2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

一、知识梳理

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/p

p是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒p

p是q的充要条件p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p

才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．

常用结论

1．充要条件的两个结论

(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．

(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．

2．一些常见词语及其否定

词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定

不是

不都是

至少一个是

不等于

不大于

1．(选修1­1P8A 组T2改编)命题“若x 2

>y 2

，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x

” B ．“若x >y ，则x 2>y 2

” C ．“若x ≤y ，则x 2

≤y 2

”

D ．“若x ≥y ，则x 2

≥y 2

”

解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2

>y 2

，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2

≤y 2

”．故选C.

2．(选修1­1P10练习T3(2)改编)“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B.若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x 2

＋2x －3<0”是命题．( )

(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( )

(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( ) (5)q 不是p 的必要条件时，“p ⇒/ q ”成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏 常见误区

(1)不明确命题的条件与结论； (2)对充分必要条件判断错误； (3)含有大前提的命题的否命题易出错．

1．命题“若△ABC 有一内角为π

3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )

A ．与原命题同为假命题

B ．与原命题的否命题同为假命题

C ．与原命题的逆否命题同为假命题

D ．与原命题同为真命题

解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π

3

”，它是真命题．

2．已知p ：a <0，q ：a 2

>a ，则綈p 是綈q 的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．

解析：綈p ：a ≥0；綈q ：a 2

≤a ，即0≤a ≤1，故綈p 是綈q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分

3．已知命题“对任意a ，b ∈R ，若ab >0，则a >0”，则它的否命题是____________． 答案：存在a ，b ∈R ，若ab ≤0，则a ≤0.

四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)

(2020·长春质量检测(二))命题“若x 2

<1，则－1

≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1

<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2

>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1

【解析】 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1

x 2≥1”．故选D.

【答案】 D

(1)判断命题真假的两种方法

(2)由原命题写出其他三种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.

2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是( )

①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；

②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；

③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．

A．①②B．①②③④

C．②③④D．①③④

解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy ＝1”，该命题为真命题；

②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；

③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；

④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．

综上可得，真命题是①②③④.故选B.

充分条件、必要条件的判断(师生共研)

(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件