高二函数的极值的概念及其求解分析答案贺德松答案

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高中数学中的函数的极值与最值分析

高中数学中的函数的极值与最值分析在高中数学中，函数的极值与最值是一个重要的概念。

理解和分析函数的极值与最值对于解决数学问题、优化模型以及应用实例都是至关重要的。

首先，我们需要了解什么是函数的极值与最值。

函数的极值指的是函数在某一区间内的最大值和最小值，可以分为极大值和极小值。

而最值则是指函数在整个定义域内的最大值和最小值。

接下来，让我们看一下如何分析函数的极值与最值。

第一步是寻找函数的驻点。

驻点是函数图像上的拐点，对应于导数为零或不存在的点。

通过求解函数的导数等于零的方程，我们可以找到驻点的横坐标。

第二步是寻找函数的不可导点。

不可导点通常出现在函数图像的尖点、长尾等特殊点上。

对于这些点，我们需要进一步研究函数在该点的极值情况。

第三步是分析函数的极值。

通过求解导数的二阶导数等于零的方程，我们可以确定函数在驻点和不可导点处的极值情况。

通过计算得出的极值可以判断函数的相对最值。

第四步是研究函数的端点。

函数的端点是定义域的边界，可能包含函数的最值。

通过计算函数的极限，我们可以确定函数在端点处的值，进而确定函数的最大值和最小值。

最后，进行整体分析。

将以上步骤得出的极值和最值进行比较，找出函数在整个定义域上的最大值和最小值。

在这一过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性等前提条件。

除了以上方法，还可以利用数学软件进行函数的图像绘制和分析。

数学软件可以快速计算导数和二阶导数，帮助我们找到函数的极值点，并进一步分析最值。

函数的极值与最值分析在数学问题和实际应用中扮演着重要的角色。

例如，在优化问题中，我们可以通过分析函数的极值来确定最优解。

在经济学、物理学等领域，函数的极值和最值也都有着广泛的应用。

总结而言，函数的极值与最值分析是高中数学中的重要内容。

通过寻找驻点、不可导点以及端点，我们可以确定函数的极值和最值。

这对于解决问题、优化模型以及应用实例都有着重要的意义。

通过合理的方法和工具，我们能够更好地理解和应用函数的极值与最值。

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.若函数，当时，函数有极值－．求函数的解析式．【答案】【解析】(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值．求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(3)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到．试题解析：解：由题意可知于是，，解得经检验符合题意，因此函数的解析式为．【考点】函数的导数与极值．2.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；3.已知函数，且是函数的极值点。

给出以下几个问题：①；②；③；④其中正确的命题是__________。

（填出所有正确命题的序号）【答案】①③【解析】的定义域为，，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有。

【考点】导数在求函数极值中的应用4.若函数，则（）A．最大值为，最小值为B．最大值为，无最小值C．最小值为，无最大值D．既无最大值也无最小值【答案】D【解析】，令，得或，令，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在时，函数取得极大值，在时，函数取得极小值，但是函数在上，既无最大值也无最小值，弄清楚极值与最值是两个不同的概念，就不会选错答案，此处选择D.【考点】导数的应用、函数的极值与最值.5.设函数在内有极值.（1）求实数的取值范围;（2）若求证:.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用在有极值在有解进行求解；（2）要证，即证在上是最小值与在的最大值之差大于.规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：（1）0<x<1或x>1时，由在内有解，令，＝1不妨设，则，因，所以，解得（2）证明：由或，由或，得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.由，得，由，得，所以，因为，所以记则,在上单调递增，所以故.【考点】利用导数研究函数的极值与最值.6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个【答案】A【解析】由导函数的图像知，的图像先增后减再增再减，故只有一个极小值点，故选A.【考点】函数导数与极值的关系7.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是( ) A．(1－ln 2)B．(1＋ln 2)C．D．(1＋ln 2)【答案】B【解析】设P(,),则点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离= =，设==（），所以= =，当时，＜0，当时，，所以在（0,）是减函数，在（，）上是增函数，所以当=时，==，所以= .【考点】点到直线距离公式；利用导数求最值8.已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得:在R上有两个不相等的实根,所以解得:,故选D．【考点】函数的极值．9.设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵f(x)=e x+ax,∴,令=0,可得x=-ln(-a)>0,解得a<-1．【考点】导数的运用．10.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,则()A．函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点【答案】A【解析】所给图象是导函数图象，在处左右两侧函数值取正负，故函数在有极大值，在处有极小值.故选A.【考点】函数的极值.11.函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为．【答案】【解析】由题知，则,可得在区间，为增函数，在上，，，为减函数，故在处取得最大值.【考点】由导函数求函数的最值.12.某商品一件的成本为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，当每件商品的定价为元时，利润最大【答案】115【解析】利润为由得，这时利润达到最大．【考点】函数的最值与导数的关系13.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（）①y=x3②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2xA．①②B．②③C．③④D．①③【答案】B【解析】根据函数极值的定义，①,在处无极值；④，在处无极值．【考点】函数的极值．14.已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是() A．m≥B．m>C．m≤D．m<【答案】A【解析】因为函数），所以．令得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为．不等式恒成立，即恒成立，所以，解得．故答案选A．【考点】1、函数恒成立问题；2、利用导数求闭区间上函数的最值.15.若是( ）A．3B．C．D．1【答案】C【解析】令，原式化为，求导得，令，解得，函数的极大值点为，极小值点为，又因为，所以最大值在处取得，解得.【考点】1、三角函数化简；2、三角函数中的最值问题.16.若，且函数在处有极值，则ab的最大值为。

高考数学专题复习《函数的极值最值》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

后面结合例7讲
（2）已知函数在 <m></m> 处有极值10，则等于( )
A. 或18 B. C. D. 或18
解：因为函数在处有极值，所以，且，即得或而当，时，，函数在处无极值，故舍去. 所以，所以故选C.
解：由题意知，，令，得，，因为在区间上的最大值就是函数的极大值，所以极大值点为，所以，即 .故填 .
1.函数的极值
（1）函数极值的定义：如图，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧 . 类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧 .我们把叫做函数的__________，叫做函数的________；叫做函数的__________，叫做函数的________.极小值点、极大值点统称为_______，极小值和极大值统称为______.
√
易错：注意检验
变式2.（1）若函数的极小值点是 <m> ，则的极大值为( )
A. B. C. D.
√
解：由题意，，所以，解得，故，可得，则在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为 .故选C.
（2）若 , 是函数的两个极值点，则
√
（5）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. ( )
×
3. 已知函数的导函数 <m></m> 的图象如图所示，则( )
A.函数有2个极大值点，2个极小值点B.函数有1个极大值点，1个极小值点C.函数有3个极大值点，1个极小值点D.函数有1个极大值点，3个极小值点

高考数学中的函数极值问题详解

高考数学中的函数极值问题详解函数极值是高考数学考试中必考的一个知识点，也是数学经典中的基础概念之一。

对于几乎所有的数学应用问题，都可以抽象出一个函数模型，因此函数极值的研究具有很高的实用性和理论意义。

本文将详细解析高考数学中的函数极值问题，包括一元函数和多元函数两种情况。

一、一元函数1. 什么是函数极值在一元函数的定义域内，若存在一点x0，使得它的函数值f(x0)不小于（或不大于）其它点的函数值，那么称f(x0)为函数的一个极大值（或极小值），x0称为极值点。

如下图所示，函数f(x)在x=a处达到极大值，x=b处达到极小值。

（图片来源于B站UP主@水良之家）2. 极值的判定方法（1）导数法对于一元函数f(x)，其导数f'(x)能够反映函数的增减性和变化趋势，因此使用导数来判断函数的极值是一种比较常见的方法。

具体来说，求出函数的导数，并令导数为0，求解其值即可得到原函数的极值点。

若导数为0的点是可导的，则它一定是极值点。

若导数为0的点不可导，则需要用单侧极限来进行讨论。

下面是一个例题：已知函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的驻点和极值点，试求f(x)的极值。

解：首先求导，得到f'(x)=3x²-3，令其为0，则得到x=±1又由于f(x)在-2,1,2处是可导的，因此极值点分别为x=-1,x=1。

在x=-2处不是极值点，它是函数f(x)的最小值点。

（2）二阶导数法在一元函数的定义域内，若f'(x0)=0且f''(x0)>0，说明在x0处函数的单调性发生了变化，由单调减变为单调增，因此x0就是函数的一个极小值点。

反之若f'(x0)=0且f''(x0)<0，则x0为函数的一个极大值点。

在使用这种方法时需要注意，函数的二阶导数f''(x)在某些情况下可能不存在，此时不能使用该方法来判定函数的极值。

高中数学必修二：函数极值与最值习题解析

高中数学必修二：函数极值与最值习题解析函数极值和最值是高中数学中一个重要的概念和知识点，在解析这一内容之前，我们首先要明确什么是函数极值和最值。

函数的极值包括两种情况，一种是函数在某一区间内取得最大值或最小值，另一种是函数在某一点处取得最大值或最小值。

函数的最值则是针对整个定义域内的最大值或者最小值。

在解析函数极值和最值的相关习题时，我们可以根据题目的要求，使用不同的方法来求解。

下面我们将通过一些常见的习题来进行解析。

【习题一】已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极值和最值。

解析：首先我们需要求 $f'(x)$ ，将函数$f(x)$对$x$求导得：$f'(x)=3x^2-12x+9$为了求得函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极值点，我们需要将导函数$f'(x)$等于零，并求解方程：$3x^2-12x+9=0$将方程进行因式分解，得到：$(x-3)(x-1)=0$解得$x=3$或$x=1$。

