2019届高考数学一轮总复习冲刺第六章数列第二节等差数列及其前n项和夯基提能作业布置讲解本文

第二节等差数列及其前n项和
A组基础题组
1.若等差数列{a n}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
A.12
B.13
C.14
D.15
2.(2017安徽合肥第二次质量检测)等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=6,S6=3,则S10=( )
A. B.0
C.-10
D.-15
3.(2018陕西西安八校联考)等差数列{a n}为递增数列,若+=101,a5+a6=11,则数列{a n}的公差d等于( )
A.1
B.2
C.9
D.10
4.已知正项数列{a n}的前n项和为S n,若{a n}和{}都是等差数列,且公差相等,则a6=( )
A. B.
C. D.1
5.设数列{a n}的前n项和为S n,若为常数,则称数列{a n}为“吉祥数列”.已知等差数列{b n}的首项为1,公差不为0,若数列{b n}为“吉祥数列”,则数列{b n}的通项公式为( )
A.b n=n-1
B.b n=2n-1
C.b n=n+1
D.b n=2n+1
6.已知等差数列{a n}的前9项的和为27,a10=8,则a100= .
7.在等差数列{a n}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99= .
8.在等差数列{a n}中,S10=100,S100=10,则S110= .
9.已知数列{a n}满足a1=1,a n=(n∈N*,n≥2),数列{b n}满足关系式b n=(n∈N*).
(1)求证:数列{b n}为等差数列;
(2)求数列{a n}的通项公式.
10.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
B组提升题组
1.(2017甘肃兰州模拟)等差数列{a n}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )
A.{1}
B.
C. D.
2.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使S n>0成立的最小正整数n为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
3.已知等差数列{a n}的前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和.
4.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.
(1)证明:a n+2-a n=λ;
(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.
答案精解精析
A组基础题组
1.B 设等差数列{a n}的公差为d.
由S5=⇒25=⇒a4=7,
所以7=a2+2d=3+2d⇒d=2,
所以a7=a4+3d=7+3×2=13,故选B.
2.D 由题意,得解得所以S10=10a1+45d=-15.故选D.
3.A 依题意得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,∴a1a10=10,又
a1+a10=a5+a6=11,a1<a10,∴a1=1,a10=10,d==1.故选A.
4.A 设{a n}的公差为d,由题意得,==,又{a n}和{}都是等差数列,且公差相同,∴解得
∴a6=a1+5d=+=.
5.B 设等差数列{b n}的公差为d(d≠0),=k,因为b1=1,则n+n(n-1)d=k,即
2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n上式均成立,所以
(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=.所以数列{b n}的通项公式为b n=2n-1.
6.答案98
解析设{a
n}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得
∴a n=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.
7.答案10
解析S
100=(a1+a100)=45,a1+a100=0.9,a1+a99=a1+a100-d=0.4,则a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×0.4=10.
8.答案-110
解析解法一:因为数列{a
n}为等差数列,
∴S10=5(a1+a10)=100,S100=50(a1+a100)=10,
∴a100-a10=90d=-19.8,即d=-0.22,
又a1+a110=a1+a100+10d=-2,
∴S110=55(a1+a110)=-2×55=-110.
解法二:因为数列{a n}为等差数列,所以可设S n=An2+Bn.
∴
②-①×10,得A=,B=,
∴S n=-n2+n,
∴S110=-×1102+×110
=-1 331+1 221=-110.
9.解析(1)证明:∵b n=,且a n=,
∴b n+1===,∴b n+1-b n=-=2.
又b1==1,∴数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n=1+2×(n-1)=2n-1,又b n=,∴a n==.
∴数列{a n}的通项公式为a n=.
10.解析(1)设数列{a n}的公差为d,
由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.
所以{a n}的通项公式为a n=.
(2)由(1)知,b n=.
当n=1,2,3时,1≤<2,b n=1;
当n=4,5时,2≤<3,b n=2;
当n=6,7,8时,3≤<4,b n=3;
当n=9,10时,4≤<5,b n=4.
所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.
B组提升题组
1.B ==,若a1=d,则=;若a1≠0,d=0,则=1.
∵a1=d≠0,∴≠0,∴该常数的可能值的集合为.
2.C 在等差数列{a n}中,因为a4<0,a5>|a4|,所以
a5>0,a5+a4>0,S7===7a4<0,S8===4(a4+a5)>0. 所以使S n>0成立的最小正整数n为8,故选C.
3.解析(1)设等差数列{a n}的公差为d,
则a2=a1+d,a3=a1+2d,
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得
a n=2-3(n-1)=-3n+5或a n=-4+3(n-1)=3n-7.
故a n=-3n+5或a n=3n-7.
(2)当a n=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;
当a n=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|a n|=|3n-7|=
记数列{|a n|}的前n项和为S n.
当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;
当n≥3时,
S n=S2+|a3|+|a4|+…+|a n|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+=n2-n+10.
当n=2时,满足此式.
综上,S n=
4.解析(1)证明:由a n a n+1=λS n-1,知a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减得,a n+1(a n+2-a n)=λa n+1.
由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.
(2)存在.理由如下:由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,
a2n-1=1+4(n-1)=4n-3;
{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,
a2n=3+4(n-1)=4n-1.
所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.
因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.。