数(或同乘以系数的倒数)，就得到未知数应取的值
综上所述，得到解方程的方法、步骤：去括号、移项变号、合并同类项，使方程化为最简形式ax=b(a!=0)、除以未知数的系数，得出x=b/a(a!=0)
两种解法的分析、对比
未知数和方程
用字母x、y、等，表示所要求的数量，这些字母称为未知数
用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子，叫做代数式含有未知数的等式，叫做方程
在一个方程中，所含未知数，又成为元;
被+、-号隔开的每一部分称为一项在一项中，数字或表示数的字母因数叫做未知数的系数
某一项所含有的未知数的指数和，成为这一项的次数
不含未知数的项，成为常数项当常数不为零时，它的次数是0，因此常数项也称为零次项。
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中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程 1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠.（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释：解一元一次方程的一般步骤 步骤名 称 方 法依 据注 意 事 项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边等式性质1移项一定要改变符号说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 要点诠释：a 1、a 2不同时为0，b 1、b 2不同时为0，a 1、b 1不同时为0，a 2、b 2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整.要点诠释：列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1．如果方程2n 731x 157--=是关于x 的一元一次方程，则n 的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x 的指数是1即可. 【答案】B ；【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三：【变式1】已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=5，则m 的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m ＝2，∴m=6. 【变式2】若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2632=--+bxx x ka 无论k 为何值时，它的解总是1，求a ，b 的值．【答案】a=0,b=11.2．某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ） A ．54盏 B ．55盏 C ．56盏 D ．57盏【思路点拨】可设需更换的新型节能灯有x 盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方程求解即可． 【答案】B ；【解析】设需更换的新型节能灯有x 盏，则70（x-1）=36×（106-1），70x=3782，x ≈55 则需更换的新型节能灯有55盏．故选B ．【总结升华】注意根据实际问题采取进1的近似数． 举一反三：【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．()130%80%2080x +⨯= B ． 30%80%2080x ⋅⋅= C ． 208030%80%x ⨯⨯= D ． 30%208080%x ⋅=⨯【答案】成本价提高30%后标价为()130%x +，打8折后的售价为()130%80%x +⨯．根据题意，列方程得()130%80%2080x +⨯=，故选A ．类型二、二元一次方程组及其应用3．解方程组32528x y x y +=⎧⎨-=⎩【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】由②，得y=2x-8 ③ 把③代入①，得3x+2(2x-8)=5 3x+4x-16=5 ∴x=3把x=3代入③，得y=2×3-8=-2 ∴方程组的解为 x=3，y=-2.【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三：【变式1解方程组【答案】方程②化为，再用加减法解，答案：【变式2】解方程组⎩⎨⎧=++=.36,5:4:3::c b a c b a【答案】a=9,b=12,c=15.4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单① ②① ②位：m），解答下列问题：（1）写出用含x、y的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题.【答案与解析】（1）地面总面积为：（6x＋2y＋18）m2；（2）由题意，得6221, 6218152. x yx y y-=⎧⎨++=⨯⎩解之，得4, 3.2xy=⎧⎪⎨=⎪⎩∴地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2×32＋18＝45（m2）．∵铺1m2地砖的平均费用为80元，∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）．【总结升华】注意不要丢掉题中的单位.举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则80,a=7570a b ca c b+-=⎧⎨+-=⎩解得.故选C.类型三、一次方程（组）的综合运用5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．【答案与解析】方法一：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x 人，则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000， 解得：x=40， ∴60-x =60-40=20答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.方法二：设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x ，y 人，根据题意列出方程组： 601000(10002000)100000x y x y +=⎧⎨++=⎩解得：2040y x =⎧⎨=⎩答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三：【变式】某公园的门票价格如下表所示：购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 票价10元／人8元／人5元／人某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？ 【答案】设甲班有x 人，乙班有y 人，由题意得：8109205()515x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：5548x y =⎧⎨=⎩． 答：甲班有55人，乙班有48人.6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解.【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：解得答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆.【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.。