函数的对称性和周期性

教师姓名 杨继兵 学生姓名 李天懿 年 级高三上课时间2012 / 04 / 04学 科 数学课题名称函数的对称性和周期性教学目标1、了解对称性，周期函数与最小正周期的意义2、运用函数的对称性和周期性解决相关实际问题教学重难点 函数对称性、周期性的理解、变形和应用函数的对称性、周期性一、考纲解读1.了解对称性，周期函数与最小正周期的意义2.函数的对称性、周期性是重要的性质，重点在三角函数的性质中研究，但在高考中也常考查非三角函数的函数的周期。

二、考点知识清单1.函数的对称性若函数)(x f y =对定义域内一切x（1）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称； )(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.（2）函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔ )()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =-； 函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =--； 函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔)(2)2(x f b x a f -=-；（3）函数)(x f y =图像关于x y =对称⇔)(x f y =存在反函数，并且其反函数是它本身。

2.函数的周期性（1）对于函数)(x f y =，如果存在一个常数0T ≠，能使得当x 取定义域内的一切值时，都有)()(x f T x f =+， 则函数)(x f y =叫做以T 为周期的周期函数。

（2）所有正周期中的最小值叫做最小正周期。

（3）周期函数体现在图像上是周期性重复出现，抽象函数求函数值时常利用周期性将自变量增大或减小。

三、规律方法解读【与周期相关的结论】(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数)()(R x a x f ∈=； (2)周期函数的定义域是无界的；(3)若T 为)(x f y =的周期，则nT )0(≠∈n Z n 且也是)(x f y =的周期(4)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，则()f x 是周期函数，b a -是它的一个周期； (5)若函数()f x 恒满足()()f x a f x +=-(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；(6)若函数()f x 恒满足)0,0()()(≠≠=+k a x f ka x f ，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 推论：若函数()f x 恒满足)0,()()(≠≠+=+k b a b x f ka x f ，则()f x 是周期函数，2ab -是它的一个周期； (7)若函数()f x 是偶函数，且关于直线(0)x a a =≠对称，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数关于直线,()x a x b a b ==≠对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期； (8)若函数()f x 是奇函数，且关于直线(0)x a a =≠对称，则()f x 是周期函数，4a 是它的一个周期；推论：若函数关于点(,0)a 、直线()x b a b =≠对称，则()f x 是周期函数，4a b -是它的一个周期； (9)若函数()f x 是奇函数，且关于点(,0)(0)a a ≠对称，则()f x 是周期函2a 数，是它的一个周期； 推论：若函数关于点(,0)a 、(,0)()b a b ≠对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期。

四、例题分析例1、已知函数))((R x x f y ∈=满足)5()5(x f x f -=+，问：)(x f y =是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2、已知函数))((R x x f y ∈=满足)5()5(-=+x f x f ，问：)(x f y =是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？【点拨】这两个问题的已知条件形似而质异。

有的同学往往把它们混为一谈，从而得出错误的结论。

为了准确地回答上述问题，必须掌握以下基本定理。

【小结】在已知条件)()(x b f x a f -=+或)()(b x f a x f -=+中： ○1等式两端的两自变量部分相加得常数，如b a x b x a +=-++)()(， 说明)(x f 的图像具有对称性，其对称轴为2ba x +=。

○2等式两端的两自变量部分相减得常数，如b a b x a x +=--+)()(， 说明)(x f 是周期函数，其周期b a T +=。

牢牢掌握以上规律，则例1、例2迎刃而解。

【解析】例1中，10)5()5(=-++x x ，因此)(x f 的图像关于直线对称。

由这个已知条件我们不能判定)(x f 是周期函数；例2中，10)5()5(=--+x x ，因此)(x f 是周期函数，其周期。

由这个已知条件我们不能判定它是轴对称图形。

例3、若函数c bx x x f ++=2)(对于任意实数t 均有)1()3(t f t f -=+，那么（ ）A.)4()1()2(f f f <<B.)4()2()1(f f f <<C.)1()4()2(f f f <<D.)1()2()4(f f f <<【解析】在)1()3(t f t f -=+中4)1()3(=-++t t , 所以抛物线c bx x x f ++=2)(的对称轴为作示意图如右图，可见，应选A 。

练习：已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间[]2,0上是增函数，则（ ） A.)80()11()25(f f f <<- B.)25()11()80(-<<f f fC.)25()80()11(-<<f f fD.)11()80()25(f f f <<-例4、已知函数)(x f 是),(∞-∞上的偶函数，若对于0≥x ，都有：)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2009()2008(f f +-的值为 。

Key ：1例5、函数)0(1log 2≠-=a ax y 的图像关于直线对称，则___________。

【解析】因为函数)0(1log 2≠-=a ax y 的图像关于直线对称所以有1)2(log 1)2(log 22--=-+x a x a （定理1的逆定理）（与题设矛盾，舍去）或21=a 所以21=a练习：设函数)(x f 在),(∞-∞上满足)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-，且在闭区间[]7,0上，只有0)3()1(==f f 。

（1）试判断)(x f y =的奇偶性；（2）试求方程0)(=x f 在闭区间[]2011,2011-上的根的个数，并证明你的结论。

Key ：（1）既不是奇函数也不是偶函数（2）805个，证明略 例6、设)(x f 是R 上的奇函数，又)(x f 的图像关于直线对称。

问函数)(x f y =是不是周期函数？如果是，求出它的一个周期。

【解析】因为)(x f 的图像关于直线对称，由定理1的逆定理知：)()(x a f x a f -=+ 用代换上式中的x ，得：)()2(x f x a f =- 再用代换x ，得：)()2(x f x a f -=+ ○1再用代换x ，得： [])4()2(x a f x a f +=+-又)(x f 为奇函数，即)4()2(x a f x a f +=+- ○2 由○1○2得：)4()(x a f x f +=--,即)4()(a x f x f += 根据周期函数的定义，)(x f 是周期函数，且是它的一个周期。

五、家庭作业1、已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(x+2) = -f(x)，且当01x ≤≤时，f(x)=x,求f(152)。

2、奇函数f(x)是以3为最小周期，已知f(1)=3，则f(47)=3、设f(x)是定义在R 上的偶函数，它的图象关于x=2对称，已知[]2,2-∈x 时，[]2,6,1)(2--∈+-=x x x f 则当 时f(x)=4、设f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x,都有f(x+1) =f(x-1)成立，若当[]1,2x ∈时，)1(log >=a x y a ，）求]1,1x ⎡∈-⎣时，f(x)的表达5 5、在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1上是减函数， 则函数()x f （ ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数6、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-,且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A.(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<<7、定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2 8、已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）A.()()76f f >B. ()()96f f >C. ()()97f f >D. ()()107f f >5.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________6.已知定义在R 上的函数()f x 满足3()()2f x f x =-+且(2)(1)1f f -=-=-，(0)2f =,(1)(2)(2008)(2009)f f f f ++++=… （ ）A.2-B.1-C.0D.17.定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()741f f f ++等于( )A.-1B.0C.1D.48．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．ac b >> D ．a b c >>9．已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x) . （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.。