将$x=3$和$x=1$代入原函数$f(x)$中，可以得到两个函数值：$f(3)=20$ 和 $f(1)=6$因此，函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极小值为6，极大值为20。

对于最值的求解，我们可以直接将区间[-2, 4]的端点分别代入函数$f(x)$中，求得函数值，并和极值进行比较。

$f(-2)=-12$， $f(4)=66$综上所述，函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的最小值为-12，最大值为66。

【习题二】已知函数$g(x)=x^3-9x^2+24x$，求函数$g(x)$的最小值和最大值所对应的$x$的值。

解析：首先我们需要求函数$g(x)$的导函数$g'(x)$，将函数$g(x)$对$x$求导得：$g'(x)=3x^2-18x+24$为了求得函数$g(x)$的极值点，我们需要将导函数$g'(x)$等于零，并求解方程：$3x^2-18x+24=0$将方程进行因式分解，得到：$(x-4)(x-2)=0$解得$x=4$或$x=2$。

高中数学导数与函数的极值问题分析与解答

高中数学导数与函数的极值问题分析与解答在高中数学中，导数与函数的极值问题是一个非常重要的内容，也是学生们经常遇到的难题之一。

在本文中，我将通过具体的题目举例，分析和解答这类问题，并给出一些解题技巧和指导性建议。

一、导数的概念与求解首先，我们需要了解导数的概念。

导数可以理解为函数在某一点上的变化率，也可以看作是函数曲线在该点的切线的斜率。

对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。

为了求解导数，我们可以使用求导法则，如常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。

这些法则可以帮助我们简化求导的过程，提高解题效率。

例如，考虑函数y=x^2+3x+2，我们可以使用幂函数法则求解其导数。

根据幂函数法则，对于幂函数y=x^n，其导数为y'=nx^(n-1)。

因此，对于函数y=x^2+3x+2，我们可以得到导数y'=2x+3。

二、函数的极值与求解函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在求解函数的极值时，我们可以通过导数的方法来进行分析。

首先，我们需要找到函数的驻点，即导数为零的点。

对于函数y=f(x)，如果f'(x)=0，则点(x,f(x))为函数的驻点。

接下来，我们需要判断驻点是极大值还是极小值。

我们可以通过二阶导数的符号来判断。

如果f''(x)>0，则驻点为极小值；如果f''(x)<0，则驻点为极大值。

例如，考虑函数y=x^3-3x^2+2x+1，我们可以先求解其导数y'=3x^2-6x+2。

然后，我们再求解其二阶导数y''=6x-6。

当二阶导数为零时，即6x-6=0，解得x=1。

因此，点(1,f(1))为函数的驻点。

接下来，我们计算二阶导数在驻点处的值，即f''(1)=6(1)-6=0。

由于二阶导数为零，我们无法通过二阶导数的符号来判断驻点的性质。

高中函数的极值与最值问题

高中函数的极值与最值问题函数是数学中的重要概念之一，它描述了两个变量之间的关系。

在高中数学学习中，我们经常遇到关于函数的极值与最值问题，这是一类常见且重要的问题。

本文将详细介绍高中函数的极值与最值问题，以帮助读者更好地理解和解决这类题目。

一、函数的极值与最值概念函数的极值包括极大值和极小值，统称为极值。

极大值对应函数的最大值，极小值对应函数的最小值。

最值问题是要求在一定条件下找到函数的最大值或最小值。

1. 极值的定义设函数y=f(x)在点x0处取得极大值，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的极大值。

类似地，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的极小值。

2. 最值的定义给定一个函数，如果在其定义域上存在一个点x1，使得对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数的最大值。

类似地，如果对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数的最小值。

二、求解函数的极值与最值的方法在高中数学中，求解函数的极值与最值可以采用以下方法：1. 导数法当函数的导数存在时，可以通过求导数的方法来找到函数的极值。

具体步骤如下：（1）求出函数的导数f'(x)；（2）令f'(x)=0，求出导数为零的临界点；（3）将临界点和函数的端点代入原函数，并比较函数值，找到最大值与最小值。

2. 函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地找到函数的极值与最值。

具体步骤如下：（1）绘制函数的图像；（2）观察图像的极值点和最值点，标出对应的坐标。

3. 区间端点法当函数在特定区间上连续且可导时，可以通过将函数在区间两个端点处的值进行比较来找到函数的最值。

具体步骤如下：（1）计算函数在区间的两个端点处的函数值；（2）比较函数值，找出最大值与最小值。

三、应用举例下面通过两个例子来说明如何求解函数的极值与最值问题。

函数的极值知识点及例题解析

函数的极值知识点及例题解析1. 知识点函数的极值是函数在定义域内所能达到的最大值和最小值。

在求函数的极值时，需要先找出函数的驻点和临界点，然后使用一定的方法进行判断和计算。

1.1 驻点函数的驻点是指函数的导数等于零的点。

驻点可能是函数的极值点，也可能是函数的拐点。

可以通过计算函数的导数，然后将导数等于零的点带入函数进行判断。

1.2 临界点函数的临界点是指函数的定义域内的奇点或导数不存在的点。

临界点可能是函数的极值点，也可能是函数的间断点。

可以通过计算函数的导数，然后将导数不存在或等于无穷大的点带入函数进行判断。

2. 例题解析2.1 例题一已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求函数的极值点。

解析：首先需要求函数的导数 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

然后找出导数等于零的点，即驻点。

令 f'(x) = 0，解得 x = 1 或 x = 2/3。

将驻点带入原函数，得到 f(1) = 2 和 f(2/3) = 8/27。

所以函数的极小值点为 (1, 2) 和 (2/3, 8/27)。

2.2 例题二已知函数 g(x) = e^x - 2x，求函数的极值点。

解析：首先需要求函数的导数 g'(x) = e^x - 2。

然后找出导数等于零的点，即驻点。

令 g'(x) = 0，解得 x = ln(2)。

将驻点带入原函数，得到 g(ln(2)) = 2 - 2ln(2)。

所以函数的极值点为 (ln(2), 2 - 2ln(2))。

以上是函数的极值知识点及例题解析的内容。

希望对你有帮助！。

高二数学必修二：函数极限习题解析

高二数学必修二：函数极限习题解析函数极限是数学中的重要概念之一，对于理解函数的性质和计算函数值具有重要意义。

下面将对高二数学必修二中的函数极限习题进行解析，并结合具体的例子进行说明。

一、函数极限的定义和性质在开始解析具体的习题之前，我们首先回顾一下函数极限的定义和性质。

函数极限的定义：设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0＜|x-x0|＜δ时，有|f(x)-A|＜ε，其中A为常数，那么我们称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim(x→x0)f(x)=A。

函数极限的性质：函数极限具有唯一性、局部有界性和保号性等重要性质。

二、函数极限习题解析1. 求函数f(x)=3x^2+x-2当x趋于2时的极限。

解析：根据函数极限的定义，我们需要求出当x趋于2时f(x)的极限。

首先，我们将x的值逐渐靠近2，观察f(x)的变化情况。

当x=1.9时，f(x)=3*(1.9)^2+1.9-2=10.71；当x=1.99时，f(x)=3*(1.99)^2+1.99-2=10.0701；当x=1.999时，f(x)=3*(1.999)^2+1.999-2=10.007001。

可以发现，随着x越来越接近2，f(x)的值也越来越接近10。

因此，我们可以推断lim(x→2)f(x)=10。

2. 求函数f(x)=sinx/x当x趋于0时的极限。

解析：根据函数极限的定义，我们需要求出当x趋于0时f(x)的极限。

然而，直接代入x=0会导致分母为0，因此我们需要进行一些变形来求解。

利用三角恒等式sinx/x=(sinx)/x=1，可以得出lim(x→0)f(x)=1。

3. 求函数f(x)=[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，当x趋于2时的极限。

解析：根据函数极限的定义，我们需要求出当x趋于2时f(x)的极限。

对于整数值的x，[x]和x的值是相等的，因此当x趋于2时，f(x)的值也会趋于2。

高中数学中的函数极值与最优化问题

高中数学中的函数极值与最优化问题函数极值问题在高中数学中占据着重要的地位，是数学分析中的重要概念。

本文将从函数的极值定义、求解方法以及函数的最优化问题进行论述，帮助读者更好地理解与应用函数极值与最优化问题。

一、函数极值的定义函数极值是指函数在特定区间内取得的最大值或最小值。

在函数的图像上，极值对应着曲线上的最高点和最低点。

函数极值分为两类，一类是局部极值，另一类是全局极值。

局部极值是指函数在某个特定的区间内取得的最大值或最小值，而全局极值是指函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。

二、函数极值的求解方法1. 寻找驻点通过求解函数的导数为零的点，即可得到函数的驻点。

驻点是函数取得极值的必要条件，但不一定是函数的极值点。

2. 寻找极值点在驻点的基础上，通过二阶导数的符号进行判定。

当二阶导数大于零时，对应的驻点为极小值点；当二阶导数小于零时，对应的驻点为极大值点；当二阶导数等于零时，无法判定驻点为极值点。

3. 考虑端点函数的极值不仅仅出现在驻点上，还可能出现在区间的端点上。

对于闭区间，需要额外考虑端点对应的函数值。

通过以上三个步骤，就可以找到函数在特定区间内的极值点。

三、函数的最优化问题函数的最优化问题是在一定约束条件下，求解函数取得极值的问题。

最优化问题与函数极值问题密切相关，是对函数极值问题的一种扩展应用。

典型的最优化问题包括线性规划、整数规划、无约束最优化等，这些问题的求解方法较为复杂，需要借助数值计算方法，如拉格朗日乘子法、单纯形法等。

以线性规划为例，最典型的问题是在一组线性约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值。

线性规划问题常用的求解方法有单纯形法和内点法等。

四、案例分析例如，我们要在一片正方形农田内建造养殖场，假设农田一边的长为x，养殖场占用的面积为y，养殖场的收益为P，成本为C。

则可以建立如下函数模型：最大化目标函数 P = k*y - C （k为单位面积收益）约束条件：2xy + 4y - A = 0 （A为农田总面积）通过求解该最优化问题，可以得到使得养殖场收益最大化的长和面积。

