第三节 找规律、定义新运算和程序运算
找规律程序运算定义新运算
找规律程序运算定义新运算Modified by JEEP on December 26th, 2020.第五讲找规律、程序运算、定义新运算板块一 数列、数表找规律一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。
数列规律：【例1】观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的。
那么这一组数的第k 个数是_______。
（k 为正整数）【例2】找规律，并按规律填上第五个数：357924816--，，，， ，第n 个数为： 。
（n 为正整数）【例3】有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 。
第n 个数为（n 为正整数）。
【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。
【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。
【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。
【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。
请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。
【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19后面的数应为 。
【例9】探索规律：观察下面算式，解答问题：21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；③请你用上述规律计算：10310510720032005+++++数列规律：【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时，b = 。
【精品】第03讲定义新运算与找规律(学生版)A4
f (a3) ，…
则 a3 ______， a1 a2 a3
a2014 ______________
题模二：图形类
例 2.2.1 如图，图①是一块边长为 1，周长记为 P1 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为
1 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前 2
a、 b，都有 a
A． 25
B． m2 1
C． 5
b
2
b
1 ，例如 7
D． 26
2
2
2
1
5，
随练 1.3 定义一种新运算：观察下列式：
1⊙ 3=1× 4+3=7 3 ⊙（﹣ 1） =3× 4﹣1=11 5 ⊙ 4=5× 4+4=24 4 ⊙（﹣ 3） =4× 4﹣
3=13
（ 1）请你想一想： a⊙ b=
n 果为 2k （其中
k 是使得
n 2k 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取
n 6 ，则：
6
F② 第 1次
3
F① 第 2次
10
F② 第 3次
5，若 n 1 ，则第 2 次“ F 运算”的结果是 _______ ；若 n 13 ，则
；
（ 2）若 a≠ b，那么 a⊙ b
b⊙ a（填入“ =”或“≠”）
（ 3）若 a⊙（﹣ 2b） =4，请计算 （ a﹣ b）⊙（ 2a+b）的值．
随练 1.4 符号 f 表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1） f 1 0， f 2 1 ， f 3 2 ， f 4 3 ，
（2） f 1 2 ， f 1 3 ， f 1 4 ， f 1 5，
找规律、程序运算和定义新运算.
谢老师工作室思路导航找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系.⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.常见的数列规律：⑴1，3，5，7，9，…，21n -（n 为正整数）．⑵2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）．⑶2，4，8，16，32， (2)（n 为正整数）．⑷2，5，10，17，26，…，21n +（n 为正整数）．⑸0,3,8,15，24，…，21n -（n 为正整数）．⑹2，6，12，20，…，(1)n n +（n 为正整数）．⑺x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．⑻x +，x -，x +，x -，x +，x -，…，1(1)n x +-（n 为正整数）．⑼特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.数列的规律数列的规律【例1】⑴观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k 个数是．（k 为正整数）2找规律、程序运算和定义新运算⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第八个数据是．⑶找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，，，第n 个数为：.（n 为正整数）⑷有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是．第n 个数为（n 为正整数）（5）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是，第n 个式子是.（n 为正整数）数表的规律数列的规律【例2】⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序数对(),m n 表示第m 行，从左到右第n 个数，如()4,3表示分数112.那么()9,2表示的分数是.1112211136311114121241111152030205谢老师工作室（2）正整数按图的规律排列.请写出第20行第21列的数字:．第一行第二行第三行第四行第五行第一列第二列第三列第四列第五列1251017…4361118…9871219…1615141320…2524232221………⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.①当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为.当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为.②如果设“X”型框中间的数为a，请用含a的代数式表示“X”型框中五个数的和；③若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－285吗？若能，请求出这图形的规律数列的规律【例3】⑴下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案由个基础图形组成．⑵观察下列图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★，第n 个图形有个★.⑶图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．图3图2图1①图2有个三角形；图3有个三角形；②按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形？谢老师工作室⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是．第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形算式的规律数列的规律【例4】观察下列等式：①23aa+=；②65aa+=；③127aa+=；④209aa+=…；则根据此规律第6个等式为，第n个等式为．思路导航一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．程序运算数列的规律【例5】⑴如下图，输入23x=-，则输出值y是．⑵如下图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是.⑶如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……，第2013次输出的结果为．⑷按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的x 的所有值.输出结果谢老师工作室【例6】阅读下面的框图并回答下列问题：（1）若A为785，则E=_____________；（2）按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值；（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数2．”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．字所得的差大于．．思路导航定义新运算⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序.②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.定义新运算数列的规律【例7】⑴现定义两种新运算∆∇、，对于任意两个整数a、b ，都有：1a b a b ∆=+-，1b a b a ∇=-.试求：(∆∆∇(34)21)的值.⑵用“×”定义新运算：对于任意a b ，，都有a ×b 2a b =-．例如，4×27479=-=，那么5×3=；当m 为有理数时，m ×（1-×2）=．⑶对于正整数a ，b ，c ，d ，规定a b ad bc cd=-，若1134b d<<，则b d +=．谢老师工作室⑷定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-，①2a 是1a 的差倒数，则2a =；②3a 是2a 的差倒数，则3a =；③4a 是3a 的差倒数，则4a =，…，依此类推，则2009a =．【选讲题】【例8】（1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是_______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是（用含n 的代数式表示）．（2）数1234,,,,a a a a 满足下列条件：10a =，211a a =-+,322a a =-+,433a a =-+, 则2013a 的值为.(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：⑴填表：⑵如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？⑶如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？训练1.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应该是（）A ．20022B ．200221-C ．20012D ．以上答案均不对训练2.根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变量x的值为32，则输出的结果是．训练3.读一读：式子“12345100++++++ ”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++ ”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1357999++++++ ，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）；又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．剪的次数12345正方形个数47谢老师工作室⑴246810100++++++ （即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为．⑵计算5211n n =-=∑（）．（填写最后的计算结果）训练4.在某种特制的计算器有一个按键★★★，它代表运算2a b a b++-．例如：输入顺序1，★★★，2-，ENTER=屏幕显示()1***2-2上述操作即是求()()12122+-+--的值，运算结果为2．回答下面的问题：⑴小明的输入顺序为5-，★★★，7，ENTER=，运算结果是．⑵小杰的输入顺序为100101，★★★，165-，ENTER=，★★★，1101-，ENTER=，★★★，6665-，ENTER=，★★★，101100，ENTER=，运算结果是．⑶若在20112012-，20102011-，20092010-，……，12-，0，12，……，20092010，20102011这些数中，任意选取两个作为a 、b 的值，进行★★★运算，则所有的运算结果中最大的值是．复习巩固数列的规律【练习1】⑴观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（）A ．20072B ．200721-C ．20082D ．20062⑵观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是，第8个式子是，第n 个式子是．（n为正整数）数表的规律【练习2】下面是由自然数排成的数表，分为A ，B ，C 三列，按这个规律，1999在第列。
