【中小学资料】2018版高中数学 第二章 数列单元精选检测 新人教B版必修5
2018版高中数学人教B版必修五学案：第二单元 章末复习
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力．知识点一 梳理本章的知识网络知识点二 对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式知识点三本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了________法和________法；2．在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了________________和________________．3．等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意____个求其余____个，用到了方程思想．4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n 项和最值问题时，都用到了________思想．5．等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比．类型一 方程思想求解数列问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .反思与感悟 在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．跟踪训练1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .类型二 转化与化归思想求解数列问题 例2 在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式．反思与感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．类型三 函数思想求解数列问题命题角度1 借助函数性质解数列问题例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．反思与感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n }，这一特殊性对问题结果可能造成影响．跟踪训练3 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N ＋)，求数列{T n }最大项的值与最小项的值．命题角度2 以函数为载体给出数列例4 已知函数f (x )＝2－|x |，无穷数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)若a 1＝0，求a 2，a 3，a 4；(2)若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值．反思与感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足 a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .1．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和(n ∈N ＋)，且S 21＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式是____________．2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2－292n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为____________；数列{na n }中数值最小的项是第________项．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }、{b n }的通项公式．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．答案精析知识梳理 知识点三 1．叠加 叠乘2．倒序相加法 错位相减法 3．三 两 4．函数 题型探究 类型一例1 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2. 设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2， 可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0. 解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2(n ∈N ＋)．跟踪训练1 S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )，n ∈N ＋.类型二例2 (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋2，① 则当n ≥2，n ∈N ＋时，有S n ＝4a n －1＋2.②①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1， 即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n 2n ， 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列． 由S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝4a 1＋2， 则a 2＝3a 1＋2＝5， ∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵c n ＝a n2n ，∴c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n 2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34，c 1＝a 12＝12，∴ {c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14， a n ＝(3n －1)·2n－2是数列{a n }的通项公式．设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，∴2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，故S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴ 数列{a n }的前n 项和公式为 S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N ＋.跟踪训练2 (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0， 即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0， ∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 类型三命题角度1例3 解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2. ∵d >0，∴d ＝2.∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N ＋)． (2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的． ∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9. 又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8. 跟踪训练3 解 (1)a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得 S n ＝1－(－12)n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32. 故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1， 故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N ＋，总有－712≤S n －1S n ≤56且S n －1S n≠0. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 命题角度2例4 解 (1)由a n ＋1＝f (a n ) ⇒a n ＋1＝2－|a n |，a 1＝0⇒a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2.(2)∵a 1，a 2，a 3成等比数列⇒a 3＝a 22a 1＝2－|a 2|⇒a 22＝a 1·(2－|a 2|)， 且a 2＝2－|a 1|⇒(2－|a 1|)2＝a 1[2－|2－|a 1||]⇒(2－a 1)2 ＝a 1[2－|2－a 1|]，分情况讨论：①当2－a 1≥0时，(2－a 1)2＝a 1[2－ (2－a 1)]＝a 21⇒a 1＝1，且a 1≤2； ②当2－a 1＜0时，(2－a 1)2＝a 1[2－(a 1－2)]＝a 1(4－a 1)⇒2a 21－8a 1＋4＝0⇒a 21－4a 1＋4＝2⇒(a 1－2)2＝2⇒a 1＝2＋2，且a 1＞2，综上，a 1＝1或a 1＝2＋ 2.跟踪训练4 解 (1)a n ＝23n ＋13. (2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋ …－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )． 当堂训练1．a n ＝36(2n －1) 2.a n ＝3n －16 33．解 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.② 由①、②及q ＞0解得q ＝2，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3·2n －1.。
人教B版数学必修五：第2章《数列》章末检测学案(含答案解析)
第二章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋cA.1 B ．2．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±153．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8 C ．±8 D ．以上都不对4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶35．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．186．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，记A ＝2a 211－a 9－a 13，则A 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．16 D ．328．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－29．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.151610．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)( )A ．5B ．10C ．14D ．1511．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．14．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．15．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.16．等差数列{a n }中，a 10<0，且a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n >0的n 的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.18．(12分)设数列{a n }的前n 项的和为S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23(n ＝1,2,3…)(1)求首项a 1与通项a n ；(2)设T n ＝2n S n (n ＝1,2,3，…)，证明：∑i ＝1n T i <32.(∑i ＝1nT i 表示求和)19．(12分)已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20.(12分)某市2009年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2010年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2016年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？21．(12分)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .22．