5.3.2函数的极值课件高二下数学人教A版选择性必修第二册

所以f 一1)一f(1)=4,即 a+b=-3 .②
由①②解得a=—1,b=—2. 故实数a,b 的值分别为一 1, — 2.
内容索引
(2)由(1),得a=—1,b=—2, 所以f(x)=x⁵—x³—2x+1, 所以极大值f(一1)=3,极小值f(1)=—1.
内容索引
活动三掌握与极值有关的方程的根或恒成立问题
1
2
内容索引
5.已知函数求实数m 的值.
为常数，且m>0)有极大值
【解析】因为
所以f(x)=3x²+mx—2m²=(3x—2m)(x+m).
令f(x)=0, 得
,X₂=—m.
因为m>0, 所以
当x 变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表：
1
34
5
内容索引
X
(一一，—m)
—m
f (x)
例 1 已知函数 (1)若函数的极大值点是一1,求实数a 的值； (2)若函数f(x)有一正一负两个极值点，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)由题意，得f(x)=x²—2x+a. 因为函数的极大值点是—1,所以f(一1)=1+2+a=0, 解得a=—3, 所以f(x)=x²—2x—3, 经验证可知f(x)在x=—1 处取得极大值，故实
(3)根据(2)的结论，可画出函数f(x)的草图，所以f(x)min=f(1)=—3—c.
因为fx)≥-2c² 恒成立，所以-3—c≥-2c², 解得
故实数c的取值范围为(-0,-1)u 2 , + 0
或c≤—1,
内容索引
检测反馈
⑩1.若函数f(x)=x³—3bx+3在区间(一1,2)上有极值，则实数b的取值范围是( )

高二函数的极值的概念及其求解分析贺德松(1)

函数的极值的概念及其求解分析知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1、函数131)(23+++=x ax ax x f 有极值的充要条件是（） A ．01≤≥a a 或 B ．01<>a a 或 C ．01<≥a a 或 D ．10<<a例2、若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是__________．例3、设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--=(Ⅰ)求)(x f 的极值.例4、设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

演练方阵A 档（巩固专练）1．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值3．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．21<<-aB ．63<<-aC ．3-<a 或6>aD ．1-<a 或2>a 4．已知函数)5()(32-=x x x f ，求()f x 的极值．5．若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a = ( )A ．3a =B ．1a =-C ．4a =D ．3a =或1a =-6．函数1)(2++=x ax x f 有极值的充要条件是( )A ．0>aB ．0≥aC ．0a ≠D ．0≤a7．已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．1．试求常数a 、b 、c 的值；2．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．8．已知函数xe x xf -=2)(，求()f x 的极值．a b xy )(x f y '=O9．已知函数32()3f x x ax x =-+．（1）若)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若x ＝3是)(x f 的极值点，求)(x f 在∈x [1，a ]上的最小值和最大值．10．已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记()()()F x f x g x =.（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围．B 档（提升精练）1．设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．13a <-2．已知函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值－1，试确定,a b 的值． 3．函数2)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，则实数=c ．4．已知53()f x ax bx c =-+在1x =±处有极大值为4，极小值为0，试确定a 、b 、c 的值． 5．求()31443f x x x =-+的极值．6．已知函数1()f x x x=+，判断(1)f 是否为函数()f x 的一个极值，若是极值，是极大值还是极小值？7．求23(1)1y x =-+的极值．8．已知函数x x x f 12)(3-=，求()f x 的极值．9．函数b ax x x f +-=3)(3)0(>a 的极大值为6，极小值为2，求实数b a ，的值．10．已知函数c bx ax x x f ++-=23)(的图象为曲线E .(Ⅰ) 若曲线E 上存在点P ，使曲线E 在P 点处的切线与x 轴平行，求a ,b 的关系； (Ⅱ) 说明函数)(x f 可以在1-=x 和3=x 时取得极值，并求此时a ,b 的值； (Ⅲ) 在满足(2)的条件下，c x f 2)(<在]6,2[-∈x 恒成立，求c 的取值范围．C 档（跨越导练）1．设函数3221()231,0 1.3f x x ax a x a =-+-+<< （I ）求函数)(x f 的极大值；（II ）若[]1,1x a a∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围．2．已知函数()2()1e xf x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间．3．设函数c x b ax x f +-=232)(，其图像过点（0,1）. （1）当方程01)('=+-x x f 的两个根分别为是21，1时，求()f x 的解析式；（2）当0,32≠=b a 时，求函数()f x 的极大值与极小值．4．已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈．（Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值；（Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点．5．已知1=x 是函数()(2)e x f x ax =-的一个极值点．(a ∈R ) （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤．6．已知函数)5()(32-=x x x f ，求()f x 的极值．7．已知函数.212)(2-+=x xx f ，求()f x 的极值．8．已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．9．设a 为实数，函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值.(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时，曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点．10．设函数13231)(23+-+-=ax ax x x f ，其中10<<a .（1）求函数)(x f 的极值；（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有()'≤f x a ，试确定实数a 的取值范围．成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：。