第3节 找规律、定义新运算和程序运算
第三节找规律、定义新运算和程序运算1．找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系．(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系．(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系．(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．(5)数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论，常见的数列规律：(1)1，3，5，7，9，…，2n－1（n为正整数）．(2)2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）．(3)2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）．(4)2，5，10，17，26，…，n2＋1（n为正整数）．(5)0，3，8，15，24，…，n2－1（n为正整数）．(6)2，6，12，20，…，n(n＋1)（n为正整数）．(7)－x，＋x，x，＋x，－x，＋x，…，(－1)n x（n为正整数）．(8)＋x，－x，＋x，－x，＋x，－x，…，(－1)n＋1x（n为正整数）．(9)特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．②三角形数：1，3，6，10，15，21，…，[]12n n+．2．定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算，(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．3．程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．4．数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力．本节重点讲解：两大能力，三种题型（找规律、定义新运算和程序计算）．三、全能突破 基础演练1. 根据图2－3－1中数字的规律，在图形中填空．2． 观察下面一列整式：12x 2y ,－16x 4y 4, 112x 8y 9，－12x 16 y 16，…，照此规律第6个整式是 ， 第n 个(n ≥1且为整数)整式是 ．3． 正整数按图2－3－2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字 ．4． 图2－3－3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板 砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和 6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层 中含有正三角形个数是 个． 5． 如图2－3－4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从 某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走 几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小宇在编号为3的顶点时， 那么他应走3 个边长，即从3→4→5→1为第一次”移位”，这时他到达 编号为1的顶点； 然后从1→2为第二次“移位”，若小宇从编号为 2的顶点开始，第10次“移 位”后，则他所处顶点的编号是 ； 笫2012次“移位”后，则他所处顶 点的编号是 ． 6．观察下列等式：① 42－12＝3×5； ② 52－22＝3×7； ③ 62－32＝3×9； ④ 72－42＝3×11 ……则第n （n 是正整数）个等式为 ．7．我们规定一种运算：a bc d＝ad－bc，若421x x＝0，则x＝．8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2－3－5所示的步骤操作: 乘以3 减去6 除以3 加上7 告诉魔术师结果图2-3-5魔术师立刻说出观众想的那个数．(1) 如果小明想的数是－1，那么他告诉魔术师的结果应该是；(2) 如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是；(3) 观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．能力提升9．已知：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，…，以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定20062007＋20072006的个位数字为( )A．3B．4C．5D．610．如图2－3－6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2－3－7(a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2－3－7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15B．25C．55D．122512．(1) 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是．(2) 任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为．13．在下表中，我们把第i行第j列的数记为a i,j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i,j规定如下：当i≥j时，a i,j＝1；当i＜j时，a i,j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，a i,j＝a2,1 ＝1．按此规定，a1,3＝；表中的25个数中，共有个1；计算a1,1·a i,1＋a1,2·a i,2＋a1,3·a i,3＋a1,4·a i,4＋a1,5·a i,5的值为．14．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图2－3－8所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为．15．已知，m≥2，n≥2，且m，n均为正整数，如果将m n进行如图2－3－9所示方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在25的“分解”中最大的数是11．②在43的“分解”中最小的数是13．③若m3的“分解”中最小的数是23，则m等于5．其中正确的是．11a，12a，13a，14a，15a，21a，22a，23a，24a，25a，31a，32a，33a，3,4a3,5a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5a16．有一个运算程序，当aΘb＝n（n为常数）时，则(a＋1)b＝n＋1，a(b＋1)＝n－2，若1Θ1＝2则2012Θ2012＝．17．按图2－3－10所示的程序计算：是x+的值>500 输出结果输入x计算51否图2-3-10若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x的可能值为．18. 如图2－3－11所示，从左到右，在每个小格子中都填人一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 ＆＃x6- 2 ……图2-3-11(1) 可求得x＝，第2012个格子中的数为．(2) 判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2012？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．19．阅读图2－3－12并回答下列问题：(1)若A为785，则E＝；(2)按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于．．2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．中考链接20．（2010．北京）图2－3－13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n＋1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是（用含n的代数式表示）．21．（贵阳市中考题改编）符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： ①f (1)＝0，f (2)＝1，f (3)＝2，f (4)＝3，… ②12f ⎛⎫=⎪⎝⎭2，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3，14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4，15f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5，… 利用以上规律计算：12012f ⎛⎫⎪⎝⎭－f (2012)＝ ．22．(1)（2009年．咸宁）如图2－3－14所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第 1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为 ．(2)(山东临沂中考)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示例如，用十六进制表示：5＋A ＝F ，3＋F ＝12，E ＋D ＝1B ，则A ×C ＝ ．巅峰突破23．图2－3－15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果 是 ．24．对于两数a 和b ，给定一种运算“#”：a #b ＝a ＋b －ab ，则在下列等 式中：①a #b ＝b #a ； ②a #0＝a ； ③(a #b )#c ＝a #(b #c )． 正确的是 (填序号)．25．正整数n 小于100，并满足等式236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝n ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有多少个？十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ABCDEF十进制 012345678910 11 12 13 14 15。
定义新运算讲义
定义新运算定义1、定义新运算是指：用一个符号把字母连接在一起，表示一种新的运算。
注意：（1）做题的关键是要正确理解式子含义，按照式子的计算顺序，将数值代入式子中，转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）它通常使用特殊的运算符号，如：*、▢、★、◎、 、Δ、▤、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例1、对于任意数a，b有a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32练习一1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。
求 8 ★ 5 。
分析与解：该题的运算顺序为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8，b代表数字5。
8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6练习二对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。
计算3⊕5。
例3、如果a▢b=a×b-(a+b)。
求6▢（9▢2）。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。
括号里的部分已经构成了新运算，其运算结果又与括号外的部分构成新运算。
本题要运用新运算的关系，计算两次。
6▢（9▢2）=6▢[9×2-（9+2）]=6▢7=6×7-（6+7）=42-13=29练习三1、规定a▣b=a×b-（a＋b）。
求（10▣5）＋（28▣5）的值例4、已知1◎4=1+2+3+4，4◎5=4+5+6+7+8，按此规定，2001◎5=？分析与解：通过观察可以发现，“◎”这个特殊的符号在这道题中所规定的定义是求几个连续的自然数的和。
1◎4表示从1开始连续4个自然数的和，4◎5表示从4开始5个连续自然数的和，2001◎5是表示从2001开始连续5个自然数的和。
找规律、程序运算和新定义-学生版
|
A． 2 6n
B． 8 6n
C． 4 4n
D． 8n
【变式练习】如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连
接图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图
中三角形的个数的规律完成下列问题.