(12分)在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)求和：S n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | (n ∈N *)．第二章 章末检测1．A [由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.]2．D [a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9. ∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.]3．A [a 2＋a 6＝34，a 2a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.] 4．A [显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12， 故S 15S 5＝1－q151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34.] 5．B [∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d.∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值．]6．C [设{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18.∴q ＝12，a 1＝4，∵{a n a n ＋1}也是等比数列且首项a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．]7．B [由S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21a 11＝42，∴a 11＝2.∴a 211－(a 9＋a 13)＝a 211－2a 11＝0.∴A ＝2a 211－a 9－a 13＝20＝1.]8．C [依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ， 而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. ∴q ＝－1或q ＝2.]9．C [因为a 23＝a 1·a 9， 所以(a 1＋2d)2＝a 1·(a 1＋8d)．所以a 1＝d.所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.]10．C [设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a 1＝1，公比q ＝1－20%，∴a n ＋1＝(1－20%)n ，由题意可知：(1－20%)n <5%，即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05，∵lg 0.8<0，∴n>lg 0.05lg 0.8，即n>lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，取n ＝14.] 11．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln (n ＋1)－ln n. 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln (n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．]12．C [将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，…，⎝⎛⎭⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.]13．－4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d<0，解得－235≤d<－236，∵d ∈Z ，∴d ＝－4. 14．216解析 设插入的三个数为a q ，a ，aq ，则由题意有83，a ，272也为等比数列，所以a 2＝83×272＝36，由于83，a ，272都处在奇数位上，所以同号，故a ＝6，从而aq·a ·aq ＝a 3＝216.15.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.16．20解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0；S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.∴当n ≤19时，S n <0；当n ≥20时，S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20.17．(1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1.18．解 (1)∵S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ＝1,2,3，…，①令n ＝1，得a 1＝S 1＝43a 1－13×4＋23，解得a 1＝2，n ≥2时，S n －1＝43a n －1－13×2n ＋23.②①－②得：a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)－13×2n .∴a n ＝4a n －1＋2n ，a n ＋2n ＝4a n －1＋4×2n －1.∴{a n ＋2n }是首项为a 1＋2＝4，公比为4的等比数列．即a n ＋2n ＝4×4n －1＝4n ，b ＝1,2,3，…， ∴a n ＝4n －2n ，n ＝1,2,3，….证明 (2)将a n ＝4n －2n 代入①得：S n ＝43(4n －2n )－13×2n ＋1＋23＝13(2n ＋1－1)(2n ＋1－2)＝23(2n ＋1－1)(2n －1)， T n ＝2n S n ＝32×2n (2n ＋1－1)(2n －1)＝32⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1(n ＝1,2,3…)， ∴∑i ＝1nT i ＝32∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝32×⎝⎛⎭⎫121－1－12n ＋1－1<32. 19．解 当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)， 整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0， ∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列．∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1.20．解 (1)由题意可知，该市逐年投入的电力型公交车数量组成一个等比数列，其中a 1＝128，q ＝1＋50%＝1.5，到2016年应为a 7，则到2016年该市应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)设经过n 年电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依题意有S n 10 000＋S n >13，即S n >5 000，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝128(1－1.5n )1－1.5＝256(1.5n －1)>5 000，即1.5n >65732，解得n >7.5，故n ≥8.所以到2017年底，电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13.21．解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13.解得d ＝2，q ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n ＝2n －12n －1. S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.22．(1)证明 令b n ＝a n ＋1－a n ＋3 ⇒b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3 ＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n .∴数列{b n }为公比为2的等比数列． (2)解 a 2＝2a 1－1＝－3，b 1＝a 2－a 1＋3＝1⇒b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1⇒2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1⇒a n ＝2n －1－3n ＋1 (n ∈N ＋)．(3)解 设数列{a n }的前n 项和为T n ，T n ＝2n －1－n (2＋3n －1)2＝2n －1－n (3n ＋1)2，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，∵n ≤4时，a n <0，n >4时，a n >0，∴n ≤4时，S n ＝－T n ＝1＋n (3n ＋1)2－2n；n >4时，S n ＝T n －2T 4＝2n ＋21－n (3n ＋1)2.∴S n＝⎩⎨⎧1＋n (3n ＋1)2－2n (n ≤4)，2n＋21－n (3n ＋1)2(n >4).。
2018-2019学年人教B版必修5 第2单元 数列 单元测试.doc
2018-2019学年人教B 版必修5 第2单元 数列 单元测试1．在数列1,2,,…中,是这个数列的第A ．16项B ．24项C ．26项D ．28项2．数列13,13-,527,781-,…的一个通项公式是 A ．a n =(-1)n+1213n n - B ．a n =(-1)n213n n - C ．a n =(-1)n+1213nn - D ．a n =(-1)n213nn - 3．若数列中,,则的值为 A ． B ． C ．D ．4．若数列的前项和,则它的通项公式是A ．B ．C ．D ．5．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是A ．21n +B ．3nC ．222n n +D ．2322n n ++6．在数列中==则＝A ．B ．C ．D ．7．已知数列的通项为258n na n =+，则数列的最大值为AB ．7107C ．461D ．不存在8．已知函数=()633,7,7x a x x ax -⎧--≤⎨>⎩,若数列{}满足=,且{}是递增数列,则实数a 的取值范围是 A ．B ．C ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭9．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律,第n 个图形中有_________个正方形.10．若数列{}n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ___________． 11．已知数列的前项和为,且=213n⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则 ．12．已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为__________. 13．已知首项为2的数列的前项和为，且，若数列满足()*113212n n n n b a n --=+∈N ，则数列中最大项的值为__________．14．已知数列{a n }的通项公式为a n =3n 2-28n .(1)写出数列的第4项和第6项;(2)-49是否为该数列的一项?如果是,是哪一项?68是否为该数列的一项呢?15．已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-7n-8.（1）数列中有多少项为负数?（2）数列{a n }是否有最小项?若有,求出其最小项.16．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*21n n S a n =-∈N ．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n b 满足12b =，1n n n b a b +=+，求数列{}n b 的通项公式．17．已知数列{}n a 满足112a =，其前n 项和2n n S n a =，求其通项公式n a ．18．设数列的前项和为，点均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和.1．（2018新课标全国Ⅰ理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_________． 2．（2015江苏）数列满足且,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为 .3．（2015新课标全国Ⅰ理科）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知a n >0,.（1）求{a n }的通项公式； （2）设11n n n b a a +=.求数列{b n }的前n 项和.1．【答案】A【解析】①②③逐一写出为0，1，0，1，0，1，0，1，…，④逐一写出为，不满足，故选A.2．【解析】（1）令，则.