高中数学选择性必修二 5 3 2 1函数的极值(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.3.2.1函数的极值要点极值点与极值1．极小值与极小值点如图，若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值与极大值点如上图，若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【重点总结】(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．(4)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调．()(2)导数为零的点一定是极值点．()(3)函数的极大值一定大于极小值．()(4)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√2．(多选题)下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列命题中正确的是()A．－3是函数y＝f(x)的极值点B．－1是函数y＝f(x)的最小值点C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零D．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增【答案】AD【解析】由导函数图象知函数f(x)在(－∞，－3)上单调递减，(－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，所以x ＝－3是函数f(x)的极值点，故AD正确，B不正确；又f′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于0，故C不正确．3．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是()A．极大值点x＝－1 B．极大值点x＝0C．极小值点x＝0 D．极小值点x＝1【答案】C【解析】y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则m＝__________.【答案】－19【解析】y′＝－3x2＋12x由y′>0得0<x<4.由y′<0得x<0或x>4所以函数y＝－x3＋6x2＋m在(－∞，0)和(4，＋∞)上单调递减，在(0,4)上单调递增．所以函数y＝－x3＋6x2＋m在x＝4处取得极大值．所以－43＋6×42＋m＝13.解得m＝－19.题型一求函数的极值(点)【例1】(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 【答案】(1)D【解析】(1)由函数的图象可知，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0，并且当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0，则函数f (x )有极大值f (－2)．又当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，则函数f (x )有极小值f (2)，故选D.(2)求下列函数的极值： ①f (x )＝13x 3－x 2－3x ；②f (x )＝x 4－4x 3＋5； ③f (x )＝ln xx.【极值】(2)①函数的定义域为R . f ′(x )＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.由此可知当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：当x ＝－1时，f (x )有极大值53.当x ＝0时，f (x )有极小值0. ②因为f (x )＝x 4－4x 3＋5，所以f ′(x )＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)．令f ′(x )＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：③函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝1－ln xx 2＝0，得x ＝e.当x故当x ＝e 时函数取得极大值，且f (e)＝1e.【方法归纳】 (1)求函数极值的步骤确定定义域―→求导确定f ′(x )―→解方程f ′(x )＝0―→列表分析单调性―→判断x 0左右两侧单调性―→得极值(2)求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点．【跟踪训练1】(1)(多选题)已知函数f (x )的定义域为R 且导函数为f ′(x )，如图是函数y ＝xf ′(x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的增区间是(－2,0)，(2，＋∞)B ．函数f (x )的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C ．x ＝－2是函数的极小值点D ．x ＝2是函数的极小值点【答案】(1)BD【解析】由题意，当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2，f ′(x )>0；当－2<x <0时，f ′(x )<0；当x <－2时，f ′(x )>0 即函数f (x )在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，因此函数f (x )在x ＝2时取得极小值，在x ＝－2时取得极大值；故A 、C 错，B 、D 正确．(2)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1【答案】(2)A【解析】(2)∵f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，∴f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.又x＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1.∴f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1，令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝1，令f ′(x )<0得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值且f (x )极小值＝－1.故选A. 题型二与参数有关的极值问题探究1 已知函数极值求参数【例2】设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a ，b ，c 的值，并求出相应的极值．【解析】f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵x ＝±1是函数的极值点．则－1,1是方程f ′(x )＝0的根，即有⎩⎨⎧－1＋1＝－2b3a ，－1＝c 3a，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝－3a .又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1.由上述三个方程便可解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32，此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－32.由题意知，x ＝±1是f ′(x )＝0的根．根据x ＝±1列表分析f ′(x )的符号，f (x )的单调性和极值点．当x ＝－1时，函数有极大值，且f (－1)＝1；当x ＝1时，函数有极小值，且f (1)＝－1. 【重点总结】由条件可知f ′(1)＝0，f ′(－1)＝0，且f(1)＝－1，因此可构造关于a ，b ，c 的方程组求出a ，b ，c 的值，确定函数解析式后判断x ＝1和x ＝－1分别是极大值点还是极小值点．【方法归纳】已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．探究2 已知函数极值点，求参数范围【例3】函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】(－∞，1) 【解析】f ′(x )＝x 2－2x ＋a由题意知，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1.【变式探究1】本例条件“函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点”改为“函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有一正一负两个极值点”，则实数a 的取值范围如何？【解析】由题意知方程x 2－2x ＋a ＝0有一正一负两个根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝a <0，故实数a 的取值范围是(－∞，0)．变式探究2 本例中的条件“函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点”改为“函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)在(－∞，＋∞)上无极值点”，则实数a 的取值范围如何？【解析】若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0.解得a ≥43，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 【变式探究3】本例条件“函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点”改为“函数f (x )＝ax 22－x (ln x －1)有两个不同的极值点”，则实数a 的取值范围又如何？【解析】由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －ln x , 令f ′(x )＝ax －ln x ＝0，可得a ＝ln xx令h (x )＝ln xx ，则由题意可知直线y ＝a 与函数h (x )的图象有两个不同的交点． h ′(x )＝1－ln x x 2，令h ′(x )＝0得x ＝e可知h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．∴h (x )≤h (e)＝1e当x 趋向于＋∞时，h (x )趋向于零．故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，1e . 【方法归纳】(1)已知函数极值点的个数求参数取值范围的一般思路：求导后分离参数，转化为直线与曲线的交点问题． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．【跟踪训练2】(1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a ＝________，b ＝________. 【答案】(1)2 9【解析】(1)因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上是增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．因为当x ∈(－3，－1)时，f (x )是减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )是增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.(2)若函数f (x )＝x 2＋a ln x 在区间(1，＋∞)上存在极小值，则实数a 的取值范围为________．【答案】(2)a <－2 【解析】(2)因为f (x )＝x 2＋a ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋a x ＝2x 2＋ax，当a ≥0时，无极值，所以a <0，当a <0时，x ＝－a2是f (x )的极值点，因为f (x )在(1，＋∞)上存在极小值，所以－a2>1，得a <－2. 题型三函数极值的综合应用【例4】已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解析】(1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以，当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ，所以f ′(3)＝3，因此，曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)因为f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )，①a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0，f (x )在R 上单调递增； ②a >0时，令f ′(x )>0，得x >a 或x <0，所以f (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)上单调递增；令f ′(x )<0，得0<x <a ，所以f (x )在(0，a )上单调递减，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，极大值是f (0)＝0.当x ＝a 时，f (x )取得极小值，是f (a )＝－16a 3；③a <0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a <x 2＝0，所以f (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，所以当x ＝a 时，f (x )取到极大值，极大值为f (a )＝－16a 3，当x ＝0时，f (x )取得极小值是f (0)＝0.【易错辨析】对函数取极值的充要条件把握不准致误【例5】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )在x ＝1处取得极值10，则f (2)的值为________．【答案】18【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.单调递增单调递减当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时f (x )没有极值，不符合题意．综上可知，f (2)＝18.一、单选题1．函数()()1cos sin x x f x =-在[]π,π-的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据定义判断()()1cos sin x x f x =-是奇函数排除B ；根据[]0,πx ∈时，()0f x ≥，故排除选项A ；求导，利用导数判断单调性和极值点可排除D ，进而可得正确选项. 【解析】因为函数()()1cos sin x x f x =-的定义域为[]π,π-，关于原点对称，由()()()()()1cos sin 1cos sin f x f x x x x x =-⋅-=--=--，所以()()1cos sin x x f x =-是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B ；当[]0,πx ∈时，()()1cos sin 0x f x x =-≥，故排除选项A ；()()()()22sin 1cos cos 2cos cos 1cos 12cos 1x x x x x x x f x =+-=-++=--+'当2π03x <<时，()0f x '>；当2ππ3x <<时，()0f x '<，所以函数()()1cos sin x x f x =-在()0,π上的极大值点为2π3x =，故排除选项D ，故选：C.2．设函数()x f x xe =，则（）A ．1x =-为()f x 的极大值点且曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1B ．1x =为()f x 的极小值点且曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为2eC ．1x =-为()f x 的极小值点且曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1D ．1x =-为()f x 的极小值点且曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为2e 【答案】C 【分析】对函数()f x 求导，求出函数()f x 的单调性，进而可得出其极值点，由(0)1f '=，可得到在点(0,(0))f 处的切线斜率．【解析】解：因为()x f x xe =，所以()(1)x x x f x e xe x e '=+=+，令()0f x '>，解得1x >-，令()0f x '<，解得1x <-， ()f x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，1x ∴=-是函数()f x 的极小值点，又(0)1f '=，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为1，故选：C ．3．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，()f x 在(0,)+∞单调递减B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点【答案】C 【分析】直接法，逐一验证选项.选项A ，利用导数的符号进行判断即可；选项B ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项C 通过导数求出函数极值并判断极值范围；选项D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线y a =的交点问题．【解析】对于选项A ，当1a =-时，()sin x f x e x =-，(0,)x ∈+∞，()cos 0x f x e x -'=>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故选项A 不正确；对于选项B ，当时，()sin x f x e x =-，(0)1f =，故切点为(0,1) ，()cos x f x e x '=-，所以切线斜率0)0k f ='(=，故直线方程为：10(0)y x -=-，即切线方程为：1y = ，故选项B 不正确；对于选项C ，当1a =时，()+sin x f x e x =，(,0)x π∈-，()+cos x f x e x '=，()sin 0x f x e x ''=->恒成立，所以()f x '单调递增，又3433()cos()044f e πππ-'-=+-<，2()02f e ππ-'-=> 故()f x '存在唯一极值点，不妨设3,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，则0()=0f x '，即00+cos =0x e x ，且003,()0;,()042x x f x x x f x ππ''-<<<<<->，所以极小值000000()=+sin sin cos )(1,0)4xf x e x x x x π=--∈-，故选项C 正确；对于选项D ，对于()+sin x f x e a x =，(,+)x π∈-∞，令()0f x =，即+sin 0x e a x =，当,1x k k π=>-，且Z k ∈，显然没有零点，故,1x k k π≠>-，且Z k ∈，所以sin x e a x=-则令()sin x e F x x =-，2(cos sin )()sin x e x x F x x -'=，令()=0F x '，解得+,14x k k k Z ππ=≥-∈，，所以3(,)4x ππ∈-- 单调递减，3(,0)4x π∈- 单调递增，有极小值343()40F ππ-->，于是知(,0)x π∈-时得34()F x π-≥ ，所以当34)a π-∈时，函数无零点，对于条件中任意的0a >均有零点矛盾，故选项D不正确；故选：C 【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．4．若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（）A ．()2,2-B ．(-C ．⎡-⎣D ．[]22-,【答案】D 【分析】求()()222e xx a f x x a ⎡⎤++++⋅⎣⎦'=，由分析可得()2220y x a x a =++++≥恒成立，利用0∆≤即可求得实数a 的取值范围.【解析】由()()22e xx a f x x =++⋅可得()()()()222e 2e 22e x x xx a x ax x a x f a x ⎡⎤=+⋅+++⋅=++++⋅⎣⎦'，e 0x >恒成立，()222y x a x a =++++为开口向上的抛物线，若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则()2220y x a x a =++++≥恒成立，所以()()22420a a ∆=+-+≤，解得：22a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]22-,，故选：D.5．已知函数322()3f x x mx nx m =-++在1x =-处取得极值0，则m n +=（） A ．2 B ．7C ．2或7D ．3或9【答案】B 【分析】求导得到导函数，根据题意得到()10f '-=且()10f -=，解得答案并验证即可. 【解析】322()3f x x mx nx m =-++，2()36f x x mx n '=-+，根据题意：(1)360f m n '-=++=，2(1)130f m n m -=---+=，解得13m n =-⎧⎨=⎩或29m n =-⎧⎨=⎩，当13m n =-⎧⎨=⎩时，()22()363310f x x x x '=++=+≥，函数单调递增，无极值点，舍去. 当29m n =-⎧⎨=⎩时，()()2()3129314f x x x x x '=++=++，在(),4x ∈-∞-和()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，函数单调递增；在()4,1x ∈--时，()0f x '<，函数单调递减，故函数在1x =-出有极小值，满足条件. 综上所述：927m n +=-=. 故选：B.6．关于函数()2()23xf x x x e =--，给出下列四个判断：①()0f x <的解集是{}13x x -<<； ②()f x 有极小值也有极大值； ③()f x 无最大值，也无最小值； ④()f x 有最大值，无最小值. 其中判断正确的是（） A ．①②③ B ．①②④ C ．②③ D ．①④【答案】A 【分析】对①，将不等式转化为2230x x --<，解一元二次不等式；对②，对函数求导后，再解导数不等式；对③④利用导数求出函数的单调区间，结合,x x →-∞→+∞时，函数值的取值情况，即可得到答案；【解析】①因为0x e >，所以由()0f x <得()2()230x f x x x e =--<，即2230x x --<，解得13x ，即()0f x <的解集是{}13x x -<<，所以①正确．②函数的导数为()()22()(22)235x x xf x x e x x e x e =-+--=-'，由()0f x '>，得x >x <()0f x '<得x所以当x =x =②正确．③由②知，当)x ∈+∞或(,x ∈-∞时，函数单调递增，且x →+∞时，()f x →+∞；当x →-∞时，()0f x →，所以()f x 无最大值，也无最小值．所以③正确．④由③知()f x 无最大值，也无最小值，所以④错误．所以判断正确的是①②③．故选：A ．7．已知函数3()f x ax x =-，若x R ∀∈，()cos 0f x x '+≥，则实数a 的最小值为（）A ．12 B ．17C ．14 D ．16【答案】D 【分析】原问题转化为231cos 0ax x -+≥恒成立，令2()31cos g x ax x =-+，利用导数求其最小值为()00g =，只需满足()0g x ≥即可求解. 