（1）将下表填写完整； 图形编 号 三角形
10
又如13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 可表示为 n3 ． n1
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．
⑴ 2 4 6 8 10 100 (即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和)用求和符合可表示 为．
5
⑵计算 （n2 1） n1
．(填写最后的计算结果)
PP 0 A4 A3 A2
P A1
模块二：程序运算与新定义
【例20】 ' 【例21】定义一种新运算： a b 1 a b ，那么 4*（-1）= _______
2
P
x A
【例22】现定义一种新运算：★，对于任意整数 a、b，有 a★b=a+b-1，求 4★[（6★8）★（3★5）] 的值
/
【例23】用“ ”、“ ”定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 a b=a 和 a b=b，例如 3 2=3，
【例27】定义：a
是不为1
的有理数，我们把
1 1
a
称为
a
的差倒数．如：2
的差倒数是
1
1
2
1ห้องสมุดไป่ตู้
，1
的
差倒数是
1
1 (1)
1 2
．已知
a1
1 3
第三讲找规律,程序运算与定义新运算
， ．
【例 7】⑴【★★☆】（08内江）根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．
⑵【★★☆】填在下列三个田字格中的数具有相同的规律，根据此规律填空白田字格．
⑶【★★★☆】（2009年广西南宁）正整数按图的规律排列．请写出第 行，第 列的数
字．
9【解析】⑴如图．⑵如图．⑶ ．
【例 8】⑴（2012恩施市）观察数表
，所以 ．
④由③的例子可知“ ”也没有结合律．
⑤因为 ，解出 ．
点评：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的 倍减去符号后面的数的 倍．在定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值．还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．
， 所以由密文字母 得到明文字母 的公式为：
③根据②中求得的公式，密文 对应的明文单词是 ．
※※※※定义新运算※※※※
前面学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方．如： ， 都是 和 的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同．可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．下面来了解和熟悉“定义新运算”．
现给出一个公式：
将明文字母对应的数字 按以上公式计算得到密文字母对应的数字 ，比如明文字母为 ， ，所以明文字母 对应的密文字母为 ．
①按照上述规定，将明文 译成的密文是什么?写出你的计算过程；
第三节-找规律、定义新运算和程序运算
'第三节 找规律、定义新运算和程序运算一、课标导航二、核心纲要1.找规律 ~解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论。
有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件。
一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系。
(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系。
(3)图形（图标）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系。
(4) 图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。
(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。
常见的数列规律：(1) 1,3,5,7,9，…，12-n （n 为正整数）； 。
(2) 2,4,6,8,10，…，n 2（n 为正整数）； (3) 2,4,8,16,32，…，n 2（n 为正整数）； (4) 2,5,10,17,26，…，12+n （n 为正整数）； (5) 0,3,8,15,24，…，12-n （n 为正整数）； (6) 2,6,12,20，…，)1(+n n （n 为正整数）；(7) x -,x +,x -,x +,x -,x +,…，x n )1(-（n 为正整数）； (8) x +,x -,x +,x -,x +,x -,…，x n 1)1(+-（n 为正整数）；(9) 特殊数列： &①斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13，…，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数的和；②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，2)1(+n n 。
2.定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按基本运算过程、运算规律进行运算。
(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序； ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
第三节 找规律、定义新运算和程序运算(含答案)...七年级数学 学而思
第三节 找规律、定义新运算和程序运算高频核心考点1．找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系：(2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号以之间的关系；(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号挖之间的关系：(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数；(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论． 2．常见的数列规律1n 2,,9,7,5,3,1)1(-Λ（n 为正整数）； n 2,,10,8,6,4,2)2(Λ （n 为正整数）；n 2,,32,16,8,4,2)3(Λ（n 为正整数）； 1,,26,17,10,5,2)4(2+n Λ（n 为正整数）； 1,,24,15,8,3,0)5(2-n Λ（n 为正整数）；)1(,,20,12,6,2)6(+n n Λ（n 为正整数）：x x x x x x x n ⋅-+-+-+-)1(,,,,,,,)7(Λ（n 为正整数）； x x x x x x x n ⋅--+-+-++1`)1(,,,,,,,)8(Λ（n 为正整数）；(9)特殊数列：①斐波那契数列：,,13,8,5,3,2,1,1Λ从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和：②三角形数：2)1(,,21,15,10,6,3,1+n n Λ（n 为正整数）． 3．定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算；(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序； ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 4．程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 5．数学能力探究、归纳、总结和知识迁移的能力，方法技巧提炼1．规律题观察，总结，猜想，验证． 2．新定义观察定义，对比代入，注意运算顺序以及符号． 3．程序运算精题精讲精练例1．（山东威海中考）一组按规律排列的数：,167,93,41Λ,3621,2513请你推断第9个数是检测1．(1)（福建福州中考）瑞士中学巴尔末成功地从光谱数据Λ,3236,2125,1216,59中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数据日是(2)（吉林长春中考）按下列规律排列的一列数对,),8,7(),5,4(),2,1(Λ第5个数对是例2．（四川内江中考）?100321=++++Λ经过研究，这个问题的一般性结论是+++321),1(21+=+n n n Λ 其中n 是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：+⨯+⨯3221?)1(=++n n Λ 观察下面三个特殊的等式：),210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯),321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯).432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加，可以得到.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请你思考后回答：=⨯++⨯+⨯1011003221)1(Λ=++++⨯⨯+⨯⨯)2(1n 432321)2(n n ）（Λ检测2．(1)观察下面的几个算式：,4121=++ ,912321=++++ ,161234321=++++++Λ,25123454321=++++++++根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：=++++++++++1239910099321ΛΛ (2)已知：,3223222⨯=+,8338332⨯=+,154415442⨯=+,245524552⨯=+…，若a ba b ⨯=+21010符合前面式子的规律，则=+b a例3．如图2-3-1所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x 。
初一数学.找规律、程序运算和定义新运算.学生版
（ 为正整数）
（5）一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…（ ），其中第 个式子
是，第 个式子是.（ 为正整数）
【例2】⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼
茨三角形，若用有序数对 表示第 行，从左到右第 个数，如 表示分数 .那么 表示的分数是.
定义新运算
⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.
⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序.
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.
【例7】⑴现定义两种新运算 ，对于任意两个整数 ，都有： ，
.试求： 的值.
⑵用“ ”定义新运算：对于任意 ，都有 ．
如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 个图形需要黑色棋子的个数是．
【例4】观察下列等式：① ；② ；③ ；④ …；则根据此规律第6个等式为，第 个等式为．
一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．
【例5】⑴如下图，输入 ，则输出值 是．
请你按图中箭头所指方向（即 的方式）从 开始数连续的正整数 当数到12时，对应的字母是_______；当字母 第201次出现时，恰好数到的数是；当字母 第 次出现时（ 为正整数），恰好数到的数是（用含 的代数式表示）．
（2）数 满足下列条件： ， , , , 则 的值为.