（2）由（1），知()()2112121212121n a n n n n n ==-+-+-+， 设数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和为n S ，则12111111211352133521212121n n a a a n S n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 3．【解析】（1）将代入，得，4．【答案】B 【解析】由题意得,,,,,所以数列是周期为4的周期数列，所以.选B ．5．【解析】（1）由已知11n n a a S S =+，可得当1n =时，2111a a a =+，可解得10a =或12a =， 当2n ≥时，由已知可得1111n n a a S S --=+，1．【答案】C【解析】数列1,2,,…可化为,,…,则由,解得2．【答案】C【解析】对于选项A,当n=2时,a2=12,不满足题意,所以A不正确;对于选项B,当n =1时,a 1=13-,不满足题意,所以B 不正确; 对于选项D,当n =2时,a 2=13,不满足题意,所以D 不正确; 当n =1,2,3,4时,a n =(-1)n+1213n n -均满足题意,C 正确.3．【答案】C 【解析】因为,所以,所以,所以,即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,又,所以7．【答案】C 【解析】258n na n =+=158n n≤+，但，则取不到，又727758a =+=7107，828858a =+=461，a 7＜a 8，∴数列{a n }的最大项为a 8461=．故选C ． 8．【答案】B【解析】因为{}是递增数列,所以函数单调递增.当时,=单调递增,可得,解得;当时,=单调递增,可得，所以.而{}是递增数列,所以=，解得，所以23a <<,即实数a的取值范围是.故选B. 9．【答案】()12n n + 【解析】设数列为，由图知，所以由此猜想：()11232n n n a n +=++++=,故填()12n n +. 10．【答案】1211．【答案】15,1312,233n n n -⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【解析】n=1时,时,11233n -⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以15,1312,233n n n -⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 12．【答案】(-3,+∞)【解析】由{a n }为递增数列,得a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn =2n+1+λ>0恒成立,即λ>-2n-1在n ≥1时恒成立,令f (n )=-2n-1,n ∈*N ,则f (n )max =-3. 只需λ>f (n )max =-3即可.故实数λ的取值范围为(-3,+∞). 13．【答案】43 【解析】∵，∴当时，，当时，，两式相减可得，时也适合，∴当时，最大，最大值为43，故答案为43. 14．【解析】(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60.(2)令3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.令3n2-28n=68,解得n=或n=-2.∵∉N*,-2∉N*,∴68不是该数列的项.15．【解析】（1）令a n<0,即n2-7n-8<0,得-1<n<8.又n∈N*,所以n=1,2,3, (7)故数列从第1项至第7项均为负数,共7项.（2）函数y =x 2-7x-8图象的对称轴为x =72=3.5,所以当1≤x ≤3时,函数单调递减; 当x ≥4时,函数单调递增, 所以当n =3或4时,数列{a n }有最小项,且最小项a 3=a 4=-20.16．【解析】（1）11a =，22a =，34a =.（2）因为()*21n n S a n =-∈N ，所以，当2n ≥时，有1121n n S a --=-，17．【解析】因为2n n S n a = ①，所以211(1)(1,)n n S n a n n --=->∈*N ②，-①②得221=(1)n n n a n a n a ---， 即11(1,)1n n a n n n a n --=>∈+*N ．故21a a ⋅32a a ⋅43a a ⋅L 1n n a a -⋅12342134561n n n n --=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+L ，即()121n a a n n =+， 又11,2a =所以n a =()11n n +(1,)n n >∈*N ， 当n =1时，()1111112a ==⨯+成立， 所以()1()1n a n n n =∈+*N ． 18．【解析】（1）∵点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数的图象上，1．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列， 所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.2．【答案】2011【解析】因为且，所以,则11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,所以数列的前10项和为11111202122223101111⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =b 1+b 2+…+b n =()1111111[()()()]235572123323n n n n -+-++-=+++.。
高中数学必修5(人教B版)第二章数列2.1知识点总结含同步练习题及答案
an+2 = an + an+2 + an+3 ,
an+2 = an + an+2 + an+3 ,
所以 an+3 = −an ． （3）由（2）结论可知，an+6 = −an+3 = an ，即 an+6 = an ，所以数列{an }为以 6 为周期的 数列． 又a1 = a，a2 = b，a3 = b − a，a4 = −a，a5 = −b，a6 = a − b，所以 S6 = 0． 故S2010 = S335×6 = 0．
1
−
n2 n2 + 1
=
[(n
+
2n + 1 1)2 + 1](n2
+ 1)
>
0,
所以
an+1 > an (n ∈ N+ ),
因此数列{an }是递增数列．
在数列{an }中，an
=
(n
+ 1)(
10 11
n
)
(n
∈
N+ )：
()
（1）求证：数列{an }先递增，后递减；
（2）求数列{an }的最大项． 证明：（1）因为 an = (n + 1)(
（2）a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3，a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5，a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8，所以
该数列的前 5 项分别为 1, 2, 3, 5, 8．
2.观察法
描述： 观察法 观察法就是写出数列前面若干项进行观察，横向看各项之间的关系，纵向看各项与序数的联系， 寻找共同的构成规律，找出各项与项的序号 n 的函数关系，从而归纳出数列的通项公式的方 法，这样得到的数列的通项公式严格上来说需要进行证明．
2018版高中数学人教B版必修五学案：第二章 章末复习提
1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列． 2．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)． (3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累积法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1.(4)构造新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列．(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列． (3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N ＋)⇔{a n }是等比数列． 4．求数列的前n 项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n 项和S n 公式； (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．题型一 方程的思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，d (或q )，S n ，其中首项a 1和公差d (或公比q )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，d (或q )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n 为数列{S n n }的前n 项和，求T n 的最大值． 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝21，S 15＝－75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝21，15a 1＋105d ＝－75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝3，a 1＋7d ＝－5，解得a 1＝9，d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝9n －(n 2－n )＝10n －n 2.则S nn ＝10－n .∵S n ＋1n ＋1－S n n＝－1， ∴数列{S nn }是以9为首项，公差为－1的等差数列．则T n ＝n ·[9＋(10－n )]2＝－12n 2＋192n＝12(n －192)2＋3618. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝9，或n ＝10时，T n 有最大值45.跟踪演练1 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4. 因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．题型二 转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳猜想出通项，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．例2 在数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(3)求通项公式a n .解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.此时，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n 1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 又b 1＝a 1＋λ2＝2.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项是2、公差是1的等差数列．(3)由(2)知，数列{a n －12n }为首项是2，公差为1的等差数列．∴a n －12n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1.跟踪演练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 题型三 函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，a 1＝1，∴d ＝2. ∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t 36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8. 跟踪演练3 已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n)，n ∈N ＋， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n . 解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n ＝2＋3a n 3＝a n ＋23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n (53＋4n 3＋13)2＝－49(2n 2＋3n )．题型四 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．例4 已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① ∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ×2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，得2n ＋1－n ×2n ＋1－2＋n ×2n ＋1＋m ×2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1，即m <12n －1对任意正整数n 恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]． 跟踪演练4 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1， n ∈N ＋.(1)证明：数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N ＋皆成立． (1)证明 由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1得 a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N ＋.又a 1－1＝1，∴{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解 由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，∴数列{a n }的前n 项和S n ＝4n －13＋n (n ＋1)2.(3)证明 对任意的n ∈N ＋.S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋(n ＋1)(n ＋2)2－4[4n －13＋n (n ＋1)2]＝－12(3n 2＋n －4)≤0.∴不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N ＋皆成立．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．。