【解析】由函数3()f x ax x =-，得()231f x ax '=-，若x R ∀∈，()cos 0f x x '+≥，即231cos 0ax x -+≥恒成立，令2()31cos g x ax x =-+，()6sin g x ax x '=-，当61a ≥时，若0x <时，()6sin sin 0g x ax x x x '=-≤-<，若0x >时，()6sin sin 0g x ax x x x '=-≥->，所以0x =时函数()g x 取得最小值()00g =，所以()0g x ≥成立，故16a ≥时，x R ∀∈，()cos 0f x x '+≥恒成立．故选：D8．函数221()e 4x f x x x x =---的极大值为（）A ．12-B ．12e-C ．0D ．14-【答案】B 【分析】根据函数的导数，分析函数单调性区间即可求出函数极大值. 【解析】函数221()e 4x f x x x x =---的定义域为R ，则2()(21)e 1xf x x ，令()0f x '=，解得0x =，12x =-，当12x <-或0x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当102x -<<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，所以当12x =-时，()f x 取得极大值1122ef ．故选：B二、多选题9．已知函数()2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 只有一个极值点B ．设()()()g x f x f x =⋅-，则()g x 与()f x 的单调性相同C ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 有且只有两个零点【答案】ACD 【分析】利用()f x 的二次求导，得到()00f '>， 102f ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，从而存在01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，结合函数极值点的定义即可判断选项A ，求出()g x 的解析式，然后利用导数研究其单调性即可判断选项B ，利用函数单调性的结论即可判断选项C ．利用函数()f x 的极值点即可判断选项D . 【解析】解：由题知，()2cos f x x x '=+，()2sin 0f x x ''=->，所以()2cos f x x x '=+在R 上单调递增，当0x =时，()010f '=>；当12x =-时，111cos 022f ⎛⎫'-=-+< ⎪⎝⎭，所以存在01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，所以函数2()sin f x x x =+在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()f x 有且只有一个极值点，故A 正确；因为2()sin f x x x -=-，所以42()()()sin g x f x f x x x =⋅-=-，所以33()42sin cos 4sin 2g x x x x x x '=-=-，所以(0)0g '=，故()g x 的一个极值点为0，所以()g x 与()f x 的单调性不相同，故B 错误；因为2yx 与sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上都是单调递增，所以2()sin f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；因为()f x 有且只有一个极值点0x ，01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且(0)0f =，所以()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上各有一个零点，所以()f x 有且只有两个零点，故D 正确．故选：ACD ．10．若函数()()3220f x x ax a =-<在6,23a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值可能为（）A ．－6B ．－5C ．－3D ．－2【答案】AB 【分析】求导得到导函数，计算函数的单调区间，得到函数的极大值点，根据题意得到633a a f f +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得答案.【解析】()322f x x ax =-，则()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，当,3a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+时，()0f x '>，函数单调递增；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减.()f x 在3ax =处取极大值为3327a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.函数()()3220f x x ax a =-<在6,23a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，故6233a a a +<<，且633a a f f +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3236632327a a a a ⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++，解得4a ≤-. 故选：AB.11．关于函数()1ln f x x x=+，下列说法正确的是（） A ．()1f 是()f x 的极大值 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．()f x 在(),1-∞上单调递减D ．设()()g x xf x =，则1e g g⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】由函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知选项C 错误，再利用导数求出极小值可判断选项A 错误；由1()ln y f x x x x x=-=+-求导，可判断该函数在(0,)+∞上单调递减且1x =时其函数值为0，可判断选项B 正确；对()()1ln g x xf x x x ==+求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D 正确. 【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知C 错误，对A ，22111()x f x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，函数()f x 取得极小值(1)1f =，故A 错误；对B ，1()ln y f x x x x x=-=+-，其定义域为(0,)+∞， 22222131112410x x x y x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭=-+-==<'，所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上单调递减，又1x =时其函数值为0，所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；对D ，()()1ln g x xf x x x ==+，其定义域为(0,)+∞， (),ln 1g x x =+，令(),0g x =，得1=x e，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当1=x e 时，函数()g x 取得极小值1g e ⎛⎫⎪⎝⎭，也是最小值，所以1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．已知函数ln ()1x a xf x e x-=--有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()1,+∞ 【分析】将原函数有两个不同零点，等价于ln 1x axe x-=+有两个不同的根，通过变形，换元，得到原式子等价于()ln 0a t t t e =>有两个不等根，构造函数()ln a tg t t e=-，研究函数的单调性，极值问题，可得到只要函数最大值大于零即可. 【解析】ln ()1x a x f x e x-=--有两个不同的零点，等价于方程ln 1x a xe x -=+有两个不同的根，变形为ln 1ln ln x xx a a e x xe x x xe e x e=+⇒=+= 设x t xe =，原式子等价于()ln 0att t e => 有两个不等根()()'11ln ,a at g t t g t e t e =-=- 函数极值点为a t e = 函数在()0,ae上是单调递增的，函数在(),ae +∞上是单调递减的，故得到函数的最大值为()01ag e a >⇒>当t 趋向于0时，()g t 趋向于负无穷，当t 趋向于正无穷时，()g t 趋向于负无穷函数最大值大于零，故可得当1a >时，函数有两个不等的根. 故答案为：()1,+∞.13．已知函数()()2133f x x x x a =++，()f x 有两个极值点1x ，2x ，设()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，直线AB与x 轴的交点在曲线()y f x =上，则a 的值是__________. 【答案】0或2或94【分析】求出导函数，确定存在两个极值点的条件，然后对极值点12,x x 按12()()0f x f x ''==处理，计算()321111133a f x x x x =++，利用1()0f x '=代入进行幂，得出()112()399a f x a x =--，同理()()222399a f x a x =--，从而得出直线l 的方程()2399ay a x =--，由此求得直线与x 轴交点坐标，由交点在函数图象上求得a 的值．【解析】（1）因为()()2321113333f x x x x a x x ax =++=++，所以()()2221133a a f x x x x '=++=++-. ①当3a ≥时，()0f x ≥，当且仅当3a =，且1x =-时，()0f x '=.所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间，没有极值点． ②当3a <时，令()0f x '=，得11x =-21x =-+()f x '，()f x 的变化情况如下：所以()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞- ⎝，1⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11⎛-- ⎝. （2）因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（1）知3a <，且1x ，2x 是方程()0f x '=的两个根.所以21123a x x =--，22223a x x =--. 所以()3221111111111233333a a a f x x x x x x x x ⎛⎫=++=--++ ⎪⎝⎭()21111112122233933999a ax ax x ax a x ⎛⎫=+=--+=-- ⎪⎝⎭ 同理()()222399af x a x =--. 因此直线l 的方程为()2399ay a x =--. 设直线l 与x 轴的交点为()0,0x ，得()0 23ax a =-.由题设知，点()0,0x 在曲线()y f x =上，故()00f x =，又因为()()()()322013232363a a a f x a a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()()()222222333333417186343249243243243243243a a a a a a a a a a a a a a a a -+----=++==-----所以0a =或2或94. 14．已知函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，则实数m 的取值范围为___________.【答案】()1,0-【分析】把函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，转化为()0f x '=有两个不同正根12,x x ，利用分离参数法得到ln 1x m x +=-.令()()ln 1,0x h x x x +=->，y m =，只需()ln 1x h x x +=-和y m=有两个交点.利用导数研究()()ln 1,0x h x x x+=->的单调性与极值，即可求出m 的取值范围. 【解析】()21ln 2f x x x mx =+的定义域为()0+∞，，()ln 1f x x mx '=++. 要使函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，只需()0f x '=有两个不同正根12,x x ，并且在1x 的两侧()y f x =的单调性相反，在2x 的两侧()y f x =的单调性相反.由ln 10x mx ++=得，ln 1x m x+=-. 令()()ln 1,0x h x x x +=->，y m =，要使函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，只需()ln 1x h x x+=-和y m=有两个交点. ()2ln x h x x '=，令()2ln 0x h x x '=>得：x >1；令()2ln 0xh x x '=<得：0<x <1；所以()ln 1x h x x+=-在()0,1上单减，在()1,+∞上单增. 当0x +→时，y →+∞；当x →+∞时，0y →；作出()ln 1x h x x+=-和y m=的图像如图，所以-1<m <0即实数m 的取值范围为()1,0-. 故答案为：()1,0- 【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g （x ）的方法，把问题转化为研究构造的函数g （x ）的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究，四、解答题15．已知函数321()2313f x x x x =-++．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）310x y -+= （2）极大值为7(1)3f =，极小值为(3)1f = 【分析】（1）求导2()43f x x x '=-+，进而得到(0)3f '=，又(0)1f =，写出切线方程；（2）由（1）知()(1)(3)f x x x =--'，分别令()0f x '>，()0f x '<求解. （1）解：2()43f x x x '=-+， ∴(0)3f '=，又(0)1f =， ∴所求切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=．（2）由（1）易知()(1)(3)f x x x =--'，∴令()0f x '>，得1x <或3x >；令()0f x '<，得13x <<． ∴()f x 在(,1),(3,)-∞+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减． ∴()f x 的极大值为7(1)3f =，极小值为(3)1f =．16．已知函数()(()222ln f x x a a x a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的极值点个数；（2）若10a -<<，求证：函数()f x 有两个不同零点12,x x 2>．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【分析】（1）求出函数()f x 的导函数()f x '，对a 进行分类讨论，分别求出导函数()f x '在函数()f x 定义域内()0f x '>及()0f x '<的区间即可；（2）由a 的取值范围及（1）中结论先证得ln 1x x ≤-，从而利用零点存在性定理证明函数()f x 有两个不同的零点，再设2,0x t t =>，构造函数()(),p t h t ，利用函数()p t 和()h t 的单调性即可证明．（1）由题意可知函数()f x 的定义域为()(),0, 2af xx '+∞=即())(()10f x x x'=>．①当0a ≤时，由()'0f x =得1x =，则()f x 与()'f x 的情况如表所示：所以当0a ≤时，函数()f x 有1个极值点；②当2a >时，由()0f x '=得1x =或2a x =则()f x 与()f x '的情况如表所示：所以当2a >时，函数()f x 有2个极值点；得1x =或24a x =③当02a <<时，由()0f x '=则()f x 与()f x '的情况如表所示：所以当02a <<时，函数()f x 有2个极值点；④当2a =时，())2210f x x'≥=在()0,∞+上恒成立，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当2a =时，函数()f x 没有极值点．综上，当0a ≤时，函数()f x 有1个极值点﹔当02a <<或2a >时，函数()f x 有2个极值点；当2a =时，函数()f x 没有极值点．（2）证明：由（1）可知，当10a -<<时，函数()f x 在()1, +∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()()() 1210min f x f a ==-+<．先证明ln 1x x ≤-，设函数()ln 1g x x x =-+，则()1 xg x x-'=．在(0,1)上，()0g x '>，在(1,)+∞上，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1, +∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，所以当0x >时，ln 1x x ≤-，则(22222ln 424a a a f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()2222ln 22a a a a ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ ()2222122a a a a ⎛⎫≥+++-- ⎪⎝⎭202a => 所以函数()f x 在()0,1上有唯一零点．又()()42ln220f a =->，所以函数()f x 在(1)+∞，上有唯一零点，所以当10a -<<时，函数()f x 有两个不同零点．设12,x x 是()f x 的两个零点，且()()120,1,1,x x ∈∈+∞．设()20x t t =>，则函数()y f x =等价于()()22222ln p t t a t a t =-++，由复合函数的单调性知函数()p t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且有两个零点12 t t因为()10,1t ，则()()()()()12111,21,2 22t p t p t p t p t -∈--=--，令函数()()()()201h t p t p t t =--<<，则()()()()()()22ln ln 2224,11200a h t a t t t t t t t t h -⎡⎤⎣⎦'=--+-=-<<<，所以函数()h t 在()0,1上单调递减，所以()()10h t h >=，所以()()2120p t p t -->，即()()212p t p t >-．因为211,21t t >->，且函数()p t 在(1)+∞，上单调递增，所以212t t >-，即122t t +>2．【点睛】本题以函数为背景，考查利用导数研究函数的极值及单调性，对含有参数的函数极值问题，解题关键是分类讨论，分类讨论确定导函数()'f x 的正负，得单调区间、极值点，然后计算出极值，用导数证明与极值点、零点有关的不等式，关键是利用极值点、零点的定义确定两个数之间的关系，以便消元，即化二元为一元，然后可利用函数知识求解．而且这类问题在求解时可能要多次求导．本题考查推理论证能力，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养，属于困难题． 17．已知函数()2cos f x ax x =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）当12a =-时，求()f x 的值域；（2）讨论()f x 极值点的个数. 【答案】（1）2,18π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）当12a ≤-或1a π≥-时，()f x 无极值点，当112x π-<<- 时，()f x 有1个极大值点，无极小值点.【分析】（1）通过求导判断出()f x 的单调性，即可求出()f x 的值域；（2）对参数a 进行讨论，通过讨论每种情况下的单调性，进而判断出极值的情况. （1）因为()21cos 2f x x x =--，所以()sin f x x x '=-+，设()sin g x x x =-+，()1cos g x x '=-+，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()0g x '≤，()g x 单调递减，则()(0)0g x g ≤=，即()0f x '≤，所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，2(0)1,()28f f ππ=-=-，所以()f x 的值域为：2,18π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）因为()2cos f x ax x =-，所以()2sin f x ax x '=+，设()2sin h x ax x =+，()2cos h x a x '=+，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，()[]2,21h x a a '∈+（1）当210a +≤，即12a ≤-时，()0h x '≤，()h x 单调递减，()(0)0h x h ≤=，即()0f x '≤，()f x 单调递减，()f x 无极值，（2）当20a ≥，即0a >时，()0h x '≥，()h x 单调递增，()(0)0h x h ≥=，即()0f x '≥，()f x 单调递增，()f x 无极值，（3）当20210a a <⎧⎨+>⎩ 即102a -<<时，()h x '在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，则存在0x x =，使得()00h x '=，即02cos 0a x +=，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当00x x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当02x x π<<时，()0h x '<，()h x 单调递减，因为(0)0h =，所以0()0h x >，12h a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，①当10a π+≥，即10a π-≤<时，02h π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即()0h x ≥恒成立，即()0f x '≥，()f x 单调递增，()f x 无极值， ②当10a π+<，即112a π-<<-时，02h π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则存在10,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，()10,x x ∈时，()0h x >，()0f x '>，()f x 单调递增，1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减， 1x 是()f x 的极大值点，综上所述，当12a ≤-或1a π≥-时，()f x 无极值点，当112x π-<<- 时，()f x 有1个极大值点，无极小值点.。