(3) 如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：
小升初数学课程：第三讲 定义新运算
第三讲定义新运算一、知识梳理定义新运算经常出现在小学四至六年级思维数学和部分初一衔接学习中,有别于我们已熟悉的“＋”、“－”、“×”、“÷”基础四则运算,不再只是简单传统的运算意义和计算法则,而是通过人为赋予数或式利用各种不同的运算符号创新运算定义和算理,更融入例如字母运算、方程,甚至是找规律思想在内的一种综合计算形式,系统学习这些知识,不仅可以开阔我们的视野,而且还能进一步拓展数学思维.1、基础运算型定义新运算基础题型是指通过字母表示,依据四则运算组合和运用括号进行计算的一种简单运算方式.2、复合运算型定义新运算复合运算题型是指反复利用字母表示及其结合四则运算,在符合运算定律基础上的一种混合运算方式.3、方程思想引入型定义新运算方程思想引入题型是指在基础和复合运算基础上,把方程计算引入的一种高级运算方式.4、找规律思想引入型定义新运算找规律思想引入题型是指在基础和复合运算基础上,把找规律计算引入的一种更高级运算方式.5、综合运算型定义新运算综合运算题型是指在探索规律背景下,融合四则基础和复合运算内容,进一步拓展方程思想参与计算的一种最高级运算方式.二、例题精讲例1：设a、b为两个数,规定a&b=a×5－b×3,试计算：4&2=？.【解析】该题运算最重要的是抓住定义的本质,即a、b是怎样去运算,然后运用这样的定义进行运算.这种新的运算方法还要很快的适应,并能很好的应用,以达到解题的目的.本题规定的运算本质是：用“&”前面的数乘以5减去“&”后面的数乘以3进行计算.∴4&2=4×5－2×3=14变式1：定义运算☆为A☆B=（A＋B）÷3,试算：11☆7=？.【解析】这种新运算的本质是用符号“☆”前面的数加上“☆”后面的数的和除以3 .∴11☆7=（11+7）÷3=18÷3=6变式2：设a◎b=a×b－(a＋b),试求：3◎4=？.【解析】这种新运算的本质是用符号◎前后两个数的积减去两个数的和,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴3◎4=3×4-（3+4）=12-7=5例2：设p、q是两个数,规定：p△q = 3×p－（p＋q）÷2,试求7△（2△4）=？. 【解析】这种新运算的本质是用符号△前后两个数的积减去两个数的和的一半,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴7△（2△4）= 7△【3×2－（2＋4）÷2】= 7△3 = 3×7－（7＋3）÷2 = 16变式1：设a%b = 4×a－b,试求（5%4）%（10%6）=？.【解析】这种新运算的本质是用符号*前数的4倍减去后一个数,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴（5%4 ）%（10%6）= （4×5－4 ）%（4×10－6）= 16%34=16×4－34 = 30. 变式2：设a,b表示两个不同的数,规定a^b=3a+4b,试求(8^7)^6=？.【解析】这种新运算的本质是用符号△前数的3倍加上后一个数的4倍,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴(8^7)=3×8+4×7 52^6=3×52+4×6=24+28 =156+24=52 =180例3：设a※b = 5a－3b,已知x※（3※2）= 18,求x.【解析】这种新运算的本质是用符号※前数的5倍减去后一个数的3倍,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴3※2 = 5×3－3×2 = 9,x※9 = 5x－3×95x－27=18x=9变式1：规定a*3 = a＋（a＋1）＋（a＋2）,那么x*5 = 45,x = ________.【解析】这种新运算的本质是用符号*前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到比后一个数少1的数为止,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴x＋（x＋1）＋（x＋2）＋（x＋3）＋（x＋4）= 45,5x =35x =7变式2：有两个整数是m和n,m☆n表示 m和n的平均数,如果m☆6=17,那么,m是多少？.【解析】这种新运算的本质是用符号☆前后的数计算平均数,请注意方程算理融入特点.∴m☆6=17（m+6）÷2=17m+6=34m=28例4：如果1★3=1＋2＋3,4★5=4＋5＋6＋7＋8,那么,3★6=？.【解析】这种新运算的本质是用符号★前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到★后的数位为止.∴3★6=3+4+5+6+7+8=33变式1：如果1▽3=1×2×3,5▽3=5×6×7,根据此规律计算：6▽3=？.【解析】这种新运算的本质是用符号▽前的数开始算起,依次相差1累积连续自然数,直到加到▽后的数位为止.∴6▽3=6×7×8=336变式2：如果1#5 = 1＋11＋111＋1111＋11111,2#4 = 2＋22＋222＋2222,3#3 = 3＋33＋333,……,那么4#3 = ________；105#2 = ________.【解析】这种新运算的本质是用符号#前的数开始算起,依次增加1个数位的相同数累加,直至加到#后的数位为止.∴4#3 = 4＋44＋444 = 492；105#2 = 105＋105105 = 105210例5：定义两种运算“☆”,“○”,对于任意两个整数a、b,a☆b = a＋b－1,a○b = a ×b－1,求：（1） 4○【（6☆8）☆（3☆5）】的值；（2）若x☆（x○4）= 30,求x的值是多少？.【解析】这种新运算的本质是分别利用符号☆和○前后的数的和或积减去1,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴（1） 6☆8 = 6＋8－1 = 133☆5 = 3＋5－1 = 713☆7 = 13＋7－1 = 194○19 = 4×19－1 = 75（2） x☆（4x－1）= 30x＋4x－1－1 = 305x－2 = 30x = 6.4变式1：设x,y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k 均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,试求(1△2)*3的值.【解析】本题我们应采用逐级运算分析法.首先计算1*2,根据"*"的定义:1*2=5可以分类讨论求出m,n的值,然后通过(2*3)△4=64求出 k的值,最后再求(1△2)*3的值.∴由1*2=m×1+n×2=m+2n,则m+2n=5.又m,n均为自然数,故解出:①当m=1,n=2时:(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64,解出k=2.②当m=3,n=1时:(2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k=64,则k不为自然数,故不符合题意,舍去该种可能性.所以m=1,n=2,k=2.(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3=1×4+2×3=10.变式2：▽表示一种运算符号,它的意义是X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1) 】,已知2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3,那么2015▽2016=？.【解析】本题应从已知条件入手,首选通过方程运算计算出A值,然后代入到新运算中得出运算式,最后计算2015▽2016的值.∴2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3A=1则： X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1)】2015▽2016=1/（2015×2016）+1/（2016×2017）=1/2015-1/2017=2/4064255三、课堂总结（1）解决此类问题,关键是应首选准确且透彻地理解新运算的算式含义,然后严格按照新定义的计算顺序,逐步将符合要求的数值代入算式中进行运算,最后再把它转化为四则混合或方程运算等予以计算,得出合理结果.（2）我们还应知晓,这是一种人为规定的运算形式,它是使用特殊的运算符号,如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种创新运算.（3）新定义的算式中,如有括号的,要先算括号里面的,还须格外留意方程和找规律思想引入对解题计算的特殊要求.四、课后作业1、如果A*B=3A+2B,那么7*5=？.【解析】这种新运算的本质是用符号*前数的3倍加上后数的2倍的和进行计算.∴7*5=3×7+2×5=21+10=312、如果任何数A和B有A¤B=（A+B）×（A-B）,试求（5¤3）¤4=？.【解析】这种新运算的本质是用符号¤前后数的乘积减去前后两数的和,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴（5¤3）¤4=【（5+3）×（5-3）】¤4=（8×2）¤4=16¤4=（16+4）×（16-4）=20×12=2403、规定a$b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b-1),(a,b均为自然数,b>a).如果x$10=65,那么x的值是多少？.【解析】这种新运算的本质是用符号$前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到$后的数位少1为止,还应留意方程算理融入特点.∴X$10=x+(x+1)+(x+2)+…(x+10-1)=10x+45则: 10x+45=6510x=20X=24、有一个数学符号“@”,使下列等式成立：2@4=8,5@3=13,3@4=10,9@7=25,那么,7@3=？. 【解析】这种新运算的本质是用等式左边符号@前数的2倍加上后数的和等于等式右边的数进行计算.∴7@3=7×2+3=175、如果：1⊕2=1＋11=12,2⊕3=2＋22＋222=246,3⊕4=3＋33＋333＋3333=3702,那么1⊕5=（）.【解析】这种新运算的本质是用符号⊕前的数开始算起,依次增加1个数位的相同数累加,直至加到⊕后的数位为止.∴1⊕5=1+11+111+1111+11111=12345。
定义新运算完整版
定义新运算知识要点：定义新运算就是以加减乘除四则运算为基础，用某种新的符号来表示新运算。
见到这种新的运算符号所定义的运算后，就按照它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后的结果。
运算时要严格按照新运算的定义要求进行计算，不得随意改变运算顺序，这是最关键的一点。
运算时，有括号的先算出括号里的值，再算出括号外的值，在没有确定新定义运算具有交换律，结合律之前，不能运用运算定律解题。
运算的符号可以是※，也可以是○，□。
§。
等，符号的种类是次要的，符号定义的运算运算程序才是主要的。
例1：设a、b是两个自然数，定义a*b=2a+4b，计算4*5是多少？开心一练：1设a、b是两个自然数，定义a*b=3a+5b，计算6*3是多少？2 对于自然数，定义a*b=3a+2b，求（1）10*11（2）11*10例2：定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b-a+b,计算（1）8*10（2）（3*4）*5开心一练：1 定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b+a-b,计算（1）4*6 （2）（4*6）*52对于整数a、b，设a*b=3a+b-1，求（1）4*（3*5）（2）（4*3）*53规定a△b=3a-b,求10△（2△5）。