人教B版高中数学必修五第二章数列().docx
第二章 数 列 同步练测（人教B 版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟150分一、选择题(每小题5分，共50分)1．数列{}n a 是首项1a ＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果n a ＝2 005，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项1a ＝3，前三项和为21，则3a ＋45a a +＝( ) A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( ) A ．1a 8a ＞4a 5aB ．1a 8a ＜4a 5a C ．1a +8a ＜4a +5a D ．1a 8a ＝4a 5a4．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ＋＋＝，12380a a a ＝，则111213a a a ＋＋＝ ( )A.120B.105C.90D.755．在等比数列{}n a 中，2a ＝9，5a ＝243，则{}n a 的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192 6．等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若31710a a ＋＝，则19S 的值是( )A.55B.95C.100D.不确定7．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ,34,a a 成等比数列，则2a ＝( ) A ．－4 B ．－6C.－8D ．－108．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( ) A ．1B ．－1C ．2D ．21 9．已知数列－1,12,a a ,－4成等差数列，－1，123,,b b b ，－4成等比数列，则212b a a -的值是( ) A ．21B ．－21C ．－21或21 D ．4110．在等差数列{}n a 中，n a ≠0，1n a -－2n a ＋1n a +＝0(n ≥2)，若21n S -＝38，则n ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题（每小题5分，共30分） 11．设()f x ＝221+x，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知在等比数列{}n a 中，(1)若345a a a ⋅⋅＝8，则23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅＝ ． (2)若12a a +＝324，34a a +＝36，则56a a +＝ ．(3)若4S ＝2，8S ＝6，则4S ＝ .13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．14．在等差数列{}n a 中，3(35a a +)＋2(71013a a a ++)＝24，则此数列前13项之和为 .15．在等差数列{}n a 中，5a ＝3，6a ＝－2，则4a ＋5a ＋…＋10a ＝ .16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝ ；当n ＞4时，()f n ＝ ． 三、解答题（共70分）17．（11分）(1)已知数列{}n a 的前n 项和n S ＝32n －2n ，求证：数列{}n a 是等差数列. (2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证：a c b +，ba c +，cba +也成等差数列.18．（11分）设{}n a 是公比为q 的等比数列,且132,,a a a 成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{}n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当n ≥2时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．19．（12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知1a ＝1，1n a +＝nn 2+n S (n ＝1，2，3，…)． 求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列．20．(12分)已知数列{}n a 是等差数列，25618a a ＝，＝；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且n T ＋12n b ＝1.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列{}n b 是等比数列．21．(12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4 750万平方米？22．(12分)设1a＝1，2a＝53，2na+＝531na+－23 na*()n∈N．(1)令1n n nb a a＋＝－*()n∈N，求数列{}n b的通项公式；(2)求数列{}nna的前n项和nS.第二章数列同步练测（人教B版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11. 12. 13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.22.第二章 数 列同步练测（人教B 版必修5）答案一、选择题1.C 解析：由题意知2 005＝1＋3(n －1)，∴ n ＝699．2.C 解析：设等比数列{}n a 的公比为q (q ＞0)， 由题意得1a ＋23a a +＝21，即1a (1＋2q q +)＝21.又1a ＝3，∴ 1＋2q q +＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)， ∴ 345a a a ++＝a 1q 2(1＋2q q +)＝3×22×7＝84． 3.B 解析：由1a ＋845a a a =+，∴ 排除C ． 又1a ·8a ＝1a (1a ＋7d )＝21a ＋71a d ，∴ 45a a ⋅＝(1a 3d +)(1a 4d +)＝21a ＋71a d ＋122d ＞1a ·8a ．4．B 解析：{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ＋＋＝，即32a ＝15，则2a ＝5.又123a a a ＝80，∴ 13a a ＝(5)(5)d d －＋＝16，∴ d ＝3. ∵ 1221035a a d =+=，∴ 111213123105a a a a ++==.5.B 解析：∵ 2a ＝9，5a ＝243，25a a ＝3q ＝9243＝27， ∴ q ＝3. 又1a q ＝9，∴ 1a ＝3， ∴ S 4＝3－13－35＝2240＝120．6.B 解析：∵ 317119a a a a ＋＝＋，∴ 1191919()2a a S +＝＝192×10＝95. 7.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 31a a =＋4，41a a =＋6. 又∵ 134,,a a a 成等比数列，∴ (1a ＋4)2＝1a (1a ＋6)，解得1a ＝－8， ∴ 2a ＝－8＋2＝－6．8.A 解析：∵ 59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59×95＝1，∴ 选A ．9.A 解析：设d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)4q ，∴ d ＝－1，2q ＝2，∴212b a a -＝2q d -＝21． 10.C 解析：∵ {}n a 为等差数列，∴ n a 2＝11n n a a -++，∴ 2n a ＝2n a .又n a ≠0，∴ n a ＝2，∴ {}n a 为常数数列.而n a ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴ n ＝10． 二、填空题11.23 解析：∵ ()f x ＝221+x ，∴ (1)f x -＝2211+-x ＝x x 2222⋅+＝x x22221+⋅， ∴ ()f x ＋(1)f x -＝x 221+＋x x 22221+⋅＝x x 222211+⋅+＝xx 22)22(21++＝22． 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)， 则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴ 2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62， ∴ S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32 （2）4 （3）32 解析：（1）由35a a ⋅＝24a ，得4a ＝2，∴ 23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ，，∴ 56a a +＝(12a a +)4q ＝4． （3）2＝6＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q q S S a a a S a a a a S ⇒⎩⎨⎧=⋅⋅⋅，， ∴ 17181920a a a a +++＝164S q ＝32．13．216 解析：本题考查等比数列的性质及计算，由于插入三个数后成等比数列，因而中间数必与38，227同号，由等比中项知中间数为22738⨯＝6，所以插入的三个数之积为38×227×6＝216． 14.26 解析：∵ 35a a +＝24a ，713a a +＝210a ， ∴ 6(410a a +)＝24，∴ 410a a +＝4， ∴ 13S ＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝26． 15.－49 解析：∵ 65d a a =-＝－5， ∴ 45a a +＋…＋10a ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49． 16．5，21(n ＋1)( n －2) 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴ ()f k ＝(1)f k -＋1k -． 由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5， f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9， …，()f n ＝(1)f n -＋1n -，相加得()f n ＝2＋3＋4＋…＋(1n -)＝21(1n +)(2n -)． 三、解答题17.分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，11a S =＝3－2＝1；当n ≥2时，1n n n a S S -=-＝322n n -－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.n ＝1时，亦满足，∴ n a ＝6n －5(n ∈N*)．首项1a ＝1，n a －1n a -＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)， ∴ 数列{}n a 是等差数列且1a ＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴ b 2＝a 1＋c 1，化简得2ac ＝()b a c +．∴ a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·b c a ＋，∴ a c b ＋，b a c ＋，c b a ＋也成等差数列．18.