函数极值问题

函数极值问题函数极值问题是数学中的一个重要概念，在求解问题过程中经常会遇到。

一个函数的极值是指函数在某一区间上取得的最大值或最小值。

求解函数的极值问题，不仅需要掌握一些基本的数学工具和方法，还需要充分理解函数的性质，并能够运用所学知识灵活解决实际问题。

首先，要求解一个函数的极值问题，必须知道这个函数的表达式。

假设我们已经得到了函数的表达式，下面就可以使用微积分的方法来求取其极值。

接下来，我们将介绍两种常见的函数极值问题：一、闭区间上的极值问题；二、开区间上的极值问题。

一、闭区间上的极值问题对于一个闭区间上的函数，要求其极值可能有以下几种方法。

1. 寻找临界点：首先求出函数的导函数，然后令导函数为零，解方程得到函数的临界点。

在闭区间的内部，临界点可能是极值点，对于一元函数，在端点也可能是极值点。

2. 应用闭区间法：对于连续的闭区间上的函数，可以通过闭区间法来求取其最大最小值。

具体方法是首先求出函数在区间两端点处的函数值，然后求出区间中点处的函数值，比较三个函数值的大小，根据大小关系来缩小区间范围，重复这个过程直到区间足够小，然后判断最后剩下的点是否是极值点。

二、开区间上的极值问题对于一个开区间上的函数，要求其极值可能有以下几种方法。

1. 求导数去开区间上的导函数，然后令导函数为零，解方程得到函数的临界点。

在开区间的内部，临界点可能是极值点。

2. 应用开区间法：对于开区间上的函数，可以通过开区间法来求取其最大最小值。

具体方法是选择开区间的一点作为初始点，然后求该点对应的函数值，根据函数值和该点的大小关系，调整初始点的位置，然后遍历整个开区间，不断调整初始点的位置，直到找到极值点。

函数极值问题是微积分课程中的重要内容，在解决实际问题中有着广泛的应用。

无论是闭区间上的函数，还是开区间上的函数，掌握求解极值问题的方法能帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题。

除了以上介绍的方法外，还可以根据问题的特点和条件，选择合适的求解方式。

高中数学极值

高中数学极值
【原创版】
目录
1.极值的基本概念和性质
2.求极值的方法
3.极值在高中数学中的应用
4.极值问题的解题技巧
5.总结
正文
一、极值的基本概念和性质
在高中数学中，极值是一个重要的概念，它涉及到函数的最值问题。

极值分为最大值和最小值，通常在函数的局部区域内出现。

极值的性质有以下几点：
1.若函数在某区间内可导，则在该区间内一定存在极值；
2.函数在极值点处的导数等于零；
3.函数在极值点处可能取得最大值、最小值或无法取得最值。

二、求极值的方法
求极值的方法主要包括以下几种：
1.导数法：利用函数的导数为零求出极值点，然后通过二阶导数判断极值类型；
2.函数图像法：通过观察函数图像的凹凸性，判断极值类型；
3.完全平方公式法：对含有完全平方项的函数，通过配方法求极值。

三、极值在高中数学中的应用
极值在高中数学的各个模块中都有涉及，如函数、导数、不等式等。

掌握极值求解方法，有助于提高解题能力。

以下是一些极值问题的应用实例：
1.求函数在某区间内的最大值或最小值；
2.求解不等式的最优解；
3.求解最值问题，如已知函数的最大值和最小值，求参数的取值范围等。

四、极值问题的解题技巧
在解决极值问题时，可以采用以下技巧：
1.熟练掌握求导法则，迅速找到导数为零的点；
2.能够通过函数图像判断极值类型；
3.注意利用已知条件，如函数的性质、定义域等，进行综合分析。