例3：设a*b=4a-3b，求（1）5*（3*2）（2）x*（2*x）=15,求x。
开心一练：1已知a*b=a×b+a，如果（3*x）*2=18求x。
2设a*b=5a+4b，求（1）4*（3*2）（2）已知x*（4*x）=122,求x。
例4：对整数a*b,规定a*b=ax+b,如果4*5=23，求3*2的值。
开心一练：1 对整数a*b,规定a*b=a÷b×2+ab+x,如果6*3=28，求5*2的值。
2 对于整数a、b，设a*b=3a-bx，已知5*4=7，求x。
例5：设a、b都表示数，规定a♦b=3×a-2×b (1)求3♦2，2♦3。
找规律及定义新运算
板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】 ⑴点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）．A ．2008、2009-B ．2008-、2009C ．1004、1005-D ．1004、1004-⑵如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ）．A ．b a -B ．1b a -C ．11a b-D ．2()a b - 【巩固】 ⑴（2008北京中考）一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，114b a，…(0≠ab )，其中第7个式子是，第n 个式子是(n 为正整数)．⑵（2008年陕西中考）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管.①②③【例2】 ⑴（2010年北京中考）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，。
请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是(用含n 的代数式表示)。
⑵（2010河北中考）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90︒，然后在桌面上按逆时针方向旋转90︒，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子A ．6B ．5C ．3D ．2⑶（2010济南中考）观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算181624...8n +++++（n 是正整数）的结果为（）DC B A找规律及定义新运算图1 图2向右翻滚90°逆时针旋转90°A．2(21)n+B ．2(21)n-C．2(2)n+D．2n【巩固】⑴观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有个．图3图2图1⑵（2010日照中考）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的13610...，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的14916...，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．15B．25C．55 D．1225⑶（2010山东青岛）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．⑷（2010安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。
第三节 找规律、定义新运算和程序运算-学而思培优
第三节 找规律、定义新运算和程序运算一、课标导航二、核心纲要l.找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况人手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件，一般有下列几个类型：(1)-列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系．(2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系．(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系．(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．常见的数列规律：12,,9,7,5,3,1)1(-n (n 为正整数)．n 2,,10,8,6,4,2)2( (n 为正整数)．n 2,,32,16,8,4,2)3( (n 为正整数)．1,,26,17,10,5,2)4(2+n (n 为正整数)．1,,24,15,8,3,0)5(2-n (n 为正整数)．)1(,,20,12,6,2)6(+n n (n 为正整数)．x x x x x x x n )1(,,,,,,,)7(-+-+-+- (n 为正整数)．x x x x x x x n 1)1(,...,,,,,,8+--+-+-+）（(n 为正整数)．(9)特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. ②三角形数：⋅+2)1(,,21,15,10,6,3,1n n 2.定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代人，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算．(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．3.程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．4.数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力.本节重点讲解：两大能力，三种题型(找规律、定义新运算和程序计算)．三、全能突破基 础 演 练1．根据图2-3-1中数字的规律，在图形中填空．2．观察下面一列整式：,,201,121,61,21161698442 y x y x y x y x --照此规律第6个整式是 ，第n 个（n≥1且为整数）整式是3．正整数按图2-3-2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字4．图2-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是 个．5．如图2-3-4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ；第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ．6．观察下列等式： ;531422⨯=-①;732522⨯=-②;933622⨯=-③;1134722⨯=-④…则第n （n 是正整数）个等式为 7．我们规定一种运算：,bc ad d c ba -=若,0124=-x x 则=x8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2-3-5所示的步骤操作：魔术师立刻说出观众想的那个数．(1)如果小明想的数是-1，那么他告诉魔术师的结果应该是 ，(2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是(3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．能 力 提 升9．已知：,,10244,2564,644,164,4454321 =====以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定2006200720072006+的个位数字为( ) 3.A 4.B 5.C 6.D10．如图2-3-6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2-3-7 (a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2-3-7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )15.A 25.B 55.C 1225.D12．(1)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是 ． (2)任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为 ．13.在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为j i a ,（其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数j i a ,规定如下：当j i ≥ 时，;1,=j i a 当j i <时，.0.i =j a 例如：当1,2==j i 时，.11,2,==a a j i 按此规定，=3,1a ．；表中的25个数中，共有 个1；计算.3,12,2,11,1,1a a a a a i i +⋅+⋅ 5,5,14,4,13,i i i a a a a a ⋅+⋅+的值为14.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密文（加密），接收方由密文一明文（解密），已知加密规则如图2-3-8所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．15．已知,2,2≥≥n m 且m ，n 均为正整数，如果将nm 进行如图2-3-9所示方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在52的“分解”中最大的数是11．②在34的“分解”中最小的数是13．③若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5．其中正确的是16．有一个运算程序，当n b a =Θ(n 为常数)时，则,2)1(,1)1(-=+Θ+=Θ+n b a n b a 若,211=Θ则=Θ2012201217.按图2-3-10所示的程序计算：若输入x = 100，输出结果是501，若输入x = 25，输出结果是631，若开始输入的x 值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x 的可能值为 ． 18．如图2-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 & # x -62 … …图2-3-11(1)可求得x= ．第2012个格子中的数为 ．(2)判断：前m 个格子中所填整数之和是否可能为20127若能，求出m 的值；若不能，请说明理由；19．阅读图2-3-12并回答下列问题：(1)若A 为785，则E= ；(2)按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E 的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．中 考 链 接20．(2010．北京)图2-3-13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D.请你按图中箭头所指方向（即 →→→→→→→→→C B A B C D C B A 的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．21．（贵阳市中考题改编）符号“f"表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：,3)4(,2)3(,1)2(,0)1(====f f f f ①,5)51(,4)41(,3)31(,2)21(====f f f f ② 利用以上规律计算：=-)2012()20121(f f22．(1)（2009年·成宁）如图2-3-14所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为 ．(2)（山东临沂中考）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示：十六进制 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示：,1,123,5B D E F F A =+=+=+则=⨯C A巅 峰 突 破23.图2-3-15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是24.对于两数a 和b ，给定一种运算,:ab b a b a -+=井“井”则在下列等式中： ;a b b a 井井①= ;0a a =井② ).()(c b a c b a 井井井井③=正确的是 (填序号）．25.正整数，n 小于100，并满足等式,]6[]3[]2[n n n n =++其中[x]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数 n 有多少个？。
