2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
一、知识梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/p
p是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒p
p是q的充要条件p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p
才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
常用结论
1．充要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．
2．一些常见词语及其否定
词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定
不是
不都是
至少一个是
不等于
不大于
1．(选修1­1P8A 组T2改编)命题“若x 2
>y 2
，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x <y ，则x 2
<y 2
” B ．“若x >y ，则x 2>y 2
” C ．“若x ≤y ，则x 2
≤y 2
”
D ．“若x ≥y ，则x 2
≥y 2
”
解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2
>y 2
，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2
≤y 2
”．故选C.
2．(选修1­1P10练习T3(2)改编)“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x 2
＋2x －3<0”是命题．( )
(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( ) (5)q 不是p 的必要条件时，“p ⇒/ q ”成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏 常见误区
(1)不明确命题的条件与结论； (2)对充分必要条件判断错误； (3)含有大前提的命题的否命题易出错．
1．命题“若△ABC 有一内角为π
3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )
A ．与原命题同为假命题
B ．与原命题的否命题同为假命题
C ．与原命题的逆否命题同为假命题
D ．与原命题同为真命题
解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π
3
”，它是真命题．
2．已知p ：a <0，q ：a 2
>a ，则綈p 是綈q 的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：綈p ：a ≥0；綈q ：a 2
≤a ，即0≤a ≤1，故綈p 是綈q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分
3．已知命题“对任意a ，b ∈R ，若ab >0，则a >0”，则它的否命题是____________． 答案：存在a ，b ∈R ，若ab ≤0，则a ≤0.
四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)
(2020·长春质量检测(二))命题“若x 2
<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2
≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2
<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2
>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1
【解析】 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则
x 2≥1”．故选D.
【答案】 D
(1)判断命题真假的两种方法
(2)由原命题写出其他三种命题的方法
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；
②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；
③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．
A．①②B．①②③④
C．②③④D．①③④
解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy ＝1”，该命题为真命题；
②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；
③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．
综上可得，真命题是①②③④.故选B.
充分条件、必要条件的判断(师生共研)
(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．
(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－b sin x＝cos x＋b sin x，则2b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b ＝0”是“f(x)是偶函数” 的充分必要条件，故选C.
【答案】(1)B (2)C
充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，
所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．
2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．
3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，
因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.
充分条件、必要条件的应用(典例迁移)
已知条件p ：集合P ＝{x |x 2
－8x －20≤0}，条件q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1
＋m }．若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围．
【解】 由x 2
－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由p 是q 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪
⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，p 是q 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．
【迁移探究1】 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件． 解：若p 是q 的充要条件，则P ＝S ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，
即不存在实数m ，使p 是q 的充要条件．
【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p ⇒q 且q ⇒
p .
所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．
所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩
⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.
所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．
已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．
(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系来求解．
[注意] (1)注意对区间端点值的处理； (2)注意条件的等价变形．
设p ：－
m ＋1
2
<x <
m －1
2(m >0)；q ：x <1
2
或x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为______．
解析：因为p 是q 的充分不必要条件，又m >0，所以m －12
≤1
2
，所以0<m ≤2.
答案：(0，2]
思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．
已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2
－m 2
≤0(m >0)．若綈p 是綈q 的充分不
必要条件，则m 的取值范围为______．
【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又綈p 是綈q 的充分不必要
条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎪⎨⎪
⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，
，所以0<m ≤3.
【答案】 (0，3]
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．
1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x ＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
2．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B.
[基础题组练]
1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是( )
A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”
B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”
C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”
D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”
解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．
2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B.a≠0⇒/ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．
3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是( )
A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件
解析：选C.对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是a<b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是a2<b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2>bc2
得c ≠0，则有a >b 成立，即充分性成立，故正确；对于D ，当a ＝－5，b ＝1时，|a |>|b |成立，但是a <b ，所以充分性不成立，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是|a |<|b |，所以必要性也不成立，故“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．故选C.
4．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题
α的逆否命题．
A ．①③
B ．②
C ．②③
D ．①②③
解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．
5．“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件．
解析：因为(x ＋1)(y －2)＝0，所以x ＝－1或y ＝2，所以(x ＋1)(y －2)＝0⇒/ x ＝－1且y ＝2，x ＝－1且y ＝2⇒(x ＋1)(y －2)＝0，所以是必要不充分条件．
答案：必要不充分
6．已知命题p ：x ≤1，命题q ：1
x
<1，则綈p 是q 的______．
解析：由题意，得綈p ：x >1，q ：x <0或x >1，故綈p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要条件
7．若命题“ax 2
－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2
－2ax －3≤0恒成立，
当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩
⎪⎨⎪⎧a <0，
Δ＝4a 2
＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]
8．已知命题p ：(x ＋3)(x －1)>0；命题q ：x >a 2
－2a －2.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解：已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，可知p ：x >1或x <－3，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，得a 2
－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，即a ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
[综合题组练]
1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均
为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )
A ．若及格分不低于70分，则A ，
B ，
C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分
D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分
解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.
2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x ，y ∈R ，则“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤1
2”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.当“x ＋y ≤1”时，如x ＝－4，y ＝1，满足x ＋y ≤1，但不满足“x ≤1
2
且
y ≤12”．当“x ≤12且y ≤12”时，根据不等式的性质有“x ＋y ≤1”．故“x ＋y ≤1”是“x ≤
12
且y ≤1
2
”的必要不充分条件．故选B.
3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4 ，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≤1
B ．a <1
C ．a >3
D ．a ≥3
解析：选D.|x －1|<a ⇒－a <x －1<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条
件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，1＋a ≥4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，
a ≥3
⇒a ≥3.故D 正确． 4．下列命题中为真命题的序号是______． ①若x ≠0，则x ＋1
x
≥2；
②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2
≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x <－1，则x 2
－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2
－2x －3≤0”． 解析：当x <0时，x ＋1
x
≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；
“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．
答案：②④
11。