五、总结
极值问题是高中数学中的一个重要内容，掌握极值的基本概念、性质以及求解方法，对于提高解题能力具有重要意义。

2023届高考数学导数满分通关：函数的极值

专题08函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1．图1图22．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点x i是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．考点一根据函数图象判断极值【方法总结】由图象判断函数y ＝f (x )的极值(1)y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点的横坐标为x 0，可得函数y ＝f (x )的可能极值点x 0；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；如果在x 0附近的左侧f ′(x )≤0，右侧f ′(x )≥0，那么f (x 0)是极小值．【例题选讲】[例1](1)函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点答案 C 解析设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4．当x ＜x 1时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C ．(2)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D 解析由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0．由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．故选D ．(3)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，x 1，x 2是函数y ＝f (x )的两个极值点，则x 21＋x 22等于( )A ．89B ．109C ．169D ．289答案 C 解析因为函数f (x )的图象过原点，所以d ＝0．又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2．由题意知x 1，x 2是函数f (x )的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169，故选C (4)已知函数y ＝f ′(x )x的图象如图所示(其中f ′(x )是定义域为R 的函数f (x )的导函数)，则以下说法错误的是( )A ．f ′(1)＝f ′(－1)＝0B ．当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值C ．方程xf ′(x )＝0与f (x )＝0均有三个实数根D ．当x ＝1时，函数f (x )取得极小值答案 C 解析由图象可知f ′(1)＝f ′(－1)＝0，A 说法正确．当x <－1时，f ′(x )x<0，此时f ′(x )>0；当－1<x <0时，f ′(x )x >0，此时f ′(x )<0，故当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值，B 说法正确．当0<x <1时，f ′(x )x<0，此时f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )x>0，此时f ′(x )>0，故当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，D 说法正确．故选C ． (5)(多选)函数y ＝f (x )导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有( )A ．(－1，3)为函数y ＝f (x )的递增区间B ．(3，5)为函数y ＝f (x )的递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值答案 ABD 解析由函数y ＝f (x )导函数的图象可知，f (x )的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以f (x )在x ＝－1，5取得极小值，在x ＝3取得极大值，C 错误．故选A 、B 、D ．(6) (2018·全国Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )答案D解析当x＝0时，y＝2，排除A，B．由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D．【对点训练】1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．41．答案A解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．f(x)有两个极值点B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值2．答案BC解析由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，∴f′(x)<0，当x∈(－2，0)时，g(x)<0，∴f′(x) >0，当x∈(0，1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0．∴f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增．故AD错误，BC正确．3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x21＋x22等于()A ．23B ．43C ．83D ．1633．答案 C 解析由题中图象可知f (x )的图象经过点(1，0)与(2，0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，所以1 ＋b ＋c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2×23＝83． 4．已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则f ′(0)f ′(1)＝________．4．答案 1 解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由图象知，方程f ′(x )＝0的两根为－1和2，则有⎩⎨⎧ －2b 3a ＝－1＋2，c 3a ＝－1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，6a ＋c ＝0，∴f ′(0)f ′(1)＝c 3a ＋2b ＋c ＝c c ＝1． 5．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3，1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零5．答案 BD 解析根据导函数的图象可知当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，＋∞)时，f ′(x )≥0， ∴函数y ＝f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y ＝f (x )的极值点，∵函数y ＝f (x )在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y ＝f (x )的最小值点，∵函数y ＝f (x )在x ＝0处的导数大于0，∴y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零．故错误的命题为BD ．考点二求已知函数的极值【方法总结】求函数的极值或极值点的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝x 2e －x 的极大值为__________，极小值为________．答案 4e －2 0 解析 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝－e －x x (x －2)．当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2．(2)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D 解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x ＞0)，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以x ＝2为f (x )的极小值点．(3)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e，则f (x )的极大值点为( ) A ．1eB ．1C ．eD ．2e 答案 D 解析 f ′(x )＝2e f ′(e)x －1e ，故f ′(e)＝1e ，故f (x )＝2ln x －x e ，令f ′(x )＝2x －1e >0，解得0<x <2e ，令f ′(x )<0，解得x >2e ，故f (x )在(0，2e)上递增，在(2e ，＋∞)上递减，∴x ＝2e 时，f (x )取得极大值2ln 2，则f (x )的极大值点为2e ．(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)·(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C 解析因为f ′(x )＝(x －1)k －1[e x (x －1＋k )－k ]，当k ＝1时，f ′(1)>0，故1不是函数f (x )的极值点．当k ＝2时，当x 0<x <1(x 0为f (x )的极大值点)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．故f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C ．(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1答案 A 解析 f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1．∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a －4＋a －1)e －3＝0，得a ＝－1．∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1．由f ′(x )＞0，得x ＜－2或x ＞1；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜1．∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1．(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( ) A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增 B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12答案 ABC 解析由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，即[xf (x )]′＝ln x x，设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln x x，由g ′(x )＞0得x ＞1，由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12．故选ABC ． [例2] 给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的拐点．已知f (x )＝ax ＋3sin x －cos x ．(1)求证：函数y ＝f (x )的拐点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝ax 上；(2)x ∈(0，2π)时，讨论f (x )的极值点的个数．解析 (1)∵f (x )＝ax ＋3sin x －cos x ，∴f ′(x )＝a ＋3cos x ＋sin x ，∴f ″(x )＝－3sin x ＋cos x ，∵f ″(x 0)＝0，∴－3sin x 0＋cos x 0＝0．而f (x 0)＝ax 0＋3sin x 0－cos x 0＝ax 0．∴点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝ax 上．(2)令f ′(x )＝0，得a ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，作出函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈(0，2π)与函数y ＝a 的草图如下所示：由图可知，当a ≥2或a ≤－2时，f (x )无极值点；当a ＝－3时，f (x )有一个极值点；当－2<a <－3或－3<a <2时，f (x )有两个极值点．[例3] (2021·天津高考节选)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －x ·e x ．(1)求函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切点的方程；(2)证明f (x )存在唯一极值点．解析 (1)因为f (0)＝0，f ′(x )＝a －(x ＋1)e x ，所以f ′(0)＝a －1，所以函数在(0，f (0))处的切线方程为(a －1)·x －y ＝0．(2)若证明f (x )仅有一个极值点，即证f ′(x )＝a －(x ＋1)e x ＝0，只有一个解，即证a ＝(x ＋1)e x 只有一个解，令g (x )＝(x ＋1)e x ，只需证g (x )＝(x ＋1)e x 的图象与直线y ＝a (a ＞0)仅有一个交点，g ′(x )＝(x ＋2)e x ，当x ＝－2时，g ′(x )＝0，当x ＜－2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当x ＞－2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＝－2时，g (－2)＝－e －2＜0．当x →＋∞时，g (x )→＋∞，当x →－∞时，g (x )→0－，画出函数g (x )＝(x ＋1)e x 的图象大致如下，因为a ＞0，所以g (x )＝(x ＋1)e x 的图象与直线y ＝a (a ＞0)仅有一个交点．即f (x )存在唯一极值点．【对点训练】1．函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( )A ．1eB ．2eC ．eD ．e 2 1．答案 C 解析因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，当f ′(x )＞0时，解得0＜x ＜e ；当f ′(x )＜0时，解得 x ＞e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e ．故选C ．2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝02．答案 C 解析 f ′(x )＝2(x 2－1)·2x ＝4x (x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1．3．函数f (x )＝12x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数3．答案 A 解析函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋1x －2＝x 2－2x ＋1x ＝(x －1)2x≥0，即f (x )在定义域上单调递增，无极值点．4．函数f (x )＝(x 2－x －1)e x (其e ＝2．718…是自然对数的底数)的极值点是；极大值为．4．答案 1或－2 5e 2解析由已知得f ′(x )＝(x 2－x －1＋2x －1)e x ＝(x 2＋x －2)e x ＝(x ＋2)(x －1)e x ，因为e x ＞0，令f ′(x )＝0，可得x ＝－2或x ＝1，当x ＜－2时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(－2，1)上单调递减；当x ＞1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故f (x )的极值点为－2或1，且极大值为f (－2)＝5e 2． 5．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋2的极大值和极小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．45．答案 D 解析 f ′(x )＝3ax 2－b ＝0，由题意，知该方程有两个根，设该方程的两个根分别为x 1，x 2，故f (x )在x 1，x 2处取到极值，M ＋m ＝ax 31－bx 1＋2＋ax 32－bx 2＋2＝－b (x 1＋x 2)＋a (x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＋4，又x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－b 3a，所以M ＋m ＝4，故选D ．6．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( ) A ．－113 B ．－16 C ．16 D ．1736．答案 B 解析由题意，得f ′(x )＝x 2－2ax －2．又x ＝－2是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(－2)＝2＋4a ＝0，解得a ＝－12．所以f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋1，所以f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)．当x ＜－2或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0．所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2，1)．当x ＝1时，函数y ＝f (x )取得极小值，为f (1)＝13＋12－2＋1＝－16．故选B ． 7．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 7．答案 B 解析由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得 a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x，∴f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52． 8．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数 C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1eD ．f (x )在定义域内无极值 8．答案 BC 解析因为f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，令f ′(x )＝0，所以x ＝1e，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，x ＝1e是极小值点，所以A 错误，B 正确；当x ∈(0，1]时，根据单调性可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，故C 正确；显然f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ，故D 错误．