定义新运算
一、 定义新运算（1） 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
（2） 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
（3） 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
（4） 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、 定义新运算分类（1） 直接运算型（2） 反解未知数型（3） 观察规律型（4） 其他类型综合（1） 正确理解新运算的规律。
（2） 把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。
（3） 新运算也要遵守运算规律。
重难点知识结构定义新运算【例 1】 对于任意两个数x 和y ，定义新运算◆和⊗，规则如下：x ◆y = 22x y x y++，3x y x y x y ⨯⊗=+÷ .如：1◆2= 212122⨯++⨯，1212123⨯⊗=+÷. 由此计算：..0.36◆141__________.2⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭【巩固】 对于任意两个数,x y ，定义新运算，运算，规则如下：x ◆y = 2x y x ⨯-÷，2x y x y ⊕=+÷ .按此规则计算：3.6◆2=__________,..0.12◆()7.5 4.8_______.⊕=【例 1】 如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即⑴a b b a +=+；⑵()()a b c a b c ++=++。
第三讲找规律,程序运算与定义新运算
【例 3】⑴【★☆】定义一种新的运算： a b 3a b ， a b a 3b ，试计算：
(2) 3 1 (4) __________．
⑵【★★】（2011 年人大附中期中练习）用 定义新运算：对于任意有理数 a ， b ， 当
a b 时，a b b2 ；当 a b 时，a b a ．当 x 3时，(2 x) (4 x)x 的值
都有 a b a 和 a b b ，例如 3 2 3 ， 3 2 2 ．则（ 2006 2005 ）
（ 2004 2003）
．
4. （2011 北京市课标卷）用“☆”定义新运算： 对于任意实数 a 、 b ， 都有 a ☆
b b2 1． 例如 7 ☆ 4 42 1 17 ，那么 5 ☆ 3
1126221312622xxxxxxxxx???????????????为自然数不能被整除为自然数能被整除将明文字母对应的数字x按以上公式计算得到密文字母对应的数字x?比如明文字母为g71742gd?????所以明文字母g对应的密文字母为d
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m
平方
-m
m
+2
A． m D． m 1
B ． m2
C ． m1
输入x
⑵【★】（2012 株洲中考）根据如图所
示的程序计算，若输入 x 的值为1，则输出 y
的值为
．
⑶【★☆】（2011 年浙江义乌中考题）按下面的 程序计
算，若开始输入的值 x 为正数，最后输出的 结果为 656 ，则满足条件的不同的值最多有（
②
原码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
找规律、程序运算和新定义
在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想.归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是探索解题思路的有效方法，也是科学发展史上的一种重要的方法.注释：归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上，解题中观察活动主要有三条途径； 从数与式的特征观察； 从几何图形的结构观察；通过对简单，特殊情况的观察，再推广到一般情况.规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在以往“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，现在又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型.模块一：找规律 数字规律【例1】 按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a 、22a -、33a 、44a -，________，__________； (2)试写出第2007个和第2008个单项式 (3) 试写出第n 个单项式【例2】 一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公 式，找规律、程序运算和新定义同步练习知识讲解n n个数据是___________ 从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第(1)【变式练习】观察下列等式：第一行 3＝4-1第二行 5＝9-4第三行 7＝16-9第四行 9＝25-16第五行 11＝36-25……按照上述规律，第n行的等式为 .【变式练习】下面是一个三角形数阵：1------------------------第1行2 3 ------------------第2行4 5 6------------------第3行7 8 9 10------------第4行……根据该数阵的规律,第8行第2个数是【例3】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的13610...，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）14916...A．15 B．25 C．55 D．1225【例4】右图是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前n横行的数字和为．【例5】 研究下面的一列数：1，3-，5，7-，9，11-，13，…，照此规律，请你用表达式表示出第n 个数.【例6】 右图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于1A ，2A ，3A ，…．若从O 点到1A 点的回形线为第1圈(长为7)，从1A 点到2A 点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为_________．【例7】 一根拉直的绳子从中剪一刀被分成2段，要把一根拉直的绳子分成1n +段，需n 刀，这就是说线段上n 个点将线段分成1n +段，但是将一根绳子对折以后再从中剪一刀，绳子变成了3段；将一根绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子变成5段，试问：（1）将一根绳子对折4次后，从中剪一刀，绳子变成几段？ （2）将一根绳子对折2003次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（3）能否将一根绳子对折若干次后，从中剪一刀，绳子变成2003段，如果能，求出对折的次数，如果不能，请说明理由．11111111111010556443321【例8】 图1是棱长为a 的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n 层，第n 层的小正方体的个数为s ．解答下列问题：⑴ 按照要求填表：⑵ 写出当10n =时，s = ．【例9】 如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n 层，试问第n 层有多少个点？这个点阵共有多少个点？图形数数规律【例10】 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来，如图（2）所示；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）…… 依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________第n 层………… …… n1234 … s 1 3 6 …图1 图2 图3【例11】 如图所示，下列每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n ()2n ≥枚棋子，每个图案中棋子总数为s ，则s 与n 之间的关系可以表示为 .【变式练习】为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）A ．26n +B ．86n +C ．44n +D ．8n【变式练习】如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.（1）将下表填写完整；图形编号 （1） （2） （3）（4） （5）三角形个数1 5 9（2）在第n 个图形中有 个三角形【变式练习】图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝______ （用n 的代数式表示）【例12】 观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有_______个．【例13】 观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是一样的），请写出第n 个图中最小．．的三角形的个数有个．【例14】 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）A ．25B ．66C ．91D ．120【例15】 用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2005s s s图3图2图1图3图2图1第1个图 第2个图 第3个图 第4个图图（3）…… n =1n=2n =3块瓷砖最多能完整地铺满________组，此时还剩余_______块瓷砖．【例16】 一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到1OA 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到2OA 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点跳过的总距离为_________．