解：（1）由题设2312a a a =+，即221a q ＝1a ＋1a q . ∵ 1a ≠0，∴ 221q q --＝0，∴ q ＝1或q ＝－21． （2）若q ＝1，则2n S n =＋21－)(n n ＝23＋2nn ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝22＋1－))((n n ＞0，故n S ＞n b ．若q ＝－21，则2n S n =＋21－)(n n ⨯ (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝4－11－)0)((n n .故对于n ∈N*，当2≤n ≤9时，n S ＞n b ；当n ＝10时，n S =n b ；当n ≥11时，n S <n b ． 19.证明：∵ 11n n n a S S ++=-，1n a +＝nn 2＋n S ， ∴ (n ＋2)n S ＝n (1n S +－n S )，整理得n 1n S +＝2(n ＋1)n S ，所以1＋1＋n S n ＝nSn 2．故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列． 20.(1) 解：设{}n a 的公差为d ，则116,418.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,4.a d =⎧⎨=⎩ ∴ 24(1)42n a n n ＝＋－＝－.(2)证明：当n ＝1时，11b T ＝，由11112T b ＋＝，得123b ＝.当n ≥2时，∵ 112n n T b ＝－，11112n n T b －－＝－，，∴ 111()2n n n n T T b b －－－＝－．∴ 11()2n n n b b b －＝－．∴ 113n n b b －＝..∴ {}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列．21.解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为n a . 由题意可知{}n a 是等差数列，其中1a ＝250，d ＝50，则2(1)25050252252n n n S n n n -⨯＝＋＝＋. 令225225 4 750n n ＋＝，即291900n n ＋－＝，解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴ n ＝10.故到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米．21.解：(1)因为1211115222()3333n n n n n n n n n b a a a a a a a b ＋＋＋＋＋＋＝－＝－－＝－＝，所以数列{}n b 是首项为12123b a a ＝－＝，公比为23的等比数列，所以2(1,2)3nn b n ⎛⎫⎪⎝⎭＝＝，． （2）由123nn n n b a a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得11111212222()()()213333n n n n n n n n a a a a a a a a -++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=+++=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因为11a =，所以12323nn a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以123(1,2,)3nn n a n -=-=.设数列1123n n n --⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则21222123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①则23222222333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.② ①-②，得2112222221313333333n nn n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以122(3)29139333n nn n n n T n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以11213(3)223(123(1)1823n n n n n n S a a na n T n n +-+=+++=++++=++-）-2.。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第二章 2-1-1 数列
2.1数列2.1.1数列[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数列与函数的关系，会根据数列的前几项写出它的通项公式．[知识链接]下列四个结论正确的有________．(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数．(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；(4)对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，则f(x)是增函数．答案(3)解析函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)显然正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．[预习导引]1．数列的概念按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，….其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式的数列简记作{a n}．3．数列的通项如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系数列可以看作一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数．数列的通项公式也就是相应函数的解析式．它的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 5．数列的分类(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．(3)从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列.要点一 数列的概念及通项例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)0.8,0.88,0.888，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (5)32，1，710，917，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)统一分母为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22.(3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89(1－110n )．(4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .(5)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．跟踪演练1 写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. 解 (1)中3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…. 所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1. 要点二 数列通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解 (1)根据a n ＝3n 2－28n ，a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项． 跟踪演练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第________项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.要点三 判断数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试判断该数列的单调性．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－n 2n 2＋1＝(n ＋1)2(n 2＋1)－n 2[(n ＋1)2＋1][(n ＋1)2＋1](n 2＋1)＝2n ＋1[(n ＋1)2＋1](n 2＋1)，由n ∈N ＋，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列．规律方法 单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n ＋1与a n (n ∈N ＋)的大小，若a n ＋1>a n 恒成立，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n 恒成立，则{a n }为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．跟踪演练3 判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1的增减性．解 ∵a n ＝n3n ＋1，∴a n ＋1＝n ＋13(n ＋1)＋1＝n ＋13n ＋4.方法一 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)－n (3n ＋4)(3n ＋4)(3n ＋1)＝1(3n ＋4)(3n ＋1)，∵n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列．方法二 ∵n ∈N ＋，∴a n >0.∵a n ＋1a n ＝n ＋13n ＋4n 3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)(3n ＋4)n ＝3n 2＋4n ＋13n 2＋4n ＝1＋13n 2＋4n>1， ∴a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列．方法三 令f (x )＝x3x ＋1(x ≥1)，则f (x )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1－13x ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－13x ＋1， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1是递增数列．要点四 求数列的最大(小)项例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)方法一 ∵{a n }的相应函数为f (x )＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，可知对称轴方程为x ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.方法二 设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤(n ＋1)2－5(n ＋1)＋4，n 2－5n ＋4≤(n －1)2－5(n －1)＋4.解这个不等式组，得2≤n ≤3， 又∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3. ∴a 2＝a 3且最小．∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.规律方法 求数列{a n }的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.来确定n ，求最大项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.来确定n .若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．跟踪演练4 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 解 假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ·9－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a 9＝a 10＝1010119.1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,2,0,2，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列答案 D解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值逐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{nn ＋1}是递增数列，故选D.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n答案 B解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N ＋.(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(n 为奇数)，1(n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2 (n ∈N ＋)．4．已知数列{a n }的通项为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }中的最大项．解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.由于n ∈N ＋，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n取得最大值108.∴数列{a n}中的最大项为a7＝108.1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性；②可重复性；③有序性．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式；(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是数列中的项，如果是的话，是第几项；(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．。