故选BC ．9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2 9．答案 ABC 解析由f (x )＝0，得x 2＋x －1＝0，∴x ＝－1±52，故A 正确．f ′(x )＝－x 2－x －2e x＝－(x ＋1)(x －2)e x，当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1，2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，∴f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，故B正确．又f (－1)＝－e ，f (2)＝5e 2，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→0，∴f (x )的图象如图所示，由图知C 正确，D 不正确．10．若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝________．10．答案－23 解析因为函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，且f (1)＝0，所以f (－5)＝0，f (－2)＝0，所以x ＝－2，x ＝－5是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．由根与系数的关系可得，a ＝7，b ＝10，所以f (x )＝(1－x )(x 2＋7x ＋10)，所以f ′(x )＝－(x 2＋7x ＋10)＋(1－x )(2x ＋7)＝－3(x 2＋4x ＋1)．又因为x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，所以x 1，x 2是x 2＋4x ＋1＝0的两个根，且x 1>x 2．解方程可得，x 1＝－2＋3，x 2＝－2－3，所以x 2－x 1＝－23．11．已知函数f (x )＝e x (x －1)－12e a x 2，a ＜0． (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极小值．11．解析 (1)因为f (x )＝e x (x －1)－12e a x 2，所以f ′(x )＝x e x －x e a ．所以f (0)＝－1，f ′(0)＝0．所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－1．(2)f ′(x )＝x e x －x e a ＝x (e x －e a )，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．f (x )与f ′(x )在R 上的变化情况如表：由表可知，当x ＝0时，f (x )有极小值f (0)＝－1．12．已知函数f (x )＝e x ＋2x． (1)求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：函数f (x )仅有唯一的极小值点．12．解析 (1)因为f ′(x )＝e x (x －1)－2x 2，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝－2．又因为f (1)＝e ＋2，所以切线方程为y －(e ＋2)＝－2(x －1)，即2x ＋y －e －4＝0．(2)证明：令h (x )＝e x (x －1)－2，则h ′(x )＝e x ·x ，所以x ∈(－∞，0)时，h ′(x )<0， x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0．当x ∈(－∞，0)时，易知h (x )<0，所以f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上没有极值点．当x ∈(0，＋∞)时，因为h (1)＝－2<0，h (2)＝e 2－2>0，所以f ′(1)<0，f ′(2)>0，f (x )在(1，2)上有极小值点．又因为h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )仅有唯一的极小值点．考点三已知函数的极值(点)求参数的值(范围) 【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．答案 1 解析由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3．当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0；当x ＜1或x ＞3时，f ′(x )＞0，此时f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意，当m ＝1时，f ′(x )＝(x －1)(3x －1)．当13<x <1时，f ′(x )<0；当x <13或x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意，所以m＝1．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________．答案 11 解析f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )无极值，所以a ＝1，b ＝3不符合题意，当a ＝2，b ＝9时，经检验满足题意．∴a ＋b ＝11．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝．答案 1 解析因为函数的导数为f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ，k ≥1，k ∈Z ，所以若k 是偶数，则x ＝k ，不是极值点，则k 是奇数，若k <52，由f ′(x )>0，解得x >52或x <k ；由f ′(x )<0，解得k <x <52，即当x ＝k 时，函数f (x )取得极大值．因为k ∈Z ，所以k ＝1．若k >52，由f ′(x )>0，解得x >k 或x <52；由f ′(x )<0，解得52<x <k ，即当x＝k 时，函数f (x )取得极小值，不满足条件．(4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．答案 a >－1 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，所以f ′(x )＝1x－ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－(ax ＋1)(x －1)x ．①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ．因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0．综合①②得a 的取值范围是a >－1．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 答案 C 解析f ′(x )＝ax －(1＋2a )＋2x ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x (a >0，x >0)，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，1内有解，且f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内先大于0，后小于0，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12>0，f ′(1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧14a －12(2a ＋1)＋212>0，a －(2a ＋1)＋2<0，解得1<a <2，故选C ．(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为；答案 (－∞，－1] 解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋ax ，由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a >0，且2×12－1＋a ≤0，所以a ∈(－∞，－1]．(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (x )＝x (ln x －ax )，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x －2ax ．由题意知，当x >0时，1＋ln x －2ax ＝0有两个不相等的实数根，即2a ＝1＋ln x x 有两个不相等的实数根，令φ(x )＝1＋ln xx (x >0)，∴φ′(x )＝－ln xx 2．当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x →0时，φ(x )→－∞，当x →＋∞时，φ(x )→0，则0<2a <1，即0<a <12．(8) (2021·全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( ) A ．a <b B ．a >b C ．ab <a 2 D ．ab >a 2答案 D 解析法一 (特殊值法)当a ＝1，b ＝2时，函数f (x )＝(x －1)2(x －2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x ＝1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝1，b ＝2可判断选项B ，C 错误；当a ＝－1，b ＝－2时，函数f (x )＝－(x ＋1)2(x ＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x ＝－1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝－1，b ＝－2可判断选项A 错误．法二(数形结合法)当a>0时，根据题意作出函数f(x)的大致图象，如图3所示，观察可知b>a．图3当a<0时，根据题意作出函数f(x)的大致图象，如图4所示，观察可知a>b．图4综上，可知必有ab>a2成立．故选D．[例2]已知曲线f(x)＝x e x－23ax3－ax2，a∈R．(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数y＝f(x)有三个极值点，求实数a的取值范围．解析(1)当a＝0时，f(x)＝x e x⇒f′(x)＝e x＋x e x⇒f′(1)＝2e，又f(1)＝e，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，化简得y＝2e x－e．(2)因为f′(x)＝e x(x＋1)－2ax(x＋1)＝(x＋1)(e x－2ax)，所以令f′(x)＝0⇒(x＋1)(e x－2ax)＝0⇒x＋1＝0或e x－2ax＝0，由于函数y＝f(x)有三个极值点，所以方程e x－2ax＝0必有两个不同的实根，设g(x)＝e x－2ax，则g′(x)＝e x－2a，易知a≤0时，g′(x)>0，g(x)在R上单调递增，不合题意，故a>0，所以g(x)的两个零点必为正数．令g′(x)＝0⇒e x－2a＝0⇒x＝ln(2a)，所以在x∈(－∞，ln(2a))时，g′(x)<0，g(x)单调递减；在x∈(ln(2a)，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．依题意，要使得函数g(x)＝e x－2ax有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，则g(x)min＝g(ln(2a))<0，于是e ln(2a)－2a ln(2a)<0⇒2a－2a ln(2a)<0⇒1－ln(2a)<0⇒a>e2．所以当a >e2时，在x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(－1，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e2，＋∞．【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．11．答案 A 解析 f ′(x )＝e x ＋(x ＋a )e x ＝(x ＋a ＋1)e x ．由题意知f ′(1)＝e(2＋a )＝0，∴a ＝－2．故选A ． 2．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．02．答案 B 解析由f ′(2)＝0可得c ＝2或6．当c ＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x ＝2处取得极小值；当c ＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x ＝2处取得极大值．故选B ．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．53．答案 C 解析由题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a >0，且－2＋ 3＝－2b 3a ，－2×3＝c3a ，则3a ＝－2b ，c ＝－18a ，f (x )的极小值为f (3)＝27a ＋9b ＋3c －17＝－98，解得a＝2，b ＝－3，c ＝－36，故选C ．4．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为．4．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，解得c ＞32或c ＜－32．所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．5．答案 (－∞，－1) 解析由y ′＝e x ＋a ＝0得x ＝ln (－a )(a <0)，显然x ＝ln (－a )为函数的极小值点，又ln (－a )>0，∴－a >1，即a <－1．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(e ，e) B ．(e ，2) C ．(2，e) D ．(e ，＋∞) 6．答案 B 解析令f ′(x )＝(2－a )(x －1)(e x －a )＝0，得x ＝ln a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，解得a ∈(e ，e)，由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，ln a 时，f ′(x )>0，当x ∈(ln a ，1)时，f ′(x )<0，所以2－a >0，得a <2．综上，a ∈(e ，2)．故选B ．7．已知函数f (x )＝xln x －ax 在(1，＋∞)上有极值，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，14B ．⎝⎛⎭⎫－∞，14C ．⎝⎛⎦⎤0，14D ．0，147．答案 B 解析 f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ，设g (x )＝ln x －1(ln x )2＝1ln x －1(ln x )2，因为函数f (x )在(1，＋∞)上有极值，所以f ′(x )＝g (x )－a 有正有负．令1ln x ＝t ，由x >1可得ln x >0，即t >0，得到y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14≤14．所以a <14，故选B ．8．若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 有极值，则实数a 的取值范围是________．8．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，18 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋a x ，由题意知y ＝f ′(x )有变号零点，令2x 2－x ＋a ＝0，即a ＝－2x 2＋x (x >0)，令φ(x )＝－2x 2＋x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋18(x >0)，其图象如图所示，故a <18．9．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．9．答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ，x >0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32．10．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________． 10．答案 ⎝⎛⎭⎫－1e ，0 解析 f (x )＝x ln x ＋m e x (x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋m e x(x >0)，令f ′(x )＝0，得－m ＝ln x ＋1e x，设g (x )＝ln x ＋1e x ，则g ′(x )＝1x －ln x －1e x(x >0)，令h (x )＝1x －ln x －1，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0(x >0)，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递减且h (1)＝0，∴当x ∈(0，1]时，h (x )≥0，即g ′(x )≥0，g (x )在(0，1]上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )max ＝g (1)＝1e ，而当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，若f (x )有两极值点，只要y ＝－m 和g (x )的图象在(0，＋∞)上有两个交点，只需0<－m <1e ，故－1e<m <0．11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．11．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 2 解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －ax －1．根据题意可得f ′(x )在(0，＋∞) 上有两个不同的零点，则ln x －ax －1＝0有两个不同的正根，从而转化为a ＝ln x －1x 有两个不同的正根，所以y ＝a 与y ＝ln x －1x 的图象有两个不同的交点，令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝2－ln xx 2，令h ′(x )>0得0<x <e 2，令h ′(x )<0得x >e 2，所以函数h (x )在(0，e 2)为增函数，在(e 2，＋∞)为减函数，又h (e 2)＝1e 2，x →0时，h (x )→－∞，x →＋∞时，h (x )→0，所以0<a <1e2．12．已知函数f (x )＝xex －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e 12．答案 C 解析 f ′(x )＝1－xe x ，所以f ′(x )，f (x )的变化如下表：若a ＝0，x ＞0时，f (x )＞0，f (x )最多只有一个零点，所以a ≠0．若f (x )有两个零点，则1e －a ＞0，即a ＜1e ，结合a ＝0时f (x )的符号知0＜a ＜1e．故选C ．。