模块二：程序运算与新定义【例17】 定义一种新运算：12a b a b *=-，那么4*（-1）= _______【例18】 现定义一种新运算：★，对于任意整数a 、b ，有a ★b=a+b-1，求4★[（6★8）★（3★5）]的值 【例19】 用“”、“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有ab=a 和a b=b ，例如32=3，32=2．则（20102009）（20072008）的值是 .【例20】 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：32101202121211⨯+⨯+⨯+⨯=．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为_______ ．PP P4321【例21】 读一读：式子“12345100++++++”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号． 例如：1357999++++++，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）；又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．⑴246810100++++++(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为 ．⑵计算5211n n =-=∑（） ．(填写最后的计算结果)【例22】 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则2009a =_______ ．【例23】 若用汉字的四角号码作为密码来传送“希望杯”这三个字，即是“402207104199”．现在改换成新的密码，规则是：原码千位、十位不变，将百位、个位分别变成关于9的补码，即0变成9；1变成8；2变成7；……．则“希望杯”这三个字的新密码是_______．【例24】 在密码学中,称直接可以看到的内容为明码, 对明码进行某种处理后得到的内容为密码．对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0至25．现有4 个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为1x ，2x ，3x ，4x ，已知:整数122x x +，23x ，342x x +，43x 除以26的余数分别为9，16，23，12，则密码的单词是_________．【例25】 对于数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数．若关于x 的方程343x a ⎡+⎤=⎢⎥⎣⎦有正整数解，则a的取值范围为______．【例26】 对于数x ，符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如[3.14]=3，[7.59]8-=-，则满足关系式3747x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的x 的整数值有( ) A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【练习1】下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ）A.55B.42C.41D.49 【练习2】柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有23⨯听罐头， 第二层有34⨯听罐头，第三层有45⨯听罐头，……根据这堆罐头排列的规律，第n （n 为正整数）层有 听罐头（用含n 的式子表示）【练习3】观察下面几组数：1，3，5，7，9，11，13，15，… 2，5，8，11，14，17，20，23，… 7，13，19，25，31，37，43，49，…这三组数具有共同的特点．现在有上述特点的一组数，并知道第一个数是3，第三个数是11．则其第n 个数为（ ）A.85n -B.22n +C. 41n -D.225n +课后练习【练习4】一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，114ba，…(0≠ab )，其中第7个式子是_____，第n 个式子是______(n 为正整数)．【练习5】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.① ② ③【练习6】用火柴棍像如图这样搭三角形：你能找出规律猜想出下列两个问题吗？我们可以发现搭1个图形需要3根火柴，搭2个图形需要5根火柴，……⑴ 搭7个需要 根火柴棍．⑵ 搭n 个三角形需要 根火柴棍．【练习7】如果1111n na a +=+ (1n =，2，3，…，2009)，那么，当11=a 时，1223++⋯a a a a a 20082009a a 的值是多少？【练习8】观察下列图形：根据图1、图2、图3的规律，图4中的三角形的个数为 ．【练习9】如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色，从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为： 第一层：侧面个数+上面个数1415=⨯+=； 第二层：侧面个数+上面个数24311=⨯+=； 第三层：侧面个数+上面个数34517=⨯+=； 第四层：侧面个数+上面个数44723=⨯+=； …………图4图1图2图3第第二层第三层11 / 11找规律、程序运算和新定义根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题：① 求第6层有多少个面被涂成了红色？② 求第n 层有多少个面被涂成了红色？（用含n 的式子表示）③ 若第m 层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由．【练习10】有一个运算程序，可以使：a b n ⊕=(n 为常数)时，得(1a +)1b n ⊕=-,(1)2a b n ⊕+=-．现在已知112⊕=，那么20082008⊕=________．。
程序构造的基本定义新运算新过程
设计算法：对于两个列表和 ，首先确定它们的长度是相 同的。然后创建一个空列表 ，将和中的对应元素相乘， 并将结果添加到中
编写代码：在Python中，代 码可能如下所示
定义新运算
测试与优化：我们可以测试这 个函数以确保它正确地执行乘 法运算。在这个例子中，我们 不需要进行特别的优化
定义新运算
01 编写代码 02 测试与优化 03 文档和维护
根据设计的算法，使用编程语言编写 实现代码
对编写的代码进行测试以确保其正确 性，并根据需要进行优化以提高效率
为新运算编写文档，以便其他开发人 员理解和使用。同时，随着需求的变 化，可能需要维护和更新这个运算
定义新运算
例如，假设我们想定义一个名为multiply_lists的新运算，用于将两个列表中的对应元素 相乘并返回结果列表。我们可以按照上述步骤进行操作
以下是对这两个 概念的解释以及 如何定义新的运 算和过程
1
定义新运算
定义新运算
运算在程序中通常对应于函数或操作符。它是一种用来处理数据和执行特定任务的工具。 定义新运算实际上就是创建一种新的函数或操作符，用于处理和操作程序中的数据 定义新运算通常包括以下步骤
确定需求：首先需要明确新运算的目标和需求，即解决什么问题或完成什么任 务 设计算法：设计算法是定义新运算的核心。这涉及到确定运算的输入和输出， 以及具体的计算步骤
02
文档和维护
为新过程编写文档， 以便其他开发人员理 解和使用。随着需求 的变化，可能需要维 护和更新这个过程
03
-
演讲完毕 感谢聆听
汇报人：XXXX
确定目标：明确过程的目标和预期结果
设计流程：设计过程的步骤和流程。这通常涉及到确定输入、输出以及过程中需要进 行的计算和操作
【精品初一复习课件】探索规律与定义新运算
探索规律与定义新运算知识集结知识元数字规律知识讲解数字规律就是一列数按一定规律排列起来，常见的规律有：1、正整数规律：1、2、3、4、5、……可以表示为n（其中n为正整数）2、奇数规律：1、3、5、7、9、……可以表示为（其中n为正整数）3、偶数规律：2、4、6、8、10、……可以表示为2n（其中n为正整数）4、正、负交替规律变化：一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替（1）-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为（2）+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为5、平方数规律：1、4、9、16、……可以表示为（其中n为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+2、-1、-2例题精讲数字规律例1.已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n个数是.【答案】2n－1【解析】题干解析:根据数列1，3，5，7，9.……；这些数均为连续的奇数，所以第n个数为2n－1。
例2.观察下列顺序排列的式子：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31；9×4+5=41；…猜想：第个式子应为___________________。
【答案】9（n－1）+n=10（n－1）＋1【解析】题干解析:观察算式可知：等式的左边是9乘以一个数字与另一个数的和，加上的数正好是n，乘以的数为（n－1），所以等式的左边为：9（n－1）+n；等式的右边分别为1、11、21、31，不难发现结果是：个位数字都为1，十位数字恰好比n 小1第n个算式为9（n－1）+n=10（n－1）＋1.例3.观察下列算式：；；；，…（1）左边各项的底数与右边幂的底数之间的关系是什么？（2）猜想的规律是什么？（3）用第五个关系式进行验证。
【答案】（1）左边各项的底数的和等于右边幂的底数；（2）第n个算式是：13+23+33+…+n3=（1+2+3+…n）2=〔〕2；（3）第五个关系式是：13+23+33+…+53=（1+2+3+…5）2=〔〕2=）2=152【解析】题干解析:等式的左边为连连续自然数三次方的和，所以第n个算式是从1到n的连续自然数的三次方的和，等式的右边是一个数的平方，底数是等式左边这些连续自然数的和；因些第n个算式为13+23+33+…+n3=（1+2+3+…n）2=〔〕2；第五个算式为13+23+33+…+53=（1+2+3+…5）2=〔〕2=）2=152。
新定义运算计算技巧
新定义运算解题技巧我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
一、 定义1、 定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。
注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、⊗、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。
二、初步例题诠释例1、 对于任意数a ，b ，定义运算“*”： a*b=a ×b-a-b 。
求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。
求 8 ★ 5 。
分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a 代表数字8，b 代表数字5。
8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6例3、如果a ◎b=a ×b-(a+b)。
求6◎（9◎2）。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。
这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。