2018版高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列同步精选测试 新人教B版必修5
同步精选测试 数 列(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确. 【答案】 B2.数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A.70B.28C.20D.8【解析】 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20. 【答案】 C3.若数列{a n }的前4项依次是2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A.a n ＝1＋(－1)n ＋1B.a n ＝1－cos n πC.a n ＝2sin2n π2D.a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)【解析】 根据各选项中的通项公式写出前4项，看是否为题干中的数列即可.当n ＝3和4时，D 选项不满足，故选D.【答案】 D4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) 【导学号：18082074】A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】 a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列.【答案】 A5.在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )A.第100项B.第12项C.第10项D.第8项【解析】 ∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去). 【答案】 C 二、填空题6.已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________. 【解析】 由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N ＋， ∴n ≤9. 【答案】 97.已知数列{a n }，a n ＝a n＋m (a <0，n ∈N ＋)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.【导学号：18082075】【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a ＝2，∴a ＝2或－1， 又a <0，∴a ＝－1. 又a ＋m ＝2， ∴m ＝3，∴a n ＝(－1)n＋3， ∴a 3＝(－1)3＋3＝2. 【答案】 28.如图211是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n 个图中共有化学键________个.图211【解析】 各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个.【答案】 (5n ＋1) 三、解答题9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，….【导学号：18082076】【解】 (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n ＝43n ＋2.(2)把分母统一为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n22.(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n n ＋2.(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n ＝79(10n －1).10.在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2 016；(3)2 016是否为数列{a n }中的项？ 【解】 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2.(2)a 2 016＝4×2 016－2＝8 062. (3)由4n －2＝2 016得n ＝504.5∉N ＋， 故2 016不是数列{a n }中的项.[能力提升]1.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15 B.5 C.6D.log 23＋log 31325【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.【答案】 B2.已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，3) C.(－∞，2)D.(－∞，3]【解析】 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可.【答案】 B3.根据图212中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点.图212【解析】 观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点.【答案】 n 2－n ＋14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋).(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？【导学号：18082077】(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项.【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项.令a n ＝1，得n 2－21n2＝1，而该方程无正整数解， ∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是a n ，a n ＋1， 则有a n ＝a n ＋1， 即n 2－21n2＝n ＋2－n ＋2.解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项.本文档仅供文库使用。
最新-2018高中数学 第二章综合检测 新人教B版必修5 精
第二章综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．在等差数列{a n}中，若a4＋a6＝12，S n是数列{a n}的前n项和，则S9的值为( ) A．48 B．54C．60 D．66[答案] B[解析] ∵a4＋a6＝a1＋a9＝12，∴S 9＝a1＋a92＝a4＋a62＝9×6＝54.2．若等比数列{a n}的公比q>0，且q≠1，又a1<0，那么( )A．a2＋a6>a3＋a5B．a2＋a6<a3＋a5C．a2＋a6＝a3＋a5D．a2＋a6与a3＋a5的大小不能确定[答案] B[解析] (a2＋a6)－(a3＋a5)＝(a2－a3)－(a5－a6)＝a2(1－q)－a5(1－q)＝(1－q)(a2－a5)＝a1q(1－q)2(1＋q＋q2)．∵q>0，且q≠1，又a1<0，∴(a2＋a6)－(a3＋a5)<0.即a2＋a6<a3＋a5.3．△ABC中三内角A、B、C成等差数列，三边a、b、c成等比数列，则三内角的公差等于( )A．0° B．15°C．30° D．45°[答案] A[解析] ∵A、B、C成等差数列，则B＝60°.又三边成等比数列，∴b2＝ac，则有sin2B＝sin A sin C.3 4＝－12[cos(A＋C)－cos(A－C)]，即cos(A－C)＝1，∴A－C＝0°，∴A ＝C .又∵B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，故选A.4．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n3 C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n[答案] A[解析] ∵a 1，a 3，a 6成等比数列，则(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋5d )，a 1d ＝4d 2，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝2n ＋n 2－n 4＝n 24＋74n .5．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15a C ．11×(1.15－1)a D ．10(1.16－1)a[答案] C[解析] 本题是等比数列实际应用问题，考查建模能力和实际问题中求通项还是前n 项和的区别能力．设从去年开始，每年产值构成数列为{a n }，则a 1＝aa n ＝a (1＋10%)n －1(1≤n ≤5)，从今年起到第5年是求该数列a 2到a 6的和应为S 6－a 1＝a16－1.1－1－a ＝11×(1.15－1)a .6．212＋414＋818＋…＋102411024等于( )A ．218610231024B ．201810231024C ．118711024D ．218611024[答案] A[解析] 212＋414＋818＋…＋102411024＝(2＋4＋8＋…＋1024)＋(12＋14＋18＋…＋11024)＝－2101－2＋12[1－1210]1－12＝211－2＋1－(12)10＝2186＋210－1210＝2186＋10231024＝218610231024.7．等差数列{a n }中，a 1>0，若其前n 项和为S n ，且有S 14＝S 8，那么当S n 取最大值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11[答案] D[解析] 解法一：∵S 14＝S 8，∴a 9＋a 10＋…＋a 14＝0， ∴a 11＋a 12＝0，∵S 14＝S 8，a 1>0，∴d ≠0. 故a 11>0，a 12<0，∴S 11最大． 解法二：∵a 1>0，S 14＝S 8，∴d <0.∴点(n ，S n )是抛物线上的点，且抛物线的对称轴为n ＝11，抛物线的开口向下， ∴n ＝11时，S n 取最大值，故选D.8．正项数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4(n ∈N *)，且a 1＝1，则a 7的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] B[解析] ∵a 2n ＋1＝a 2n ＋4(n ∈N *)， ∴a 2n ＋1－a 2n ＝4，又a 1＝1，∴a 21＝1.∴数列{a 2n }是首项为1，公差为4的等差数列， ∴a 2n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. ∴a 27＝4×7－3＝25， 又a 7>0，∴a 7＝5.9．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2018n＋t (t 为常数)，则a 1的值为( ) A ．2018 B ．2018 C ．2018 D ．2018[答案] B[解析] ∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2018n＋t ，∴a 1＝S 1＝2018＋t ，a 2＝S 2－S 1＝20182＋t －2018－t ＝2018×2018，a 3＝S 3－S 2＝20188＋t －20182－t ＝2018×20182，又a 1a 3＝a 22，∴(2018＋t )×2018×20182＝(2018×2018)2， ∴t ＝－1，∴a 1＝2018＋t ＝2018.10．若log 32，log 3(2x－1)，log 3(2x＋11)成等差数列，则x 的值为( ) A ．7或－3B ．log 37C ．log 27D ．4[答案] C[解析] 由已知得，2log 3(2x －1)＝log 32＋log 3(2x ＋11)，整理得(2x )2－4·2x－21＝0，解得2x＝7，∴x ＝log 27.11．