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第三节 找规律、定义新运算和程序运算一、课标导航 课标内容 课标要求 目标层次找规律 学会基本的找规律的方法 ★掌握常见的找规律题型，能根据题意找出相同的对应关系 ★★通过观察、归纳、验证及类比联想寻找规律，获得结论 ★★★定义新运算 能根据题意进行运算，熟悉定义新运算的关键所在 ★★程序计算 弄清程序与数学表达之间的关系，并准确转化为数学问题进行解题 ★★二、核心纲要1.找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论。
有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件。
一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系。
(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系。
(3)图形（图标）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系。
(4) 图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。
(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。
常见的数列规律：(1) 1,3,5,7,9，…，12-n （n 为正整数）；(2) 2,4,6,8,10，…，n 2（n 为正整数）；(3) 2,4,8,16,32，…，n 2（n 为正整数）；(4) 2,5,10,17,26，…，12+n （n 为正整数）；(5) 0,3,8,15,24，…，12-n （n 为正整数）；(6) 2,6,12,20，…，)1(+n n （n 为正整数）；(7) x -,x +,x -,x +,x -,x +,…，x n )1(-（n 为正整数）；(8) x +,x -,x +,x -,x +,x -,…，x n 1)1(+-（n 为正整数）；(9) 特殊数列：①斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13，…，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数的和；②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，2)1(+n n 。
2.定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按基本运算过程、运算规律进行运算。
(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序；②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
3.程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题。
4.数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力本节重点讲解：两大能力，三种题型（兆规律、定义新运算和程序计算）。
三、全能突破基础演练1.根据图3-3-1中数字的规律，在图形中填空。
2.观察下面一列整式：y x 221，4461y x -，98121y x ，1616201y x -，…，照此规律第6个整式是_______________，第n 个（1≥n 且为整数）整式是_______________。
3.正整数按图3-3-2中的规律排列，请写出第45行，第46列的数字__________。
图3-3-24.图3-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖。
从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和6个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是__________。
图3-3-3 图3-3-45.如图3-3-4所示，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”。
如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”。
若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是__________；第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是__________。
6.观察下列等式：①531422⨯=-；②732522⨯=-；③933622⨯=-；④1134722⨯=-；……则第n （n 是正整数）个等式为__________________。
7.我们规定一种运算：bc ad d c b a -= ，若012 4=-x x ，则=x __________。
8.魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图3-3-5所示的步骤操作：图3-3-5魔术师立刻说出观众想的那个数。
(1)如果小明想的数是-1，那么他告诉魔术师的结果应该是__________；(2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是__________。
(3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙。
能力提升9.已知：441=，1642=，4163=，25644=，102445=，…，以上算式结果的个位数字分别为4,6,4,6，…，按照上面的研究方法确定2006200720072006+的个位数字为（ ）。
A.3B.4C.5D.610.如图3-3-6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是__________。
图3-3-611.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如，他们研究过图3-3-7(a)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图3-3-7(b)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）。
(a) (b)图3-3-7A.15B.25C.55D.122512.(1)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足各种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意兆一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T 是__________。
(2)任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上诉程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为__________。
13.在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为j i a ,（其中j i ,都是不大于5的正整数），对于表中的每个数j i a ,规定如下：当j i ≥时，1,=j i a ；当j i <时，0,=j i a ，例如：当2=i ，1=j 时，11,2,==a a j i 。
按此规定，=3,1a ___________；表中的25个数中，共有___________个1；计算5,5,14,4,13,3,12,2,11,1,1i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的值为___________。
14.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由文明→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图3-3-8所示，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为___________。
15.已知2≥m ，2≥n ，且n m ,均为正整数，如果将n m 按图3-3-9所示方式“分解”，那么下列三个叙述：①在52的“分解”中最大的数是11,；②在34的“分解”中最小的数是13；③若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5.其中正确的是___________。
图3-3-8 图3-3-9 16.有一个运算程序，当n b a =Θ(n 为常数)时，则1)1(+=Θ+n b a ，2)1(-=+Θn b a ，若211=Θ，则=Θ20122012___________。
17.按图3-3-10所示的程序计算：若输入100=x ，输出结果是501，若输入25=x ，输出结果是631，若开始输入的x 值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x 的可能值为___________。
图3-3-10 18.如图3-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意一个相邻格子中所填整数之和都相等。
图3-3-11(1)可求得=x ___________。
第2012个格子中的数为___________。
(2)判断，前m 个格子中所填整数之和是否可能为2012？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由。
19.阅读图3-3-12并回答下列问题：(1)若A 为785，则E=___________；(2)按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由，如果不用，请求出E 的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明。
图3-3-12中考链接20.(北京)图3-3-13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D 。
请你按图中箭头所指方向(即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是___________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是___________；当字母C 第12+n 次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是___________（用含n 的代数式表示）。
图3-3-13 图3-3-1421.(江西)观察图3-3-14中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为___________（用含n 的代数式表示）。
22.(1)(贵州贵阳)符号“f ”表示一种运算，①,3)4(,2)3(,1)2(,0)1(====f f f f … ②,5)51(,4)41(,3)31(,2)21(====f f f f … 利用以上规律计算：=-)2012()20121(f f ___________。
(2)(湖北咸宁)如下图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为___________。
巅峰突破23.图3-3-16所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是___________。