已知0<a <b <c <1，且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成( )A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．各项倒数成等比数列[答案] C[解析] ∵b 2＝ac ，∴1log a n ＋1log c n ＝log n a ＋log n c＝log n (ac )＝log n b 2＝2log n b ＝2log b n. 12．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…则第118个括号内各数之和为( )A ．2186B ．2188C ．2180D ．2182[答案] D[解析] 由观察会发现，每十个数都是一个循环，一个循环里有10个数组成，118个括号有26个小循环，则第118个括号内有四个数，则这四个数为数列3,5,7,9…的第257项，第258项，第259项，第260项，分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2，即515,517,519,521，其和为2182.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. [答案] 15[解析] 由等差数列的性质得，a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22，又a 6＝7，a 5＝22－7＝15. 14．已知数列1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________． [答案] 52[解析] a 1＋a 2＝5，b 22＝1×4，b 2＝±2，而b 2是第三项，第一项和第五项都是正数，故b 2＝2，∴a 1＋a 2b 2＝52. 15．(2018·湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．[答案]6766[解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.16．在等差数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，若a 1＞0，S 16＞0，S 17＜0, 则当n ＝________时，S n 最大．[答案] 8[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧S 16＝a 1＋a 162＝a 8＋a 9＞0S 17＝a 1＋a 172＝17a 9＜0，∴a 8＞0而a 1＞0，∴数列{a n }是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022，求公差d .[解析] ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －2d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －d ＝－512 ①n ＋12n n －d ＝－1022 ②把(n －1)d ＝－513代入②，得n ＋12n ·(－513)＝－1022，解得n ＝4，∴d ＝－171.18．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－2a n ，n ∈N *.求证：数列{a n }为等比数列，并求通项a n .[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－2a 1，∴a 1＝23；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－2a n )－(2－2a n －1) ＝2a n －1－2a n .∴a n a n －1＝23. 故{a n }是以 a 1＝23为首项，以q ＝23为公比的等比数列．∴a n ＝a 1qn －1＝(23)n. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝1，S 11＝33. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(14)a n .求证：{b n }是等比数列，并求其前n 项和T n .[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1S 11＝33，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝111a 1＋11×102d ＝33，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝12，∴a n ＝n2.(2)∵b n ＝(14)n 2 ＝12n ，∴b n ＋1b n ＝12，∴{b n }是以b 1＝12为首项，12为公比的等比数列，前n项和T n ＝12－12n 1－12＝1－12. 20．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝1,3(a 1＋a 2＋…＋a n )＝(n ＋2)a n ，求通项a n .[解析] ∵3(a 1＋a 2＋…＋a n )＝(n ＋2)a n ， ∴3S n ＝(n ＋2)a n ，∴3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，两式相减，得 3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1，∴(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)． ∴a 2a 1＝31，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)，将以上各式相乘，得 a n a 1＝n n ＋2，又a 1＝1，∴a n ＝n n ＋2.又a 1＝1满足上式，∴a n ＝n n ＋2(n ∈N *)．21．(本小题满分12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项的和为S n ，且210S 30－(210＋1)·S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项； (2)求{nS n }的前n 项和T n .[解析] (1)解法一：当q ＝1时，S 10＝10a 1，S 20＝20a 1，S 30＝30a 1， ∴210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝210·30a 1－(210＋1)·20a 1＋10a 1 ＝210·30a 1－210·20a 1－20a 1＋10a 1 ＝10a 1·210－10a 1＝10a 1(210－1)， ∵a 1>0，∴10a 1(210－1)≠0.∴q ≠1. 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0 得210 ·a 1－q 301－q－(210＋1) ·a 1－q 201－q＋a 1－q 101－q＝0，∴210(1－q 30)－(210＋1)·(1－q 20)＋1－q 10＝0， ∴210－210q 30－210＋210q 20－1＋q 20＋1－q 10＝0， 即q 10(q 10－1)(210q 10－1)＝0，∴210q 10－1＝0，∴210q 10＝1，∵q >0，∴q ＝12.∴a n ＝a 1qn －1＝12·(12)n －1＝12n . 解法二：由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得 210(S 30－S 20)＝S 20－S 10，即210(a 21＋a 22＋…＋a 30)＝a 11＋a 12＋…＋a 20. 可得210·q 10(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝a 11＋a 12＋…＋a 20. ∵a n >0，∴210q 10＝1.解得q ＝12.故a n ＝a 1qn －1＝12n ，(n ＝1,2…)(2)因为{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，故S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n2n .则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋222＋…＋n 2n ， ①T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1. ②①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＋n 2n ＋1＝n n ＋4－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＋n 2n ＋1，即T n ＝n n ＋2－2＋12n －1＋n 2n .22．(本小题满分14分)已知f (x )＝3x 2－2x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .[解析] (1)由点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上得S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝1，满足上式． 所以a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3n －n ＋－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12[1－17＋17－113＋113－119＋…＋16n －5－16n ＋1]＝12－1n ＋<12.因此，使得12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1<m 20(n ∈N *)成立的m 必须且仅须满足12≤m 20，即m ≥10，故满足要求的最小整数m ＝10.。
[优选整合]人教B版高中数学 必修五 第二章 2.1.1数列 检测(教师
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[优选整合]人教B版高中数学必修五第二章 2.1.1数列检测（教师2.1.1数列（检测教师版）一、选择题 1．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是( )A．①② C．②③ [答案] A[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通项可以是an＝sinB．①②③ D．①②③④nπ2，也可以是an＝cosn＋3π2等等．2．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( )A．an＝[1＋(－1)]2nnB．an＝n＋12[1＋(－1)n＋1]C．an＝[1＋(－1)2nn＋1]D．an＝n＋12[1＋(－1)]n[答案] B[解析] 经验证可知选项B符合要求．13．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项( )A．18 B．21 C．25 D．30[答案] D[解析] 依次令n(n＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D.4．已知数列{an}的通项公式是an－1n＝n＋1，那么这个数列是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 [答案] A[解析] a－1n＝nn＋1＝1－2，随着n的增大而增大． 5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n) C．ann＝(－1)(2n－1) D．ann＝(－1)(2n＋1)[答案] B[解析] 当n＝1时，a1＝1排除C、D；当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B. 6．数列1,3,7,15，…的通项公式an＝( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n－1[答案] C[解析] ∵a1＝1，排除A，B；又a2＝3，排除D，故选C. 二、填空题27．已知数列{an}的通项公式an＝n11*(n∈N)，则是这个数列的第________项． n＋2120[答案] 101，即120n11＝，解得n＝10或n＝－12(舍去)． n＋2120[解析] 令an＝815248．数列－1，，－，，…的一个通项公式为________．[答案] an＝(－1)nnn＋22n＋11×32×43×54×6n＋2nn[解析] 奇数项为负，偶数项为正，调整其各项为－，，－，，∴an＝(－1). 35792n＋1三、解答题9．数列{an}的通项公式是an＝n－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ [解析] (1)当n＝4时，a4＝4－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，即150是这个数列的第16项． (3)令an＝n－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，∴从第7项起各项都是正数.1，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)，试判断{an}是递增数列还是递减数列？ x＋1222210．已知函数f(x)＝x[解析] ∵an＝n11，则an＋1＝. n＋1n＋1n＋2对任意n∈N＋，(n＋1)(n＋2)>n(n＋1)，11， n＋13n＋1n＋2<n于是an＋1－an＝1n＋1n＋2－1<0.nn＋1∴{an}是递减数列．4感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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第二章 数列单元精选检测(二) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )【导学号：18082133】A.－1B.1C.0D.2【解析】 由递推关系，得a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.【答案】 A2.已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则公比q 等于( )A.12B.－1C.－2D.2 【解析】 由已知，2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，所以q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，因为q ≠1，所以q ＝－1.【答案】 B3.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A.33个B.65个C.66个D.129个【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2. ∴a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.【答案】 B4.等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )【导学号：18082134】A.第5项B.第12项C.第13项D.第6项【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项. 【答案】 C5.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a ≠0)，则{a n }( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或者是等差数列，或者是等比数列D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【解析】 ∵S n ＝a n－1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，a －a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列.【答案】 C6.在等差数列{a n }中，若a 4＝－4，a 9＝4，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则( ) A.S 5＜S 6 B.S 5＝S 6 C.S 7＝S 5D.S 7＝S 6【解析】 因为a 4＋a 9＝a 6＋a 7＝0， 所以S 7－S 5＝a 6＋a 7＝0，所以S 7＝S 5. 【答案】 C7.设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和及前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A.X ＋Z ＝2YB.Y (Y －X )＝Z (Z －X )C.Y 2＝XZD.Y (Y －X )＝X (Z －X )【解析】 由题意，知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 因为{a n }是等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列， 即X ，Y －X ，Z －Y 成等比数列， 所以(Y －X )2＝X ·(Z －Y ). 整理，得Y 2－XY ＝ZX －X 2， 即Y (Y －X )＝X (Z －X ). 【答案】 D8.已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( ) A.2 B.4 C.5 D.52【解析】 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.【答案】 B9.已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )【导学号：18082135】A.126B.130C.132D.134【解析】 因为{a n }是各项均为正数的等比数列，所以{b n }是等差数列.设公差为d ，则d ＝b 6－b 36－3＝12－183＝－2，所以{b n }的通项公式b n ＝b 3＋(n －3)d ＝18＋(n －3)×(－2)＝24－2n . 令b n ＝0，得n ＝12，所以{b n }的前11项或前12项和最大，S 11＝S 12＝＋2＝11×12＝132，故选C.【答案】 C10.我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：图1则第七个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30【解析】 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二：由图可知第n 个三角形数为n n ＋2，∴a 7＝7×82＝28.【答案】 B11.数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n为等差数列的实数λ＝( )【导学号：18082136】A.2B.5C.－12D.12【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2， ∴λ＝－12.【答案】 C12.在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A.S 17B.S 18C.S 19D.S 20【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， ∴a 11＋a 10>0.S 20＝20a 1＋a 202＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝a 1＋a 192＝192·2a 10<0. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________.【解析】 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝a 1＋b 1＋a 100＋b 1002＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【答案】 10 00014.数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a n ＝________.【解析】 由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n ＝a n －1＋n 把各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.【答案】n n ＋215.已知在等差数列{a n }中，a 1＜a 2＜…＜a n ，且a 3，a 6为x 2－10x ＋16＝0的两个实根，则此数列的前n 项和S n ＝________.【解析】 因为a 1＜a 2＜…＜a n ，所以d ＞0. 因为a 3，a 6为x 2－10x ＋16＝0的两个实根， 所以a 3＝2，a 6＝8， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝2，a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.所以S n ＝－2n ＋n n －2×2＝n 2－3n .【答案】 n 2－3n16.已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.【解析】 设{a n }的公差为d ，则d ≠0. 由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列， 得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4， 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2，S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30. 【答案】 30三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【导学号：18082137】【解】 (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解：由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.18.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋).(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列.【解】 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)·S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明：∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)，② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2， ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2. ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2).∵S 1＋2＝4≠0. ∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2.即{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.19.(本小题满分12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，S n 为其前n 项和.数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，求数列{c n }的前n 项和T n .【解】 (1)由题意知，{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝a 1·2n －1＝2n －1.∴S n ＝2n－1.设等差数列{b n }的公差为d ，则b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)∵log 2a 2n ＋2＝log 222n ＋1＝2n ＋1，∴c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 20.(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N ＋)，满足a n b n＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n.相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.21.(本小题满分12分)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值.【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列. 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝1－12n .由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11 000， 即2n>1 000.因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10. 于是使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10.22.(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝an n ＋2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .【解】 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝an n ＋2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1). 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2＋2n 2＝n n ＋2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝n －n ＋2－n (n ＋1)＝－n ＋22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋22，n 为奇数，nn ＋2，n 为偶数.。